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专题18 直角三角形
（题型突破·举一反三）
题型01 直角三角形两个锐角互余
题型02 直角三角形与平行线
题型03 直角三角形与翻折
题型04 直角三角形的判定
题型05 直角三角形的个数
题型06 网格中的直角三角形
题型07 直角三角形斜边上的中线求线段
题型08 直角三角形斜边上的中线求周长
题型09 直角三角形斜边上的中线求角度
题型10 含30°角的直角三角形求线段
题型11 最值问题
题型12 动点问题
▌题型01 直角三角形两个锐角互余
1. 直角三角形的两个锐角互为余角（互余），也就是两个锐角相加等于90°。
2. 同角（等角）的余角相等。
【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B 是∠A 的2 倍，则∠A 的度数为
（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【分析】利用直角三角形两锐角互余，结合题目给出的角度倍数关系即可求解．
【解答】∵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
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∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝90°，
3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
则∠A 的度数为30°，
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•碑林区校级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，BE 平分∠
ABC，交AC 于点E．若∠BAD＝40°，则∠AEB 的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABE，再据直角三角形的性质求
出∠AEB．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE= 1
2∠ABD＝25°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
【变式1-2】（2026•西安校级一模）如图，在Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AC≠AB，AD 是斜边上的高，
DE⊥AB 于点E，则图中与∠B（∠B 除外）相等的角的个数是（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
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【解答】解：根据直角三角形的性质可知；
∠C+∠B＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°（直角三角形的性质），
∴∠B＝∠ADE＝∠CAD（同角的余角相等），
∴图中与∠B（除∠B 外）相等的角的个数是2，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•北京期末）如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD＝35°，则∠A 为
35 °．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠A＝∠BCD＝35°．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，
∴∠A+∠B＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝35°（同角的余角相等），
则∠A 的度数为35°，
故答案为：35．
▌题型02 直角三角形与平行线
1. 直角三角形两锐角互余：∠𝐴+ ∠𝐵= 90°。
2. 平行线三大性质：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补。
3. 常见题型：
（1）一条平行线过直角顶点：利用平行线内错角相等，将直角拆分出的两个锐角转移，可得一组角互余。
（2）直角三角形一边平行于外部直线：平行线可以把直角三角形的直角、锐角完整平移，在平行线另一侧
再造一组互余角。
（3）直角三角形斜边平行于直线：直角三角板斜边贴平行线，求拐角角度，解题思路就是锐角平移+互
余。
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【典例1】（2026•当阳市模拟）如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，
若∠2＝68°，则∠1 的大小是（ ）
A．68°
B．38°
C．34°
D．32°
【分析】根据平行线的性质计算即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴1+30°＝∠2，
∵∠2＝68°，
∴∠168°﹣30°＝38°，
故选：B．
【变式1-1】（2026•昌平区一模）如图，直线l1∥l2，A，B 是直线l1 上两点，C，D 是直线l2 上两点，AD⊥
BC 于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC 的大小为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【分析】由垂直的关系求出∠BCD 的度数，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠ABC 的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠CED＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ADC＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：C．
【变式1-2】（2026•莎车县模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC 和长方形直尺按如图的方式摆放在
同一平面内，其中∠B＝90°，∠C＝30°，三角板的边AB，AC 与直尺一条边的两个交点分别为点D，
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E．若∠α＝50°，则∠ADE 的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A 然后利用平行线的性质求出∠AED，则利用三角形内角和定理即
可求得∠ADE．
【解答】解：∵将含30°角的直角三角板ABC 和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，∠C＝30°，
∠B＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∵DE∥MN，
∴∠AED＝∠ANM＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝70°，
故选：D．
【变式1-3】（2026•莘县校级模拟）如图，△ABC 中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1 等于
