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专题16 等边三角形的性质与判定
（题型突破·举一反三）
题型01 等边三角形的性质求角度
题型02 等边三角形的性质与平行线
题型03 等边三角形的性质与折叠
题型04 等边三角形的性质求线段长
题型05 等边三角形的性质求周长
题型06 等边三角形的性质求面积
题型07 等边三角形的判定
题型08 等边三角形的性质与判定
▌题型01 等边三角形的性质求角度
1. 三边全部相等；
2. 三个内角都相等，每个内角都是60°；
3. 等边是特殊的等腰三角形，所以等腰的所有性质（等边对等角、三线合一）等边全都能用；
4. 每条边上的高、中线、角平分线三线合一，同时这条线会把60°顶角平分出两个30°角。
【典例1】（2026 春•灞桥区校级月考）如图，已知△ABC 是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝70°，则∠1
的度数是（ ）
A．85°
B．80°
C．75°
D．70°
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【分析】由等边三角形的性质推出AB＝BC，∠ABC＝60°，求出∠ABD＝130°，由等腰三角形的性质
推出∠BAD＝∠ADB＝25°，由三角形内角和定理求出∠2＝85°，由对顶角的性质得到∠1＝∠2＝85°．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝70°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝130°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB= 1
2 ×（180°﹣130°）＝25°，
∴∠2＝180°﹣∠ADB﹣∠CBD＝180°﹣25°﹣70°＝85°，
∴∠1＝∠2＝85°．
故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B、C、D、E 在同一直线上，且
CG＝CD，DF＝DE，则∠E 的度数为（ ）
A．25°
B．20°
C．15°
D．7.5°
【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC 和∠E 即可．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
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∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•温州期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2 等于（ ）
A．130°
B．240°
C．300°
D．330°
【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠3+∠4，再根据四边形的内角和等于360°进行计算
即可得解．
【解答】解：如图，
∵三角形是等边三角形，
∴∠3+∠4＝60°+60°＝120°（等边三角形的性质），
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣120°＝240°，
则∠1+∠2 等于240°，
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•高碑店市月考）如图，AD 是等边△ABC 的一条中线，且AE＝AD，则∠AED 的度数
为（ ）
A．65°
B．70°
C．72°
D．75°
【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出∠DAC 的度数，再利用等腰三角形AD＝AE 及三角形
内角和定理即可求出∠AED 的度数．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴AD 平分∠BAC，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 60° = 30°（角平分线的性质），
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∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE（等边对等角），
在△ADE 中，∠DAC+∠AED+∠ADE＝180°（三角形内角和定理），
∴30°+2∠AED＝180°，
∴∠AED＝75°，
∴∠AED 的度数为75°，
故选：D．
▌题型02 等边三角形的性质与平行线
平行线核心作用：构造同位角、内错角相等，把60°角平移传递。
1.平行线平移60°角，直接出新等边三角形，过等边三角形一边作另一边的平行线，截出来的小三角形一
定是等边三角形。
2.平行线搭配等边外角（120°）倒角
【典例1】（2026•东方一模）如图，直线a∥b，等边△ABC 的顶点C 在直线b 上，∠1＝40°，则∠2 的度
数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【分析】根据等边三角形性质求出∠A＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠2 的度数．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵直线a∥直线b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝80°﹣60°＝20°，
故选：B．
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【变式1-1】（2026 春•南岸区期末）如图，直线l∥m∥n，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线m，l
上，直线l 与BC 的夹角为35°，则∠1 的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．35°
【分析】设直线m 交AC 于点D，首先根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，结合平行线的性质确定
∠CBD＝35°，进而可得∠ABD＝25°，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案．
【解答】解：直线l∥m∥n，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线m，l 上，设直线m 交AC 于点D，
