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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题17 相似三角形性质与判定的综合问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 题型8、相似三角形与函数图象的综合 题型9、相似三角形分类讨论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形性质与判定的综合问题，要同时运用判定定理与性质定理；常见背景包括旋转、折叠、函 数图象、最值等，关键是识别或构造相似，建立比例关系；求线段比、线段长、面积比、面积等问题，常 通过相似比转化；分类讨论要注意对应顶点不同、图形位置不同、参数范围不同等情况；综合压轴题要善 于设参、列方程，并结合几何直观与代数运算双重验证． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 目 录 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 典例1 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形纸片 的对角线相交于点 ， 如果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点 ，并将它从虚线位置开始绕点 逆时针旋转 ，那么 在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积（ ） A．不变 B．先变小再变大再变小 C．先变小再变大 D．变小 题型模版 1.特征：在旋转背景下，通过旋转产生等角、等线段，进而构造或判定相似三角形． 2.方法：利用旋转角相等、对应边相等找等角；识别共顶点的相似三角形；用相似比建立线段关系． 变式1-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图， 中， ， ， ，将 绕 着 边中点 旋转得到 ， 、 分别交 于点 、 ，若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图， 中， ，D、 E 分别在边 上， ， ，将 绕点C 旋转，旋转后点D、E 对应的点分别为 ， ．当点 落在线段 上时，连接 ，此时 的长为__________． 变式1-3 如图1， 中， ， ．点 是斜边 中点，连接 ．点 为 上一动 点（不与端点 ， 重合），连接 ．将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点 ． 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ． (2)如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点 ．过点 作 于点 ．设 ． ①当 时，求 的值． ②当 时，k 的值与问（2）①所求的值相等，求 的比值． 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 典例2 如图，在矩形 中， ．点 是边 上的一动点，将 沿 折叠，点 落在点 处． (1)若 ，当 落在对角线 上时，求 的长； (2)若 ，连接 ．若 为等腰三角形，求所有符合条件的 的长； (3)若 ，在点 运动的过程中，线段 的中点为 ．求当 的面积取得最大值时，点 到点 的距离，同时探讨 能否为 ，若可以，请求出此时 的长；若不可以，请说明理由． 题型模版 1.特征：在折叠背景下，利用折叠前后的对称性寻找等角、等线段，构造相似． 2.方法：确定折痕为对称轴；利用折叠前后对应角相等、对应边相等；结合平行线或公共角判定相似． 变式2-1 如图，在菱形 中，点E 在 上，连结 ，作点A 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点F，若点 恰为 的中点，则 与 的面积比为_____________． 变式2-2 在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数 学的奥秘． 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ； 步骤2：将正方形沿 折叠，使点 翻折至点 处， 交 于点 ． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ． 步骤2：将正方形折叠，使点 落在 上，得点 ，得到折痕 ． 【问题解决】 (1)在实践操作1 中，猜想 的形状，并说明理由． (2)在实践操作2 中，若 ，求 的长． 变式2-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）【驱动背景】 在 中，将劣弧 沿弦 所在的直线折叠，使得弧 恰好过圆心O，圆心O 关于直线 的对称点为 O1． 【前情感知】 （1）如图1，连接 ， ， 的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D 是优弧 上的任意一点，连接 交折叠后的弧于点C，连接 ， ． ① 的度数为 ；猜想 与 的数量关系 ； ②如图3，若弧 （翻折后）不经过圆心O， 与 的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若 为 直径，将第一次折叠后的弧 （弧 部分）沿 向下翻折交弦 于点E， 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 连接 ．若 ， ，请直接写出线段 的长． 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 典例3 如图，在正方形 中，点 在 边上且 ，连接 ．点 为 边上一点，过点 作 于点 ，交 于点 ，点 在 边上，连接 ， ， ，若 ， ， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求两条线段的比值． 2.方法：找出包含这两条线段的相似三角形；利用对应边成比例写出比值；注意约分与对应顺序． 