（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】由直角三角形的性质得到∠A＝30°，然后根据平行线的性质即可求得∠1＝∠A＝30°．
【解答】解：∵△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵CD∥AB，
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∴∠1＝∠A，
∴∠1＝30°，
故选：A．
▌题型03 直角三角形与翻折
1. 全等性：翻折前后两个三角形全等，对应角相等、对应边相等；
2. 角平分线：折痕是重合两点连线的角平分线，折痕平分对应夹角；
3. 垂直平分线：折痕垂直平分两组对应点的连线。
结合直角三角形自带条件：两锐角互余（和为90°）、直角=90°，这两类条件联动就是翻折求角的核
心。
【典例1】（2026 春•深圳期中）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD
折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A＝26°，则∠CDE 的度数为（ ）
A．45°
B．64°
C．71°
D．81°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据折叠的性质求出∠CED、∠ECD，再根据三角形内角和定
理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
则∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣26°＝64°，
由折叠的性质可知：∠CED＝∠B＝64°，∠ECD= 1
2∠ACB＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣64°﹣45°＝71°，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•宽城区期末）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，沿CD 折叠△CBD，使点B 恰好落
在AC 边上的点E 处，若∠A＝21°，则∠BDC 等于（ ）
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A．42°
B．63°
C．66°
D．76°
【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD= 1
2∠ACB＝45°，
∵∠BDC 是△ACD 的外角，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•聊城期末）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°E，F 分别为AB，AC 上一点，将△ABC
沿直线EF 翻折至同一平面内，点A 落在点A′处，EA'，FA'分别交BC 边于点M，N．若∠BEA'＝80°，
则∠CFA′的度数为（ ）
A．90°
B．100°
C．110°
D．80°
【分析】先根据平角定义可得∠AEA′＝100°，然后利用折叠的性质可得：∠AFA′＝2∠AFE，∠𝐴𝐸𝐹=
∠𝐴′𝐸𝐹= 1
2 ∠𝐴𝐸𝐴′ = 50°，从而利用三角形的内角和可得∠AFE＝180°﹣90°﹣∠AEF＝40°，进而可得
∠AFA′＝2∠AFE＝80°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠A＝90°E，F 分别为AB，AC 上一点，
∵∠BEA′＝80°，
∴∠AEA′＝180°﹣∠BEA′＝100°，
由折叠得：∠AFA′＝2∠AFE，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴′𝐸𝐹= 1
2 ∠𝐴𝐸𝐴′ = 50°，
∵∠A＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣90°﹣∠AEF＝40°，
∴∠AFA′＝2∠AFE＝80°，
∴∠CFA′＝180°﹣∠AFA′＝100°．
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片
折叠，使点B 的对应点B′落在AC 上，折痕与BC，AB 分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形
时，∠BEF 的度数为 69°或90°或48° ．
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【分析】先求出∠A＝32°，由折叠的性质得∠BFE＝∠B'FE，再分三种情况讨论如下：①当AF＝AB'时，
则∠AFB'＝∠AB'F＝74°，进而得∠BFB'＝106°，再根据∠BFE＝∠B'FE 即可得出答案；②当AF＝B'F
时，此时点B'与点C 重合，则∠AB'F＝∠A＝32°，进而得∠AFB'＝116°，∠BFB'＝64°，再根据∠BFE
＝∠B'FE 即可得出答案；③当AB'＝B'F 时，则∠AFB'＝∠A＝32°，进而得∠BFB'＝148°，再根据∠
BFE＝∠B'FE 即可得出答案，综上所述即可得出∠BEF 的度数．
【解答】解：在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝58°，
∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝32°，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠B'FE，
当△AFB′为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当AF＝AB'时，如图1 所示：
∴∠AFB'＝∠AB'F= 1
2（180°﹣∠A）= 1
2 ×（180°﹣32°）＝74°，
∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝106°，
∴∠BFE＝∠B'FE= 1
2∠BFB'＝53°，
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（53°+58°）＝69°；
②当AF＝B'F 时，此时点B'与点C 重合，如图2 所示：
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∴∠AB'F＝∠A＝32°，
∴∠AFB'＝180°﹣（∠AB'F+∠A）＝116°，
∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝64°，
∴∠BFE＝∠B'FE= 1
2∠BFB'＝32°；
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（32°+58°）＝90°；
③当AB'＝B'F 时，如图3 所示：
∴∠AFB'＝∠A＝32°，
∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝148°，
∴∠BFE＝∠B'FE= 1
2∠BFB'＝74°，
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（74°+58°）＝48°，
综上所述：∠BEF 的度数为69°或90°或48°．
▌题型04 直角三角形的判定
1. 定义法：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
