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专题19 勾股定理及证明
（题型突破·举一反三）
题型01 利用勾股定理求第三边
题型02 勾股树
题型03 勾股定理与数轴（无理数）
题型04 勾股定理与30°
题型05 勾股定理与等面积法
题型06 直角三角形中一边及关系求边长
题型07 勾股定理中的方程思想
题型08 勾股定理的证明
题型09 勾股定理与网格
题型10 勾股定理与折叠
题型11 勾股定理中的证明
题型12 勾股定理中的找规律
题型13 最值问题
▌题型01 利用勾股定理求第三边
直角三角形中，两直角边 a、b，斜边 c，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
变形公式：𝑎2 = 𝑐2 −𝑏2，𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2。
题干未指定斜边，必须分两种情况！
【典例1】（2026 春•当阳市期末）已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ）
A．4
B．4 或√2
C．√34
D．4 或√34
【分析】分两种情况，由勾股定理即可求解．
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【解答】解：当直角三角形的两直角边长分别为3，5 时，
由勾股定理得到：第三边长= √32 + 52 = √34；
当直角三角形的斜边长为5 时，
由勾股定理得到：第三边长= √52 −32 =4，
∴直角三角形的第三边长为4 或√34．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•番禺区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB 的长为（ ）
A．4
B．√5
C．√13
D．5
【分析】根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √12 + 22 = √5，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•渠县校级期末）如果直角三角形的两条边长分别为2 和3，那么它的第三条边长为
（ ）
A．4
B．√5
C．√13
D．√5或√13
【分析】分两种情况，利用勾股定理列式计算即可．
【解答】解：当3 为斜边长时，第三边长= √32 −22 = √5；
当第三边为斜边长时，第三边长= √22 + 32 = √13；
综上所述，第三条边长为√5或√13，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•蜀山区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F 分别为对
角线BD，AC 的中点，若BD＝10，AC＝8，则EF 的长度为（ ）
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A．
5
2
B．3
C．4
D．6
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质可得𝐴𝐸= 𝐶𝐸= 1
2 𝐵𝐷，从而判定△ACE 为等腰三角形，再根据
等腰三角形三线合一的性质可得EF⊥AC，最后在Rt△EFC 中利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AE，CE，
∵∠BAD＝90°，E 为BD 中点，
∴𝐴𝐸= 1
2 𝐵𝐷，
∵∠BCD＝90°，E 为BD 中点，
∴𝐶𝐸= 1
2 𝐵𝐷，
∴AE＝CE，
∵F 是AC 中点，
∴EF⊥AC，𝐶𝐹= 1
2 𝐴𝐶，
∵BD＝10，AC＝8，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
在Rt△EFC 中，𝐸𝐹= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐹2 = √52 −42 = 3，
故选：B．
▌题型02 勾股树
所有三角形为直角三角形，以直角三角形三边向外作正方形；不断在小正方形上方重复构造直角三角形+正
方形，层层分叉，形似树木，称为勾股树。
基础结论：两个小正方形面积之和 = 斜边上大正方形面积。
推广结论：只要在直角三角形三边向外作形状相同的图形（正方形、半圆、等边三角形、等腰直角三角
形）：
两直角边上图形面积之和 = 斜边上图形面积。
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如图，SM=SA+SB，SN=SC+SD，SE=SM+SN，即SE=SA+SB+SC+SD。
【典例1】（2026 春•昭阳区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB 为直径向外
构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（ ）
A．S①+S②＝S③
B．S①+S③＝S②
C．𝑆①
2 + 𝑆②
2 = 𝑆③
2
D．𝑆①
2 + 𝑆③
2 = 𝑆②
2
【分析】利用勾股定理解Rt△ABC 可得AB2+BC2＝AC2，进而推出
1
2 𝜋⋅(
𝐴𝐵
2 )
2
+
1
2 𝜋⋅(
𝐵𝐶
2 )
2
=
1
2 𝜋⋅(
𝐴𝐶
2 )
2
，
即S①+S③＝S②．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∵分别以BC，AC，AB 为直径向外构造半圆，三个半圆的面积S①，S②，S③，
∴
1
2 𝜋⋅(
𝐴𝐵
2 )
2
+
1
2 𝜋⋅(
𝐵𝐶
2 )
2
=
1
2 𝜋⋅(
𝐴𝐶
2 )
2
，
∴S①+S③＝S②，
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•茂南区期末）如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所
示，正方形A 的面积为（ ）
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A．22
B．√22
C．6
D．√6
【分析】以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据图形知道所求
的A 的面积即为正方形中间的直角三角形的A 所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵两个正方形的面积分别为8 和14，
∴正方形A 的面积＝14﹣8＝6．
故选：C．
【变式1-2】
（2026 春•和林格尔县期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每
个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的面积，其中S 的值恰好等于5 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵每个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S 表
示所在正方形的边长的平方，
A：由勾股定理得：S＝4+9＝13，故A 不符合题意；
B：S＝9﹣4＝5，故B 符合题意；
C：S＝4+3＝7，故C 不符合题意；
D：S＝4﹣3＝1，故D 不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•西山区期末）有一个面积为1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生
长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如
图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3 次后形成的图形中所
有正方形的面积和是（ ）
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A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方
形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2 次后，所
有的正方形的面积和是3×1＝3 即可．
【解答】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．则a2+b2＝c2，即S 正方形1＝S 正方形2+S 正方形3＝1．
∴“生长”了3 次后形成的图形中所有正方形的面积为S 正方形1+S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1+（S 正方形2+S 正方
形3）＝2S 正方形1＝2；
∵S 正方形3＝S 正方形6+S 正方形7，S 正方形2＝S 正方形4+S 正方形5，
所以“生长”了2 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
S 正方形1+S 正方形2+S 正方形3+S 正方形4+S 正方形5+S 正方形6+S 正方形7
＝S 正方形1+（S 正方形2+S 正方形3）+[（S 正方形4+S 正方形5）+（S 正方形6+S 正方形7）]
＝S 正方形1+S 正方形1+[S 正方形2+S 正方形3]
＝3S 正方形1
＝3．
同理：如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3 次后形成的图形中所有正方形的
