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专题14 等腰三角形的性质定理
（题型突破·举一反三）
题型01 等边对等角求角度
题型02 等边对等角与三角形的外角
题型03 等边对等角与平行线
题型04 等边对等角与方程
题型05 等边对等角与垂直平分线
题型06 三线合一求角度
题型07 三线合一求线段长
题型08 新定义
题型09 等腰三角形与高线
题型10 摆放小木棒问题
题型11 等腰三角形的性质与尺规作图
▌题型01 等边对等角求角度
1. 标记相等边：找出题目里给出的腰、相等线段，锁定等腰三角形。
2. 对应标等角：长边对大角、短边对小角，等边对应的角写上相同符号。
3. 求解角度：利用三角形内角和进行求解。
【典例1】（2026 春•綦江区期末）在等腰△ABC 中，若∠A＝120°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．120°
B．30°
C．30°或120°
D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵三角形内角和为180°，若120°为底角，则两个底角的和为120°+120°＝240°＞180°，
不符合三角形内角和定理，
∴∠A＝120°只能是等腰△ABC 的顶角，
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∴根据等腰三角形的性质得，
180°−120°
2
= 30°，即这个等腰三角形的底角为30°，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（ ）
A．80°
B．65°
C．50°或80°
D．50°或65°
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进
行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的两个底角度数都= 180°−50°
2
=65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角度数＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
综上所述：它的一个底角的度数为65°或50°，
故选：D．
【变式1-2】（2025 秋•海口期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝70°，BD 平分∠ABC 交AC 于点
D，则∠ADB 等于（ ）
A．105°
B．110°
C．115°
D．120°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠ABC＝70°，∠A＝40°，根据角平分线的性质得到∠CBD
＝∠ABD＝35°，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠C＝∠ABC＝70°，∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
故选：A．
【变式1-3】（2026•西安模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的高．若∠ABC＝65°，则∠
ABD 的度数为（ ）
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A．35°
B．40°
C．45°
D．60°
【分析】由等腰三角形的性质求出顶角∠A 度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵BD 是AC 边上的高，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
▌题型02 等边对等角与三角形的外角
1. 等边对等角：同一三角形，边相等→对角相等。
2. 三角形外角定理：外角=与它不相邻的两个内角之和。
【典例1】（2026 春•凌河区校级期中）等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（ ）
A．70°
B．50°或70°
C．40°
D．50°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是
顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：由条件可知等腰三角形的一个内角为180°﹣100°＝80°，分两种情况进行分类讨论如下：
①当80°为顶角时，
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其他两角都为50°、50°；
②当80°为底角时，
其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•温江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E 是AD
上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE 的度数为（ ）
A．18°
B．27°
C．25°
D．36°
【分析】首先根据AB＝AC 求出∠ABC＝∠ACD＝70°，再根据BD＝DE＝CD 求出∠DCE＝45°即可解
答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠ACD＝70°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE＝BD，
∴BD＝CD＝DE，
∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°．
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故选：C．
【变式1-2】（2026•广州模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．35°
【分析】先根据AB＝AD，∠B＝70°求出∠ADB 的度数，再由AD＝DC 得出∠C＝∠DAC，根据三角形
外角的性质得出∠C 的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠ADB＝70°．
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•运城月考）如图，在第1 个△A1BC，∠B＝20°同A1B＝CB；在边A1B 上任取一点
D，延长CA1 到A2，使A1A2＝A1D，得到第2 个△A1A2D；在边A2D 上任取一点E，延长A1A2，到A3，
使A2A3＝A2E，得到第3 个△A2A3E，…．按此做法继续下去，则第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数
是（ ）
A．(1
2)𝑛80°
B．(1
2)𝑛−1 ⋅80°
C．(1
2)𝑛−1 ⋅100°
D．(1
2)𝑛⋅100°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分
别求出∠DA2A1，∠EA3A2 及∠FA4A3 的度数，找出规律即可得出第n 个三角形中以An 为顶点的底角度
数．
【解答】解：由条件可知∠𝐵𝐴1𝐶= ∠𝐶= 180°−∠𝐵
2
= 180°−20°
