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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题25 特殊三角形最值问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 长方体中的最值问题 【典例1】C． 【变式1-1】25． 【变式1-2】4√2． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵小正方形JKLP 的面积为16， ∴𝑐= √16 = 4． ∵每个直角三角形较小锐角为30°， ∴𝑏= 1 2 𝑐= 1 2 × 4 = 2， ∴𝑎= √42 −22 = 2√3， ∴大正方形MNPQ 的边长为𝑎+ 𝑏= 2 + 2√3． ∴大正方形MNPQ 的面积为(2 + 2√3)2 = 4 + 8√3 + 12 = 16 + 8√3． （2）∵中间小正方形的边长为a﹣b， ∴（a﹣b）2＝5， ∴a2﹣2ab+b2＝5①， 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵（a+b）2＝21＝21， ∴a2+2ab+b2＝21②， ∴①+②得，2a2+2b2＝26， ∴a2+b2＝c2＝13， ∴大正方形的面积为13， 故答案为：13． （3）不正确．将长方体盒子侧面ABCD，DCGH 展开成平面图形，如图⑤所示，连接AG． ∵AG= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐺2 = √2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏， ∴4a2﹣b2﹣（2a2+b2+2ab）＝2a2﹣2ab＝2a（a﹣b）， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0， ∴2a（a﹣b）＞0＞0， ∴√4𝑎2 + 𝑏2＞√2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏， 即l 的最小值为√2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏． ▌题型02 正方体中的最值问题 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1， 如图所示， 𝐴𝐶1 = √𝐴𝐶2 + 𝐶𝐶1 2 = √(5 + 5)2 + 52 = 5√5(𝑐𝑚)； 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1， 两点之间线段最短，AC1 是最短路径， 如图所示，AC1= √136(𝑐𝑚)． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1， 两点之间线段最短，AC1 是最短路径， 如图所示𝐴𝐶1 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶1 2 = √52 + 112 = √146(𝑐𝑚)． ∵√146＞√136， ∴最短路程为√136𝑐𝑚，即最短路程为2√34𝑐𝑚． （3）将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， ， ∵AD＝5+3＝8（cm），DB＝6（cm）， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝐵2 = √82 + 62 = 10(𝑐𝑚)； 第二种：如图⑤， 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CB＝6+5＝11（cm），AC＝3cm， ∴𝐴𝐵= √112 + 32 = √130(𝑐𝑚)； 第三种：如图⑥， ∵CB＝3+6＝9（cm），AC＝5cm， ∴𝐴𝐵= √92 + 52 = √106(𝑐𝑚)， ∵10＜√106＜√130， ∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm． ▌题型03 圆柱体中的最值问题 【典例1】B． 【变式1-1】29 尺． 【变式1-2】14√5． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得：𝐴𝐶= 2𝜋× 3 𝜋= 6𝑐𝑚，BC＝4cm，AC＝3 在Rt△ABC 中，AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 =5 即最短的路线长是5cm， 故答案为：5； （2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m， ∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.5＝1m， 设AC＝xm， 则AD＝AB﹣DB＝（x﹣1）m， 在Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝（x﹣1）m，AC＝xm，CD＝2m， ∴AD2+DC2＝AC2， 即（x﹣1）2+22＝x2， 解得x＝2.5， 故绳索AC 的长为2.5m． ▌题型04 台阶中的最值问题 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图所示， 线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2）根据题意可得：展开图中的AB＝100+20＝120（cm），BC＝50cm． 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt△ABC 中，由勾股定理可得：𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √1202 + 502 = 130(𝑐𝑚)， 即这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程为130cm． 【变式1-3】 【解答】解：如图：展开图中AB 的距离即为蚂蚁爬行的最短路程，且∠AOB＝90°． ∵每级台阶长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm， ∴OA＝30+10+30+10＝80（cm），OB＝60cm． ∵∠AOB＝90°，OA＝80cm，OB＝60cm， ∴AB= √602 + 802 =100（cm）． 故最短爬行路程是100cm． ▌题型05 垂线段最短 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型06 三角形三边之间的关系 【典例1】B． 【变式1-1】2√13 −4． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】B． 【变式1-3】 【解答】解：作AH⊥BC 于点H，连接AM， ∵等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰长为5， ∴AH= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐻2 = √52 −22 = √21， ∵EF 垂直平分AC，点M 在EF 上， ∴AM＝CM， ∵AM+MN≥AH， ∴CM+MN≥√21， ∴CM+MN 的最小值为√21． ▌题型07 将军饮马模型求最值 【典例1】B． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AC＝1.5，CD＝0.9， ∴AD= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1．52 −0．92 =1.2， ∴BD= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √22 −1．22 =1.6； （2）连接CE 交AD 于点M，连接FM，此时EM+FM 的值最小，最小值为CE 的长． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 取BD 的中点H，连接EH． ∵AE＝EB，BH＝DH， ∴EH= 1 2AD＝0.6，EH∥AD， ∵AD⊥BC， ∴EH⊥BC， ∴CH＝CD+DH＝0.9+0.8＝1，7， ∴EC= √𝐸𝐻2 + 𝐶𝐻2 = √0．62 + 1．72 = √13 2 ． ∴ME+MF 的最小值为√13 2 ． 【变式1-2】 【解答】解：模型解决：在直线l 上另取任意一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B 与点B′关于直线l 对称， ∴直线l 是BB′的垂直平分线． ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB 最小． 用到的数学依据是：三角形两边之和大于第三边， 故答案为：CB′，C′B′，CB′，AB′，三角形两边之和大于第三边； 模型应用：直线m 与AB 交于点D， ∵直线m 垂直平分BC， ∴B、C 关于直线m 对称， ∴当P 和D 重合时，AP+CP 的值最小，最小值等于AB 的长， ∵AB＝5，AC＝4， 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴△APC 周长的最小值是AB+AC＝5+4＝9． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P 关于OM、ON 的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，交OM、ON 于 点A、B，连接PA、PB，此时△PAB 周长的最小值等于P′P″． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝80°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°， ∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°， ∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝50°+50°＝100°． 故答案为：100． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵点B 与点B'关于直线l 对称， ∴BC＝B'C，BC'＝B'C'， ∴AC+CB＝AC+B'C＝AB'，AC'+BC'＝AC'+B'C'， 在△AC'B'中，由三边关系可得，AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AC+B'C， 即AC+BC＜AC′+BC′； （2）∵直线m 是边BC 的垂直平分线， ∴点B 和点C 关于直线m 对称， ∴当P 与P'重合时，AP+CP 值的最小，即△APC 周长有最小， 此时，△APC 周长为AP'+P'C+AC＝AB+AC＝6+5＝11， 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：11； （3）分别作点P 关于OM、ON 的对称点E、F，连接OP、OE、PF，交OM、ON 于点A、B，连接PA、 PB，此时△PAB 周长的有最小值等于EF，如图， 由轴对称性质可得，OE＝OP＝OF，∠POA＝∠FOA，∠POB＝∠EOB， ∴∠EOF＝2∠MON＝2×35°＝70°， ∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣70°）÷2＝55°， 又∵∠BPO＝∠OEF＝55°，∠APO＝∠OFE＝55°， ∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝110°， 故答案为：110．
