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专题15 等腰三角形的判定定理
（题型突破·举一反三）
题型01 等腰三角形的个数
题型02 两圆一线
题型03 角平分线+平行线
题型04 等角对等边
题型05 判定三角形是否为等腰三角形
题型06 等腰三角形与尺规作图
题型07 多结论问题
题型08 等腰三角形的性质与判定
▌题型01 等腰三角形的个数
根据等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质、平行线的性质，标出各个角的度数，再
利用等腰三角形的判定，输出等腰三角形的个数，不重复不遗漏。
【典例1】（2026 春•市南区校级月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平
分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．10
B．11
C．12
D．13
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰
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三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC 是等腰三角形，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−36°
2
=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∠EDB＝∠DBC＝36°
∴在△ADE 中，∠AED＝∠ADE＝72°，
AD＝AE，
△ADE 为等腰三角形，
在△ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°，
AD＝BD，
△ABD 是等腰三角形，
同理△AEC 也是等腰三角形，
在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°，
ED＝BE，△BED 是等腰三角形，
同理△CED 也是等腰三角形，
在△BDC 中，∠BCD＝∠BDC＝72°，
BD＝BC，
△BDC 是等腰三角形，
同理△BEC 也是等腰三角形，
在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°，
ED＝BE，△BED 是等腰三角形，
同理△CED 也是等腰三角形，
同理△BEC 也是等腰三角形，
∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°，
∴OD＝OE，OB＝OC，
即△ODE，△OBC 也为等腰三角形，
∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°，
∴CD＝CO，BE＝OB，
∴△CDO，△BOE 也是等腰三角形，
所以共有12 个等腰三角形．
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故选：C．
【变式1-1】（2026•新城区模拟）如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，点E 在
边AB 上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据等边对等角，结合角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出各个角的度数，再根据等角
对等边确定等腰三角形即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC 是等腰三角形，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−36°
2
= 72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD= 1
2ABC＝36°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB＝72°＝∠BCE，
∴BE＝AE，BC＝BD，
∴△ABD，△CBD 均为等腰三角形，
∵BE＝BD，
∴BE＝BC（等量代换），
∴△BCE 为等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形的个数有4 个，所以只有选项B 正确，符合题意，
故选：B．
【变式1-2】如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点D、E 在BC 边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则
图中共有等腰三角形的个数是 6 ．
【分析】由在△ABC 中，AB＝AC，点D、E 在BC 边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，根据等腰三
角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠ABD＝36°，
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即△ABC 是等腰三角形，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∵∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴∠BAD＝36°，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠EAC＝∠C＝36°，
∴△ABD，△ACE 是等腰三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAC＝∠BAE＝72°，
∴△ADE，△ABE，△ACD 是等腰三角形．
故答案为：6．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，CE 平分∠BCD 交BD 于点E，则
图中等腰三角形的个数有 5 个．
【分析】利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对
等边得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC
∴△ABC 是等腰三角形．
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°．
∵BD 平分∠ABC 交AC 于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD 是等腰三角形．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴△BDC 是等腰三角形．
∵CE 平分∠BCD 交BD 于点E，
∴∠BCE＝∠DCE＝36°，
∵∠EBC＝∠ECB＝36°，
∴△BCE 是等腰三角形，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，
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∴△CDE 是等腰三角形，
∴共有5 个等腰三角形．
故答案为：5．
▌题型02 两圆一线
已知定点A、B，找点P 使△ABP 为等腰三角形
1. 圆1（以A 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。
2. 圆2（以B 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。
3. 一线（线段AB 的垂直平分线）
顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。
【典例1】（2026 春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B 是两格
点，使得△ABC 为等腰三角形的格点C 的个数是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【分析】根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解．
【解答】解：如图：
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分三种情况讨论如下：
①当AB＝AC 时，以点A 为圆心，以AB 长为半径作圆，则点C1 即为所求；
②当BA＝BC 时，以点B 为圆心，以BA 长为半径作圆，则点C2 即为所求；
③当CA＝CB 时，作AB 的垂直平分线，则点C3，C4，C5，C6 即为所求，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•禅城区期末）如图，点A、B 都在正方形网格的格点上，若等腰△ABC 的三个顶点都
在格点上，则满足条件的C 点的个数是（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的判定方法，即可求解．
【解答】解：当AB 是等腰△ABC 的腰时，
如果AB=AC，满足条件的点有2 个：𝐶1、𝐶2；
如果AB=BC，满足条件的点有2 个：𝐶3、𝐶4；
当AB 是等腰△ABC 的底边时（AC=BC），满足条件的点有6 个：𝐶5、𝐶6、𝐶7、𝐶8、𝐶9、𝐶10．
综上所述，满足条件的C 点的个数是2+2+6=10（个）．
故选：A．
【变式1-2】（2025 秋•镇平县期末）如图，在3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B 两点都在
格点上，点C 也是一格点，并且△ABC 是等腰三角形，那么满足条件的点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解．
【解答】解：当AB 为底时，作线段AB 的垂直平分线，点C 满足条件，
当BC 为底时，以A 为圆心，AB 长为半径，画圆，点C″满足条件，
当AC 为底时，以B 为圆心，AB 长为半径，画圆，点C′满足条件，
故选：C．
【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5 的正方形网格中，点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的
等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，则点C 所处的位置个数为 .