由题意可得：∠ABC＝60°，
∵l∥m，∠BCE＝35°，
∴∠CBD＝∠BCE＝35°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝25°，
∵m∥n
∴∠1＝∠ABD＝25°．
故选：C．
【变式1-2】（2026•东河区校级三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性
质．如图，△ABC 是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE 交AB 于点E，光线FG 交AC 于
点G．已知△ABC 是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA 的度数为（ ）
A．39°
B．31°
C．29°
D．41°
【分析】过点A 作AM∥DE，则AM∥FG，∠EAM＝∠DEA＝29°，由△ABC 是等边三角形得∠BAC＝
60°，故∠FGA＝31°．
【解答】解：如图，过点A 作AM∥DE，则AM∥FG，
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∵∠DEA＝29°，
∴∠EAM＝29°（两直线平行，内错角相等），
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°（等边三角形的性质），
∴∠FGA＝∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM＝60°﹣29°＝31°，
则∠FGA 的度数为31°，
故选：B．
【变式1-3】（2026•厦门模拟）如图，在六角星ABCDEF 中，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，且AB∥
DF，BC∥DE，AC∥EF．若△ABC 和△DEF 的边长分别为6 和8，则六边形MNOPQR 的周长为 14 ．
【分析】根据题意，得出图中外部的六个小三角形都是等边三角形，据此将六边形MNOPQR 的周长转化
为AB 与DF 的和即可解决问题．
【解答】由题知，
因为△ABC 为等边三角形且AC∥EF，
所以∠BOP＝∠A＝60°，∠BPO＝∠C＝60°，
所以△BOP 是等边三角形，
所以OP＝OB，
同理可得，MN＝AN，DR＝MR，FQ＝PQ，
所以MN+NO+OP＝AB，MR+RQ+PQ＝DF．
又因为△ABC 和△DEF 的边长分别为6 和8，
所以AB＝6，DF＝8，
所以六边形MNOPQR 的周长为6+8＝14．
故答案为：14．
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▌题型03 等边三角形的性质与折叠
1. 等边三角形固有性质
三边相等，三内角都是60°；三线合一。
2. 折叠通用不变性
折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴。
3. 叠后最常出现的三类结论
① 角度大量相等，快速凑出60°，生成新等边三角形，将等边三角形一角向内翻折，落在内部某边上，
常会形成多个小等边。
②折叠构造等腰三角形，再升级为等边。
③线段等量代换，折叠前后对应边相等，可以把折线的线段等量替换成原等边的固定边长。
【典例1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC 纸片沿DE 折叠，若∠1＝40°，则∠2 是（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．58°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义和图形中角的关系求出∠BDE 的度数，
再利用三角形的外角性质或内角和定理求出∠2 的度数．
【解答】解：由折叠的性质可知∠BDE＝∠B'DE，
∵∠B′DE＝∠1+∠ADE，∠ADE＝180°﹣∠BDE，
∴∠BDE＝∠1+180°﹣∠BDE，
∴2∠BDE＝180°+∠1，
∵∠1＝40°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 1
2 (180° + 40°) = 110°，
∵△ABC 是等边三角形，
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∴∠A＝60°（等边三角形的性质），
∵∠BDE 是△ADE 的外角，
∴∠BDE＝∠A+∠2（三角形外角的性质），
∴110°＝60°+∠2，
∴∠2＝50°．
则∠2 的度数是50°．
故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•淮南期末）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为4cm，点D，E 分别在AC，BC 上，
将△CDE 沿直线DE 折叠，点C 落在点C'处，且点C'在△ABC 的外部，则图中三个阴影部分的周长之和
为（ ）
A．9cm
B．10cm
C．11cm
D．12cm
【分析】由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC，即可得到三个阴影部分的周长的和．
【解答】解：∵△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4cm（等边三角形的性质），
由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC，
∴AD+DC′+EC′+BE+AB＝AD+DC+EC+BE+AB＝AB+AC+BC＝4×3＝12cm，
即三个阴影部分的周长的和为12cm，
故选：D．
【变式1-2】（2025 秋•藁城区期末）如图，把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P
处，且DP⊥BC，则∠PED 的度数是（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
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【分析】由折叠的性质得出∠ADE＝∠PDE= 1
2 ×（180°﹣30°）＝75°，再根据三角形内角和定理即可
求解．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠A，AB＝BC，
∵DP⊥BC，
∴∠BPD＝90°，∠BDP＝30°，
∵把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，
∴∠DPE＝∠A＝60°，
∴∠ADE＝∠PDE= 1
2 ×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠PED，＝180°﹣∠DPE﹣∠PDE＝45°．
