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专题13 等腰三角形
（题型突破·举一反三）
题型01 等腰三角形的周长
题型02 等腰三角形的腰长（底边长）
题型03 中线与等腰三角形
题型04 等腰三角形与非负性结合
题型05 等腰三角形与新定义
题型06 格点中的等腰三角形
题型07 等腰三角形的概念与全等三角形
▌题型01 等腰三角形的周长
1. 公式
设腰长为 a，底边长为 b，则C = 2a + b。
2. 关键限制（三角形三边关系）
两腰之和＞底边：2a > b
任意两边之差＜第三边，做题必须检验，舍去不合理解。
【典例1】（2026 春•桥西区期末）某等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12
B．15
C．12 或15
D．不能确定
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边
长为3 和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成
三角形．
【解答】解：若3 为腰长，6 为底边长，由于3+3＝6，则三角形不存在；
若6 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3＝15．
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故选：B．
【变式1-1】（2026•岳阳二模）等腰三角形的两边长分别为3 和7，则这个三角形的周长为（ ）
A．13
B．17
C．13 或17
D．21
【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件
的周长．
【解答】解：分两种情况讨论：
情况1：当3 为腰长时，三角形三边长为3，3，7，
∵3+3＜7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当7 为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵3+7＞7，7+7＞3，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为3+7+7＝17，
综上所述，这个三角形的周长为17，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•河源期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝5，线段AB 的垂直平分线交AB
于点E，交AC 于点D，则△BCD 的周长为（ ）
A．25
B．20
C．15
D．10
【分析】由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，再根据三角形的周长公式求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝5，线段AB 的垂直平分线交AB 于点E，
∵线段AB 的垂直平分线交AB 于点E，交AC 于点D，
∴AD＝BD，
∴△BCD 的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝5+10＝15．
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•七里河区期末）等腰三角形的两边长是6cm 和3cm,那么它的周长是 .
【分析】根据三角形的三边关系，等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：当腰为3cm 时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
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当腰为6cm 时，6-3＜6＜6+3，能构成三角形；
6+6+3=15cm.
综上所述，它的周长是15cm.
▌题型02 等腰三角形的腰长（底边长）
1. 公式
设周长为 C，底边长为 b，则a=
𝐶−𝑏
2 。
2. 已知两边长，分类讨论求腰长。
【典例1】（2026 春•市南区期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长
为（ ）
A．7cm
B．5cm
C．3cm
D．7cm 或3cm
【分析】分两种情况：①当腰长为3cm 时，②当底边长为3cm 时，再结合三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：①当腰长为3cm 时，则底边长为13﹣3﹣3＝7（cm），
三角形的三边长分别为3cm，3cm，7cm，
∵3+3＜7，
∴不能组成三角形，舍去；
②当底边长为3cm 时，则腰长为
13−3
2
= 5(𝑐𝑚)，
三角形的三边长分别为3cm，5cm，5cm，
∵3+5＞5，
∴能组成三角形，
∴该等腰三角形的腰长为5cm．
故选：B．
【变式1-1】（2026•栖霞区校级三模）等腰△ABC 的周长为18，若AB 的长为8，则BC 的长不可能是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．8
【分析】根据AB 是底边或腰和△ABC 是等边三角形三种情况分析解答．
【解答】解：当AB 是底边时，BC 的长为（18﹣8）÷2＝5，5+5＞8，能围成三角形，故不符合题意；
当AB 是腰时，BC 的长为18﹣8﹣8＝2，2+8＞8，能围成三角形，故不符合题意；
当△ABC 是等边三角形，AB＝BC＝AC＝6，能围成三角形，但和AB 的长为8 矛盾，故符合题意；
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故选：C．
【变式1-2】（2026•榆树市模拟）等腰三角形周长为16cm，一边长为4cm，该等腰三角形的底边长为（ ）
A．4cm
B．8cm
C．8cm 或4cm
D．5cm
【分析】分4cm 的边是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①4cm 是腰长时，底边为16﹣4×2＝8cm，
此时三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4cm 是底边时，腰长为
1
2（16﹣4）＝6cm，
此时，三角形的三边分别为6cm、6cm、4cm，
能组成三角形，
所以，该等腰三角形的底边长为4cm．
