上海六年级上册数学压轴题解题技巧_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027《上海数学•压轴题解题技巧与几何模型训练》6-9年级上册_2027《上海6上数学•压轴题解题技巧与几何模型训练》

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上海六年级上册数学压轴题解题技巧
及常考几何模型
【绝对值有关的化简问题】题型概述.......................................................................... 3
题型一、利用数轴信息化简绝对值....................................................................................................................... 3
题型二、非负性化简绝对值................................................................................................................................... 3
题型三、求解绝对值方程....................................................................................................................................... 3
题型四、分类讨论化简绝对值............................................................................................................................... 3
题型五、借助绝对值几何意义求值化简............................................................................................................... 4
【数轴动点相关计算问题】题型概述.......................................................................... 5
题型一、数轴上单动点分类讨论问题................................................................................................................... 5
题型二、数轴上单动点规律探究问题................................................................................................................... 5
题型三、数轴动点中的定值求证问题................................................................................................................... 5
题型四、数轴双动点匀速运动问题....................................................................................................................... 5
题型五、数轴双动点变速运动问题....................................................................................................................... 6
题型六、数轴动点背景下的新定义题型............................................................................................................... 6
几何模型之——绝对值中的八类最值模型.................................................................6
模型提炼及规律总结..........................................................................................................................................................6
模型拓展及解题步骤..........................................................................................................................................................7
几何模型之——数轴中的九类动点模型.................................................................... 8
模型提炼及规律总结..........................................................................................................................................................8
模型拓展及解题步骤..........................................................................................................................................................8
模型1.动态规律（左右跳跃）模型....................................................................................................................... 8
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模型2.动态中点与n 等分点模型........................................................................................................................... 9
模型3.单（多）动点匀速模型............................................................................................................................... 9
模型4.单（多）动点变速模型............................................................................................................................... 9
模型5.动点往返运动模型..................................................................................................................................... 10
模型6.动态定值（无参型）模型....................................................................................................................................10
模型7.动态定值（含参型）模型......................................................................................................................... 10
模型8.数轴折叠（翻折）模型............................................................................................................................. 11
模型9.数轴上的线段移动模型............................................................................................................................. 11
几何模型之——线段的双（多）中点模型...............................................................11
模型提炼及证明................................................................................................................................................................12
几何模型之——双角平分线模型与角n 等分线模型................................................ 13
模型提炼及证明................................................................................................................................................................13
