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专题16 圆拓展之公式、定理、模型问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、秦九韶与海伦公式
题型二、相交弦定理（含相似）
题型三、（切）割弦定理（含相似）
题型四、弦切角定理（含相似）
题型五、托勒密定理（含相似）
题型六、婆罗摩笈多定理
题型七、阿基米德折弦定理
题型八、欧拉公式与西姆松定理（含相似）
题型九、米勒定理（含相似）
题型十、最小覆盖圆模型
注：部分圆定理内容包含相似内容，适合先学相似的学生使用
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型编号
题型名称
知识点
易错点
题型一
秦九韶与海伦公式
1.秦九韶三斜求积术：已
知三角形三边长，可通过
三边平方的组合运算开
方得到任意三角形的面
积；2.海伦公式：先计算
三角形三边和的一半（半
周长），三角形面积等于
半周长乘以半周长分别
减去三边所得三个乘积
的算术平方根，适用于任
意三角形，和秦九韶公式
本质等价
1.计算过程中平方、乘积
运算出错，忽略根号下结
果必须为非负数；2.混淆
两个公式的结构，记忆错
误；3.不会灵活在两个公
式间转换
题型二
相交弦定理
圆内两条相交弦，被交点
分成的两条线段长度的
乘积相等，可通过同弧所
对圆周角相等得三角形
相似推导定理
1.忽略“圆内相交”的前
提，弦延长到圆外相交时
错误套用结论；2.利用相
似推导时找错对应边，颠
倒写错乘积关系
目 录
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题型三
（切）割弦定理
从圆外一点引圆的两条
割线，该点到每条割线与
圆两个交点的距离的乘
积相等；若其中一条为切
线，则切线长度的平方等
于割线两个交点距离的
乘积，是切线长定理的推
广，可由相似三角形推导
1.记错乘积关系，错误将
不同割线的线段相乘；2.
混淆割线定理和切线长
定理，忽略切线特殊情况
的结论，记错切线结论中
的平方关系
题型四
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧
对应的圆周角，可用来证
明角相等，结合相似三角
形得到线段比例关系
1.找错弦切角所夹的弧，
错误对应相等的角，导致
后续相似推导错误；2.
忽略弦切角一边是切线
的前提，非切线情况下错
误套用结论
题型五
托勒密定理
圆内接凸四边形，两组对
边乘积的和等于两条对
角线的乘积；逆定理可用
来判定四点共圆，可通过
相似三角形推导定理
1.记错结论，漏写“对边
乘积的和”，错误记为对
边乘积等于对角线乘积；
2.忽略“圆内接四边形”
的前提，给任意四边形错
误套用结论
题型六
婆罗摩笈多定理
1.几何性质：若圆内接四
边形的对角线互相垂直，
则过对角线交点作任意
一边的垂线，垂线必然平
分该边的对边；2.面积公
式：圆内接四边形的面积
等于半周长乘以半周长
分别减四条边长所得乘
积的算术平方根
1.忽略“圆内接四边形、
对角线互相垂直”两个前
提，给任意四边形直接套
用性质结论；2.混淆海伦
公式和婆罗摩笈多四边
形面积公式，记错公式结
构
题型七
阿基米德折弦定理
圆中从同一点出发的两
条不共线弦构成折弦，折
弦所对两段弧的弧中点，
向较长的折弦作垂线，垂
足平分折弦的总长度
1.混淆优弧中点和劣弧
中点，找错弧中点导致结
论用错；2.分不清折弦的
边，记错垂足位置，错误
使用结论
题型八
欧拉公式与西姆松定理
1.三角形欧拉公式：三角
形外接圆圆心与内切圆
圆心的距离的平方，等于
外接圆半径的平方减去
两倍外接圆半径乘以内
切圆半径；2.西姆松定
理：过三角形外接圆上异
于顶点的任意一点作三
边所在直线的垂线，三个
1.记错欧拉公式的系数
与符号，容易漏掉“两倍”
关系；2.忽略西姆松定理
“点在外接圆上”的前提，
给圆内圆外的点错误套
用共线结论；3.垂足落在
边的延长线上时，错误认
为不满足共线结论
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垂足共线（该线称为西姆
松线），常结合相似证明
共线与比例
题型九
米勒定理
米勒定理（最大视角定
理）：两个定点在已知直
线的同侧，在直线上找一
点使得对两个定点的张
角最大，该点就是过两个
定点且与已知直线相切
的圆的切点，常用于解决
最大张角类最值问题
1.忽略“两个定点在直线
同侧”的前提，异侧情况
错误套用结论；2.找错切
点位置，相似推导比例关
系时对应边找错，导致最
大张角判断错误
题型十
最小覆盖圆模型
能完全覆盖给定图形的
所有圆中，半径最小的圆
就是该图形的最小覆盖
圆：锐角三角形的最小覆
盖圆是其外接圆，直角三
角形和钝角三角形的最
小覆盖圆是以最长边为
直径的圆；多个点的最小
覆盖圆一定至少经过两
个点
1.错误认为所有三角形
的最小覆盖圆都是外接
圆，钝角三角形错把外接
圆当成最小覆盖圆；2.
给多个点构造最小覆盖
圆时，漏找共圆的点，得
到的不是半径最小的圆
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、秦九韶与海伦公式
典例1 已知任意三角形的三边长．如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书
中，给出了计算公式
①，并给出了证明．其中
是三角形的三边长，
，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约
约
），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
②．后人经过对公式②
进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式．所以我们也称①为海伦—秦九韶公式．请
根据上述公式，解答下列问题：
(1)若有三个三角形，它们的三边长分别为
；
；
，求其中非直角三角形的面积：（利用公式
①求解）
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(2)若一个三角形的三边长分别为
，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
变式1-1 我国著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可
以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c 为三角形三边，S 为面积，则
①．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一
个公式，若设
（周长的一半），则
②
（1）这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，12，13 为三边构成的三角形，分别验证它们的面积
值；
（2）三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证
明如下这个公式：如图，△ABC 的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记
