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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题18 直角三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形两个锐角互余 题型02 直角三角形与平行线 题型03 直角三角形与翻折 题型04 直角三角形的判定 题型05 直角三角形的个数 题型06 网格中的直角三角形 题型07 直角三角形斜边上的中线求线段 题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 题型10 含30°角的直角三角形求线段 题型11 最值问题 题型12 动点问题 ▌题型01 直角三角形两个锐角互余 1. 直角三角形的两个锐角互为余角（互余），也就是两个锐角相加等于90°。 2. 同角（等角）的余角相等。 【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B 是∠A 的2 倍，则∠A 的度数为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1-1】（2026 春•碑林区校级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，BE 平分∠ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ABC，交AC 于点E．若∠BAD＝40°，则∠AEB 的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式1-2】（2026•西安校级一模）如图，在Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AC≠AB，AD 是斜边上的高， DE⊥AB 于点E，则图中与∠B（∠B 除外）相等的角的个数是（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【变式1-3】（2026 春•北京期末）如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD＝35°，则∠A 为 °． ▌题型02 直角三角形与平行线 1. 直角三角形两锐角互余：∠𝐴+ ∠𝐵= 90°。 2. 平行线三大性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补。 3. 常见题型： （1）一条平行线过直角顶点：利用平行线内错角相等，将直角拆分出的两个锐角转移，可得一组角互余。 （2）直角三角形一边平行于外部直线：平行线可以把直角三角形的直角、锐角完整平移，在平行线另一侧 再造一组互余角。 （3）直角三角形斜边平行于直线：直角三角板斜边贴平行线，求拐角角度，解题思路就是锐角平移+互 余。 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•当阳市模拟）如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间， 若∠2＝68°，则∠1 的大小是（ ） A．68° B．38° C．34° D．32° 【变式1-1】（2026•昌平区一模）如图，直线l1∥l2，A，B 是直线l1 上两点，C，D 是直线l2 上两点，AD⊥ BC 于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC 的大小为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【变式1-2】（2026•莎车县模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC 和长方形直尺按如图的方式摆放在 同一平面内，其中∠B＝90°，∠C＝30°，三角板的边AB，AC 与直尺一条边的两个交点分别为点D， E．若∠α＝50°，则∠ADE 的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-3】（2026•莘县校级模拟）如图，△ABC 中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1 等于 （ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型03 直角三角形与翻折 1. 全等性：翻折前后两个三角形全等，对应角相等、对应边相等； 2. 角平分线：折痕是重合两点连线的角平分线，折痕平分对应夹角； 3. 垂直平分线：折痕垂直平分两组对应点的连线。 结合直角三角形自带条件：两锐角互余（和为90°）、直角=90°，这两类条件联动就是翻折求角的核 心。 【典例1】（2026 春•深圳期中）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A＝26°，则∠CDE 的度数为（ ） A．45° B．64° C．71° D．81° 【变式1-1】（2026 春•宽城区期末）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，沿CD 折叠△CBD，使点B 恰好落 在AC 边上的点E 处，若∠A＝21°，则∠BDC 等于（ ） A．42° B．63° C．66° D．76° 【变式1-2】（2026 春•聊城期末）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°E，F 分别为AB，AC 上一点，将△ABC 沿直线EF 翻折至同一平面内，点A 落在点A′处，EA'，FA'分别交BC 边于点M，N．若∠BEA'＝80°， 则∠CFA′的度数为（ ） A．90° B．100° C．110° D．80° 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片 折叠，使点B 的对应点B′落在AC 上，折痕与BC，AB 分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形 时，∠BEF 的度数为 ． ▌题型04 直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 2. 如果一个三角形中两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。 【典例1】（2025 秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝ 90°﹣∠B，④∠A＝∠B= 1 2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式1-1】（2025 秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠ B：∠C＝2：3：5，④∠A= 1 2∠B= 1 3∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1-2】（2026 春•广州校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③ ∠A，∠B 都是锐角；④△ABC 三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【变式1-3】（2025 秋•合肥校级期末）在下列条件： ①∠A+∠C＝∠B； ②∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶； ③∠A＝∠B＝2∠C； 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4 中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ▌题型05 直角三角形的个数 步骤1：锁定图里所有直角顶点 把图中所有标了直角、能推导出直角的顶点全部圈出来，直角是直角三角形的核心顶点。 