面积和是4．
故选：B．
▌题型03 勾股定理与数轴（无理数）
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数轴上的点可以表示无理数，利用勾股定理构造直角三角形，以斜边长度在数轴截取线段，画出无理数对
应的点。
【典例1】（2026 春•嵩明县期末）如图，点O 为数轴原点，数轴上点A 表示的数为1，过点A 作AB⊥OA，
使AB＝1．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数是（ ）
A．√2
B．2
C．1
D．1 + √2
【分析】利用勾股定理求得OB 的长，即为OP 的长，即可求得点P 表示的数．
【解答】解：∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
由题意得：OA＝1，
∵AB＝1，
∴OB= √𝑂𝐴2+𝐴𝐵2 = √2，
∴OP＝OB= √2，
∴点P 所表示的数是√2，
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•英山县期末）如图，长方形ABCD 的边AD 在数轴上，且AB＝1，AD＝2，点A 表示
的实数是﹣1，连接AC，以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交数轴于点E（点E 在点A 右侧），则点E 表
示的实数是（ ）
A．√5 + 1
B．√5 −1
C．√5
D．1 −√5
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理求解AC，即可求解点E 表示的实数．
【解答】解：∵矩形ABCD 的边AD 在数轴上，
∴∠CDA＝90°，AB＝CD＝1，
∵AD＝2，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = √5，
∵点A 表示的实数是﹣1，
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∴点E 表示的实数是√5 −1，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•五华区期末）如图所示，数轴上的点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是1，CB⊥
AB，垂足为B，BC＝2．以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D 表示的数为
（ ）
A．2.8
B．2√2
C．2√2 −1
D．2√2 + 1
【分析】根据勾股定理求得AC 的长，进而根据点D 在点A 右边AC 个单位长度可得点D 表示的数．
【解答】解：∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝2，
∴AC= √𝐴𝐵2+𝐵𝐶2 = √22+22 =2√2，
∴点D 表示的数为﹣1+2√2，
即点D 表示的数为2√2 −1，
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•滨海新区校级期末）如图，在数轴上点A，B 表示的数分别为0，2，过点A 作AC⊥
AB，且AC＝1，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交数轴于点D（点D 在点A 的左侧），则点D 表
示的数为（ ）
A．1 + √5
B．2 −√5
C．√5 −2
D．2 + √5
【分析】根据题意可知AB＝2，BD＝BC，△ABC 为直角三角形，再利用勾股定理求出BC 的长，即可知
点D 所表示的数．
【解答】解：∵在数轴上点A，B 表示的数分别为0，2，过点A 作AC⊥AB，且AC＝1，
∴△ABC 为直角三角形，AB＝2，
由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = √22 + 12 = √5．
∵以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交数轴于点D，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶= √5，
∴点D 表示的数为2 −√5，
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故选：B．
▌题型04 勾股定理与30°角
1. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。
设：30°对边 a，斜边 c，则c=2a
2. 勾股定理：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
联立可推出三边比例：30°、60°、90°直角三角形三边之比：𝑎: 𝑏: 𝑐= 1: √3: 2。
短直角边：𝑎，长直角边：√3𝑎，斜边：2𝑎。
【典例1】（2026 春•开封期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠A＝30°，
点E 是边AC 的中点，AB＝8，则DE 的长为（ ）
A．4√3
B．4
C．2√3
D．2√5
【分析】根据含30 度角的直角三角形的性质求出BC，再用勾股定理求出AC，最后根据直角三角形斜边
中线的性质求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠A＝30°，AB＝8，
∴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐵= 4，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √82 −42 = 4√3，
∵CD⊥AB，点E 是边AC 的中点，
∴𝐷𝐸= 1
2 𝐴𝐶= 2√3，
故选：C．
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【变式1-1】（2026 春•武昌区期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC 的长是（ ）
A．2√2
B．3√2
C．2√3
D．3√3
【分析】直接根据含30 度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AC= √3BC＝2√3．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•江门期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D 在边BC 上，且AD
平分∠BAC．若AC＝2，则线段BD 的长为（ ）
A．
4
3
B．
2√3
3
C．
4√3
3
D．2
【分析】由直角三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4，再利用角平分线的定义、等角对等边可
得BD＝AD，进而得到𝐶𝐷= 1
2 𝐵𝐷，即𝐵𝐶= 3
2 𝐵𝐷；最后在△ABC 中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴BD＝AD，
在△ACD 中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，
∴𝐶𝐷= 1
2 𝐴𝐷，
∴𝐶𝐷= 1
2 𝐵𝐷，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 1
2 𝐵𝐷= 3
2 𝐵𝐷，
在△ABC 中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴42 = 22 + (3
2 𝐵𝐷)2，
解得：𝐵𝐷= 4√3
3 （负值已舍去），
故选：C．
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【变式1-3】
（2026 春•蓬莱区期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9，则AC＝ 3√3 ．
【分析】根据含有30°角的直角三角形性质得AB＝2BC，再根据AB+BC＝9 得BC＝3，AB＝6，进而根
据由勾股定理可得AC= 3√3．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵AB+BC＝9，
∴2BC+BC＝9，
∴BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
由勾股定理得：AC= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √62 −32 = 3√3．
故答案为：3√3．
▌题型05 勾股定理与等面积法
等面积法核心直角三角形两种方式计算面积相等：
1
2 ⋅直角边1 ⋅直角边2 =
1
2 ⋅斜边⋅斜边上的高，即
1
2 𝑎𝑏=
1
2 𝑐ℎ，则ℎ=
𝑎𝑏
𝑐。
【典例1】
（2026 春•罗定市期末）一个直角三角形的两直角边长分别为5 和12，则它斜边上的高长为（ ）
A．13
B．
13
2
C．
60
13
D．
12
5
【分析】先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
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【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5 和12，
∴斜边长= √52 + 122 =13，
∴斜边的高= 5×12
13
