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1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题17 圆拓展之最值问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 题型二、两动一定 题型三、切线与勾股定理 题型四、折叠圆 题型五、直角圆 题型六、定角定弦 题型七、四点共圆 题型八、中位线与瓜豆原理 题型九、面积最值 题型十、费马距离 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型 知识点 易错点 将军饮马 利用圆的对称性转化动点位置， 根据“两点之间线段最短”求圆上 动点对应的线段和最值 混淆线段和最小与差最大的结 论，搞错对称点位置，忽略动点 能否到达交点位置 两动一定 结合圆半径相等的性质，利用三 角形三边关系推导，三点共线时 取得线段最值 忽略两个动点的运动范围约束， 误判最值点位置 切线与勾股定理 切线长、圆半径、圆外点到圆心 的距离满足勾股数量关系，切线 长的最值由圆心距的最值决定 记错三者的数量关系，混淆半径 与直径，错求圆心距的最值 折叠圆 折叠后圆的半径不变，对应点关 于折痕对称，转化位置后求轨迹 相关最值 误认为折叠后圆半径改变，搞错 折叠后圆心、对应点的位置范围 直角圆 对定线段张直角的动点轨迹，是 以定线段为直径的圆（需去掉端 点），结合点与圆的位置关系求最 值 遗漏轨迹圆需要去掉端点，搞错 轨迹圆的圆心和直径大小 定角定弦 定弦定角对应的动点轨迹是定弦 对应的两段圆弧，利用圆的基本 搞错动点对应优弧/劣弧，漏算另 一段弧的可能性，计算最值时忘 目 录 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 性质求距离最值 记加减半径 四点共圆 利用四点共圆的性质转化角度， 确定动点轨迹后结合圆的规律求 最值 错误判断四点共圆的条件，误用 共圆性质，搞错动点轨迹 中位线与瓜豆原理 主动点在圆上运动时，满足定角 定比关系的从动点轨迹也为圆， 用中位线转化所求线段后求最值 搞错从动点轨迹圆的圆心和半 径，误用中位线转化关系，忽略 主动点运动范围 面积最值 将面积最值转化为底或高的最 值，圆上点到定直线的距离最值 为圆心距加减半径 分割图形出错，记错对角线垂直 四边形面积公式的适用条件，错 找高的最值 费马距离 圆上动点到两个定点的距离和最 小值，利用费马点性质（三点两 两夹角120°时距离和最小）求解 记错费马点适用条件，误判费马 点是否在动点轨迹圆上，计算错 误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 典例1 如图，在 中， 是 的直径， ， ，M 是 上一动点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出 的最小 值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C 关于 的对称点 ，连接 与 相交于点M，根据轴对 称确定最短路线问题，点M 为 的最小值时的位置，根据垂径定理可得 ，然后求出 为 直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C 关于 的对称点 ，连接 与 相交于点M， 3 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 此时，点M 为 的最小值时的位置，即点M 与点O 重合 由垂径定理， ， ∴ ， ∵ ， 为直径， ∴ 为直径， 即 ∴ 的最小值是 故选：D． 变式1-1 如图所示，点A 是 半圆上的一个三等分点，点B 是劣弧 的中点，点P 是直径 上的一个 动点， 的半径为1，则 的最小值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题结合图形的性质，考查轴对称－最短路线问题．本题是要在 上找一点P，使 的值 最小，设 是A 关于 的对称点，连接 ，与 的交点即为点 ，此时 是最小值，可 证 是等腰直角三角形，从而得出结果． 【详解】解：作点A 关于直径 的对称点 ，连接 ，交 于点P，连接 ， ， ， ， ， 4 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵点A 与 关于 对称， ∴ ， ∴ ，此时 有最小值，最小值为 的长， ∵点A 是半圆上的一个三等分点， 由题意可得： ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 变式1-2 如图，在 中， 是 的直径， 是 上一动点， 的 最小值是____________ ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A 关于 的对 称点C，连接 ，则 ，可证明点C 在 上，再证明 ， 得到 三点共线，根据 可得当C、P、B 三点共线时， 最小，即此时 最小，则 的最小值为 ． 【详解】解：如图所示，作点A 关于 的对称点C，连接 ， 由轴对称的性质可得 垂直平分 ， 5 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴点C 在 上， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 三点共线， ∴ ， ∵ ， ∴当C、P、B 三点共线时， 最小，即此时 最小， ∴ 的最小值为 ， 故答案为：10； 变式1-3 如图，在 中， 是 的直径， ， 、 为弧 的三等分点， 是 上一动点， 的最小值是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点 关于 的对称点 ， 连接 与 相交于点 ，根据轴对称确定最短路线问题，点 为 的最小值时的位置，根据垂 6 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 径定理可得 ，然后求出 为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 与 相交于点 ， 此时，点 为 的最小值时的位置， 由题意得， 则 ， ∴ ， ， 为直径， 为直径．则 ． 故答案是：． 类型二、两动一定 典例2 如图，在正方形 中， ，点 是平面内的一动点，且 是 的中点，是 上 一动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理，由 推导出中点 的轨迹是以正方形中心 为圆心、半径为1 的圆．