文档文本内容
1 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
专题15 相似三角形判定方法和常见模型的应用
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、平行线相似的应用
题型2、角角相似的应用
题型3、三边对应成比例的应用
题型4、两边对应成比例夹角相等的应用
题型5、手拉手相似模型的应用
题型6、母子模型的应用
题型7、8 字相似模型的应用
题型8、A 字相似模型的应用
题型9、一线三等角模型的应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限TOC
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
相似三角形是初中几何的核心工具，判定方法有“角角（AA）”“两边成比例且夹角相等（SAS）”“三
边成比例（SSS）”；解题时要善于从复杂图形中识别基本模型：A 字、8 字、母子型、手拉手型、一线三
等角等；通过对应边成比例实现线段转移，通过相似比建立方程；综合题常结合平行线、圆、函数等知识，
注意挖掘公共角、对顶角、等量代换等隐藏条件．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
2 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
题型1、平行线相似的应用
典例1 综合与实践：如图，
是等边三角形，点
是射线
上一个动点，连接
，将
绕点
逆
时针旋转
得到
，连接
，
．
观察发现
（1）
______ ，
______ ；
迁移探究
（2）当点
在线段
时上，请判断线段
，
，
三条线段之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用
（3）若点
在射线
上，直线
和直线
相交于点
，且
，请直接写出
的值．
【答案】（1）
，
；
（2）
，理由如下：
，
，
；
（3）
或
【分析】
由旋转的性质可得
，
，可得
是等边三角形，可求
，由
可证
≌
，可得
；
由全等三角形的性质可得
，即可求解；
分点
在线段
上和点
在线段
的延长线上两种情况讨论，通过证明
∽
，可得
，通过证明
，可得
，即可求解．
【详解】解：
是等边三角形，
，
，
3 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
将
绕点
逆时针旋转
得到
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
又
，
，
，
，
故答案为：
，
；
（2）略
如图，当点
在线段
上时，过点
作
，交
于
，
，
，
，
，
，
∽
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
∽
，
4 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
；
如图，当点
在线段
的延长线上时，过点
作
，交
于
，
同理可求：
，
综上所述：
的值为
或
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
题型模版
1.特征：利用平行线分线段成比例或平行于三角形一边的直线判定相似．
2.方法：找平行线产生的同位角、内错角相等；用AA 判定相似；列出对应边比例式求解未知线段．
变式1-1 如图是一张三角形纸片
，沿
边上的中线
折叠，点
落在点
处，
与
相交于点
，
若
与
垂直，且
，则
的长为___________．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的
5 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取
的中点
，连接
交
于点
，构造
为
的中位线， 得到
，
，即
，
，得
出
，由折叠的性质得
，进而证明
，得出
，
，由
，得
，即
，推出
，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，取
的中点
，作射线
交
于点
，
为
的中线，
为
的中点，
为
的中点，
，
，
与
垂直，
，
，
，
，
三角形
沿
边上的中线
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为
．
6 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
变式1-2 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗
璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D 将线段
分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满
足比例关系：
，则称线段
被点C、D 白银分割，点C、D 叫做线段
的
白银分割点，该比值叫做白银比．
根据分割形态差异，可分为两类经典情形：
对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割；
邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割．
(1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设
，
．求x 的值，
写出必要的解答过程（结果保留根号）．
(2)如图3，点C 为线段
靠近点A 的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线
段
靠近点A 的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹．
【答案】(1)
解：
，
，
，
，
解得：
，
（舍去）；
(2)
如图所示：点P 即为所求．
【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分
7 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形．
（1）根据线段设定及白银分割定义，用含x 的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将
方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值．
（2）连接
，以点
为圆心，任意长为半径画弧，分别交
、
于点
、
；以点
为圆心，同样
的半径画弧，交
于点
，用圆规量取
的长度，以点
为圆心，
长为半径画弧，交之前所画弧于
点
，用直尺连接
并延长，与
相交于点
，此时
，根据同位角相等，两直线平行，
可得
，点
就是线段
靠近点
的白银分割点．
【详解】（1）略
（2）略
变式1-3 如图，在
中，
，
，
．若动点
从点
出发，沿线段
运动到点
为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点
作
交
于点
，设动点
运动的时间为
秒，
的长为
．
(1)求出
关于
的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
(2)求出
的面积与
之间的函数关系式；
(3)当x 为何值时，
的面积有最大值，最大值为多少？
【答案】(1)
，
(2)
(3)当
时，有最大值，且最大值为6
【分析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量关系是
解题的关键．
（1）由平行线得
，根据相似形的性质得关系式；
（2）根据
，列函数关系式即可；
（3）运用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，则
，
，
8 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
．
，即
．
．
自变量
的取值范围为
．
（2）
．
（3）
，
当
时，有最大值，且最大值为6．
题型2、角角相似的应用
典例2 如图，在
中，
，以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，交线段
于点
；以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，恰好经过点
．
(1)如图，以点
为圆心，线段
的长为半径画弧恰好也经过点
．
①
的度数为__________；
②若
，求阴影部分的面积．
(2)如图
，若
，证明：
．
【答案】(1)①
②
(2)
证明：
，
，
，
，
，
，
，
9 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
．
【分析】（1）①由尺规作图得到线段相等，推出
为等边三角形，再利用平角性质求出
；
②先算出扇形
的面积，再结合直径所对圆周角为直角求出
的面积，然后根据同高三角形的面
积比等于底边比得出
，进而得到
的面积，最后用扇形面积减去三角形面积得到阴影面积；
（2）通过等腰三角形性质和三角形外角性质，找到两组对应相等的角，从而证明
．
【详解】（1）①解：
以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，交线段
于点
，
，
以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，恰好经过点
、
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：
．
②解：如图，过点
作
，
，
，
圆心角
，半径
，
扇形
的面积为
，
，
，
，
，
点
、
、
在以点
为圆心的圆上，
为直径，
10 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：
．
（2）略
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，圆周角定理，扇形面积公式，相
似三角形的判定，从尺规作图中提取线段相等关系是解题关键．
题型模版
1.特征：通过两组角对应相等判定两个三角形相似．
2.方法：挖掘公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角相等；找准对应顶点，列比例式或求角．
变式2-1 如图，
与
是两个全等的等腰三角形，
，
分别与
相交于
点F、G，
．