2
= 80°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C 是△A1A2D 的外角，
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∴∠𝐷𝐴2𝐴1 = 1
2 ∠𝐵𝐴1𝐶= 1
2 × 80°；
同理可得∠𝐸𝐴3𝐴2 = (1
2)2 × 80°，∠𝐹𝐴4𝐴3 = (1
2)3 × 80°，
∴第n 个三角形中以An 为顶点的底角度数是(1
2)𝑛−1 × 80°．
故选：B．
▌题型03 等边对等角与平行线
1. 圈等腰：找出相等线段，标记相等角；
2. 找平行：定位平行直线，判断同位/内错/同旁内角；
3. 等量代换：平行线转移角度，把远处的角换成等腰三角形内的角；
4. 列等式计算：结合三角形内角和180°求解。
【典例1】（2026•邵阳二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD∥BC，则∠CAD 的度数为
（ ）
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝70°，由平行线的性质得到∠CAD＝∠C＝70°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠C＝∠B= 1
2 ×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C＝70°．
故选：A．
【变式1-1】（2026•宝鸡一模）如图，已知AB∥CD，直线MN 分别与AB、CD 交于点M、N，点E 是CD
上一点，连接ME，若MN＝ME，∠BME＝65°，则∠EMN 的度数为（ ）
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A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【分析】根据平行线的性质得出∠MEN＝∠BME＝65°，根据等腰三角形的性质得出∠MNE＝∠MEN＝
65°，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BME＝65°，
∴∠MEN＝∠BME＝65°（两直线平行，内错角相等），
∵MN＝ME，
∴∠MNE＝∠MEN＝65°，
∴∠EMN＝180°﹣∠MNE﹣∠MEN＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：A．
【变式1-2】（2026•桂林模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光
心O 的光线相交于点C，点D 为焦点．若CO＝CD，∠ABD＝153°，则∠COD 的度数为（ ）
A．27°
B．30°
C．37°
D．40°
【分析】根据平行线的性质求∠BDO，根据等边对等角求∠COD．
【解答】解：∵AB∥OD，∠ABD＝153°，
∴∠BDO＝180°﹣∠ABD＝180°﹣153°＝27°（两直线平行，同旁内角互补），
∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠BDO＝27°，
则∠COD 的度数为27°，
故选：A．
【变式1-3】（2026•长春二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝32°．直线a∥b，顶点C 在直线b 上，
直线a 交AB 于点D，交AC 于点E．若∠1＝140°，则∠2 的大小是（ ）
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A．32°
B．34°
C．36°
D．38°
【分析】在直线b 上取一点F，则∠BCF＝∠2，∠1 是△ADE 的外角，由外角性质求∠AED；由 a∥b 得
∠AED＝∠ACF；∠ACF＝∠2+∠ACB，在等腰△ABC 中由∠A 求∠ACB，即可得∠2＝∠ACF﹣∠ACB．
【解答】解：在直线b 上取一点F，则∠BCF＝∠2，
∵AB＝AC，∠A＝32°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−32°
2
= 74°，
∴∠1＝∠A+∠AED，
∴∠AED＝∠1﹣∠A＝140°﹣32°＝108°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠ACF＝108°，
∵∠ACF＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝∠ACF﹣∠ACB＝108°﹣74°＝34°，
故选：B．
▌题型04 等边对等角与方程
1. 找等腰：圈出相等线段，确定一组相等内角；
2. 设未知数：统一设底角为x；顶角用180-2x 表示；
3. 转化所有角：结合外角、平行线、折叠等条件，全部写成kx 形式；
4. 列方程：内角和相加=180°，解方程，检验答案合理性。
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【典例1】（2026 春•宝安区校级期中）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB＝AC＝CD，BD＝AD，则∠
C 的大小为（ ）
A．30°
B．32°
C．36°
D．45°
【分析】设∠C＝α，根据AB＝AC 得∠B＝∠C＝α，根据BD＝AD 得∠DAB＝∠B＝α，根据三角形外角
性质得∠CDA＝2α，再根据AC＝CD 得∠CAD＝∠CDA＝2α，然后在△CAD 中，根据三角形内角和定理
得2α+2α+α＝180°，由此解得α 即可得出∠C 的度数．
【解答】解：∠C＝α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝α，
又∵BD＝AD，
∴∠DAB＝∠B＝α，
∵∠CDA 是△DAB 的外角，
∴∠CDA＝∠DAB+∠B＝2α，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝2α，
在△CAD 中，∠CAD+∠CDA+∠C＝180°，
∴2α+2α+α＝180°，
解得：α＝ 36°，
∴∠C＝α＝ 36°．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•市南区期末）某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O
转动的杆分别为OB、OC，点N 固定在OC 上，点A 在OB 上滑动，点M 在OC 上滑动，三根支撑段满
足AM＝AN＝ON，若∠BAM＝102°，则∠O 的度数为（ ）
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A．25.5°
B．26°
C．34°
D．51°
【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形外角的性质（三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角和），逐步用 x 表示出∠NAO、∠ANM、∠AMN，最后利用∠BAM 是△OAM
的外角建立方程求解．
【解答】解：设∠O＝x，则∠NAO＝∠O＝x，
∴∠ANM＝∠O+∠NAO＝2x （三角形外角性质）．
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM＝2x，