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•历城区期中）将一根长14 厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，
如图，如果第一次在4 厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（ ）
A．②或③
B．④或⑤
C．②，③或④
D．③，④或⑤
【分析】分两种情况：当4cm 为等腰三角形的腰时；当4cm 为等腰三角形的底时；然后分别进行计算即
可解答．
【解答】解：分两种情况：
当4cm 为等腰三角形的腰时，
∵等腰三角形的周长是14cm，
∴等腰三角形的底边长＝14﹣4﹣4＝6（cm），
∴第二次截断处的位置应该是②或④；
当4cm 为等腰三角形的底时，
∵等腰三角形的周长是14cm，
∴等腰三角形的腰长= 14−4
2
=5（cm），
∴第二次截断处的位置应该是③；
综上所述：第二次截断处的位置应该是②或④或③，
故选：C．
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▌题型03 中线与等腰三角形
已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分，
解题步骤
（1）设腰长 2x（设2x 方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y；
（2）分两种情况列方程：
情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑚
𝑥+ 𝑦= 𝑛
情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑛
𝑥+ 𝑦= 𝑚
（3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。
【典例1】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC 中，AB＝AC，中线CD 将这个三角形的周长分为12 和15 两个
部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关
系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，等腰三角形的两腰相等，寻找问题中
的等量关系，列方程可得：
①{
𝑥+ 𝑦
2 = 15
𝑦+ 𝑦
2 = 12
或②{
𝑥+ 𝑦
2 = 12
𝑦+ 𝑦
2 = 15
，
解方程组①得：{𝑥= 11
𝑦= 8 ，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得：{𝑥= 7
𝑦= 10，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11 或7；
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2 两部分，
则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4
B．10
C．20
D．4 或20
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【分析】设等腰三角形的腰长与底边长分别为xcm、ycm，根据题意分两种情况列出方程组求解，然后利
用三角形的三边关系判断即可得解．
【解答】解：设等腰三角形的腰长与底边长分别为x、y，
根据题意得{
2𝑥+ 𝑦= 36
1.5𝑥
0.5𝑥+𝑦= 1
2
或{
2𝑥+ 𝑦= 36
0.5𝑥+𝑦
1.5𝑥
= 1
2
，
解得{𝑥= 8
𝑦= 20或{𝑥= 16
𝑦= 4 ，
当x＝8，y＝20 时，三角形的三边分别为8、8、20，
∵8+8＝16＜20，
∴不能组成三角形，
当x＝16，y＝4 时，三角形的三边分别为16、16、4，
能够组成三角形，
所以这个等腰三角形的底边长为4．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，周长为16cm，AC 边上的中线
BD 把△ABC 分成周长差为4cm 的两个三角形，求△ABC 底边BC 的长
8
3 cm．
【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角
形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符
合条件的BC 的长．
【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，
由△ABC 周长为16cm 得：
2x+y＝16，
∵BD 是AC 边上的中线，
∴AD＝CD，
又BD 是△ABD 和△BCD 的公共边，
∴|x﹣y|＝4，
分两种情况讨论：
（1）当x＞y 时，x﹣y＝4，
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联立方程组{2𝑥+ 𝑦= 16
𝑥−𝑦= 4 ，
两式相加得3x＝20，解得𝑥= 20
3 ，
代入x﹣y＝4 得𝑦= 8
3，
此时三边长为
20
3 𝑐𝑚，
20
3 𝑐𝑚，
8
3 𝑐𝑚，满足三角形三边关系，符合题意．
（2）当x＜y 时，y﹣x＝4，
联立方程组{2𝑥+ 𝑦= 16
𝑦−𝑥= 4 ，
解得{𝑥= 4
𝑦= 8，
此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去．
综上，底边BC 的长为
8
3 𝑐𝑚．
故答案为：
8
3．
【变式1-3】（2025 秋•勃利县期末）若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm 和15cm 两部分，
则这个三角形的腰长是 10cm ．
【分析】已知给出的9cm 和15cm 两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，
分两种情况讨论：x+ 1
2x＝9 或x+ 1
2x＝15．
【解答】解：设三角形的腰为x，如图：△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，BD 是AC 边上的中线，
则有AB+AD＝9 或AB+AD＝15，分下面两种情况解．
①x+ 1
2x＝9，
∴x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24cm，
∴三边长分别为6，6，12，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
②x+ 1
2x＝15
∴x＝10
∵三角形的周长为24cm