，S 为三角
形面积，则S＝pr．
变式1-2 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的
三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设
为三角形三边，
为面积，则
，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有
一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设
（周长的一半），则
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（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以
为三边构成的三角形，分别验证它们的
面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从
或者
）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公
式．请你证明如下这个公式：如图，
的内切圆半径为，三角形三边长为
，仍记
，
为三角形面积，则
．
变式1-3 已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
（其中a，b，c 是三角形的三边长，p
，S 为三角形的面积），并给出
了证明
例如：在△ABC 中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p
6
∴S
6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九
韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC 中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC 的面积；
（2）求△ABC 的内切圆半径r．
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类型二、相交弦定理（含相似）
典例2 阅读与思考：
小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等），方框内容是
书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成以下任务：
已知：如图1，
的两弦
，
相交于点
．
求证：
．
证明：如图，连结
，
．
……
(1)请将相交弦定理证明过程补充完整．
(2)小明又看到一道课后习题：如图2，
是
的弦，是
上一点，若
，
，
，
求
的半径．请运用相交弦定理求解．
变式2-1 阅读与思考
小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书
上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成相应的任务．
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圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：
如图，
的两弦
，
相交于点P．
求证：
．
证明：如图，连结
，
．
……
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
(2)小明又看到一道课后习题：如图，
是
的弦，P 是
上一点，
，
，
，
求
的半径．请运用相交弦定理求解．
变式2-2 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦
，
交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知
是
的直径，
与弦
交于点P，且
于点P，过D 作
的切线，交
的延长线于E，D 为切点，若
，
的半径为5，求
的长．
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变式2-3 阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内
的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的
任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，
的两条弦
，
相交于点P．
求证：
．
证明：如图1，连结
，
．
∵
① ，
② ，
∴
，
∴
③
∴
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整：
①____________，②____________，③____________；
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB 是
的弦，P 是AB 上的一点，
，
，
，求
的半径．
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题型三、（切）割弦定理（含相似）
典例3 阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
圆幂定理
圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定
理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
如图1，
为
外一点，
与
相切于点A，
为
上一点（点
不与点A 重合），
线段
与
相交于点
（点
不与
重合），则
．
部分证明过程如下：如图2，连接
．
∵
与
相切于点
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
（依据1）．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
（依据2），
∴
．
∵
，
…
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任务：
(1)材料中的依据1 是指_________，依据2 是指_________．
(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．
(3)如图3，
与半径为6的
相切于点
，
交
交于点
，割线
交
于点
和
，若
，
，则
_________．
变式3-1 我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示
了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
下面我们尝试证明切割线定理．
已知：如图1，
是
外一点，
与
相切于点
，
交
于点
，
（即
是
的割线），连
接
，
．
求证：𝑃𝐴2 = 𝑃𝐶• 𝑃𝐵．
证明：如图2，连接
并延长，交
于点
，连接
．
与
相切于点
，
.
