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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题15 等腰三角形的判定定理 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形的个数 题型02 两圆一线 题型03 角平分线+平行线 题型04 等角对等边 题型05 判定三角形是否为等腰三角形 题型06 等腰三角形与尺规作图 题型07 多结论问题 题型08 等腰三角形的性质与判定 ▌题型01 等腰三角形的个数 根据等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质、平行线的性质，标出各个角的度数，再 利用等腰三角形的判定，输出等腰三角形的个数，不重复不遗漏。 【典例1】（2026 春•市南区校级月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平 分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（ ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026•新城区模拟）如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，点E 在 边AB 上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点D、E 在BC 边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则 图中共有等腰三角形的个数是 ． 【变式1-3】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，CE 平分∠BCD 交BD 于点E，则 图中等腰三角形的个数有 个． ▌题型02 两圆一线 已知定点A、B，找点P 使△ABP 为等腰三角形 1. 圆1（以A 为圆心，AB 为半径画圆） 顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。 2. 圆2（以B 为圆心，AB 为半径画圆） 顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。 3. 一线（线段AB 的垂直平分线） 顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B 是两格 点，使得△ABC 为等腰三角形的格点C 的个数是（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式1-1】（2026 春•禅城区期末）如图，点A、B 都在正方形网格的格点上，若等腰△ABC 的三个顶点都 在格点上，则满足条件的C 点的个数是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1-2】（2025 秋•镇平县期末）如图，在3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B 两点都在 格点上，点C 也是一格点，并且△ABC 是等腰三角形，那么满足条件的点C 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5 的正方形网格中，点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的 等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，则点C 所处的位置个数为 . ▌题型03 角平分线+平行线 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 已知，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝐷𝐸∥𝑂𝐵，求证：𝐷𝐸= 𝐷𝑂。 证明：∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶， ∵𝐷𝐸∥𝑂𝐵， ∴∠𝐷𝐸𝑂= ∠𝐵𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝐸𝑂， ∴𝐷𝐸= 𝐷𝑂。 【典例1】（2026 春•西安期中）如图，在△ABC 中，ED∥BC，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点 F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式1-1】（2026 春•平顶山月考）如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F，过F 作 DE∥BC 交AB 于点D，交AC 于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE 等于（ ） A．1 B．5 C．9 D．10 【变式1-2】（2025 秋•徐州期末）如图，在△ABC 中，角平分线BF，CF 相交于点F，过点F 作DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE 的周长等于（ ） 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．5 D．7 【变式1-3】（2026•海口开学）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A 的直线DE∥ BC，∠ABC 与∠ACB 的平分线分别交DE 于点E，D，则DE 的长为（ ） A．16 B．14 C．18 D．20 ▌题型04 等角对等边 在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简单记：等角对等边。 【典例1】（2026 春•西安期末）如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E， 且DE 平分∠ADC，在边BC 上取一点F，使∠DFC＝45°．求证：△BCD 为等腰三角形． 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 秋•乐陵市校级期末）如图，在锐角△ABC 中，点E 是AB 边上一点，BE＝CE，AD⊥BC 于点D，AD 与EC 交于点G． （1）求证△AEG 为等腰三角形； （2）若GD＝5，G 为CE 中点，求AG 的长． 【变式1-2】（2026•斗门区一模）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求 证：△ACD 是等腰三角形． 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•徐汇区校级期中）在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相 等．如图，半圆所对的直径为BC，点O 是圆心，点A 在半圆外，AB，AC 分别与半圆交于点D，E，且 BD＝EC，求证：△ABC 是等腰三角形． ▌题型05 判定三角形是否为等腰三角形 判定方法1：定义判定（两边相等） 判定内容：一个三角形中有两条边长度相等，就是等腰三角形。 判定方法2：等角对等边（两角相等） 判定内容：同一个三角形内两个内角相等，则两角对边相等，三角形为等腰。 