分析】根据网格结构，分别以A、B 为圆心，AB 为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C 的
个数．
【解答】解：点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，
如图，以AB 为等腰△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有6 个．
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故答案为：6．
▌题型03 角平分线+平行线
角平分线 + 平行线 = 等腰三角形
已知，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝐷𝐸∥𝑂𝐵，求证：𝐷𝐸= 𝐷𝑂。
证明：∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶，
∵𝐷𝐸∥𝑂𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝑂= ∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝐸𝑂，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝑂。
【典例1】（2026 春•西安期中）如图，在△ABC 中，ED∥BC，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点
F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC 的值为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．8
【分析】由ED∥BC 和角平分线的性质可得∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE，根据等角对等边得出DF
＝DB，EG＝EC，再由线段的和差关系可得DB+EC 的值．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点F，G，
∴∠DBF＝∠FBC，∠GCE＝∠BCG，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE，
∴DF＝DB，EG＝EC（等角对等边），
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+EG＝6﹣2＝4，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•平顶山月考）如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F，过F 作
DE∥BC 交AB 于点D，交AC 于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE 等于（ ）
A．1
B．5
C．9
D．10
【分析】根据已知条件，可判断出△BDF 和△CEF 为等腰三角形，从而能够证明BD+CE＝DE 即可解决．
【解答】解：∵BF、CF 分别平分∠DBC、∠BCE，
∴∠DBF＝∠FBC，∠BCF＝∠ECF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DF＝BD，CE＝EF，
∵DF+EF＝DE，
∴BD+CE＝DE，
∵BD＝5，CE＝4，
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∴DE＝9，
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•徐州期末）如图，在△ABC 中，角平分线BF，CF 相交于点F，过点F 作DE∥BC，
分别交AB，AC 于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE 的周长等于（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF 和△CEF 是等腰三角形，再由等角对等边得
BD＝DF，CE＝EF，则△ADE 的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】解：∵BF 平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴，AD+AE+ED＝AB+AC＝4+3＝7，△ADE 的周长为7，
故选：D．
【变式1-3】（2026•海口开学）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A 的直线DE∥
BC，∠ABC 与∠ACB 的平分线分别交DE 于点E，D，则DE 的长为（ ）
A．16
B．14
C．18
D．20
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质得出AB＝AE，AD＝AC，代入数据计算即可．
【解答】解：在△ABC 中，过点A 的直线DE∥BC，∠ABC 与∠ACB 的平分线分别交DE 于点E，D，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
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∴AB＝AE，
同理AD＝AC，
∵AC＝9，AB＝11，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝11+9＝20．
故选：D．
▌题型04 等角对等边
在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
简单记：等角对等边。
【典例1】（2026 春•西安期末）如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，
且DE 平分∠ADC，在边BC 上取一点F，使∠DFC＝45°．求证：△BCD 为等腰三角形；
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B，∠CDE＝
∠DCB，根据等腰三角形的判定定理得到△BCD 为等腰三角形．
【解答】证明：∵DE 平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴△BCD 为等腰三角形；
【变式1-1】（2025 秋•乐陵市校级期末）如图，在锐角△ABC 中，点E 是AB 边上一点，BE＝CE，AD⊥BC
于点D，AD 与EC 交于点G．
（1）求证△AEG 为等腰三角形；
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（2）若GD＝5，G 为CE 中点，求AG 的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，继而证明△AEG 为等腰
三角形即可；
（2）作EH⊥AD，垂足为点H，证明△EHG≌△CDG（AAS），可得AH＝HG＝GD＝5，继而得到AG 长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC 于点D，