故选：B．
【变式1-3】已知等边△ABC 中，点D，E 分别在边AB，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点
B′处，DB′，EB′分别交边AC 于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC 的度数为 80° ．
【分析】根据等边三角形性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由翻折的性质得∠B'＝∠B＝60°，根据三角形
内角和定理可求出∠AFD＝40°，进而得∠B'GF＝80°，据此可得∠EGC 的度数．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由翻折的性质得：∠B'＝∠B＝60°，
在△ADF 中，∠A＝60°，∠ADF＝80°，
∴∠AFD＝180°﹣（∠A+∠ADF）＝40°，
在△B'FG 中，∠B'＝60°，∠B'FG＝∠AFD＝40°，
∴∠B'GF＝180°﹣（∠B'+∠B'FG）＝80°，
∴∠EGC＝∠B'GF＝80°．
故答案为：80°．
▌题型04 等边三角形的性质求线段长
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等边三角形与垂直平分线的性质的结合，等边三角形的三边相等，垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等。
【典例1】（2026 春•南山区校级期中）如图，△ABC 是等边三角形，D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，
BD，过点D 作DE∥AB 交AC 于点F，交BC 于点E，已知AD＝CD．
（1）求证：BD 垂直平分AC；
（2）若BC＝9，DE＝5，求EF 的长．
【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）证明△CEF 是等边三角形得EF＝CE，再证明BE＝DE 可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC（等边三角形的性质）．
∵AD＝CD，
∴点B、点D 在AC 的垂直平分线上，
∴BD 垂直平分AC；
（2）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°（等边三角形的性质）．
∵DE∥AB，
∴∠CEF＝∠CBA＝60°（两直线平行，同位角相等），
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF 是等边三角形，
∴EF＝CE．
由（1）可知BD 垂直平分AC，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠BDE＝∠CED﹣∠CBD＝30°，
∴∠BDE＝∠CBD＝30°，
∴DE＝BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
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∴EF＝CE＝4．
【变式1-1】（2026 春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE
∥AB，交边AD 于点E，连接BD，交CE 于点F，若CE＝12，则CF 的长为（ ）
A．6
B．7
C．9
D．10
【分析】连接AC 交BD 于点O，由题意可证AC 垂直平分BD，△ABD，△DEF 是等边三角形，△AEC
是等腰三角形，作差计算即可．
【解答】解：如图，连接AC 交BD 于点O，
∵AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC 垂直平分BD，△ABD 是等边三角形，∠CAB＝∠CAD= 1
2∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠DEF＝60°，∠CAB＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴△DEF 是等边三角形，△AEC 是等腰三角形，
∴AE＝CE＝12，DE＝EF＝AD﹣AE＝14﹣12＝2，
∴CF＝CE﹣EF＝12﹣2＝10．
故选：D．
【变式1-2】（2025 秋•新疆期末）如图，在等边△ABC 中，AB＝4cm，BD 平分∠ABC，点E 在BC 的延长
线上，且∠E＝30°，则CE 的长是（ ）
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A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵等边△ABC 的边长AB＝4cm，BD 平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•南皮县期末）如图，△ABC 的边AC 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，连
接CD，若△BCD 为等边三角形，且周长为12，则AD 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出AD
的长度．
【解答】解：∵△BCD 为等边三角形，且周长为12，
∴BC＝CD＝BD＝4，
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AD＝CD＝4（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
故选：B．
▌题型05 等边三角形的性质求周长
折叠阴影周长问题：折叠前后对应边相等，通过替换后，阴影周长往往等于原等边三角形周长。
平移前后的图形全等，对应边相等。
【典例1】（2026•雷州市一模）如图，已知等边三角形ABC 被一矩形所截，AB 被截成三等分，且EH∥
BC．若EH＝3，则四边形EFGH 的周长为（ ）
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A．24
B．21
C．18
D．15
【分析】根据等边三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵等边三角形ABC 被一矩形所截，AB 被截成三等分，且EH∥BC，
∴△AEH、△AFG 均为等边三角形，
∴AE＝EH＝AH＝3，AF＝FG＝AG＝6，
∴EF＝AF﹣AE＝6﹣3＝3，
同理GH＝AG﹣AH＝3，
∴四边形EFGH 的周长＝3+6+3+3＝15，