模型拓展及证明................................................................................................................................................................14
几何模型之——线段与角的等量代换模型与计数模型.............................................14
模型提炼及证明................................................................................................................................................................15
1）线段的等量代换............................................................................................................................................... 15
2）角度的等量代换............................................................................................................................................... 15
利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：............................................................................................. 15
3）线段的计数模型............................................................................................................................................... 16
4）角度的计数模型............................................................................................................................................... 16
模型拓展及证明................................................................................................................................................................17
1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型................................................................................................... 17
2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型........................................................................... 17
几何模型之——线段中的五类动态模型.................................................................. 18
模型拓展及解题步骤........................................................................................................................................................18
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【绝对值有关的化简问题】题型概述
绝对值相关题型是初中代数重难点，所有题型均围绕绝对值代数定义、零点分段、非负特性、数轴几何距离四
大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是
0
a 
恒成立，去绝对值必须先判定内部代数式正负，二是分类讨论需
覆盖全部零点区间，不重不漏
题型一、利用数轴信息化简绝对值
题型模版
1.题型特征：题干给出数轴图像，标注各字母对应点的位置、左右关系、距离原点远近，可直接判断字母正负、代
数式加减的正负性，要求去掉绝对值符号并化简整式。
2.解题技巧：先根据数轴位置判断绝对值内部式子的正负，右正左负、大数减小数为正、小数减大数为负；正数直
接去掉绝对值，负数去绝对值后整体变相反数，最后去括号、合并同类项，全程核对符号避免出错。
题型二、非负性化简绝对值
题型模版
1.题型特征：题干出现绝对值、平方、算术平方根两两或多个相加和为0 的形式，利用非负数性质求出字母取值，
再代入含绝对值的代数式进行化简求值。
2.解题技巧：依据初中非负性核心结论，若干个非负数相加为0，则每一项均为0；依次列方程求出所有字母的值，
代入目标式子后判断绝对值内正负，规范去绝对值化简，最终结果务必最简。
题型三、求解绝对值方程
题型模版
1.题型特征：方程中含有单层或多层绝对值结构，未知数包含在绝对值内部，需要通过绝对值性质求解未知数的值，
部分题目存在多解、无解情况。
2.解题技巧：先将绝对值整体单独分离在等式一侧，根据绝对值定义：正数的绝对值有正负两解，0 的绝对值仅有
一解，负数无实数解；分类列出方程求解，所有解必须代入原方程检验，舍去增根。
题型四、分类讨论化简绝对值
题型模版
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1.题型特征：题干未给出数轴、未限定字母取值范围，绝对值内含含未知数的多项式，无法直接判断正负，必须分
区间讨论才能去绝对值化简。
2.解题技巧：先令绝对值内部代数式等于0，求出零点分界值；依据零点划分所有取值区间，在每个区间内判定式
子正负，分段去绝对值化简，最后整合所有情况，做到分类不重不漏、结果完整。
题型五、借助绝对值几何意义求值化简
题型模版
1.题型特征：题干出现多个绝对值相加、求最值、求取值范围等复杂题型，常规代数化简计算量大，可利用数轴距
离的几何意义快速解题。
2.解题技巧：明确|x-a|表示数轴上点x 到点a 的距离，将绝对值代数式子转化为数轴上的距离问题；结合中点、区
间最值规律判断取值情况，直接求出式子最值或对应未知数取值，最后代数验证结果正确性。
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【数轴动点相关计算问题】题型概述
数轴动点问题是初中代数几何核心重难点，所有题型均围绕数轴点的位置表示、动点运动规律、线段距离计算、
动态数量关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是动点位置、距离公式必须带绝对值，位置不确定时必须
分类讨论，二是运动时间取值必须符合实际意义，时间不能为负数，所有动点结果、定值结论、参数取值最终均需
结合运动范围合规检验。
题型一、数轴上单动点分类讨论问题
题型模版
1.题型特征：题干仅有一个动点，未固定动点位置，涉及动点在定点左侧、右侧、两点之间等不确定情况，求解线
段长度、点的位置、对应参数值，多解题型居多。
2.解题技巧：先用含时间t 的代数式表示动点对应数，利用绝对值列式表示线段距离；根据动点位置分段分类讨论，
覆盖所有区间、不重不漏；求出结果后检验时间取值为非负数，剔除不符合运动范围的增根。
题型二、数轴上单动点规律探究问题
题型模版
1.题型特征：单动点按照固定步数、往返、左右交替的规律持续运动，给出前几次运动结果，要求推导第n 次运动
后的位置、对应数值、运动距离等结论。
2.解题技巧：依次列举前3–5 次动点运动后的数值，找出周期规律或等差、递推变化关系；归纳出含n 的通用代数
式，通过代入特殊值验证规律准确性，结合题意求解对应问题。
题型三、数轴动点中的定值求证问题
题型模版
1.题型特征：动点在数轴上持续运动，运动时间、位置不断变化，但题干要求证明某一线段和、差、倍数关系或代
数式的值为固定不变的常数，与时间t 无关。
2.解题技巧：设运动时间为t，表示出动点对应数，列式化简目标代数式；化简后若含t 项系数为0，即可证明结果
为定值；最后代入任意时刻数值验证定值成立，确保推导无误。
题型四、数轴双动点匀速运动问题
题型模版
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1.题型特征：数轴上两个动点同时运动，两点速度恒定不变，运动方向可同向、相向、反向，求解相遇时间、相距
距离、重合位置、定点时刻等问题。
2.解题技巧：分别用含t 式子表示两个动点位置，根据相遇、相距、重合等条件列方程；相遇问题利用路程和/路程
差列式，距离问题加绝对值，求解后检验时间t≥0，符合实际运动场景。
题型五、数轴双动点变速运动问题
题型模版
1.题型特征：两个动点运动过程中速度发生改变，存在分段运动（先快后慢、先匀速后变速、折返变速），运动过程
分多个阶段，题型综合性强。
2.解题技巧：根据速度变化节点划分运动时间段，分段写出每段速度与动点位置表达式；分阶段列方程求解，严格
区分各段时间范围，杜绝跨区间计算，最终汇总所有符合条件的解。
题型六、数轴动点背景下的新定义题型
题型模版
1.题型特征：结合数轴动点运动，题干自定义全新概念、新运算、新距离规则，依托动点位置、运动距离设置问题，
无法套用常规动点公式。
2.解题技巧：精准读懂新定义规则，将陌生定义转化为常规数轴位置、距离运算；结合动点表达式代入新定义列式
计算，严格遵循题干规则，不主观套用旧结论，最终结果代入定义核验。
几何模型之——绝对值中的八类最值模型
最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的
最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类
讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划
分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。
模型提炼及规律总结
1.求
b
x
a
x



