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专题14 概率
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 概率
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
考查形式分为选择题、填空题、解答大题。小题
多为一步简单随机事件求概率；解答题必考列表
/ 树状图，区分有放回、不放回抽取模型。核心
考点：简单概率计算公式、列表法与画树状图求
古典概型、比较概率大小做决策。命题素材丰富：
数字卡片、摸球抽奖、质数相反数情境；高频易
错点：能否放回、是否等可能事件。整体难度中
等基础，大题步骤规范要求高，必须完整列举所
有等可能结果。近五年稳定趋势：1 道选择/ 填
空基础题+ 间隔年份出现概率解答应用题，应
用题常设置一问概率大小对比决策设问。
考点01 概率
1．（2025·福建·中考真题）在分别写有1
，1，2 的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的
数恰好互为相反数的概率是（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】B
【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
1
1
2
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1
1,1
1,2
1
1, 1
1,2
2
2, 1
2,1
共有6 种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有
1,1
，
1, 1
两种，
∴
2
1
6
3
P
；
故选：B．
2．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数
学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5 中，随机选取两个不同的数，
其和是偶数的概率是（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】B
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6 种不同情况，和是偶数的共有2 种情况，故和是偶数的概率是
2
1
6
3
，
故选：B
3．（2022·福建·中考真题）一个不透明袋子中装有3 个红球、2 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从
袋子中随机摸出1 个球，这个球是红球的概率是_____．
【答案】3
5
【分析】本题主要考查了概率公式，掌握概率是部分除以整体是解题的关键．
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用红球的个数除以球的总个数即可解答．
【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球共有5 种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3 种结果，
∴摸出的小球是红球的概率为3
5 ．
故答案为3
5 ．
4．（2026·福建·中考真题）一个不透明的盒子中有1 个标号为0 的黄球
0a ，2 个标号分别为1，2 的红球
1b ，
2b ，1 个标号为3 的白球
3c ，这些球除颜色和标号外无其他差别．
(1)从盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黄球的概率；
(2)从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球．求摸出的2 个球颜色不同且标号之和小于
4 的概率．
【答案】(1) 1
4
(2)
1
2
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：从盒子中随机摸出1 个球共有4 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的
球是黄球（记为事件A ）的结果有1 种，所以
1
4
P A
；
（2）解：从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球，列表如下：
第二次第一次
黄球
0a
红球
1b
红球
2b
白球
3c
黄球
0a
0
1
,
a b
0
2
,
a b
0
3
,
a c
红球
1b
1
0
,
b a
1
2
,
b b
1
3
,
b c
红球
2b
2
0
,
b a
2
1
,
b b
2
3
,
b c
白球
3c
3
0
,
c a
3
1
,
c b
3
2
,
c b
共有12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2 个球的颜色不同且标号之和小于4（记为事
件B ）的结果共有6 种：
0
1
,
a b ，
0
2
,
a b
，
0
3
,
a c
，
1
0
,
b a
，
2
0
,
b a
，
3
0
,
c a
，所以
6
1
12
2
P B
．
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5．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽
奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有
大小质地完全相同的1 个红球及编号为①②③的3 个黄球的袋中，随机摸出1 个球，若摸得红球，则中奖，
可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加
入1 个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4 个球完全相同），然后从中随机摸出1 个球，记下颜色后
不放回，再从中随机摸出1 个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾
客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的
理由
【答案】(1) 1
4
(2)
他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③
共有20 种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8 种，此时该顾客获得精美礼品的概率
1
8
2
20
5
P
；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率
2
12
3
20
5
P
；
因为2
3
5
5
，所以
1
2
P
P
，所以他应往袋中加入黄球．
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【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4 种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件A ，则事件A 发生的结果只有1 种，
所以
1
4
P A
，所以顾客首次摸球中奖的概率为1
4 ．
（2）略
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、
创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
1．（2026·福建南平·二模）九年级体育中考球类选考为篮球、排球、足球三项中选一项，则应届生小华和
小明选中同一个球类的概率是（
）
A．1
9
B．1
3
C．2
3
D．1
【答案】B
【分析】画树状图展示所有9 种等可能的结果数，再找出小华和小明选中同一个球类的结果数，然后根据
概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有9 种等可能的结果数，其中小华和小明
选中同一个球类的结果数为3，
所以小华和小明选中同一个球类的概率为3
1
9
3
．
2．（2026·福建泉州·二模）一个布袋内只装有1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸
出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球为一个黑球一个白球的概率是（
）
A．5
9
B．1
3
C．2
3
D．4
9
【答案】D
【分析】用列表法列举所有等可能的结果，再利用概率公式计算所求概率即可.
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【详解】解：列表如下：
黑
白
白
黑
(黑，黑)
(黑，白)
(黑，白)
白
(白，黑)
(白，白)
(白，白)
白
(白，黑)
(白，白)
(白，白)
共有9 种等可能的结果，两次摸出的球一个黑球一个白球的情况有4 种，
所求概率为4
9 .