(1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来．
(2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究
之间的关系，并证明．
甲同学：把
分别沿
折叠，发现：B、C 两点重合．
乙同学：把
绕点A 旋转，使
重合，发现：构造出了直角．
【答案】(1)共有3 对，
，
，
；
11 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(2)
，
证明方法（一）
如图1，把
分别沿
折叠至
和
，
则
，
，
∵
，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
重合，记为点
，
∴
∴
∴
；
证明方法（二）
把
旋转至
，得
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
12 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，即
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∴
．
【分析】（1）由等腰直角三角形可得
，而
，
，
则
，
，再由相似三角形传递性可得
；
（2）方法一：把
分别沿
折叠至
和
，然后证明点
重合，记为点
，
再证明
，即可由勾股定理求解；方法二：把
旋转至
，得
，然后证明
，
，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵
与
是两个全等的等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
（2）略
变式2-2 已知
中，
，
平分
交
于点
，其中
．
(1)求
的度数；
(2)将
绕点
逆时针旋转至
，其中点
的对应点
落在
边上，先用尺规作出
（要求保
留作图痕迹），后标记
与
的交点
，求证：
．
【答案】(1)
(2)如图，
即为所求；
13 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
证明：∵旋转，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果；
（2）先分别以
、为圆心，
长为半径画弧，交于点
，，连接
交
于
，则
垂直平分
，
此时
，
得到
，再分别以
、
为圆心，
长为半径画弧，
交点即为
，此时
，连接
，
，
即得到
，证明
，结合
即可得证.
【详解】（1）解：∵
，
平分
交
于点
，
，
∴
，
，
∴
；
（2）略
变式2-3 如图，
内接于
，
为
边的高，
为
的直径交
于点F，连接
．
(1)求证：
；
(2)当直径
平分
时，求证：
；
14 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(3)在（2）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用直角三角形的性质，圆周角定理和同角的余角相等的性质得到
，利用圆
周角定理得到
，再利用相似三角形的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用角平分线的定义，同角的余角相等的性质得到
，利用对顶角相等的性质和等腰三角
形的判定定理解答即可得出结论；
（3）利用直角三角形的边角关系定理求得
，则
，利用直角三角形的边
角关系定理求得
，设
，则
，利用勾股定理列出方程求得
值，则结论可求．
【详解】（1）证明：
为
边的高，
，
为
的直径，
，
，
，
；
（2）证明：
直径
平分
，
．
，
，
，
，
．
，
，
；
（3）解：
，
，
，
15 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
设
，则
，
由（2）知：
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用和
角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题
的关键．
题型3、三边对应成比例的应用
典例3 如图，在
和
中，已知
．
(1)求证：
；
(2)求
与
的长；
(3)求
和
这两个三角形的面积比．
【答案】(1)
16 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
证明：
，
．
设每小格的长度为a，
则
，
，
，
，
；
(2)
，
(3)4
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质．
（1）设每小格的长度为a，由勾股定理得
，
，推出
，即可证明
；
（2）根据
，计算出a 的值，结合（1）中得出的
，
，即
可求解；
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解．
【详解】（1）略
（2）设每小格的长度为a，
则
，
又
，
，
解得
，
由（1）知
，
，
，
；
（3）解：
，
，
．
17 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
题型模版
1.特征：已知三边对应成比例，判定两个三角形相似并求值．
2.方法：把三边按大小排序，计算对应比值；若三比相等则相似；利用相似比求未知边或周长、面积比．
变式3-1 已知
的三边之比为
．在
中，
．当
_______
时，
．
【答案】
【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应
边．
【详解】解：当
时，
．理由如下：
∵
，
∴可设
（
），
∴
，
，
，
∴
，
∴
，符合题意
故答案为：
．
变式3-2 如图，某地四个乡镇A，B，C，D 之间建有公路，已知
，
，
，
，
，
(1)如图
与
相似吗？若相似，请写出证明过程．
(2)公路
与
平行吗？说出你的理由．
【答案】(1)
，
证明：
，
，
，
18 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
；
(2)
解：
，理由如下：
∵
，
∴
，
∴
．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
（2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行．
【详解】（1）略
（2）略
变式3-3 如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E 与四边形
的顶点都在这
些小正方形的顶点上．
(1)求
的值；
(2)在不添加字母的情况下填空并证明．
________．
证明：
【答案】(1)
(2)
，
理由：
由图可知，
，
，
，
，
，
19 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
．
【分析】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定知识点，解题的关键是熟练运用勾股定理求出线段长
度，并依据相似三角形的判定条件证明三角形相似．
（1）通过在正方形网格中利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据三角函数的定义计算出所求三角函数
值．
（2）同样先利用勾股定理算出各个三角形的边长，然后通过边长之间的比例关系，依据相似三角形的判定
定理来确定两个三角形相似，并完成填空和证明．
【详解】（1）由图可知，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
∴
；
（2） 略
题型4、两边对应成比例夹角相等的应用
典例4 如图，在
中，点
是
的边
上的一点．
20 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”）
(2)选择一种正确的方法求证：
；
(3)若
，且
，
，求
．
【答案】(1)对，对，错
(2)
解：小星的证明：
∵
，
∴
；
小红的证明：
∵
，
∴
；
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的
两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹
角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果；
（2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解；
（3）利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：
小星的证明：
∵
，
∴
；
小红的证明：
∵
，
∴
；
小亮的证明：由
，
由
不是
和
的夹角，故不能证明
．
∴小星和小红对，小亮错．
21 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：对，对，错．
（2）略
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，
解得：
．
题型模版
1.特征：已知两边对应成比例且夹角相等，判定两个三角形相似．
2.方法：验证夹角相等（常为公共角或对顶角）；检查夹这个角的两边是否成比例；得出结论并应用．
变式4-1 如图，正方形
中，点
是
边上一点，连接
，以
为对角线作正方形
，边
与正方形
的对角线
相交于点
，连接
．
（1）若
，则
_____________；
（2）若
，则
_____________．
【答案】
【分析】
（1）根据正方形性质，在正方形
中，
，在正方形
中，
，
，
从而判定
是等腰直角三角形，得到
，数形结合表示出
计算即可得到答案；
（2）先根据等腰直角三角形性质得到
、
，进而判定
，再由相
似三角形的性质得到
，代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）在正方形
中，
，
在以
为对角线作正方形
，
，
，则
是等腰直角三角形，
，
则
；
（2）在等腰
中，
；在等腰
中，
；
22 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
则
，
，
，
，
则
，
，即
，
解得
．
【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关
键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到