的最小值，即在数轴上找一点x，使x 到a 和b 的距离和的最小值。
结论：根据绝对值的几何意义知：
b
x
a
x



在
b
x
a


时，取得最小值为
b
a 
。
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另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
2.求
b
x
a
x



的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x 到a 和b 的距离差的取最大值或最小值：
结论：
b
x
a
x



在
a
x 
时，取得最小值为
b
a 

；在
b
x 
时，取得最大值
b
a 
。（几何意义）
3.
1
2
1
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a








的最小值模型
结论：找到上述式子中的零点，按从小到大排序（不妨假设
1
2
1
n
n
a
a
a
a




），借助数轴容易得到：
当n 奇数时，则x 取中间数（
2
1


n
a
x
）时
1
2
1
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a








取得最小值；
当n 偶数时，则x 取中间段（
1
2
2



n
n
a
x
a
）时
1
2
1
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a








取得最小值。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”。
4. a x
b

型或
2
ax
b

型最值模型
1）a x
b

：当a＞0 时，∵
0
x 
，∴
0
a x 
，即a x
b

取得最小值为b；
当a＜0 时，∵
0
x 
，∴
0
a x 
，即a x
b

取得最大值为b。
2）
2
ax
b

：当a＞0 时，∵
2
0
x 
，∴
2
0
ax 
，即
2
ax
b

取得最小值为b；
当a＜0 时，∵
2
0
x 
，∴
2
0
ax 
，即
2
ax
b

取得最大值为b。
模型拓展及解题步骤
5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1 步：将x 平铺展开；第2 步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、
5、5、5、5、5 共15 个零点；第3 步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4 时，有最小值，带入x=4，
最小值为15。
②x 系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1 步：x 的系数不为1，所以首先第一步想办法把x 的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分
配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2 步：进入①中的三个步骤即可。这时，x 的系数已经变成了1，我们就可以展开，然后利用“奇中点，偶中段”
来求了。解得当x=-1 时取得最小值，最小值为6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
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几何模型之——数轴中的九类动点模型
数轴中的动点问题属于七年级上册必考的压轴题型，主要是以数轴作为载体，运用分类讨论的方法和数形结合
的做题思维，综合考查学生对数轴上的动点问题的分析与判断能力，从而掌握数形结合的基本思维；在做题时，需
要我们掌握点移动的表示方法，例如左移减，右移加；然后针对含时间t 的动点问题，学会用t 表示距离和动点，
最后根据题意列出等量关系，求解即可得到答案（要考虑求出来的t 值是否符合动点的运动时间范围）。
模型提炼及规律总结
①若A、B 两点在数轴上对应的数字是a、b，则AB 两点间的距离AB
a
b


；AB 中点对应的数字是：
2
a
b

。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：常用含t 的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q 的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q 两数差的绝对值表示PQ 两
点距离，从而避免复杂分类讨论。
模型拓展及解题步骤
模型1.动态规律（左右跳跃）模型
.
【解题技巧】运动规律性：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。
.
代数表达：动点位置需用含时间变量t 的代数式表示。
.
例如，第n 次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k 为步长基数，符号由移动方向决定。
.
分类讨论：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。
常见模型（1）：“1 左1 右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；
常见模型（2）：“2 左2 右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
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模型2.动态中点与n 等分点模型
【解题技巧】
1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A 和B 在时间t 的
位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：



2
A
B
x
t
x
t
M t


。
该公式适用于任意时刻动态中点计算。
2）动态n 等分模型：将线段AB 分为n 等份时，第k 个等分点的坐标为：
(
)
k
A
B
A
k
P
x
x
x
n