3．（2026·福建泉州·二模）小红、小明都学会了运用“豆包”与“ DeepSeek ”人工智能软件辅助学习．若两人
要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的
概率为（
）
A．1
B．3
4
C．
1
2
D．1
4
【答案】C
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软
件的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：设“豆包”为软件A ，“ DeepSeek ”为软件B ，
列举两人选择软件所有等可能的结果为：
,
,
,
,
,
,
,
A A
A B
B A
B B ，共4 种，
∵其中两人选择不同软件的结果有2 种，
∴所求概率
2
1
4
2
P
．
4．（2026·福建宁德·二模）下列事件中，属于随机事件的是（
）
A．明天早上，太阳从东边升起
B．打开一本数学书，翻到偶数页
C．任意投一枚骰子，朝上面的点数是7
D．一个标准大气压下，水温升到100 C
时沸腾
【答案】B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、明天早上太阳从东边升起，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求；
B、打开一本数学书，可能翻到偶数页，也可能翻到奇数页，事件发生与否不确定，∴属于随机事件，符合
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要求；
C、投一枚骰子，朝上面最大点数为6，点数为7 是一定不会发生的，属于不可能事件，不符合要求；
D、一个标准大气压下，水温升到100 C
时沸腾，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求．
5．（2026·福建泉州·模拟预测）某校在3月14日“国际数学节”活动中，数学组举行了“ 24 点大比拼”、“玩转
数独”和“七巧板创意”三个挑战活动．如果小红随机选择参加其中的两个活动，则她恰好都选到活动“玩转数
独”和“七巧板创意”的概率是（
）
A．1
9
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
【答案】B
【分析】用枚举法列出所有等可能的选择结果，再找出满足条件的结果数，代入概率公式即可求解．
【详解】解：记三个活动分别为：A (24 点大比拼)，B (玩转数独)，C (七巧板创意)．
∵小红从三个活动中随机选两个，所有等可能的结果为AB
AC
BC
，
，
，共3 种，
其中恰好选到“玩转数独”和“七巧板创意”的结果只有1种，
∴所求概率为
1
3
P
．
6．（2026·福建泉州·模拟预测）有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字1
，1，0 ，放入暗
箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
【答案】B
【分析】先列举出从三个球中随机摸出两个球的所有等可能结果，再找出两个球上数字互为相反数的结果
数，根据概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：∵三个球分别标有数字1
，1，0 ，随机摸出两个球，所有等可能的结果为：
1,1
，
1,0
，
1,0 ，共3 种，
其中球上两个数字互为相反数的结果只有
1,1
这1种，
∴所求概率
1
3
P
．
7．（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块
地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（
）
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A．
1
2
B．4
9
C．5
9
D．2
3
【答案】C
【分析】设每个小正方形的边长为a ，则大正方形的边长为3a ，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概
率公式求出小球停留在阴影区域的概率．
【详解】解：设每个小正方形的边长为a ，则大正方形的边长为3a ，
大正方形的面积为
2
2
3
9
a
a
，空白图形的面积为
2
1
4
2
4
2 a
a
a
，
阴影的面积为
2
2
2
9
4
5
a
a
a
，
小球停留在阴影区域的概率为
2
2
5
5
9
9
a
a
．
8．（2026·福建漳州·模拟预测）在一个框中放置2 个红球，3 个黄球，4 个绿球，不放回地随机拿出两个球，
拿出的球恰好同一种颜色的概率（
）
A．1
18
B．5
18
C．2
9
D．2
15
【答案】B
【分析】先计算所有球的总数和不放回抽取2 个球的总结果数，再计算取出两球同色的结果数，根据概率
公式计算即可得到结果．
【详解】解：列表如下：
红
红
黄
黄
黄
绿
绿
绿
绿
红
红，红
黄，红
黄，红
黄，红
绿，红
绿，红
绿，红
绿，红
红
红，红
黄，红
黄，红
黄，红
绿，红
绿，红
绿，红
绿，红
黄
红，黄
红，黄
黄，黄
黄，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
黄
红，黄
红，黄
黄，黄
黄，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
黄
红，黄
红，黄
黄，黄
黄，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
绿，黄
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绿
红，绿
红，绿
黄，绿
黄，绿
黄，绿
绿，绿
绿，绿
绿，绿
绿
红，绿
红，绿
黄，绿
黄，绿
黄，绿
绿，绿
绿，绿
绿，绿
绿
红，绿
红，绿
黄，绿
黄，绿
黄，绿
绿，绿
绿，绿
绿，绿
绿
红，绿
红，绿
黄，绿
黄，绿
黄，绿
绿，绿
绿，绿
绿，绿
可知共72 种等可能的结果，其中取出两球同色的总结果数为20 种，
∴所求概率为
20
5
72
18
P
．
9．（2026·福建漳州·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正
面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上
洗匀，从中不放回地随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
）
A．
1
2
B．1
4
C．1
6
D．1
8
【答案】C
【分析】画出树状图，由树状图可知，共有12种等可能的情况出现，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”
和“山”的情况有2 种情况，所以这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为1
6 ．
【详解】解：画树状图，如下图所示：
由树状图可知，共有12 种等可能的情况出现，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的情况有2 种情
况，
这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为2
1
12
6
．
10．（2026·福建漳州·模拟预测）六张背面相同卡片上分别写有2，3.13 ，
22
7
，π，0，
3 六个数，从
这六张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的数为有理数的概率是（
）
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A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．1
6
【答案】A
【分析】先根据有理数的定义找出六个数中有理数的个数，再结合概率公式计算概率，即可得到结果．
【详解】解：∵共有6 个数，所有等可能的结果共6 种．
又∵有理数为整数和分数的统称，其中六个数中，有理数是2 ，3.13 ，
22
7
，0 ，共4 个，即抽到有理数
的结果有4 种．
∴抽到有理数的概率为4
2
6
3
．