是判定两个三角形相似的核心．
变式4-2 【知识背景】华师版（2013 版）九上第23 章《图形的相似》习题23.3 第1（2）题：
如图，点
、点
分别在
的边
、
的延长线上，连接
，若
，则
与
相似
吗？
(1)请解答上述习题．
【问题探究】
(2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接
、
，求
与
的
数量关系．
①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法：
由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出
与
相似，从而得到
，
再通过角度之间的关系，可将问题解决．
请按照小明的思路完成对
与
相似的证明，具体做法如下：
23 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
证明：由（1）得：
________，
∴
∴
（相似三角形的对应角相等）．
请补全上述证明过程．
②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出
与
的数量关系为________．
(3)【拓展提升】如图，在
和
中，
，
，
，延长
交
于点
，
连接
、
．当
且
时，
________°，
________．
【答案】(1)
与
相似，理由如下：
∵
，
，
∴
；
(2)①∵
，
∴
，
，即
，
∵
，
∴
，
∴
；
②∵
，
，
∴
，
∴
；
(3)90；
【分析】（1）利用两角对应相等即可证明
；
（2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明
，推出
；
②利用三角形内角和定理即可得到
；
24 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（3）证明
，推出
，
，利用（2）的结论即可得到
；再利
用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：略
（2）证明：略
（3）解：∵在
和
中，
，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
在四边形
中，
，
由（2）得
，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
变式4-3 如图所示，点D 在直角三角形
的斜边
上，连接
，作
，使得
，连接
交
于点F，若
，
．
25 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
；
(2)若
，求
的长度；
(3)当
时，求
的比值．
【答案】(1)
证明：∵直角三角形
的斜边为
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
(2)
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定
理并添加正确的辅助线是解题关键．
（1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可；
（2）作
，垂足为G，容易证出
，用相似三角形的性质和含
角的直角三角形的性
质求出
，进一步求出
；
（3）作
，垂足为H，容易证出
，得到
的三边关系．根据
可以
证明
，从而得到
，利用相似的性质计算出
，最后求得答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图，作
，垂足为G，设
，
在直角
中，
26 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
∴
，
，
在直角
中，
，
，
∴
，
由勾股定理得，
，
∵
，
∴
，解得，
，
∴
；
（3）解：如图，作
，垂足为H，设
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
27 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
由（1）可知，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴解得，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
题型5、手拉手相似模型的应用
典例5 如图，在等腰
中
，
，连接
、
、
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
，求证：四边形
是菱形；
(3)如图3，若
，且
，求
的值．
28 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
，
，
，
，
∵在
中，
，
在
中，
，
；
(2)由（1）知，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形
是平行四边形，
又
，
∴四边形
是菱形；
(3)
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出
，
，然后进行角的等量代
换，即可作答；
（2）先证明
，得出四边形
是平行四边形，根据
，即可得证；
（3）作
于点G，作
于点H，作
的平分线
，交
于点T，延长
交
于点
，证明
，
，得出
，则
，根据已知得出
，设
，则
，则
，进而得出
，根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，作
于点G，作
于点H，作
的平分线
，交
于点T，延长
交
于点，
29 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
由（1）知
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
30 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
又
，
，
，
设
，则
，则
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及解直角
三角形，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形求解三角函数值．
题型模版
1.特征：两个三角形共顶点且对应边呈旋转对称，形成手拉手相似模型．
2.方法：抓住公共顶点处的等角；证明另一组角相等或夹等角的两边成比例；利用相似比进行线段转移．
变式5-1 如图，
中，
，将
绕点
逆时针旋转到
，连接
，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
与
相交于点
，求证：点
是
的中点；
(3)如图3，当
，
时，探究
与
的数量关系并说明理由．
【答案】(1)证明：∵将
绕点A 旋转得到
，
∴
，
，
．
31 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
．
∴
．
(2)证明：过点D 作
于点M，过点B 作
，交
的延长线于点N，
由旋转的性质可知
，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
，
，
，
，
，
即点
是线段
的中点．
(3)解：结论：
，
理由：延长
、
交于点
，过点
作
，垂足为
，
设
，由
可得
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
32 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，即
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
，
由（2）得
，
∴
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，即：
，
∴
，
∴
，
∴
∴
，即
．
【分析】
（1）根据旋转的性质可得
，
，
，即可得出
，
，
根据相似三角形的判定定理即可证明
．
（2）过点D 作
于点M，过点B 作
，交
的延长线于点N，构造K 字形全等，得
，由全等三角形的性质得到
，进而证明
即可得出
．
（3）延长
、
交于点
，过点
作
，垂足为
，设
，则
，可求
，
，根据中点+平行线模型可得
，可得
，
，由勾股定理可得
，进而求出
，利用
可
33 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
得
，由此求出
，根据
，求出
，由此得出
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
变式5-2 在矩形
中，点
为射线
上一点，连接
，以
为一边，在
的右侧作正方形
．
(1)若
，如图1，连接
，当射线
与射线
的交点
在线段
上时．
求证：①
；
②点
一定在射线
上；
(2)如图2，若
，
，连接
，求
的最小值．
【答案】(1)
证明：①
四边形
是矩形，
，
四边形
是正方形，
是对角线，
，
同理
，
又
，
．
②如图，连接
，
34 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
四边形
是正方形，
是对角线，
，
同理
，
，
又
，
，
，
，
，
点
一定在射线
上．
(2)
【分析】
（1）①根据正方形的性质得到
，结合相似三角形的判定即可求解；②连接
，
可知
和
都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得
，求得
，最
后根据
，得到
三点共线即可求解．
（2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出
来，通过勾股定理将
表示出来，利用函数求出最值即可求解．
【详解】（1）略
（2）如图，过点E 作直线
，再过点F 分别作
，则
，
设
的长度为
，则
，
35 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
结合图形可知四边形
和四边形
都是矩形，
，
，
由勾股定理可知
，
当
时，
有最小值，最小值为32，
36 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
最小值为
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与
判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以