利 用轴对称性质，作点 关于 的对称点 ，将 转化为 ．根据圆外一点到圆上点的最短 距离，用点 到圆心 的距离减去半径，即可得到 的最小值． 7 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： 四边形 是正方形， ， 连接 、 交于点 ， 点 为 的中点． ， 点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆． 是 的中点， 是 的中点， 连接 ， 是 的中位线． ， ， 点 的轨迹是以点 为圆心，为半径的圆． 作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ． ∴当点O，F，E，M 在同一直线上时， 取得最小值，为 的长， 过点 作 于点 ， 是正方形对角线的交点， ， ． 点 与点 关于 对称， ， ， ∴点A，B，M 三点共线， ． 在 中， ． 8 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的最小值为 ， 的最小值为 ． 变式2-1 如图，在边长为 的正方形 中，以点 为圆心，为半径的圆弧与边 ， 分别交于点 ， ．点 在边 上，点 在 上，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，可得 ，利用正方形的性质得 ， ，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接 ， 与 相交于点 ，与 相交于点 ，此时 的值最小，最小值 ， 再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ， ∴ ， ∵四边形 是正方形，边长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点 在同一条直线上， ∴ ， 9 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 连接 ，与 相交于点 ，与 相交于点 ，如图， 此时 的值最小，最小值 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 变式2-2 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，动点 在矩形内部，连接 ， ，且 ，点 为 上一个动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】作 的外接圆 ，连接 、 、 ，延长 到点F，使得 ，连接 ， ， 在优弧 上取一点H，连接 ， ，证明 是等边三角形，求得圆的半径，过O 作 于G， 连接 ，求得 ，证明O、G、E 三点共线，由勾股定理求得 ，根据 知，当O、M、N、F 四点共线时， 取最小值为 ，进而求得 的最小值． 【详解】解：作 的外接圆 ，连接 、 、 ，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，在优弧 上取一点 ，连接 ， ，如图， 10 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 ， ， ， ， ， ， ， ∴ 是等边三角形， ， 过 作 于 ，连接 ， ， 四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 、 、 三点共线， ， 11 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， 当 、 、 、 四点共线时， 取最小值为 ， 的最小值为 ． 变式2-3 如图，在边长为 的正方形 中， 、 分别为边 、 的动点，且 ，点 为 的 中点，点 为边 上的一动点，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，证得 ，当 ， ， 三点共线时， 的值最小，证得点 的轨迹在以 为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点 到圆上一点 距离的 最小值 ，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴ ， 12 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 当 ， ， 三点共线时， 的值最小， ∵ ，点 为 的中点， ， ， ∴点 的轨迹在以 为圆心， 为半径的圆弧上， ∴圆外一点 到圆上一点 距离的最小值为 ， ， ， ， 的最小值是 ． 题型三、切线与勾股定理 典例3 如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ，为 边上一动点，过点 作 的切线 ， 切点为 ，则 的最小值为（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接 、 ，过点 作 于点 ，根据切线的性质可得 ，则 ，当 ， 最小，则 取最小值，求出 的最小值即可得解． 【详解】解：如图，连接 、 ，过点 作 于点 ， 13 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的切线， ∴ ， 在 中， ， ∴当 ， 最小，则 取最小值， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 变式3-1 如图，在平面直角坐标系中， 的圆心A 的坐标为 ， 的半径为1，点P 为直线 上的动点，过点P 作 的切线，切点为Q，求切线长 的最小值（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作 垂直直线 ，垂足为 ，作 的切线 ，切点为 ，此时切线长 最小，求 出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作 垂直直线 ，垂足为 ，作 的切线 ，切点为 ， 14 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 的坐标为 ， 设直线与 轴， 轴分别交于 ， 当 时， ；当 时， ， 解得 ； ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时， 值最小，则 的值也最小， ∴切线长 的最小值为 ． 