2. 如果一个三角形中两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。
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【典例1】（2025 秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝
90°﹣∠B，④∠A＝∠B= 1
2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC 是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以
△ABC 是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；
④因为∠A＝∠B= 1
2∠C，所以∠A+∠B+∠C= 1
2∠C+ 1
2∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC 是
直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C= 1
3∠A+ 1
2∠A+∠A＝180°，∠A= 1080°
11 ，所以△ABC 为钝角
三角形．
所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③④共4 个，
故选：C．
【变式1-1】（2025 秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠
B：∠C＝2：3：5，④∠A= 1
2∠B= 1
3∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C 得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC
是直角三角形，故符合题意；
②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC 不是直角三角形，故不符合题意；
③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C=
5
2+3+5 × 180° = 90°，则△ABC 是直角三角形，故符合题意；④
由∠A+∠B+∠C＝180°，∠𝐴= 1
2 ∠𝐵= 1
3 ∠𝐶，得到：∠C＝90°，则△ABC 是直角三角形，故符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①③④，共3 个．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•广州校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③
∠A，∠B 都是锐角；④△ABC 三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【分析】根据三角形内角和定理分别求出三角形的角，根据直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：①∠A+∠B＝∠C 时，∠C＝90°，△ABC 为直角三角形；
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②∠A：∠B：∠C＝1：2：3 时，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC 为直角三角形；
③∠A，∠B 都是锐角，△ABC 不一定是直角三角形；
④△ABC 三个外角的度数之比是3：4：5 时，三个外角的度数分别为90°，120°，150°，△ABC 为直
角三角形；
⑤∠A＝2∠B＝3∠C 时，∠A= 1080°
11 ，∠B= 540°
11 ，∠C= 360°
11 ，△ABC 不是直角三角形；
故选：C．
【变式1-3】（2025 秋•合肥校级期末）在下列条件：
①∠A+∠C＝∠B；
②∠𝐴= 1
2 ∠𝐵= 1
3 ∠𝐶；
③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A：∠B：∠C＝1：3：4 中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义判断．
【解答】解：①∵∠A+∠C＝∠B，
∴∠B＝90°，
∴△ABC 为直角三角形；
②∠𝐴= 1
2 ∠𝐵= 1
3 ∠𝐶，
则∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC 为直角三角形；
③∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴△ABC 不是直角三角形；
④∠A：∠B：∠C＝1：3：4，
设∠A，∠B，∠C 分别为x，3x，4x，
则x+3x+4x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠C＝4x＝90°，
∴△ABC 为直角三角形；
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故选：C．
▌题型05 直角三角形的个数
步骤1：锁定图里所有直角顶点
把图中所有标了直角、能推导出直角的顶点全部圈出来，直角是直角三角形的核心顶点。
步骤2：固定顶点，分类枚举（最稳妥，防漏数）
以每个直角顶点为分类标准，数以此顶点为直角顶点的所有三角形。
步骤3：区分独立三角形，排除重复计数
（1）小直角三角形：不能再拆分的最小单元
（2）组合直角三角形：由两个小直角三角形拼接而成的大三角形
两种都要单独统计，不能只数小的。
步骤4：收尾核验
（1）检查有没有把非直角三角形误算进来；
（2）核对同一个三角形是否被多次统计（只算1 次）。
【典例1】（2026•灞桥区校级模拟）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是BC 延长线上一点，DF⊥AB 于
点F，DF 交AC 于点E，图中有（ ）个直角三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC 是直角三角形，
∵D 是BC 延长线上一点，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴△ECD 是直角三角形，
∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝∠BFD＝90°（垂直的定义），
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∴△AFE 和△BFD 都是直角三角形，
综上所述，图中的直角三角形有△ABC、△ECD、△AFE、△BFD，共4 个，
故选：C．
【变式1-1】如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有 5 个直角三角形．
【分析】根据直角三角形的判定定理判定进行分析即可．直角三角形有△ADE；△ADC；△ABC；△CDE；
△CBD．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，
∴△ABC，△ADC，△CDB，△CED，△AED 为直角三角形，
∴共有五个直角三角形．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是△ABC 的高．
