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专题15 正多边形与圆、扇形
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、正多边形与圆中的长度与角度
题型二、弧长与扇形面积
题型三、圆锥的侧面积
题型四、圆的折叠（翻折）问题
题型五、求不规则的图形面积
题型六、圆的轨迹路径问题
题型七、圆锥展开侧面最短问题
题型八、尺规作图—正多边形与圆
题型九、无刻度尺作图
题型十、新定义问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
知识模块
核心知识点
常见易错点
正多边形与圆的相关概念
1. 正多边形的中心：正多边形外
接圆的圆心；
2. 正多边形的半径：外接圆的半
径；
3. 中心角：正多边形每一条边所
对的外接圆圆心角，度数为三百
六十度除以边数；
4. 边心距：中心到正多边形一条
边的距离
混淆正多边形的外接圆半径与边
心距；计算中心角时，误将一百
八十度除以边数作为结果
正多边形的边长、周长、面积计
算
1. 边长：边长的一半等于半径乘
中心角度数一半的正弦值；
2. 周长等于边数乘边长；
3. 面积等于二分之一乘周长乘边
心距
记错面积公式，误用边长代替周
长计算；不会拆分正多边形为等
腰三角形计算，三角函数取值错
误
弧长计算
圆心角度数为n 的弧长等于圆心
角度数乘圆周率乘所在圆半径除
以一百八十
计算时混淆圆心角的度数单位；
求扇形周长时，忘记加上两条半
径的长度，只计算弧长
目 录
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扇形面积计算
1. 圆心角度数为n 的扇形面积等
于圆心角度数乘圆周率乘所在圆
半径的平方除以三百六十；
2. 扇形面积等于二分之一乘扇形
弧长乘所在圆半径
混淆弧长公式与扇形面积公式的
分母；使用第二个面积公式时，
遗漏乘以二分之一
圆锥与扇形的关联计算
圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧
长等于圆锥底面圆的周长，扇形
半径等于圆锥的母线长；圆锥侧
面积等于圆周率乘底面半径乘母
线长，全面积等于侧面积加底面
积
混淆圆锥的母线长与底面半径，
错将底面半径当作展开扇形的半
径计算；求全面积时遗漏加上底
面积
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、正多边形与圆中的长度与角度
典例1 如图五边形
是
的内接正五边形，点M、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在
上逆
时针运动，
与
交于点P．则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．没有确定值
【答案】B
【分析】根据正五边形的性质得出
，由点
、
运动速度相同得出
，结合三角形外角性质推导
．
【详解】解：如图，
五边形
是正五边形 ，
∴
，
点
、
分别从点B、C 开始以相同的速度在
上逆时针运动，
，
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∴
，
∴
．
变式1-1 如图，正六边形
的中心为
，
为
的中点，
为
的中点，连接
，若正六边
形的边长为4，则
的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形，三点共圆，直径所对圆周角为直角，勾股定理以及三角形中位线的性质等
知识．
连接
，
，取
中点K，连接
，先证明点M、N、K 三点共圆，圆心为O，直径为
，即可得
，问题随之得解．
【详解】解：连接
，
，取
中点K，连接
，如图，
∵正六边形
的中心为
，
∴
，即四边形
是菱形，
∴
、
互相垂直平分，
∴
也为
的中点，
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∵
为
的中点，
为
的中点，且在正六边形中
，
∴
，
∴点M、N、K 三点共圆，圆心为O，直径为
，
∴
，
∵正六边形
的中心为
，
∴
，
∴
，
∵
为
的中点，
为
的中点，
∴在
中，
，
∴在
中，
．
变式1-2 如图，
是
的内接正多边形的一条边，连接
，
，
，则这个正多边形的边
数为________．
【答案】
【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为
，据此进行计算．
【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为
，且每个中心角相等．
已知该正多边形的一个中心角
，设正多边形的边数为
，则：
．
变式1-3 如图，在正五边形
中，过点
的
分别与边
相切于点
为
上一点，则
__________ ．
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【答案】54
【分析】连接
，先证明四边形
是等腰梯形，即可证明
，
则
，那么
，即可求解
，再由圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接
∵正五边形
∴
，
∵
分别与
相切，
∴
，
∴在五边形
中，
，
∵
∴
∴
∴
∴
，而
不平行于
，
∴四边形
是梯形，
又∵
∴四边形
是等腰梯形，
∴
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∴
∴
∴
∴
∴
∴
．
类型二、弧长与扇形面积
典例2 如图，等边三角形
内接于
．若
的半径为，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，
，由等边三角形的性质得到
，然后利用圆周角定理求出
，
最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
的半径为，即
，
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∴
的长为
．
变式2-1 如图，在扇形
中，
，半径
，将扇形
沿过点B 的直线折叠，点O 恰好
落在弧
上的点D 处，折痕交
于点C，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接
，交
于E，先确定
是等边三角形，进而求出
，然后根
据阴影部分的面积
得出答案．
【详解】解：连接
，交
于E，
∵沿
对折O 和D 重合，
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴阴影部分的面积
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．
变式2-2 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折
扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如
图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条
，
夹角为
，
的长为
，
的长为
，则
的
长为______________
．
【答案】
【分析】根据弧长公式
，进行计算即可求解．
【详解】解：
，
，
，
，
的长为
．
变式2-3 如图，在矩形
中，以B 为圆心，
为半径画弧交
于点C，连接
，
，
的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号）
【答案】
【分析】根据题意求得
是等腰直角三角形，求得
，
，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
．
，
，
的面积为1，
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，
，
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
，
∴图中阴影部分的面积
．
题型三、圆锥的侧面积
典例3 某圆锥底面直径为
，母线长为
，则该圆锥侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：底面半径
，
圆锥侧面积
．
变式3-1 如图，从半径为
的圆形纸片剪去
圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重
叠），则这个圆锥的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求
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出圆锥的高．
【详解】解：如下图所示，
扇形的半径为
，
，
阴影扇形的弧长是
，
，
，
．