∵∠BAM 是△OAM 的外角，
∴102°＝x+2x，
解得 x＝34°，
∴∠O＝34°．
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•浠水县期末）如图，在△ABC 中，∠ABC＝63°，点D，E 分别在边BC，AC 上，且
AB＝AD＝DE＝EC，求∠C 的度数．
【分析】设∠C＝x，利用等腰三角形的性质可得∠EDC＝∠C＝x，从而利用三角形的外角性质可得∠DEA
＝2x，再利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠ADB＝3x，
再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝3x，进而求出x＝21°，即可解答．
【解答】解：设∠C＝x，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝x（等边对等角），
∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝2x，
∵DA＝DE，
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∴∠DAE＝∠DEA＝2x，
∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝3x＝63°（等边对等角），
解得x＝21°，
∴∠C＝21°．
则∠C 的度数为21°．
【变式1-3】（2025 秋•大连期末）如图（1），△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，且BD
＝BC．
（1）求∠A 的度数；
（2）若点E 为线段AB 的中点，连接DE，如图（2），判断直线DE 与AB 的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）设∠ABD＝x，得出∠ABD＝∠CBD＝x，∠ABC＝∠C＝2x，∠BDC＝∠C＝2x，根据三角
形内角和列方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解．
（2）根据（1）证明AD＝BD，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）设∠ABD＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x，
由三角形内角和定理可得，2x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝2x﹣x＝x＝36°；
（2）DE⊥AB，
理由：根据（1）可得∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
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∵点E 为线段AB 的中点，
∴DE⊥AB．
▌题型05 等边对等角与垂直平分线
1. 求角度解题思路
（1）看条件，找垂直平分线，写出相等线段；
（2）由等边推等角（等边对等角），设这个角为x；
（3）利用外角、内角和，表示出图中其余角度；
（4）列方程，求解角度。
2. 求周长解题思路
（1）标记垂直平分线，写出等线段；
（2）改写三角形周长式子，等量替换；
（3）结合已知边长化简，简化周长表达式；
（4）代入数值算出周长。
【典例1】（2026 春•槐荫区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于N，交AC 于
M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA 的度数是 50° ；
（2）探究∠B 与∠NMA 的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC 的周长是14cm，求BC 的长．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由余角的定义即可得出结论；
（2）利用∠B 表示出∠A 的度数，再由余角的定义可得出结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质得出MB＝AM，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
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∵MN⊥AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°；
（2）∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B．
∵MN⊥AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣180°+2∠B＝2∠B﹣90°；
（3）∵MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+CM＝AC．
∵AB＝AC，AB＝8cm，△MBC 的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）．
【变式1-1】（2026 春•梅江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，AC 的垂直平分线分别
交AB，AC 于点D，E，连接CD，则∠BCD 的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出∠ACB，由垂直平分线的性质得DA＝DC，由等边对
等角得∠ACD＝∠A＝40°，进而即可求解．
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【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵= 1
2 (180° −∠𝐴) = 1
2 × (180° −40°) = 70°，
∵DE 垂直平分AC，
∴DA＝DC（线段垂直平分线的性质），
∴∠ACD＝∠A＝40°（等边对等角），
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•中原区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 为AB 边上一点，AD 的垂直
平分线交AB 于点F，交AC 于点E，ED 和CB 的延长线交于点G，若∠A＝40°，则∠G＝（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C＝∠CBA＝70°，再利用线段的垂直平分
线的性质求出∠A＝∠EDA＝40°，最后利用三角形外角性质求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐴= 1
2 (180° −40°) = 70°，
∵EF 垂直平分AD，
∴AE＝DE（线段垂直平分线的性质），
∴∠A＝∠EDA＝40°，
∴∠BDG＝∠EDA＝40°，
∴∠G＝∠CBA﹣∠BDG＝70°﹣40°＝30°，
则∠G 的度数为30°，
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•耀州区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AF 平分∠BAC，DE 垂直平分AC，交
