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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题14 等腰三角形的性质定理 （题型突破·举一反三） 题型01 等边对等角求角度 题型02 等边对等角与三角形的外角 题型03 等边对等角与平行线 题型04 等边对等角与方程 题型05 等边对等角与垂直平分线 题型06 三线合一求角度 题型07 三线合一求线段长 题型08 新定义 题型09 等腰三角形与高线 题型10 摆放小木棒问题 题型11 等腰三角形的性质与尺规作图 ▌题型01 等边对等角求角度 1. 标记相等边：找出题目里给出的腰、相等线段，锁定等腰三角形。 2. 对应标等角：长边对大角、短边对小角，等边对应的角写上相同符号。 3. 求解角度：利用三角形内角和进行求解。 【典例1】（2026 春•綦江区期末）在等腰△ABC 中，若∠A＝120°，则这个等腰三角形的底角为（ ） A．120° B．30° C．30°或120° D．60° 【变式1-1】（2026 春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（ ） A．80° B．65° C．50°或80° D．50°或65° 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 秋•海口期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝70°，BD 平分∠ABC 交AC 于点 D，则∠ADB 等于（ ） A．105° B．110° C．115° D．120° 【变式1-3】（2026•西安模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的高．若∠ABC＝65°，则∠ ABD 的度数为（ ） A．35° B．40° C．45° D．60° ▌题型02 等边对等角与三角形的外角 1. 等边对等角：同一三角形，边相等→对角相等。 2. 三角形外角定理：外角=与它不相邻的两个内角之和。 【典例1】（2026 春•凌河区校级期中）等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（ ） A．70° B．50°或70° C．40° D．50°或80° 【变式1-1】（2026 春•温江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E 是AD 上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE 的度数为（ ） 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．18° B．27° C．25° D．36° 【变式1-2】（2026•广州模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠BAC 的度数为（ ） A．75° B．70° C．65° D．35° 【变式1-3】（2026 春•运城月考）如图，在第1 个△A1BC，∠B＝20°同A1B＝CB；在边A1B 上任取一点 D，延长CA1 到A2，使A1A2＝A1D，得到第2 个△A1A2D；在边A2D 上任取一点E，延长A1A2，到A3， 使A2A3＝A2E，得到第3 个△A2A3E，…．按此做法继续下去，则第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数 是（ ） A．(1 2)𝑛80° B．(1 2)𝑛−1 ⋅80° C．(1 2)𝑛−1 ⋅100° D．(1 2)𝑛⋅100° ▌题型03 等边对等角与平行线 1. 圈等腰：找出相等线段，标记相等角； 2. 找平行：定位平行直线，判断同位/内错/同旁内角； 3. 等量代换：平行线转移角度，把远处的角换成等腰三角形内的角； 4. 列等式计算：结合三角形内角和180°求解。 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•邵阳二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD∥BC，则∠CAD 的度数为 （ ） A．70° B．65° C．60° D．55° 【变式1-1】（2026•宝鸡一模）如图，已知AB∥CD，直线MN 分别与AB、CD 交于点M、N，点E 是CD 上一点，连接ME，若MN＝ME，∠BME＝65°，则∠EMN 的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式1-2】（2026•桂林模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光 心O 的光线相交于点C，点D 为焦点．若CO＝CD，∠ABD＝153°，则∠COD 的度数为（ ） A．27° B．30° C．37° D．40° 【变式1-3】（2026•长春二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝32°．直线a∥b，顶点C 在直线b 上， 直线a 交AB 于点D，交AC 于点E．若∠1＝140°，则∠2 的大小是（ ） A．32° B．34° C．36° D．38° 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 等边对等角与方程 1. 找等腰：圈出相等线段，确定一组相等内角； 2. 设未知数：统一设底角为x；顶角用180-2x 表示； 3. 转化所有角：结合外角、平行线、折叠等条件，全部写成kx 形式； 4. 列方程：内角和相加=180°，解方程，检验答案合理性。 【典例1】（2026 春•宝安区校级期中）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB＝AC＝CD，BD＝AD，则∠ C 的大小为（ ） A．30° B．32° C．36° D．45° 【变式1-1】（2026 春•市南区期末）某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O 转动的杆分别为OB、OC，点N 固定在OC 上，点A 在OB 上滑动，点M 在OC 上滑动，三根支撑段满 足AM＝AN＝ON，若∠BAM＝102°，则∠O 的度数为（ ） A．25.5° B．26° C．34° D．51° 【变式1-2】（2025 秋•浠水县期末）如图，在△ABC 中，∠ABC＝63°，点D，E 分别在边BC，AC 上，且 AB＝AD＝DE＝EC，求∠C 的度数． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2025 秋•大连期末）如图（1），△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，且BD ＝BC． （1）求∠A 的度数； （2）若点E 为线段AB 的中点，连接DE，如图（2），判断直线DE 与AB 的位置关系，并说明理由． ▌题型05 等边对等角与垂直平分线 1. 求角度解题思路 （1）看条件，找垂直平分线，写出相等线段； （2）由等边推等角（等边对等角），设这个角为x； （3）利用外角、内角和，表示出图中其余角度； （4）列方程，求解角度。 2. 