= 60
13．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•长沙校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点D 为垂足，AC＝
2.1，BC＝2.8．
求：（1）△ABC 的面积；
（2）斜边AB 的长；
（3）斜边AB 上的高CD 的长．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理计算；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝2.1，BC＝2.8．
∴S△ABC= 1
2 ×AC×BC= 1
2 ×2.1×2.8＝2.94；
（2）在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2.1，BC＝2.8，
由勾股定理得：AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √(21
10)2 + (14
5 )2 = 7
2；
（3）S△ABC= 1
2 ×AC×BC= 1
2 ×AB×CD，即
1
2 ×
21
10 ×
14
5 =
1
2 ×
7
2 ×CD，
解得：CD= 42
25．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边AB 上的高，∠ABC 的平分线BD 交CE 于点M，
交AC 于点D．
（1）求证：△CDM 是等腰三角形；
（2）若AB＝10，AC＝8．求ME 的长度．
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【分析】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理可以求得BC 的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM 的长，再由
三角形的面积得出CE 的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°，
∵∠BME＝∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD＝90°，
∴∠CDB＝∠CMD，
∴CM＝CD，
∴△CDM 是等腰三角形；
（2）解：作DF⊥AB 于点F，如图所示，
∵∠DCB＝90°，BD 平分∠ABC，
∴DC＝DF，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √102 −82 =6，
∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB，
∴
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
2
=
𝐵𝐶⋅𝐶𝐷
2
+
𝐴𝐵⋅𝐷𝐹
2
，
即
8×6
2
=
6𝐶𝐷
2
+
10𝐷𝐹
2
，
解得CD＝DF＝3，
由（1）知：CM＝CD，
∴CM＝3，即CM 的长度为3，
∵AC•BC＝AB•CE，
∴CE= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
𝐴𝐵
= 8×6
10 =4.8，
∴ME＝CE﹣CM＝4.8﹣3＝1.8．
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【变式1-3】如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°
（1）用尺规作图的方法，过点C 作斜边AB 的垂线，垂足为D；（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段CD 的长．
【分析】（1）利用基本作图，过一点作直线的垂线作垂线段CD；
（2）先利用勾股定理计算AB，然后利用面积法求CD．
【解答】解：（1）如图，
（2）在Rt△ABC 中，AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 =10，
∵
1
2CD•AB= 1
2AC•BC，
∴CD= 6×8
10 = 24
5
▌题型06 直角三角形中一边及关系求边长
1.勾股定理：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
2. 方法：设未知数，列方程求解；
3. 解题流程：
（1）分清直角、找准斜边；标记已知边；
（2）根据边长倍数/和差关系，设最短边为x；
（3）用含x 代数式表示第三条边；
（4）代入勾股定理列方程，求出x，边长＞0，舍去负根。
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【典例1】（2026 春•潼南区期末）在直角三角形ABC 中，斜边AB＝1，则AC2+BC2 的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】依据勾股定理直角得出答案．
【解答】解：在直角三角形ABC 中，斜边AB＝1，
∴AC2+BC2＝AB2＝12＝1，
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•武城县期末）一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为√6，那么斜边长
为（ ）
A．4
B．
7
2
C．
9
2
D．12
【分析】设斜边长为未知数，结合勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设斜边长为x，由题意得比斜边短1 的直角边长为x﹣1，另一直角边长为√6，
根据勾股定理，得𝑥2 = (𝑥−1)2 + (√6)2，
展开等式右边得x2＝x2﹣2x+1+6，
消去x2 后整理得2x＝7，
解得𝑥= 7
2，
因此斜边长为
7
2，
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•东城区校级期中）在△ABC 中，∠C＝90°，如果AB＝10，BC：AC＝3：4，则BC
＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．以上都不对
【分析】仔细分析题目已知条件，BC、AC 边均为△ABC 的直角边，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：若设BC＝3x，∵BC：AC＝3：4，∴AC＝4x
已知在△ABC 中，∠C＝90°
根据勾股定理列方程：（3x）2+（4x）2＝102
解得x＝2，
∴BC＝6，
故选：A．
【变式1-3】已知直角三角形最短边为9，另两边相差3，则斜边长为 15 ．
【分析】先设出另外一条直角边的边长，然后可得到斜边长，根据勾股定理可解出结果．
【解答】解：设另外一个直角边边长为x，则斜边长为x+3，
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则92+x2＝（x+3）2，
解得：x＝12，
∴斜边长为12+3＝15，
故答案为：15．
▌题型07 勾股定理中的方程思想
1.定位直角三角形，确定斜边；
2.观察线段相等/和差/倍数关系；
3.设未知数 x，把三边全部用含 x 式子表示；
4.代入勾股定理列出方程；
5.解方程，边长大于0，舍去负数解。
【典例1】（2026 春•路北区期末）如图，在△ABC 中，AB＝20，BC＝11，AC＝13，过点A 作AD⊥BC，交
BC 的延长线于点D，则AD 的长为（ ）
A．5
B．6
C．12
D．16
【分析】设CD＝x，则BD＝BC+CD＝11+x，然后利用勾股定理构建方程求出CD，再利用勾股定理计算
AD 的长即可．
【解答】解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝11+x，
∵AD⊥BC 于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即132﹣x2＝202﹣（11+x）2，
解得：x＝5，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √132 −52 = 12，
故选：C．
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【变式1-1】已知直角三角形的周长为12，其斜边长为5，则三角形的面积为（ ）
A．12
B．6
C．8
D．10
【分析】设直角三角形两直角边为a，b，根据周长与斜边的关系，表示出两直角边之和，利用完全平方
公式和勾股定理求出ab 的值，即可确定出三角形面积．
【解答】解：设直角三角形两直角边为a，b，
∵该直角三角形的周长为12，其斜边长为5，
∴12﹣（a+b）＝5，
即a+b＝7，
因为三角形是直角三角形，
所以a2+b2＝52＝25
∵（a+b）2＝72
∴a2+b2+2ab＝49，
即25+2ab＝49
∴ab＝12，
∴直角三角形面积= 1
2ab＝6，
故选：B．
【变式1-2】如图，已知等腰△ABC 的周长是16，底边BC 上的高AD 的长是4，求这个三角形各边的长．
【分析】设BD 为x．则根据等腰三角形的周长公式可以求得腰长为（8﹣x）．然后由等腰三角形“三合
一”的性质、勾股定理可以列出关于x 的方程（8﹣x）2＝x2+42，通过解方程可以求得x＝3，问题得解．
【解答】解：设BD＝x，由等腰三角形的性质，知AB＝8﹣x
由勾股定理，得利用勾股定理：（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
所以AB＝AC＝5，BC＝6
