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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题16 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 等边三角形的性质求角度 题型02 等边三角形的性质与平行线 题型03 等边三角形的性质与折叠 题型04 等边三角形的性质求线段长 题型05 等边三角形的性质求周长 题型06 等边三角形的性质求面积 题型07 等边三角形的判定 题型08 等边三角形的性质与判定 ▌题型01 等边三角形的性质求角度 1. 三边全部相等； 2. 三个内角都相等，每个内角都是60°； 3. 等边是特殊的等腰三角形，所以等腰的所有性质（等边对等角、三线合一）等边全都能用； 4. 每条边上的高、中线、角平分线三线合一，同时这条线会把60°顶角平分出两个30°角。 【典例1】（2026 春•灞桥区校级月考）如图，已知△ABC 是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝70°，则∠1 的度数是（ ） A．85° B．80° C．75° D．70° 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B、C、D、E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，则∠E 的度数为（ ） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式1-2】（2026 春•温州期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2 等于（ ） A．130° B．240° C．300° D．330° 【变式1-3】（2026 春•高碑店市月考）如图，AD 是等边△ABC 的一条中线，且AE＝AD，则∠AED 的度数 为（ ） A．65° B．70° C．72° D．75° ▌题型02 等边三角形的性质与平行线 平行线核心作用：构造同位角、内错角相等，把60°角平移传递。 1.平行线平移60°角，直接出新等边三角形，过等边三角形一边作另一边的平行线，截出来的小三角形一 定是等边三角形。 2.平行线搭配等边外角（120°）倒角 【典例1】（2026•东方一模）如图，直线a∥b，等边△ABC 的顶点C 在直线b 上，∠1＝40°，则∠2 的度 数为（ ） 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式1-1】（2026 春•南岸区期末）如图，直线l∥m∥n，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线m，l 上，直线l 与BC 的夹角为35°，则∠1 的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．35° 【变式1-2】（2026•东河区校级三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性 质．如图，△ABC 是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE 交AB 于点E，光线FG 交AC 于 点G．已知△ABC 是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA 的度数为（ ） A．39° B．31° C．29° D．41° 【变式1-3】（2026•厦门模拟）如图，在六角星ABCDEF 中，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，且AB∥ DF，BC∥DE，AC∥EF．若△ABC 和△DEF 的边长分别为6 和8，则六边形MNOPQR 的周长为 ． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型03 等边三角形的性质与折叠 1. 等边三角形固有性质 三边相等，三内角都是60°；三线合一。 2. 折叠通用不变性 折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴。 3. 叠后最常出现的三类结论 ① 角度大量相等，快速凑出60°，生成新等边三角形，将等边三角形一角向内翻折，落在内部某边上， 常会形成多个小等边。 ②折叠构造等腰三角形，再升级为等边。 ③线段等量代换，折叠前后对应边相等，可以把折线的线段等量替换成原等边的固定边长。 【典例1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC 纸片沿DE 折叠，若∠1＝40°，则∠2 是（ ） A．50° B．55° C．60° D．58° 【变式1-1】（2025 秋•淮南期末）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为4cm，点D，E 分别在AC，BC 上， 将△CDE 沿直线DE 折叠，点C 落在点C'处，且点C'在△ABC 的外部，则图中三个阴影部分的周长之和 为（ ） 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【变式1-2】（2025 秋•藁城区期末）如图，把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，且DP⊥BC，则∠PED 的度数是（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式1-3】已知等边△ABC 中，点D，E 分别在边AB，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点 B′处，DB′，EB′分别交边AC 于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC 的度数为 ． ▌题型04 等边三角形的性质求线段长 等边三角形与垂直平分线的性质的结合，等边三角形的三边相等，垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等。 【典例1】（2026 春•南山区校级期中）如图，△ABC 是等边三角形，D 是△ABC 外一点，连接AD，CD， BD，过点D 作DE∥AB 交AC 于点F，交BC 于点E，已知AD＝CD． （1）求证：BD 垂直平分AC； （2）若BC＝9，DE＝5，求EF 的长． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE ∥AB，交边AD 于点E，连接BD，交CE 于点F，若CE＝12，则CF 的长为（ ） A．6 B．7 C．9 D．10 【变式1-2】（2025 秋•新疆期末）如图，在等边△ABC 中，AB＝4cm，BD 平分∠ABC，点E 在BC 的延长 线上，且∠E＝30°，则CE 的长是（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1-3】（2025 秋•南皮县期末）如图，△ABC 的边AC 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，连 接CD，若△BCD 为等边三角形，且周长为12，则AD 的长为（ ） 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型05 等边三角形的性质求周长 折叠阴影周长问题：折叠前后对应边相等，通过替换后，阴影周长往往等于原等边三角形周长。 平移前后的图形全等，对应边相等。 【典例1】（2026•雷州市一模）如图，已知等边三角形ABC 被一矩形所截，AB 被截成三等分，且EH∥ BC．若EH＝3，则四边形EFGH 的周长为（ ） A．24 B．21 C．18 D．