。
若A 和B 为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。
模型3.单（多）动点匀速模型
【解题技巧】
模型（1）:动点P 从点A（点A 在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v 个单位的速度向右移动，t 秒后，到达B 点，
B 点对应的数是：a+vt。
模型（2）:动点P 从点A（点A 在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v 个单位的速度向左移动，t 秒后，到达C 点，
C 点对应的数是：a-vt。
模型4.单（多）动点变速模型
【解题技巧】
单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。
例如：动点先以速度v1 运动t1 秒，再以速度v2 反向运动t2 秒。
其位置表达式：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。
上式中为x0 初始位置，x(t)为t 时刻的位置。
多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。
动态关系式：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L 列方程。
上式中xP(t)为动点P 在t 时刻的位置；xQ(t)为动点Q 在t 时刻的位置。
数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分
运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时
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或重复解。
模型5.动点往返运动模型
【解题技巧】
.
数轴上动点往返运动的位置计算需结合方向变化、分段累加和代数建模。
.
注意事项：
.
1）时间范围验证：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。
.
2）多解可能性：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。
3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注方向符号处理和分段累加规则。
模型6.动态定值（无参型）模型
【解题技巧】
数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过
代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始
位置、运动规则或几何关系推导定值。
1）解题策略与步骤：
步骤1：用代数式表示动点位置，例如动点A 从x0​
出发，以速度v 移动，则t 秒后位置为x0+vt。
步骤2：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。
步骤3：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。
2）常见定值类型：
线段长度定值：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。
代数式定值：如∣xA−xB∣±kxC 的值为固定常数。
位置关系定值：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。
模型7.动态定值（含参型）模型
【解题技巧】
数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代
数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。
线段和差定值：如PA+PB 或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。
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代数式定值：如kxA+mxB 的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。
速度参数：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。
比例参数：如线段比例AC
k
BC 
或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。
通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多
解可能性。
模型8.数轴折叠（翻折）模型
【解题技巧】
数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。
1）若折叠后点a 与点b 重合，则折痕对应的点m 为两点的中点，满足：
2
a
b
m


或b=2m−a
2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。
3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。
模型9.数轴上的线段移动模型
【解题技巧】
数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等
核心问题。
线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程
中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如
平移速度对称时，两动线段差为定值）。
几何模型之——线段的双（多）中点模型
关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，
首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。
一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口
算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
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模型提炼及证明
1）线段的双中点模型
条件：点M、N 分别为线段AB、BC 的中点，结论：
1
2
MN
AC

.
证明：①当点B 在线段AC 上，如图1，
图1
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
1
2
BM
AB

（中点定义）；
1
2
BN
BC

（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴


1
1
1
1
2
2
2
2
MN
AB
BC
AB
BC
AC





；
②当点B 在线段AC 的延长线上，如图2，
图2
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
1
2
BM
AB

（中点定义）；
1
2
BN
BC

（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴


1
1
1
1
2
2
2
2
MN
AB
BC
AB
BC
AC





；
③当点B 在线段CA 的延长线上
图3
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
1
2
BM
AB

（中点定义）；
1
2
BN
BC

（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴


1
1
1
1
2
2
2
2
MN
BC
AB
BC
BA
AC





；
2）线段的多中点模型
条件：如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段
2
MN
a

，第1 次操作：分别取线段AM
和AN 的中点
1
M 、
1
N ﹔第2 次操作：分别取线段
1
AM 和
1
AN 的中点
2
M ，
2
N ﹔第3 次操作：分别取线段
2
AM 和
2
AN
的中点
3
M ，
3
N ；…连续这样操作n 次，结论：
1
1
2
n
n
n
M N
a






．
证明：∵
1
M 、
1
N 是AM 和AN 的中点，∴
1
1
2
AM
AM

，
1
1
2
AN
AN

，
∴
1
1
1
1
1
2
2
2
M N
AM
AN
MN
a




，∵
2
M 、
2
N 是
1
AM 和
1
AN 的中点，
∴
2
1
1
2
AM
AM

，
2
1
1
2
AN
AN

，∴
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
M N
AM
AN
M N
a




，
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∵
3
M ，
3
N 是
2
AM 和
2
AN 的中点，∴
3
2
1
2
AM
AM

，
3
2
1
2
AN
AN

，
∴
2
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
4
2
M N
AM
AN
M N
a
a









，……发现规律：
1
1
2
n
n
n
M N
a






，
几何模型之——双角平分线模型与角n 等分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思
路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来
解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握
了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总
之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型提炼及证明
图1
图2
图3
图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：
1
2
DOE
AOC