【变式1-3】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，交
BC 于点E，求CE 的长．
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【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AE．
∵DE 为AB 的垂直平分线，
∴AE＝BE．
在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4．
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x．
在Rt△ACE 中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2，
解得𝑥= 7
8．
∴CE 的长为
7
8．
▌题型08 勾股定理的证明
方法一（邹元治证法）：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
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方法二（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
图（2）中
，所以
.
方法三（总统证法）：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
图（3）中
，所以
.
方法四（等面积法）：如图所示，两个全等的直角三角形如图摆放
图（4）中S 四边形ADCB=
2
1 c2+
2
1 a（b-a）=
2
1 b2+
2
1 ab，所以a
2+b
2=c
2.
【典例1】（2026 春•安次区期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正
方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表
示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2．
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（1）请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
（2）现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，求空白部分的面积．
（3）琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密的拼接成风车状，如
图3．已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
【分析】
（1）根据正方形ABCD 的面积＝4×Rt△AEH 的面积+正方形EFGH 的面积得（a+b）2＝4× 1
2ab+c2，
进而可得a2+b2＝c2；
（2）根据空白部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣（△ABE 的面积+△ADF 的面积），得空白部分的面
积＝c2﹣ab，再由勾股定理得c2＝a2+b2＝52，进而得空白部分的面积28；
（3）依题意得：BD＝AC，OB＝OC，∠AOB＝90°，设BD＝AC＝x，由成风车状的周长为24 得4（AB+AC）
＝24，则AB＝6﹣x，再由OC＝3 得OA＝x+3，OB＝OC＝3，在Rt△AOB 中，由勾股定理得x＝1，则OA
＝x+3＝4，进而得S△OAB= 1
2OB•OA＝6，据此可得该风车状图案的面积为24．
【解答】（1）证明：如图1 所示：
∵正方形ABCD 的边长AB＝a+b，
∴正方形ABCD 的面积为：（a+b）2，
∵Rt△AEH 的直角边分别为a，b，
∴Rt△AEH 的面积为：
1
2ab，
∵正方形EFGH 的边长为c，
∴正方形EFGH 的面积为：c2，
又∵正方形ABCD 的面积＝4×Rt△AEH 的面积+正方形EFGH 的面积，
∴（a+b）2＝4× 1
2ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：如图2 所示：
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依题意得：正方形ABCD 的边长为c，AE＝DF＝a，AF＝BE＝b，
∴正方形ABCD 的面积为：c2，△ABE 的面积＝△ADF 的面积= 1
2ab，
∵空白部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣（△ABE 的面积+△ADF 的面积），
∴空白部分的面积＝c2﹣2× 1
2ab＝c2﹣ab，
∵a＝4，b＝6，
∴由勾股定理得：c2＝a2+b2＝42+62＝52，
∴空白部分的面积＝52﹣4×6＝28；
（3）解：如图3 所示：
依题意得：BD＝AC，OB＝OC，∠AOB＝90°，
设BD＝AC＝x，
∵成风车状的周长为24，
∴4（AB+AC）＝24，
∴AB＝6﹣AC＝6﹣x，
∵OC＝3，
∴OA＝AC+OC＝x+3，OB＝OC＝3，
在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，
∴（6﹣x）2＝（x+3）2+32，
解得：x＝1，
∴OA＝x+3＝4，
∴S△OAB= 1
2OB•OA= 1
2 ×3×4＝6，
∴该风车状图案的面积为：4S△OAB＝24．
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【变式1-1】（2026 春•庐江县期末）综合与实践
“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是
最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是
数学定理中证明方法较多的定理之一．
如图三幅图中均可证明勾股定理，请你选择期中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程．
【分析】本题利用等面积法证明勾股定理，解题的关键点是对同一个几何图形，分别用整体直接计算、拆
分多个小图形求和两种方式得到总面积，通过代数恒等变形消去公共项，最终推导出直角三角形三边的
平方关系．
【解答】选择图2 完成证明．
证明：首先观察图2 的整体结构：它是边长为a+b 的大正方形，
内部由4 个全等的直角边为a、b，
斜边为c 的直角三角形，和1 个边长为c 的小正方形拼接组成．
根据正方形面积公式，边长为a+b 的大正方形面积为：𝑆大正方形= (𝑎+ 𝑏)2，
将完全平方展开后可得：𝑆大正方形= 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2，
把大正方形拆分为4 个直角三角形和1 个小正方形分别计算面积再求和，
单个直角三角形的面积为
1
2 𝑎𝑏，
4 个直角三角形的总面积为4 × 1
2 𝑎𝑏= 2𝑎𝑏，
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边C，
面积为c2，
因此拆分后的总面积为：𝑆大正方形= 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
两种方法计算的是同一个大正方形的面积，
因此两个面积表达式相等：a2+2ab+b2＝2ab+c2，
等式两边同时减去公共项2ab，
即可得到：a2+b2＝c2．
【变式1-2】（2026 春•惠城区期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学
到的证明思路和证明过程，具体如下．
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制作学具：两张直角三角形纸片ABC 和DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a
＜b），AB＝DE＝c．
证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片DEF 的边EF 落在纸片ABC 的边AC 上，点
E 与点C 重合，连接AD、DB 得到四边形ACBD，利用四边形ACBD 的面积的两种不同表示方法证明
a2+b2＝c2．
请根据小高同学的思路写出证明过程．
【分析】作DG⊥CB，垂足为点G，设AB 与CD 的交点为H，证明△ABC≌△DEF（SSS），推出AB⊥
CD，分割法求出四边形ACBD 的面积，即可得证．
【解答】证明：如图，作DG⊥CB，垂足为点G，
设AB 与CD 的交点为H，
∵BC＝EF，AC＝DF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠CAB＝∠FDE，
∵∠FDE+∠ACH＝90°，
∴∠CAB+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AB⊥CD，
∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐵+ 𝑆△𝐴𝐷𝐵= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐻+ 1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐻= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸= 1
2 𝑐2，
∵∠CFD＝∠FCB＝∠G＝90°，
∴四边形FCGD 为长方形，