11．（2026·福建宁德·一模）下列四张卡片，分别呈现了化学元素周期表中的四种元素，若一次性从中随机
选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是（
）
A．
1
2
B．1
4
C．1
6
D．1
12
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
氢
碳
钾
铁
氢
氢，碳
氢，钾
氢，铁
碳
碳，氢
碳，钾
碳，铁
钾
钾，氢
钾，碳
钾，铁
铁
铁，氢
铁，碳
铁，钾
由表格可得，共有12 种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有2 种，
故这两种元素恰好都是金属元素的概率为2
1
12
6
．
12．（2026·福建厦门·一模）为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
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移植总数n
10
50
270
750
3500
7000
9000
14000
成活数m
8
47
235
662
3203
6335
8073
12628
成活的频率m
n
0.800
0.940
0.870
0.883
0.915
0.905
0.897
0.902
根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（
）
A．0.88
B．0.89
C．0.90
D．0.91
【答案】C
【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，据此即可解答．
【详解】解：观察表格数据可知，随着移植总数n 不断增大，成活的频率逐渐稳定在0.90 附近，即这种幼苗
移植成活的概率为0.90 ．
13．（2026·福建漳州·一模）某校社团开展关于古代四大发明的研究性学习活动，要求每名同学从造纸术、
印刷术、指南针、火药这四项发明中随机选择两项，则小星恰好选择“印刷术”和“指南针”的概率是（
）
A．1
8
B．1
6
C．1
4
D．1
2
【答案】B
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药这四项发明分别记为
,
,
,
A B C D ，则可画树状图为：
由树状图可知一共有12 种等可能性的结果数，其中恰好选择“印刷术”和“指南针”的结果数有2 种，
∴恰好选择“印刷术”和“指南针”的概率是2
1
12
6
．
14．（2026·福建厦门·一模）汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小
相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的情况共有（
）
A．3 种
B．5 种
C．6 种
D．9 种
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【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意画出树状图即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有9 种等可能性的结果数，其中至少会有一辆右转的结果数有5 种，
故选：B．
15．（2026·福建宁德·二模）暑假期间，小明计划开启闽东二日游．他从福鼎太姥山，屏南白水洋，霞浦滩
涂，福安白云山这四个景点中，随机选取两个景点，其中包含福鼎太姥山的概率是________．
【答案】1
2 /0.5
【分析】先确定所有等可能的选取结果总数，再确定包含福鼎太姥山的结果数，根据概率公式计算即可得
到所求概率．
【详解】解：记福鼎太姥山为A ，屏南白水洋为B ，霞浦滩涂为C ，福安白云山为D ，
随机选取两个景点，所有等可能的结果为：
A,B , A,C , A,D , B,C , B,D , C,D
，共6 种等可能结果．
其中包含福鼎太姥山A 的结果有
A,B , A,C , A,D ，共3 种．
根据概率公式得3
1
6
2
．
16．（2026·福建三明·二模）一个不透明的盒子里有6 个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他
完全一样，小明从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则盒子里的白球有_____个．
实验次
数
50
100
150
200
300
500
1000
摸到红
球的频
率
0.26
0.32
0.34
0.29
0.30
0.31
0.30
【答案】14
【分析】观察表格可知，随着试验次数增加，摸到红球的频率逐渐稳定在0.30 附近，因此估计摸到红球的
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概率为0.3，再利用概率公式列方程求解白球个数．
【详解】解：观察表格可得，随着试验总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在0.30 附近，因此估计摸
出一个球是红球的概率为0.30 ，
设盒子里的白球有x 个，根据题意得
6
0.3
6
x
，解得
14
x
，
经检验
14
x
是原方程的解，
因此盒子里的白球有14个．
17．（2026·福建三明·三模）如图，转盘被分成8 等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域
内的概率是________．
【答案】1
2
【分析】由概率阴影份数总等份份数，先数出总份数与阴影份数，再代入公式计算．
【详解】解：由题意，转盘被平均分成8 个等份扇形，即所有等可能结果共8 种；
观察图形，阴影部分占4 个等份扇形，即指针落在阴影区域有4 种结果，
∴转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率
4
1
8
2
．
18．（2026·福建泉州·模拟预测）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图
如图所示，其中
1
S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 表示电路的开关．所有开关初始均断开，随机闭合其中两个开关，则灯泡
发光的概率是______．
【答案】1
6
【分析】列表得出共有12 种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有2 种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
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1
S
2
S
3
S
4
S
1
S
1
2
S ,S
1
3
S ,S
1
4
,
S S
2
S
2
1
,
S
S
2
3
S ,S
2
4
,
S
S
3
S
3
1
,
S S
3
2
,
S S
3
4
,
S S
4
S
4
1
,
S
S
4
2
,
S
S
4
3
,
S
S
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有2 种，
1
4
,
S S
和
4
1
,
S
S
∴灯泡发光的概率为2
1
12
6
，
19．（2026·福建厦门·三模）一只不透明的袋子中，装有2 个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其它差
别，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为1
3 ，那么袋中球的总数是_________个．
【答案】6
【分析】设袋中球的总数为x ，根据概率公式，摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，据此列方程求解
即可．
【详解】解：设袋中球的总数为x
根据题意得：2
1
3
x
，
解得
6
x
，
经检验，
6
x
是原方程的解,
袋中球的总数是6 个．
20．（2026·福建漳州·模拟预测）如图是一个管道示意图，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能