变式3-2 用半径为
，圆心角为
的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的
情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________．
【答案】
【分析】扇形半径直接作为圆锥母线，直接代入扇形面积公式，得到圆锥侧面积．
【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即
，圆心角
．
∵圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积．
∴
．
变式3-3 用一个圆心角为
，半径为
的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______
．
【答案】
【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解．
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【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为
，
∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴代入圆心角
，扇形半径
，
得方程
，
解得
，
∴这个圆锥的底面圆的半径为
．
题型四、圆的折叠（翻折）问题
典例4 如图，在
中，直径
是圆上一点，将弧BC 沿BC 折叠，折叠后的弧恰好经过点
，则图
中阴影部分的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出
，证明
．
作
半径
于N，由折叠的性质得到
，
得到
，由
，求出
，得到
，由弧长公式求出
的长，即可
求出阴影的周长．
【详解】解：作
半径
于N，
由折叠的性质得到
，
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴阴影的周长
=
=
．
故选A．
变式4-1 如图，
是
的直径，将劣弧
沿弦
折叠，折叠后的弧恰好与
相切于
的中点
，
若
，则
的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，圆的相关性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．设实线劣弧
所在圆的圆心为
，连接
，
，
，
，根据题意可得
和
互相垂直平分，设圆的半径为
，即
，得到
，由勾股定理可得
，则
，由切线定理和
是
的中点，可得
，
，在
中，
由勾股定理可得
，进而得到
，求出
，即可求解．
【详解】解：如图，设实线劣弧
所在圆的圆心为
，连接
，
，
，
，
、
关于
对称，
垂直平分
，
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，
的半径相等，两圆为等圆，
设圆的半径为
，即
，
为
和
的公共弦，
也垂直平分
，
，
在
中，
，
，
为切点，
是
的中点，
，
，
在
中，
，
，
，
解得：
，
，
的半径为
，
故选：B．
变式4-2 如图，在
中，直径
，C 是圆上一点，将弧
沿
折叠，折叠后的弧恰好经过点O，
则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
/
【分析】过点
作
于点
，则可判断点
是
的中点，由折叠的性质可求得
，在
中求出
，继而得出
，先求出
，再求出
，从而可得出阴影部分的面积．
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【详解】解：过点
作
于点
，交
于点
，连接
，
则点
是
的中点，由折叠的性质可得点
为
的中点，
，
在
中，
，
，
，即
，
，
，
，
连结
，
由折叠可知
，
又
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：
．
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【点睛】本题考查了求圆中的不规则图形面积，折叠的性质，勾股定理，含有
角的直角三角形的性质等
知识点，解题关键是通过作辅助线找出求阴影部分面积的方法．
变式4-3 将半径为5 的
如图折叠，折痕
长为6，C 为折叠后
的中点，则
长为______．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长
交
于D 点，交
于E 点，
连接
，如图根据圆心角、弧、弦的关系由
得到
，则可判断
垂直平
分
，则
，再利用勾股定理计算出
，所以
，然后利用C 点和D 点关于
对称
得到
，最后计算
即可．
【详解】解：延长
交
于D 点，交
于E 点，连接
，如图，
∵C 为折叠后
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
垂直平分
，
∴
，
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在
中，
，
∴
，
∵
沿
折叠得到
，
垂直
，
∴C 点和D 点关于
对称，
∴
，
∴
．
故答案为：3．
题型五、求不规则的图形面积
典例5 我国很多古建筑，如图1 所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆
的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算．
【详解】解：设圆的圆心为
，正六边形的一条边为
，连接
，
多边形为正六边形，
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圆心角
正六边形的边长为
，
圆的半径
为等边三角形
过点
作
于点
，则
在
中，
阴影部分的面积
．
变式5-1 如图所示，
中，
，
，在以
的中点
为坐标原点、
所在直
线为
轴建立的平面直角坐标系中，将
绕点
顺时针旋转得
，点
旋转至
轴正半轴上的
处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求得
的长，再根据直角三角形的性质可得
，
，即旋
转角为
．根据
即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角
形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积
，其
中n 表示圆心角的度数，r 表示扇形的半径．
【详解】解：∵
中，
，
，
∴
，
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∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
根据旋转的性质可得
，
，
∴
．
变式5-2 如图，在平行四边形
中，
，
，
，以点A 为圆心，
的长为半径画
弧交
于点E，连接
，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】过C 作
交
的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到
，
，然后利用含30 度角的直角三角形的性质求得
，由阴影部分的面积为
求解即可．
【详解】解：过C 作
交
的延长线于点F，如图所示，
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∵四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为
．
变式5-3 如图，在
中，
，
，
，D 为
的中点，连接
．以点D 为圆心，
长为半径作弧
，若
于点E，
于点F，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】先由勾股定理求出
，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
，再由
，
，根据等腰三角形三线合一的性质得
，
，再根据阴影部分的面积等于扇形面积减去矩形
的面积，计算即可．
【详解】解：∵在
中，
，
，
，
∴
，
∵D 为
的中点，
∴
，
∵
，
，
，
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∴四边形
是矩形，
，
，
∴阴影部分的面积为
．
题型六、圆的轨迹路径问题
典例6 如图，已知
的对角线
，将
绕其对称中心O 旋转
，则点D 所转过的路径
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将平行四边形旋转
后，点D 所转过的路径是以线段
为直径的半圆，已知直径的长利用弧
