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1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题19 勾股定理及证明 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求第三边 题型02 勾股树 题型03 勾股定理与数轴（无理数） 题型04 勾股定理与30° 题型05 勾股定理与等面积法 题型06 直角三角形中一边及关系求边长 题型07 勾股定理中的方程思想 题型08 勾股定理的证明 题型09 勾股定理与网格 题型10 勾股定理与折叠 题型11 勾股定理中的证明 题型12 勾股定理中的找规律 题型13 最值问题 ▌题型01 利用勾股定理求第三边 直角三角形中，两直角边 a、b，斜边 c，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。 变形公式：𝑎2 = 𝑐2 −𝑏2，𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2。 题干未指定斜边，必须分两种情况！ 【典例1】（2026 春•当阳市期末）已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ） A．4 B．4 或√2 C．√34 D．4 或√34 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•番禺区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB 的长为（ ） A．4 B．√5 C．√13 D．5 【变式1-2】（2026 春•渠县校级期末）如果直角三角形的两条边长分别为2 和3，那么它的第三条边长为 （ ） A．4 B．√5 C．√13 D．√5或√13 【变式1-3】（2026 春•蜀山区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F 分别为对 角线BD，AC 的中点，若BD＝10，AC＝8，则EF 的长度为（ ） A． 5 2 B．3 C．4 D．6 ▌题型02 勾股树 所有三角形为直角三角形，以直角三角形三边向外作正方形；不断在小正方形上方重复构造直角三角形+正 方形，层层分叉，形似树木，称为勾股树。 基础结论：两个小正方形面积之和 = 斜边上大正方形面积。 推广结论：只要在直角三角形三边向外作形状相同的图形（正方形、半圆、等边三角形、等腰直角三角 形）： 两直角边上图形面积之和 = 斜边上图形面积。 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图，SM=SA+SB，SN=SC+SD，SE=SM+SN，即SE=SA+SB+SC+SD。 【典例1】（2026 春•昭阳区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB 为直径向外 构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（ ） A．S①+S②＝S③ B．S①+S③＝S② C．𝑆① 2 + 𝑆② 2 = 𝑆③ 2 D．𝑆① 2 + 𝑆③ 2 = 𝑆② 2 【变式1-1】（2025 秋•茂南区期末）如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所 示，正方形A 的面积为（ ） A．22 B．√22 C．6 D．√6 【变式1-2】 （2026 春•和林格尔县期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每 个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的面积，其中S 的值恰好等于5 的是（ ） A． B． 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 【变式1-3】（2026 春•西山区期末）有一个面积为1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生 长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如 图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3 次后形成的图形中所 有正方形的面积和是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌题型03 勾股定理与数轴（无理数） 数轴上的点可以表示无理数，利用勾股定理构造直角三角形，以斜边长度在数轴截取线段，画出无理数对 应的点。 【典例1】（2026 春•嵩明县期末）如图，点O 为数轴原点，数轴上点A 表示的数为1，过点A 作AB⊥OA， 使AB＝1．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数是（ ） A．√2 B．2 C．1 D．1 + √2 【变式1-1】（2026 春•英山县期末）如图，长方形ABCD 的边AD 在数轴上，且AB＝1，AD＝2，点A 表示 的实数是﹣1，连接AC，以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交数轴于点E（点E 在点A 右侧），则点E 表 示的实数是（ ） 5 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．√5 + 1 B．√5 −1 C．√5 D．1 −√5 【变式1-2】（2026 春•五华区期末）如图所示，数轴上的点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是1，CB⊥ AB，垂足为B，BC＝2．以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D 表示的数为 （ ） A．2.8 B．2√2 C．2√2 −1 D．2√2 + 1 【变式1-3】（2026 春•滨海新区校级期末）如图，在数轴上点A，B 表示的数分别为0，2，过点A 作AC⊥ AB，且AC＝1，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交数轴于点D（点D 在点A 的左侧），则点D 表 示的数为（ ） A．1 + √5 B．2 −√5 C．√5 −2 D．2 + √5 ▌题型04 勾股定理与30°角 1. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。 设：30°对边 a，斜边 c，则c=2a 2. 勾股定理：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2， 联立可推出三边比例：30°、60°、90°直角三角形三边之比：𝑎: 𝑏: 𝑐= 1: √3: 2。 短直角边：𝑎，长直角边：√3𝑎，斜边：2𝑎。 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•开封期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠A＝30°， 点E 是边AC 的中点，AB＝8，则DE 的长为（ ） A．4√3 B．4 C．2√3 D．2√5 【变式1-1】（2026 春•武昌区期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC 的长是（ ） A．