性相等，若小球恰好从A 入口下落，则小球从②号出口落下的概率是_______．
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【答案】
1
2
【分析】根据题意，小球在每个交叉口有向左或向右两种可能且可能性相等，可以通过列举法列出所有可
能的路径，找出从②号出口落下的路径数，利用概率公式求解．
【详解】解：由图可知，小球从A 入口落下，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．所
有可能的路径共有4 种，分别为：
第一层向左，第二层向左，从①号出口落下；
第一层向左，第二层向右，从②号出口落下；
第一层向右，第二层向左，从②号出口落下；
第一层向右，第二层向右，从③号出口落下．
其中从②号出口落下的情况有2 种．
根据概率公式，小球从②号出口落下的概率
2
1
4
2
P
．
21．（2026·福建漳州·模拟预测）现有四张分别标有数字1，2，3，4 的卡片，其中标有数字1，4 的卡片在
甲手中，标有数字2，3 的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则两张卡片上的数字都是偶数的概率是
________．
【答案】1
4
【分析】先画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式
求解即可．
【详解】解：画树状图如图
由树状图可知，一共有4 种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字都是偶数的结果有1 种．
∴两张卡片上的数字都是偶数的概率是1
4 ．
22．（2026·福建泉州·二模）某班从“均衡饮食”“体育锻炼”“心理健康”三个健康主题中随机选两个开展班会，
则恰好选中“均衡饮食”与“心理健康”的概率为_______．
【答案】1
3
【分析】先列举出从三个主题中随机选两个的所有等可能结果，再找出恰好选中“均衡饮食”与“心理健康”
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的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：记“均衡饮食”为A ，“体育锻炼”为B ，“心理健康”为C 从三个主题中随机选两个，所有等可能
的结果为：AB ，AC ，BC ，共3 种．其中恰好选中“均衡饮食”与“心理健康”的结果有1种，
∴恰好选中“均衡饮食”与“心理健康”的概率为1
3 ．
23．（2026·福建泉州·一模）从一组数据“3，3，5，7”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概
率为______．
【答案】
1
2
【分析】先计算该组数据的平均数，再确定所有等可能结果数与满足条件的结果数，利用概率公式计算即
可．
【详解】解：这组数据的平均数为3
3
5
7
4.5
4
，
∵一共有4 个数，其中小于它们的平均数的数有2 个，
∴任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为2
1
4
2
．
24．（2026·福建泉州·模拟预测）一个不透明袋子里有4 个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从
中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为2
5 ，则袋子中黑球的个数为_____．
【答案】6
【分析】先求出袋子中球的总数，再减去白球的数量即可得出结果．
【详解】解：∵一个不透明袋子里有4 个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，
恰好摸到白球的概率为2
5 ，
∴球的总数为
2
4
10
5
，
∴袋子中黑球的个数为10 4
6
．
25．（2026·福建厦门·一模）不透明袋子中装有2 个黑球和1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋
子中随机摸出1 个球，则摸出白球的概率是________．
【答案】1
3
【分析】本题主要考查简单概率的计算，解题的关键是掌握概率计算公式．直接利用概率公式进行计算即
可．
【详解】解：总球数为2 1
3
，白球数为1，因此摸出白球的概率为1
3 ．
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故答案为：1
3 ．
26．（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务．
提出问题
柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性
批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，
要获得一定数量的利润，该如何定价？
调研项目
调查1：“柑橘完好率”调查
采购的总质量
m（kg ）
50
100
200
400
500
完好柑橘的质
量n（kg ）
44.5
90.1
180.5
360.8
450.5
柑橘完好的频
率n
m
0.89
0.901
0.903
0.902
0.901
调查2 ：①柑橘在生产地的采购价为9 元/kg ；②在市场进行一次性批量
销售时，柑橘的售价x（元/kg ）与采购的总质量m（kg ）之间的关系满
足
100
3000 0
2000
m
x
m
．
(1)可以估计柑橘完好的概率约为（精确到0.1）；
(2)在（1）的条件下，用1800元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得
销售）
(3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少kg 的柑橘？售价应定为
多少元/kg ？
【答案】(1)0.9
(2)3240元
(3)要获得9000元的利润，应采购1000kg 的柑橘，售价应定为20 元/ kg
【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到0.1；
（2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润总售价－成本；
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（3）由
,
m x 之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意0
2000
m
．
【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在0.9 附近，
柑橘完好的概率
0.9
；
（2）解：依题意得1800元采购的柑橘的总质量
1800
9
200
m
（kg ），
∴200
100
3000
x
，即售价
28
x
，
又实际销售柑橘质量为200 0.9
180
（kg ），
∴可获得的利润是180 28 1800
3240
元
（3）
100
3000
m
x
3000 100
m
x
根据题意得0.9
9
9000
mx
m
将
3000 100
m
x
代入上式得：
0.9 3000 100
9 3000 100
9000
x x
x
即
2
40
400
0
x
x
解得
1
2
20
x
x
，
把
20
x
代入
3000 100
m
x
1000
m
∵1000在0
2000
m
范围内
∴符合题意
∴要获得9000元的利润，应采购1000kg 的柑橘，售价应定为20 元/kg ．
27．（2026·福建三明·二模）扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从
花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小
明和小红玩扑克牌游戏，共有5 张牌，现将这5 张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红
各抽一次，小明抽到了“方块2 ”，小红抽到“梅花4 ”．剩下三张牌如图所示．
(1)如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃3 ”的概率；
(2)游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数
