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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题17 逆命题和逆定理 （题型突破·举一反三） 题型01 写出命题的逆命题 题型02 互逆命题 题型03 互逆定理 题型04 角平分线的性质逆定理 题型05 垂直平分线的性质逆定理 ▌题型01 写出命题的逆命题 1. 原命题：如果P（题设），那么Q（结论）。 2. 逆命题：交换题设与结论，变成如果Q，那么P。 3. 解题步骤： ①把原命题改写成标准形式：如果……，那么……； ②将“如果”后的内容和“那么”后的内容互换。 【典例1】（2025 秋•薛城区期末）下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A．全等三角形的对应边相等 B．若a＝b，则a2＝b2 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【变式1-1】（2025 秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（ ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D．全等三角形的对应角相等 【变式1-2】（2025 秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余； ③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（ ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1-3】（2026 春•中原区校级期中）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（ ） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 ▌题型02 互逆命题 1. 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，二者互为逆命 题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。 2. 要点：所有命题都有逆命题但真命题的逆命题不一定为真可举反例推翻。 3. 改写格式：统一改成“如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。 【典例1】（2025 秋•西湖区校级期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（ ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式1-1】（2025 秋•江阳区校级期中）下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（ ） A．若两条直线垂直，则两条直线有交点 B．若a+b＝0，则a 与b 相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b 【变式1-2】下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？ （1）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （3）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 【变式1-3】指出下列命题中的互逆命题： （1）直角都相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （4）两直线平行，内错角相等； （5）相等的角都是直角； （6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0． ▌题型03 互逆定理 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理二者互为逆定理。 要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。 【典例1】（2025 春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF 被直线BF 所截，∠1＝∠2， ∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图，∠B+∠D＝∠BED． （1）求证：AB∥CD． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． 【变式1-2】已知：如图，△ABC 中，D、E、F 三点分别在AB、AC、BC 三边上，过点D 的直线与线段EF 的交点为点H，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C． （1）求证：DH∥EC； （2）若∠4＝32°，求∠EFC 的度数； （3）在解题过程中，你应用了哪一对互为逆命题的真命题？ 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】如图，点M、N、T 和点P、Q、R 分别在同一条直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T． （1）求证：∠T＝∠RQT． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． ▌题型04 角平分线的性质逆定理 在角的内部，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 如图，点𝑃在∠𝐴𝐵𝐶的内部，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，且𝑃𝐸= 𝑃𝐹，结论：𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶。 几何语言：∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，且𝑃𝐸= 𝑃𝐹， ∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶。 【典例1】（2025 秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA 垂直平分MP，交MN 于点E，交MP 于点 Q，OB 垂直平分PN，交MN 于点F，交PN 于点R，连接OP． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF 的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP 平分∠AOB． 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•青羊区校级期中）如图，点D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，过点C 作CE⊥AB， 垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC 的面积为14． （1）求证：AC 是∠BAD 的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•碑林区校级月考）已知：如图，△ABC 的外角，∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点F 在∠DAE 的平分线上． 【变式1-3】（2026 春•城关区期末）图1 是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC 上，使点O 与顶点A 重合，点D，E 分别在边AB，AC 上，连接AF 并延长，交BC 于点P．求证：AP 平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC 的面积为60， 求AB 的长． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 垂直平分线的性质逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知点P，若PA=PB，则点𝑃在线段𝐴𝐵的垂直平分线上。 【典例1】（2026•建邺区二模）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高， 连接EF，交AD 于点G．求证：AD 垂直平分EF． 【变式1-1】（2026 春•禅城区校级期中）如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l1 交BC 于点D，AC 边 的垂直平分线l2 交BC 于点E，l1 与l2 相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE 的周长为8cm，线段BC 的长为 ； （2）判断点O 是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE 的度数． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•分宜县校级月考）如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，连接AO． （1）若∠BOC＝127°，求∠BAC 的度数； （2）若AB＝AC，求证：AO 所在的直线垂直平分BC． 【变式1-3】（2025 秋•安顺期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝130°，AB 的垂直平分线分别交AB，BC 于 点E，F，AC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点M，N，直线EF，MN 交于点P． （1）求∠FAN 的度数； （2）求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上．
