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专题14 等腰三角形的性质定理
（题型突破·举一反三）
▌题型01 等边对等角求角度
【典例1】B．
【变式1-1】D．
【变式1-2】A．
【变式1-3】B．
▌题型02 等边对等角与三角形的外角
【典例1】D．
【变式1-1】C．
【变式1-2】A．
【变式1-3】B．
▌题型03 等边对等角与平行线
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】A．
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【变式1-3】B．
▌题型04 等边对等角与方程
【典例1】C．
【变式1-1】C．
【变式1-2】
【解答】解：设∠C＝x，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝x（等边对等角），
∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝2x，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝2x，
∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝3x＝63°（等边对等角），
解得x＝21°，
∴∠C＝21°．
则∠C 的度数为21°．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设∠ABD＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x，
由三角形内角和定理可得，2x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝2x﹣x＝x＝36°；
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（2）DE⊥AB，
理由：根据（1）可得∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵点E 为线段AB 的中点，
∴DE⊥AB．
▌题型05 等边对等角与垂直平分线
【典例1】
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∵MN⊥AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°；
（2）∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B．
∵MN⊥AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣180°+2∠B＝2∠B﹣90°；
（3）∵MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+CM＝AC．
∵AB＝AC，AB＝8cm，△MBC 的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）．
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【变式1-1】B．
【变式1-2】B．
【变式1-3】
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AF 平分∠BAC，
∴∠FAC= 1
2∠BAC＝40°，
∴∠FAE＝50°﹣40°＝10°．
▌题型06 三线合一求角度
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】C．
【变式1-3】
【解答】解：∵AB＝AC，D 为BC 的中点，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，∠BAD＝∠CAD．
∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠CAD= 1
2∠BAC＝50°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠EAD＝50°．
▌题型07 三线合一求线段长
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【典例1】2．
【变式1-1】
【解答】解：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，BC＝3，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝1.5．
∵△ABE 和△CDE 的面积分别为1.5 和2，
∴
1
2 ×BD×AE＝1.5，
1
2 ×DE×DC＝2，
即
1
2 ×1.5×1AE＝1.5，
1
2 ×DE×1.5＝2，
解得AE＝2，DE= 8
3，
∴AD＝AE+DE＝2+ 8
3 = 14
3 ．
【变式1-2】
【解答】证明：过点A 作AO⊥BC 于O．
∵AB＝AC，AO⊥BC
∴BO＝CO
∵AP＝AQ，AO⊥BC
∴PO＝QO
∴BO﹣PO＝CO﹣QO
∴BP＝CQ．
【变式1-3】
【解答】解：（1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图如下：
（2）连接AE，
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设CE＝x，则AE＝CE＝x，
∵AB＝CE＝x，
∴AB＝AE＝x，
∵AD⊥BC，
∴D 为BE 的中点，
∵△ABC 的周长为52，AC＝20，
∴AB+BC＝52﹣20＝32，
∴𝐷𝐸= 1
2 𝐵𝐸= 1
2 × (𝐵𝐶−𝐶𝐸) = 1
2 × (32 −𝑥−𝑥) = 16 −𝑥，
∴CD＝DE+CE＝16﹣x+x＝16．
▌题型08 新定义
【典例1】D．
【变式1-1】75°或90°．
【变式1-2】
8
5或
1
4．
【变式1-3】25．
▌题型09 等腰三角形与高线
【典例1】70°或110°．
【变式1-1】40°或100°或140°．
【变式1-2】120．
【变式1-3】50 或130．
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▌题型10 摆放小木棒问题
【典例1】2，15°≤α＜18°．
【变式1-1】
【解答】（1）小棒摆放时，后续小棒形成的角度随数量增加而增大，
当角度≥90°时无法继续摆放，
故不能无限摆下去；
故答案为：不能；
（2）已知A1A2 为第一根小棒，
且A1A2＝AA1，
又因为AA1⊥A1A2，
即∠AA1A2＝90°，
在ΔAA1A2 中，
∵AA1＝A1A2，
∴ΔAA1A2 是等腰直角三角形．
因此，∠𝐴= ∠𝐴𝐴2𝐴1 = 180°−90°
2
= 45°，
已知∠BAC＝θ，即∠A＝θ．
∴θ＝45°；
故答案为：45°；
（3）利用等腰三角形性质和外角定理，
第一个小棒形成的角θ1＝2θ，
第二个小棒形成的角θ2＝3θ，
第三个小棒形成的角θ3＝4θ；
（4）要能摆放第4 根小棒，第4 根小棒形成的底角必须小于90°，即4θ＜90°，
如果不能摆放第5 根小棒，则第5 根小棒形成的底角必须大于或等于90°，即5θ≥90°，
综合这两个条件，得到不等式组：{4𝜃＜90°
5𝜃≥90°
，
解这个不等式组：由4θ＜90°得θ＜22.5°，
由5θ≥90°得θ≥18°，
结论：θ 的范围是18°≤θ＜22.5°
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【变式1-2】
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能
继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
故答案为：22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ．
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ．
∴θ1＝2θ．
同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ．
（4）如图：
∵A4A3＝A4A5，
∴∠A4A3A5＝∠A4A5A3＝4θ°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
当∠A5A4B 是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，
∴当∠A4A3A5 是锐角，∠A5A4B＝5θ 是钝角或直角时，只能摆放4 根小棒，
∴5θ≥90°，且4θ＜90°，
∴18°≤θ＜22.5°．
【变式1-3】
【解答】解：（1）由题意可知，AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴∠BAC＝∠AA2A1＝α°，
∴θ1＝∠BAC+∠AA2A1＝α+α＝2α°，同理θ2＝θ1+α＝3α°，θ3＝θ2+α＝4α°，
故答案为：2α，3α，4α；
（2）由（1）可知，摆第n 根时：θn＝θn﹣1+α＝（n+1）α°（n≥2），
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能摆第9 根，则θ8＝9α°＜90°，不能摆第10 根，则θ9＝10α°≥90°，
即：{9𝛼＜90
10𝛼≥90
，解得：9≤α＜10
▌题型11 等腰三角形的性质与尺规作图
【典例1】D．
【变式1-1】B．
【变式1-2】C．
【变式1-3】41.5．