∴△ABD 和△CDG 都是直角三角形，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠GCD，
∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，
∴AE＝GE，
∴△AEG 为等腰三角形；
（2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H，
在△EHG 和△CDG 中，
{
∠𝐸𝐻𝐺= ∠𝐶𝐷𝐺
∠𝐸𝐺𝐻= ∠𝐶𝐺𝐷
𝐸𝐺= 𝐶𝐺
，
∴△EHG≌△CDG（AAS），
∴HG＝GD，
∵AE＝EG，EH⊥AD，
∴AH＝HG＝GD，
∵DG＝5，
∴AG＝10．
【变式1-2】（2026•斗门区一模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求
证：△ACD 是等腰三角形．
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【分析】根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出
AC＝AD，即可证明结论．
【解答】证明：∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD 为等腰三角形．
【变式1-3】（2026 春•徐汇区校级期中）在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相
等．如图，半圆所对的直径为BC，点O 是圆心，点A 在半圆外，AB，AC 分别与半圆交于点D，E，且
BD＝EC，求证：△ABC 是等腰三角形．
【分析】推导△OBD≌△OCE，得出∠ABC＝∠ACB，得出AB＝AC，得到△ABC 是等腰三角形．
【解答】证明：∵BD＝EC，OB＝OC＝OD＝OE，
∴△OBD≌△OCE（SSS），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
▌题型05 判定三角形是否为等腰三角形
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判定方法1：定义判定（两边相等）
判定内容：一个三角形中有两条边长度相等，就是等腰三角形。
判定方法2：等角对等边（两角相等）
判定内容：同一个三角形内两个内角相等，则两角对边相等，三角形为等腰。
【典例1】下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）
A．AB＝3，AC＝3，BC＝4
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．AB：AC：BC＝3：6：3
【分析】对于选项A，根据AB＝AC＝3 即可对选项A 进行判断；
对于选项B，根据∠A：∠B：∠C＝3：4：4，设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，则∠B＝∠C＝4α，由此
可对选项B 进行判断；
对于选项C，先利用三角形内角和定理求出∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，由此可对选项C 进行判断；
对于选项D，根据AB：AC：BC＝3：6：3，设AB＝3k，AC＝6k，BC＝3k，根据三角形三边关系此三边
不能构成三角形，由此可对选项D 进行判断；综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵AB＝3，AC＝3，BC＝4
∴AB＝AC，
∴选项A 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，
故选项A 不符合题意；
对于选项B，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4，
∴设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，
∴∠B＝∠C＝4α，
∴选项B 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，
故选项B 不符合题意；
对于选项C，
∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°，
∴∠A＝∠B＝50°，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴选项C 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，
故选项C 不符合题意；
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对于选项D，
∵AB：AC：BC＝3：6：3，
∴AB＝3k，AC＝6k，BC＝3k，
∵AB+BC＝AC，
∴选项D 中的条件不能构成三角形，更不能判定△ABC 是等腰三角形，
故选项D 符合题意．
故选：D．
【变式1-1】在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三
角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3
B．a：b：c＝2：2：1
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B+∠C
【分析】根据等角对等边，可判断A、C、D，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可判断B．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B，故A 是等腰三角形；
B、a：b：c＝2：2：1，∴a＝b，故B 是等腰三角形；
C、∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝∠B＝50°，故C 是等腰三角形；
D、2∠A＝∠B+∠C，∠A＝60°，∠B+∠C＝120°，故D 不是等腰三角形；
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•小店区校级同步）在△ABC 中，已知a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，则下
列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4
B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC 是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC 不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC 是等腰三角形；
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D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC 是等腰三角形．
故选：B．
【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4
B．a：b：c＝4：5：6
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】对于选项A，由a＝b＝3，得△ABC 是等腰三角形，由此可对该选项进行判断；