及设元通过函数求最值的思路是解题的关键．
变式5-3 如图，在Rt
中，
，
，
于点
，点
是直线
上一动点，连接
，
过点
作
，交直线
于点
．
(1)如图1，若
，点
在线段
上，求出
的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点
在线段
上，则
___________（用含
，
的代数式表示）；
②当点E 在直线
上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3 的情形给出证明；
(3)若
，
，请直接写出
的长．
【答案】(1)1；
(2)①
；②
；
(3)
或
【分析】（1）先用等量代换判断出
，
，得到
，再判断出
即可；
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出
，
，得到
，再判
断出
即可；
（3）由（2）的结论得出
，判断出
，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】（1）解：当
时，即：
，
，
，
，
，
37 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
（2）
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
成立如图3，
38 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
又
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）由（2）有，
，
又∵
，
，
，
∴
，
，
，
，
如图4 图5 图6，连接
．
如图4，当E 在线段
上时，
39 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
在
中，
，
，
根据勾股定理得，
，
，或
舍
如图5，当E 在
延长线上时，
在
中，
，
，
根据勾股定理得，
，
，
，或
舍，
③如图6，当E 在
延长线上时，
在
中，
，
，
根据勾股定理得，
，
40 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，或
（舍），
综上：
或
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的
关键，求CE 是本题的难点．
题型6、母子模型的应用
典例6 如图，在
中，
，以
为边在
的另一侧作
，
点
为边
（不含端点）上的任意一点，在射线
上截取
，连接
． 设
与
交
于点
，则线段
的最大值为_________．
【答案】
/
【分析】由题意得
，即可证明
，得
和
，即有
，进一步得
，有
，则有
，即当
最短时，
最短、
最长，当
时，即可求得
最大值．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中
41 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
．
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
即当
最短时，
最短、
最长，
∵当
时，
最短、
最长，此时
，
∴
，
则
，
故答案为∶
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段
最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
题型模版
1.特征：一个三角形的一边在另一个三角形的一边上，且有公共角，形成母子型相似．
2.方法：利用公共角再找一组角相等（如直角公用）；用AA 判定相似；常见结论：公共边的平方等于两对
应边的乘积．
变式6-1 定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足
，则称点P 为这个三角形的“理想点”．
42 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图①，若点D 是
的边AB 的中点，
，
，试判断点D 是不是
的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在
中，
，
，
，若点D 是
的“理想点”，求CD 的长．
【答案】(1)
点
是
的“理想点”，理由如下：
是
中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点
是
的“理想点”；
(2)
或
【分析】（1）由已知可得
，从而
，
，可证点
是
的“理想点”；
（2）由
是
的“理想点”，分三种情况：当
在
上时，
是
边上的高，根据面积法可求
长
度；当
在
上时，
，对应边成比例即可求
长度；
不可能在
上．
【详解】（1）略
（2）①
在
上时，如图：
43 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
是
的“理想点”，
或
，
当
时，
，
，
，即
是
边上的高，
当
时，同理可证
，即
是
边上的高，
在
中，
，
，
，
，
，
，
②
，
，
有
，
“理想点”
不可能在
边上，
③
在
边上时，如图：
是
的“理想点”，
，
又
，
，
，即
，
，
综上所述，点
是
的“理想点”，
的长为
或
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
44 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
变式6-2 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD 交CD 于H，交AC 于F，且
，求
的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H 在CD 上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH 的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【分析】（1）证出
，证明
∽
，得出
，即可得出结论；
（2）设
，则
（
），同（1）得
，则
，在
中，
，过
作
于
，易证
，求出
，再由平行线分线段成比
例定理即可得出答案；
（3）过点
作
于
，设
，则
（
），
，证明
∽
，
得出
，
，求出
，证明
是等腰直角三角形，得出
，由勾股定理得出
，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
∽
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴设
，则
（
），
45 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
同（1）得：
，
∴
，
在
中，
，
过
作
于
，如图2 所示：
则
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）解：过点
作
于
，如图3 所示：
∵
，
∴设
，则
（
），
46 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
又∵
，
∴
∽
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：
．
【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,
证明三角形相似是解题的关键。
变式6-3 如图1，在
中，
为
上一点，
．求证：
．
（2）如图2，在
中，是
上一点，连接
，
．已知
，
，
．求证：
．
（3）如图3，四边形
内接于
，
、
相交于点
．已知
的半径为2，
，
，
，求四边形
的面积．
47 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由
化比例，与
，可证
∽
即可；
（2）由
，可得
，AD=BC，根据线段比值计算
，
，可得
，由∠EAC=
∠CAB，可证
∽
即可；
（3）连接
交
于点
，连接
，根据
，
，可得AC=2AE，根据线段比值计算可
得
，由∠BAC=∠EAB，可证
∽
，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理
OF= ，可求
，可证
，
，可得S△BCD=
即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
∽
，
∴
．
（2）证明：如图2，∵
，
∴
，AD=BC，
∵
，
，
，
48 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵∠EAC=∠CAB，
∴
∽
，
∴
，即
，
∴
．
∴
；
（3）解：如图3，连接OA 交
于点
，连接
，
∵
，
，
∴AC=2AE，
∴
，
，
∴
，
∵∠BAC=∠EAB，
∴
∽
，
∴
，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴点A 是弧
的中点，BD 为弦，OA 为半径，
∴
，BF=DF，
∵
，
，
∴BF=DF=
，
49 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
在Rt△OBF 中，
根据勾股定理OF=
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=
，
∴
．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相
似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．
题型7、8 字相似模型的应用
典例7 某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在
中，点O 在线段
上，
，
，
，
，求
的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B
作
，交
的延长线于点D，通过构造
就可以解决问题（如图2）
请回答：
，
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
50 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