，
是
的直径，
……
(1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(2)图2 中，若
，
，求
的长．
变式3-2【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一
点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点
为
外一点，
与
相切于点
，割线
与圆相交于
两点，求
证：
（提示：连结
，并延长
交
于点
，连结
）．
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【解决问题】
（2）如图②，
是
的切线，连结
交
于点
的半径为．若
，
求的值．
变式3-3 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中
项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
如图1，
是
外一点，
切
于点
，
交
于点
（即
是
的割线），则
．
下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接
并延长，交
于点
，连接
．
切
于点
，
．
．
是
的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程；
(2)在图1 中，已知
，
，则
______，
______．
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题型四、弦切角定理（含相似）
典例4 阅读材料，完成任务
一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000 多年 前，由我国的墨子给出
圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几
里得给圆下的定义要早100 年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一
边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
证明：如图①，
与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦
上时，容易得到
，所以弦切角
的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，
与
相切于点A， 当圆心O 在
的内部时，过点 A 作直径
交
于点D，在弧
上任取一点E，连接
，
，
， 则
．( 依 据)
是
的直径，则
是
的切线，则
所以，
， 即
所以弦切角
的度数等于它所夹弧所对圆周角
的度数．
【任务】
(1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________
②请完成如图③ ，
与
相切于点A．当圆心O 在
的外部时，弦切角定理的证明过程．
(2)如下图，在△ABC 中 ，
，以
为直径的
交
于 点E， 过点B 作
的切线交
的
延长线于点D，直 接 写 出
与
的数量关系：_______________．
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变式4-1 阅读与思考
圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一
切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”
为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000 多年
前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，
弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
（顶
点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线
与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角
就是一个弦切角．
如图，直线
与
相切于点
，任取
上不与点
重合的点
，则
和
是
弦
与切线
所成的弦切角．
下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
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证明：如图1，
与
相切于点
．当圆心
在弦
上时，容易得到，
，
所以弦切角
．
如图2，
与
相切于点
．当圆心
在
的外部时，过点
作直径
交
于
点
，连接DF．
是直径，
，（__________）
……
请你认真阅读以上内容，完成下列任务：
任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________；
任务二：请结合图2 补全上述证明过程；
任务三：如图3，
是
的直径，点C 在
上，延长
至D 使得
，过点C 作
的切线交
于H．若
，
，则
的半径为__________．
变式4-2 请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与
圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，
切点为弦切角的顶点）．如图1 中
即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦
经过圆心
，且
切
于点
时，易证：弦切角
．
②如图
．当点
是优弧
上任意一点，
切
于点
．求证：弦切角
．
证明：连接
并延长交
于点
，连接
，如图2 所示．
与
相切于点
，
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▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又
▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，
的顶点
在
上，
和
相交于点
，且
是
的切线，切点为
，连接
．若
，求
的长；
②如图4，
，以
为直径的
交
于点
，过点
作
的切线，交
的延长线于点
．试猜想
与
的数量关系，并证明你的猜想．
变式4-3 阅读与思考
请阅读下面的材料，并完成相应的任务
弦切角定理
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000 多年前，由我国的墨子给出圆的概念：
“一中同长也．”意思是，
圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100 年．与圆
有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
已知：
是
的弦，
是
的切线，
为切点．
求证：弦切角
的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
证明：分三种情况，
①如图（1），当圆心
在弦
上时，
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与
相切于点
，
．
在
上任取一点
，连接
，
，则
（依据1），
．
②如图（2），当圆心
在
的内部时，过点
作直径
交
于点
，在
上任取一点
，连接
，
，
，则
（依据2）．
为
的直径，
．
与
相切于点A，
，
，即
．
③如图（3），当圆心
在
的外部时，
……
任务：
(1)填空：材料中的依据1 是指________，依据2 是指________