∴DG＝FC＝a，
∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐺= 1
2 𝑎2 + 1
2 𝑏2，
∴a2+b2＝c2．
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【变式1-3】（2026 春•济源期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1 和
图2 都是用4 个以c 为斜边，a，b 为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形．
（1）用含a，b 的式子表示图1 的大正方形的面积：a2+b2+2ab ；用含a，b，c 的式子表示图2 的大正方
形的面积： 2ab+c2 ；
（2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2＝c2．
【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可；
（2）根据两个大正方形的面积相等推导即可．
【解答】解：（1）𝑎2 + 𝑏2 + 1
2 × 𝑎𝑏× 4 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，即图1 的大正方形的面积为2ab+c2；
1
2 × 𝑎𝑏× 4 + 𝑐2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，即图2 的大正方形的面积为a2+b2+2ab，
故答案为：a2+b2+2ab；2ab+c2；
（2）由题图可知，两个大正方形的边长都是a+b，
∴两个大正方形的面积相等，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
化简可得a2+b2＝c2．
▌题型09 勾股定理与网格
网格中线段作为直角三角形斜边，横向格子差、纵向格子差作为两条直角边，利用勾股定理计算长度。
设：横向水平距离 m，纵向竖直距离 n，则𝑙= √𝑚2 + 𝑛2。
【典例1】（2026 春•涞水县期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E 均在小正方形
的顶点上．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，圆弧交CE 于点D，则DE 的长为（ ）
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A．√3
B．2.1
C．√5
D．5
【分析】根据网格得出AB 和AE 的长度，利用半径相等得到AD 的长，再在Rt△ADE 中利用勾股定理求
解即可．
【解答】解：由网格图可知，AB＝3，AE＝2，∠AED＝90°，
∵弧是以点A 为圆心，AB 长为半径画的，点D 在弧上，
∴AD＝AB＝3，
在Rt△ADE 中，由勾股定理得：𝐷𝐸= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √32 −22 = √5，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•平阴县期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，
以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD 的长为（ ）
A．√5
B．0.8
C．3−√5
D．√13
【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD 的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE 中，DE= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √5，
又∵CE＝3，
∴CD＝3−√5，
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•南开区期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则
AC 的长为（ ）
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A．√2
B．√3
C．√5
D．3
【分析】根据正方形的性质可得出∠CBA＝90°，AB＝2，BC＝1，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵∠CBA＝90°，
∴AB＝2，BC＝1，
∴𝐴𝐶= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 = √5．
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•新抚区期末）如图，在3×4 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记
格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为√13的是（ ）
A．线段BD
B．线段AC
C．线段AB
D．线段BC
【分析】连接BD、AC、AB、BC，由勾股定理分别求出BD、AC、AB、BC 的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD、AC、AB、BC，
由勾股定理得：BD= √22 + 32 = √13，AC= √42 + 12 = √17，AB= √12 + 22 = √5，BC= √32 + 12 = √10，
故选：A．
▌题型10 勾股定理与折叠
1.折叠性质：折叠前后图形全等，
① 对应线段相等；② 对应角相等；③ 折叠产生对称轴（垂直平分对应点连线）
2.勾股定理：构造直角三角形，使用方程思想解题
3.解题步骤：
（1）标记折叠前后相等的边、相等的角；
（2）观察图形，找到天然存在的直角三角形；
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（3）将重叠/待求线段设为𝑥，利用线段和差，用含𝑥代数式表示直角三角形三边；
（4）代入勾股定理 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 列方程；
（5）解方程，边长＞0，舍去负根。
【典例1】如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在对角线BD 上，折痕为DE，且A 点落在对角线F
处．若AD＝3，CD＝4，求AE 的长．
【分析】根据矩形对边相等可得AB＝CD，再利用勾股定理列式求出BD，根据翻折的性质可得DF＝AD，
EF＝AE，∠DFE＝∠A＝90°，然后求出BF，设AE＝x，表示出BE，在Rt△BEF 中，利用勾股定理列
方程求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝4，
由勾股定理得，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = √42 + 32 = 5，
∵矩形纸片ABCD 折叠，边AD 落在对角线BD 上，A 点落在对角线F 处，
∴EF＝AE，∠DFE＝∠A＝90°，DF＝AD＝3，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣3＝2，
设AE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BEF 中，由勾股定理得，BF2+EF2＝BE2，
即4+x2＝（4﹣x）2，
解得𝑥= 3
2，
即AE 的长为
3
2．
【变式1-1】（2025 春•惠东县月考）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句
话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3 和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt
△ABC 中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 a2+b2＝c2 ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角
形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
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证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝑎𝑏，𝑆正方形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑐2，S 正方形MNPQ＝ （a+b）2 ，且 S 正方形MNPQ ＝ 4S△ABC+S 正方形
ABDE ，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 4 × 1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2 ．
（3）如图3，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE 的长．
【分析】（1）利用勾股定理直接写出答案；
（2）分别表示出正方形ABED 和正方形MNPQ 的面积，得出等式，化简即可；