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字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果
小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明．
【答案】(1) 1
3
(2)游戏公平，
说明：抽取两张牌时，画树状图如图所示，
∴共有6 种等可能结果，
2,3 、
2,4 、
3,2 、
3,4 、
4,2 、
4,3 ，其中
2,3 为小明赢，
3,4 为小红赢，
∴小明赢的概率为1
6 ，小红赢的概率为1
6 ，
1
1
6
6
Q
，
∴游戏公平．
【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：总共有3 张牌，其中“黑桃3 ”有1张，故小明再随机抽一次，抽到的是“黑桃3 ”的概率为1
3 ；
（2）略
28．（2026·福建漳州·模拟预测）某热播电视剧的主创人员参加电视游戏节目，宣传该剧的同时参加游戏节
目所获得的奖金将用于资助贫困山区学生．游戏节目规则如下：现有四扇关闭的门（外观均相同），其中
一扇门后有该电视剧的海报，另外三扇门后则没有任何物品，每位主创人员选择其中的一扇门，若选中的
门后有该电视剧的海报，则可获得奖金．
(1)求每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率；
(2)为了提高主创人员的游戏参与度，游戏节目组将规则进行了调整，新的规则如下：现有四扇关闭的门，
其中两扇门后面有该电视剧的海报，另外两扇门后面则没有任何物品，每位主创人员可先选择其中的一扇
门，之后关闭这扇门并由主持人移动门的位置（此时主创人员背对门），最后由这名主创人员再重新选择
一扇门打开，若两次选中的门后均有该电视剧的海报，则可获得奖金．请你判断调整规则后获得奖金的概
率有没有提高，若有提高请说明理由，若没有提高，请说明理由并给出一个修改方案使得在调整后的游戏
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规则下获得奖金的概率比原始规则有所提高（新提出的修改方案不用说明理由）．
【答案】(1) 1
4
(2)调整规则后获得奖金的概率没有提高．修改方案示例：若两次选门中至少有一次选中有海报的门则获得
奖金．（其他符合要求的方案均可）
解：调整规则后，共有4 扇门，其中2 扇门后有海报，两次选择相互独立，第一次选门时，选中有海报门
的概率为2
1
4
2
，
主持人移动门位置后，第二次选门时，选中有海报的门的概率仍为2
1
4
2
，
设两扇有海报的门为
1
2
A ,A ，两扇没有有海报的门为
1
2
B ,B ，画树状图如下：
所有等可能的情况为16 种，两次都选中情况共有4 种，两次都选中才能获奖，因此调整规则后的获奖概率
为4
1
16
4
，与原规则获奖概率相等，因此调整规则后获得奖金的概率没有提高．
修改方案：若两次选门中至少有一次选中有海报的门，则可获得奖金．
【分析】（1）根据概率公式进行解答即可；
（2）根据题意设计方案即可．
【详解】（1）解：已知共有4 扇门，只有1 扇门后有海报，选择是等可能的，总共有4 种等可能的选择
结果，其中获奖的结果有1 种，因此每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率为1
4 ．
（2）略
29．（2026·福建泉州·模拟预测）2026 年福建省城市足球联赛（闽超）正在火热开赛，甲、乙两名足球运
动员赛前各进行了10 次专项射门质量测试．裁判组根据射门精准度、进攻威胁度给出6～10 分的评分，两
人各得分次数及平均成绩统计如下表：
射门质量得分
6 分
7 分
8 分
9 分
10 分
平均数
甲球员次数
1
2
4
2
1
8 分
乙球员次数
1
1
2
4
2
a
根据表格信息，解答下列问题：
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(1) a ________，甲射门质量的中位数________，已知甲球员得分的方差为1.2，求乙球员得分的方差；
(2)从甲球员获得9 分、10 分的射门记录中，随机抽取两次成绩，求两次成绩恰好一次9 分、一次10 分的
概率．
【答案】(1)8.5 分；8 分；1.45
(2) 2
3
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的运算法则计算即可；
（2）画出树状图，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：甲射门质量的中位数
8
8
8
2
分，
1
6
7
2 8
4 9
2 10
8.5
10
a
分，
2
2
2
2
2
2
1
6
8.5
(7
8.5)
2 (8
8.5)
4 (9
8.5)
2 (10
8.5)
10
s
乙
1
6.25
2.25
0.5 1
4.5
10
14.5
10
1.45
；
（2）解：画树状图如下：
可知两次成绩恰好一次9 分、一次10 分的概率
4
2
6
3
．
30．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学校科技节的水火箭比赛，每人独立进行一次发
射．已知甲同学水火箭发射成功的概率为1
3 ，乙同学水火箭发射成功的概率为
1
2 ，丙同学水火箭发射成功
的概率为2
3 ，且三人的发射结果互不影响．
(1)现从三人中随机抽取两人接受赛后采访，求恰好抽中甲、乙两位同学的概率．
(2)若发射成功得2 分，发射失败得0 分，求三位同学得分之和的平均值．
【答案】(1) 1
3
(2)三位同学得分之和的平均值为3 分
【分析】（1）利用列表法或树状图法求概率即可；
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（2）根据加权平均数的计算方法分别得出甲、乙、丙的得分，然后求平均数即可．
【详解】（1）解：列表如下：
第
一次第二次
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
三人中随机抽取两人接受赛后采访，每个人抽到的可能性相等，共6 种可能，其中恰好抽中甲、乙两位同
学的可能性有2 种，
2
1
6
3
P
恰好抽中甲、乙两位同学
；
（2）甲的平均得分：
1
2
2
2
0
3
3
3
x
甲
，
乙的平均得分：
1
1
2
0
1
2
2
x
乙
，
丙的平均得分：
2
1
4
2
0
3
3
3
x
丙
，
三位同学得分之和的平均值：
2
4
2
3
4
9
1
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
甲
乙
丙
；
故三位同学得分之和的平均值为3 分．
31．（2026·福建福州·模拟预测）为深入了解福州中学生对本地非物质文化遗产（如福州软木画、寿山石雕、
脱胎漆器等）的知晓情况，某校在“非遗文化进校园”活动中，随机抽取了40 名八年级学生进行问卷调查．问
卷采用李克特五点量表（1分完全不了解，2 分不太了解，3 分一般，4 分比较了解，5分非常了
解），调查结果统计如下：
得分
1
2
3
4
5
人数
3
13
4
9
11
(1)小明同学看了统计表后说：“这组数据的众数是______分，说明大多数同学对非遗的知晓程度不高．”
(2)小红同学认为，仅凭众数得出的结论可能不够全面，于是她计算了这组数据的平均数（经计算，平均数
为3.3分）和中位数．
①这组数据的中位数是______分．
②结合平均数和中位数，请你对小明的结论进行评价．
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(3)学校计划将得分为3 分的学生中随机分成两组进行知识对抗．以提高他们知识分子认知．将这4 名学生分
别记为甲、乙、丙、丁，用树状图或者列表法求甲和乙恰好分为一组的概率．
【答案】(1)2
(2)①3.5；
②小明的结论不够全面，
理由如下：
虽然这组数据的众数是2 分，但是平均数是3.3分，中位数是3.5分，都大于众数，
说明该校八年级学生整体对非遗的知晓程度比较了解，所以不能用众数进行评价；
(3)解：将4 名学生甲、乙、丙、丁随机分成两组，每组2 人，
所有等可能的分组情况有3 种，
分别是：{甲，乙}和{丙，丁}；
{甲，丙}和{乙，丁}；
{甲，丁}和{乙，丙}。
其中甲和乙恰好分为一组的情况有1种，
故所求概率为
1
3
P
.