如图3 在四边形
中对角线
与
相交于点O，
，
，
，
，求
的长
【答案】（1）75，
；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出
，结合
可得出
，
利用相似三角形的性质可求出
的值，进而可得出
的值，由三角形内角和定理可得出
，由等角对等边可得出
即可求解；
（2）过点B 作
交AC 于点E，同（1）可得出
，在
中，利用勾股定理可求出
的长度，再在
中，利用勾股定理即可求出
的长．
【详解】解：（1）如图2 中，过点B 作
，交
的延长线于点D，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵∠
，
，
51 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
；
故答案为：75，
．
在四边形
中对角线
与
相交于点O，
，
，
，
，
求
的长
（2）如图3 中，过点B 作
交
于点E．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
在
中，
∴
，
解得：
（负值舍去），
∴
，
，
在
中，
，
52 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
解得：
（负值舍去）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等
知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
题型模版
1.特征：两条相交线段构成“8”字形，利用对顶角相等找相似．
2.方法：识别对顶角及另一组等角；用AA 判定相似；注意对应顶点顺序，列比例式求解．
变式7-1 如图，B，C，D，E 四点均在⊙O 上，连结
，
相交于点F，其中
，
，
分别延长
，
相交于点A，若
，则⊙O 的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查圆的基本性质和相似三角形的综合运用，如何准确添加辅助线是解题的关键．
首先根据题意，易判断出几组相似三角形，其中
可求
的长度，随后根据
特殊角，所以
构造
，作
交
于点H，构造等腰直角三角形，根据
以及等腰直角三角形的线
段关系，得出
，于是在直角三角形
中存在直角边的比例关系，结合圆周角定理，围绕半径
构造出与
相似的三角形，即连接
、
，过点O 作
交
于点M，得到
，通过
两组角相等证明
，故得出
，最后根据勾股定理求出
的长度，即为⊙O 的半径．
【详解】解：过点D 作
交
于点H，连接
、
，过点O 作
交
于点M，如下
图所示：
53 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又因为三角形
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，故
，
∵三角形
为等腰三角形，且
，
∴
，
根据圆周角定理，
，
∴
，
∵
，
∴
，
54 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，即
，
∴
，
根据勾股定理
，
∴
，即⊙O 的半径为
．
故选：A．
变式7-2 综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在
中，点P 是边
上一点．将
沿直线
折叠，点D 的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点A 重合，过点E 作
，与
交于点F，连接
，
则四边形
是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为
的中点时，延长
交
于点F，连接
．试
判断
与
的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在
边上时，
，
，
．则
的长为___________．（直接写出结果）
【答案】(1)
证法一：由折叠得，
，
，
∵
∴
∴
∴
∴四边形
是平行四边形
55 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
∴四边形
是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，
，
，
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形
是菱形．
(2)
解：
；理由如下：
连接
由折叠可得
，
，
∵四边形
是平行四边形
∴
又∵
∴
∵点P 是
的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（SSS）
∴
56 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
又∵
，即
∴
∴
．
(3)
【分析】（1）先证明
，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以
用四条边相等的四边形是菱形进行判断；
（2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°；
（3）延长BA、CP 相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE 即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：延长BA、CP 相交于点F，
由题意，△AFP∽△DCP
∴
即
∴
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴
．
故答案为
．
【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几
何知识，构造常见的模型．
变式7-3 如图，在平行四边形
中，
，
，点E 为射线
上一动点，且
，
连接
，将线段
所在直线绕点D 顺时针旋转
交
延长线于点H，
所在直线与射线
交于点G．
57 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（1）如图1，当
时，求证：
≌
；
（2）当
时，
①如图2，连接
，求证：
∽
；
②若
，
，
，请直接写出
的长．
【答案】
（1）证明：∵
，
，
∴
为等边三角形，
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
；
（2）①证明：∵
，
，
∴
，
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
∵
，
58 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
∽
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
∽
；
②
的长为
或
．
【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形判定与性质、三角形全等的判定、三角
形相似判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）证明
为等边三角形，根据四边形
为平行四边形，可得
，
，
，可证
，进而求解；
（2）①根据
，
，可得
，根据四边形
为平行四边形，可得
，
可得
，进而解题即可；
②根据点E 的位置分两种情况，当点E 在
上时，过C 作
于N，过G 作
于M，证明
∽
，根据等腰三角形三线合一性质可得
，根据勾股定理得
，再证
∽
，根据勾股
定理进行解题；当点E在
延长线上时，过C作
于N，过G作
于M，证明
∽
，
根据勾股定理进行解题即可．
【详解】（1）略
（2）①略
②解：当点E 在
上时，如图，过C 作
于N，过G 作
于M，
∵四边形
为平行四边形，
，
，
，
∴
，
，
59 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
∽
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
∽
，
∴
，
∴
,
，
∴
，
在
中，
；
当点E 在
延长线上时，如图，过C 作
于N，过G 作
于M，
∵
，
∴
，
，
∴
∽
，
60 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，
∴
∽
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
综上所述，
的长为
或
．
题型8、A 字相似模型的应用
典例8 如图，在
中，
，
，
，点D 为
边的中点，点E 为
上一点，连
接
，将线段
绕点D 逆时针旋转
至
，连结
．
61 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(1)线段
的长为___________ ；
(2)当
时，求线段
的长；
(3)当点F 落在
内部时，求
的取值范围；
(4)当
与
的某一边平行时，直接写出线段
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
或
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可．
（2）由旋转可得：
，
，证明
，可得
，进一步可得答案．
（3）当点F 落在
上时，过点D 作
于
，由（2）同理可得：
，可得
，进一步求解即可；当点F 落在
上时，过点D 作
于
，延长
交
的
延长线于
，同理：
，
，
，
，设
，则
，
证明
，
，进一步求解即可．
（4）当
时，过点D 作
于
，则
，可得
，进一步求
解即可；当
时，过点E 作
于
，设
，同理可得：
，可得
，
进一步求解即可．
【详解】（1）解：在
中，
，
，
，
．
（2）如图所示，
点D 为
边的中点，
62 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
由旋转可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图所示，当点F 落在
上时，过点D 作
于
，
由（2）同理可得：
，
，
，
，
由旋转可得：
，
，
，
，
，
如图所示，当点F 落在
上时，过点D 作
于
，延长
交
的延长线于
，
63 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
同理可得：
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，