求周长解题思路 （1）标记垂直平分线，写出等线段； （2）改写三角形周长式子，等量替换； （3）结合已知边长化简，简化周长表达式； （4）代入数值算出周长。 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•槐荫区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于N，交AC 于 M． （1）若∠B＝70°，则∠NMA 的度数是 ； （2）探究∠B 与∠NMA 的关系，并说明理由； （3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC 的周长是14cm，求BC 的长． 【变式1-1】（2026 春•梅江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，AC 的垂直平分线分别 交AB，AC 于点D，E，连接CD，则∠BCD 的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 【变式1-2】（2026 春•中原区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 为AB 边上一点，AD 的垂直 平分线交AB 于点F，交AC 于点E，ED 和CB 的延长线交于点G，若∠A＝40°，则∠G＝（ ） 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1-3】（2026 春•耀州区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AF 平分∠BAC，DE 垂直平分AC，交 BC 于点E，连接AE．已知∠B＝50°，求∠FAE 的度数． ▌题型06 三线合一求角度 1. 等腰三角形三线合一 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，三条线重合。 已知等腰+一条线满足其一，直接推出另外两条。 2. 解题步骤 （1）判断等腰：找到两腰相等，确定顶角、底角 （2）看条件：给出高/中线/角平分线，启用三线合一 （3）拆分角度： - 顶角被平分：顶角÷2 得到小角 - 出现垂线：直角90°，直角三角形两锐角互余 （4）列等式/方程算出目标角度 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•丽江二模）如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝40°，则∠BAD 的度 数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．80° 【变式1-1】（2026 春•双流区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 和CE 分别是△ABC 的高线和 角平分线，AD 和CE 相交于点O．若∠BAC＝36°，则∠COD 的度数为（ ） A．54° B．56° C．58° D．60° 【变式1-2】（2026 春•温江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E 是AD 上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE 的度数为（ ） A．18° B．27° C．25° D．36° 【变式1-3】（2026•路桥区二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，AD＝ ED．若∠B＝40°，求∠DEA 的度数． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 三线合一求线段长 1.判定等腰：找到两腰相等，分清底边、两腰； 2.识别三线：给出高/中线/角平分线，直接用三线合一； 3.平分底边：底边被分成两段相等短线段，底边÷2 得半底长。 【典例1】 （2025 春•织金县期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD 的长为 ． 【变式1-1】如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝3，点E 为中线AD 上一点，已知△ABE 和△CDE 的面积 分别为1.5 和2．求AD 的长． 【变式1-2】已知：如图，P、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•三水区期中）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，AB＝CE，AD⊥BC，垂足为点D， △ABC 的周长为52，AC＝20． （1）过点E 作EF⊥AC 于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F 是边AC 的中点，求线段CD 的长度． ▌题型08 新定义 1. 拆解新定义 划出题干定义文字，翻译成几何关系（相等边、特殊等腰、角度倍数关系）。 常见新定义词汇：优美三角形、倍角三角形、黄金等腰、邻等三角形等。 2. 锁定等腰三角形 根据定义找到两条相等线段，立刻标注两组相等内角。 3. 设未知数表示全部角度 设最小角为x，利用等边对等角把等角统一写成x，定义给出的倍数角写成2x、3x。 4. 内角和列方程计算 求出角度后，带回新定义验证是否符合题干要求，舍去不合理答案。 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三 角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A＝50°，则它的特征值k 等于（ ） A． 10 13 B． 5 8 C． 13 10或 5 8 D． 10 13或 8 5 【变式1-1】（2026•荥阳市模拟）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P 为边BC 上一点，若△ABP 为“反直角三角形”，则∠PAC 的 度数为 ． 【变式1-2】（2026•楚雄市一模）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个三角形的 “特征值”．若在等腰三角形ABC 中，∠A＝80°，则它的“特征值”k＝ ． 【变式1-3】（2025 秋•高安市期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍 长三角形”．若等腰三角形ABC 是“倍长三角形”，底边BC 长为5，则等腰三角形ABC 的周长为 ． ▌题型09 等腰三角形与高线 1. 等边对等角：同一等腰三角形，两腰相等→两底角相等 2. 高线性质：高线与对应边垂直，形成90°直角，直角三角形两锐角互余 3. 解题步骤： （1）识别等腰，用等边对等角标出相等底角，设为x （2）看清高线位置：底边上的高 / 腰上的高 （3）利用90°直角，找角的和差、互余关系 （4）列方程求出目标角度 【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角 形顶角的度数为 ． 【变式1-1】（2026 春•海淀区校级月考）BD 是等腰△ABC 一腰上的高，∠ABD＝50°，则该等腰三角形的 顶角度数为 ． 