步骤2：固定顶点，分类枚举（最稳妥，防漏数） 以每个直角顶点为分类标准，数以此顶点为直角顶点的所有三角形。 步骤3：区分独立三角形，排除重复计数 （1）小直角三角形：不能再拆分的最小单元 （2）组合直角三角形：由两个小直角三角形拼接而成的大三角形 两种都要单独统计，不能只数小的。 步骤4：收尾核验 （1）检查有没有把非直角三角形误算进来； （2）核对同一个三角形是否被多次统计（只算1 次）。 【典例1】（2026•灞桥区校级模拟）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是BC 延长线上一点，DF⊥AB 于 点F，DF 交AC 于点E，图中有（ ）个直角三角形． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式1-1】如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有 个直角三角 形． 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是△ABC 的高． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？ （2）∠2 和∠A 有什么数量关系？并说明理由． 【变式1-3】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，作BC 边上的高AD，图中出现多少个直角三角 形？又作△ABD 中AB 边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去， 作D1D2，D2D3，…，当作出Dn﹣1Dn 时，图中共出现多少个直角三角形？ 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 网格中的直角三角形 网格格点上找点P，使△𝐴𝐵𝑃为直角三角形，分类讨论三直角顶点，分三种情况枚举： 1. 直角顶点在A：过A 作AB 的垂线，寻找所有格点P； 2. 直角顶点在B：过B 作AB 的垂线，寻找所有格点P； 3. 直角顶点在P：以AB 为直径作圆。 把三类点位合并，剔除重复点，统计总个数。 【典例1】（2026 春•余干县月考）如图，在由5×5 的小正方形组成的网格中，A，B 两点在格点（网格线 的交点）上，若点C 在格点上，且△ABC 是直角三角形，则符合要求的点C 共有（ ） A．2 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【变式1-1】如图，在由25 个边长为1 的小正方形拼成的网格中以AB 为边画Rt△ABC，使点C 在格点上， 满足这样条件的点C 共（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】如图，在5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B 均在格点上．在格点上 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 确定点C，使△ABC 为直角三角形，且面积为4，则这样的点C 的共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1-3】如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格中，线段AB 的两个端点均在格点（正方形的顶点） 上，若△ABC 是直角三角形，则网格中满足条件的格点C 共有 个． ▌题型07 直角三角形斜边上的中线求线段长 直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半。 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，D 为斜边AB 中点，连接中线CD，则：𝐶𝐷= 1 2 𝐴𝐵 推论变形： （1）𝐴𝐵= 2𝐶𝐷（已知中线求斜边） （2）AD=DB=CD（斜边上中点分出三条相等线段） 【典例1】（2026 春•青秀区校级期末）如图，公路AC，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开， 若测得AB 的长为10km，则CM 的长为（ ） A．4km B．5km C．6km D．7km 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•长沙期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D 为边AB 的中点，则 AB 的长为（ ） A．16 B．5 C．4 D．7 【变式1-2】（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点，某同学用刻度 尺测量长度时，点A，B 对应的刻度分别为0，6，则CD 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2026 春•长春期末）如图，一把木梯AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，设木梯的中点为 P，当木梯顶端A 沿墙下滑时，木梯底部B 沿地面向右滑行．在此过程中，点P 与墙角O 的距离变化为 （ ） A．变大 B．不变 C．变小 D．先变大后变小 ▌题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 1.用中线长度×2 直接算出斜边AB 的长； 2.题目若给出两直角边之和AC+BC，直接相加：周长=(AC+BC)+AB。 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•漳州期末）如图，在△ABC 中，CF⊥AB 于点F，BE⊥AC 于E，M 为BC 的中点，EF ＝8，BC＝20，△EFM 的周长是（ ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式1-1】（2026•商丘模拟）如图，在Rt△ABC 中，△ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F 是AB 中点， 连接CF，把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE，点D 在AC 上．则线段CF 在平移过程中扫过区域形成 的四边形CFDE 的周长是（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式1-2】（2025 秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF 平分∠BAC，BE⊥ AC 于点E，D 是AB 的中点，则△DEF 的周长是（ ） A．9 B．10 C．13 D．20 【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 是高，E，F 分别是AB，AC 的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四 边形AEDF 的周长为 cm． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为边AB 的中点，则CD=AD=BD= 1 2 𝐴𝐵， 由此直接产生两组等腰三角形，在△ACD 中，∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷；在△BCD 中，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷； 再结合直角三角形固有条件：∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，同时∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°。 【典例1】（2025 秋•顺德区期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点．若∠B＝36°， 则∠BCD 的度数为（ ） A．72° B．60° C．44° D．36° 【变式1-1】（2026 春•通州区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD 交 于点F，点E 是AC 中点，∠EBF＝19°，则∠BAD 的度数是（ ） 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．69° B．71° C．73° D．75° 【变式1-2】（2026 春•滨江区月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为AB 边上的中线，且CD＜ BC，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧交边BC 于点E，连接DE．若∠A＝x，则∠BED 的度数为（ ） A．90°+ 1 2x B．45°+ 3 2x C．90°+x D．135°−1 2x 【变式1-3】（2026•台湾）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，D 点为AC 的中点，E 点在BD 上，AE 为∠ BAC 的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB 的度数为何？（ ） A．105 B．110 C．115 D．120 ▌题型10 含30°角的直角三角形求线段长 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。 【典例1】（2025 秋•玉溪期末）如图，在△ACB 中，点D 在AC 边上，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝ 60°，BC＝2，则AD 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2026•包河区校级模拟）在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝30°，D 是BC 中点，E 在AC 上，且 ∠AED＝90°，若DE＝2，则BC 的长为（ ） A．4 B．6 C．10 D．8 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•梅县区期末）如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE 为AB 边的垂直 平分线，AD＝12，则CD 的长是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2025 秋•肥东县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4 在射线ON 上，点B1， B2，B3 在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4 均为等边三角形．若OA1＝3，则A1A4 等于（ ） A．18 B．21 C．24 D．27 ▌题型11 最值问题 1.垂线段最短 直线外一点到直线所有连线里，垂线段最短。在含30°直角结构里，垂线经常直接充当30°角的对边。 2.动点绕定点旋转 某条线段长度固定，端点绕定点旋转，动点轨迹是圆。结合含30°直角三角形，求另一个端点的最值：最 值 = 圆心到定点距离 ± 半径。 3.折叠背景下含30°线段最值 折叠前后边长不变，存在定长线段，动点受折叠约束，常结合30°直角： 【典例1】（2025 秋•衡水期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6，D 是线段 AB 上一个动点，以BD 为边在△ABC 外作等边△BDE，若F 是DE 的中点．当CF 取最小值时，BF 的值 为 ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，如果AD＝10，P 为AB 上一动点，那么PD 的最小值为 ． 【变式1-2】（2025 秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P 是直线BC 上 的动点，则𝑃𝐴+ 1 2 𝑃𝐵的最小值是 ． 【变式1-3】（2025 秋•金安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D 为 AB 上一动点（不与点A 重合），△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点且始终有𝐷𝐺= 1 2 𝐸𝐹，则线段BG 长的最小值是（ ） A．8 B．6 C．7 D．9 ▌题型12 动点问题 设原直角三角形△ABC，∠C=90°，∠A=30°，动点P 在某条边上运动，问t 为何值时△ABP为含30°的直角 三角形。 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分三种直角顶点： 1.直角在动点P 处（∠APB=90°） 2.直角在定点A 处（∠PAB=90°） 3.直角在定点B 处（∠PBA=90°） 每一种直角确定后，再确定哪个锐角是30°，套边长比例列方程。 【典例1】（2026 春•达川区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm．动点P 从点A 开始以2cm/s 的速度向点B 运动，动点F 从点C 开始以1cm/s 的速度向点A 运动，两点同时运动， 同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t 为 s 时，△PAF 是直角三角形． 【变式1-1】（2026 春•城中区校级期中）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm，动 点P 从点A 开始以2cm/s 的速度向点C 运动，动点F 从点B 开始以1cm/s 的速度向点A 运动，两点同时 运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t 为 s 时，△PAF 是直角三角形． 【变式1-2】（2025 秋•安阳县期末）如图，在△ABC 中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P 从点B 出发以每秒2cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒1cm 的速度向点C 运动，其中一个动 点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，当△APQ 为直角三角形时，t 的值 为 ． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q 同时从A、B 两点出发， 分别在AB、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P 到达点B 时，P、Q 两 点同时停止运动，设点P 的运动时间为ts． （1）当t 为何值时，△PBQ 为等边三角形？ （2）当t 为何值时，△PBQ 为直角三角形？