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•浑南区期末）如图，将边长为2 的等边△ABC 沿边BC 向右平移1 个单位得到△DEF，
则四边形ABFD 的周长为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】根据等边三角形的性质可知AB＝BC＝AC＝2，根据平移的性质可知AD＝CF＝1，DF＝AC＝2，
进一步求解即可．
【解答】解：在等边△ABC 中，AB＝BC＝AC＝2，
根据平移的性质，可知AD＝CF＝1，DF＝AC＝2，
∴四边形ABFD 的周长为AB+BC+CF+DF+AD＝2+2+1+2+1＝8，
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•辉县市期末）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为7，点E，F 是BC 边的三等分
点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA 的方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是（ ）
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A．3
B．
16
3
C．7
D．8
【分析】先求出EF= 1
3BC= 7
3，再证明△DEF 是等边三角形得DE＝DF＝EF= 7
3，由此即可得出△DEF 的
周长．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且边长为7，
∴BC＝7，∠B＝∠C＝60°，
∵E，F 是BC 的三等分点，
∴EF= 1
3BC= 7
3，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF= 7
3，
∴△DEF 的周长是：3×EF= 3 × 7
3 =7．
故选：C．
【变式1-3】（2025 秋•包河区校级期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A 地到B 地．甲：A→
C→B，路程为S 甲．乙：A→D→E→F→B，路程为S 乙．丙：A→G→H→B，路程为S 丙．下列关系正确的
是（ ）
A．S 甲＝S 乙＞S 丙
B．S 甲＝S 乙＜S 丙
C．S 甲＝S 丙＞S 乙
D．S 甲＝S 丙＜S 乙
【分析】设AB＝a，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为2a，分析四边形ABHG，得出丙的路程
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小于2a，比较得出S 甲＝S 乙＞S 丙．
【解答】解：设AB 的长度为a，因为△ABC 有两个角是60°，所以是等边三角形，
∴根据等边三角形的性质得，S 甲＝AC+BC＝a+a＝2a；
由于△ADE 和△EFB 是等边三角形，设△ADE 的边长为m，
可得AD＝DE＝AE＝m，EF＝FB＝EB＝a﹣m，
∴根据等边三角形的性质得，S 乙＝AD+DE+EF+FB＝m+m+（a﹣m）+（a﹣m）＝2a；
丙路程中，延长AG 与BH，交于点I（如图），
∵GI+HI＞GH，两边同加AG+BH 得，
AG+GI+BH+HI＞AG+GH+BH，
∴AI+BI＞AG+GH+BH，又AB＝AI＝BI＝a，
∴2a＞AG+GH+BH，又l 丙＝AG+GH+BH，
综上所述，S 甲＝S 乙＞S 丙，所以只有A 选项正确，符合题意．
故选：A．
▌题型06 等边三角形的性质求面积
1.折叠问题求面积
①折叠前后图形全等，面积相等；
②阴影面积常用整体减空白计算；
③经常搭配线段等量代换，先求出小等边的边长再算面积。
2.手拉手双等边面积结论
两个全等的等边三角形，面积完全相等；通过全等转化，可以把不规则图形面积转移成等边三角形面积。
3. 等边分割成四个全等小等边
把三边中点依次相连，原图分成4 个一模一样的小等边，每个小等边边长是原来的
1
2，单个面积为整体的
1
4。
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【典例1】（2026 春•福田区期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成
了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果△ABC 的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．12
【分析】由图形得到阴影的面积＝△ABC 面积的
1
4，于是得到答案．
【解答】解：∵图形中阴影的面积＝△ADE 的面积，△ADE 的面积＝△ABC 面积的
1
4，
∴图中阴影部分的面积＝12× 1
4 =3．
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E，
使得CE＝CD，连接DE，过点E 作EF⊥DE 交AC 的延长线于点F，若△ABD 的面积为12，则△CEF 的
面积为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【分析】首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和S△ABD＝S△CBD＝12，再利用等边三角
形的性质找出△DFE 和△CEF 面积之间的关系即可得到△CEF 的面积．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，BD 是AC 边上的中线，S△ABD＝12，
∴∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，S△ABD＝S△CBD＝12，
∵CE＝CD，EF⊥DE，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 1
2 × 60° = 30°，∠DEF＝90°，
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∴∠ECF＝∠CEF＝60°，
∴△CEF 为等边三角形，
∴EF＝CF＝CE＝CD（等边三角形的性质），
∴C 为线段DF 的中点，
在△BCD 和△DFE 中，
{
∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐹𝐷𝐸
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐶𝐷= 𝐸𝐹
，
∴△BCD≌△DFE（AAS），
∴S△BCD＝S△DFE＝12，
∴𝑆△𝐶𝐸𝐹= 1
2 𝑆△𝐷𝐹𝐸= 6．
则△CEF 的面积为6，
故选：C．