变式3-1 （25-26 九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ．点 是劣弧 上任意一点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ， 与 的延长线相交于点 ，当 时，则 _____． 变式3-2 （25-26九年级下·浙江杭州·期中）在矩形 中，是 边的中点，连接 ，过点 作 于点 ，射线 与直线 交于点 ，设 ． (1)如图①，若 ，求证： ； (2)如图②，当点 恰好与点 重合时，试确定 的值； (3)作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，延长 交直线 于点 ．当 时，求 的值， 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 并直接写出相应 的值． 变式3-3 如图1，在菱形 中， ，是对角线 上一点，连接 ，设 ， 将 沿 折叠得到 ，连接 并延长交 于点 ． (1)用含 的代数式表示 ． (2)求证： ① ； ② ． (3)如图2，当 时，求 的值． 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 典例4 如图，在 中， ，以 为直径作半圆，交 于点E， 于点F，分别过点A，B 作 于点G， 于点H． (1)已知 ，求弧 的度数． (2)求证： ． (3)已知 ， ，求 的长． 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求某条线段的长度． 2.方法：设未知线段为x；找相似三角形列比例式；解方程并检验是否符合图形约束． 变式4-1 如图，点P 是边长为1 的正方形 的边 上一动点，连接 ，交对角线 于点E，作 的外接圆 ，交 于点F．连接 ，则 的度数为_______；若 ，则 ______． 变式4-2 在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， 交于点 ，已知 ． 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图，线段 与 垂直吗？请说明理由． (2)如图 ，过点 的圆交 于点 ， 交 于点 ．求证： ． (3)如图，在（ ）的条件下，当 ，点 是线段 的中点时，求 的值． 变式4-3 如图1， 内接于 ，是直径 上的一点，满足 ，连接 并延长交 于点 ， 连接 ，点 在弦 上，且 ．过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ．设 ． (1)用含 的代数式表示 和 的大小； (2)如图1，若 ，求证： ； (3)如图3，若 的半径为1，点 在 上，且 ，求 的长． 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 典例5 （25-26 九年级下·浙江金华·期中）如图，在 中， 为对角线 上一点，线段 与线段 关于过点 的直线对称，点 的对应点 在线段 上， ， 与 相交于点 ，连接 ， 且 ，则四边形 与 的面积之比为________． 题型模版 1.特征：利用相似三角形面积比等于相似比的平方求面积比． 2.方法：确定相似比；利用面积比=相似比²计算；注意区分相似三角形与等积变换． 变式5-1 如图，在 中，点 为 上一点，将 沿 翻折得到 ，点 的对应点 恰好落 在 的中点处，延长 交 于点 ，则 与四边形 的面积比为________． 变式5-2 如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，是 上一点，连接 交 于点 ，连接 ， ， ． 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 ，求 的长． (2)若 ， ． ①求证： ． ②记 和 的面积分别为 和 ，求 的值． 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 典例6 如图，已知在 中， ， 是 上的高线，点 是 上的一点， 交 于点 ．过 点 作 交 于 ，连接 ，若 ， 的面积为 ，则 的面积为______． 题型模版 1.特征：已知相似比或边长关系，求三角形的面积． 2.方法：先求相似比；利用面积比=相似比²得到目标面积；必要时用底高公式辅助计算． 变式6-1 某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为 ，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 （ ）．先将纸片折出折痕 ，再在边 上取点P，将 沿 折叠得 ．记 与 的交点为Q，在折纸过程中，当点Q 平分线段 时， 恰好平分 ，则 长度应取________ ． 变式6-2 在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究．已知：如图，四边形 的两条对角线 ， 相交于点P，且满足 ． (1)基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似．请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证 明过程． (2)拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线 ，且测得 ， ， ． 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①请你求出线段 的长； ②请你求出 的面积． 变式6-3 如图，等腰三角形 中， ．以点B 为圆心， 长为半径作弧分别交 ， 于点D， E，延长 交 的延长线于点F． (1)若 ，求 的度数． (2)求证： ． (3)若D 为 的中点． ，求 的面积． 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 典例7 如图1， 内接于 ，作直径 交边 于点 ， 平分 ，连接 ， ． (1)若 ，求 的度数． (2)如图2，作 于点 ，交 于点 ， ①求证： ． ②若 ，且 ，求 的最小值． 题型模版 1.特征：结合相似三角形与函数思想，求线段或面积的最值． 2.