（3）作FH⊥BC 于H，利用勾股定理列方程求出AE 和BE 的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，如果∠C＝90°，则a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝑎𝑏，𝑆正方形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑐2，S 正方形MNPQ＝（a+b）2，且 S 正方形MNPQ＝4S△ABC+S 正方形
ABDE，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 4 × 1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（3）∵矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得，x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∴BE＝3．
【变式1-2】（2026 春•雷州市月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！
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（1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝ √10 ；
（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB 在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关
系，试说明a2+b2＝c2；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB＝CD＝8，BC
＝AD＝10，求EF 的长．
【分析】（1）运用勾股定理可得c 的值；
（2）图②的面积= 𝑆△𝐷𝐴𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸+ 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 1
2 𝑎𝑏+ 1
2 𝑎𝑏+ 1
2 𝑐2，又图②的面积= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 (𝑎+
𝑏)(𝑎+ 𝑏) = 1
2 (𝑎+ 𝑏)2，由此即可求解；
（3）根据折叠，长方形的性质，在Rt△ABF 中，运用勾股定理AB2+BF2＝AF2，可得BF＝6，设EF＝x，
则DE＝x，在Rt△ECF 中，运用勾股定理得EC2+CF2＝EF2，即可求解．
【解答】（1）解：∵直角边a＝1，直角边b＝3，
由勾股定理得：𝑐= √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 32 = √10，
故答案为：√10；
（2）证明：图②的面积= 𝑆△𝐷𝐴𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸+ 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 1
2 𝑎𝑏+ 1
2 𝑎𝑏+ 1
2 𝑐2，
又∵图②的面积= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) = 1
2 (𝑎+ 𝑏)2，
∴
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 =
1
2 (𝑎+ 𝑏)2，
∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2；
（3）解：∵折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的点F 处，AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，
∴AF＝AD＝10，DE＝FE，
∵四边形ABCD 是长方形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABF 中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，
解得：BF＝6，
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
设EF＝x，则DE＝x，
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∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ECF 中，由勾股定理得：EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴EF＝5．
【变式1-3】（2026 春•江城区期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是
正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形用不同的方式表
示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2．
（1）请用如图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
（2）现将如图2 中的两个直角三角形向内翻折，得到如图2，若a＝4，b＝6，求空白部分的面积．
（3）如图3，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．若AD＝5，AB＝3．求EF 的
长．
【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为𝑐2 + 4 × 1
2 𝑎𝑏，
联立等式即可求解；
（2）根据空白部分的面积＝边长为c 的正方形的面积﹣2 个直角三角形的面积= 𝑐2 −2 × 1
2 𝑎𝑏，即可求
解；
（3）根据勾股定理求得𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = 4，进而设EF＝x，则DE＝EF＝x，CE＝CD﹣DE＝3﹣x，
在Rt△CEF 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为𝑐2 + 4 × 1
2 𝑎𝑏，还可以表示为（a+b）2，
∴𝑐2 + 4 × 1
2 𝑎𝑏= (𝑎+ 𝑏)2，
∴c2+2ab＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
（2）解：空白部分的面积＝边长为c 的正方形的面积﹣2 个直角三角形的面积= 𝑐2 −2 × 1
2 𝑎𝑏，
∵a＝4，b＝6，
∴空白部分的面积= 42 + 62 −2 × 1
2 × 4 × 6 = 28；
（3）解：∵长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．
∴AF＝AD＝5，
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在Rt△ABF 中，AF＝5，AB＝3，
由勾股定理得：𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = 4，
∴CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝5﹣4＝1，
设EF＝x，则DE＝EF＝x，CE＝CD﹣DE＝3﹣x，
在Rt△CEF 中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
∴x2＝（3﹣x）2+12，
解得：𝑥= 5
3，
即𝐸𝐹= 5
3．
▌题型11 勾股定理中的证明
1.勾股定理： 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 。
2.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
3.平方差公式： 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) 。
【典例1】（2025 秋•鼓楼区期中）在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法．
【课本例题重现】如图，CD 为Rt△ABC 的斜边AB 上的高，设CD＝h，AB＝m，DB＝n，求证：h2＝mn．
证明：在Rt△ADC 中，根据勾股定理，得AC2＝h2+m2．
在Rt△DBC 中，根据勾股定理，得BC2＝h2+n2．
在Rt△ABC 中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2．
∵AB＝m+n，
∴h2+m2+h2+n2＝（m+n）2．
∴h2＝mn．
【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同的证明思路：
小红：我想由面积的等量关系AC•BC＝AB•CD 推理得到；
小明：我想可以取AB 中点O，连接CO，在Rt△CDO 中，由勾股定理推理得到．
请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程．
【分析】小红：根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