长公式求得即可．
【详解】解：将
绕其对称中心O 旋转
，点D 所转过的路径为以
为直径的半圆，
∴其长度为
．
变式6-1 如图，在
中，
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，则点
转过的路径
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根
据旋转的性质得出
，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵将
绕点
逆时针旋转
得到
，
∴
，
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∴点
转过的路径长为
．
故选：D．
变式6-2 如图，
中，
，将
绕点O 顺时针旋转
，得到
，若点A 的坐
标为
，则点A 经过的路径长为_________．
【答案】
【分析】先分析得出点A 经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为
，圆心角为
，在由已
知条件根据勾股定理，求出
，最后运用弧长公式求出点A 经过的路径长．
【详解】∵将
绕点O 顺时针旋转
，得到
，
∴点A 经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为
，圆心角为
，
∵点A 的坐标为
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴点A 经过的路径长为
的长，
∴
．
变式6-3 如图，
是半径为1 的
的一条弦，
．将
绕点A 逆时针旋转，当点O 的对应
点
第一次落在
上时，点B 运动的路径长是______．（结果保留
）
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【答案】
【分析】连接
，易得
为等边三角形，进而求出旋转角为
，求出
的长，进而求出
的长
即可．
【详解】解：连接
，
∵
是半径为1 的
的一条弦，
，
∴
，
∴
，
∵旋转，点O 的对应点
第一次落在
上，
∴
，
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴点B 运动的路径长是
．
题型七、圆锥展开侧面最短问题
典例7 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A 是底面圆周上一点，从点A 拉一根绳子绕圆
锥侧面一圈再回到A 点，则这根绳子的最短长度是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出
的长，再利用勾股定理求出
以及
的长即可．
【详解】连接
，过B 作
于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为
，
圆锥底面圆周长为
，
，
则
，
∵
，
，
∴
，
由
，可求得
，
∴
，
，
即这根绳子的最短长度是
．
变式7-1 如图所示，已知圆锥的母线长
，底面圆的半径为
，一只小虫从圆锥底面的点A 处绕
圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短路程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得
，
，再结合弧长公式求出
，运用勾股定理列式计算得
，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答．
【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示：
∴
，
∴
设
∵圆锥的母线长
，底面圆的半径为
，
∴
则
解得
依题意，得
，
∵
∴
∴
∴
∴
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故选：D
变式7-2 如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为
、面积为
的扇形，一只蚂蚁从圆锥的
底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
【答案】
/3 厘米
【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，
利用扇形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为
，
，
∴圆锥侧面展开图扇形的半径为
，
将
，
，代入扇形面积公式
，
可得
，
，
解得
，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为
．
变式7-3 已知：某中学将举办一次活动，需要若干生日帽：
(1)已知每个生日帽，底面半径为
，母线长为
，求生日帽侧面展开图的圆心角；
(2)在（1）的条件下，现从生日帽底面圆周上一点B 出发，沿生日帽侧面拉一圈装饰彩带再回到点B，直接
猜测彩带的最短长度是多少？
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(3)本次活动还需要一些
板，某广告公司利用长为
、宽为
的
板裁切甲、乙两种广告牌，
已知甲广告牌尺寸为
，乙广告牌尺寸为
．
①求1 块
板的所有无浪费裁切方案；
②需要甲、乙两种广告牌各500 块，该公司仓库已有300 块甲广告牌和420 块乙广告牌，为了不造成材料
的浪费，利用（1）中方案进行裁切，问：还需要购买多少块
板（购买的板恰好全部用完）？
【答案】(1)
(2)
(3)①有两种裁切方案：方案1：甲广告牌11 块，乙广告牌1 块；方案2：甲广告牌4 块，乙广告牌4 块；
②还需要购买
块
板
【分析】本题考查扇形展开图，求圆心角，等边三角形的性质与判定，二元一次方程组的应用，解题的关
键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据弧长公式得出
，即可求解；
（2）根据扇形展开图得出
是等边三角形，则彩带的最短长度是
（3）①设一张该板裁切甲广告牌
块，乙广告牌
块，可得
，求出非负整数解即可；②根
据题意，设
块
板用方案1 裁切，块
板用方案2 裁切，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，
即可求解．
【详解】（1）解：依题意
解得：
（2）解：扇形展开图如图所示，
由（1）可得
，又
∴
是等边三角形，则彩带的最短长度是
（3）①解：设该板材裁切甲广告牌m 块，乙广告牌n 块，
根据题意得：
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可得，
∵
，
为非负整数，
∴
或
答：有以下两种裁切方案：
方案1：甲广告牌11 块，乙广告牌1 块；
方案2：甲广告牌4 块，乙广告牌4 块；
②解：
，
还需要
块甲广告牌，
块乙广告牌，
设
块
板用方案1 裁切，
块
板用方案2 裁切，依题意得，
解得：
（块）
答：还需要购买
块
板．
题型八、尺规作图—正多边形与圆
典例8 作图与证明：如图，已知
和
上的一点A，请完成下列任务：
(1)作
的内接正六边形
；
(2)连接
，
．判断四边形
的形状并加以证明．
【答案】(1)解：如图，正六边形
即为所求；
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(2)解：四边形
是矩形，理由如下，
如图，连接
，
六边形
是正六边形，
，
．
，
，
，
，
四边形
是平行四边形．
，
，
是等边三角形，
，
．
，
，
，
平行四边形
是矩形．
【分析】（1）由正六边形
的中心角为
，可得
是等边三角形，继而可得正六边形的边长
等于半径，则可画出
的内接正六边形
；
（2）连接
，由六边形
是正六边形，则
，故
，则可得
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，证得四边形
是平行四边形，然后由
，
，求得
，
则可证得结论．
【详解】（1）略
（2）略
变式8-1 阅读与思考
尺规作图
一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千
图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图
案．
正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套
了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个
正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形吗？
初步分析：从整体特征与元素特征两个角
度回顾正八边形的性质．