【变式1-2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图1，图2 是该印章的几何示
意图，它由18 个相同的正方形和8 个相同的等边三角形围成．若其中正方形的边长和等边三角形的边长
都为m，等边三角形的高为n，则这个印章的表面积为（ ）
A．18mn+4m2
B．18m2+4mn
C．18m2+4n
D．m2+18mn
【分析】正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，正方形和等边三角形的边长都为a，
等边三角形的高为h，所以18 个正方形的面积是18m2，8 个三角形的面积是4mn，即可得解．
【解答】解：18𝑚2 + 8 × 1
2 𝑚𝑛= 18𝑚2 + 4𝑚𝑛，
∴这个印章的表面积是18m2+4mn．
综上所述，只有选项B 正确，符合题意，
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•安顺期末）如图，已知△ABC 的周长是15，∠ABC＝60°，BO，CO，分别平分∠
ABC 和∠ACB 交于点D，OD⊥BC，且OB＝4，△ABC 的面积是 15 ．
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【分析】连接OA，过点O 作OE⊥AB 于点E，作OF⊥AC 于点F，先根据含30°的直角三角形的性质
求出OD＝2OB＝8，再通过角平分线的性质得知，点O 到三角形三边的距离相等，从而将三角形的面积
问题转化为周长与高的乘积问题，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接OA，过点O 作OE⊥AB 于点E，作OF⊥AC 于点F，如图，
由条件可知∠OBD＝30°，
∴在Rt△OBD 中，𝑂𝐷= 1
2 𝑂𝐵= 2，
由条件可得OE＝OD＝2，OF＝OD＝2．
∵𝑆△𝐴𝑂𝐵= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐸，𝑆△𝐴𝑂𝐶= 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐹，𝑆△𝐵𝑂𝐶= 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐷，AB+AC+BC＝15，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
= 1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶) ⋅𝑂𝐷
= 1
2 × 15 × 2
＝15．
故答案为：15．
▌题型07 等边三角形的判定
判定1：三边都相等的三角形是等边三角形（定义判定）
判定2：三个内角都相等（都为60°）的三角形是等边三角形
判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
解题步骤
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①审题：观察是否存在等腰条件（两边相等/等角对等边），有等腰：立刻在全图搜寻60°角，找到就用
判定3；
②无等腰：观察有无平行线，利用平行传递60°角，凑两个60°用判定2；
③线段条件多：通过全等、折叠、垂直平分线做线段等量代换，凑三边相等用判定1
【典例1】（2025 秋•东城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE
交BD 于点F．
（1）求∠BAE 的大小；
（2）判断△BEF 的形状，并证明．
【分析】（1）根据等边三角形性质得BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，根据点D 是AC 的中点得∠ABD
＝∠CBD＝30°，再根据AE∥BD 得∠BAE＝∠ABD＝30°；
（2）根据BE⊥BC 得∠EBF＝60°，∠EBA＝30°，由此∠BAE＝∠EBF＝30°，则EA＝EB，由此可依
据“SSS”判定△EAC 和△EBC 全等得∠ACE＝∠BCE= 1
2∠BCA＝30°，再根据三角形外角性质得∠BFE
＝∠CBD+∠BCE＝60°，进而得∠EBF＝∠BFE＝60°，据此得△BEF 是等边三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵点D 是AC 的中点，
∴∠ABD＝∠CBD= 1
2∠ABC＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝∠ABD＝30°；
（2）△BEF 是等边三角形，证明如下：
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°，
在△EAB 中，∠BAE＝∠EBF＝30°，
∴EA＝EB，
在△EAC 和△EBC 中，
{
𝐸𝐴= 𝐸𝐵
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
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∴△EAC≌△EBC（SSS），
∴∠ACE＝∠BCE= 1
2∠BCA＝30°，
∵∠BFE 是△FBC 的外角，
∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，
在△BEF 中，∠EBF＝∠BFE＝60°，
∴△BEF 是等边三角形．
【变式1-1】（2025 秋•平城区期末）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE 交AB 于E．求证：△CEB 是
等边三角形．
【分析】根据平行形线的性质得出∠CEB＝60°，再利用等边三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠A＝60°，CE∥DA，
∴∠CEB＝60°，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠CEB＝∠B＝∠ECB＝60°，
∴△CEB 是等边三角形．
【变式1-2】（2025 秋•呈贡区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点A 作AD⊥AB，交边BC 于点D，
且DA＝DC，延长DA 使EA＝DA，连接BE．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）求证：△EBD 是等边三角形．
【分析】（1）由题意易得∠ABD＝∠DAC＝∠C，∠BAD＝90°，然后根据三角形外角的性质可进行求
解；
（2）由题意易得∠ADB＝60°，BD＝BE，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠C（等边对等角）．
