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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题20 勾股定理的逆定理 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形的判别 题型02 勾股数 题型03 网格中的直角三角形 题型04 勾股定理的逆定理求角度 题型05 勾股定理的逆定理求线段 题型06 勾股定理的逆定理求面积 题型07 勾股数（规律题） ▌题型01 直角三角形的判别 方法1：定义判定（角判定） 有一个角等于 90°的三角形是直角三角形。 衍生：两锐角互余⇒ Rt△ 方法2：勾股定理逆定理（最常考） 已知△三边 𝑎，𝑏，𝑐（𝑐为最长边） 若𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，则这个三角形是直角三角形，最长边𝑐所对的角为直角。 ⚠重点：必须先用长短找出最长边！ 【典例1】（2026 春•裕安区校级期末）由下列各组线段a，b，c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A．a＝0.9，b＝4，c＝4.1 B．a＝2.5，b＝0.7，c＝2.4 C．a＝4，b＝5，c＝6 D．𝑎= √41，b＝4，c＝5 【变式1-1】（2026 春•玉溪期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，√6 C．6，7，8 D．7，12，13 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•青山区校级期中）满足下列条件的△ABC 不是直角三角形的是（ ） A．AC＝1，𝐵𝐶= √3，AB＝2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【变式1-3】（2026 春•和平区校级期末）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两 个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ） A． B． C． D． ▌题型02 勾股数 1. 能够构成直角三角形三边长的三个正整数，称为一组勾股数。 满足：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2（ 𝑎，𝑏，𝑐均为正整数，𝑐 最大） ⚠关键条件：必须都是整数！ 2. 基础本原勾股数 3，4，5 5，12，13 7，24，25 8，15，17 9，40，41 11，60，61 3. 判断一组数是不是勾股数 步骤： ① 排序找出最大数； ② 验算短边平方和是否等于最大边平方； ③ 检查三个数是否全部为正整数。 【典例1】（2026•盐城三模）下列各组数为勾股数的是（ ） 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．0.5，1.2，1.3 B．6，8，10 C．8，24，25 D．√2，√3，√5 【变式1-1】（2026 春•赤坎区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，√3，2 D．9，12，15 【变式1-2】（2026 春•历下区期末）若6，a，10 是勾股数，则a 的值是 ． 【变式1-3】（2026•江阳区校级模拟）若m，n 是正整数且m＞n，由m，n 的值可确定勾股数a，b，c，其 中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n 确定的是（ ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 ▌题型03 网格中的直角三角形 网格中线段作为直角三角形斜边，横向格子差、纵向格子差作为两条直角边，利用勾股定理计算长度。 设：横向水平距离 m，纵向竖直距离 n，则𝑙= √𝑚2 + 𝑛2。 利用勾股定理，求出三条边的长度平方，较小两个平方之和是否等于最大平方，相等则为直角三角形，然 后再利用等面积法求斜边上的高。 【典例1】（2026 春•昭阳区期末）如图，正方形网格每个小方格的边长均为1，△ABC 的顶点在格点上． （1）直接写出AC＝ ； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）求BC 边上的高． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•启东市期末）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在 格点上． （1）证明△ABC 是直角三角形； （2）求BC 边上的高． 【变式1-2】（2025 秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD 的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形 的边长都为1． （1）求四边形ABCD 的周长； （2）求∠BAD 的度数． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•康县期中）（1）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，以AB 为一条边向三角形 外部作正方形，已知正方形的面积是16，求AC 的长． （2）如图，在边长为1 的正方形网格中，点A，B，E 分别在格点上，连接AB，AE，BE．求证：AB⊥ AE． ▌题型04 勾股定理的逆定理求角度 1. 整理三边长度，排序，找出最长边； 2. 分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方； 3. 比较大小，利用逆定理判定最大角度数； 4. 结合三角形内角和、平行线、等腰、外角性质继续推导其余角度。 【典例1】（2026•阳谷县校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝ ．（点 A，B，C 是网格线交点）． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026•朝阳二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A， B，C，D 均是格点，则∠AOC 的度数为 ． 【变式1-2】（2026 春•龙岩期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，𝐴𝐷= √7，CD＝ 5，则∠BAD 的度数为 °． 【变式1-3】（2026 春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°． （1）求∠ADC 的度数． （2）求四边形ABCD 的面积． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 勾股定理的逆定理求线段 1. 标出已知全部线段长度； 2. 锁定目标三角形，把三边长度/代数式整理出来； 3. 排序找到最长边，计算短边平方和、最长边平方； 4. 若相等，证明存在直角； 5. 在直角三角形中，利用勾股定理求出未知线段。 【典例1】如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的中点，AB＝10cm，AD＝8cm，BC＝12cm，则AC 边上的 高BE 的长为 cm． 【变式1-1】（2026 春•桐城市期末）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线DE 分别交AB，BC 于点D，E， 且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）若𝐵𝐶= 2√14，AD：BD＝3：4，求AC 的长． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•安远县校级期末）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD．若AB＝10， AC＝17，BD＝6．