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小明：取AB 中点O，连接CO，则OD＝OB﹣BD= 𝑚+𝑛
2
−n= 𝑚−𝑛
2 ，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：小红：在Rt△ADC 中，根据勾股定理，得AC= √ℎ2 + 𝑚2，
在Rt△DBC 中，根据勾股定理，得BC= √ℎ2 + ℎ2，
∵∠ACB＝90°，
∴S△ABC= 1
2AC•BC= 1
2AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，
∴√ℎ2 + 𝑚2•√ℎ2 + ℎ2 =（m+n）•h，
化简得h4+m2n2﹣2mnh2＝0，
∴（h2﹣mn）2＝0，
∴h2＝mn；
小明：取AB 中点O，连接CO，则OD＝OB﹣BD= 𝑚+𝑛
2
−n= 𝑚−𝑛
2 ，
∵∠ACB＝90°，
∴CO= 1
2AB= 𝑚+𝑛
2 ，
在Rt△CDO 中，CO2＝OD2+CD2，
∴（
𝑚+𝑛
2
）2＝（
𝑚−𝑛
2
）2+h2，
化简得h2＝mn．
【变式1-1】如图在△ABC 中，∠B＝90°，点E，F 分别在AB，BC 上，求证：AF2+CE2＝AC2+EF2．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，EF2＝BE2+BF2，AF2＝AB2+BF2，CE2＝BE2+BC2，
∴AF2+CE2＝AB2+BF2+BE2+BC2＝AC2+EF2．
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即AF2+CE2＝AC2+EF2．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上任意一点，求证：AD2+BD•DC＝AB2．
【分析】作AE⊥BC 于E，根据勾股定理得到AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2，再两式相减即可求解．
【解答】证明：作AE⊥BC 于E，则
AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2，
则AB2﹣AD2＝（AE2+BE2）﹣（AE2+DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）（BE﹣DE）＝BD•DC，
则AD2+BD•DC＝AB2．
【变式1-3】阅读下面材料，完成相应的任务．
阿波罗尼奥斯定理
阿波罗尼奥斯（约公元前262﹣190 年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大
前期的三大数学家．阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半
与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，
可得AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．
下面是该定理的部分证明过程：
证明：如图1，过点A 作AE⊥BC 于点E．
在Rt△ABE 中，由勾股定理，得AB2＝AE2+BE2．
同理可得AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2．
∵点D 为BC 的中点，
∴BD＝CD．
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2．
＝…
任务：
（1）按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整；
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（2）请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图2，已知点P 为矩形ABCD 内任意一点．求证：
PA2+PC2＝PB2+PD2．
【分析】（1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明．
（2）连接AC，BD 相交于点O，连接OP，由矩形的性质可得出AC＝BD，𝑂𝐴= 1
2 𝐴𝐶，𝑂𝐵= 1
2 𝐵𝐷，进
而可得出OA＝OB，根据阿波罗尼奥斯定理，得PA2+PC2＝2（OA2+OP2），PB2+PD2＝2（OB2+OP2）．则
可证明PA2+PC2＝PB2+PD2．
【解答】解：（1）2AE2+（BD+DE）2+（CD﹣DE）2
＝2AE2+（BD+DE）2+（BD﹣DE）2
＝2AE2+2BD2+2DE2
＝2AD2+2BD2
＝2（AD2+BD2）．
（2）如图，连接AC，BD 相交于点O，连接OP．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC＝BD，𝑂𝐴= 1
2 𝐴𝐶，𝑂𝐵= 1
2 𝐵𝐷．
∴OA＝OB．
根据阿波罗尼奥斯定理，得PA2+PC2＝2（OA2+OP2），PB2+PD2＝2（OB2+OP2）．
∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
▌题型12 勾股定理中的找规律
给出一系列几何图形（勾股树、连续直角三角形），观察数据，归纳第𝑛个式子、边长、面积。
（1）连续构造直角三角形；
（2）勾股树面积规律：每层两个小正方形面积之和 = 上层正方形面积，底层所有小正方形面积总和 = 顶
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层最大正方形面积。
【典例1】（2026 春•龙口市期末）图1 是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有
公共顶点O 的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2 中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么
OA8 的长为（ ）
A．√10
B．4
C．3
D．2√2
【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2= √12 + 12 = √2，OA3= √(√2)2 + 12 = √3，找到OAn= √𝑛的
规律，即可计算OA8 的长．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2= √12 + 12 = √2，
OA3= √(√2)2 + 12 = √3，
…，
∴OAn= √𝑛，
∴OA8= √8 =2√2．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•济源期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一
个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所
得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1 次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后
得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则2026 次操作后图
形中所有正方形的面积和为（ ）
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A．8116
B．8114
C．8112
D．8110
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【解答】解：∵图①中，直角三角形斜边长为2，
由勾股定理得：三个正方形的面积和为：22+22＝8；
第一次操作后所有正方形的面积和为：8+22＝12；
第二次操作后所有正方形的面积和为：8+4×2＝16；
…，
第n 次操作后所有正方形的面积和为：8+4n；
∴当n＝2026 时，即2026 次操作后图形中所有正方形的面积和为：8+4×2026＝8112，
故选：C．
【变式1-2】（2026•长沙模拟）有一个边长为1 的大正方形，经过1 次“生长”后，在它的左右肩上生出两
个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1 次“生长”后，形成的图形如图1 所
示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2 所示，若“生长”了2025 次后，形成的图形
中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026
B．2025
C．22026
D．22022﹣1
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理
可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可．
【解答】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．解：如图，
由题意得，正方形A 的面积为1，
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由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积＝正方形A 的面积＝1，
∴“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为1+1＝2，
