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专题36 规律性探索和新定义问题（5 考点20 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 数字类规
律
选择、填空、项目探究大题，结合
代数式、杨辉三角、勾股数、函数
交点、整数因数，要求归纳通项、
裂项求和、验证猜想，重逻辑验证。
文化融合：杨辉三角、古勾股数探
究；项目式设问：分层猜想+举反
例推翻错误规律；函数联动：正反
函数交点数列规律。
考点02 用代数式
表示数、图形的规
律
以日历九宫格为载体，用字母表示
位置关系，结合一元二次方程求解
最值，侧重代数等量代换。
生活情境创新：月历框选模型；方
程综合：结合方程根限定中心数，
推导极值；定值证明开放设问。
考点03 图形类规
律探索
选择填空为主，结合化学分子、多
边形数、直线交点，观察图形数量
递推，推导通用表达式。
跨学科：有机物分子结构；数形结
合：三角/四边/五边形数综合对比；
几何操作：直线相交最多交点探究。
考点04 点坐标规
律探索
平面直角坐标系图形平移、菱形/
三角形点阵，分组循环找点坐标，
结合一次函数直线递推纵坐标。
周期分组创新：图形点阵按周期分
组；几何变换叠加：平移+翻折复
合坐标变化；直线点阵递推数列。
考点05 新定义问
题
选择、压轴大题全覆盖，自定义运
算、点、函数、四边形，现场阅读
理解规则，融合方程、函数、几何
证明。
现场建模：当堂读懂新规则解题；
多层设问：定义识别→计算→分类
讨论压轴；跨模块：新四边形结合
相似、勾股。
考点01 数字类规律探索
1．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x ，4x ，6x ，8x，10x ，…，第n 个代数式为（ ）
A．x
B．2x
C．2nx
D．
2n x
2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为2 ，7 ，14，23，34，47 ，…．若按此
规律继续排列下去，则第n 个数可以表示为_________（结果用含n 的代数式表示）．
3．（2026·四川内江·中考真题）南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这
个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为
1
1
a = ，
第二个数记为
2
3
a =
，第三个数记为
3
6
a =
，…，第n 个数记为
na ，则
1
2
3
1
1
1
1
n
a
a
a
a
+
+
++
= _________．
4．
（2026·山东·中考真题）如图，一组反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
，
nk
y
x
=
，其中
0
x
，1
1
k = ，
1
n
n
k
k −
，
n 为大于1 的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y
x
=
的图象相交，交点依次记为
1A ，
2
A ，
3
A ，…，
n
A ．若
1
2
2
3
A A
A A
=
= …
1
2
n
n
A
A
−
=
=
，则
6k =________．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将100个机器人安排坐在编号依
次为1到100的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向
上）．开始向每个机器人发送1，2 ，3，…，100的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐
桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正
确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________．
6．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股数，
记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为勾股数．本
项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
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m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
2
1
(
)
3,4,5
1
3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数(
)
35,12,37 对应的m=_____，n =_____；
(3)序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的增大
而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请问他的
猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
考点02 用代数式表示数、图形的规律
1．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意
框出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n 的式子表示A ；
②探究B C
A D
−
是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
的根，求九宫格中最大的数．
考点03 图形类规律探索
1．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结
构式，其中C ，H ，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4 个氢原子，第②个图中有6 个
氢原子，第③个图中有8 个氢原子，第④个图中有10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
2．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物
的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 种如图①有1 个碳原子和4 个氢原子，
化学式为
4
CH ；第2 种如图②有2 个碳原子和6 个氢原子，化学式为
2
6
C H ；第3 种如图③有3 个碳原子和
8 个氢原子，化学式为
3
8
C H …按照这一规律，第2026 种化合物的化学式为（ ）
A．
2026
2026
C
H
B．
4052
4052
C
H
C．
2026
4052
C
H
D．
2026
4054
C
H
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3．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据
沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的1，3，6 ，10 称为三角形数，第二行的1，
4 ，9，16 称为四边形数，第三行的1，5 ，12 ，22 称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：
①1； ②25 ； ③36．
（2）我们将k 边形数中第n 个数记为
(
)(
)
,
3
N n k
k
．已知
(
)
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
=
+
，(
)
2
,4
N n
n
=
，则
(
)
,5
N n
=
_________．（用含有n 的代数式表示）
4．（2026·广东·中考真题）综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n 条直线两两相交，设它们最多有m 个交点，相交所成的最小角为．某数学学习小组提