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠2 和∠A 有什么数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形的定义，可得答案；
（2）根据余角的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD 是△ABC 的高，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴图中有3 个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC；
（2）∠2＝∠A，理由如下：
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠A．
【变式1-3】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，作BC 边上的高AD，图中出现多少个直角三角
形？又作△ABD 中AB 边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，
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作D1D2，D2D3，…，当作出Dn﹣1Dn 时，图中共出现多少个直角三角形？
【分析】根据所作的高的条数得到的直角三角形个数总结规律，根据规律得到答案．
【解答】解：在直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，作BC 边上的高AD，图中出现3 个直角三角形，
作△ABD 中AB 边上的高DD1，图中共出现5 个直角三角形，
作D1D2，图中共出现7 个直角三角形，
作D2D3，图中共出现9 个直角三角形，
…
作出Dn﹣1Dn 时，图中共出现2n+3 个直角三角形．
▌题型06 网格中的直角三角形
网格格点上找点P，使△𝐴𝐵𝑃为直角三角形，分类讨论三直角顶点，分三种情况枚举：
1. 直角顶点在A：过A 作AB 的垂线，寻找所有格点P；
2. 直角顶点在B：过B 作AB 的垂线，寻找所有格点P；
3. 直角顶点在P：以AB 为直径作圆。
把三类点位合并，剔除重复点，统计总个数。
【典例1】（2026 春•余干县月考）如图，在由5×5 的小正方形组成的网格中，A，B 两点在格点（网格线
的交点）上，若点C 在格点上，且△ABC 是直角三角形，则符合要求的点C 共有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【分析】根据题意画出点C 的位置再进行判断即可．
【解答】解：如图，符合要求的点C 的位置如图所示．
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则符合要求的点C 共有6 个．
故选：D．
【变式1-1】如图，在由25 个边长为1 的小正方形拼成的网格中以AB 为边画Rt△ABC，使点C 在格点上，
满足这样条件的点C 共（ ）个．
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】如图，在5×5 的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC，使点C 在格点上，满足这样条件的
点C 的个数．
【解答】解：根据题意可得以AB 为边画直角△ABC，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 共8 个．
故选：D．
【变式1-2】如图，在5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B 均在格点上．在格点上
确定点C，使△ABC 为直角三角形，且面积为4，则这样的点C 的共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据三角形的面积求出点C 到AB 的距离，再判断出点C 的位置即可．
【解答】解：点C 的位置如图所示，共有3 个．
故选：C．
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【变式1-3】如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格中，线段AB 的两个端点均在格点（正方形的顶点）
上，若△ABC 是直角三角形，则网格中满足条件的格点C 共有 6 个．
【分析】根据题意画出图形可得出答案．
解：如图所示，满足条件的格点C 共有6 个．
故答案为：6．
▌题型07 直角三角形斜边上的中线求线段长
直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半。
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，D 为斜边AB 中点，连接中线CD，则：𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵
推论变形：
（1）𝐴𝐵= 2𝐶𝐷（已知中线求斜边）
（2）AD=DB=CD（斜边上中点分出三条相等线段）
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【典例1】（2026 春•青秀区校级期末）如图，公路AC，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，
若测得AB 的长为10km，则CM 的长为（ ）
A．4km
B．5km
C．6km
D．7km
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵AC，BC 互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M 是AB 的中点，
∴CM= 1
2AB= 1
2 ×10＝5（km）．
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•长沙期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D 为边AB 的中点，则
AB 的长为（ ）
A．16
B．5
C．4
D．7
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D 为边AB 的中点，
∴AB＝2CD＝16，
故选：A．
【变式1-2】（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点，某同学用刻度
尺测量长度时，点A，B 对应的刻度分别为0，6，则CD 的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：∵点A、B 对应的刻度分别为0、6，
∴AB＝6，
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为斜边AB 的中点，
∴CD= 1
2AB＝3，
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•长春期末）如图，一把木梯AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，设木梯的中点为
P，当木梯顶端A 沿墙下滑时，木梯底部B 沿地面向右滑行．在此过程中，点P 与墙角O 的距离变化为
（ ）
A．变大
B．不变
C．变小
D．先变大后变小
【分析】根据直角形的性质解答即可．
【解答】解：∵ON⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵木梯的中点为P，