BC 于点E，连接AE．已知∠B＝50°，求∠FAE 的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形
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内角和定理、角平分线的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AF 平分∠BAC，
∴∠FAC= 1
2∠BAC＝40°，
∴∠FAE＝50°﹣40°＝10°．
▌题型06 三线合一求角度
1. 等腰三角形三线合一
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，三条线重合。
已知等腰+一条线满足其一，直接推出另外两条。
2. 解题步骤
（1）判断等腰：找到两腰相等，确定顶角、底角
（2）看条件：给出高/中线/角平分线，启用三线合一
（3）拆分角度：
- 顶角被平分：顶角÷2 得到小角
- 出现垂线：直角90°，直角三角形两锐角互余
（4）列等式/方程算出目标角度
【典例1】（2026•丽江二模）如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝40°，则∠BAD 的度
数为（ ）
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A．20°
B．30°
C．40°
D．80°
【分析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的性质得出AD 既是高也是顶
角平分线，因此∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶．
【解答】解：由条件可知AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，
又∵∠BAC＝40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 × 40° = 20°．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•双流区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 和CE 分别是△ABC 的高线和
角平分线，AD 和CE 相交于点O．若∠BAC＝36°，则∠COD 的度数为（ ）
A．54°
B．56°
C．58°
D．60°
【分析】根据垂直定义可得：∠ADC＝90°，再根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得∠B＝∠
ACB＝72°，然后利用角平分线的定义可得：∠ECD＝36°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计
算，即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ACB= 180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
=72°，
∵CE 平分∠ACB，
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∴∠ECD= 1
2∠ACB＝36°，
∴∠COD＝90°﹣∠ECD＝54°，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•温江区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E 是AD
上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE 的度数为（ ）
A．18°
B．27°
C．25°
D．36°
【分析】首先根据AB＝AC 求出∠ABC＝∠ACD＝70°，再根据BD＝DE＝CD 求出∠DCE＝45°即可解
答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠ACD＝70°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE＝BD，
∴BD＝CD＝DE，
∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°．
故选：C．
【变式1-3】（2026•路桥区二模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，AD＝
ED．若∠B＝40°，求∠DEA 的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和得出∠BAC＝100°，根
据三线合一求出∠CAD= 1
2∠BAC＝50°，根据AD＝ED，求出∠DEA＝∠EAD＝50°，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，D 为BC 的中点，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，∠BAD＝∠CAD．
∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝100°，
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∴∠CAD= 1
2∠BAC＝50°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠EAD＝50°．
▌题型07 三线合一求线段长
1.判定等腰：找到两腰相等，分清底边、两腰；
2.识别三线：给出高/中线/角平分线，直接用三线合一；
3.平分底边：底边被分成两段相等短线段，底边÷2 得半底长。
【典例1】（2025 春•织金县期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD 的长为 2 ．
【分析】由等腰三角形的性质推出BD= 1
2BC＝2．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD= 1
2BC= 1
2 ×4＝2．
故答案为：2．
【变式1-1】如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝3，点E 为中线AD 上一点，已知△ABE 和△CDE 的面积
分别为1.5 和2．求AD 的长．
【分析】由三线合一的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝1.5，利用三角形面积公式可得
1
2 ×AE×BD＝1.5，
1
2 ×DC×DE＝2，由此可求出AE 和DE 的长，进而得到AD 的长度．
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【解答】解：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，BC＝3，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝1.5．
∵△ABE 和△CDE 的面积分别为1.5 和2，
∴
1
2 ×BD×AE＝1.5，
1
2 ×DE×DC＝2，