【典例1】下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝3：6：3 【变式1-1】在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三 角形的是（ ） 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：1 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C 【变式1-2】（2026 春•小店区校级同步）在△ABC 中，已知a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，则下 列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝4：5：6 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 ▌题型06 等腰三角形与尺规作图 通过尺规作图留下的痕迹，确定是作一个角等于已知角、相等的线段、角平分线、垂线，还是垂直平 分线，然后结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，进行 解题。 【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C 为圆心，CA 为半径作弧，交CD 于 点E，连接AE，则∠CEA 等于（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以 下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆 心，大于 1 2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点H．则∠CDH 的大小为（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1-2】（2026 春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A 为圆心， AC 长为半径作弧，交边AB 于点D，连接CD，则∠ACD 的度数是（ ） A．58° B．60° C．62° D．56° 【变式1-3】（2026•海口校级模拟）在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D，使△ACD 为等腰三角形．下列作法正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ▌题型07 多结论问题 这类题特征：题干给等腰背景+若干条件，给出4～5 个结论，选出正确的序号。核心思路是逐个验证，用 固定套路排除错项。 1. 角度类结论常用手段： ① 等腰两底角相等，三角形内角和180°； ② 外角等于不相邻两内角和； ③ 平行线内错角、同位角； ④ 角平分线平分两角。 2. 线段相等结论，证明线段相等三条路径 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① 等角对等边（最常用，等腰题首选）； ② 证明两个三角形全等； ③ 垂直平分线性质、三线合一直接得线段相等。 3. 线段和差倍分结论：截长补短 4. 面积、周长不变类结论 ① 周长不变：动点平移，等量线段来回替换，总长抵消不变； ② 面积不变：底边固定，高不变，则面积不变；等腰对称轴上动点到底边距离恒定。 5. 垂直、平行关系结论 ① 三线合一直接得垂直； ② 同位角/内错角相等证平行； ③ 两角互余证垂直。 【典例1】（2025 秋•淮北期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BE，AE，CE 分别是∠ABC，∠MAC，∠ACN 的平分线，三条角平分线交于点E，BE 与AC 交于点P．下列结论：①AE∥BC；②△ACE 是等腰三角形； ③当∠BAC＝60°时，△APE 是直角三角形．其中正确的结论有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【变式1-1】（2025 秋•四川期末）如图，在△ABC 中，BA＝BC，∠B＝36°，AD 平分∠BAC，E 为线段AB 的中点，则下列结论中正确的有（ ） ①△ACD 是等腰三角形；②DE⊥BA；③AC＝BD；④CD＝DE． A．①③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【变式1-2】（2025 秋•平安区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点F，过F 作DE 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∥BC，交AB 于点D，交AC 于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF 都是等腰三角形；②DE＝DB+CE； ③△ADE 的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是 （填写正确的序号） 【变式1-3】（2025 秋•江岸区校级月考）如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是CB 的延长线和BA 的 延长线上的点，AE＝BD，延长DA 交CE 于点F，G 是AD 上一点，且CG＝CA，CG 交AB 于点H．下 列结论：①∠DFC＝60°；②∠DCG＝2∠ACE；③EH＝CH；④H 为AB 中点；⑤CF﹣AF＝GF．其中正 确的是 （填序号）． ▌题型08 等腰三角形的性质与判定 1.定位主等腰：先标出已知等腰的相等腰、相等底角，画出对称轴。 2.梳理条件：角平分线/平行/高/中线/折叠，看能凑出什么等角。 3.判断方向 ①缺等边/等角：用等腰性质（等边对等角、三线合一） ②要证明三角形是等腰：用判定（等角对等边优先） 4.角度传递优先：综合题绝大多数都是靠角度等量代换，先凑等角，再切换判定得到等边。 5.线段等量代换：多个等腰时，多条相等线段互相替换，完成求证。 【典例1】（2026 春•高陵区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于 点D，过点A 作AE∥BC，交BD 的延长线于点E． （1）求∠ADB 的度数； （2）求证：△ADE 是等腰三角形． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•金凤区校级期中）如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，DE⊥AB 于点E，ED 的延 长线交BC 的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC 是等腰三角形． 【变式1-2】（2025 秋•潮州期末）如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，AD 是底边BC 上的高，DE∥AB 交AC 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于点E．求证：△ADE 是等腰三角形． 【变式1-3】（2025 秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC 中，∠B、∠C 的平分线相交于点O，过点O 作EF ∥BC 交AB、AC 于E、F． （1）直接写出图1 中所有的等腰三角形．指出EF 与BE、CF 间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF 的周长； （3）如图2，若△ABC 中，∠B 的平分线与三角形外角∠ACG 的平分线CO 交于点O，过O 点作OE∥ BC 交AB 于点E，交AC 于点F，请问（1）中EF 与BE、CF 间的关系还是否存在，若存在，说明理由； 若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．