（1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性．
（2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于
．
深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接
，
，
，
，发现
的结论如下：
（1）
，
，
，
分别是正方形
各边的中点；
（2）
是顶角为
，底角为
的等腰三角形；
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（3）
中，
；
（4）___________________________．
动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图
（1）如图4，作边
，
的垂直平分线，分别交
，
，
，
于点
，
，
，
；
（2）分别作
和
的角平分线，交于点
；利用旋转
对称性作出点
，
，
；
（3）顺次连接这八个点．
∴八边形
为正方形
的内嵌正八边形．
任务：
(1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________．
(2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接
，
，交于点
．线段
是否与线段
相等，请说明理由．
(3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形
中作出其内嵌正八边形（不写作图步
骤，保留作图痕迹）．
【答案】(1)
（答案不唯一，合理即可）
(2)
．
理由如下：
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∵正八边形的内角和是
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
．
∵八边形
是正八边形，
∴
．
在
与
中，
∴
，
∴
．
设
．
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
∴
．
(3)如图，八边形
即为所作．（答案不唯一，合理即可）
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【分析】（1）根据点
，
由旋转对称性作图得到，得出
，即可求解．
（2）根据多边形内角和定理求得
，进而可得
，根据四边形
是正
方形，得出
，根据正八边形得出
，证明
得出
，设
，解直角三角形得出
，则
在
中，
根据
，得出
，即可证明
．
（3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可．
【详解】（1）解：
（答案不唯一，合理即可）
∵
，且点
，
由旋转对称性作图得到，
∴对角线
经过正方形内嵌正八边形的顶点
和
，
∴
．
（2）略
（3）略
变式8-2 下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
正多边形的嵌套
我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1 所示的建筑图案就是一个正
方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每
条边上有两个正八边形的顶点．
已知：如图2，正方形
．
求作：正八边形
，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点．
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【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下：
①正八边形的每个内角为 °；
②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点
．连接
，
，
，
，可得
°，
°．
【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案：
①连接
，
相交于点
；
②作
的角平分线交
于点
；
【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，
设正八边形的边长为
，则正方形的边长为 ，
，
，于是得到了新的作图方
案．
任务：
(1)补全材料：
①正八边形的每个内角为 °；
②
= °，
= °；
③设正八边形的边长为
，则正方形的边长为 ，
，
；（用含
的代数式表示）
(2)在图2 正方形的
边上作出正八边形的边
．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)①
；②
，
；③
，
，
(2)如图所示，边
即为所求．
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【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式
，进而得出正八边形的内角度数．
②根据题意得出
，
，
，
，作出辅助线得出
，
，
从而得出
．
③利用②的结论得出
，
，进而得出
，再得出
，进
而得出
，进而得出
，
，再利用勾股定理得出
．
（
）利用（）得出的
画图．
【详解】（1）①∵正
边形单个内角度数公式为：
（其中
），
∴代入可得，正八边形每个内角为
．
②∵正方形和正八边形的中心重合为点
，
∴
，
，
，
．
如图，过点
作
于
∴
，
，
∴
．
③由②知，
，
，
．
∴
，
，
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∴
，
∴
，
∵八边形
是正八边形，内角为
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴正方形
的边长为
，
∵
（勾股定理），
∴
，
∴
，
∴
．
综上，正方形的边长为
，
．
（2）利用（）得出的
画图．
如图，连接
，
相交于点
．以点
为圆心，
为半径画弧交
于点
；再以点
为圆心，
为
半径画弧交
于点
，则
为正八边形的边．
【点睛】本题考查正多边形内角与中心角公式、正方形几何性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、尺规
作图原理等知识点；解题用到数形结合、中心对称思想，关键是依托共中心的图形关系推导边角等量、利
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用等腰直角三角形边长比例代换线段．
变式8-3 作图并填空：
(1)在下图中，利用尺规作图，作出已知
的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必
须用黑色字迹的签字笔描黑）
(2)若已知
的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______．
【答案】(1)
解：如图，正六边形即为所求：
(2)
【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图；
（2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解．
【详解】（1）作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆
的半径为半径画弧交圆
于一点，
重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形；
（2）如图，连接
，过点
作
于点
，
，
，
为边长为
的等边三角形，
，
，
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，
内接正六边形的面积为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三
角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用．
题型九、无刻度尺作图
典例9 仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无
刻度的直尺作图的题目：
(1)如图①，在
内，作任意两条直径
、
，顺次连接
、
、
、
，则画出了
的一个内接矩
形，请说明理由；
(2)如图②，
是
的直径，
是弦，且
，画出
的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作
法）
【答案】(1)
∵
是直径，
∴
，
∴四边形
是矩形；
(2)
四边形
即为所求．