即
1
2 ×1.5×1AE＝1.5，
1
2 ×DE×1.5＝2，
解得AE＝2，DE= 8
3，
∴AD＝AE+DE＝2+ 8
3 = 14
3 ．
【变式1-2】已知：如图，P、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO＝CO，PO＝QO，根据等式的性质，可得答案．
【解答】证明：过点A 作AO⊥BC 于O．
∵AB＝AC，AO⊥BC
∴BO＝CO
∵AP＝AQ，AO⊥BC
∴PO＝QO
∴BO﹣PO＝CO﹣QO
∴BP＝CQ．
【变式1-3】（2026 春•三水区期中）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，AB＝CE，AD⊥BC，垂足为点D，
△ABC 的周长为52，AC＝20．
（1）过点E 作EF⊥AC 于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若点F 是边AC 的中点，求线段CD 的长度．
【分析】（1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图：
（2）利用垂直平分线的性质，得出等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得出点D 为BE 的中
点，再利用条件三角形的周长进行求解即可．
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【解答】解：（1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图如下：
（2）连接AE，
设CE＝x，则AE＝CE＝x，
∵AB＝CE＝x，
∴AB＝AE＝x，
∵AD⊥BC，
∴D 为BE 的中点，
∵△ABC 的周长为52，AC＝20，
∴AB+BC＝52﹣20＝32，
∴𝐷𝐸= 1
2 𝐵𝐸= 1
2 × (𝐵𝐶−𝐶𝐸) = 1
2 × (32 −𝑥−𝑥) = 16 −𝑥，
∴CD＝DE+CE＝16﹣x+x＝16．
▌题型08 新定义
1. 拆解新定义
划出题干定义文字，翻译成几何关系（相等边、特殊等腰、角度倍数关系）。
常见新定义词汇：优美三角形、倍角三角形、黄金等腰、邻等三角形等。
2. 锁定等腰三角形
根据定义找到两条相等线段，立刻标注两组相等内角。
3. 设未知数表示全部角度
设最小角为x，利用等边对等角把等角统一写成x，定义给出的倍数角写成2x、3x。
4. 内角和列方程计算
求出角度后，带回新定义验证是否符合题干要求，舍去不合理答案。
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【典例1】（2026 春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三
角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A＝50°，则它的特征值k 等于（ ）
A．
10
13
B．
5
8
C．
13
10或
5
8
D．
10
13或
8
5
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行
计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°，
∴等腰三角形的两个底角都= 1
2 ×（180°﹣50°）＝65°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k= 50°
65° = 10
13；
当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k= 80°
50° = 8
5；
综上所述：
10
13或
8
5，
故选：D．
【变式1-1】（2026•荥阳市模拟）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在
△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P 为边BC 上一点，若△ABP 为“反直角三角形”，则∠PAC 的
度数为 75°或90° ．
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝40°，分四种情况，由反直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C= 1
2x（180°﹣100°）＝40°，
当∠PAB﹣∠B＝90°时，∠PAB＝130°，
∵∠PAB＞∠BAC，
∴不存在这样的△PAB 是反直角三角形；
当∠APB﹣∠B＝90°时，∠APB＝130°，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝90°；
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当∠APB﹣∠PAB＝90°时，
∵∠APB+∠PAB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠APB＝115°，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝75°；
当∠PAB﹣∠APB＝90°时，
∵∠PAB+∠APB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠PAB＝115°，
∵∠PAB＞∠BAC，
∴不存在这样的△PAB 是反直角三角形，
∴当△PAB 是反直角三角形时，∠PAC＝75°或90°．
故答案为：75°或90°．
【变式1-2】（2026•楚雄市一模）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个三角形的
“特征值”．若在等腰三角形ABC 中，∠A＝80°，则它的“特征值”k＝
8
5或
1
4． ．
【分析】等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
180°−80°
2
=50°，
∴特征值k= 80
50 = 8
5；
②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴特征值k= 20
80 = 1
4．
综上所述，特征值k= 8
5或k= 1
4．
故答案为：
8
5或
1
4．
【变式1-3】（2025 秋•高安市期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍
长三角形”．若等腰三角形ABC 是“倍长三角形”，底边BC 长为5，则等腰三角形ABC 的周长为 25 ．
【分析】由等腰△ABC 是“倍长三角形”，可知AB＝2BC 或BC＝2AB，若AB＝2BC＝10，可得AB 的长
为10；若BC＝2AB＝5，因2.5+2.5＝5，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC 是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC 或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝10，则△ABC 三边分别是10、10、5，符合题意，
等腰三角形ABC 的周长为10+10+5＝25；
若BC＝2AB＝5，则AB＝2.5，△ABC 三边分别是2.5、2.5、5，