∴OP= 1
2AB，
∵AB 的长度不变，
∴在此过程中，点P 与墙角O 的距离不变．
故选：B．
▌题型08 直角三角形斜边上的中线求周长
1.用中线长度×2 直接算出斜边AB 的长；
2.题目若给出两直角边之和AC+BC，直接相加：周长=(AC+BC)+AB。
【典例1】（2025 秋•漳州期末）如图，在△ABC 中，CF⊥AB 于点F，BE⊥AC 于E，M 为BC 的中点，EF
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＝8，BC＝20，△EFM 的周长是（ ）
A．26
B．28
C．30
D．32
【分析】根据CF⊥AB 于点F，BE⊥AC 于E，M 为BC 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，求出FM 和ME 的长，即可求解．
【解答】解：∵CF⊥AB，M 为BC 的中点，BC＝20，
∴𝐹𝑀= 1
2 𝐵𝐶= 10，
同理可得：𝑀𝐸= 1
2 𝐵𝐶= 10，
∵EF＝8，
∴△EFM 的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28．
故选：B．
【变式1-1】（2026•商丘模拟）如图，在Rt△ABC 中，△ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F 是AB 中点，
连接CF，把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE，点D 在AC 上．则线段CF 在平移过程中扫过区域形成
的四边形CFDE 的周长是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．14
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得𝐶𝐹= 1
2 𝐴𝐵= 5，由中位线得𝐷𝐹= 1
2 𝐵𝐶= 3，再
利用平行四边形周长公式求解．
【解答】解：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：𝐶𝐹= 1
2 𝐴𝐵= 𝐴𝐹= 5，
∵把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE，点D 在AC 上，
∴DF 是Rt△ABC 的中位线，
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∴𝐷𝐹= 1
2 𝐵𝐶= 3，
∴线段CF 在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长是2（CF+DF）＝2×（5+3）＝16．
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF 平分∠BAC，BE⊥
AC 于点E，D 是AB 的中点，则△DEF 的周长是（ ）
A．9
B．10
C．13
D．20
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 1
2 𝐴𝐵，𝐸𝐹= 1
2 𝐵𝐶，然后代入数据
计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D 是AB 的中点，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 1
2 𝐴𝐵= 1
2 × 7 = 3.5，
∵AB＝AC，AF 平分∠BAC，
∴点F 是BC 的中点，且AF⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴𝐸𝐹= 1
2 𝐵𝐶= 1
2 × 6 = 3，
∴△DEF 的周长＝DE+DF+EF＝3.5+3.5+3＝10．
故选：B．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD 是高，E，F 分别是AB，AC 的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四
边形AEDF 的周长为 18 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵E，F 分别是AB，AC 的中点，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴AE= 1
2AB= 1
2 ×10＝5cm，AF= 1
2AC＝4cm，
∵AD 是△ABC 的高，
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∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB 中，E 是AB 的中点，
则DE= 1
2AB= 1
2 ×10＝5cm，
同理可得：DF= 1
2AC＝4cm，
∴四边形AEDF 的周长＝AE+DE+AF+DF＝5+4+5+4＝18（cm），
故答案为：18．
▌题型09 直角三角形斜边上的中线求角度
在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为边AB 的中点，则CD=AD=BD=
1
2 𝐴𝐵，
由此直接产生两组等腰三角形，在△ACD 中，∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷；在△BCD 中，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷；
再结合直角三角形固有条件：∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，同时∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°。
【典例1】（2025 秋•顺德区期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点．若∠B＝36°，
则∠BCD 的度数为（ ）
A．72°
B．60°
C．44°
D．36°
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝DB，得到∠BCD＝∠B＝36°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点，
∴CD= 1
2AB，
∴CD＝DB，
∴∠BCD＝∠B＝36°，
故选：D．
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【变式1-1】（2026 春•通州区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD 交
于点F，点E 是AC 中点，∠EBF＝19°，则∠BAD 的度数是（ ）
A．69°
B．71°
C．73°
D．75°
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝BE，得到∠EDF＝∠EBF＝19°，求出∠BED＝142°，
由等腰三角形的性质推出∠BAE＝∠ABE，∠DAE＝∠ADE，得到∠BAD＝∠ABE+∠ADE，由三角形的外
角性质推出∠BED＝∠BAD+∠ABE+∠ADE，得到∠BAD= 1
2∠BED＝71°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E 是AC 中点，
∴DE= 1
2AC，BE= 1
2AC，
∴DE＝BE，
∴∠EDF＝∠EBF＝19°，