对于选项B，由a：b：c＝4：5：6 得a≠b≠c，由此可对该选项进行判断；
对于选项C，根据∠B＝50°，∠C＝80°由三角形内角和定理得∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，进而得
△ABC 是等腰三角形，由此可对该选项进行判断；
对于选项D，根据∠A：∠B：∠C＝1：1：2 得∠A＝∠B，则△ABC 是等腰三角形，由此可对该选项进行
判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b＝3，
∴△ABC 是等腰三角形，
故选项A 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，不符合题意；
对于选项B，
∵a：b：c＝4：5：6，
∴a≠b≠c，
故选项B 中的条件不能判定△ABC 是等腰三角形，符合题意；
对于选项C，
∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°，
∴∠A＝∠B＝50°，
∴△ABC 是等腰三角形，
故选项C 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，不符合题意；
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对于选项D，
∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∴∠A＝∠B，
∴△ABC 是等腰三角形，
故选项D 中的条件能判定△ABC 是等腰三角形，不符合题意．
故选：B．
▌题型06 等腰三角形与尺规作图
通过尺规作图留下的痕迹，确定是作一个角等于已知角、相等的线段、角平分线、垂线，还是垂直平
分线，然后结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，进行
解题。
【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C 为圆心，CA 为半径作弧，交CD 于
点E，连接AE，则∠CEA 等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】根据平行线的性质求出∠ACE＝40°．由作图可知，CE＝CA，则∠CEA＝∠CAE，再根据三角
形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠CAB＝140°，
∴∠ACE＝180°﹣140°＝40°．
由作图可知，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE．
∴∠𝐶𝐸𝐴= 180°−∠𝐴𝐶𝐸
2
= 180°−40°
2
= 70°，
则∠CEA 等于70°，
故选：D．
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【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以
下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆
心，大于
1
2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于
点H．则∠CDH 的大小为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝40°，从而利用角平分线的
定义可得∠ABD＝20°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝120°，再由作图可得：∠BDH＝90°，
从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C= 180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
=40°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD= 1
2∠ABC＝20°，
∵∠BDC 是△ABD 的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°，
由作图可得：HD⊥BF，
∴∠BDH＝90°，
∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A 为圆心，
AC 长为半径作弧，交边AB 于点D，连接CD，则∠ACD 的度数是（ ）
A．58°
B．60°
C．62°
D．56°
【分析】由直角三角形的性质求出∠A＝56°，由题意得到AD＝AC，推出∠ACD＝∠ADC＝62°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝56°，
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由题意得到AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC= 1
2 ×（180°﹣56°）＝62°．
故选：C．
【变式1-3】（2026•海口校级模拟）在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC
边上找一点D，使△ACD 为等腰三角形．下列作法正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
第一图：由作图可知CA＝CD，△ACD 是等腰三角形，故此作法正确；
第二图：由作图可知AD 是△ABC 的角平分线，推不出△ACD 是等腰三角形，故此作法错误；
第三图：由作图可知BA＝BD，又∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，𝐴𝐵= 1
2 𝐵𝐶，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，
∴CD＝BC﹣BD＝2AB﹣BD＝2AD﹣AD＝AD，
∴△ADC 是等腰三角形，故此作法正确；
第四图：由作图可知DA＝CD，△ADC 是等腰三角形，故此作法正确．
故选：C．
▌题型07 多结论问题
这类题特征：题干给等腰背景+若干条件，给出4～5 个结论，选出正确的序号。核心思路是逐个验证，用
固定套路排除错项。
1. 角度类结论常用手段：
① 等腰两底角相等，三角形内角和180°；
② 外角等于不相邻两内角和；
③ 平行线内错角、同位角；
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④ 角平分线平分两角。
2. 线段相等结论，证明线段相等三条路径
① 等角对等边（最常用，等腰题首选）；
② 证明两个三角形全等；
③ 垂直平分线性质、三线合一直接得线段相等。
3. 线段和差倍分结论：截长补短
4. 面积、周长不变类结论
① 周长不变：动点平移，等量线段来回替换，总长抵消不变；
② 面积不变：底边固定，高不变，则面积不变；等腰对称轴上动点到底边距离恒定。
5. 垂直、平行关系结论
① 三线合一直接得垂直；
② 同位角/内错角相等证平行；
③ 两角互余证垂直。
【典例1】（2025 秋•淮北期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BE，AE，CE 分别是∠ABC，∠MAC，∠ACN