∵AD＝CD，
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∴∠C＝∠CAD（等边对等角）．
∴∠ABD＝∠DAC＝∠C（等量代换）．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°．
∴3∠ABC＝180°﹣90°＝90°．
∴∠ABC＝30°．
（2）证明：∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵EA＝AD，AB⊥DE，
∴BD＝BE．
∴△BDE 是等边三角形．
【变式1-3】如图，以等边△ABC 的边AC 为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A 作AD⊥BE，交BC
于点D，交EC 的延长线于点F，设∠FAC＝α．
（1）∠ACE＝ 60°+α （用含α 的式子表示），∠F＝ 60° ；
（2）当CF＝2，CE＝3，求AF 的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，则∠BAD＝60°﹣α，再证明AB＝AE，
由三线合一定理可得∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，则∠CAE＝60°﹣2α，由等边对等角和三角形内角和定
理求出∠ACE＝60°+α，则由三角形外角的性质可得∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°；
（2）如图所示，在FA 上截取FG＝FC，连接BF、CG，则△CFG 是等边三角形，得到CG＝CF，∠GCF
＝60°，证明△ACG≌△BCF，得到AG＝BF，再证明AF 是BE 的垂直平分线，得到BF＝EF＝CE+CF
＝5，则AF＝AG+FG＝BF+CF＝7．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠FAC＝α，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α，
∵AE＝AC，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BE，
∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，
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∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐸
2
= 60° + 𝛼，
∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°，
故答案为：60°+α，60°；
（2）如图所示，在FA 上截取FG＝FC，连接BF、CG，
∵FG＝FC，∠F＝60°，
∴△CFG 是等边三角形，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF，
在△ACG 和△BCF 中，
{
𝐶𝐺= 𝐶𝐹
∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐵𝐶𝐹
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴AF 是BE 的垂直平分线，
∴BF＝EF＝CE+CF＝5，
∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7
▌题型08 等边三角形的性质与判定
1.判定（由条件证等边）
用来证明一个三角形是等边三角形，是解题的起点。
三条判定优先级：
①等腰三角形 + 一个60°角
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②三角形两个内角为60°
③三边全部相等
2.性质（已知等边推结论）
证明出等边之后，用来推导边角线段，是解题的后半段。
核心性质：
①三边相等，三角均为60°
②三线合一
③轴对称，两侧全等。
综合题固定逻辑链：判定在前，性质在后，先用边角条件判定等边 → 再用等边的性质倒角、求边长、算
面积。
【典例1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC，交边BC 于点D，过点D 作DF
⊥AB，垂足为F，FD 的延长线与边AC 的延长线交于点E，且∠E＝30°．
（1）求证：△ABC 是等边三角形；
（2）若BF＝2，求AE 的长．
【分析】（1）由AD 垂直平分BC 得AB＝AC，再由DF⊥AB，∠E＝30°得∠BAC＝60°，据此可得出
结论；
（1）由等边三角形性质得∠B＝60°，AC＝BC，在Rt△DFB 中，根据BF＝2，∠BDF＝30°得BD＝2BF
＝4，进而得CD＝BD＝4，则AC＝BC＝8，再证明∠CDE＝∠E＝30°得CE＝CD＝4，据此可得AE 的
长．
【解答】（1）证明：∵AD 垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AFE 是直角三角形，
在Rt△AFE 中，∠E＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，
在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
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∴△ABC 是等边三角形；
（1）解：由（1）可知：△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，AC＝BC，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴△DFB 是直角三角形，
在Rt△DFB 中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BF＝4，
∵AD 垂直平分BC，
∴CD＝BD＝4，
∴AC＝BC＝CD+BD＝8，
又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CE＝CD＝4，
∴AE＝AC+CE＝12．
【变式1-1】（2025 秋•太和县期末）如图，在△ABC 中，BD 是高，点D 是AC 边的中点，点E 在BC 边的
延长线上，ED 的延长线交AB 于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC 是等边三角形；
（2）请判断线段AD 与CE 的大小关系，并说明理由．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB＝CB，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝60°，