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个 等腰三角形顶角的度数为 度． 【变式1-3】（2026•呼兰区二模）在△ABC 中，AB＝AC，高BD，CE 所在直线的夹角为50°，则∠BAC ＝ 度． ▌题型10 摆放小木棒问题 1. 等腰三角形：两条腰长度相等 2. 三边关系：两短边之和＞最长边 3. 两类考法：①已有木棒选三根拼等腰 ②已知两根，求第三根木棒长度 【典例1】（2025 秋•武安市期中）设∠BAC＝α（0°＜α＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使 小棒两端分别落在射线AB、AC 上，从点A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第一根小 棒，且A1A2＝AA1，若∠BAC＝30°，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5 根小棒， 则α 的取值范围是 ． 【变式1-1】（2025 秋•东莞市校级期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜ θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC 上．如图所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第一根小棒，且A1A2＝AA1． （1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”） （2）若小棒AA1⊥A1A2，则θ＝ °； （3）若已经摆放了3 根小棒，求θ3 的大小（用含θ 的式子表示）； （4）若只能摆放4 根小棒，求θ 的范围． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】【综合与实践】 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． （1）活动一： 如图甲所示，从点A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2 为第1 根小棒． 数学思考： 小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 度； （3）活动二： 如图乙所示，从点A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第1 根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： 若已经向右摆放了3 根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ 的式 子表示）； （4）若只能摆放4 根小棒，求θ 的范围． 【变式1-3】某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 平面内有一锐角∠BAC＝α°，现用等长的小棒依次向右摆放在两射线AB，AC 之间，并使小棒两端分别 落在两射线上，其中A1A2 为第1 根小棒，且A1A2＝AA1． （1）用含α 的式子填空：放入第1 根小棒A1A2 后，得到外角θ1＝ °，放入第2 根小棒A2A3 后，得到外角θ2＝ °；放入第3 根小棒A3A4 后，得到外角θ3＝ °． （2）若放入9 根小棒后发现第10 根无法放入，求α 的取值范围． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型11 等腰三角形的性质与尺规作图 1.作一个角等于已知角 已知：如图，∠𝐴𝑂𝐵。 求作：∠𝐴’𝑂’𝐵’，使∠𝐴’𝑂’𝐵’ = ∠𝐴𝑂𝐵 作法： （1）作射线𝑂’𝐴’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交𝑂𝐴于M，交OB 于N； （3）以𝑂’为圆心，以𝑂𝑀的长为半径画弧，交𝑂’𝐴’于𝑀’； （4）以M’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N’； （5）连接𝑂’𝑁’并延长到𝐵’。则∠𝐴’𝑂’𝐵’就是所求作的角。 2. 经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD，使CD 经过点P，且CD⊥AB。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M、N； （2）分别以M、N 为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过D、Q 作直线CD。则直线CD 是求作的直线。 3. 经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P。 求作：直线CD，使CD 经过点P，且CD⊥AB。 N M B O A ③ ② ① A' A' N' O' B' M' O' A' N' M' M' O' Q N D C P P M B A B A 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M、N； （2）分别以M、N 为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过D、Q 作直线CD。则直线CD 是求作的直线。 4. 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M、N 为圆心，大于 MN 2 1 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 5.作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 MN 2 1 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 P A B B A P Q N D C M O Q P N M O N M B P A 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C 为圆心，CA 为半径作弧，交CD 于 点E，连接AE，则∠CEA 等于（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以 下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆 心，大于 1 2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于 点H．则∠CDH 的大小为（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1-2】（2026 春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A 为圆心， AC 长为半径作弧，交边AB 于点D，连接CD，则∠ACD 的度数是（ ） A．58° B．60° C．62° D．56° 【变式1-3】如图，在等腰△ABC 中，AC=BC，用圆规以点C 为圆心作弧，分别交AC、AB 于D、E 两点， 连接CE，DE．若∠ECB=83°，则∠AED= .