【分析】（1）根据众数的计算方法求解即可；
（2）根据中位数的计算方法求解，并进行评价即可；
（3）列举出所有可能情况，求概率即可.
【详解】（1）解：由表格数据可知：人数最多的分数是2 ，
∴众数为：2 ；
（2）解：①由表格可知：分数从小到大排序，第20,21个数是3,4，
∴中位数是3
4
3.5
2
；
②略；
（3）略
32．（2026·福建福州·三模）某中学开展“国庆75周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生
观看阅兵盛典的收视情况，将调查结果统计后绘制成如图1和图2 所示的不完整统计图．
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(1)把条形统计图补充完整；
(2)若该学校有学生1200人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？
(3)某班级1名男同学和3 名女同学都完整观看了阅兵盛典，要从这4 人中任选2 人写观后感在班级交流，请
用列表法或画树状图法，求选出的2 人恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】(1)
(2)该校没观看阅兵盛典的学生人数为60 人
(3)
1
2
【分析】（1）根据40
50
80
％
，得到样本容量，根据频数之和等于样本容量，求得频数，再把条形统计
图补充完整即可；
（2）利用样本估计总体的思想求解即可;
（3）利用列表法求概率解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得40
50%
80
，故观看一多半的人数为：80
40
8
4
28
（人）；
略
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（2）解：
4
1200
60
40
28
8
4
（人）
答：该校没观看阅兵盛典的学生人数为60 人．
（3）解：列表如下：
一
二
男
女
女
女
男
（男，女）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）
由表可知一共有12种等可能性的结果，其中恰好是1名男同学和1名女同学的有6 种，
∴恰好是1名男同学和1名女同学的概率是6
1
12
2
.
33．（2026·福建泉州·三模）某中学随机抽取部分七年级学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D
四个等级．请根据两幅统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的学生总数为________名，请补全条形图；
(2)已知该中学共有800 名七年级学生，请你估计七年级学生中体能测试结果为D 等级的人数；
(3)欲从体能为A 等级的2 名男生和1 名女生中随机抽取2 名学生，作为运动员培养对象．用列表法或画树
状图的方法，求抽取的两人恰好是一男一女的概率．
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【答案】(1)50，
(2)估计七年级学生中体能测试结果为D 等级的人数约有64 人
(3) 2
3
【分析】（1）根据A 等级的人数和所占百分比求出抽取的学生总数，再求出C 等级的人数，补全条形统
计图即可；
（2）用七年级学生人数乘以D 等级的学生占比求解即可；
（3）利用树状图法求概率即可．
【详解】（1）解：本次抽取的学生总数为10 20%
50
（名），
∴C 等级的人数为50 10
20
4
16
（名），
故答案为：50，
条形图略；
（2）解：
4
800
64
50
（人）．
答：估计七年级学生中体能测试结果为D 等级的人数约有64 人；
（3）解：画树状图如下：
共有6 种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一男一女的结果有4 种，
∴抽取的两人恰好是一男一女的概率
4
2
6
3
．
34．（2026·福建漳州·模拟预测）为践行总体国家安全观，严守保密纪律，筑牢密码安全防线，学校开展了
国家安全知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A
组(60
70)
x
；B 组(
)
70
80
x
；C 组(
)
80
90
x
；D 组(
)
90
100
x
，并绘制出如图不完整的统计图．
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(1)若该校有2000 名学生，估计这次竞赛成绩在A 组的学生有多少人？
(2)在总结表彰会上，学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发获奖证书，在不知道证书内姓名的情况
下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率．
【答案】(1)200 人
(2) 1
6
【分析】（1）先根据B 组的人数和百分比求出样本容量，再用学校总人数乘以A 组人数在样本中的百分
比，可得结论；
（2）采用树状图法列举所有等可能发生的情况数，找出符合题意的情况数，再根据概率公式求解．
【详解】（1）解：由图可知：B 组有12 人，占抽样人数的20% ，
∴抽样人数为：12
20%
60
人，
∴估计这次竞赛成绩在A 组的学生有：
6
2000
200
60
人．
（2）解：根据题意，画出树状图如下：
由图可知，共有6 种等可能的结果，其中每个同学拿到的证书恰好都是自己的结果有1 种，
∴P（每个同学拿到的证书恰好都是自己的）
1
6
．
35．（2026·福建漳州·模拟预测）某中学“未来城市”科技节设置了五个特色实践项目．
项目A：智能机器人编程；
项目B：3D 打印创意设计；
项目C：无人机航拍实践；
项目D：新能源汽车模型搭建；
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项目E：VR 虚拟现实体验．
主办方将五个项目分别印在五张形状完全相同的不透明卡片的正面，这些卡片背面完全相同．
(1)若某社团随机抽取一张卡片，抽到“项目D：新能源汽车模型搭建”的概率为多少？
(2)九（1）班先抽取一张卡片，记录项目后放回洗匀，再由九（2）班抽取一张．请用画树状图或列表的方
法，求两个班级抽到不同实践项目的概率．
【答案】(1) 1
5
(2) 4
5
【分析】（1）直接根据概率定义，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可求解；
（2）通过列举放回抽取的所有等可能结果，得到两个班级抽到不同项目的结果数，再代入概率公式计算即
可．
【详解】（1）解：由题意可知，随机抽取1 张卡片，共有5 种等可能的结果，抽到“项目D”的结果只有1
种．因此抽到项目D 的概率为1
5 ．
（2）解：根据题意，抽取后放回，列出所有等可能结果如下：
A
B
C
D
E
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
(B，E)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
(C，E)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)
(D，E)
E
(E，A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
(E，E)
由表可知，共有25 种等可能的结果，其中两个班级抽到不同实践项目的结果有20 种．