∵2.5+2.5＝5，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
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综上所述，等腰三角形ABC 的周长为25，
故答案为：25．
▌题型09 等腰三角形与高线
1. 等边对等角：同一等腰三角形，两腰相等→两底角相等
2. 高线性质：高线与对应边垂直，形成90°直角，直角三角形两锐角互余
3. 解题步骤：
（1）识别等腰，用等边对等角标出相等底角，设为x
（2）看清高线位置：底边上的高 / 腰上的高
（3）利用90°直角，找角的和差、互余关系
（4）列方程求出目标角度
【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角
形顶角的度数为 70°或110° ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时；当等腰三角形是钝角三角形时；然后分别进行计算
即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形是锐角三角形时，如图：在△ABC 中，AB＝AC，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图：在△ABC 中，AB＝AC，
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∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝110°；
综上所述：这个等腰三角形顶角的度数为70°或110°，
故答案为：70°或110°．
【变式1-1】（2026 春•海淀区校级月考）BD 是等腰△ABC 一腰上的高，∠ABD＝50°，则该等腰三角形的
顶角度数为 40°或100°或140° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A 是顶角顶点，点A 是底角或顶角顶点3 种情况求
解．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，BD 是腰上的高，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
①如图1，点A 是顶角顶点时，顶角为∠A 是40°；
②如图2，点A 是底角顶点时，
顶角∠BAC＝180°﹣40°×2＝100°，
③如图3，点A 是顶角顶点时，
顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，等腰△ABC 的顶角的度数为40°或100°或140°．
故答案为：40°或100°或140°．
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【变式1-2】（2026 春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个
等腰三角形顶角的度数为 120 度．
【分析】等腰三角形一腰上的高不可能在等腰三角形的内部，当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的
外部时，由直角三角形的性质求出底角的度数，即可求出这个等腰三角形顶角的度数．
【解答】解：当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的内部时，如图：AB＝AC，BD⊥AC，
∵∠ABD＜∠ABC，
∴此种情况不存在；
当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的外部时，如图：AB＝AC，BH⊥AC，交AC 的延长线于H，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠BHC＝90°，
∴∠C+∠ABC+∠ABH＝90°，
∵∠ABH＝∠ABC，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30﹣30°＝120°，
∴这个等腰三角形顶角的度数为120°，
故答案为：120．
【变式1-3】（2026•呼兰区二模）在△ABC 中，AB＝AC，高BD，CE 所在直线的夹角为50°，则∠BAC＝
50 或130 度．
【分析】分两种情况1．△ABC 是锐角等腰三角形和2．△ABC 是钝角等腰三角形，利用三角形内角和得
出即可．
【解答】解：1．△ABC 是锐角等腰三角形，如图，
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∵高BD，CE 所在直线的夹角为50°，
∴∠BOE＝∠COD＝50°，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴∠EOD＝∠180°﹣50°＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣130°﹣90°﹣90°＝50°；
2．△ABC 是钝角等腰三角形，如图，
∵高BD，CE 所在直线的夹角为50°，
∴∠BOE＝∠COD＝50°，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴∠BAC＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；
综上所述，∠BAC 的度数是50°或130°；
故答案为：50 或130．
▌题型10 摆放小木棒问题
1. 等腰三角形：两条腰长度相等
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2. 三边关系：两短边之和＞最长边
3. 两类考法：①已有木棒选三根拼等腰 ②已知两根，求第三根木棒长度
【典例1】（2025 秋•武安市期中）设∠BAC＝α（0°＜α＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使
小棒两端分别落在射线AB、AC 上，从点A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第一根小
棒，且A1A2＝AA1，若∠BAC＝30°，则这样的小棒最多摆放 2 根；若最多能摆放5 根小棒，则α
的取值范围是 15°≤α＜18° ．
【分析】当∠BAC＝30°时，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到∠AA2A3＝90°，得到最多摆
放2 根小棒；当最多能摆放5 根小棒时，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到∠A5A4A6＝5α，
∠A6A5C＝6α，因此5α＜90°，6α≥90°，于是得到15°≤α＜18°．
【解答】解：∵A1A2＝AA1，∠BAC＝30°，
∴∠AA2A1＝∠BAC＝30°，
∴∠A2A1A3＝∠AA2A1+∠BAC＝60°，
∵A1A2＝A2A3，
∴△A2A1A3 是等边三角形，
∴∠A1A2A3＝60°，
∴∠AA2A3＝30°+60°＝90°，
∴当∠BAC＝30°时，这样的小棒最多摆放2 根；
如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到∠A5A4A6＝5α，∠A6A5C＝6α，
∵最多能摆放5 根小棒，
∴5α＜90°，6α≥90°，
∴15°≤α＜18°．