的平分线，三条角平分线交于点E，BE 与AC 交于点P．下列结论：①AE∥BC；②△ACE 是等腰三角形；
③当∠BAC＝60°时，△APE 是直角三角形．其中正确的结论有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【分析】①正确，证明∠MAE＝∠ABC 即可；
②正确，证明AC＝AE 即可；
③正确，利用等腰三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AE 平分∠MAC，
∴∠MAE＝∠EAC，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠MAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，故①正确，
∴∠AEC＝∠ECN，
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∵CE 平分∠ACN，
∴∠ACE＝∠ECN，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE，故②正确，
当∠BAC＝60°时，
∵AB＝AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵BE 平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠APE＝90°，
∴△APE 是直角三角形，故③正确．
故选：D．
【变式1-1】（2025 秋•四川期末）如图，在△ABC 中，BA＝BC，∠B＝36°，AD 平分∠BAC，E 为线段AB
的中点，则下列结论中正确的有（ ）
①△ACD 是等腰三角形；②DE⊥BA；③AC＝BD；④CD＝DE．
A．①③④
B．①②
C．①②③
D．②③④
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAC＝∠BCA＝72°＝∠ADC，∠DAC＝∠BAD
＝36°，可得AD＝BD＝AC，可判断①③，由等腰三角形的性质可得DE⊥AB，可判断②，即可求解．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠BCA＝72°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝36°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，∠ADC＝72°，
∴∠ADC＝∠C＝72°，
∴AC＝AD，
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∴△ACD 是等腰三角形，故①正确；
∵BD＝AD，点E 是BA 的中点，
∴DE⊥AB，故②正确；
∵AC＝AD，BD＝AD，
∴AC＝BD，故③正确；
如图，过点D 作DF⊥AC 于F，
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DFC 中，DC＞DF，
∴DE≠DC，故④错误，
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•平安区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点F，过F 作DE
∥BC，交AB 于点D，交AC 于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF 都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；
③△ADE 的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是 ①②③ （填写正确的序号）
【分析】结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明△BDF 和△CEF 是等腰三角形，然后根据线段
的和差分析其它结论．
【解答】解：①∵∠B、∠C 的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF．
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝FD，CE＝EF．
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∴△BDF，△CEF 都是等腰三角形．故①正确；
②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确；
③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确；
④AB 和AC 不一定相等，∴BF 和CF 不一定相等．故④错误．
故答案为：①②③．
【变式1-3】（2025 秋•江岸区校级月考）如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是CB 的延长线和BA 的
延长线上的点，AE＝BD，延长DA 交CE 于点F，G 是AD 上一点，且CG＝CA，CG 交AB 于点H．下
列结论：①∠DFC＝60°；②∠DCG＝2∠ACE；③EH＝CH；④H 为AB 中点；⑤CF﹣AF＝GF．其中正
确的是 ①②③⑤ （填序号）．
【分析】设∠ACE＝x，证明△CAE≌△ABD（SAS），可得①符合题意；
连接GB，求解∠DGB＝30°，证明∠DCG＝2x＝2∠ACE，可得②符合题意；
证明∠E＝∠D＝60°﹣x＝∠ECH，可得EH＝CH，可得③符合题意；
根据∠ACE 是动角，∠DCG 是动角，故④不符合题意；
过G 作GI∥AE 交CE 于I，截取FK＝FA，而∠DFC＝60°，证明△CAK≌△GIF，可得⑤符合题意．
【解答】解：如图，设∠ACE＝x，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD＝120°，
∵AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，AB＝AC，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴∠AEF＝∠D，∠ACE＝∠BAD＝x，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ACE＝x，
∴∠DFC＝∠AEF+∠EAF＝∠D+∠BAD＝∠ABC＝60°，故①正确，符合题意；
如图1，连接GB，
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∵CA＝CG＝CB，
∴∠CAG＝∠CGA，∠CGB＝∠CBG，
∴∠CGB+∠CGA= 1
2（360°﹣∠ACB）= 1
2（360°﹣60°）＝150°，
∴∠DGB＝30°，
又∵∠AEC＝∠D＝∠BAC﹣∠ACE＝60°﹣x，
∴∠CBG＝∠D+∠DGB＝60°﹣x+30°＝90°﹣x＝∠CGB，
∴∠DCG＝180°﹣∠CBG﹣∠CGB＝180°﹣2∠CBG＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x＝2∠ACE，故②正确，
符合题意；
由②知：∠D＝60°﹣x＝∠E，
∵∠ACE＝x，∠DCG＝2x，∠ACB＝60°，