因此两个班级抽到不同实践项目的概率为20
4
25
5
．
36．（2026·福建厦门·三模）2026 年闽超足球联赛球队集训时采用中国足协通用的职业球员体能考核标准，
以YO
YO
间歇耐力测试为考核项目，模拟反复冲刺、停顿的真实比赛节奏．甲、乙两支球队采用不同集训
方案：甲队采用高强度突击训练，乙队采用匀速渐进训练，为客观对比训练效果，集训前统一进行耐力测
试（简称“前测”），集训结束后进行同标准的耐力测试（简称“后测”）．现对两队各20 名球员的前、后测
耐力等级数据进行分析，结果如表一~表三所示．
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表一：甲、乙两队球员前测耐力等级数据
队伍
平均数
中位数
方差
甲队
12
13
5.1
乙队
13
14
4.8
表二：甲、乙两队球员后测耐力等级数据
队伍
平均数
中位数
方差
甲队
15
15
1.4
乙队
16
1.3
表三：乙队后测耐力等级
耐力等级
13
14
15
16
17
18
人数
1
1
2
11
3
2
(1)在乙队中随机抽取一名球员，求这名球员后测的耐力等级不低于17 的概率；
(2)求乙队球员后测的平均耐力等级；
(3)结合前测、后测的耐力等级数据，判断甲、乙哪支球队集训效果更好，并说明理由．
【答案】(1) 1
4
(2)16
(3)解：乙队集训效果更好，
理由如下：从提升幅度看，甲乙两队平均成绩均提升了3 分，中位数均提升了2 分，提升幅度相当，但集训
后乙队的平均数与中位数均高于甲队，且方差更小，
∴乙队整体水平更高更稳定，
∴乙队集训效果更好．
【分析】（1）根据概率公式，用符合条件的人数除以总人数得到概率；
（2）利用加权平均数公式计算乙队后测的平均耐力等级；
（3）根据平均数、中位数、方差的统计意义，对比两队前后测数据，判断集训效果．
【详解】（1）解：∵乙队共有20 名球员，后测耐力等级不低于17 的球员人数为3 2
5
，
∴所求概率为5
1
20
4
=
．
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（2）解：根据表三数据，计算乙队后测平均耐力等级：
13 1 14 1 15 2
16 11 17 3 18 2
320
16
20
20
x
，
∴乙队球员后测的平均耐力等级为16．
（3）略
37．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题．
由自然数1，2，3，4，… ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无
序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4，… ，n 就是一个顺序排列．显然，
随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数
ia 排在
ja 之
前，但是
i
j
a
a
，此时我们称
,
i
j
a a
为一个反序对．一个排列
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的所有反序对的总个数称为这
个排列的反序数，记为
1
2
3
,
,
,
,
n
N a a a
a
，例如，
4,3,1,2
5
N
．若一个排列的反序数是奇数，则
称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列．
(1)
4,1,3,2
N
______；它是一个_____排列；
(2)在以1，2，3 组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1 且为偶排列的概率；
(3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列
4,1,5,3,2
至少要通过多少次相邻对换才能得到顺
序排列？请简要说明；
(4)证明：在一个有n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发
生改变．
【答案】(1)4，偶
(2) 1
3
(3)至少要经过6 次相邻对换，
理由如下：
4,1,5,3,2
中将5 向右做2 次相邻对换得到
4,1,3,2,5
；
再将4 向右做3 次相邻对换得到
1,3,2,4,5 ；
再将3 向右做1 次相邻对换得到顺序排列
1,2,3,4,5
；
则至少要经过6 次相邻对换；
(4)
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证明：设对换位置的两个数为a，b，则这两个数有相邻和不相邻两种情况：
若这两个数,a b 相邻，即将排列
, , ,
a b
变成新排列
, , ,
b a
，
通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a，b 之外的数无关，
①若a
b
，则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1，奇偶性改变；
②若a
b
，则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1，奇偶性改变；
所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变；
若a，b 不相邻，设中间有k 个数，即将排列
1
2
3
, ,
,
,
,
,
, ,
k
a C C C
C b
，变成新排列
1
2
3
, ,
,
,
,
,
, ,
k
b C C C
C a
，
可以分为以下两步：
①将a 向右进行相邻对换，通过
1
k 次相邻对换得到
1
2
3
,
,
,
,
,
, , ,
k
C C C
C b a
②再将b 向左做相邻对换，通过k 次相邻对换到达a 原来的位置，得到最终的排列
1
2
3
, ,
,
,
,
,
, ,
k
b C C C
C a
，
总共进行了
1
2
1
k
k
k
次相邻对换，
因为2
1
k 为奇数，
所以经过2
1
k 次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变；
综上所述，在一组有n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一
定发生改变．
【分析】（1）根据题意列出所有反序对，即可解答；
（2）先写出1，2，3 可以组成的排列，再结合材料定义解答即可；
（3）根据顺序排列的定义解答即可；
（4）分这两个数,a b 相邻，即
, , ,
a b
，a，b 不相邻，设中间有k 个数，即
1
2
3
, ,
,
,
,
,
, ,
k
a C C C
C b
，
两种情况讨论即可证明结论．
【详解】（1）解：
4,1,3,2
N
中，有
4,1 , 4,3 , 4,2 , 3,2 共4 个反序对，
则
4,1,3,2
4
N
，它是一个偶排列；
（2）解：易知1，2，3 可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为：
①
1,2,3
0
N
，为偶排列；
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②
1,3,2
1
N
，为奇排列；
③
2,1,3
1
N
，为奇排列；
④
2,3,1
2
N
，为偶排列；
⑤
3,1,2
2
N
，为偶排列；
⑥
3,2,1
3
N
，为奇排列；
则排列满足反序数大于1 且为偶排列的概率为
2
1
6
3
P
；
（3）略
（4）略