2√2 B．3√2 C．2√3 D．3√3 【变式1-2】（2026 春•江门期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D 在边BC 上，且AD 平分∠BAC．若AC＝2，则线段BD 的长为（ ） A． 4 3 B． 2√3 3 C． 4√3 3 D．2 【变式1-3】 （2026 春•蓬莱区期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9，则AC＝ ． ▌题型05 勾股定理与等面积法 等面积法核心直角三角形两种方式计算面积相等： 1 2 ⋅直角边1 ⋅直角边2 = 1 2 ⋅斜边⋅斜边上的高，即 1 2 𝑎𝑏= 1 2 𝑐ℎ，则ℎ= 𝑎𝑏 𝑐。 7 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】 （2026 春•罗定市期末）一个直角三角形的两直角边长分别为5 和12，则它斜边上的高长为（ ） A．13 B． 13 2 C． 60 13 D． 12 5 【变式1-1】（2026 春•长沙校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点D 为垂足，AC＝ 2.1，BC＝2.8． 求：（1）△ABC 的面积； （2）斜边AB 的长； （3）斜边AB 上的高CD 的长． 【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边AB 上的高，∠ABC 的平分线BD 交CE 于点M， 交AC 于点D． （1）求证：△CDM 是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8．求ME 的长度． 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90° （1）用尺规作图的方法，过点C 作斜边AB 的垂线，垂足为D；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知AC＝6，BC＝8，求线段CD 的长． ▌题型06 直角三角形中一边及关系求边长 1.勾股定理：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2； 2. 方法：设未知数，列方程求解； 3. 解题流程： （1）分清直角、找准斜边；标记已知边； 9 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据边长倍数/和差关系，设最短边为x； （3）用含x 代数式表示第三条边； （4）代入勾股定理列方程，求出x，边长＞0，舍去负根。 【典例1】（2026 春•潼南区期末）在直角三角形ABC 中，斜边AB＝1，则AC2+BC2 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026 春•武城县期末）一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为√6，那么斜边长 为（ ） A．4 B． 7 2 C． 9 2 D．12 【变式1-2】（2026 春•东城区校级期中）在△ABC 中，∠C＝90°，如果AB＝10，BC：AC＝3：4，则BC ＝（ ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不对 【变式1-3】已知直角三角形最短边为9，另两边相差3，则斜边长为 ． ▌题型07 勾股定理中的方程思想 1.定位直角三角形，确定斜边； 2.观察线段相等/和差/倍数关系； 3.设未知数 x，把三边全部用含 x 式子表示； 4.代入勾股定理列出方程； 5.解方程，边长大于0，舍去负数解。 【典例1】（2026 春•路北区期末）如图，在△ABC 中，AB＝20，BC＝11，AC＝13，过点A 作AD⊥BC，交 BC 的延长线于点D，则AD 的长为（ ） 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．12 D．16 【变式1-1】已知直角三角形的周长为12，其斜边长为5，则三角形的面积为（ ） A．12 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】如图，已知等腰△ABC 的周长是16，底边BC 上的高AD 的长是4，求这个三角形各边的长． 【变式1-3】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，交 BC 于点E，求CE 的长． ▌题型08 勾股定理的证明 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法一（邹元治证法）：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 图（1）中 ，所以 . 方法二（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 图（2）中 ，所以 . 方法三（总统证法）：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 图（3）中 ，所以 . 方法四（等面积法）：如图所示，两个全等的直角三角形如图摆放 图（4）中S 四边形ADCB= 2 1 c2+ 2 1 a（b-a）= 2 1 b2+ 2 1 ab，所以a 2+b 2=c 2. 12 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•安次区期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正 方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表 示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2． （1）请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程． （2）现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，求空白部分的面积． （3）琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密的拼接成风车状，如 图3．已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． 【变式1-1】（2026 春•庐江县期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是 最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是 数学定理中证明方法较多的定理之一． 如图三幅图中均可证明勾股定理，请你选择期中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【变式1-2】（2026 春•惠城区期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学 13 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片ABC 和DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a ＜b），AB＝DE＝c． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片DEF 的边EF 落在纸片ABC 的边AC 上，点 E 与点C 重合，连接AD、DB 得到四边形ACBD，利用四边形ACBD 的面积的两种不同表示方法证明 a2+b2＝c2． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【变式1-3】（2026 春•济源期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1 和 图2 都是用4 个以c 为斜边，a，b 为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b 的式子表示图1 的大正方形的面积： ；用含a，b，c 的式子表示图2 的大正方形 的面积： ； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2＝c2． ▌题型09 勾股定理与网格 14 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 网格中线段作为直角三角形斜边，横向格子差、纵向格子差作为两条直角边，利用勾股定理计算长度。 设：横向水平距离 m，纵向竖直距离 n，则𝑙= √𝑚2 + 𝑛2。 【典例1】（2026 春•涞水县期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E 均在小正方形 的顶点上．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，圆弧交CE 于点D，则DE 的长为（ ） A．√3 B．2.1 C．√5 D．5 【变式1-1】（2026 春•平阴县期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上， 以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD 的长为（ ） A．√5 B．0.8 C．3−√5 D．√13 【变式1-2】（2026 春•南开区期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则 AC 的长为（ ） A．√2 B．√3 C．√5 D．3 【变式1-3】（2026 春•新抚区期末）如图，在3×4 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记 格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为√13的是（ ） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型10 勾股定理与折叠 1.折叠性质：折叠前后图形全等， ① 对应线段相等；② 对应角相等；③ 折叠产生对称轴（垂直平分对应点连线） 2.勾股定理：构造直角三角形，使用方程思想解题 3.解题步骤： （1）标记折叠前后相等的边、相等的角； （2）观察图形，找到天然存在的直角三角形； （3）将重叠/待求线段设为𝑥，利用线段和差，用含𝑥代数式表示直角三角形三边； （4）代入勾股定理 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 列方程； （5）解方程，边长＞0，舍去负根。 【典例1】如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在对角线BD 上，折痕为DE，且A 点落在对角线F 处．若AD＝3，CD＝4，求AE 的长． 【变式1-1】（2025 春•惠东县月考）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句 话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3 和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt △ABC 中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 a2+b2＝c2 ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角 形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝑎𝑏，𝑆正方形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑐2，S 正方形MNPQ＝ ，且 ＝ ， 16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴(𝑎+ 𝑏)2 = 4 × 1 2 𝑎𝑏+ 𝑐2， 整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴ ． （3）如图3，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE 的长． 【变式1-2】（2026 春•雷州市月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝ ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB 在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关 系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB＝CD＝8，BC ＝AD＝10，求EF 的长． 【变式1-3】（2026 春•江城区期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是 正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形用不同的方式表 示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2． 17 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）请用如图1 推导勾股定理，并写出推导过程． （2）现将如图2 中的两个直角三角形向内翻折，得到如图2，若a＝4，b＝6，求空白部分的面积． （3）如图3，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．若AD＝5，AB＝3．求EF 的 长． ▌题型11 勾股定理中的证明 1.勾股定理： 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 。 2.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3.平方差公式： 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) 。 【典例1】（2025 秋•鼓楼区期中）在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】如图，CD 为Rt△ABC 的斜边AB 上的高，设CD＝h，AB＝m，DB＝n，求证：h2＝mn． 证明：在Rt△ADC 中，根据勾股定理，得AC2＝h2+m2． 在Rt△DBC 中，根据勾股定理，得BC2＝h2+n2． 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2． ∵AB＝m+n， ∴h2+m2+h2+n2＝（m+n）2． ∴h2＝mn． 