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∴三边长分别为10，10，4．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故答案为：10cm．
▌题型04 等腰三角形与非负性结合
1. 两种非负形式（和为0 则各自为0）
① 平方：𝑥2 ≥0
② 绝对值：|𝑥| ≥0
若 |m| + n2 = 0，则 m=0，n=0
2. 等腰三角形核心限制
两边相等；任意两边之和大于第三边。
3. 解题四步骤
（1）根据「几个非负数相加等于0」，分别令每一项=0，解出两条边长；
（2）分两种情况讨论等腰：
① 第一条线段为腰，第二条为底
② 第二条线段为腰，第一条为底
（3）用三角形三边关系检验，舍去不成立的情况；
（4）求周长等答案。
【典例1】（2026 春•碑林区校级期末）若实数m，n 满足|m﹣25|+（12﹣n）2＝0，且m，n 恰好是等腰△ABC
的两条边的边长，则△ABC 的周长是 62 ．
【分析】由非负数的性质得到m＝25，n＝12，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是25，不能
是12，即可求出等腰三角形的周长．
【解答】解：∵|m﹣25|+（12﹣n）2＝0，
∴m﹣25＝0，12﹣n＝0，
∴m＝25，n＝12，
如果等腰三角形的腰长是25，
∵12+25＞25，满足三角形三边关系定理，
∴此时等腰三角形的周长＝25+25+12＝62；
如果等腰三角形的腰长是12，
∵12+12＜25，不满足三角形三边关系定理，
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∴等腰三角形的腰长不能是12，
∴△ABC 的周长是62．
故答案为：62．
【变式1-1】（2026 春•新城区期末）若实数a，b 满足|a﹣7|+（b﹣11）2＝0，则以a，b 的值为两边长的等
腰三角形的周长是 25 或29 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b 的值，再分a 是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，a﹣7＝0，b﹣11＝0，
解得a＝7，b＝11，
①a＝7 是腰长时，三角形的三边分别为7、7、11，
∵7+7＝14，
∴7、7、11 能组成三角形，
∴三角形的周长为25，
②a＝7 是底边时，三角形的三边分别为7、11、11，
能够组成三角形，
周长＝7+11+11＝29；
综上所述，三角形的周长为25 或29．
故答案为：25 或29．
【变式1-2】（2026 春•宝山区校级期中）等腰三角形的两边a、b 满足（a﹣3）2+|b﹣8|＝0，则该等腰三角
形的周长是 19 ．
【分析】根据非负数的性质求出a，b 的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能
否构成三角形，进而计算周长．
【解答】解：根据非负数的性质可知：
（a﹣3）2+|b﹣8|＝0，且（a﹣3）2≥0，|b﹣8|≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣8＝0，
解得a＝3，b＝8，
∵该三角形是等腰三角形，
∴三边长为3，3，8 或8，8，3，
∵3+3＜8，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去，
∴等腰三角形的周长为8+8+3＝19．
故答案为：19．
【变式1-3】（2026 春•南山区校级期中）若a，b 是一个等腰三角形的两边长，且满足|a﹣6|+（b﹣4）2＝0，
则该等腰三角形的周长是 14 或16 ．
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【分析】先根据非负数的性质求出a＝6，b＝4，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可．
【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，
∴a＝6，b＝4，
当6 为底边长时，腰长为4，
4+4＝8＞6，则能组成三角形，
此时，该等腰三角形的周长为6+4+4＝14；
当4 为底边长时，腰长为6，
4+6＝10＞6，则能组成三角形，
此时，6+6+4＝16，即该等腰三角形的周长为16，
综上所述，该等腰三角形的周长为14 或16，
故答案为：14 或16．
▌题型05 等腰三角形与新定义
1. 拆定义：把题目陌生新定义翻译成等式、角度关系、线段关系；
2. 套等腰固有性质：等边对等角、等角对等边、三线合一、两腰相等；
3. 分类讨论：等腰三角形永远分三类：①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC；
4. 方程求解：设角度/边长为x，结合内角和、三边关系列方程；
5. 检验取舍：排除无法构成三角形、不符合新定义的解。
【典例1】（2026 春•福田区校级期末）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角
形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在
△ABC 中，∠BAC＝20°，若存在过点C 的“钻石分割线”，使△ABC 是“钻石三角形”，则∠B 的度
数不可能是（ ）
A．20°
B．40°
C．70°
D．100°
【分析】分五种情况分别画出图形进行讨论，求出结果即可．
【解答】解：分五种情况分别画出图形进行讨论如下：
如图a，
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当AD＝CD 时，
则∠ACD＝∠A＝20°，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝40°，
∴①当CD＝BD 时，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 180°−40°
2
= 70°；
②当CD＝BC 时，∠B＝∠CDB＝40°；
③当BD＝BC 时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
如图b，
当AC＝AE，CE＝BE 时，
则∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶= 180°−20°
2
= 80°，
∴∠B＝∠BCE＝40°；
如图c，
当AC＝CE，CE＝BE 时，
则∠AEC＝∠A＝20°，
∴∠B＝∠BCE＝10°；
综上所述，∠B 的度数为70°或40°或100°或10°．