当点F 落在
内部时，
的取值范围为
；
（4）
，
，
，
第一种情况，如图所示，当
时，过点D 作
于
，
64 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
则
，
，
，
，
第二种情况，如图所示，当
时，过点E 作
于
，
，
设
，
同理可得：
，
，
，
，
，
由上可知，
，
，
解得：
，
，
65 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，线段
的长为
或
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜
边上的中线的性质，勾股定理的应用，利用分类讨论的思想，作出合适的辅助线是解题的关键．
题型模版
1.特征：一条直线截三角形两边或延长线形成“A”字形，产生相似．
2.方法：找公共角及平行线或另一组等角；用AA 或平行线分线段成比例；建立比例式求线段长．
变式8-1 如图，在
中，D，E 是边
的三等分点，F，G 是边
的三等分点，若
的面积为m，
则四边形
与
的面积差是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由
点
、
、
、
分别是边
、
的三等分点，可得
，
，即可证得
，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得
的值，继而求
得答案．
【详解】解：
点
、
、
、
分别是边
、
的三等分点，
，
，
，
，
的面积是
，
四边形
与
的面积是
和
，
四边形
与
的面积差是
，
故选：D．
变式8-2 如图，在
中，
垂直平分边
，垂足为点
，交
于点
，点
为
的中点，连接
与
交于点
．若
，则下列结论错误的是（ ）．
66 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
垂直平分边
，推出
，
，
，结合
，推出
和
，根据性质可判断选项的值．
【详解】∵
垂直平分
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
垂直平分
，点
为
的中点，
∴
，
∴
，
∵设
，
，
∴
，
∴
．
选项A 正确，不符合题意．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
67 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
∴
，
∴选项B 正确，不符合题意．
∵
，
∴设
，则
，
，
∴
．
∴
．
∴选项C 正确，不符合题意．
∴
．
∴选项D 错误，符合题意．
故选：D．
变式8-3 如图1，平行四边形
的对角线
，
相交于点
，
边的垂直平分线
交
于点
，
连接
，
．
（1）过点
作
交
于点
，求证：
；
（2）如图2，将
沿
翻折得到
．
①求证：
；
②若
，
，求
的长度．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据题意证明
，即可证明
，在根据
垂直平分
可得
，即可证的结果；
（2）①过点
作
交
于点
，根据（1）中结论，然后证明
即可；
68 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
②求证
，则
，据此解答即可．
【详解】证明：（1）∵四边形
是平行四边形，
∴
，
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
∵
垂直平分
，
∴
．
∴
；
（2）如图2，过点
作
交
于点
．
①证明：由（1）可知
，
，
∴
，
∵将
沿
翻折得到
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
；
②解：∵
，
∴
，
由翻折可知
，
∴
，
69 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（负根舍去）
经检验：
是原方程的根，且符合题意，
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的
判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键．
题型9、一线三等角模型的应用
典例9 问题
如图1，在四边形
中，点P 为
上一点，当
时，求证：
．
（2）探究
若将
角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在
中，
，
，以点A 为直角顶点作等腰
．点D 在
上，点E 在
上，点F 在
上，且
，若
，求
的长．
70 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）成立；理由：如图2，
，
又
，
，
，
，
又
，
，
；
（3）5
【分析】（1）由
可得
,即可证到
，然后运用相似三角形
的性质即可解决问题；
（2）由
可得
,即可证到
，然后运用相似三角形的性质即
可解决问题；
71 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（3）证明
,求出
，再证
,可求
,进而解答即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）
,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造
角将问题转化为
一线三角是解题的关键．
题型模版
1.特征：一条直线上有三个等角，构造相似三角形，常称一线三等角模型．
2.方法：利用等角关系和补角关系导出一组角相等；用AA 判定相似；注意不同顶点的对应关系．
72 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
变式9-1 如图，矩形
中，
将
以
为折痕对折，使点B 的对应点G 落在线段
上，
与折痕
的交点为点I，其中
，则线段
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作
，可推出
四边形
、四边形
、四边形
均是矩形；由翻折可知：
，得到
；推出
，得
，求出
；
证
得
，即可求解；
【详解】解：作
，如图所示：
则四边形
、四边形
、四边形
均是矩形，
∴
，
，
由翻折可知：
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
73 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
故选：C
变式9-2 【问题情景】
（1）如图①，小红把三角板
（
）放置到矩形
中，使得顶点
、、
分别落在
、
、
上，则线段
与
的数量关系为_________；
【变式探究】
（2）如图②，小红把三角板
（
）放置到矩形
中，使得顶点
、
、
分别在
、
、
边上，若
，
，求
的长；
【拓展应用】
（3）如图③，小红把
放到平行四边形
中，使得顶点
、
、
分别在
、
、
边上，
，
，以
为顶点作
，交
于点
，交
的延长线于点
，直接写
出
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）先利用含
角的直角三角形的性质得到
，再通过证明
得到
，即可得出结论；
74 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（2）过点
作
于
，通过证明
得到
，求出
的长，通过证明四边形
是矩形得到
，即可求出
的长；
（3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出
，
，得到
，利用比
例的性质即可求出
的值．
【详解】解：（1）
，理由如下：
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点
作
于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
75 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
（3）
，理由如下：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
．
【点睛】添加适当的辅助线构造“
”型相似是解题的关键．
变式9-3 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，
其中
，如图1，进行了如下操作：
76 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F 为圆心，大于
EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G；
(1)填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为___；
(2)①请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由．
②当
时，连接DG，请直接写出
___；
(3)如图3，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM，PC，当
时，求AM 的长．
【答案】(1)∠CAD=∠GAD；
(2)①AD∥BC； ②3
(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD 平分∠CAG 即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD 平分∠CAG 再结合等腰三角形ABC 的外角可得AD 平行BC；
②易证
，可得
（3）以M 为圆心，MA 的长为半径画弧，交射线BA 于点N，由（2）可得
，
即可用一线三等角模型构造相似解题．
【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD 平分∠CAG
∴∠CAD=∠GAD；
（2）①∵
77 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴
∴AD∥BC
②∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（3）以M 为圆心，MA 的长为半径画弧，交射线BA 于点N，如图
由（1）（2）可得
,
设
则
∵点P 为AB 的中点
∴
∵
∴
78 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
