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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题13 圆的对称性与圆周角 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型三、利用垂径定理求值 题型四、利用圆周角定理求解 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 题型六、圆内接四边形的对角互补 题型七、垂径定理的应用 题型八、垂径定理的平行弦问题 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是圆的对称轴 2. 圆是中心对称图形，圆心是它 的对称中心，圆旋转任意角度都 能与自身重合 1. 误认为直径是圆的对称轴，混 淆“直径所在直线”与“直径”的概 念 2. 仅认为圆只有中心对称性质， 忽略圆旋转任意角度都重合的旋 转不变性 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，且平分弦所对的两条弧 2. 推论：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，且平分弦所对的 两条弧 1. 应用推论时忽略“弦不是直径” 的前提条件，错判平分直径的直 径一定垂直该直径 2. 漏算弦到圆心的距离多解情况 （平行弦分圆心同侧/异侧两种） 圆心角、弧、弦的关系 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等 2. 在同圆或等圆中，若两组圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，则对应的其余各组量都相 等 1. 忽略“同圆或等圆”前提，直接 由圆心角相等推弧、弦相等 2. 混淆弦相等推圆心角相等时， 未考虑弦对应优弧、劣弧两种情 况的圆心角 目 录 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 圆周角定理 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两 边都和圆相交的角 2. 圆周角定理：圆周角的度数等 于它所对弧上的圆心角度数的一 半 3. 推论1：同弧或等弧所对的圆 周角相等 4. 推论2：直径所对的圆周角是 直角；90°的圆周角所对的弦是直 径 1. 判断圆周角时遗漏“两边都和 圆相交”的条件，错把顶点在圆上 但一边不与圆相交的角认作圆周 角 2. 混淆“同弦所对的圆周角”和 “同弧所对的圆周角”，错认为同弦 所对的圆周角一定相等，忽略弦 对应两个不同圆周角（互补） 3. 使用90°圆周角推论时，忘记结 论是“所对弦是直径”，错写为弧是 直径 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补 1. 混淆圆内接四边形互补角，错 记为邻角互补 2. 忽略四点共圆的前提，直接应 用对角互补性质解题 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 典例1 如图， 中， 为直径，弦 ，若 的度数是 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 变式1-1 如图，在 中，以 为圆心， 为半径画 分别交 ， 于点 ，，若 ， 则 的度数为（ ） 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式1-2 如图，已知 ， 是 的两条直径，弦 ， 的度数为 ，则 的度数为______°． 变式1-3 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，交 于点 ，则 的度数为___________． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 典例2 如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ， ，若 ，则 的度数是（） A． B． C． D． 变式2-1 某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形 内接于 ， ．若 ， ，则 的半径是（ ） 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式2-2 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 是 的中点， ，则 的度数为________ ． 变式2-3 如图， 是 的直径，已知 ， ， ，则 的长为______． 题型三、利用垂径定理求值 典例3 如图，线段 是 的直径， 于点 ．若 ， ，则 的半径长为（ ） 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1 如下图所示， 为 上两点，且 ，弦 于D 点，则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 变式3-2 如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 _______． 变式3-3 如图， 的直径 弦 ，垂足为点 ， ，则 ______． 题型四、利用圆周角定理求解 典例4 如图，点 ， ， ， 在 上，四边形 是菱形，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-1 如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 变式4-2 如图， 是 的内接正三角形，点O 是圆心，点D，E 分别在边 上，若 ， 则 的度数是______度． 变式4-3 如图， 是 的外接圆，已知 ，则 的大小为________． 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 典例5 如图，四边形 中， ， ，则 的度数为（ ） 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式5-1 如图，四边形 内接于 ，已知 ， ，且 ，若点 为弧 的中点，连接 ，则 的大小是（ ） A． B． C． D． 变式5-2 如图， 是 的直径，点B，C 在 上，若 ，则 的度数为____________． 变式5-3 如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ，若 ， ________ ． 题型六、圆内接四边形的对角互补 典例6 如图， 中，若 ，那么 （ ） 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式6-1 如图，四边形 内接于 ，F 是 上一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于 点E，连接 ．若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 变式6-2 如图所示，四边形 是菱形， 经过点A，C，D，与 相交于点E，连接 ， ．若 ， 则 的度数为_____． 变式6-3 如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ， ， ， ，则 的 度数为_____． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型七、垂径定理的应用 典例7 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点 表示筒 车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心的圆，且圆心在水面上方， 若圆被水面截得的弦 长为 ，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为 ，则筒车的直径是（ ） A． B． C． D． 