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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题12 图形的轴对称 （题型突破·举一反三） ▌题型01 生活中的轴对称 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】①②④ ▌题型02 轴对称图形 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】B． ▌题型03 找对称轴（条数） 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】C． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 镜面对称 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】K62897． ▌题型05 台球桌面上的轴对称 【典例1】3． 【变式1-1】1． 【变式1-2】57°． 【变式1-3】 【解答】解：球经过两次反弹后所滚的路径CD 平行于原来的路径AB．理由如下： ∵PQ∥RS，∠ABC 的平分线BN 垂直于PQ，∠BCD 的平分线CM 垂直于RS， ∴BN∥CM， ∴∠CBN＝∠BCM， 又∵∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴CD∥AB． ▌题型06 画轴对称图形 【典例1】 【解答】解：（1）过点E 作直线l 的垂线，与直线l 相交于点D，并延长到D'，使ED＝DD'，过点F 作 直线l 的垂线，与直线l 相交于点G，并延长FG 到G'，使FG＝GG'，连接D'H、HG'、G'D'，则△HG'D' 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即为所求； （2）过图形X 的圆心B 作l 的垂线，与l 交于点C，延长BC 于D，使BC＝CD，找出图形X 与l 相交的 点A，连接AD，则AD 为半径，以点D 为圆心，AD 为半径作圆，即可得到图形X 的轴对称图形． 【变式1-1】 【解答】解： 【变式1-2】 【解答】解：如图所示： 【变式1-3】 【解答】解：如图所示： 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 △A′B′C′即为所求． ▌题型07 添加正方形使原图形成为轴对称图形 【典例1】 【解答】解：如图所示： 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】解：如图所示， 【变式1-3】 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：如图所示（答案不唯一）： ▌题型08 轴对称的性质 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型09 利用对称性求最值（将军饮马模型） 【典例1】 【解答】解：①连接EF 交AB 于点C，点C 就是所求的点； ②画出点E 关于直线AB 的对称点E′，连接E′F 交AB 于点C，连接EC， ∵E、E′关于直线AB 对称， ∴EC＝E′C， ∴EC+FC＝E′F， 由两点之间线段最短可知，线段E′F 的长即为EC+FC 的最小值，故C 点即为所求点． 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【解答】解：作A 关于l 的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点C， 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 连接AC，骑马少年沿折线A﹣C﹣B 的路线行走时路线最短． 证明：设P 是直线上任意一点，连接AP，A′P，有作图知，直线l 垂直平分AA′，则AC＝A′C，AP ＝A′P， ∴AP+BP＝A′P+BP≥A′B， A′B＝A′C+BC＝AC+BC，即AP+BP≥AC+BC， ∴沿折线A﹣C﹣B 的路线行走时路线最短． 【变式1-3】 【解答】解：（1）分别作点P 关于OA 和OB 的对称点M，N，连接MN， 则MN 与OA 和OB 的交点即为点E 和点F， 如图所示，点E 和点F 即为所求作的点； 理由如下： 根据轴对称可知， PE＝ME，PF＝NF， 所以△PEF 的周长为：PE+EF+NF＝MN． 当点E 和点F 在其他位置时， 根据两点之间，线段最短可知， E′M+E′F′+F′N＞MN， 即PE′+E′F′+PF′＞PE+EF+NF， 所以点E，F，P 三点组成的三角形的周长最短； （2）作点M 关于OA 的对称点M′，点N 关于OB 的对称点N′，连接M′和N′， 则M′N′与OA 和OB 的交点即为点E 和点F， 如图所示，点E 和点F 即为所求作的点； 理由如下： 根据轴对称可知， M′E＝ME，N′F＝NF， 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以ME+EF+NF＝M′E+EF+N′F＝M′N′． 当点E 和点F 在其他位置时， 根据两点之间，线段最短可知， M′E′+E′F′+F′N′＞M′N′， 即M′E′+E′F′+F′N′＞M′E+EF+N′F， 因为MN 为定值， 所以此时点E，F，M，N 四点组成的四边形的周长最短； （3）分别作出点P 关于河流和草地的对称点C 和D， 根据轴对称的性质可知， 当放牧路线为P→A→B→P 时的路线最短． ▌题型10 折叠问题 【典例1】 【解答】解：（1）根据题目信息，∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上，得折痕EM， 则∠MEB＝∠FEM； ∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上，得折痕EN， 则∠AEN＝∠NEF；∠MEB+∠FEM+∠AEN+∠NER＝180°； ∠AEN＝∠NER；2∠NEF+2∠FEM＝180°； 则∠NEF+∠FEM＝∠MEN＝90°； （2）点E 在AB 上，不论位置如何变化，一边折叠后得两个角都相等，两边得到的四个角相加都为平角， 那么中间俩角的和肯定为直角，90°． （3）两边再次折叠后相当于把上次折叠产生的中间的两个角分成四份，同样的道理，最中问的两个角等 于四个角和的一半，那么就是45°． 