变式3-2 如图，在边长为 的等边 中， 的半径为，点 是 边上的动点，过点 作 的一条 切线 ， 为切点，则线段 长度的最小值为______． 15 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，切线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，连接 ，作 于点 ，由等边三角形的性质得 ，则 ，所以 ， 由切线的性质得 ，则 ，可知当 的值最小时，则 的值最小， 所以当 时， ，于是得到问题的答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接 ，作 于点 ，则 ， ∵ 是边长为 的等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 与 相切于点 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，且当 的值最小时则 的值最小， ∴当 时， ， ∴线段 长度的最小值为 ， 16 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： ． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过 、 ， 的半径为1（ 为坐标原点）， 点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ，为切点，则切线长 的最小值为__________． 【答案】1 【分析】连接 、 ，由切线性质得 ，根据勾股定理 ， 半径 为定 值，因此要使 最小，只需 长度最小，点 在直线 上，根据“垂线段最短”，当 时， 取 得最小值，再代入勾股定理计算 最小值． 【详解】解：连接 、 ， 是 的切线， 为切点， ， ， 由勾股定理得： ， 已知 半径 ，则 ， 要让 最小，只需 最小， 作 ， ， 又 ， ， 根据“垂线段最短”，当 时， 取得最小值，为 的长，等于 ， 则 的最小值为 ． 17 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四、折叠圆 典例4 已知平行四边形 中， ， ， ，点E在 边上， 沿 折叠得 ， 下列结论正确的是（ ） A．当 时， B．当 落在 边上时， C．当 落在 边上时， 的面积为 D． 的最小值为 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质求出 ， ， 的度数，利用折叠的性质得到 ， ； 对于A：计算 ， 的长，确定 的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定 的运动轨迹，推导出 的形状求面积； 对于D：确定 的轨迹是以B 为圆心的圆，转化为求点D 到圆上一点的最小距离问题，即 ． 【详解】解：A 项：如图，当 时， 为B 到 的距离， 在平行四边形 中， ， ， ， ∴ ，即 是等腰直角三角形， 18 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，即平行四边形 中，以 为底边的高为1， ∵ 沿 折叠得 ， ∴ ， ∴ ， ， 即点 落在 边上， ∴ ，A 项错误； B 项：由A 项可知，当 落在 边上时， ， ∴ ，B 项错误； C 项：∵ 沿 折叠得 ，点E 在 上运动， ∴点 的运动轨迹是以点B 为圆心， 为半径的圆上运动， 如图，作以点B 为圆心， 为半径的圆， 与 交点 ，连接 ，过点E 作 ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， 由A 项可知，平行四边形 中，以 为底边的高为1， ∴ ， ∴ ，C 项错误； D 项：∵点 的运动轨迹是以点B 为圆心， 为半径的圆上运动， 如图，当D， ，B 三点共线时， 有最小值， 19 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点D 作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ，即 的最小值为 ，D 项正确． 变式4-1 如图，在 中， ，E 是直角边 的中点，F 是直角边 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D 是斜边 的中点，若 ， ，则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、 圆的定义，确定动点 的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得 ， ，结合 E 是直角边 的中点，得到 ，由此可判断点 在以 为圆心， 为半径的圆 上运动，当 、 、 共线时，此时 的值最小，根据三角形中位线定理求出 ，即可求出 此时 的最小值． 【详解】解： 将 沿 所在直线折叠，得到 ， ， ， E 是直角边 的中点， ， 点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图所示， 20 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 当 、 、 共线时，即 与 重合时， 取得最小值， 又 ， 此时 的值最小， D 是斜边 的中点， 是 的中位线， ， 此时， ， 的最小值为4． 故选：C． 变式4-2 如图，在矩形 中， ，P 是 边上的一点，且 ，E 是线段 上的一个动点， 把 沿 折叠，点C 的对应点为F，当点E 与点D 重合时，点F 恰好落在 上，则 的最小值是 ______． 【答案】 / 【分析】当点E 与点D 重合时，点F 恰好落在边 上，画出图形，由勾股定理解 ， 求 出 的长，再根据 ，点P 为定点，可知点F 和点C 在以点P 为圆心，5 为半径的圆上，连 接 ，与 交点即为所求点F． 【详解】解： 矩形 中， ， ， ， ， ， ， 当点E 与点D 重合时，点F 恰好落在边 上，如下图所示： 21 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设 ， 由折叠的性质可知： ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ， 解得 ， ． ，点P 为定点， 点F 和点C 在以点P 为圆心，5 为半径的圆上， 如图，连接 ，与 交点即为所求点F， ， ， ， ， 即 的最小值是 ． 