(2)请完成图（3）的剩余证明过程．
(3)如图（4），
是
的切线，
为
的直径，连接
交
于点
．若
，
，
的
半径为5，则
的长为________．
题型五、托勒密定理（含相似）
典例5 阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
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已知：如图①四边形
是
的内接四边形
求证：
证明：以C 顶点，
为一边作
交
于点E，使得
又∵
∴
∴
∴
，
又
，
∴
∴
∴
，
∴
∴
∴ 即
任务：
(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；
(2)当圆内接四边形
是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
(3)如图②若
，试探究线段
之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结
论．
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变式5-1 请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90 年168 年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，
地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图1，四边形
内接于
，求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作
，交
于点E．∵
，∴
（依据1），∴
（依据2），∴
，∴
，∵
，∴
，∵
，∴
，即
，…
任务：
(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______；
(2)请完成后续证明；
(3)如图2，以
为直径的
中，点C 为
上一点，且
，
的角平分线交
于点D，
连接
，若
，求
的长．
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变式5-2 阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．
托勒密定理
希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学
书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对
边乘积之和（图1），
即
．
证明如下：
如图2，在
上取一点
，连接
，使
．
又
（理由：___▲___），
，
，
①．……，
②．
由①
②，得
，
即
．
启发：如图3，
内接正五边形
的边长为1，求对角线
的长．
任务：
(1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____；
(2)将“……”处的证明过程补充完整；
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(3)材料“启发”中，对角线
的长为_____．
变式5-3 请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯・托勒密（
，约90 年-168 年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天
文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（
）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形
内接于
，求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作
，交
于点
.
，
（依据1），
（依据2），
，
，
.
，
，即
，
，
，
．
任务：
(1)托勒密定理的逆命题是______；
上述证明过程中的“依据1”为______；
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“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形
是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以
为直径的
中，点
为
上一点，且
，
的角平分线交
于点
，
连接
，
，若
，求
的长．
题型六、婆罗摩笈多定理
典例6 阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定
理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
变式6-1 阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
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已知：如图（1），四边形
内接于
，对角线
于点
，
于点
，延长
交
于点
．
求证：
．
证明：
，
，
，
，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知
中，
，
，
，
分别交
于点
，，连接
，
交于点
．过点
作
，分别交
，
于点
，
．若
，求
的长．
变式6-2 阅读与思考：
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（
）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、
零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，
该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，
如图，四边形
内接于
，对角线
，垂足为点M，直线
，垂足
为点E，并且交直线
于点F，则
．
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，证明：
，
，
，
，
，
．
，
∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）．
又∵
，
．
．
…
任务：
(1)材料中横线部分缺少的内容为：______；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形
内接于
，对角线
，垂足为点M，直线
交
于点E，交
于点F．若
，则
．请证明该命题．
变式6-3 阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了
《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆
内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
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任务：
（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________
求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在
中，弦
于M，连接
分别是
上的点，
于
于H，当M 是
中点时，直接写出四边形
是怎样的特殊四边形：__________．
题型七、阿基米德折弦定理
