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专题17 逆命题和逆定理
（题型突破·举一反三）
▌题型01 写出命题的逆命题
【典例1】A．
【变式1-1】B．
【变式1-2】B．
【变式1-3】B．
▌题型02 互逆命题
【典例1】B．
【变式1-1】C．
【变式1-2】
【解答】解：（1）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论是“内错角相等”，
（2）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，结论是“这两条直线平行”，
所以（1）与（2）是互逆命题；（3）中的条件是“两个数相等”，结论是“它们的绝对值相等”，
（4）中的条件是“两个数的绝对值相等”，结论是“这两个数相等”，
所以（3）与（4）是互逆命题．
【变式1-3】
【解答】解：（1）直角都相等的逆命题是相等的角都是直角；
（2）内错角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，内错角相等；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0 的逆命题是如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0；
（4）两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行；
（5）相等的角都是直角的逆命题是直角都相等；
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（6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0 的逆命题是如果a+b＜0，那么a＜0，b＜0．
▌题型03 互逆定理
【典例1】
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3＝∠4，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠1＝∠F；
（2）在（1）的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互
逆的真命题．
【变式1-1】
【解答】（1）证明：过点E 作EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF．
∵∠B+∠D＝∠BED，
∴∠DEF＝∠D，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）解：用到的互逆真命题有：内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等．
【变式1-2】
【解答】（1）证明：∵H 在直线EF 上，
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∴∠1+∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴DH∥EC；
（2）解：延长DH 交FC 于点G，
由（1）可得DH∥EC，
∴∠C＝∠6，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠6，
∴DE∥BC，
∴∠EFC＝∠4＝32°；
（3）解：应用了：两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行一对互为逆命题的真命题．
【变式1-3】
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠3，
∴PN∥QT（同位角相等，两直线平行），
∴∠T＝∠PNM（两直线平行，同位角相等），
∵∠P＝∠T，
∴∠P＝∠PNM，
∴PR∥MT（内错角相等，两直线平行），
∴∠MTQ＝∠RQT（两直线平行，内错角相等）；
（2）解：①同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等；②内错角相等，两直线平行和两直线
平行，内错角相等．
▌题型04 角平分线的性质逆定理
【典例1】
【解答】（1）解：OA 垂直平分MP，
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∴ME＝PE（线段垂直平分线的性质）．
同理：FN＝PF．
∴EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15，
即△PEF 的周长为15；
（2）证明：∵PN＝PM，OA 垂直平分MP，OB 垂直平分PN，
∴𝑄𝑃= 1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅= 1
2 𝑃𝑁（线段垂直平分线的性质），
∴PQ＝PR．
∴OP 平分∠AOB．
【变式1-1】
【解答】证明：（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，如图1 所示：
∵△ADC 的面积为14，AD＝7，
∴
1
2AD•CF＝14，
∴CF= 2×14
𝐴𝐷= 28
7 =4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，点C 在∠BAD 的内部，
∴点C 在∠BAD 的平分线上，
∴AC 是∠BAD 的平分线；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
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∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE 是线段BH 的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC 是∠BAD 的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
在△HAC 和△DAC 中，
{
𝐴𝐻= 𝐴𝐷
∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【变式1-2】
【解答】证明：作FM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，FG⊥AC 于G，
∵BF 平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，
同理，FG＝FN，
∴FM＝FG，又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F 在∠DAE 的平分线上．
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【变式1-3】
【解答】（1）证明：在△ADF 和△AEF 中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
𝐷𝐹= 𝐸𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP 平分∠BAC；
（2）解：过点P 作PM⊥AC 于M，
∵AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质），
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑃𝑄+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑃𝑀，
代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即60 = 1
2 × 𝐴𝐵× 6 + 1
2 × 8 × 6，
解得AB＝12．
▌题型05 垂直平分线的性质逆定理
【典例1】
【解答】证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD 平分∠BAC，
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∵DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，
∴DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵点A 和点D 都在EF 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分EF．
【变式1-1】
【解答】解：（1）AB 边的垂直平分线l1 交BC 于点D，AC 边的垂直平分线l2 交BC 于点E，
则AD＝BD，AE＝CE，
∵△ADE 的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BD+DE+EC＝BC＝8cm，
故答案为：8cm；
（2）点O 在BC 的垂直平分线上，理由如下：
∵AB 边的垂直平分线l1 与AC 边的垂直平分线l2 相交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴OB＝OC，
∴点O 在BC 的垂直平分线上；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
由（1）可知：AD＝BD，AE＝CE，
∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°．
【变式1-2】
【解答】（1）解：∵∠BOC＝127°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝53°，
由条件可知∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝74°；
（2）证明：过点O 作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F，
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由条件可知OD＝OE，OE＝OF，
∴OD＝OF，
∴OA 平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴OA 为BC 边的高线，也是BC 边的中线，
即AO 所在的直线垂直平分BC．
【变式1-3】
【解答】（1）解：∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EF 是AB 的垂直平分线，MN 是AC 的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°；
（2）证明：如图，连接PA、PB、PC，
∵EP 是AB 的垂直平分线，MP 是AC 的垂直平分线，
∴PB＝PA，PC＝PA，
∴PB＝PC，
∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．