∴∠ECH＝60°+x﹣2x＝60°﹣x，
∴∠E＝∠ECH，
∴EH＝CH，故③正确，符合题意；
∵E 是BA 的延长线上的点，
∴∠ACE 是动角，
∵∠DCG＝2∠ACE＝2x，
∴∠DCG 是动角，
当x＝30°时，CG 是∠ACB 的平分线，此时H 是AB 的中点，
故④错误，不符合题意；
如图2，过G 作GI∥AE 交直线CE 于I，在CF 上截取FK＝FA，而∠DFC＝60°，
∴∠I＝∠AEC＝60°﹣x，△AFK 为等边三角形，
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∴AK＝FK＝FA，∠AKF＝60°，
∴∠AKC＝∠GFI＝120°，∠CAK＝180°﹣120°﹣x＝60°﹣x＝∠I，
由④知：∠GCI＝∠CEH＝60°﹣x＝∠I，
∴CG＝GI＝CA，
∵∠CAK＝∠I，∠AKC＝∠GFI，GI＝CA，
∴△CAK≌△GIF（AAS），
∴CK＝GF，IF＝AK＝AF＝FK，
∴CF＝CK+FK＝GF+AF，
∴CF﹣AF＝GF，故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②③⑤．
▌题型08 等腰三角形的性质与判定
1.定位主等腰：先标出已知等腰的相等腰、相等底角，画出对称轴。
2.梳理条件：角平分线/平行/高/中线/折叠，看能凑出什么等角。
3.判断方向
①缺等边/等角：用等腰性质（等边对等角、三线合一）
②要证明三角形是等腰：用判定（等角对等边优先）
4.角度传递优先：综合题绝大多数都是靠角度等量代换，先凑等角，再切换判定得到等边。
5.线段等量代换：多个等腰时，多条相等线段互相替换，完成求证。
【典例1】（2026 春•高陵区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于
点D，过点A 作AE∥BC，交BD 的延长线于点E．
（1）求∠ADB 的度数；
（2）求证：△ADE 是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，由角平分线的定义求出∠
DBC 的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72°，根据等腰三角形的判
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定即可证得结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶) = 72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠𝐷𝐵𝐶= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 36°，
∴∠ADB＝∠C+DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE 是等腰三角形．
【变式1-1】（2026 春•金凤区校级期中）如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，DE⊥AB 于点E，ED 的延
长线交BC 的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC 是等腰三角形．
【分析】先由垂直得∠AED＝∠BED＝90°，即∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°，根据CD＝CF，故
∠F＝∠CDF，因为对顶角相等，得∠ADE＝∠F，再进行角的等量代换，即可作答．
【解答】解：由条件可知∠AED＝∠BED＝90°，
∴∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°，
∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE＝∠F，
则∠A+∠F＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC 是等腰三角形．
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【变式1-2】（2025 秋•潮州期末）如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，AD 是底边BC 上的高，DE∥AB 交AC
于点E．求证：△ADE 是等腰三角形．
【分析】根据等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质解
答即可．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形；
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AE＝ED，
∴△ADE 是等腰三角形．
【变式1-3】（2025 秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC 中，∠B、∠C 的平分线相交于点O，过点O 作EF
∥BC 交AB、AC 于E、F．
（1）直接写出图1 中所有的等腰三角形．指出EF 与BE、CF 间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF 的周长；
（3）如图2，若△ABC 中，∠B 的平分线与三角形外角∠ACG 的平分线CO 交于点O，过O 点作OE∥
BC 交AB 于点E，交AC 于点F，请问（1）中EF 与BE、CF 间的关系还是否存在，若存在，说明理由；
若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论；
（2）利用（1）的结论即可得出结论；
（3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF 与BE、CF 间的关系即可．
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【解答】解：（1）∵BO 是∠ABC 的平分线，CO 是∠ACB 的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义），
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC
∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边），
∴△BEO、△CFO 是等腰三角形，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）∵由（1）知，EF＝BE+CF，
又∵AB＝15，AC＝10，
∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25；
（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO 是∠ABC 的平分线，CO 是∠ACG 的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO，
∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边），
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