出了下列探究问题．
问题一：m 与n 的关系；
问题二：的最大值与n 的关系．
【特例感知】
如图1，当
2
n =
时，学习小组发现
1
m = ，的最大值为90．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当
3
n = 时的两种情况，如图2，图3．
步骤二：观察分析
（一）由图2，图3 得
3
m =
；
（二）在图2 中，的最大值为60；
（三）在图3 中，的最大值为360
6
60
=
．
【规律探索】
(1)完成下表：
n
2
3
4
5
m
1
3
的最大值
90
60
【解决问题】
(2)①用关于n 的代数式表示m ，直接写出即可；
②的最大值与n 的关系是什么？写出并说明理由．
n
2
3
4
5
m
1
3
6
10
的最大值
90
60
45
36
考点04 点坐标规律探索
1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点O为顶点作边长为2 的菱形
1
2
3
OA A A ，点
3
A 在x 轴上，且
1
3
60
AOA
=
，将点
3
A 向右平移2 个单位得到点
4
A ，以
4
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
4
5
6
7
A A A A ，
点
7
A 在x 轴上；再将点
7
A 向右平移2 个单位得到点
8
A ，以
8
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
8
9
10
11
A A A A ，
点
11
A 在x 轴上；…；按照以上规律作图，则点
126
A
的坐标为__________．
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2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）数学活动课上，同学们把底角为30的等腰三角形称为“友好三角形”，
并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点
1A 在经过原点的直线l 上，
1
1
OA = ，点
1B 在x 轴正半轴上，
1
1
AOB
△
是以
1
OB 为底边的“友好三角形”，以
1
1
A B 为底边向右作“友好三角形
1
1
1
A BC ”；过
点
1
C 作
1
1
A B 的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点
2
A ，
2
B ，以
2
2
A B 为底边向右作“友好三角形
2
2
2
A B C ”；
过点
2
C 作
2
2
A B 的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点
3A ，
3
B ，以
3
3
A B 为底边向右作“友好三角形
3
3
3
A B C ”…按此规律，点
2026
C
的纵坐标为____________．
考点05 新定义问题
1．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
2．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点
为“倒数点”．如：
1
(2,
)
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题：
(1)对实数a ，b 定义一种新运算“”：
0
2
a
b
a
a
b
=
+
−
，其中
0
a
，等式右边是实数运算．计算：(
)
5
5
−
．
(2)已知多项式
2
1
A
x
x
=
−
+ ，
2
2
B
x
x
=
−
，求2A
B
−
．
4．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交
点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
+
=
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
(
)
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
=
+
+
和抛物线
(
)
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
=
+
+
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
+
=
，求GA
GB 的值．
5．（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为
(
)1
k k
，则称该四边形为“k 倍四边形”．
(1)①如图1，在
ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，点E 为OB 中点．若四边形AECD为k 倍四边形，
则k 的值为__________；
②如图2，在k 倍四边形ABCD中，若对角线AC 被BD 平分，则
ACD
ACB
S
S
=
△
△
__________；（用含k 的代数式表
示）
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(2)如图3，四边形ABCD为k 倍四边形，其对角线BD 平分对角线AC ，且满足
2
BDC
ABD
=
，
4
BD
CD
=
，
求k 的值；
(3)如图4，已知定点A ，B ，且AB
BM
⊥
，点C 为射线BM 上一动点，点D 为平面内一点，连接A ，B ，C ，
D 构成四边形ABCD．若BD 平分AC ，
BAC
DAC
=
，四边形ABCD为2 倍四边形，求tan ACD
的值．
6．（2026·河南·中考真题）定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则
称点Q 是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
=
上，点(
)
3,9 是点(
)
0,0 的“黄金搭档点”．
(1)点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为12．求b ，
c 的值．
(2)点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
7．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相
连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所
以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定
2
1
y
x
=
−与
1
y
x
=
的关系时，由函数表达式得
1
2
1
x
x
−=
，
去分母得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，因为
9
0
=
，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①
2
y
x
= −
，②
2
y
x
=
，③
3
1
y
x
−
=
+ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若
(
)
1
0
m
y
m
x
=
与
(
)
2
0
y
kx
b k
=
+
是“友好函数”，如图2，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是______；若
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，则n 的值为______；
(3)如图3，过点
(
)
0,6
C
的直线1l 、2l 对应的函数分别与
1k
y
x
=
（
1
0
k
，
0
x
），
2k
y
x
=
（
2
0
k
，
0
x
）
是“相连函数”，相连点分别为P ，Q ，1l 、2l 与x 轴分别交于A ，B 两点，已知
6
AB = ，1
2
18
k k = −
，求
2
2
1
2
k
k
+
的值．