变式4-3 如图，在菱形 中，点 是 边的中点，动点 在 边上运动，以 为折痕将 折 叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值是______． 22 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三 角形的性质等知识点，确定点F 在以E 为圆心， 为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得 ，如图：当D、E、F 在同一直线上时， 最短，过点E 作 于点H，依据 ， ，即可得到 的长度，进而得出 的最小值． 【详解】解：∵点E 是 边的中点， ∴ ， ∵以 为折痕将 折叠得到 ， ∴ ， ∴点F 在以E 为圆心， 为半径的半圆上， ∵ ， ∴当F 在 上时， 有最小值，最小值为 ； 如图，过点E 作 交于 延长线点H，连接 ， ∵在边长为4 的菱形 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ∴ 的最小值 ． 23 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： ． 题型五、直角圆 典例5 如图，在 中， ， ， ，点 是 边上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点 ，则线段 长度的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接 ，根据 得出点 在以 为直径的 上，进而勾股定理求得 ，当点 在线段 上时， 最小， 即可求解． 【详解】解：如解图①，连接 ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点 在以 为直径的 上， 的半径为， 连接 ， ， ， 在 中， 24 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 如解图②，当点 在线段 上时， 最小， ，即线段 长度的最小值为 ． 故选D． 变式5-1 如图，在矩形 中， ， ．点 沿折线 运动，在 上总有点 满足 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由 ，知点 在以 为直径 的 上，当 三点共线时， 取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴点Q 在以 为直径的 上， ∴当 三点共线时， 取得最小值，如图， 25 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 从点 出发沿 向点 运动，连接 ， 过点 作 于点 ，连接 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出 ，再根据圆周角定理可得在点P 的运动过程中，点Q 的运动轨迹是在以 的中 点为圆心、 长为直径的半圆上，设 的中点为点 ，连接 ，从而可得当点 共线时， 取得最小值． 【详解】解：∵点 ，点 ， ∴ ， ∵ ， ∴在点P 的运动过程中，始终有 ， ∴如图，在点P 的运动过程中，点Q 的运动轨迹是在以 的中点为圆心、 长为直径的半圆上， 设 的中点为点 ，连接 ， 26 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ，即 ， ∴ ， 由三角形的三边关系得： ，当且仅当点 共线时，等号成立， 即当点 共线时， 取得最小值， ∴此时 ． 变式5-3 如图，在矩形 中， ， ，点E 在边 上运动，以 为直径作圆与 交于点 F，连接 ，则线段 的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查定弦定角的四点共圆求最值问题， 根据圆周角定理可知， ，故 ，因此可推出点F 在以 为直径的圆上，通过点圆最 值的求解方法计算即可． 【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ， ， ， ∵点F 在以 为直径的圆上， ∴ ， 27 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴点F 在以 为直径的圆上，半径 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 由两点之间线段最短可知， ，即 ， ∴ ， 的最小值为 ． 题型六、定角定弦 典例6 如图，分别经过原点 和点 的动直线 ，，其夹角 ，点 是 中点，连接 ， 则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 ， ，则点 在 的外接圆 上运动，在 轴上截取 ，则 ，当 取最小值时， 取最小值，连接 交 于点 ，此时 的长度最小． 【详解】解：如图所示， 28 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， ∴点 在 的外接圆 上运动， 在 轴上截取 ，连接 ， ∵点 是 中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴当 取最小值时， 取最小值， 连接 交 于点 ， 则 ，当点 与点 重合时， 取得最小值 ， 此时 长度的最小值为 ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 过点 作 于点 ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 此时 ， ∴ 的最小值是 ． 变式6-1 如图，在 中， ， ， ，D 为平面内一点，连接 ， ，则线段 的最小值为（ ） 29 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点 作圆，圆心为 ，交 于点 ，连接 ，根据直径定理以及含 角的直角三 角形的性质得出圆的半径长度，过点 作 于点 ，连接 ，连接 交 于点 ，得出此时 的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图所示，过点 作圆，圆心为 ，交 于点 连接 ， ∵ ， ∴ 为直径， ∴点 共线， 此时， ， ∴ ， ∴ 的半径为2， 过点 作 于点 ，连接 ，连接 交 于点 ， 此时， 的值最小， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理得 ， 30 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 即线段 的最小值为 ． 