方法：用相似比把目标量表示为某变量的函数；根据函数性质或几何不等式求最值；注意自变量范围． 变式7-1 如图， 中，点 、分别是 、 上的点，且 ，将 、 、 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的周长分别记作 、 、 ，则 的最大值为______． 变式7-2 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图， 、 是以 为直径的 上的两个动点（点 、 不与 、 重合），在运动过程中，弦 的长度始终保持不变， 是 的中点，过点 作弦 于 点 ．若 ， ，则 面积的最大值是__________． 变式7-3 如图，在菱形 中， ，点E 为菱形 内部一点，将 绕B 点顺时针旋转 ，使边 与 重合，得到 ，且点M、A、E 在同一直线上．延长 交射线 于G 点，延长 交射线 于F 点． (1)求 的度数． (2)若 ， ，求 的长． (3)当E 在内部运动时，求 的最小值． 题型8、相似三角形与函数图象的综合 典例8 如图1，在菱形 中， ，点P 从点D 出发，以每秒1 个单位的速度沿 向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿折线 向终点D 匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x 秒， 为y．如图2，y 关于x 的函数图象经过最低点 ．下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D．点 在该函数图象上 题型模版 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：相似三角形与函数图象（一次、反比例、二次函数）结合的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取坐标与数量关系；用相似比建立方程；注意坐标与线段长度的转化． 变式8-1 如图，点 为 的重心，当动点 从点 出发沿 的边逆时针运动一周，设点 的运动 路程为 ， 为 ， 关于 函数的部分图象如图 所示，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 的面积为 变式8-2 如图1，点 是以 为直径的半圆上的一个动点，过点 作 于点 ， 是 的中点， 连结 ， ．设 ， 的面积为 ， 的面积为 ．函数 ， 关于 的图象如图2 所示， 其中点 为两个图象的交点，则下列结论错误的是（ ） A． B．点 一定落在 函数图像上 C．点 的坐标是 D．当 时， 变式8-3 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，在 中， ， ， ，点D 在 上， ，点E，F 分别在边 上（不与端点重合），且 设 ， 的面积为 ， 关于 的函数图象如图 所示，最高点为 ，且经过 和 两点．下 列选项正确的是（ ） 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． 的面积的最大值为0.96 D．点 在该函数图象上 题型9、相似三角形分类讨论问题 典例9 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①， 绕点A 逆时针旋转 度 （ ）得到 （点B，C 的对应点分别为点 ， ），连接 ， ．同学们发现： ． 【类比探究】 （1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知 ， 可以看成是 绕点A 逆时针旋转 度（ ），再进行相似变化得到的，连接 ， ． ① 和 是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由． ②若 ， ， ，求 的值． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形 为正方形， 在正方形内部（不包括边上）， ， ， ，连接 ，求 的值． 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：由于对应关系不确定或图形形状不唯一，需要进行分类讨论． 2.方法：明确分类标准（对应顶点不同、点在线段或延长线上、图形开口方向等）；逐类画图、判定相似并 求解；最后汇总答案． 变式9-1 （25-26 九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线 与 轴、 轴分别交于点 和 点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ． (1)求该抛物线的解析式与点 的坐标； (2)当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值； (3)连接 ，点 在 轴上，是否存在使以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出所有 符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究） 变式9-2 （24-25 九年级上·上海普陀·期中）在 中， 垂足为 ．且 点 是边 上一动点(点 不与点A、点C 重合)，连接 ，过点 作 交线段 于点 ． (1)如图①，求证： ． (2)如图②，若 ，求 的面积． (3)若 交线段 于点 ，连接 ，且 与 相似，请直接写出 的长． 变式9-3 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，A、B 两点的坐标分别是 ，点P 由点 B 出发沿 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3 个单位长度，点Q 由A 出发沿 （O 为坐标原点） 方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2 个单位长度，连接 ，若设运动时间为 秒．