专题12四边形及应用（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题12 四边形及应用
5 年真题1 年模拟
考点01
多边形与平行四边形
1．D
2．【答案】(1)
证明：∵ܣ∥ܤܥ，
∴סܣܤ〮סܥܤ，
∵סܣ〮סܥ，
∴ͳ㌠㌸ι െסܣܤ൅סܣ〮ͳ㌠㌸ι െסܥܤ൅סܥ，
即סܣܤ〮סܥܤ．
∴ܣܤ∥ܥ．
∴四边形ܣܤܥ是平行四边形．
(2)
如图，
四边形ܤ边ܨ就是所求作的菱形．
3．B
4．
【答案】(1)
如图所示：
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(2)
方法一：四边形ܤܥܰ和为所求作的四边形
方法二：四边形ܤܥܰ
是所求的四边形．
方法三：四边形和ܤܥ边是所求的四边形．
(3)答案不唯一，
方法一（图1），
∵ס和ܤ൅סܤ边〮ͳ㌠㌸ιǡס边ܥ൅סܰ边ܥ〮ͳ㌠㌸ι，
∴点和ǡǡ边ǡܰ
在同一直线上，
∵点ǡ边分别是ܣܤǡܣܥ的中点，
∴边为ᇞܣܤܥ的中位线，
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∴边∥ܤܥ且ܤܥ〮ʹ边．
∵和൅边ܰ
〮边，
∴和ܰ
〮和൅边൅边ܰ
〮ܤܥ且和ܰ
∥ܤܥ，
∴四边形和ܤܥܰ
为平行四边形．
∵ܣܨ٣ 边，ס和〮䁡㌸ι，
∴平行四边形和ܤܥܰ
为矩形．
方法二（图2），
∵ס边ܥ൅ס和边ܥ〮ͳ㌠㌸ιǡס边和ܥ൅סܰ和ܥ〮ͳ㌠㌸ι，
∴点ǡ边ǡ和ǡܰ
在同一直线上．
∵点ǡ边分别是ܣܤǡܣܥ的中点，
∴边为ᇞܣܤܥ的中位线，
∴边∥ܤܥ且ܤܥ〮ʹ边．
∵边ܰ
〮边，
∴ܰ
〮ܤܥ且ܰ
∥ܤܥ，
∴四边形ܤܥܰ
为平行四边形．
方法三（图3），
∵ס和ܰܤ൅סܤܰ〮ͳ㌠㌸ιǡסܰܤ൅סܤ边〮ͳ㌠㌸ι，
∴点和ǡܰǡǡ边在同一直线上．
∵点ǡ边分别是ܣܤǡܣܥ的中点，
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∴边为ᇞܣܤܥ的中位线，
∴边∥ܤܥ且ܤܥ〮ʹ边．
∵和〮边，
∴和边〮ܤܥ且和边∥ܤܥ，
∴四边形和ܤܥ边为平行四边形．
5．C
6．B
7．【详解】（1）解：（1）∵E，F 分别是ܣܥ，ܣܤ的中点，
∴边ܨ∥ܤܥ，
∴סܨ边䁡〮סᦙ䁡，ס边ܨ䁡〮סᦙ䁡，
∵O 是ܨ的中点，
∴ܨ䁡〮䁡，
∴ᇞ边ܨ䁡، ᇞᦙ䁡ሺAASሻ，
∴边ܨ〮ᦙ，
∴四边形边ܨᦙ是平行四边形．
（2）∵ܣ٣ ܤܥ，E 是ܣܥ中点，
∴边〮
ͳ
ʹ ܣܥ〮边ܥ，
∴ס边ܥ〮סܥ，
∴tanܥ〮tanס边ܥ〮
ͷ
ʹ，
∴
ܣ
ܥ〮
ͷ
ʹ，
∵ܣ〮ͷ，
∴ܥ〮ʹ，
∴边〮
ͳ
ʹ ܣܥ〮
ͳ
ʹ
ܣʹ ൅ܥʹ 〮
ͳ
ʹ ൈ
ͷʹ ൅ʹʹ 〮
ʹ䁡
ʹ ．
∵四边形DEFG 为平行四边形，
∴ܨᦙ〮边〮
ʹ䁡
ʹ ．
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考点02