故答案为：2，15°≤α＜18°．
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【变式1-1】（2025 秋•东莞市校级期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜
θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC 上．如图所示，从点
A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
（1）小棒能无限摆下去吗？答： 不能 ．（填“能”或“不能”）
（2）若小棒AA1⊥A1A2，则θ＝ 45 °；
（3）若已经摆放了3 根小棒，求θ3 的大小（用含θ 的式子表示）；
（4）若只能摆放4 根小棒，求θ 的范围．
【分析】（1）根据等腰三角形和外角定理，每向右摆放一根小棒，新形成的等腰三角形的底角就会比前
一个增加θ．这个角度会不断累积增大，最终必然会达到或超过90°．一旦角度≥90°，就无法再构成
三角形来摆放下一根小棒，因此小棒不能无限摆下去；
（2）题目条件AA1⊥A1A2 意味着ΔAA1A2 是一个直角三角形，其中∠AA1A2＝90°．又因为AA1＝A1A2，
所以它是一个等腰直角三角形．根据三角形内角和为180°，两个锐角相等，所以∠A＝45°；
（3）在等腰ΔAA1A2 中，外角θ1＝∠A+∠AA2A1＝θ+θ＝2θ2．在等腰ΔA1A2A3 中，外角θ2＝∠A+∠A2A3A1
＝θ+2θ＝3θ3．在等腰ΔA2A3A4 中，外角θ3＝∠A+∠A3A4A2＝θ+3θ＝4θ 所以，θ3 的大小为4θ．
（4）第4 根小棒必须能放得下：这意味着形成第4 根小棒的等腰三角形ΔA3A4A5 的底角必须小于90°．这
个底角的大小是4θ．所以，条件是4θ＜90°；第5 根小棒必须放不下：这意味着如果想放第5 根，其对
应的等腰三角形的底角（大小为5θ）必须大于或等于90°．所以，条件是5θ≥90°．据此得出答案．
【解答】（1）小棒摆放时，后续小棒形成的角度随数量增加而增大，
当角度≥90°时无法继续摆放，
故不能无限摆下去；
故答案为：不能；
（2）已知A1A2 为第一根小棒，
且A1A2＝AA1，
又因为AA1⊥A1A2，
即∠AA1A2＝90°，
在ΔAA1A2 中，
∵AA1＝A1A2，
∴ΔAA1A2 是等腰直角三角形．
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因此，∠𝐴= ∠𝐴𝐴2𝐴1 = 180°−90°
2
= 45°，
已知∠BAC＝θ，即∠A＝θ．
∴θ＝45°；
故答案为：45°；
（3）利用等腰三角形性质和外角定理，
第一个小棒形成的角θ1＝2θ，
第二个小棒形成的角θ2＝3θ，
第三个小棒形成的角θ3＝4θ；
（4）要能摆放第4 根小棒，第4 根小棒形成的底角必须小于90°，即4θ＜90°，
如果不能摆放第5 根小棒，则第5 根小棒形成的底角必须大于或等于90°，即5θ≥90°，
综合这两个条件，得到不等式组：{4𝜃＜90°
5𝜃≥90°
，
解这个不等式组：由4θ＜90°得θ＜22.5°，
由5θ≥90°得θ≥18°，
结论：θ 的范围是18°≤θ＜22.5°
【变式1-2】（2024 秋•上高县期末）【综合与实践】
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
（1）活动一：
如图甲所示，从点A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2 为第1 根小棒．
数学思考：
小棒能无限摆下去吗？答： 能 ；（填“能”或“不能”）
（2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 22.5 度；
（3）活动二：
如图乙所示，从点A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2 为第1 根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若已经向右摆放了3 根小棒，则θ1＝ 2θ ，θ2＝ 3θ ，θ3＝ 4θ ；（用含θ 的式子表示）；
（4）若只能摆放4 根小棒，求θ 的范围．
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【分析】（1）本题需先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断
出能继续摆下去．
（2）本题需先根据已知条件AA1＝A1A2＝A2A3＝1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3 和AA3 的值，判断出A1A2∥
A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A＝∠AA2A1＝∠AA4A3＝∠AA6A，从而得解；
（3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2 和∠AA2A1 相等，即可得出θ1 的值，同样道理得出θ2、θ3
的值．
（4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ 的取值范围，即可得出正确答案．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能
继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
故答案为：22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ．
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ．
∴θ1＝2θ．
同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ．
（4）如图：
∵A4A3＝A4A5，
∴∠A4A3A5＝∠A4A5A3＝4θ°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
当∠A5A4B 是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，
∴当∠A4A3A5 是锐角，∠A5A4B＝5θ 是钝角或直角时，只能摆放4 根小棒，
∴5θ≥90°，且4θ＜90°，
∴18°≤θ＜22.5°．
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【变式1-3】某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
平面内有一锐角∠BAC＝α°，现用等长的小棒依次向右摆放在两射线AB，AC 之间，并使小棒两端分别
落在两射线上，其中A1A2 为第1 根小棒，且A1A2＝AA1．
（1）用含α 的式子填空：放入第1 根小棒A1A2 后，得到外角θ1＝ 2α °，放入第2 根小棒A2A3 后，
得到外角θ2＝ 3α °；放入第3 根小棒A3A4 后，得到外角θ3＝ 4α °．
（2）若放入9 根小棒后发现第10 根无法放入，求α 的取值范围．
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出θ2＝θ1+α，θ3＝θ2+α 从而求解；
（2）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ 的取值范围，即可得出正确答案．