变式6-2 如图，在 中， ，点 为平面内一动点，连接 ， 若 ，则 的最小值为___________． 【答案】 【分析】作 的外接圆 ，连接 交 于点 ，根据圆周角定理可知 ，即 是等腰直角三角形，则 ，作 于点 ，则 是等腰直角三角形，由勾股定理可得 ，同理可得 ，根据勾股定理 求出 ，当点 三点共线时， 最小为 ． 【详解】解：作 的外接圆 ，连接 交 于点 ， 则 ，则 是等腰直角三角形， 则 ， 作 于点 ，则 是等腰直角三角形． ∵ ， ， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， ∴ ， 当点 三点共线时， 最小为 ． 31 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 如图，在一个边长为3 的等边三角形 中，，分别为边 ， 上的两个动点， ， 连接 ， 交于点 ，则 （1） ___________ ； （2）连接 ， 的最小值为___________． 【答案】 120 【分析】（1）先证明 ，推出 ，再由三角形外角的性质得 ， ，最后通过等量代换可得 ； （2）作 的外接圆，设圆心为O，在优弧 上取一点H，连接 ， ，连接 交 于N，连 接 ，由圆内接四边形的性质可得 ，由圆周角定理可得 ， 进而证明 ，再证 ，推出 ，设半径 ， 则 ，解 求出 ，根据 ，可得点F 在线段 上，即与点N 重合时， 有最小值． 【详解】解：（1） 是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， 32 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， 故答案为：120； （2）如图所示，作 的外接圆，设圆心为O，在优弧 上取一点H，连接 ， ，连接 交 于N，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设半径 ，则 ， 在 中， ， ， 解得 ， ， ， ∴当点F 在线段 上，即与点N 重合时， 有最小值，最小值为 ， 33 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆周 角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质等等，求出 是解题的关键． 题型七、四点共圆 典例7 在 中， ， ， ， ，点P 在射线上 上运动，连接 ， 交 的外接圆于点D，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接 ，得出 是等腰直角三角形，求出 ，连接 交劣弧 于点 ，此时 的长即 为 长的最小值． 中，利用勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ， 点 在以点 为圆心， 长为半径的劣弧 上运动， 34 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 劣弧 所对的圆周角为 ， 是等腰直角三角形， ， ， 连接 交劣弧 于点 ，此时 的长即为 长的最小值． ， ， ， ， 长的最小值为2． 故选：A． 变式7-1 如图，在 中， ， ， ，经过点C 且与边 相切的动圆，与 分别相交于点E、F，则线段 长度的最小值是（ ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，90 度的圆周角所对的弦是直径，过点C 作 于H，连 接 ，先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，则 是经过点C 且与 边 相切的动圆的直径，故当 为直径且 时， 有最小值，即此时 有最小值，利用等面积 法求出 的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C 作 于H，连接 ， 35 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且 ， ∵ 是经过点C 且与边 相切的动圆的直径， ∵ ， ∴当 为直径且 时， 有最小值，即此时 有最小值， ∵ ， ∴ ， ∴ 有最小值4， 故选B． 变式7-2 如图， 的直径 ，垂足为 ， ， ，点 是 上的动点（不与 两点 重合）， ，垂足为 ，点 在运动过程中线段 的最小值为_______ ． 【答案】 / 【分析】由 可判断点 的轨迹是以 为直径的圆弧，则当 、、 三点共线时， 最短．根 据垂径定理和勾股定理计算出 和 ，作差即可． 【详解】解：如图，连接 ， ，以 为直径作 ， 36 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴点 在 上， ∴当 、 、 三点共线时， 最短， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∵点 为 中点， ∴ ，且 ， 在 中， ， ∴ 最小为 ． 变式7-3 已知正方形边长为 分别是 上的动点，且 于 点，则 的最 小值是_____． 37 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】连接 ，先求得 ，证明 得出 ，设 ，根据已知条件证明 四点共圆，得出 ，进而可得 ，则 在以 为圆心 为半径的圆弧上运动，进而可得当 在 上时， 取得最小值，即 可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 是正方形，正方形边长为 ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴ 设 ∴ ， ∵ ∴ ∴ 四点共圆 ∴ ∴ ∴ 38 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 在以 为圆心 为半径的圆弧上运动， ∴当 在 上时， 取得最小值，最小值为 题型八、中位线与瓜豆原理 典例8 如图，在 中， ， ， ，E 为 的中点．点D 在平面内运动，且满足 ，取 的中点F，连接 ，则 的最大值与最小值的和是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将 转化为 ，并利用点D 在以A 为圆心、 为半径的圆上运动，通过几何位置关系求 的最值是解题的关 键． 