∴
∴
∴
，解得
∴
．
【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图
的步骤判断是作角平分线．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在
中，点D 是边
的中点，点F 为边
上任意一点，
交
于点E，且
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点
作
，证明出
，找出
与
的关系即可求解．
【详解】解：过点
作
，如下图：
点D 是边
的中点，
，
79 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．如图，在正方形
中，
是
的中点，
是
上一点，且
．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明
，由此判断A；
利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明
，由此判断B；
由2 对角分别相等，可以证明
，由此判断C；
由已知条件判定
不成立，由此判断D．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
，
又
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
80 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
又
是
上一点，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故A 成立；
又
，
，
∴
，
81 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
故B 成立；
∵
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
故C 成立；
，但
，
∴
不成立，
故D 不成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹
角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
3．如图，在
中，
，
，
是
上一点，点
在
上，连接
，
交
于点
，若
，
，则
_____．
82 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2
【分析】过
作
垂直
于
点，过
作
交
于
点，先利用解直角三角形求出
的长，
其次利用
，求出
的长，得出
的长，最后利用
，求出
的长，最后得出
答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出
辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
【详解】解：如图：过
作
垂直
于
点，过
作
交
于
点，
在
中，
，
，
又
，
，
在等腰直角三角形
中，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
83 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
即
，
，
，
又
，
，
又
，
，
又
，
，
，
故答案为：2．
4．如图，在
中，点
在
上，
，点
在
上，
，
，
相交于
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B 作
，交
延长线于点G，利用平行线构
造相似三角形是解题的关键；
过点B 作
，交
延长线于点G，利用
可得
，
，再利用相
似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点B 作
，交
的延长线于点G，
84 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
设
，
，则
，
，
，
，
由
，可得
，
，
由
，可得
，
即
．
故选：B．
5．如图，在
中，
，点D 为
边的中点，沿着过点D 的某条直线将
剪开，要使剪
下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可.
【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3 种剪法：
85 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，可得
，
，
.
6．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若
，
，
，
与
相交于点
，则
的值等于__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、
所对的直角边等于斜边的一半等，
熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质得出
，再结合
所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出
，最后通过平行相似证明
即可解决问题．
【详解】
解：∵
，
，
∴
．
在
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
86 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
7．在
中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交
、BC 于点M，N；
②分别以M、N 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线
，交
于点E，CD
的延长线于点F．已知
，
，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得
平分
，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即
可．
【详解】解：根据题意可得
平分
，
，选项A 不符合题意；
，
，
，
，
，
，选项B 不符合题意；
87 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，选项C 不符合题意；
，
，选项D 符合题意．
8．如图，在
中，
分别是
上的点，
，
，
，
的角平分线
交
于点
，交
于点
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．并求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析，2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是
本题的关键．
（1）由
即可证明结论；
（2）由
可得
，由角平分线的性质可得
，可证
，
再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
．
（2）解：∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
88 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
∴
．
9．如图，已知
与
都是等边三角形，点
在
上(不与
、
重合)，
与
相交于点
．
(1)求证：
；
(2)若
，设
，
；
①求
关于
的函数解析式及自变量的取值范围；
②当
最大时，判断
的形状？
【答案】(1)证明见解析；
(2)①
；②直角三角形
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、二次函数的最值及等边三角形的性质，关键是利用相似关系
建立函数模型，结合二次函数性质和几何判定定理解决问题．
（1）利用等边三角形的内角为
，通过角的和差关系推导一组对应角相等，结合“两角对应相等的两个
三角形相似”完成证明；
（2）①由等边三角形性质得到
，表示出
的长度，再根据相似三角形的对应边成比例，代入已知
量整理得到函数解析式，最后根据点
的位置确定自变量范围；②将二次函数化为顶点式，求出
最大时
的值，进而得到
和
的长度，结合
，利用勾股定理的逆定理判断三角形形状．
【详解】（1）解：∵
与
都是等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
89 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
（2）①解：∵
是等边三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
由（1）知
，
∴
，即
，
∴
，
∵点
在
上且不与
、
重合，
∴自变量
的取值范围是
；
②解：
，
∵
，
∴当
时，
取得最大值
，
此时
，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形；
答：当
最大时，
是直角三角形．
10．如图1，
是
的直径，
是左半圆上的任意一点（不与
，
重合），
是劣弧
上一动点．连
结
，
，在右半圆上取一点
，使得
，连接
并交
于点
．
90 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
(2)如图2，当
为左半圆上的中点时，求证：在点
运动过程中，始终存在
．
(3)如图3，在（2）的条件下，连结
，取右半圆中点
，连结
，
，求证：
与
面积相
等
【答案】(1)
证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
(2)
证明：∵
为左半圆上的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
(3)
证明：如图所示，设
交于Q，连接
，
∵M、N 分别为左半圆和右半圆的中点，
91 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
为
的直径，
∴
，
由（1）可得
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵四边形
是圆内接四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
与
面积相等．