典例7 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（公元前287 年一公元前212 年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力
学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世
界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973 年一1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据Al-Binmi
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译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），
，M 是
的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即
．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明
，过程如下：
证明：如图2 所示，在CB 上截取
，连接MA，MB，MC 和MG．
∵M 是
的中点，∴
，
任务：
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边
内接于⊙O，
，D 为
上一点，
，
于点E，请直接
写出
的周长．
变式7-1 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
阿基米德折弦定理从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，
如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若
，
是
的折弦．是
的中点，
于点
，则
．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．
证明如下：如图2，在
上截取
，连接
，
，
，
．
则
（依据1）．
∵
是
的中点，∴
，
∴
．
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在
和
中，
∴
，∴
．
∵
于点
，∴
（依据2）．
∴
．
任务：
(1)填空：材料中的依据1 是指________________；依据2 是指________________．
(2)如图3，
是
的直径，
是
上一点，且满足
，若
，
的半径为10，求
的长．
变式7-2 阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10 余种，下面是《阿基米德全
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集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，
是
的弦，点C 在
上，
于点D，在弦
上取一点E，使
，
点F 是
上的一点，且
连接
，则
．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接
，
于点D，
．
，
（依据1），
．
∵四边形
内接于
，
．（依据2）
……
(1)上述证明过程中的依据1 为____________________，依据2 为____________________；
(2)将上述证明过程补充完整．
变式7-3 请阅读下面材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes 公元前287—公元前212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Birni（973 年—1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据AI-Biruni
译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是
的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），
，M 是弧
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ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即
．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明
的部分证明过程．
证明：如图2，在CD 上截取
，连接MA，MB，MC 和MG．
∵M 是弧ABC 的中点，
…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC 内接于
，D 为弧AC 上一点，
，
于点E，
，
连接AD，则△DAB 的周长是___________．
题型八、欧拉公式与西姆松定理（含相似）
典例8 瑞士数学家菜昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是18 世纪数学界最杰出的人物之一．欧拉于1765 年
在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直
线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线．
【定理证明】
已知：如图所示，在△ABC 中，点G，O，H 分别是△ABC 的重心、外心、垂心．
求证：G，O，H 三点共线．
证明：作△ABC 的外接圆，连接OB，并延长BO 交外接圆于点D；作中线AM；连接AD，CD，AH，CH，
OH，OM；设AM 交OH 于点G′．
…
（1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明．
【基础运用】
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（2）在【定理证明】的基础上，判断OH 与OG 的数量关系，并说明理由．
【能力提升】
（3）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3，
），请直接写出△ABC
的欧拉线的函数解析式．
变式8-1 阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，
下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内
心，则
.
如图1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与AB 相切分于点F，设⊙O 的半径为R，⊙I 的半
径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，
则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI 交⊙O 于点D，过点I 作⊙O 的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴
，
∴
①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I 与AB 相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
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∴
，∴
②，
任务：(1)观察发现：
，
(用含R，d 的代数式表示)；
(2)请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.