【详解】解：如图1，作 于G 点， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ． ∵点D 在平面内运动，且满足 ， ∴点D 的运动轨迹是以点A 为圆心，2 为半径的圆上， 图2 中 最小等于 ， 39 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 图3 中 最大等于 ， ∴则 的最大值与最小值的和是 ， 故选B． 变式8-1 如图，已知P 是 外一点，Q 是 上的动点，线段 的中点为M，连接 ，若 的 半径为4， ，则线段 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 设 与 交于点N，连接 ，如图，由题意可知ON＝ OP，从而可知MN 为△POQ 的中位线， 由三角形中位线的性质可知 ；当点M、O、N 在一条直线上时， 有最小值，接下 来依据 求解即可． 【详解】解：设 与 交于点N，连接 ，如图， ∵ ， ， ∴N 是 的中点． ∵M 是 的中点，N 是 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴点M 在以N 为圆心，2 为半径的圆上． 40 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵当点M 在 上时， 最小， ∴线段 的最小值为 ． 故选：A． 变式8-2 如图，在矩形 中， ， ，以 为斜边在矩形所在平面作 ， ， 点 为 的中点，则 的最小值为________． 【答案】1 【分析】取 的中点 ，连接 ， ， ，先求出 的长，再得出点 的运动轨迹，利用圆的 性质求最值即可． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ， ∵在矩形 中， ， ， ∴ ， ， ∴在 中， ， ∵点 为 的中点，点 为 的中点， ∴ ， ∵在 中， ，点 为斜边 的中点， ∴ ， ∴点 在以点 为圆心、 长为半径的圆上， 41 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴当点 与 和线段 的交点重合时， 的值最小，最小值为 ． 【点睛】本题的难点在于正确找出点 的运动轨迹． 变式8-3 如图，在 中， ， ，D 是以点A 为圆心，5 为半径的圆上一点， 连接 是 的中点，则线段 长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取 的中点E，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位 线定理求得 和 的长，即可求解． 【详解】解：取 的中点E，连接 ，如图所示： 在直角 中， ， ∵E 是直角 斜边 上的中点， ∴ ， ∵M 是 的中点，E 是 的中点， ∴ ， M 轨迹为以E 为圆心， 为半径的圆， ∴当点M 在线段 上时， 最小，且线段 长度的最小值为 ． 42 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型九、面积最值 典例9 如图，在 中， ， ，E 是边 上一点，且 ，以A 为圆心， 长为半径 作 ，P 是 上一动点，连接 、 ，若 的面积为36，则 面积的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出 边上的高，确定点P 到 距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出 边上 的高．因为点P 在 上，所以要先确定点A 到 的距离，再结合 的半径，得到点P 到 的最小距 离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作 ， ， 在 中， ， ， ∴ 面积最小等价于 最小． ∵ 面积为 ， ∴ ， ∵ 是 上的动点， 的半径 ， ∴圆上点 到 的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 变式9-1 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，C、D 是半径 为1 的 上两动点，且 ，P 为弦 的中点，当C、D 两点在圆上运动时， 面积的最小值 是（ ） 43 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据直线解析式求出点 、 的坐标，进而得到 的长度以及点 到直线 的距离；然后 根据垂径定理和勾股定理求出 的长度，确定点P 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；最后根据点到 直线的距离性质，当点 在线段 上时，点 到 的距离最小， 的高最小，面积最小，计算即可 得出答案． 【详解】解：过点 作 于点 ，连接 ， ， 令 ，则 ， ， ； 令 ，则 ，解得 ， ， ； ． ， ， 是等腰直角三角形， ． 为弦 的中点， ， 44 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 在 中， ， 点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动． 要使 面积最小，则点 到 的距离最小， ， 当点 在线段 上时，点 到 的距离最小，最小值为 ， 面积的最小值为 ． 变式9-2 如图，已知直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，P 在以 为圆心，1 为半径的圆 上一动点，连结 、 ，则 面积的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，一次函数图象与坐标轴的交点问题，圆与三角形的综合(圆的综 合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线 最近的点为 与 的交点，从而求出 面积的最小值． 【详解】解：过 作 于 ，连接 ， 45 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 将 ，代入 中，得 ， 将 代入 中，得 ， 解得： ， ∴点B 的坐标为 点A 的坐标为 ， ∴ ， ， ， 根据勾股定理可得 ， 则由三角形面积公式得， ， ∴ ， ∴ ， ∴圆 上点到直线 的最小距离是 ， 即点 为 与 的交点时， ∴ 面积的最小值是 ， 故答案是： ． 变式9-3 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，C、D 是半径 为1 的 上两动点，且 ，点 为弦 的中点．