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专题17 逆命题和逆定理
（题型突破·举一反三）
题型01 写出命题的逆命题
题型02 互逆命题
题型03 互逆定理
题型04 角平分线的性质逆定理
题型05 垂直平分线的性质逆定理
▌题型01 写出命题的逆命题
1. 原命题：如果P（题设），那么Q（结论）。
2. 逆命题：交换题设与结论，变成如果Q，那么P。
3. 解题步骤：
①把原命题改写成标准形式：如果……，那么……；
②将“如果”后的内容和“那么”后的内容互换。
【典例1】（2025 秋•薛城区期末）下列命题中，逆命题是真命题的为（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．若a＝b，则a2＝b2
C．对顶角相等
D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
【分析】先写出每个选项中的命题的逆命题，再判断其真假．
【解答】解：A．逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形，真命题，故本选项符合题意；
B．若a2＝b2，则a＝b，假命题，故本选项不符合题意；
C．相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意；
D．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，故本选项不符合题意．
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故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．等边三角形的三边都相等
C．若x＝y，则x2＝y2
D．全等三角形的对应角相等
【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可．
【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意；
B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意；
C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意；
D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余；
③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（ ）
A．①③
B．②④
C．②③④
D．①②③④
【分析】写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项．
【解答】解：①若|a|＞|b|，则a＞b，错误，为假命题；
其逆命题为若a＞b，则|a|＞|b|，错误，为假命题，不符合题意；
②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题，符合题意；
③如果a＝0，那么ab＝0，正确，为真命题；
其逆命题为若ab＝0，那么a＝0，错误，为假命题，不符合题意；
④互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0 的两个数互为相反数，是真命题，符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•中原区校级期中）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（ ）
A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理
【分析】根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可．
【解答】解：A．逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项不符合题意；
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项符合题
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意；
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项不符合题意；
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项不
符合题意．
故选：B．
▌题型02 互逆命题
1. 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，二者互为逆命
题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。
2. 要点：所有命题都有逆命题但真命题的逆命题不一定为真可举反例推翻。
3. 改写格式：统一改成“如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。
【典例1】（2025 秋•西湖区校级期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（ ）
A．成轴对称的两个图形全等
B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等
D．全等三角形的面积相等
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据成轴对称图形、直角三角形的判定、对顶角
相等、全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、成轴对称的两个图形全等，逆命题为两个全等的图形成轴对称，逆命题是假命题，不符
合题意；
B、直角三角形两锐角互余，逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，原命题和逆命题是真命题，符
合题意；
C、对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形全等，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•江阳区校级期中）下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（ ）
A．若两条直线垂直，则两条直线有交点
B．若a+b＝0，则a 与b 相等
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C．同位角相等，两直线平行
D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据垂直的定义、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：A、若两条直线垂直，则两条直线有交点，逆命题是若两条直线有交点，则两条直线垂直，
不是互逆定理，不符合题意；
B、若a+b＝0，则a 与b 相等，逆命题是若a 与b 相等，则a+b＝0，不是互逆定理，不符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，是互逆定理，符合题意；
D、若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b，逆命题是若a∥b，则直线a⊥c，b⊥c，不是互逆定理，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？
（1）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
（3）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；
（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
【分析】分别找到各命题的条件和结论，进而得出答案．
【解答】解：（1）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论是“内错角相等”，
（2）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，结论是“这两条直线平行”，
所以（1）与（2）是互逆命题；（3）中的条件是“两个数相等”，结论是“它们的绝对值相等”，
（4）中的条件是“两个数的绝对值相等”，结论是“这两个数相等”，
所以（3）与（4）是互逆命题．
【变式1-3】指出下列命题中的互逆命题：
（1）直角都相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（4）两直线平行，内错角相等；
（5）相等的角都是直角；
（6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0．
【分析】分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．
【解答】解：（1）直角都相等的逆命题是相等的角都是直角；
（2）内错角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，内错角相等；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0 的逆命题是如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0；
（4）两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行；
（5）相等的角都是直角的逆命题是直角都相等；
（6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0 的逆命题是如果a+b＜0，那么a＜0，b＜0．
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▌题型03 互逆定理