变式8-2 阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已
知
内接于⊙O，点P 在⊙O 上（不与点A、B、C 重合），过点P 分别作AB，BC，AC 的垂线，垂足分
别为D，E，F 求证：点D，E，F 在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC 的中点Q，连接QE，QF，
则
（依据1），
∴E，F，P，C 四点共圆．
∴
（依据2）．
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又∵
，
∴
．
∵
，
∴B，D，P，E 四点共圆．
∴
（依据3）．
∵
，
∴
（依据4）．
∴点D，E，F 在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1 指的是中点的定义及______；
②依据2 指的是______；
③依据3 指的是______；
④依据4 指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P 是
的中点时，
．请你利用图2 证明该结论的正确性．
变式8-3 阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知
内接于
，点P 在
上（不与点A，B，C 重合），过点P 分别作
，
，
的垂线，垂足分别为．点D，E，F 求证：点D，E，F 在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
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如图（1），连接
，
，
，
，取
的中点Q，连接
，
，则
，
（依据1）
∴点E，F，P，C 四点共圆，∴
．（依据2）
又∵
，
∴
．
同上可得点B，D，P，E 四点共圆，
……
任务：
(1)填空：
①依据1 指的是中点的定义及________；
②依据2 指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．
(3)善于思考的小虎发现当点P 是
的中点时，
，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
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题型九、米勒定理（含相似）
典例9 阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（
）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角
学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，
与
相切于点A，
与
相交于点B，C．
求证：
．
证明：如图2，连接
．
∵
为
的切线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
……
任务：
(1)请完成剩余的证明过程
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(2)应用：如图3，
是
的切线，
经过
的圆心O，且
，割线
交
于点D，E，
，求
的长．
变式9-1【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471 年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂
的杆
，在地面（直线l）上的哪个点P 能让杆
看起来最长（也就是
最大）．这个最大视角问题
是数学史上100 个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作
过点A，
B 且与直线l 相切于点C，当点P 异于点C 时，容易证明
，所以当点P 与点C 重合时，
最大，也就是说，当
的外接圆与l 相切时，
最大．
【解决问题】
(1)请完成材料中
的证明；
(2)材料中的最大视角问题，设
，点B 到直线l 的距离为b，当
最大时，点P 到
所在直线的
距离是多少？（用含a，b 的代数式表示）
(3)如图③，E 是射线
上的一点，
，
，C 是
的中点．把
绕点C 顺时针旋转
得到
，连接
．求当
最大时，
的长．
变式9-21471 年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3 米，立在一个底座上，底座
的高BC＝2.2 米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7 米，问此人应站在离雕塑
底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水
平视线EF 上求使视角最大的点，如图：过A、B 两点，作一圆与EF 相切于点M，你能说明点M 为所求的
点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？
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变式9-3 自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一．
情境一：爱思考的小苏利用
“
”探究一些数学模型，以下是他和
之间的部分聊天记
录：
我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？
已思考（用时10 秒）
好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤
其在处理“最大张角”问题时非常有用．
一、米勒圆模型的概念
1．核心问题（生活场景）：
假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点
和点
，你站在海岸线的哪个
位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即
最大？
这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”．
2．数学模型与结论：
米勒圆模型给出了这个问题的几何解答：
已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点
、
．
问题：在直线上找一点
，使得
最大．
结论：
1．作圆：过点
、
作一个与直线相切的圆．
2．切点即为所求：这个圆与直线的切点
，就是使得
最大的点．
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3．理论依据：在直线上，点
位于由
、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆”
上，
根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处
的视角是最大的．
3．米勒圆的方程（拓展理解）：
在平面直角坐标系中，对于两个定点
,
和
,
，到这两点张角为定值
（例如
的动点
的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点
、
的米勒圆或等角圆．
二、经典例子与应用
我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型．
例题：
在平面直角坐标系中，点
，点
，点
是
轴上的一个动点，
（1）当
时，求点
的坐标．
（2）在
轴上找一点
，使得
最大．
求使得
最大的点
．
根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过
、两点且与
轴相切的圆，其切点即为所求．
1．设圆心坐标：
由于圆过
和
两点，根据圆的对称性，圆心