矩形、菱形、正方形
1．C
2．ͳ㐱⸵ /
ͳ
⸵
3．D
4．D
5．D
6．【详解】解：（1）∵Rt ᇞܣܤ边和Rt ᇞܤܥܨ都是等腰直角三角形，
∴ܣ边〮ܤ边，ܤܨ〮ܥܨ，
∵ܣ边൅ܨܥ〮ͳͳcm，
∴ܤ边൅ܤܨ〮ͳͳcm，
即ܤ边൅ܤ边൅边ܨ〮ͳͳcm，
即ʹܤ边൅边ܨ〮ͳͳcm，
∵边ܨ〮⸵cm，
∴ܤ边〮㈮cm，
故答案为：4；
（2）设ܣᦙ〮ݔ，
∵
ᦙ
ᦙᦙ〮
ͷ
㈮，
∴可设ᦙ〮ͷ݇，ᦙᦙ〮㈮݇，
∵四边形边ܨᦙᦙ是正方形，
∴ᦙ边〮边ܨ〮ܨᦙ〮ᦙᦙ〮㈮݇，
∵Rt ᇞܣܤ边和Rt ᇞܤܥܨ都是等腰直角三角形，
∴ܣ边〮ܤ边，ܤܨ〮ܥܨ，סܣܤ边〮סܥܤܨ〮㈮ͷι，
∴ܥᦙ〮ܥܨ൅ᦙܨ〮ܤܨ൅㈮݇
〮ܤ边൅㌠݇
〮ܣᦙ൅ͳʹ݇
〮ݔ൅ͳʹ݇，
סܣܤܥ〮סܣܤ边൅סܥܤܨ〮㈮ͷι ൅㈮ͷι 〮䁡㌸ι，
∵四边形ܣܤܥ对角互补，
∴סܣܥ〮䁡㌸ι，
∴סܣᦙ൅סܥᦙ〮䁡㌸ι，
∵四边形边ܨᦙᦙ是正方形，
∴סܣᦙ〮סܥᦙ〮䁡㌸ι，
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∴סܣᦙ൅סܣᦙ〮䁡㌸ι，
∴סܣᦙ〮סܥᦙ，
∴tanסܣᦙ〮tanסܥᦙ，
∴
ᦙ
ܣᦙ〮
ܥᦙ
ᦙ，即
ͷ݇൅㈮݇
ݔ
〮
ݔ൅ͳʹ݇
ͷ݇
，
整理得：ݔʹ ൅ͳʹ݇ݔെ㈮ͷ݇ʹ 〮㌸，
解得ݔͳ 〮⸵݇，ݔʹ 〮െͳͷ݇（舍去），
∴tanסܣᦙ〮
ᦙ
ܣᦙ〮
䁡݇
⸵〮݇⸵．
故答案为：3．
7．
【详解】解：探究1：四边形ܥ边ᦙͳ是菱形，理由如下：
由图1 可知，ܥ∥边ᦙͳ，边∥ܥᦙͳ，
׵ ܥ边ᦙͳ为平行四边形．
׶桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形ܥ边ᦙͳ每条边上的高相等，
∵
ܥ边ᦙͳ的面积等于边长乘这条边上的高，
׵ ܥ边ᦙͳ每条边相等，
׵ ܥ边ᦙͳ为菱形．
②如图1，过点ܥ作ܥ和٣ ܣܤ于点和．
由题意，得ܥܣ〮ܥܤǡܥ和〮ͳʹ，ܣܤ〮⸵ʹcm．
∴ܣ和〮
ͳ
ʹ ܣܤ〮ͳ͸．
在Rt ᇞܥܣ和中，ܥܣʹ 〮ܣ和ʹ ൅ܥ和ʹ，
∴ܥܣ〮
ͳ͸ʹ ൅ͳʹʹ 〮
㈮㌸㌸〮ʹ㌸．
∴݈〮ܥܣ൅ʹ 〮ʹʹcm．
故答案为：݈〮ʹʹcm．
探究2：①如图2，过点ܥ作ܥܰ
٣ ᦙͳᦙʹ于点ܰ
．
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由题意，得סᦙͳܥᦙʹ 〮ͳʹ㌸ιǡܥᦙͳ 〮ܥᦙʹǡܥܰ
〮⸵，
׵ סܥᦙͳܰ
〮⸵㌸ι．
׵ ܥᦙͳ 〮ʹܥܰ
〮͸ǡᦙͳܰ
〮
ܥܰ
tan⸵㌸ι 〮
⸵
⸵
⸵
〮⸵⸵．
又׶四边形ܥ边ᦙͳ是菱形，
∴边ᦙl 〮ܥᦙͳ 〮͸．
∴݈〮ʹ ʹ ൅͸ ൅⸵⸵〮ͳ͸ ൅͸ ⸵cm．
故答案为：݈〮ͳ͸ ൅͸ ⸵cm．
②如图3，过点ܥ作ܥܰ
٣ ᦙͳᦙʹ于点ܰ
．
由题意，形成的多边形为正݊
边形，
׵外角סܥᦙͳᦙʹ 〮
⸵͸㌸ι݊．