变式7-1 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示， 其半径为 ，液面宽 的长为 ，则瓶内液体最大深度为（ ） A． B． C． D． 变式7-2《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一 尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 尺，则直径 长为______寸．（1 尺 寸） 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-3 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧 形拱桥建于上世纪70 年代．图2 是拱桥的示意图，它的跨度 米，拱高 米． (1)求圆弧所在的圆的半径r 的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30 米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4 米，即 米时，是否要采取 紧急措施？ 题型八、垂径定理的平行弦问题 典例8 已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则 和 之间的距离是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 变式8-1 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O 半径为5cm，油面宽AB 为6cm，如果 再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB 上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3 或4 D．1 或7 变式8-2 已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则 与 之间的距离为_______ ． 变式8-3 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 为圆心的圆的一部分，如果 是 中弦 的中点， 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 经过圆心 交 于点 ，并且 ， ． (1)求 的半径； (2)已知点 为线段 上一点，过点 作 并交 于点 、，若 的长为 ，求平行线 与 之间的距离． 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 典例9 在同圆中，圆心角 ，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 变式9-1 如图，在 中， 下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 变式9-2 如图，在 中， ，则下列结论① ，② ，③ ，④ ， 正确的是____________． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式9-3 如图，已知在 中，弦 与弦 相交于点 ，连接 ，若 ，求证： 平分 ． 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图是由正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中 ， ， 均为格点，请仅 用无刻度的直尺作图：（保留作图痕迹） (1)在图1 中，作圆心 ； (2)在图2 中，作弦 ． 变式10-1 如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点． 经过 两个格点，仅用无 刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中，画出劣弧 的中点 (2)在图2 的 上找一点 ，使 （点 与点 不重合）． 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式10-2 数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点 、 、 在 上， ①在图①中，画一个与 互补的圆周角； ②在图②中，画一个与 互余的圆周角． (2)在图③中， 是 的内接三角形， ， 是 上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中 的平分线：并说明理由． 变式10-3 如图， 是 的直径，平行四边形 的一边在直径 上，点 在 上． (1)如图1，当点 在 上时，请你仅用无刻度的直尺作 于 ； (2)如图2，当点 在 内时，请你仅用无刻度的直尺作 于 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在 中，圆心角 ，则弦 与弦 的关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 2．如图， 是 的弦，半径 于点D．若 ， ．则 的长是（ ） 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．8 D．10 3．已知 内接于 ， 于点D，如果 ，那么 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 4．如图， 是 的直径， 是 上一点，若 ， ，则 的长为（ ） A．2 B．4 C． D． 5．如图，在 中， ， ， ， 是以斜边 为直径的半圆上一动点， 为 的中点，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．如图， 是 的一条弦， 的延长线交 于点D．若 ， ，则 的长 是______． 7．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D 四点，利用刻度尺 量得该纸条宽为 ， ， ，则该水杯杯口的直径为________ ． 8．如图，线段 是 的直径，弦 ，如果 ，那么 ________． 9．如图， 内接于 ， ， 是 的直径．设 ， ，则 与 的关系 是 _______． 10．边长为4 的正方形 中，点E，F 分别是 ， 边上的动点，且 ， 与 相交于点 G，当 长最小时， 的长是______ 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下： 如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，求直径 的长． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12．如图， 是 的直径， ， 是 的两条弦，点 与点 在 的两侧，是 上一点（ ）， 连接 ， ，且 ． (1)如图1，若 ， ，求 的半径； (2)如图2，若 ，求证： ． 13．如图， 内接于 ， 、 是 的高，H 是 的交点， 的延长线交 于G． (1)试说明： ． (2)若 ， ，求 的面积． 14．如图，四边形 是 的内接四边形，且对角线 经过 的圆心 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，且 平分 ． (1)求证： ； (2)过点 作 于点 ，连接 ，若 的半径为，求 的长． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15．四边形 是正方形， 是过点A 的直线．作 ，垂足为E，将射线 绕点D 逆时针旋转 ，得到的射线与直线 交于点F，连接 ． (1)如图1，当 时，点F 与点A 恰好重合，则 的值为________； (2)如图2，在 时． ①依题意补全图形； ②探究线段 ， 与 之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若 ，当 的面积最大时，求 的面积．