定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理二者互为逆定理。
要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。
【典例1】（2025 春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF 被直线BF 所截，∠1＝∠2，
∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
【分析】（1）根据平行线的判定和性质证明；
（2）根据“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”，同位角相等解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3＝∠4，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠1＝∠F；
（2）在（1）的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互
逆的真命题．
【变式1-1】如图，∠B+∠D＝∠BED．
（1）求证：AB∥CD．
（2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来．
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【分析】（1）过点E 作EF∥AB，根据平行线的性质可知∠B＝∠BEF，再由∠B+∠D＝∠BED 可知∠
DEF＝∠D，故EF∥CD，由此可得出结论；
（2）根据（1）的证明过程即可得出结论．
【解答】（1）证明：过点E 作EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF．
∵∠B+∠D＝∠BED，
∴∠DEF＝∠D，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）解：用到的互逆真命题有：内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等．
【变式1-2】已知：如图，△ABC 中，D、E、F 三点分别在AB、AC、BC 三边上，过点D 的直线与线段EF
的交点为点H，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．
（1）求证：DH∥EC；
（2）若∠4＝32°，求∠EFC 的度数；
（3）在解题过程中，你应用了哪一对互为逆命题的真命题？
【分析】（1）根据平行线的判定证明即可；
（2）延长DH 交FC 于点G，利用平行线的性质解答即可；
（3）两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行．
【解答】（1）证明：∵H 在直线EF 上，
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∴∠1+∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴DH∥EC；
（2）解：延长DH 交FC 于点G，
由（1）可得DH∥EC，
∴∠C＝∠6，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠6，
∴DE∥BC，
∴∠EFC＝∠4＝32°；
（3）解：应用了：两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行一对互为逆命题的真命题．
【变式1-3】如图，点M、N、T 和点P、Q、R 分别在同一条直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T．
（1）求证：∠T＝∠RQT．
（2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来．
【分析】（1）根据平行线的判定得出PN∥QT，根据平行线的性质得出∠T＝∠PNM，求出∠P＝∠PNM，
根据平行线的判定得出PR∥MT，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据（1）的推理过程推出即可．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠3，
∴PN∥QT（同位角相等，两直线平行），
∴∠T＝∠PNM（两直线平行，同位角相等），
∵∠P＝∠T，
∴∠P＝∠PNM，
∴PR∥MT（内错角相等，两直线平行），
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∴∠MTQ＝∠RQT（两直线平行，内错角相等）；
（2）解：①同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等；②内错角相等，两直线平行和两直线
平行，内错角相等．
▌题型04 角平分线的性质逆定理
在角的内部，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图，点𝑃在∠𝐴𝐵𝐶的内部，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，且𝑃𝐸= 𝑃𝐹，结论：𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶。
几何语言：∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，且𝑃𝐸= 𝑃𝐹，
∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶。
【典例1】（2025 秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA 垂直平分MP，交MN 于点E，交MP 于点
Q，OB 垂直平分PN，交MN 于点F，交PN 于点R，连接OP．
（1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF 的周长；
（2）若PM＝PN，求证：OP 平分∠AOB．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质可得ME＝PE，FN＝PF，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据已知可得PQ⊥QA，PR⊥OB，𝑄𝑃= 1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅= 1
2 𝑃𝑁，从而可得PQ＝PR，再根据角平分
线的判定定理即可得证．
【解答】（1）解：OA 垂直平分MP，
∴ME＝PE（线段垂直平分线的性质）．
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同理：FN＝PF．
∴EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15，
即△PEF 的周长为15；
（2）证明：∵PN＝PM，OA 垂直平分MP，OB 垂直平分PN，
∴𝑄𝑃= 1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅= 1
2 𝑃𝑁（线段垂直平分线的性质），
∴PQ＝PR．
∴OP 平分∠AOB．
【变式1-1】（2026 春•青羊区校级期中）如图，点D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，过点C 作CE⊥AB，
垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC 的面积为14．
（1）求证：AC 是∠BAD 的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
【分析】（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，根据△ADC 的面积为14 得CF＝4，由此得CF
＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE 得BE
＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE 是线段BH 的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC 和△DAC 全
等得HC＝CD，据此即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，如图1 所示：
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∵△ADC 的面积为14，AD＝7，
∴
1
2AD•CF＝14，
∴CF= 2×14
𝐴𝐷= 28
7 =4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，点C 在∠BAD 的内部，
∴点C 在∠BAD 的平分线上，
∴AC 是∠BAD 的平分线；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE 是线段BH 的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC 是∠BAD 的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
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在△HAC 和△DAC 中，
{
𝐴𝐻= 𝐴𝐷
∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【变式1-2】（2026 春•碑林区校级月考）已知：如图，△ABC 的外角，∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点
F，求证：点F 在∠DAE 的平分线上．