AD＝8，求BC 的长． 【变式1-3】（2025 秋•高邮市期末）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC ＝20cm，点D 是腰AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）请你判断△BCD 的形状，并说明理由： （2）求三角形腰AB 的长度． 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 勾股定理的逆定理求面积 1. 写出三角形三边长度，找出最长边； 2. 计算较短两边平方和、最长边的平方； 3. 若两者相等，判定为直角三角形，最长边对角是直角； 4. 取两条直角边，代入面积公式求值； 5. 组合图形（四边形）：拆成两个三角形分别计算再求和/求差。 【典例1】（2026 春•济阳区期末）如图，某公园把一块△ABC 土地划出一个△ACD 种草，其余部分种花， 测得CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，∠ACB＝90°． （1）判断△ACD 的形状，并说明理由； （2）求图中种花（阴影）部分的面积． 【变式1-1】（2026•淅川县二模）定义：若一个三角形中，两边平方和等于第三边平方的4 倍，那么我们把 这样的三角形叫作“奋进三角形”．例如：某三角形三边长分别是√2，√3和√5，因为(√3)2 + (√5)2 = 4 × (√2)2 =8，所以这个三角形是“奋进三角形”． 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D 为AB 的中点，连接CD，若△BCD 是“奋进三角形”， 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则△ABC 的面积为 ． 【变式1-2】（2026 春•红桥区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝13， CD＝12． （Ⅰ）求证：BD⊥DC； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积． 【变式1-3】（2026 春•梅州期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为AB 上一点，连接CD，若BC＝20， CD＝16，BD＝12． （1）判断△BCD 的形状，并说明理由； （2）求△ADC 的面积． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 勾股数（规律题） 1. 奇数型勾股数 观察： 第1 组：3，4，5 第2 组：5，12，13 第3 组：7，24，25 第4 组：9，40，41 …… 规律总结 （1）最小边（奇数）：2𝑛+ 1 （2）较长直角边： (2𝑛+1)2−1 2 （3）斜边： (2𝑛+1)2+1 2 隐藏特点：斜边 = 长直角边 + 1； 2. 偶数型勾股数 观察： 第1 组：8，15，17 第2 组：10，24，26 第3 组：12，35，37 …… 规律总结 （1）最小边（偶数）：2𝑚 （2）较长直角边：𝑚2 −1 （3）斜边：𝑚2 + 1 隐藏特点：斜边 = 长直角边 + 2。 【典例1】（2026 春•西岗区期末）如果把a2+b2＝c2 看作关于a，b，c 的方程，那么满足这个方程的正整数 解a，b，c，通常叫作勾股数组，可以记作（a，b，c）．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公 式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；… 分析这些勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），… （1）分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组 ； 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）小红将a2+b2＝c2 移项并因式分解a2＝c2﹣b2＝（c+b）•（c﹣b），请写出满足上述规律的第n 个勾 股数组（用含n 的式子表示），并尝试用小红的方法证明； （3）若（x，x+7，x+m）是满足上述规律的一组勾股数组，求x 的值． 【变式1-1】（2025 秋•黄浦区校级月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果 一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾 股数”． 【探究1】 （1）①如果a、b、c 是一组勾股数，即满足a2+b2＝c2，则ka、kb、kc（k 为正整数）也是一组勾股数．如： 3、4、5 是一组勾股数，则 也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：a＝2n+1，b＝ 2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n 为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a、b、c 是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3 起就没有间 断过，并且勾为3 时，股4 = 1 2 × (9 −1)，弦5 = 1 2 × (9 + 1)；勾为5 时，股12 = 1 2 × (25 −1)，弦13 = 1 2 × (25 + 1)． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7 时，则股24＝ ；弦25＝ ． ②现在将勾用a 表示，股用b 表示，弦用c 表示，当a＝n 时，（n≥3，且n 为奇数），则b＝ ； c＝ ；（用含有n 的式子表示）并证明这个规律的合理性． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对 研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c 都是正整数，则a，b，c 为一组“勾股 数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10， ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示 上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种 花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如 果每个三角形最短边都种21 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3 个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算 经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如 （6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13） （8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2 ＝c2．设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 表2 a b c 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 （1）根据表1 的规律写出勾股数（11， ， ）； 观察可得：表1 中b、c 与a2 之间的关系是 ；（填勾股定理不得分） （2）根据表2 的规律写出勾股数（16， ， ）； 观察可得：表2 中b、c 与a2 之间的关系是 ；（填勾股定理不得分） （3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少 吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42＝52）