解答 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如下问题： (1)当 时，求点P 的坐标； (2)当 与点A、Q、P 三点构成的三角形相似时，求点Q 的坐标； (3)设 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在菱形 中， ， ，E 是 延长线上一点， 交 于点F，连接 并延长交 于点G，则线段 长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，有一张矩形纸片 ，已知 ， ，现 将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕 进行折叠，使点 落在 边上的点 处，点 在 上（如图 2）；然后将纸片沿折痕 进行第二次折叠，使点 落在第一次的折痕 上的点 处，点 在 上（如 图3），给出四个结论： ① 的长为10；② 的周长为18；③ ；④ 的长为5，正确的个数是（ ） 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图1，在 中， ， ． 是 上一点， 的中垂线交 的边于点 ， ．记 ，四边形 面积为 ，利用数学软件画出 关于 的函数图象如图2 所示，其中一个最高点 坐 标为 ，一个最低点 坐标为 ，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．点 在该函数图象上 4．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形 中（顶点A，B，C，D 按逆时针方向排 列）， ， ， ， ，P 是边 上的一动点，点C 绕点P 按逆时针方向旋转 得 点 ，则 ______．若点 落在射线 上时，则 ______． 5．如图，正方形 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线 交边 于点 ，且 ．在 的延长线上取点 ，使 ，分别以 ， 为边在 的 外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为 ， ，则 _____．若 ，则 的 长为_____． 6．如图，在 中，点 在 上，点 关于直线 的对称点 落在 内，延长 交 于点 ， 交射线 于点 ，延长 交 于点 ．当 时，设 ， ，则 _________ （用含 的代数式表示）． 7．数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片 沿 折叠，点 的对称点为点 ， 与 相交于点 ． 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图，求证： (2)如图 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ． ①猜想四边形 的形状，并说明理由． ②当 时，求 的值． 8．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）如图1，将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ，点 、 、 的对应点分别为 、 、 ，延长 交 于点 ，连结 ． (1)求证： 平分 ； (2)如图2， ， ，当 在 的延长线上时，求 的值； (3)如图3，连结 ， ，当点 落在 上时， 、 、 共线，求 的值． 9．如图，是 的半径 上一点，点 关于点 的对称点为 ，过点 作 交 的一侧于点 ， 射线 交 于另一点 ， 交射线 于点 ． (1)求证： ． (2)判断 与 的数量关系，并说明理由． (3)若 ，当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10．如图1，四边形 内接于 ， 是 的直径，连接 交 于点 ， ． (1)求证： ； (2)求证： ； (3)如图2，过点 作 交 于点 ，若 ， ，求 的长． 11．如图，已知 内接于 ， ， ，连结 并延长交 于点 ．点 是线段 上异于端点的动点，过点 作 分别交 ，边 ，边 于点 ， ， ，且点 在 左侧． (1)求证： ； (2)求证： ； (3)设 ，当 时，求 的取值范围． 12．如图，在菱形 中， 是锐角， 是 边上的动点，将射线 绕点 按逆时针方向旋转， 交直线 于点 ． (1)如图，当 ， 时， ①求证： ； ②连接 ， ，若 ，求 的值． (2)如图 ，当 时，延长 交射线 于点 ，延长 交射线 于点 ，连接 ， 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ．若 ， 且 是等腰三角形，求 的长． 13．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片 和 中， ， ， ． (1)如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值． (2)如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 上时，求 的长． (3)在纸片 绕点 旋转过程中，连接 ， ，试探究当 与 一个内角相等时，求 的长． 14．如图（1），已知正方形 ，矩形 ，其中，B 在边 上，D 在边 上，正方形 的边 长为2．设矩形 的边 ， （a，b 均为小于等于2 的正数）．将矩形的两个角翻折， 使G 落在边 上点N 处，E 落在边 上点M 处， 为折痕，连接 ． (1)若M，N 分别为 的中点，求 的长． (2)若 ，求矩形 的面积． (3)如图（2），连接 ，若 恰好经过点C，求证： ． 15．如图，在矩形 中， ， ，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度，沿射线 方向运动，动点Q 从点C 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿线段 方向运动．点P 和点Q 同时出发， 当点Q 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（ ）． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)用含t 的代数式表示线段 的长； (2)当 与矩形的对角线平行时，求t 的值； (3)若点M 为 的中点，求以M、P、C 为顶点的三角形与 相似时t 的值； (4)直接写出点B 关于直线 的对称点 落在 边上时t 的值．