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【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定；
（1）根据直径所对的圆周角是直角得出
，即可得证；
（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与
互相垂直，即可
得到
的内接
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接
，
并延长交于点
，连接
，
交于点
，连接
并延长交
于
，
，连接
，
，
，
，则四边形
即为所求．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，即
在
的垂直平分线上，
∵
，
∴
，
∴
，即点
在
的垂直平分线上，
∴
垂直平分
，
∴
，
，
经过
的中点，
∴
是
的直径，
∴
，
∵
是
的直径，
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∴
，
∴四边形
是矩形，
又∵
，
∴四边形
是正方形．
变式9-1 如图，已知
是正八边形
的一条对角线，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．．．完成以下作图．
(1)如图1，在正八边形
内部以
为斜边作等腰直角三角形．
(2)如图2，在正八边形
内部以
为边作正方形
．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【详解】（1）如图所示：
连接
、
，
与
相交于点
，即
为等腰直角三角形；
根据正八边形
可知，每一个内角的大小为
，且四边形
为等腰梯形，内
角和为
，
，
，
，
，
同理可得，
，
为等腰直角三角形；
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（2）解：如图所示：
连接
、
，
与
相交于点
，连接
、
，
交
于点
，
交
于点
，连接
，
四边形
即为正方形；
，
，可求
，
，
则满足
，且
，
四边形
即为正方形．
变式9-2 如图，在网格纸中，点O，A 都是格点，以点O 为圆心，
为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完
成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．
(1)在图1 中画一个
的内接正方形
；
(2)在图2 中画一个
的内接正八边形
．
【答案】(1)
解：如图所示为所求：
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(2)
解：如图所示为所求：
【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用．
（1）连接
并延长，与
相交于点C，此时
为
的一条直径，利用网格的特点，找到
的垂直
平分线，该垂直平分线与
有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形
即为
的
内接正方形；
（2）圆的内接正八边形的中心角为
，而正方形的对角线与边的夹角也为
，连接正方形的
对角线交点O，两条对角线与
有四个交点，分别为B，D，H，F，连接
并延长
至
交点E，找
到
的垂直平分线，该垂直平分线与
有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，
八边形
即为
的内接正八边形．
【详解】（1）略
（2）略
变式9-3 如图所示，已知点
为正六边形
的边
的中点，连接
，仅用无刻度的直尺画图，保
留画图痕迹．
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(1)在图1 中画出边
的中点
；
(2)在图2 中将
绕点
顺时针旋转
．
【答案】(1)
解：如图，
即为所求．
(2)
解：如图，
即为所求．
【分析】（1）连接
，
交于点
，连接
并延长交
于
，结合正六边形的性质可得
，
关于直线
对称，可得
为
中点．
（2）连接
交
于
，连接
，由正六边形的性质可得
，
，
可得
，
，可得
，可得
，
，可得
即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性
质，熟练的作图是解本题的关键．
题型十、新定义问题
典例10 阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
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关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研
究．
研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正
方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形
是等边半正六边形，那么
，
，
，且
．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____．
(2)如图3，六边形
是等边半正六边形．连接对角线
，猜想
与
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知
是正三角形，
是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形
（要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2)解：
．
理由如下：连接
，
，如图，
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∵六边形
是等边半正六边形．
，
．
在
与
中，
，
∴
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
．
∴
；
(3)作法一：如图，六边形
即为所求，
作法二：如图，六边形
即为所求，
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【分析】（1）六边形内角和为
，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和；
（ 2）连接
，
，通过已知条件可证
，得到
，进一步证明出
进
而得到
；
（ 3）作法一：分别连接并延长
，
，
，以点
为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形
内或圆上），交
，
，
的延长线于点
，
，
，连接
，即可得到半正六
边形
；
作法二：分别作
、
、
垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交
点不能取圆上或三角形内，交点分别为点
，
，
，连接
，即可得到半正六边形
．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为
，且
，
，
∴
，
∴
，即
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为
；
（2）略
（3）解：作法一：∵
是正三角形，
是它的外接圆，
∴
、
、
分别为
、
、
的垂直平分线，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
由作图可知
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
同理可得
，
∴
，
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∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
，
同理可得
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴六边形
即为等边半正六边形．
作法二同理可证．
变式10-1 如图1，在
中，
，锐角
所对的直角边
与
相邻的直角边
的比值称
为
的坡度，记为“
”，即
，同样地，
．对于锐角
的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与它对应．
请回答以下问题：
(1)
______
的函数（填“是”或“不是”）
(2)在
中，
，
，则
______；
(3)在
中，
，
，则
______；
(4)在
中，
，
，则
______；
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(5)如图2，在
中，
，
是
的中点，过
点作
的垂线交
于点
，
，
，则