∴“生长”了3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……，
以此类推可知，“生长”了n 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为n+1
∴“生长”了2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025+1＝2026．
故选：A．
【变式1-3】（2025 春•铜梁区校级期中）如图，正方形ABCD 的边长为a，其面积标记为S1，以CD 为斜边
作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按
照此规律继续下去，若𝑆𝑛=
𝑎2
22025，则n 的值为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【分析】由正方形的面积公式得到S1＝a2= 𝑎2
20，由勾股定理求出S2＝DE2= 𝑎2
2 ，同理求出：S3= 𝑎2
22，按照
此规律得到Sn=
𝑎2
2𝑛−1，即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为a，
∴S1＝a2= 𝑎2
20，
∵△DEC 是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE2+EC2＝DC2，
∴2DE2＝a2，
∴S2＝DE2= 𝑎2
2 ，
同理求出：S3= 𝑎2
22，
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按照此规律继续下去，Sn=
𝑎2
2𝑛−1，
若𝑆𝑛=
𝑎2
22025，则n﹣1＝2025，
∴n＝2026．
故选：C．
▌题型13 最值问题
1.两点之间，线段最短；
2.垂线段最短
例：直角三角形斜边上动点，求动点到直角顶点距离最小值
结论：斜边上的高就是最小值（等面积法+勾股）。
【典例1】（2025 春•临沂期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD 沿DE
折叠到DF，延长EF 交AB 于G，连接DG．现有如下3 个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③
五边形DAGEC 的周长是44．其中正确的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，根据“HL”判定Rt△ADG
≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐺𝐷𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐹= 1
2 ∠𝐴𝐷𝐶；再
由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，由此可得五边形的周长．
【解答】解：由折叠可知，CE＝FE，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG 和Rt△FDG 中，
{𝐷𝐺= 𝐷𝐺
𝐷𝐹= 𝐷𝐴，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，
∴AG+EC＝GF+EF＝GE，
故①符合题意；
小学
初中
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∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG＝∠FDG，
由折叠可得，∠CDE＝∠FDE，
∴∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐺𝐷𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐹= 1
2 ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，
故②符合题意；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，
则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得EG2＝BE2+BG2，
即（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，EG＝10，
∴五边形DAGEC 的周长是12+12+6+4+10＝44，
故③符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（2026•西湖区校级一模）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，
点P 为矩形ABCD 所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2 恒成立．如图
2，在△ABC 中，AB＝4，𝐵𝐶= √14，点D 在△ABC 内，且∠ADC＝90°，𝐵𝐷= √3，则边AC 的最小值
为（ ）
A．3
B．2√3
C．4
【分析】以AD、CD 为边作矩形ADCE，连接BE、DE，由矩形的性质得出AC＝DE，由题意得BD2+BE2
＝BA2+BC2，求出BE＝3√3，当B、D、E 三点共线时，DE 最小，得出AC 的最小值＝DE 的最小值＝BE
﹣BD，从而可以得解．
【解答】解：以AD、CD 为边作矩形ADCE，连接BE、DE，如图所示：
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则AC＝DE，
由题意得：BD2+BE2＝BA2+BC2，
即（√3）2+BE2＝42+（√14）2，
解得：BE＝3√3．
当B、D、E 三点共线时，DE 最小，
∴AC 的最小值＝DE 的最小值＝BE﹣BD＝3√3 −√3 =2√3．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•浦东新区期末）如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P 是AC 上的
一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）
A．14.8
B．15
C．15.2
D．16
【分析】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP 的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 =10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC 时，BP 的值最小，最小值BP= 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
= 24
5 =4.8，
∴AP+BP+CP 的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•包河区校级期中）如图，在Rt△ADC 中，CD⊥AC，AD＝3，DC＝2，AC 绕点A 摆
动到AB 的位置，取AB 的中点E，连接BD、CE，求AC 绕点A 摆动的过程中，下列结论正确的是（ ）
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A．𝐴𝐸=
√13
2
B．CE 的最小值为
3
2
C．BD+CE 的最小值为3 −
√5
2
D．BD+CE 的最小值为√21
2
【分析】首先根据勾股定理求出AC 的长，进而得到AB 和AE 的长，判断选项 A；取AC 的中点M，连
接BM，DM，证明△ABM≌△ACE，可得CE＝BM，从而将求BD+CE 的最小值转化为求BD+BM 的最小
值，根据两点之间线段最短可知当D，B，M 三点共线时和最小，最小值为DM 的长，进而判断选项 C、
D；根据CE＝BM，利用当A，B，M 三点共线且B 在AM 延长线上时，BM 取得最小值，进而判断B．
【解答】解：在Rt△ADC 中，CD⊥AC，AD＝3，DC＝2，AC 绕点A 摆动到AB 的位置，取AB 的中点
E，连接BD、CE，则：
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 −𝐷𝐶2 = √32 −22 = √5，
由题意可得：𝐴𝐵= 𝐴𝐶= √5，
∴𝐴𝐸= 1
2 𝐴𝐵=
√5
2 ，故选项 A 错误，不符合题意；
如图，取AC 的中点M，连接BM，DM，
∴𝐴𝑀= 𝐶𝑀= 1
2 𝐴𝐶=
√5
2 ，
∴AM＝AE，
在△ABM 和△ACE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝑀= 𝐴𝐸
，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴BM＝CE，
∴BD+CE＝BD+BM≥DM，
∴当D，B，M 三点共线时和最小，最小值为DM 的长，
∵𝐷𝑀= √𝐶𝐷2 + 𝑀𝐶2 = √22 + (
√5
2 )2 =
√21
2 ，
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∴BD+CE 的最小值为√21
2 ，故选项C 错误，不符合题意，选项D 正确，符合题意；
∵BM＝CE，
∴当BM 取得最小值时，CE 取得最小值，
∵当A，B，M 三点共线且B 在AM 之间时，BM 取得最小值0，此时B 与A 重合，即CE 的最小值为0，
∴CE 的最小值为0，故选项B 错误，不符合题意．
故选：D．