【解答】解：（1）由题意可知，AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴∠BAC＝∠AA2A1＝α°，
∴θ1＝∠BAC+∠AA2A1＝α+α＝2α°，同理θ2＝θ1+α＝3α°，θ3＝θ2+α＝4α°，
故答案为：2α，3α，4α；
（2）由（1）可知，摆第n 根时：θn＝θn﹣1+α＝（n+1）α°（n≥2），
能摆第9 根，则θ8＝9α°＜90°，不能摆第10 根，则θ9＝10α°≥90°，
即：{9𝛼＜90
10𝛼≥90
，解得：9≤α＜10
▌题型11 等腰三角形的性质与尺规作图
1.作一个角等于已知角
已知：如图，∠𝐴𝑂𝐵。
求作：∠𝐴’𝑂’𝐵’，使∠𝐴’𝑂’𝐵’ = ∠𝐴𝑂𝐵
作法：
（1）作射线𝑂’𝐴’；
（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交𝑂𝐴于M，交OB 于N；
（3）以𝑂’为圆心，以𝑂𝑀的长为半径画弧，交𝑂’𝐴’于𝑀’；
（4）以M’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N’；
（5）连接𝑂’𝑁’并延长到𝐵’。则∠𝐴’𝑂’𝐵’就是所求作的角。
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2. 经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知：如图，P 是直线AB 上一点。
求作：直线CD，使CD 经过点P，且CD⊥AB。
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M、N；
（2）分别以M、N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点Q；
（3）过D、Q 作直线CD。则直线CD 是求作的直线。
3. 经过直线外一点作已知直线的垂线
已知：如图，直线AB 及外一点P。
求作：直线CD，使CD 经过点P，且CD⊥AB。
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M、N；
（2）分别以M、N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点Q；
（3）过D、Q 作直线CD。则直线CD 是求作的直线。
4. 作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）.
作法：
（１）分别以M、N 为圆心，大于
MN
2
1
的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
N
M
B
O
A
③
②
①
A'
A'
N'
O'
B'
M'
O'
A'
N'
M'
M'
O'
Q
N
D
C
P
P
M
B
A
B
A
P
A
B
B
A
P
Q
N
D
C
M
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5.作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
MN
2
1
的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；
（3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C 为圆心，CA 为半径作弧，交CD 于
点E，连接AE，则∠CEA 等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】根据平行线的性质求出∠ACE＝40°．由作图可知，CE＝CA，则∠CEA＝∠CAE，再根据三角
形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠CAB＝140°，
∴∠ACE＝180°﹣140°＝40°．
由作图可知，CE＝CA，
O
Q
P
N
M
O
N
M
B
P
A
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∴∠CEA＝∠CAE．
∴∠𝐶𝐸𝐴= 180°−∠𝐴𝐶𝐸
2
= 180°−40°
2
= 70°，
则∠CEA 等于70°，
故选：D．
【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以
下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆
心，大于
1
2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于
点H．则∠CDH 的大小为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝40°，从而利用角平分线的
定义可得∠ABD＝20°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝120°，再由作图可得：∠BDH＝90°，
从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C= 180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
=40°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD= 1
2∠ABC＝20°，
∵∠BDC 是△ABD 的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°，
由作图可得：HD⊥BF，
∴∠BDH＝90°，
∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A 为圆心，
AC 长为半径作弧，交边AB 于点D，连接CD，则∠ACD 的度数是（ ）
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A．58°
B．60°
C．62°
D．56°
【分析】由直角三角形的性质求出∠A＝56°，由题意得到AD＝AC，推出∠ACD＝∠ADC＝62°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝56°，
由题意得到AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC= 1
2 ×（180°﹣56°）＝62°．
故选：C．
【变式1-3】如图，在等腰△ABC 中，AC=BC，用圆规以点C 为圆心作弧，分别交AC、AB 于D、E 两点，
连接CE，DE．若∠ECB=83°，则∠AED= .
【分析】先根据等腰三角形的性质证明∠A=∠B，在根据三角形外角的性质把∠2 和∠3 表示出来，从而列出
关于∠1 的方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
由题意可知：CD=CE，
∴∠2=∠3，
∵∠2=∠A+∠1，
∴∠3=∠A+∠1，
∵∠1+∠3=∠B+∠ECB，∠ECB=83°，
∴∠1+∠A+∠1=∠B+83°，
2∠1+∠A=∠A+83°，
2∠1=83°
∠1=41.5°，即∠AED=41.5°，
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故答案为：41.5．