______；
(6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为
，点
，
，
在同一直线上，点
，
分别为两个
正六边形的中心，则
______；
【答案】(1)是
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可；
（2）根据题意得到
是等腰直角三角形，
，结合坡度的计算方法即可求解；
（3）根据题意得到
，结合坡度的计算方法即可求解；
（4）根据题意得到
是等腰三角形，过点
作
于点
，在
上取点
，连接
，使得
，设
，根据含30 度角的直角三角形的性质，得到
，则
，
根据坡度的计算方法即可求解；
（5）根据题意，得到
，由垂直平分线得到
，根据
，由此即可求解；
（6）根据题意，正六边形的每个内角为
，每条边对应的圆心角的度数为
，如
图所示，连接
，过点
作
于点
，设正六边形的边长为
，由此得到
，
结合坡度的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：∵对于锐角
的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与它对应，
∴
是
的函数；
（2）解：如图所示，
，
，
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，
∴
是等腰直角三角形，
，
∴
，
故答案为：；
（3）解：如图所示，
，
，
∴
，
，
∴
；
（4）解：如图所示，
，
，
∴
，
是等腰三角形，
过点
作
于点
，在
上取点
，连接
，使得
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
由（2）的计算得到
，
∴
，
∴
；
（5）解：在
中，
，
∴
，
∴
，
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∵
是
的垂直平分线，
∴
，
在
中，
，
∴
；
（6）解：正六边形的每个内角为
，每条边对应的圆心角的度数为
，
如图所示，连接
，过点
作
于点
，设正六边形的边长为
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
变式10-2 在平面直角坐标
中，对于点
和
，给出如下定义：若存在
与
的各边都有两个
公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为
，则称点
是
的“
相关点”．
(1)如图，
是以
为中心，边长为3 的等边三角形，点
在
轴上，在点
，
，
中，
点______是
的“
相关点”，其中
的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）；
(2)已知点
，
，若点
是
的“
相关点”，则
的半径的取值范围是______；
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(3)已知
中，点
，
，
，
，边长为8 的菱形
的对角线交点为
，
点
在
轴正半轴上，
．是菱形
上一点，且存在
使得点
是
的“
相关点”，
，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
，（第二空答案不唯一，满足
即可）
(2)
(3)
或
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内心的性质，圆内接四边形的性质，菱形的性质，一次
函数的应用；
（1）根据题意可知
的“
相关点”到三边的距离应相等，则该点应与三角形的内心重合，再根据等
边
的性质即可求解；
（2）由（1）知，点
为
的内切圆圆心，作出
的内切圆
，过点
作
、
、
的垂线，
垂足分别为
、
、
，则
，根据直角三角形内切圆半径与周长、面积之间的关系，求出
，通过证明四边形
是正方形，得到
，再根据点
是
的“
相关点”，即可求出
的半径的取值范围；
（3）根据（2）得到关键数据
，由（2）可得当
是直角边长分别为
和
的三角形的内切圆时，
的最小半径为
，此时
，进而分析得出点
的轨迹在劣弧
，
上运动，进而分
别画出临界值，求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
的“
相关点”到三边的距离应相等，
故该点应与三角形的内心重合，
∵
是以
为中心，边长为3 的等边三角形，
∴点
是
的“
相关点”，
当半径为的
与
相切时，只有1 个点，
当有2 个公共点时，
，
当
是
的外接圆，交点为顶点，
此时
，
∴
，
∴
的值可以为1；
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故答案为：
；1（答案不唯一，满足
即可）；
（2）解：由（1）知，点
为
的内切圆圆心，
如图，作
的内切圆
，过点
作
、
、
的垂线，垂足分别为
、
、
，
则
，
设
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
；
∵
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
；
∵点
是
的“
相关点”，
∴
的半径的取值范围是
，即
；
故答案为：
；
（3）解：∵
，
∴点
的运动轨迹为优弧
，
由（2）可得当
是直角边长分别为
和
的三角形的内切圆时，
的最小半径为
此时
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∵点
，
，
∴
，
∵
∴当
时，当
的最小半径为
时，
当
，
不符合题意，
∴当
时，点
在
之间的优弧上运动，
，
则
在劣弧
，
上运动，
如图，设
为
的外心，当
在
上方时
为
的外心，
设
为
的中点，
∵
，
∴
，
，
∴
∴
，则
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∵边长为8 的菱形
的对角线交点为
，点
在
轴正半轴上，
．
∴
，
∴
∵
是菱形
上一点，
如图，当
经过点
时，
∴
∴
解得：
当
在
上或
在
上时，如图，过点
作
于点
，
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由图可得
设直线
的解析式为
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
∵
的半径为
即
，
∴
即
代入
得，
解得：
∴
当继续减小，如图，当
与
点重合时，
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∵
，即
∴
解得：
如图，当
在
上时，
∵
∴
即
代入
得，
解得：
∴
综上所述，
或
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变式10-3 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，平面内任意一点P 到等边三角形中心的距离
为d，若满足
，则称点P 叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系
中，等边
的
三个顶点的坐标分别为
．
(1)①等边
中心的坐标为_____________；
②已知点
．在D，E，F 中，是等边
的中心关联点的是_____________；
(2)如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M，使
．
①若线段
上存在等边
的中心关联点
，求m 的取值范围；
②将直线
向下平移得到直线
，当b 满足什么条件时，直线
上总存在等边
的中
心关联点；
(3)如图2，点Q 为直线
上一动点，
的半径为
，当Q 从点
出发，以每秒1 个单位的速度
向右移动，运动时间为t 秒．是否存在某一时刻t，使得
上所有点都是等边
的中心关联点？如果
存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①
；②F
(2)①
；②
(3)存在．
或
【分析】（1）①求出
，即可得等边
中心的坐标；②分别求出
，
，
，然
后根据中心关联点的定义判断.
（2）①易得直线
的解析式，如图，在
上取点
，且
，可得
，根据点P 在
上
时
，可得此时点P 都是等边
的中心关联点.
②如图，设平移后的直线交
轴于点
，过点
作这条直线的垂线，垂足为
，求出
时
的长，
即可得到b 的取值范围.
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（3）如图，设
，由题意得当
时，
上所有点都是等边
的中心关联点，求出s 即可
得解．
【详解】（1）解：①∵
，
∴
，
，
，
∴等边
中心的坐标为
；
②由题意得：
，点
是
的中心，
，
∵
，
点
是
的中心关联点.