故选：A．
【变式1-1】（2025 春•浑南区期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k 称为这个等腰三角形的
“优美比”．若等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则它的“优美比”k 为（ ）
A．
2
3
B．
6
5
C．
2
3或
6
5
D．
3
2或
5
6
【分析】分两种情况：等腰三角形的腰长和底边长都有可能是6cm，由等腰三角形的“优美比”的定义，
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即可求解．
【解答】解：当等腰三角形的腰长是6cm 时，
∴等腰三角形底边长是16﹣2×6＝4（cm），
6+4＞6，满足三角形三边关系，
∴此时等腰三角形的“优美比”k= 4
6 = 2
3；
当等腰三角形的底边长是6cm 时，
∴等腰三角形腰长是
1
2 ×（16﹣6）＝5（cm），
5+5＞6，满足三角形三边关系，
∴此时等腰三角形的“优美比”k= 6
5，
∴等腰三角形的“优美比”k= 2
3或
6
5．
故选：C．
【变式1-2】
（2026 春•历城区期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若
等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则它的“优美比”为
2
3 ．
【分析】根据等腰三角形的性质，一边长为4 可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，4
为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比．
【解答】解：分两种情况讨论：
当4 为腰长时，底边长为16﹣4﹣4＝8，则4+4＝8，不满足三角形三边关系，故舍去．
当4 为底边长时，则16﹣4＝12，腰长为12÷2＝6 此时6+6＝12＞4，6+4＝10＞6，满足三角形三边关系，
则“优美比”为
4
6 =
2
3．
故答案为：
2
3．
【变式1-3】（2025 秋•西城区校级期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k 称为这个等腰三角
形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k
为
2
3．若等腰三角形ABC 的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k 为
5
3或
4
5 ．
【分析】由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长和底边长都有可能是5cm，由等腰三角形的“优美
比”的定义，即可求解．
【解答】解：当等腰三角形的腰长是5cm 时，
∵等腰△ABC 的周长为13cm，
∴此等腰三角形的底边长是13﹣5×2＝3（cm），
5+3＞5，满足三角形三边关系定理，
∴此时这个等腰三角形的“优美比”k 为
5
3；
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当等腰三角形的底边长是5cm 时，
∵等腰△ABC 的周长为13cm，
∴此等腰三角形的腰长是
1
2 ×（13﹣5）＝4（cm），
4+4＞5，满足三角形三边关系定理，
∴此时这个等腰三角形的“优美比”k 为
4
5，
∴等腰△ABC 的“优美比”k 为
5
3或
4
5．
故答案为：
5
3或
4
5．
▌题型06 格点中的等腰三角形
已知两个点，找第三个格点，使之成为等腰三角形，如果已知的两个点连接的线段为等腰三角形的
底，则根据格点的特征作出垂直平分线，若已知的两个点连接的线段为等腰三角形的腰，则根据格点的特
征找出与之相等的线段即可。
【典例1】（2026 春•青岛期中）如图，在5×5 的正方形网格中，点A，B 均在格点上，要在格点上确定一
点C，使△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点C 的个数是（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【分析】根据等腰三角形的定义求解即可；
【解答】解：根据题意，得符合要求的点有如下：6 个；
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•攀枝花期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个
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格点，如果点C 也是图形中的格点，且△ABC 为等腰三角形，所有符合条件的点C 有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【分析】根据等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可．
【解答】解：如图，点C1，C2，C3，C4，C5 即为所求．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5 行×5 列的长方形网格中
有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC 是等腰三角形，则满足条件的格点C
的个数是（ ）
A．10 个
B．9 个
C．8 个
D．7 个
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线以及网格作图，解题的关键是利用分类讨论思想和熟
悉等腰三角形的性质，分AB 为底边、AB 为腰且 A 为顶点、AB 为腰且 B 为顶点三种情况讨论，找出
所有满足条件的格点即可．
【解答】解：设网格小正方形的边长为1，
分三种情况讨论：
当AB＝AC 时，如图，
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此时满足条件的格点C 共有3 个；
当AC＝BC 时，则点C 在线段 AB 的垂直平分线上，如图，
此时满足条件的格点C 有2 个；
BA＝BC 时，如图，
此时满足条件的格点C 共有3 个，
综上所述，满足条件的格点C 共有3+2+3＝8 个，
故选：C．
【变式1-3】如图，在由边长为1 的小正方形组成的5×5 的网格中，点A，B 在小方格的顶点上，要在小方
格的顶点确定一点C，连接AC 和BC，使△ABC 是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C 的个数是 .