当C、D 两点在圆上运动时， 面积的最大 值是________，最小值是________． 【答案】 3 1 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，正确找出 46 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的面积取最值时，点 的位置是解题关键．过点 作 于点 ，连接 ，先利用垂径定理 和勾股定理可得 ，再根据一次函数的解析式求出 ， ，利用勾股定理可得 ， 然后利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，则要使 的面积最大或最小，只需 最大或 最小，最后利用三角形的三边关系可得当点 共线时， 的最大值为 ，最小值为 ， 由此即可得． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ， ∵ 的半径为1， ∴ ， ∵点 为弦 的中点， ， ∴ ， ， ∴ ， 对于一次函数 ， 当 时， ，解得 ，即 ， 当 时， ，解得 ， ∴在 中， ， ， ∴ 的面积为 ， ∴要使 的面积最大或最小，只需 最大或最小， 又∵ ， （当且仅当，点 共线时，等号成立）， ∴ 的最大值为 ，最小值为 ，此时点 共线， ∴此时 ， 47 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的最大值为 ，最小值为 ， ∴ 面积的最大值是 ，最小值是 ， 故答案为：3，1． 题型十、费马距离 典例10 数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形 ， 是对角线 上一点， 、 是边 和 上的两点，若点 满足 与 之和最 小，则称点 为类费马点， (1)如图1，在菱形 中， ，点 是 上的类费马点， ① 为 的中点， 为 的中点，则 ________． ② 为 上一动点， 为 上一动点，且 ，则 ________． (2)如图2，在菱形 中， ，连接 ，点 是 的费马点，（即 ， ， 之和最小）， ①当 时， ________． ②当 时，你能找到 的费马点 吗？画图做简要说明，并求此时 的值． 【答案】(1)① ；② (2)① ； ②如图，将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， 48 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当 、 在线段 上时， 的值最小，为 的长，且点 是 的费马点， ， ， ， 此时 的最小值为 ． 【分析】（1）①取 的中点 ，连接 ，根据菱形的定义和线段中点的定义可证明 ，得 到 ，则 ，当 、 、 三点共线时， 有最小值，为 ，证明四边 形 是平行四边形，得到 ，即可求解；②由①知， ，则 的最小值 为 与 之间的距离，过点 作 于 ，求出 即可； （2）①将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，根据旋转的性质得到 是等边三角形， 推出 ，则 ，当 、 在线段 上时， 的值最小，为 的长，连接 ， 与 的交点为点 ，与 交于点 ，根据等边三角形的判定与性质、三角形 的内角和定理得到 ， ， ，则 ，根据勾股定理以及三线合一求出 ，即可求解；②将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，根据旋转的性质得 到得到 是等边三角形，推出 ，则 ，当 、 在线段 上时， 的值最小，为 的长，且点 是 的费马点，推出 ，根据勾股定理求出 ， 即可求解． 【详解】（1）解：①如图，取 的中点 ，连接 ， 四边形 是菱形， ， ， 为 的中点， 为 的中点， 49 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 在 和 中， ， ， ， ， 当 、 、 三点共线时， 有最小值，为 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ； ②由①知， ， 、 分别为 、 上的动点， 的最小值为 与 之间的距离， 如图，过点 作 于 ， ， ， ， ， 点 是 上的类费马点， ； （2）解：①如图，将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， 50 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当 、 在线段 上时， 的值最小，为 的长， 连接 ， 与 的交点为点 ，与 交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ； ②略 变式10-1 阅读理解： 如图①，若 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的 费马点，此时 的值为 的费马距离． 如图②，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定 理． 51 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)请你直接利用托勒密定理，解决如下问题： 如图③，已知点 为等边三角形ABC 外接圆的 上任意一点．求证： ． (2)根据结论，我们有如下探寻三角形 （其中 均小于 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图④，在 的外部以 为边长作等边三角形 及其外接圆； 第二步：在 上取一点 ，连接 ． 易知 __________； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出 的费马点 后，线段__________的长度即为 的费 马距离． 知识应用： (3)已知三村庄A、B、C 构成了如图⑤所示的 ，现选取一点 打水井， 使水井 到三村庄A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，请在图⑤中作出点（尺规作图，保留作图痕迹）， 并求输水管总长度的最小值． 