必在线段
的垂直平分线上．
的垂直平分线为：
．
设圆心
的坐标为
，半径为．
2．建立方程：
因为圆与
轴相切，所以圆心到
轴的距离等于半径，即
．
又因为圆经过点
，所以
．
（2）
因此有方程：
．
这个方程无解
不成立），说明在
轴上方或下方找不到这样的圆．
情境二：如图1，在正方形
中，
为线段
上一点，作
交
于
点，细心的小苏发现
的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据
，
，
的相等关系展开了研究．
请根据以上情境，完成下列问题清单：
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(1)接着情境二的图1，若
，试求
的最大值；
(2)接着情境一，如图2，在正方形
中，
是
上一点，连接
，
，当
取得最大值时，
直接写出
的值．
(3)数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形
中，
，
，且
，
，
．
是支架，
．
是在轨道
上的移动点，点光源
在线段
的中
间，且射出的光与
垂直，打在支架
的点
处．随着
点的运动，试求解或证明：
Ⅰ．Ⅰ点是三角形
的外心．
Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长．
题型十、最小覆盖圆模型
典例10 数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆
盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
(1)线段的最小覆盖圆
线段
的覆盖圆有无数个，其中，以
为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段
的最小覆盖圆一定经过点
、点
．如图①，以
为直径作
，再过
、
两
点作
（
与
不重合），连接
，
．在
中，有
（______▲______）．
，即
的直径大于
的直径
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是线段
的最小覆盖圆，“▲”处应填写的推理依据为____________．
(2)直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为（1）中线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定
直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的
最小覆盖圆，如图②，在
中，
．
是以
为直径的圆，请你判断点
与
的位
置关系，并说明理由．
又由（1）可知，
是Rt
最长边
的最小覆盖圆，所以，
是
的最小覆盖圆．
(3)作矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形
中，用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形
的最小覆盖圆；（不写做法，保留
作图痕迹．）
变式10-1 在数学的学习过程中，小明积累了许多解决问题的策略，其中特殊化的策略尤为重要．特殊化指
的是当面对一个一般性问题时，可以先考虑其特殊情况（如特殊数值、特殊位置、特殊图形等），从中发现
规律、性质或解题思路，再将结论或方法推广到一般情况．下面数学活动小组将利用特殊化策略解决平面
图形的最小覆盖圆．
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的
覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
(1)【探究一】最简单的图形——线段的最小覆盖圆
线段
的覆盖圆有无数个，其中，以
为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段
的最小覆盖圆一定经过点
，点
．如图1，以
为直径作
，再过
，
两点
作
（
与
不重合），连结
，
．
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在
中，有
（▲）．
，
，即
的直径大于
的直径．
是线段
的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为_________________．
(2)【探究二】特殊的三角形——直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三
角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆
盖圆．
如图2，在
中，
，
是以
为直径的圆．请你判断点
与
的位置关系，并说明
理由．
(3)由【探究一】可知，
是
最长边
的最小覆盖圆，所以，
是
的最小覆盖圆．
【拓展应用】一般的图形——矩形的最小覆盖圆
如图3，在矩形
中，
，
．用无刻度的直尺在图3 中作出矩形
的最小覆盖圆
的圆心
；（不写作法，保留作图痕迹）
(4)该矩形
的最小覆盖圆的直径为_____
．
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变式10-2 综合与实践：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的
覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的
最小覆盖圆是以线段为直径的圆．
【探究】要确定三角形的最小覆盖圆，可以将其转化为线段的最小覆盖圆．比如直角三角形，先确定直角
三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小
覆盖圆．
(1)请用圆规和无刻度的直尺在图（1）中作出
的最小覆盖圆．
应用：如图（2），正方形
的边长为6，在边
上截取
，以
为边在
上方作正方形
．
(2)连接
，
，
经过
，，三点（
是
的最小覆盖圆），且与边
，
分别交于点
，
，求
的直径．
(3)将正方形
绕点
顺时针旋转，分别取
，
，
，
的中点
，
，
，
，顺次连接各
中点，得到四边形
（如图（3））．在旋转过程中，四边形
的最小覆盖圆的直径
的值是否发生
变化？如果不变，直接写出
的值；如果变化，直接写出
的取值范围．
变式10-3【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平
面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形
的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的
圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，
中，
，请作出
的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作
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法．）
【迁移运用】
正方形
的边长为7，在边
上截取
，以
为边向外作正方形
．
（1）如图2，连接
，求
的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2 中的正方形
绕点C 逆时针旋转
（如图3），
经过A，D，F 三点，且与边
分
别交于点I，L，求
的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形
绕点C 旋转，分别取
的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四
边形
（如图4）．在旋转过程中，四边形
的最小覆盖圆的直径d 的值是否发生变化？如果不变，
请直接写出d 的值；如果变化，请直接写出d 的取值范围．