根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE＝30°＝∠E，根据等腰三角形的判定定理即
可得解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D 是AC 边的中点，
∴BD 垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
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∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D 是AC 边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
【变式1-2】（2025 秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，
AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
课本中给出一种证明方法如下：
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE 是等边三角形．
“想一想，本题还有其他证法吗？”
给出的另外一种证明方法，请补全：
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C，∠A＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝① ∠AED ，
∴② ∠ADE ＝③ ∠AED ，
∴AD＝AE．（④ 等角对等边 ）
∴△ADE 是等腰三角形．
又∵∠A＝60°，∴△ADE 是等边三角形．
（2）如图2，等边三角形ABC 的两条角平分线相交于点D，延长BD 至点E，使得AE＝AD，求证：△
ADE 是等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出答案；
（2）由等边三角形的判定可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C，∠A＝60°．
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∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE（等角对等边），
∴△ADE 是等腰三角形．
又∵∠A＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边；
（2）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵BE 和AD 分别为∠ABC 和∠BAC 的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°．
∵∠ADE 为△ABD 的外角，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∵AE＝AD，
∴△ADE 是等边三角形．
【变式1-3】（2025 秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC 与BD 相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
（1）求证：AC 垂直平分BD；
（2）过点B 作BF∥CD 交CA 的延长线于F，如果AB＝AF；
①求证：△BCD 是等边三角形；
②如果G、H 分别是线段AC、线段CD 上的动点，当GH+AH 为最小值时，请确定点H 的位置，并思考
此时GH 与CH 有怎样的数量关系．
【分析】（1）根据∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD，再由∠ABC＝∠ADC＝90°证明∠CBD＝∠CDB，则
CB＝CD，利用中垂线的判定定理即可证明；
（2）①设∠F＝α，根据AB＝AF 可得∠ABF＝∠F＝α，由于BF∥CD，可得∠F＝∠DCE，根据∠BAC
是△ABF 的外角，则∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，由于∠ABC＝90°，所以∠BCE+∠BAC＝90°，从而α
＝30°，进而∠ACB＝60°，结论得证；
②延长AD 至A′，使DA′＝AD，可得A 与A′关于CD 成轴对称，过A′作A′G⊥AC 于G 交CD 于
H，即可，再利用直角三角形中30 度角的性质即可得数量关系．
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【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴A 在BD 的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴C 在BD 的垂直平分上，
∴AC 垂直平分BD；
（2）①证明：设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC 是△ABF 的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，
由（1）AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠F＝∠DCE，
∴∠F＝∠BCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
则α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD 是等边三角形；
②GH+AH 为最小值时，GH 与CH 的数量关系是CH＝2GH，
理由：
延长AD 至A′，使DA′＝AD，
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∵CD⊥AD，
∴A 与A′关于CD 成轴对称，过A′作A′G⊥AC 于G 交CD 于H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH 为最小，
由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC 即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH 中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴GH+AH 为最小值时，GH 与CH 的数量关系是CH＝2GH．