【变式1-1】 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）如图所示， ∵KL∥MN，∠APN＝α， ∴∠KAB+∠ABM＝180°，∠KAP＝∠APN＝α， 由折叠可知，∠KAB＝∠PAB= 1 2 𝛼， ∴∠ABM＝180°−1 2 𝛼； （2）∵线段AK′和线段AL′都经过点A 和点P， ∴它们都在同一条直线AP 上（两点确定一条直线） ∵BM′∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM′∥CN′．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：两点确定一条直线，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （3）连接BC， 由折叠可知，∠KAB＝∠PAB，∠LAC＝∠PAC， ∴∠BAC= 1 2 × 180° = 90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠ABM+∠ACN＝270°， 由折叠可知，∠ABM′＝∠ABM，∠ACN′＝∠ACN， ∴∠ABM′+∠ACN′＝270°， ∴∠CBM′+∠BCN′＝270°﹣90°＝180°， ∴BM′∥CN′． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠AOB＝56°， 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由折叠知，∠AOC＝∠BOC= 1 2∠AOB＝28°； 故答案为：28； （2）①由折叠知，∠ABC＝∠A′BC= 1 2∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD= 1 2∠EBE′， ∴当点E′在BA′上时， ∠CBD＝∠CBE′+∠DBE′= 1 2（∠ABA′+∠EBE′）＝90°； ②由条件可知∠ABA′+∠EBE′＝180°﹣∠A′BE′＝138°， 由折叠知，∠ABC＝∠A′BC= 1 2∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD= 1 2∠EBE′， ∴∠A′BC+∠E′BD= 1 2（∠ABA′+∠EBE′）＝59°， ∴∠CBD＝∠CBA′+DBE′+∠A′BE′＝59°+42°＝111°； ③∵∠A′CB＝30°， ∴由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°， ∴由折叠得，∠ABA′＝2∠ABC＝120°， ∴EBE′＝180°+∠A′BE′﹣∠ABA′＝180°+n°﹣120°＝n°+60°， ∴由折叠得，∠DBE′= 1 2∠EBE'＝（ 1 2n+30）°， 故答案为：（ 1 2n+30）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE， ∵∠AOE＝35°， ∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°， ∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°； （2）由折叠性质可知：∠𝐴′𝑂𝐸= 1 2 ∠𝐴𝑂𝐴′，∠𝐵′𝑂𝐹= 1 2 ∠𝐵𝑂𝐵′， ∵∠AOA′+∠BOB′＝180°， ∴∠𝐴′𝑂𝐸+ ∠𝐵′𝑂𝐹= 1 2 (∠𝐴𝑂𝐴′ + ∠𝐵𝑂𝐵′) = 1 2 × 180° ＝90°， 即∠EOF＝90°； （3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为： ∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°或∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°． 理由：由折叠性质可知：∠𝐴𝑂𝐸= 1 2 ∠𝐴𝑂𝐴′，∠𝐵𝑂𝐹= 1 2 ∠𝐵𝑂𝐵′， 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①当点B′在点A′的左侧时，如图3， ∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°， ∴ 1 2 ∠𝐴𝑂𝐴′ + 1 2 ∠𝐵𝑂𝐵′ − 1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°， ∴∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°； ②当点B′在点A′的右侧时，如图4， ∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°， ∴ 1 2 ∠𝐴𝑂𝐴′ + 1 2 ∠𝐵𝑂𝐵′ + 1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°， ∴∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°， 综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为： ∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°或∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1 2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°．