【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同的证明思路： 小红：我想由面积的等量关系AC•BC＝AB•CD 推理得到； 小明：我想可以取AB 中点O，连接CO，在Rt△CDO 中，由勾股定理推理得到． 请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程． 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图在△ABC 中，∠B＝90°，点E，F 分别在AB，BC 上，求证：AF2+CE2＝AC2+EF2． 【变式1-2】如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上任意一点，求证：AD2+BD•DC＝AB2． 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】阅读下面材料，完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯（约公元前262﹣190 年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大 前期的三大数学家．阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半 与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，根据阿波罗尼奥斯定理， 可得AB2+AC2＝2（AD2+BD2）． 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图1，过点A 作AE⊥BC 于点E． 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得AB2＝AE2+BE2． 同理可得AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2． ∵点D 为BC 的中点， ∴BD＝CD． ∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2． ＝… 任务： （1）按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整； （2）请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图2，已知点P 为矩形ABCD 内任意一点．求证： PA2+PC2＝PB2+PD2． 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型12 勾股定理中的找规律 给出一系列几何图形（勾股树、连续直角三角形），观察数据，归纳第𝑛个式子、边长、面积。 （1）连续构造直角三角形； （2）勾股树面积规律：每层两个小正方形面积之和 = 上层正方形面积，底层所有小正方形面积总和 = 顶 层最大正方形面积。 【典例1】（2026 春•龙口市期末）图1 是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有 公共顶点O 的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2 中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么 OA8 的长为（ ） A．√10 B．4 C．3 D．2√2 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•济源期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一 个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所 得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1 次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后 得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则2026 次操作后图 形中所有正方形的面积和为（ ） A．8116 B．8114 C．8112 D．8110 【变式1-2】（2026•长沙模拟）有一个边长为1 的大正方形，经过1 次“生长”后，在它的左右肩上生出两 个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1 次“生长”后，形成的图形如图1 所 示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2 所示，若“生长”了2025 次后，形成的图形 中所有的正方形的面积和是（ ） A．2026 B．2025 C．22026 D．22022﹣1 【变式1-3】（2025 春•铜梁区校级期中）如图，正方形ABCD 的边长为a，其面积标记为S1，以CD 为斜边 作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按 照此规律继续下去，若𝑆𝑛= 𝑎2 22025，则n 的值为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型13 最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.垂线段最短 例：直角三角形斜边上动点，求动点到直角顶点距离最小值 结论：斜边上的高就是最小值（等面积法+勾股）。 【典例1】（2025 春•临沂期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF，延长EF 交AB 于G，连接DG．现有如下3 个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③ 五边形DAGEC 的周长是44．其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2026•西湖区校级一模）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1， 点P 为矩形ABCD 所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2 恒成立．如图 2，在△ABC 中，AB＝4，𝐵𝐶= √14，点D 在△ABC 内，且∠ADC＝90°，𝐵𝐷= √3，则边AC 的最小值 为（ ） A．3 B．2√3 C．4 【变式1-2】（2025 秋•浦东新区期末）如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P 是AC 上的 一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ） 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【变式1-3】（2026 春•包河区校级期中）如图，在Rt△ADC 中，CD⊥AC，AD＝3，DC＝2，AC 绕点A 摆 动到AB 的位置，取AB 的中点E，连接BD、CE，求AC 绕点A 摆动的过程中，下列结论正确的是（ ） A．𝐴𝐸= √13 2 B．CE 的最小值为 3 2 C．BD+CE 的最小值为3 − √5 2 D．BD+CE 的最小值为√21 2