15 【变式1-1】（2026 春•浑南区期末）如图，将边长为2 的等边△ABC 沿边BC 向右平移1 个单位得到△DEF， 则四边形ABFD 的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-2】（2025 秋•辉县市期末）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为7，点E，F 是BC 边的三等分 点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA 的方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是（ ） 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B． 16 3 C．7 D．8 【变式1-3】（2025 秋•包河区校级期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A 地到B 地．甲：A→ C→B，路程为S 甲．乙：A→D→E→F→B，路程为S 乙．丙：A→G→H→B，路程为S 丙．下列关系正确的 是（ ） A．S 甲＝S 乙＞S 丙 B．S 甲＝S 乙＜S 丙 C．S 甲＝S 丙＞S 乙 D．S 甲＝S 丙＜S 乙 ▌题型06 等边三角形的性质求面积 1.折叠问题求面积 ①折叠前后图形全等，面积相等； ②阴影面积常用整体减空白计算； ③经常搭配线段等量代换，先求出小等边的边长再算面积。 2.手拉手双等边面积结论 两个全等的等边三角形，面积完全相等；通过全等转化，可以把不规则图形面积转移成等边三角形面积。 3. 等边分割成四个全等小等边 把三边中点依次相连，原图分成4 个一模一样的小等边，每个小等边边长是原来的 1 2，单个面积为整体的 1 4。 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•福田区期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成 了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果△ABC 的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式1-1】（2025 秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E， 使得CE＝CD，连接DE，过点E 作EF⊥DE 交AC 的延长线于点F，若△ABD 的面积为12，则△CEF 的 面积为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图1，图2 是该印章的几何示 意图，它由18 个相同的正方形和8 个相同的等边三角形围成．若其中正方形的边长和等边三角形的边长 都为m，等边三角形的高为n，则这个印章的表面积为（ ） A．18mn+4m2 B．18m2+4mn C．18m2+4n D．m2+18mn 【变式1-3】（2025 秋•安顺期末）如图，已知△ABC 的周长是15，∠ABC＝60°，BO，CO，分别平分∠ ABC 和∠ACB 交于点D，OD⊥BC，且OB＝4，△ABC 的面积是 ． 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 等边三角形的判定 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形（定义判定） 判定2：三个内角都相等（都为60°）的三角形是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 解题步骤 ①审题：观察是否存在等腰条件（两边相等/等角对等边），有等腰：立刻在全图搜寻60°角，找到就用 判定3； ②无等腰：观察有无平行线，利用平行传递60°角，凑两个60°用判定2； ③线段条件多：通过全等、折叠、垂直平分线做线段等量代换，凑三边相等用判定1 【典例1】（2025 秋•东城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE 交BD 于点F． （1）求∠BAE 的大小； （2）判断△BEF 的形状，并证明． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 秋•平城区期末）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE 交AB 于E．求证：△CEB 是 等边三角形． 【变式1-2】（2025 秋•呈贡区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点A 作AD⊥AB，交边BC 于点D， 且DA＝DC，延长DA 使EA＝DA，连接BE． （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：△EBD 是等边三角形． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】如图，以等边△ABC 的边AC 为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A 作AD⊥BE，交BC 于点D，交EC 的延长线于点F，设∠FAC＝α． （1）∠ACE＝ （用含α 的式子表示），∠F＝ ； （2）当CF＝2，CE＝3，求AF 的长． ▌题型08 等边三角形的性质与判定 1.判定（由条件证等边） 用来证明一个三角形是等边三角形，是解题的起点。 三条判定优先级： ①等腰三角形 + 一个60°角 ②三角形两个内角为60° ③三边全部相等 2.性质（已知等边推结论） 证明出等边之后，用来推导边角线段，是解题的后半段。 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 核心性质： ①三边相等，三角均为60° ②三线合一 ③轴对称，两侧全等。 综合题固定逻辑链：判定在前，性质在后，先用边角条件判定等边 → 再用等边的性质倒角、求边长、算 面积。 【典例1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC，交边BC 于点D，过点D 作DF ⊥AB，垂足为F，FD 的延长线与边AC 的延长线交于点E，且∠E＝30°． （1）求证：△ABC 是等边三角形； （2）若BF＝2，求AE 的长． 【变式1-1】（2025 秋•太和县期末）如图，在△ABC 中，BD 是高，点D 是AC 边的中点，点E 在BC 边的 延长线上，ED 的延长线交AB 于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC 是等边三角形； （2）请判断线段AD 与CE 的大小关系，并说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB， AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝① ， ∴② ＝③ ， ∴AD＝AE．（④ ） ∴△ADE 是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE 是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC 的两条角平分线相交于点D，延长BD 至点E，使得AE＝AD，求证：△ ADE 是等边三角形． 【变式1-3】（2025 秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC 与BD 相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC 垂直平分BD； （2）过点B 作BF∥CD 交CA 的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD 是等边三角形； ②如果G、H 分别是线段AC、线段CD 上的动点，当GH+AH 为最小值时，请确定点H 的位置，并思考 此时GH 与CH 有怎样的数量关系．