（2）解：①∵
，
，
∴
，
，
∴
，
设直线
为
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为：
，
如图，在
上取点
，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
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∴
为等边三角形，
设
上的高为
，
∴
,
当点
在
上时，
，
∴当点
在
上时，点
都是等边
的中心关联点，
∴
；
②如图，设平移后的直线交
轴于点
，过点
作这条直线的垂线，垂足为
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
，
满足条件的
的值为
；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设
，
由题意得，当
时，
上所有点都是等边
的中心关联点，
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∴
，
解得：
，
或
．
【点睛】本题考查圆的综合题、等边三角形的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考压轴题．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，一个正多边形中心点
为正多边形的中心，
，若
，则这个正多边形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作
于
，根据正多边形的性质得出
，根据圆周角定理得出
，
根据含
角的直角三角形的性质得出
，根据正多边形所有中心角和为
，得出该正多边形为正
十二边形，根据正十二边形的面积为
即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点
作
于
，
∵
是正多边形的中心，
、
都是正多边形外接圆的半径，
、
是正多边形的相邻顶点，
在外接圆上，
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，
，
和
是外接圆的圆心角和圆周角，
，
∴
，
正多边形所有中心角和为
，
正多边形的边数为
，即该正多边形为正十二边形，
，
正十二边形的面积为
．
2．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6 个等边三边形，过点O 作
，则
，根据勾股定理求出
，求出
，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边
形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形
如下图：
，又
，
∴
是等边三角形，
同理可知：正六边形可以分成面积相等的6 个等边三角形，
过点O 作
，
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则
，
∴
，
∴
，
正六边形的面积为：
，
六个小半圆的面积为：
，中间大圆的面积为：
，
所以阴影部分的面积为：
．
3．定义：如图，在平面直角坐标系
中，原点
是正方形
的中心，且
轴，正八边形
的顶点均在正方形
的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点
的坐标为
，将点
绕
点
顺时针旋转，每次转
，则旋转2027 次后，点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，设
与y 轴正半轴交于点，
与x 轴正半轴交于点
，首先，根据题意得出每
旋转4 次为一个循环，然后，得出旋转2027 次后点
的坐标与旋转3 次后点
的坐标相同，即为点F 的坐
标，再由点
的坐标得
的长，接着，证得四边形
是正方形及
，得
，
，即可得出点F 的坐标及结论．
【详解】解：
，
每旋转4 次为一个循环．
，
旋转2027 次后点
的坐标与旋转3 次后点
的坐标相同，即为点F 的坐标．
如图，连接
，设
与y 轴正半轴交于点，
与x 轴正半轴交于点
，
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∵点
的坐标为
，
∴
，
∵原点
是正方形
的中心，且
轴，正八边形
的顶点均在正方形
的边上，
∴
，原点
也是正八边形
的中心，
∴四边形
是正方形，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
，即旋转2027 次后，点
的坐标为
．
4．如图，点A，B，C，D 顺次分布在半径为2 的
上，其中
是
的直径，点C 是弧
的中点，顺
次连接
，
，
，若
，则弧
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，
．求出
的度数，利用弧长公式进行解答即可．
【详解】解：连接
，
．
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点C 是弧
的中点，
，
．
，
，
，
∴弧
的长
．
5．如图，圆锥的母线长
，
为母线
的中点，
为圆锥底面圆的直径，两条母线
、
形成的平面夹角
．在圆锥的曲面上，从点
到点
的最短路径长是（ ）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点
之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键．
根据题意可得圆锥的底面周长是
，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是
，展开圆锥的侧面，构造直
角三角形即可求解最短路径．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴圆锥的底面周长是
，
设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为
，则
，
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∴
，即圆锥侧面展开图的圆心角是
，如图所示，
∴
，
∵
为母线
的中点，
∴
，
∴
，
∴在圆锥的曲面上，从点
到点
的最短路径长是：
．
故选：B．
6．若圆锥底面圆的直径和母线长均为
，则它的侧面展开图的面积等于______
．
【答案】
【分析】已知圆锥底面直径和母线长，利用圆锥侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式计算即可.
【详解】解：∵圆锥底面圆直径为
，
∴底面圆的周长为
，
∵母线长为
，
∴侧面展开图的面积为
.
7．如图，将半径为
的圆形纸板，沿着边长分别为
和
的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位
置，圆心所经过的路线长度是______
（
）．
【答案】68.56
【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了
个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的
周长即可．
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【详解】解：
答：圆心所经过的路线长度是
．
8．如图，
和
是两个不完全重合的直角三角板，
，斜边长为
，三角板
绕
直角顶点
顺时针旋转，当点
落在
边上时，
旋转所构成的扇形的弧长为_____
．
【答案】
π
【分析】先利用含
角的直角三角形性质求出
长度，结合旋转性质得到
，判定
为等边
三角形，得出旋转角，最后代入弧长公式计算弧长．
【详解】解：在
中，
，
，
，
∴
（
），
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
的长
（
）．
9．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正
上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中
是由
绕着点
按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转
角的度数为________ ．
【答案】
【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为
，即可求解．
【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形，
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∴ 正八边形的中心角为
，
即
，
∵
是由
绕着点
按逆时针方向旋转得到的，
∴ 线段
旋转后的对应线段为
，线段
旋转后的对应线段为
，
∴ 旋转角为
，
∴ 旋转角
．
10．如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形
的顶点恰好是正八边形的四个顶
点，它们依次落在正方形
的对角线上，对角线
与
相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，
J，K 分别是正方形