【答案】(1) 证明：如图，延长 至点 ，使 ， 52 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵在圆内接四边形 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中， , ∴ , ∴ ， 即 ． (2) ； (3)输水管总长度的最小值为 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的基本性质，勾股定理等知识点，熟 练掌握各知识点的融合是解题的关键． （1）延长 至点 ，使 ，根据角度和边长关系，证出 为等边三角形，由两个等边三角形， 易证 ，即可得 ； （2）根据（1）中的结论进行填空判断即可； （3）以BC 为边在 的外部作等边 ，连接 ，结合角度关系，得出直角三角形，利用勾股定理 可得出输水管总长度的最小值． 53 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得出，第一步：如图，在 的外部以 为边长作等边三角形 及其外接圆； 第二步：在 上取一点 ，连接 ． 易知 ； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出 的费马点 后，线段 的长度即为 的费马距离． （3）解：如图，以 为边在 的外部作等边 ，连接 ， ∴ 的长就是 的费马距离， 可得 ， ∴ ， ∴输水管总长度的最小值为 ． 变式10-2【阅读材料：】如图①， 中，各个内角均小于 ，在 内找一点O，使 ，此时； 最小；这个点O 称为 的费马点， 的值称为 的费马距离；（费马，17 世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在 的外侧作等边 、等边 ，连接 交于点O， 这个交点O 就是 的费马点； 54 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明 ，…进而得出 ，第二 步，连接 ，并在线段 上取一点Q，使 ；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接 ． （1）证明： ； （2）当 时，求 的费马距离． 【答案】 第一步： 证明：∵等边 、等边 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 第二步： 证明：如图②，连接 ，在线段 上取一点Q，使 ， 55 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （1）证明：由第二步可知： ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） 的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明 ，进而得出 ；第二步：连接 ，并在线段 上取一点Q，使 ；进而得出 ，即可解决问题； （1）由第二步可得 ，所以 ，根据 是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D 作 交 延长线于点G，证明 ，根据含30 度角的直角三角形的性质和勾 股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步：略 第二步：略 （1）略 （2）解：如图②，过点D 作 交 延长线于点G， 56 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的费马距离为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30 度角的直角三角形的性 质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 变式10-3【问题情景】1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三 个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出 了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当 的三个内角均小于 时，如图1，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，由 ，可知 为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故 ，又 ， 故 ，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第 三边”）可知，当 在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时 的 点为该三角形的“费马点”，且有 _______（填写角度数）；已知当 有一 57 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，则该三角形的“费 马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点 为 的 “费马点”，求 的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短； ；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转 是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行 作答即可； （2）将 绕，点C 顺时针旋转 得到 ，连接 ，进而得到当 在同一条直线上 时， 取最小值，最小值为 的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③ ；④A． 分析如下： ， 为等边三角形； ， 又 ，故 ， 由两点之间线段最短可知，当 在同一条直线上时， 取最小值， 最小值为 ，此时的P 点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知 ， ， ， ； ， 58 / 58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 三个顶点中，顶点A 到另外两个顶点的距离和最小． 又 已知当 有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③ ；④A． （2）将 绕点C 顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由（1）可知当 在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ， ， ， 又 ， ， 由旋转性质可知： ， ， 最小值为5．