38．（2026·福建泉州·三模）泉州市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质
量发展情况，从农村和城区各抽取1 所学校进行艺术抽测．每个学校均随机抽测了10 名学生，数据分析如
下．
（一）收集与整理
农村学校10 名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10 名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量
平均数
中位数
众数
方差
农村
84
a
86
c
城区
84
86
b
118.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表格中a，b，c 的值，a ______，b ______，c ______；
（三）迁移与应用
(2)若从本次艺术成绩在95 分以上的4 名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图
的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率．
【答案】(1)85，87，95.2
(2) 1
6
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【分析】（1）根据中位数，众数和方差的定义进行计算即可；
（2）利用列表法或画树状图求出所有等可能的情况，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，农村学校10 名学生的中位数是第5 6
、位数据的平均数，
故
84
86
85
2
a
；
众数
87
b
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(64
84)
(74
84)
(78 84)
(82
84)
(84
84)
(86
84)
(86
84)
(92
84)
(96
84)
(98 84)
9
10
c
；
（2）解：农村95 分以上的记为
1
2
A
A
、
，城区95 分以上的记为
1
2
B
B
、
，
总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2 种，
2
1
12
6
P
．
39．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从
以下两种方案中任选一种：
方案一：购物每满300 元减66 元；
方案二：购物每满300 元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有4 张大小、形状一样的卡片，
4 张卡片分别写着数字1，1，2 ，2 ，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为a ，根据
a 的值享受不同的优惠，如表所示．
a 的值
1
2
4
实际付款
9 折
8 折
7 折
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8 折优惠的概率；
(2)某顾客的购物金额为300元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为
实惠．
【答案】(1) 2
3
(2)选择方案一更为实惠
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【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8 折优惠的结果数，根据概率公式计算概
率即可；
（2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实
惠．
【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下：
第一次第二
次
乘积
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
共有12 种等可能的结果，其中两张卡片数字之积
2
a
（即获得8 折优惠）的结果有8 种．
所以获得8 折优惠的概率为8
2
12
3
．
（2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300 元，实际付款为：300
66
234
（元）
若顾客选择方案二，由（1）可知：
1
1
6
P a
，对应9 折，实际付款300 0.9
270
元
2
2
3
P a
，对应8 折，实际付款300 0.8
240
元
1
4
6
P a
，对应7 折，实际付款300 0.7
210
元
方案二的平均实际付款为：1
2
1
270
240
210
45 160
35
240
6
3
6
（元）
因为234
240
，
所以顾客选择方案一更为实惠．
40．（2026·福建三明·一模）为提升学生的交通安全意识，某校组织了“交通安全知识”竞赛，甲、乙两班各
选派5 名同学组成代表队参赛，竞赛满分为10 分．目前已根据参赛成绩（满分10 分）制作了统计图和统
计表（尚未完成）．
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甲、乙两班代表队成绩统计表
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
8.5
b
乙班
8.5
a
10
1.6
请根据有关信息解决下列问题：
(1)填空：a ______，b ______；
(2)学校预估如果平均分能达8.5分，在市团体比赛中即可以获奖，若以“稳定达到获奖线”为目标，现应选派
______班代表队参加市团体比赛；（填“甲”或“乙”）
(3)现将从成绩满分的3 个学生中随机抽取2 人参加市交通安全知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰
好抽到甲、乙班各一名学生的概率．
【答案】(1)8 ，0.7 ；
(2)甲
(3) 2
3
【分析】（1）根据中位数和方差的定义求解即可；
（2）根据甲、乙两个班级的中位数和“获奖线”即可得到答案；
（3）列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到甲、乙班各一名学生的结果数，最后根据概率公式
求解即可．
【详解】（1）解：甲班5 名学生的竞赛成绩从低到高分别为7.5分，8 分，8.5分，8.5分，10分，
乙班5 名学生的竞赛成绩从低到高分别为7 分，7.5分，8 分，10分，10分，
∴乙班的中位数
8
a
，
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甲班的方差
2
2
2
2
7.5 8.5
8 8.5
2
8.5 8.5
10
8.5
0.7
5
b
；
（2）解：∵甲班的中位数为8.5分，超过一半的人数能够达到“获奖线”，乙班的中位数为8 分，不足一半的
人数能够达到“获奖线”，
∴若以“稳定达到获奖线”为目标，现应选派甲班代表队参加市团体比赛；
（3）解：将甲班成绩满分的1 名学生记为A，乙班成绩满分的2 名学生分别记为B，C，列表如下：
A
B
C
A
,
B A
,
C A
B
,
A B
,
C B
C
,
A C
,
B C
由表格可知，一共有6 种等可能性的结果数，其中恰好抽到甲、乙班各一名学生的结果数有4 种，
∴恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率为4
2
6
3
．