∴∠BED＝180°﹣19°﹣19°＝142°，
∵DE= 1
2AC，AE= 1
2AC，
∴DE＝AE，
∴∠BAE＝∠ABE，
同理：∠DAE＝∠ADE，
∴∠BAE+∠DAE＝∠ABE+∠ADE，
∴∠BAD＝∠ABE+∠ADE，
∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE，∠DEF＝∠DAE+∠ADE，
∴∠BEF+∠DEF＝∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠ABE+∠ADE，
∴∠BED＝∠BAD+∠ABE+∠ADE，
∴∠BAD= 1
2∠BED= 1
2 ×142°＝71°．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•滨江区月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为AB 边上的中线，且CD＜
BC，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧交边BC 于点E，连接DE．若∠A＝x，则∠BED 的度数为（ ）
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A．90°+ 1
2x
B．45°+ 3
2x
C．90°+x
D．135°−1
2x
【分析】如图，在Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，故CD＝AD＝BD，从而∠DCA＝∠A＝x．以C
为圆心、CD 为半径画弧可得CD＝CE，故△CDE 为等腰三角形．在△CDE 中，利用内角和定理求出
∠𝐶𝐸𝐷= 45° + 1
2 𝑥，最后通过邻补角关系求得∠𝐵𝐸𝐷= 180° −∠𝐶𝐸𝐷= 135° −1
2 𝑥．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD 为AB 边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∴∠DCA＝∠DAC（等边对等角），
∵∠A＝x，
∴∠DCA＝∠DAC＝x，
∴∠ECD＝90°﹣x，
以点C 为圆心，CD 长为半径画弧交边BC 于点E，
∴CD＝CE，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 180°−(90°−𝑥)
2
= 45° + 1
2 𝑥，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 180° −∠𝐶𝐸𝐷= 180° −(45° + 1
2 𝑥) = 135° −1
2 𝑥，
则∠BED 的度数为135°−1
2x，
故选：D．
【变式1-3】（2026•台湾）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，D 点为AC 的中点，E 点在BD 上，AE 为∠
BAC 的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB 的度数为何？（ ）
A．105
B．110
C．115
D．120
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAC＝50°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可
得BD＝AD，从而可得∠BAC＝∠DBA＝50°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝25°，最后利用三
角形内角和定理进行计算，即可解答．
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【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵D 点为AC 的中点，
∴BD＝AD= 1
2AC，
∴∠BAC＝∠DBA＝50°，
∵AE 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAE= 1
2∠BAC＝25°，
∴∠AEB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAE＝105°，
故选：A．
▌题型10 含30°角的直角三角形求线段长
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【典例1】（2025 秋•玉溪期末）如图，在△ACB 中，点D 在AC 边上，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝
60°，BC＝2，则AD 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】先算出∠BDC＝30°，则BD＝2BC＝4，运用三角形外角性质，得∠ABD＝∠A＝15°，即可作
答．
【解答】解：∵在△ACB 中，∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×2＝4，
∵∠A＝15°，且∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠A＝15°，
∴AD＝BD＝4，
则AD 的长为4，
故选：C．
【变式1-1】（2026•包河区校级模拟）在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝30°，D 是BC 中点，E 在AC 上，且
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∠AED＝90°，若DE＝2，则BC 的长为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．8
【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝30°，由含30 度角的直角三角形的性质推出DC＝2DE＝
2×2＝4，由线段的中点定义得到BC＝2CD＝8．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠AED＝90°，
∴DC＝2DE＝2×2＝4，
∵D 是BC 中点，
∴BC＝2CD＝8．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•梅县区期末）如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE 为AB 边的垂直
平分线，AD＝12，则CD 的长是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得：BD＝AD＝12，利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC
＝60°，再从而得∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，在Rt△BCD 中利用含30 度角的直角三角形的性质进
行计算，即可解答．
【解答】解：∵DE 为AB 边的垂直平分线，
∴BD＝AD＝12，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣30°＝30°，
∴𝐶𝐷= 1
2 𝐵𝐷= 1
2 × 12 = 6，
故选：C．
【变式1-3】（2025 秋•肥东县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4 在射线ON 上，点B1，
