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专题16 等边三角形的性质与判定
（题型突破·举一反三）
▌题型01 等边三角形的性质求角度
【典例1】A．
【变式1-1】C．
【变式1-2】B．
【变式1-3】D．
▌题型02 等边三角形的性质与平行线
【典例1】B．
【变式1-1】C．
【变式1-2】B．
【变式1-3】14．
▌题型03 等边三角形的性质与折叠
【典例1】A．
【变式1-1】D．
【变式1-2】B．
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【变式1-3】80°．
▌题型04 等边三角形的性质求线段长
【典例1】
【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC（等边三角形的性质）．
∵AD＝CD，
∴点B、点D 在AC 的垂直平分线上，
∴BD 垂直平分AC；
（2）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°（等边三角形的性质）．
∵DE∥AB，
∴∠CEF＝∠CBA＝60°（两直线平行，同位角相等），
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF 是等边三角形，
∴EF＝CE．
由（1）可知BD 垂直平分AC，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠BDE＝∠CED﹣∠CBD＝30°，
∴∠BDE＝∠CBD＝30°，
∴DE＝BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∴EF＝CE＝4．
【变式1-1】D．
【变式1-2】B．
【变式1-3】B．
▌题型05 等边三角形的性质求周长
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【典例1】D．
【变式1-1】B．
【变式1-2】C．
【变式1-3】A．
▌题型06 等边三角形的性质求面积
【典例1】B．
【变式1-1】C．
【变式1-2】B．
【变式1-3】15．
▌题型07 等边三角形的判定
【典例1】
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵点D 是AC 的中点，
∴∠ABD＝∠CBD= 1
2∠ABC＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝∠ABD＝30°；
（2）△BEF 是等边三角形，证明如下：
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°，
在△EAB 中，∠BAE＝∠EBF＝30°，
∴EA＝EB，
在△EAC 和△EBC 中，
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{
𝐸𝐴= 𝐸𝐵
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△EAC≌△EBC（SSS），
∴∠ACE＝∠BCE= 1
2∠BCA＝30°，
∵∠BFE 是△FBC 的外角，
∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，
在△BEF 中，∠EBF＝∠BFE＝60°，
∴△BEF 是等边三角形．
【变式1-1】
【解答】证明：∵∠A＝60°，CE∥DA，
∴∠CEB＝60°，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠CEB＝∠B＝∠ECB＝60°，
∴△CEB 是等边三角形．
【变式1-2】
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠C（等边对等角）．
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD（等边对等角）．
∴∠ABD＝∠DAC＝∠C（等量代换）．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°．
∴3∠ABC＝180°﹣90°＝90°．
∴∠ABC＝30°．
（2）证明：∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵EA＝AD，AB⊥DE，
∴BD＝BE．
∴△BDE 是等边三角形．
【变式1-3】
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
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∵∠FAC＝α，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α，
∵AE＝AC，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BE，
∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，
∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐸
2
= 60° + 𝛼，
∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°，
故答案为：60°+α，60°；
（2）如图所示，在FA 上截取FG＝FC，连接BF、CG，
∵FG＝FC，∠F＝60°，
∴△CFG 是等边三角形，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF，
在△ACG 和△BCF 中，
{
𝐶𝐺= 𝐶𝐹
∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐵𝐶𝐹
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴AF 是BE 的垂直平分线，
∴BF＝EF＝CE+CF＝5，
∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7
▌题型08 等边三角形的性质与判定
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【典例1】
【解答】（1）证明：∵AD 垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AFE 是直角三角形，
在Rt△AFE 中，∠E＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，
在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形；
（1）解：由（1）可知：△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，AC＝BC，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴△DFB 是直角三角形，
在Rt△DFB 中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BF＝4，
∵AD 垂直平分BC，
∴CD＝BD＝4，
∴AC＝BC＝CD+BD＝8，
又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CE＝CD＝4，
∴AE＝AC+CE＝12．
【变式1-1】
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D 是AC 边的中点，
∴BD 垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
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∴∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D 是AC 边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
【变式1-2】
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C，∠A＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE（等角对等边），
∴△ADE 是等腰三角形．
又∵∠A＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边；
（2）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵BE 和AD 分别为∠ABC 和∠BAC 的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°．
∵∠ADE 为△ABD 的外角，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∵AE＝AD，
∴△ADE 是等边三角形．
【变式1-3】
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴A 在BD 的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB，
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∴CB＝CD，
∴C 在BD 的垂直平分上，
∴AC 垂直平分BD；
（2）①证明：设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC 是△ABF 的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，
由（1）AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠F＝∠DCE，
∴∠F＝∠BCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
则α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD 是等边三角形；
②GH+AH 为最小值时，GH 与CH 的数量关系是CH＝2GH，
理由：
延长AD 至A′，使DA′＝AD，
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∵CD⊥AD，
∴A 与A′关于CD 成轴对称，过A′作A′G⊥AC 于G 交CD 于H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH 为最小，
由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC 即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH 中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴GH+AH 为最小值时，GH 与CH 的数量关系是CH＝2GH．