在Rt ᇞܥܰᦙͳ中，ᦙͳܰ
〮
ܥܰ
tanסܥᦙͳᦙʹ 〮
⸵
tan⸵͸㌸ι݊．
又׶ ܥᦙͳ 〮ܥᦙʹǡܥܰ
٣ ᦙͳᦙʹ，
∴ᦙͳᦙʹ 〮ʹᦙͳܰ
〮
͸
tan⸵͸㌸ι݊．
׵形成的多边形的周长为
͸݊
tan⸵͸㌸ι݊cm．
故答案为：
͸݊
tan⸵͸㌸ι݊cm．
8．
⸵⸵
͸ െ⸵⸵
9．
⸵
ʹ /
ͳ
ʹ
⸵
10．C
11．B
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12．【答案】
赞成小洁的说法，补充䁡ܣ〮䁡ܥ
证明：∵OB＝OD，䁡ܣ〮䁡ܥǡ
׵ 四边形ܣܤܥ是平行四边形，
׶ AC⊥BD，
∴四边形ABCD 是菱形．
【分析】先由OB＝OD，䁡ܣ〮䁡ܥǡ证明四边形ܣܤܥ是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可
得结论．
考点03 四边形综合应用
1．C
2．【答案】(1)
证明：∵ܨᦙ٣ 边ܨ，ᦙ边〮ᦙᦙ，
∴ᦙ边〮ᦙܨ〮ᦙᦙ，
∴סᦙܨ边〮ס边．
∵四边形ܣܤܥ是矩形，
∴ܣܤ〮ܥ，סܣܤܥ〮סܥܤ〮䁡㌸ι，
∴ᇞܣܤܨ، ᇞܥ边AAS ，
∴ܤܨ〮ܥ边，
∴ܤܨെܤܥ〮ܥ边െܤܥ，即ܤ边〮ܥܨ．
（2）∵ܥ∥ܨᦙ，
∴ᇞܥ边׽ᇞᦙܨ边，
∴
边ܥ
边ܨ〮
ܥ
ܨᦙ．
∵ܥ〮ܣܤ，
∴
ܥ
ܨᦙ〮
ܣܤ
ܨᦙ〮
ͷ
͸．
设ܤ边〮ܥܨ〮ݔ，∵ܤܥ〮ܣ〮㈮，
∴ܥ边〮ݔ൅㈮，边ܨ〮ʹݔ൅㈮，
∴
ݔ൅㈮
ʹݔ൅㈮〮
ͷ
͸，
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解得ݔ〮ͳ，
∴边ܨ〮͸．
3．
【详解】(1)证明：׶四边形ܣܤܥ为矩形，
׵ ܣ∥ܤܥ，
׵ סᦙ边ܨ〮ס边ܨܤ，
׶四边形ܣܤܨ边与ܣԢܤԢܨ边关于边ܨ所在直线成轴对称，
׵ סܤܨ边〮ס边ܨᦙ，
׵ סᦙ边ܨ〮ס边ܨᦙ，
׵ ᦙ边〮ᦙܨ；
（2）解：如图，过点ᦙ作ᦙᦙ٣ ܤܥ于ᦙ，
设设ᦙ〮ݔ，则ܣ边〮ʹݔ，
׵ 边ᦙ〮㌠െ⸵ݔ〮ᦙܨ，
׶ סᦙᦙܥ〮סܥ〮ס〮䁡㌸ι，
׵四边形ᦙᦙܥ为矩形，
׵ ܥᦙ〮ܥ〮㈮，
׶点䁡为矩形ܣܤܥ的对称中心，
׵ ܣ边〮ܥܨ〮ʹݔ，
׵ ܨᦙ〮ܨܥെܥᦙ〮ݔ，
在Rt ᇞᦙᦙܨ中，ᦙܨʹ 〮ܨᦙʹ ൅ᦙᦙʹ，
可得方程㌠െ⸵ݔʹ 〮ݔʹ ൅㈮ʹ，
解得ݔͳ 〮⸵െ
⸵ǡݔʹ 〮⸵െ
⸵（此时ܣ边൐ܣ，故舍去0），
׵ ܣ边〮ʹݔ〮͸ െʹ ⸵；
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（3）解：①证明：过点䁡作䁡ܳ
٣ ܣ于ܳ
，连接䁡ܣǡ䁡ǡ䁡ᦙ，
׶点䁡为矩形ܣܤܥ的对称中心，
׵ 䁡边〮䁡ܨǡ䁡ܣ〮䁡，䁡ܳ
〮
ͳ
ʹ ܣܤ〮ʹ，
׶ ᦙ边〮ᦙܨ，
׵ ᦙ䁡٣ 边ܨ，
׵ סᦙ䁡ܳ
〮䁡㌸ι െס边䁡ܳ
〮סܳ边䁡，
׶ ס䁡ܳ边〮סᦙܳ䁡〮䁡㌸ι，
׵ᇞᦙ䁡ܳ
׾ᇞ䁡边ܳ，
׵
ᦙܳ
䁡〮ܳ
䁡ܳ
边ܳ，即ᦙܳ