【分析】作FM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，FG⊥AC 于G，根据角平分线的性质定理得到FM＝FN，同理
得到FM＝FN，根据角平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：作FM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，FG⊥AC 于G，
∵BF 平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，
同理，FG＝FN，
∴FM＝FG，又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F 在∠DAE 的平分线上．
【变式1-3】（2026 春•城关区期末）图1 是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF．
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（1）如图2，将该仪器放置在△ABC 上，使点O 与顶点A 重合，点D，E 分别在边AB，AC 上，连接AF
并延长，交BC 于点P．求证：AP 平分∠BAC．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC 的面积为60，
求AB 的长．
【分析】（1）通过证明△ADF≌△AEF，得到角相等，从而证明AP 平分∠BAC，核心为SSS 全等判定；
（2）由角平分线的性质得点P 到AC 的距离等于PQ，再利用三角形面积分割法，S△ABC＝S△ABP+S△ACP
求解．
【解答】（1）证明：在△ADF 和△AEF 中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
𝐷𝐹= 𝐸𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP 平分∠BAC；
（2）解：过点P 作PM⊥AC 于M，
∵AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质），
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑃𝑄+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑃𝑀，
代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即60 = 1
2 × 𝐴𝐵× 6 + 1
2 × 8 × 6，
解得AB＝12．
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▌题型05 垂直平分线的性质逆定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知点P，若PA=PB，则点𝑃在线段𝐴𝐵的垂直平分线上。
【典例1】（2026•建邺区二模）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，
连接EF，交AD 于点G．求证：AD 垂直平分EF．
【分析】由AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，得DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，则
∠DEF＝∠DFE，推导出∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即可由点A 和点D 都在EF 的垂直平分线上，
证明AD 垂直平分EF．
【解答】证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD 平分∠BAC，
∵DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，
∴DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵点A 和点D 都在EF 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分EF．
【变式1-1】（2026 春•禅城区校级期中）如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l1 交BC 于点D，AC 边
的垂直平分线l2 交BC 于点E，l1 与l2 相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE 的周长为8cm，线段BC 的长为 8cm ；
（2）判断点O 是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE 的度数．
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【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，AE＝CE，再根据三角形周长公式计算；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得到OB＝OA，OC＝OA，得出OB＝OC，再根据线段垂直平分线的
判定证明；
（3）根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，再根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：（1）AB 边的垂直平分线l1 交BC 于点D，AC 边的垂直平分线l2 交BC 于点E，
则AD＝BD，AE＝CE，
∵△ADE 的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BD+DE+EC＝BC＝8cm，
故答案为：8cm；
（2）点O 在BC 的垂直平分线上，理由如下：
∵AB 边的垂直平分线l1 与AC 边的垂直平分线l2 相交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴OB＝OC，
∴点O 在BC 的垂直平分线上；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
由（1）可知：AD＝BD，AE＝CE，
∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°．
【变式1-2】（2026 春•分宜县校级月考）如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，连接AO．
（1）若∠BOC＝127°，求∠BAC 的度数；
（2）若AB＝AC，求证：AO 所在的直线垂直平分BC．
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【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB＝53°，再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB
＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°，即可求解；
（2）过点O 作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F，根据角平分线的性质定理可得
OD＝OF，再由角平分线的判定定理，可得OA 平分∠BAC，再由等腰三角形的性质，即可求证．
【解答】（1）解：∵∠BOC＝127°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝53°，
由条件可知∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝74°；
（2）证明：过点O 作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F，
由条件可知OD＝OE，OE＝OF，
∴OD＝OF，
∴OA 平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴OA 为BC 边的高线，也是BC 边的中线，
即AO 所在的直线垂直平分BC．
【变式1-3】（2025 秋•安顺期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝130°，AB 的垂直平分线分别交AB，BC 于
点E，F，AC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点M，N，直线EF，MN 交于点P．
（1）求∠FAN 的度数；
（2）求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上．
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【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，
根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，计算即可；
（2）连接PA、PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PA，PC＝PA，等量代换得到PB＝PC，根
据线段垂直平分线的判定证明．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EF 是AB 的垂直平分线，MN 是AC 的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°；
（2）证明：如图，连接PA、PB、PC，
∵EP 是AB 的垂直平分线，MP 是AC 的垂直平分线，
∴PB＝PA，PC＝PA，
∴PB＝PC，
∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．