92 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了弧与弦以及圆周角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等角对等边等等，熟
知圆的相关知识是解题的关键．
（1）根据同弧所对的圆周角相等得到
，再根据已知条件和相似三角形的判定定理即可证明
结论；
（2）由题意可得
，再证明
，得到
，则有
，据此可证明
；
（3）设
交于Q，连接
， 根据题意可得
，
，
则可证明
为
的直径，得到
，再证明
，得到
；导角
可证明
；再证明
，得到
，则可推出
，据此可证明
与
面积相等．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
11．如图，在四边形
中，
，点
在边
上，且
，点
在边
上，
且
，连接
，
交
于点
．
(1)求证：
；
(2)如图
，若
，求证：
；
93 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
(3)如图，若延长
恰好经过点
，求
的值．
【答案】(1)
证明：
在
和
中，
又
（SAS）
四边形
为平行四边形
(2)
证明：
又
，即
．
又
94 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，即
(3)
【分析】（1）证明
，得出
，证明四边形
为平行四边形，得出
，则可
得出结论；（2）证明
，得出
，证明
，得
，则得出结论；（3）
证明
，得出
，设
，解方程求出
，则可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）
，
．
设
，则有
解得
（负值舍去）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似
三角形的判定和性质是本题解题的关键．
12．如图1，在正方形
中，点
在边
上，点
在边
上，且点
不与
、
重合，点
不与
、
重合，
，
，
，求
的长．小明利用正方形的性质，通过把
旋转
到
的位置（如图2），就计算出了
的长为_____．
95 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（2）如图3，
是正方形
的边
上的任意一点，过点
作
的垂线交
的延长线于点
，连接
．求
的度数．
（3）如图4，正方形
中
，过点
再作
，垂足为
，连接
．求证：
．
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）证明：如图4，连接
，
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵四边形
是正方形，
是对角线，
∴
是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
∴
；
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
96 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）旋转可知
，
、
、
在同一直线上，进而可得
，
再证明
，即可得
，由此即可得出结论；
（2）根据正方形的性质结合已知条件证明
，得出
，进而证明
是等腰直
角三角形，即可求解；
（3）连接
，证明
，根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：∵正方形
，
∴
，
，
∵把
旋转到
的位置，如图2，
∴
，
，
，
，
∴
，
，即
、
、
在同一直线上，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
（2）
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
是等腰直角三角形．
；
97 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
（3）略
13．【感知】如图①，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 合），
．证
明：
．
（2）【探究】如图②，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），
．若
，求
的长．
（3）【拓展】如图③，在
中，
，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），连
结
，作
，
与边
交于点E，当
是等腰三角形时，直接写出
的长．
【答案】
（1）证明：
∴
，
∴
∴
∴
；
（2）3；（3）4 或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知
识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到
，再由
，即可证明相似；
（2）证明
，得到
，代入数据即可求解；
（3）同理可证明
，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可
求解．
【详解】（1）略；
（2）解：∵
是
的外角，
∴
，
98 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
即
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，解得：
；
（3）解：∵
，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
当
时，
，
∵
，
∴
不成立；
当
时，
，
则
，
∴
；
当
时，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
99 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
即
，
解得：
，
∴
，
综上所述：
是等腰三角形时，
的长为4 或
．
14．【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE，
CF，延长CF 交AD 于点G．
（1）求证：
．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H．若
，
，求线段DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF，延长CF，BF 交直线AD 于G，两点，若
，
，求
的值（用含k 的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图，
由
折叠得到，
，
．
又
四边形ABCD 是正方形，
，
，
，
100 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
又
正方形
．
；
（2）
；
（3）
或
【分析】（1）根据ASA 证明
；
（2）由（1）得
，由折叠得
，进一步证明
，由勾股定理得
，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H 在D 点左边和点
在
点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出
DE 的长，再由勾股定理得
，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）略
（2）如图，连接
，
由（1）得
，
，
由折叠得
，
，
．
四边形
是正方形，
101 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
又
，
，
．
，
，
，
．
，
，
（
舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知
可设
，
，可令
，
①当点H 在D 点左边时，如图，
同（2）可得，
，
，
由折叠得
，
，
又
，
，
，
又
，
，
102 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
．
，
，
，
（
舍去）．
②当点
在
点右边时，如图，
同理得
，
，
同理可得
，
可得
，
，
，
，
（
舍去）．
103 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
15．如图1，
，分别过A，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为E、F，
，
，
，求
的长度为 ．
（2）如图2，在矩形
中，
，
，点E、F、M 分别在
上，
，
，
当
时，求四边形
的面积．
（3）如图3，在
中，
，
，
，点E、F 分别在边
上，
且
，若
，求
的长度．
【答案】（1）
，（2）
；（3）
，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据一线三垂直模型容易证明
，进而由相似三角形性质即可求解；
（2）过点
作
垂足为H，根据（1）可知
，根据相似三角形性质结合已知求出
，
，
，
，再由四边形
的面积=矩形
的面积
即可求解；
（3）延长
到点P 使
，连接
，过点C 作
，利用等腰三角形三线合一和解三角形
求出
，再证明
，得
即可求解．
104 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：（1）∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
故答案为
，
（2）如图，过点
作
垂足为H，
同理（1）得：
，
∴
，
∵在矩形
中，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，即：
，
∴
，解得：
，
∴
，
，
，
∵四边形
的面积=矩形
的面积
，
∴四边形
的面积=
．
（3）延长
到点P 使
，连接
，过点C 作
，
105 / 105
学科网（北京）股份有
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
且
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，解得：
，
（不合题意舍去）
∴
【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和
性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．