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B2，B3 在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4 均为等边三角形．若OA1＝3，则A1A4 等于（ ）
A．18
B．21
C．24
D．27
【分析】根据等边三角形的性质可得∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再利用三角形的外角性质可得∠OB1A1
＝∠MON＝30°，从而可得OA1＝A1B1＝A1A2＝3，进而可得OA1＝6，然后根据同理可得OA2＝A2B2＝
6，OA3＝A3B3＝12，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵△A1B1A2 是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∵∠B1A1A2 是△OA1B1 的一个外角，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠MON＝30°，
∴OA1＝A1B1＝3，
∴A1B1＝A1A2＝3，
∴OA1＝OA1+A1A2＝6，
同理可得：OA2＝A2B2＝6，
∵△A2B2A3 是等边三角形，
∴A2B2＝A2A3＝6，
∴OA3＝OA2+A2A3＝12，
同理可得：OA3＝A3B3＝12，
∵△A3B3A4 是等边三角形，
∴A3B3＝A3B4＝12，
∴A1A4＝A1A2+A2A3+A3A4＝3+6+12＝21，
故选：B．
▌题型11 最值问题
1.垂线段最短
直线外一点到直线所有连线里，垂线段最短。在含30°直角结构里，垂线经常直接充当30°角的对边。
2.动点绕定点旋转
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某条线段长度固定，端点绕定点旋转，动点轨迹是圆。结合含30°直角三角形，求另一个端点的最值：最
值 = 圆心到定点距离 ± 半径。
3.折叠背景下含30°线段最值
折叠前后边长不变，存在定长线段，动点受折叠约束，常结合30°直角：
【典例1】（2025 秋•衡水期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6，D 是线段
AB 上一个动点，以BD 为边在△ABC 外作等边△BDE，若F 是DE 的中点．当CF 取最小值时，BF 的值
为 3 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠DBE＝60°，由三线合一性质得到∠𝐷𝐵𝐹= 1
2 ∠𝐷𝐵𝐸= 30°，则∠
CBF＝∠ABC+∠DBF＝60°，根据垂线段最短性质可知当CF⊥BF 时，CF 取最小值，再利用含30 度角
的直角三角形的性质即可求出BF 的值．
【解答】解：∵等边△BDE，
∴∠DBE＝60°（等边三角形的性质），
∵F 是DE 的中点，
∴BF 平分∠DBE，
∴∠𝐷𝐵𝐹= 1
2 ∠𝐷𝐵𝐸= 30°，
∴∠CBF＝∠ACB+∠DBF＝30°+30°＝60°，
当CF⊥BF 时，CF 取最小值，此时∠CFB＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
∴𝐵𝐹= 1
2 𝐵𝐶= 1
2 × 6 = 3．
则当CF 取最小值时，BF 的值为3，
故答案为：3．
【变式1-1】（2025 秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠BAC 交BC
于点D，如果AD＝10，P 为AB 上一动点，那么PD 的最小值为 5 ．
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【分析】根据垂线段最短找到点P，进而即可得到答案；
【解答】解：如图，作DP′⊥AB 于点P′，则P′D 最短，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∵AD＝10，
∴P′D= 1
2AD＝5．
故答案为：5．
【变式1-2】（2025 秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P 是直线BC 上
的动点，则𝑃𝐴+ 1
2 𝑃𝐵的最小值是 6 ．
【分析】根据题意，作BD⊥AC 于D 点，若P 运动到C 点处，A，P′，D 在一条线上，此时𝑃𝐴+ 1
2 𝑃𝐵
最小，求出AD 长，即可得到结果．
【解答】解：如图：延长AC，过点B 作BD⊥AC 于D 点，
∵∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝60°，
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∴∠CBD＝30°，
∵BC＝4，
∴在Rt△BCD 中，CD= 1
2BC＝2，
∵P 是直线BC 上的动点，
∴当P 运动到C 点处，P′D＝CD= 1
2PB，
∵此时A，P′，D 在一条线上，
∴𝑃𝐴+ 1
2 𝑃𝐵最小，
∴𝑃𝐴+ 1
2 𝑃𝐵=AD，
∵AC＝BC＝4，
∴𝑃𝐴+ 1
2 𝑃𝐵=AD＝4+2＝6，
故答案为：6．
【变式1-3】（2025 秋•金安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D 为
AB 上一动点（不与点A 重合），△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G
为EF 的中点且始终有𝐷𝐺= 1
2 𝐸𝐹，则线段BG 长的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．7
D．9
【分析】连接AG，过点B 作BH⊥AG，交AG 的延长线于点H，根据等边三角形性质得AE＝AD，∠DAE
＝60°，再根据点G 为EF 的中点且始终有DG= 1
2EF 得EG＝DG，由此依据“SSS”判定△AEG 和△ADG
全等得∠EAG＝∠DAG＝30°，进而得∠HAB＝∠CAB＝30°，进而依据“SAS”判定△HAB 和△CAB 全
等得BH＝BC＝6，由∠EAG＝∠DAG＝30°得AH 是∠EAD 的平分线，由此得当点D 在AB 上运动时，
点G 始终在∠EAD 的平分线上，然后根据“垂线段最短”得BG≥BH＝6，由此得当点G 与点H 重合时，
BG 为最小，最小值为线段BH 的长，据此即可得出答案．
【解答】解：连接AG，过点B 作BH⊥AG，交AG 的延长线于点H，如图所示：
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∴∠H＝90°，
∵△AED 是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵点G 为EF 的中点，
∴EG= 1
2EF，
又∵DG= 1
2EF，
∴EG＝DG，
在△AEG 和△ADG 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
𝐸𝐺= 𝐷𝐺
𝐴𝐺= 𝐴𝐺
，
∴△AEG≌△ADG（SSS），
∴∠EAG＝∠DAG= 1
2∠DAE＝30°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAG＝∠CAB＝30°，
即∠HAB＝∠CAB＝30°，
在△HAB 和△CAB 中，
{
∠𝐻= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∠𝐻𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