。
证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
1
2
DOB
AOB



，
1
2
BOE
BOC



，
∴
1
1
1
2
2
2
DOB
BOE
AOB
BOC
AOC








，∴
1
2
DOE
AOC



。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：
1
2
DOE
AOC



。
证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
1
2
DOB
AOB



，
1
2
BOE
BOC



，
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∴
1
1
1
2
2
2
BOE
DOB
BOC
AOB
AOC








，∴
1
2
DOE
AOC



。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1 平分∠AOC、OP2 平分∠BOC；
结论：
1
2
1
180
2
POP
AOB





。
证明：∵OP1 平分∠AOC、OP2 平分∠BOC，∴
1
1
2
POC
AOC



，
2
1
2
P OC
BOC



，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴


1
2
1
2
1
1
1
1
180
2
2
2
2
POP
POC
P OC
AOC
BOC
AOC
BOC
AOB













。
模型拓展及证明
1）角n 等分线模型
条件：如图，
1
1
,
AOB
OA
OB



、
分别是
AOM

和
MOB

的平分线，
2
2
OA
OB
、
分别是
1AOM

和
1
MOB

的平分线，
3
3
OA
OB
、
分别是
2
A OM

和
2
MOB

的平分线，…，
,
n
n
OA OB 分别是
1
n
A
OM


和
1
n
MOB 

的平分线；结论：．
证明：
AOB




，
1
OA 、
1
OB 分别是
AOM

和
MOB

的平分线，
1
1
1
1
,
2
2
AOM
AOM
B OM
BOM






，
1
1
1
1
1
(
)
2
2
2
AOB
AOM
BOM
AOB








，
2
OA

、
2
OB 分别是
1AOM

和
1
MOB

的平分线，
2
1
2
1
1
1
,
2
2
A OM
AOM
B OM
B OM






，
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
2
A OB
A OM
B OM
A OB
AOB











，
3
OA

、
3
OB 分别是
2
A OM

和
2
MOB

的平分线，
3
2
3
2
1
1
,
2
2
A OM
A OM
B OM
B OM






，
3
3
2
2
2
2
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
A OB
A OM
B OM
A OB
A OB
AOB















，…，
由此规律得：
= 2
n
n
n
A OB


。
几何模型之——线段与角的等量代换模型与计数模型
等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解
决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优
点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行
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记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问
题等。
模型提炼及证明
1）线段的等量代换
图1
图2
条件：如图，已知：EG=HF；
结论：EH=GF.
证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF.
2）角度的等量代换
（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：
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①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。
3）线段的计数模型
如果线段上有n 个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？
我们先取n=5 进行研究，如下图：
结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以A 为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4 条；
②以B 为端点的线段有：BC、BD、BE，有3 条；③以C 为端点的线段有：CD、CE，有2 条；
④以D 为端点的线段有：DE，有1 条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条）
注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n 个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1= 

1
2
n n 
（条）
4）角度的计数模型
若过点O 作了有n 条射线，那么该图形中共有多少个角？
我们先取n=5 进行研究，如下图：
结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以OA 为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4 个；
②以OB 为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3 个；
③以OC 为角的一边有：∠COD、∠COE，有2 个；
④以OD 为角的一边有：∠DOE，有1 个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个）
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注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n 条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1= 

1
2
n n 
（个）。
模型拓展及证明
1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型
n 条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？
直线的条数
最多交点个数
平面最多分成部分数
1
0
1+1=2
2
1
1+1+2=4
3
1+2=3
1+1+2+3=7
4
1+2+3=6
1+1+2+3+4=11
...
...
...
n


1
2
n n 


1
1
2
n n 

2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型
从n 边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n 边形共有多少条对角线
呢？
结论：从n 边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；
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n 边形共有

3
2
n n 
对角线。
证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，
可知，从n 边形的每个顶点出发有

3
n 
条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形
∵n 边形有n 个顶点，∴共有n

3
n 
条对角线
又∵能形成对角线的两个点之间只算1 条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ 复计算了一次），
∴n 边形有

3
2
n n
条对角线．
几何模型之——线段中的五类动态模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所
学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（中点与和差倍分模型、定值模型、存在性模型、分类讨论模
型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型拓展及解题步骤
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未
知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t 表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解；
4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。