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【解答】解：如图所示：
C 在C1，C2，C3，C4 位置上时，AC=BC；
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C 在C5，C6 位置上时，AB=BC；
即满足点C 的个数是6．
▌题型07 等腰三角形的概念与全等三角形
1.标记条件：圈出等腰带来的等边，标出垂直、中点、角平分线；
2.寻找目标全等三角形：看要证的边/角在哪两个三角形里；
3.凑齐3 个全等条件：用等腰性质补齐缺少的边；
4.全等推结论：全等→对应边等、对应角等，再结合等腰二次推导。
【典例1】（2025 秋•南昌期末）如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 为△ABC 的角平分线，若E 为
线段BD 上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．
【分析】证明△ABD≌△ECD（ASA），可得结论．
【解答】证明：∵∠A＝∠DEC＝180°﹣3α，
∴∠BDC＝∠ADB＝2α，
在△ABD 和△ECD 中，
{
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸
，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴AB＝EC．
【变式1-1】（2026 春•虹口区期末）如图，已知：在△ABC 中，AB＝AC，D、E 是边BC 上的两个三等分
点．求证：∠BAD＜∠DAE．
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【分析】延长AD 至点F，使DF＝AD，连接EF，先根据等边对等角得∠B＝∠C，再证得△ABD≌△FED
（SAS），得∠BAD＝∠F，AB＝FE，然后，根据“大边对大角”得∠B＝∠C＜∠AED，证得AE＜AB，
即AE＜EF，可得∠F＜∠FAE，即∠BAD＜∠DAE．
【解答】证明：如图，延长AD 至点F，使DF＝AD，连接EF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D、E 是边BC 上的两个三等分点，
∴BD＝ED，
在△ABD 和△FED 中，
{
𝐴𝐷= 𝐹𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠
𝐵𝐷= 𝐸𝐷
F 𝐹𝐷𝐸，
∴△ABD≌△FED（S，A，S），
∴∠BAD＝∠F，AB＝FE，
又∵∠B＝∠C＜∠AED，
∴AE＜AB，即AE＜EF，
∴∠F＜∠FAE，
∴∠BAD＜∠DAE．
【变式1-2】（2026 春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在边BC 上，点E，F 在线段
AD 上，且∠AEB＝∠AFC＝130°，∠BAC＝50°．请说明：AE＝CF．
【分析】先证明∠ABE＝∠FAC，进而结合已知证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质即可
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得证．
【解答】证明：∵∠AEB＝130°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠180﹣AEB＝50°，
∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠ABE＝∠FAC，
在△ABE 和△CAF 中，
{
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐹𝐴𝐶
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF．
【变式1-3】（2026•十堰模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB
＝CE，连接AD．求证：△ACD 为等腰三角形．
【分析】由平行线的性质推出∠BCD+∠B＝90°，求出∠BCD＝90°，由余角的性质推出∠BAC＝∠DCE，
由垂直的定义得到∠B＝∠DEC＝90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC＝CD，即可证明△ACD
是等腰三角形．
【解答】证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵DE⊥AC，
∴∠B＝∠DEC＝90°，
∵AB＝CE，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD，
∴△ACD 是等腰三角形．