各边的中点，连接
分别交
和
于点E，F，则
的值为______．
【答案】
【分析】设正八边形的半径为
，根据题意，得
，设
与
交于点W，
与
交于点T，求得
，
，解答即可；
【详解】解：设正八边形的半径为
，根据题意，得
，
，
正方形
的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形
的对角线上，对角线
与
相交于点O，
与
交于点W，
与
交于点T，
故
，
，
，
故四边形
是正方形，四边形
是正方形，
，
，
同理可证，四边形
是正方形，四边形
是正方形，四边形
是正方形，四边形
是正方
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形，四边形
是正方形，四边形
是正方形，
，
；
11．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而
不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转
弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路
口都设置右转“危险区”标线．图2 是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径
米，前内轮转弯半径
米，
．
(1)图2 中
、
，弧
围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留
）
(2)用a 的代数式表示“危险区”的面积，并求出当
时，“危险区”的面积（结果保留
）；
(3)小明站在线段
的延长线上，且与
的距离为
米的地方，若
、
之间的距离为3 米，请判断小
明是否有危险，并说明理由．（
取
）
【答案】(1)
(2)
平方米
(3)解：有危险，理由如下：
如图，连接
并延长一定长度过点E，
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米，
，
（米），
、
之间的距离为3 米，
（米），
延长线与弧
的交点到
的距离为
（米），
四边形
是正方形，
，
，
，
，
小明有危险．
【分析】（1）运用扇形面积的公式计算即可；
（2）根据题意补全图形，则四边形
，
均是正方形，进而得到
，代入计算即可；
（3）如图所示，连接
并延长一定长度过点E，由勾股定理得到
（米），则
（米），再根据勾股定理得到
，
由此即可求解．
【详解】（1）解：后内轮转弯半径
米，
，
弧
围成的扇形面积为
（平方米）；
（2）解：当
时，后内轮转弯半径
米，前内轮转弯半径
米，
，
如图，补全内轮所在半圆的正方形
，则四边形
，
均是正方形，
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弧
围成扇形面积为
（平方米），正方形
的面积为
（平方
米），正方形
的面积为
（平方米），
（平方米）；
（3）略
12．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径
、
分别为
、
，
．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求劣
的长与劣
的长，进而即可求解；
（2）分别求出小扇形
和小扇形
的面积，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，劣
的长
，
劣
的长
，
∴花边的长度为
；
（2）解：由题意得，
，
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，
∴
．
13．综合与实践
【项目主题】制作圆锥．
【项目准备】直径为
的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶．
【项目实施】
步骤1：确定圆形卡纸的圆心
；
步骤2：如图2，把直径为
的圆形卡纸剪出一个扇形
（图3），
；
步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处．
【项目探索】
(1)用无刻度的直尺和圆规在图1 中找出圆心
的位置（不写作法，保留痕迹）．
(2)求剪下的扇形
的面积．
(3)求圆锥的高
．
【答案】(1)
如图所示，圆心
即为所求；
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(2)
(3)
【分析】（1）在圆上取点D，E，F，G，连接
，
，作出
，
的垂直平分线交于点O 即为所求；
（2）如图所示，连接
，
，
，过点O 作
于H，证明
是等边三角形，得到
，
由圆周角定理可得
，则由三线合一定理可得
，
，解直角三角形求出
的长，得到
，然后利用扇形面积公式即可得到答案；
（3）设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长求出r，然后利用勾
股定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接
，
，
，过点O 作
于H，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
∴
，
∴
，
∴扇形
的面积
；
（3）解：∵
，
设圆锥的底面半径为r，
∴
，
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，
∴
．
∴圆锥的高
为
．
【点睛】本题主要考查了尺规作圆的圆心，求圆锥的高
，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与
判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键．
14．【项目主题】估计
的值
【项目实施】
步骤一：画一个边长为2 的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距
离，正六边形对边距离为
，即内切圆半径为
）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p 的值．
步骤二：随机撒1000 粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率
（记为q）．
落在正六边形内的芝
麻粒数/粒
落在内切圆内的芝麻
粒数/粒
频率q
1000
900
步骤三：利用p 与q 的关系，估计
的值．
（1）①
_____；
_____；
②当
取1.7 时，
_____（结果保留整数）；
【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议．
（2）建议：_____．
【答案】（1）①
，0.9，②3，（2）增加随机撒芝麻的数量
【分析】本题考查了圆和正多边形的面积计算，频率的概念，用频率估计概率及实验精度的影响因素．
（1）①先分别计算出正六边形内切圆面积和正六边形面积，从而得出p 值，再根据频率定义，用落在圆内
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芝麻数除以总芝麻数得出q 值；②由
建立等式，把
的值代入等式，通过等式变形求出
的近似值；
（2）增加随机撒芝麻数量，使频率更接近理论概率，让估计的
值更精确．
【详解】解：（1）①如图，连接
，
，过点O 作
，
∵正六边形由6 个大小相同的等边三角形组成，其边长为2，
∴
又∵
的半径为
，
为
的半径，
∴
，
∴
，
，
∴
，
由题意知，
，
故答案为：
，0.9．
②∵
，
∴
，
当
取1.7 时，得
，解得
，
故答案为：3．
（2）建议：增加随机撒芝麻的数量，
因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根
据p 与q 的关系估计出的
值就会更精确，
故答案为：增加随机撒芝麻的数量．
15．如图，由小正方形构成的
网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网
格中按要求作图（保留作图痕迹）．
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(1)在图1 中过
点作
的切线
；
(2)在图1 中画出一个圆内接正方形
；
(3)在图2 中的圆上画出线段
的中点
；
(4)在图3 中作一个
的圆周角．
【答案】(1)
如图所示：
(2)
如图，正方形
即为所求，
(3)
如图，点
即为所求，
(4)
如图，
即为所求
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【分析】（1）先连接
，根据切线的性质作图即可；
（2）先过圆心
作出直径
，然后作出
的垂直平分线交
于
、
两点，最后顺次连接
、、、
，即可得到圆内接正方形
；
（3）取格点
，作直线
交
于点
，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得
符合题意；
（4）先作半径
的垂直平分线交
于
，连接
，
，则
为等边三角形，可得
，
根据圆周角定理即可求解．
【详解】（1）略．
（2）略．
（3）略．
（4）略．
【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判
定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键．