，
∴△HAB≌△CAB（AAS），
∴BH＝BC＝6，
∵∠EAG＝∠DAG＝30°，
∴AH 是∠EAD 的平分线，
∴当点D 在AB 上运动时，点G 始终在∠EAD 的平分线上，
根据“垂线段最短”得：BG≥BH＝6，
∴当点G 与点H 重合时，BG 为最小，最小值为线段BH 的长，
线段BG 长的最小值是6．
故选：B．
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▌题型12 动点问题
设原直角三角形△ABC，∠C=90°，∠A=30°，动点P 在某条边上运动，问t 为何值时△ABP为含30°的直角
三角形。
分三种直角顶点：
1.直角在动点P 处（∠APB=90°）
2.直角在定点A 处（∠PAB=90°）
3.直角在定点B 处（∠PBA=90°）
每一种直角确定后，再确定哪个锐角是30°，套边长比例列方程。
【典例1】（2026 春•达川区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm．动点P
从点A 开始以2cm/s 的速度向点B 运动，动点F 从点C 开始以1cm/s 的速度向点A 运动，两点同时运动，
同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t 为 2.5 或1 s 时，△PAF 是直角三角形．
【分析】由含30 度角的直角三角形的性质推出AC= 1
2AB＝5（cm），求出∠A＝60°．当∠AFP＝90°
时，由含30 度角的直角三角形的性质得到5﹣t= 1
2 ×2t，求出t＝2.5；当∠APF＝90°时，由含30 度角的
直角三角形的性质得到2t= 1
2（5﹣t），求出t＝1，于是得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC= 1
2AB= 1
2 ×10＝5（cm），∠A＝90°﹣30°＝60°，
当∠AFP＝90°时，
∴∠APF＝90°﹣∠A＝30°，
∴AF= 1
2AP，
∵CF＝tcm，
∴AF＝AC﹣CF＝（5﹣t）cm，
∵AP＝2tcm，
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∴5﹣t= 1
2 ×2t，
∴t＝2.5；
当∠APF＝90°时，
∴∠AFP＝90°﹣∠A＝30°，
∴AP= 1
2AF，
∵AP＝2tcm，AF＝（5﹣t）cm，
∴2t= 1
2（5﹣t），
∴t＝1，
∴当t＝2.5s 或1s 时，△PAF 是直角三角形，
故答案为：2.5 或1．
【变式1-1】（2026 春•城中区校级期中）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm，动
点P 从点A 开始以2cm/s 的速度向点C 运动，动点F 从点B 开始以1cm/s 的速度向点A 运动，两点同时
运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t 为
8
5或4 s 时，△PAF 是直角三角形．
【分析】分当∠APF＝90°时，当∠AFP＝90°时，两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm，
∴∠A＝60°，
由题意得，BF＝tcm，AP＝2tcm，
∴AF＝（8﹣t）cm，
当∠APF＝90°时，则∠AFP＝30°，
∴AP= 1
2AF，
∴2t= 1
2（8﹣t），
∴t= 8
5，
当∠AFP＝90°时，则∠APF＝30°，
∴AF= 1
2AP，
∴8﹣t= 1
2 ×2t，
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∴t＝4；
∴当t= 8
5或t＝4 时，△PAF 是直角三角形．
故答案为：
8
5或4．
【变式1-2】（2025 秋•安阳县期末）如图，在△ABC 中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P 从点B
出发以每秒2cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒1cm 的速度向点C 运动，其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，当△APQ 为直角三角形时，t 的值为 3
或4.8 ．
【分析】根据题意，先列出AP，AQ 的代数式，当△APQ 为直角三角形时，则∠AQP＝90°，∠APQ＝
30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30 度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t 的方程求
解即可．
【解答】解：在△ABC 中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P 从点B 出发以每秒2cm 的速度向点
A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒1cm 的速度向点C 运动，设运动时间为t 秒，
∴BP＝2tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，
∵△APQ 为直角三角形，∠A＝60°，
∴当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，
∴𝐴𝑄= 1
2 𝐴𝑃，
∴𝑡= 1
2 (12 −2𝑡)，
解得：t＝3，
当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，
∴
1
2 𝐴𝑄= 𝐴𝑃，
∴
1
2 × 𝑡= 12 −2𝑡，
解得：t＝4.8，
综上，当t 的值为3 或4.8 时，△APQ 为直角三角形，
故答案为：3 或4.8．
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【变式1-3】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q 同时从A、B 两点出发，
分别在AB、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P 到达点B 时，P、Q 两
点同时停止运动，设点P 的运动时间为ts．
（1）当t 为何值时，△PBQ 为等边三角形？
（2）当t 为何值时，△PBQ 为直角三角形？
【分析】用含t 的代数式表示出BP、BQ．
（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ 时，可得到关于t 的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边
间关系，得到关于t 的一次方程，求解得结论．
【解答】解：在△ABC 中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝tcm.
（1）当BP＝BQ 时，△PBQ 为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴𝑡= 4
3．
当𝑡= 4
3时，△PBQ 为等边三角形；
（2）若△PBQ 为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴𝑡= 8
5．
即当𝑡= 8
5或t＝1 时，△PBQ 为直角三角形．
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