ڄ 边ܳ
〮䁡ܳ
ʹ 〮㈮，
׵ 边ܳ
〮ܣܳ
െܣ边〮㈮െܽ，ᦙܳ
〮ܳ
െᦙ〮㈮െܾ，
׵ ㈮െܽ
㈮െܾ
〮㈮；
②如图，连接ܤԢǡ䁡ᦙǡ䁡ܤ，
由题意可得ܤܨ〮ܤԢܨ,
׶点䁡为矩形ܣܤܥ的对称中心，
׵ ܤܨ〮ܤԢܨ〮边，
同理可得䁡〮䁡ܤ〮䁡ܤԢ，
由（1）知ᦙܨ〮ᦙ边，
׵ ܤԢܨെᦙܨ〮边െᦙ边，
即ܤԢᦙ〮ᦙ，
׶ 䁡ᦙ〮䁡ᦙ，
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׵ᇞ䁡ᦙ، ᇞܤԢ䁡ᦙSSS ，
׵ ס䁡ᦙ〮ס䁡ܤԢᦙ，
׶ ᦙ〮ܤԢᦙǡסᦙ䁡〮סܤԢᦙᦙ，
׵ᇞᦙ䁡، ᇞܤԢᦙᦙASA ，
׵ 䁡〮ܤԢᦙǡᦙ䁡〮ᦙᦙ，
׵ 䁡െ䁡〮䁡ܤԢ െܤԢᦙ，
即䁡䁡〮䁡ᦙ，
׶ 䁡ᦙ〮䁡ᦙ，
׵ᇞ䁡ᦙ䁡، ᇞ䁡ᦙᦙSSS ，
׵ܵ
ᇞ䁡ᦙ䁡〮ܵ
ᇞ䁡ᦙᦙ，
׵ܵ
ͳ 〮ʹܵᇞ䁡ᦙ䁡，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ 〮
ʹܵᇞ䁡ᦙ䁡ܵ
ʹ
，
׶ ס边ᦙܨ〮סᦙܤԢǡᦙ边〮ᦙܨǡᦙ〮ᦙܤԢ，
׵ סᦙ边ܨ〮סᦙܨ边〮סᦙܤԢ 〮סᦙܤԢ，
׵
䁡䁡
䁡〮
䁡ܨ
ܤԢ，
׶ܵ
ᇞ䁡ᦙ䁡ܵ
ʹ
〮
䁡䁡
ܤԢ，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ 〮
ʹ䁡䁡
䁡〮
ʹ䁡ܨ
ܤԢ〮
边ܨ
ܤԢ，
׶ᇞ边ᦙܨ׾ᇞᦙܤԢ，
׵
边ܨ
ܤԢ〮
ᦙ边
ᦙ，
当ܽ
〮ͳ 时，由①可得㈮െͳ
㈮െܾ
〮㈮，
解得ܾ
〮
㌠
⸵，
׵ ܣ边〮ͳǡᦙ〮
㌠
⸵，
׵ ᦙ边〮ܣെܣ边െᦙ〮
ͳ⸵
⸵，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ 〮
边ܨ
ܤԢ〮
ᦙ边
ᦙ〮
ͳ⸵
㌠．
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4．【答案】(1)
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝
ͳ
ʹ∠ABC，
∵ܤᦙ平分סܥܤ边交边于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝
ͳ
ʹ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝
ͳ
ʹ（∠ABC＋∠CBE）＝
ͳ
ʹ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC 交BD 于点O，
∵四边形ABCD 是菱形，BD＝6，
∴OD＝
ͳ
ʹBD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC 中，OC＝ܥʹ െ䁡ʹ〮ͷʹ െ⸵ʹ 〮㈮，
∴AC＝2OC＝8，
∴ܵ菱形ܣܤܥ〮
ͳ
ʹ ܣܥൈܤ〮
ͳ
ʹ ൈ㌠ൈ͸ 〮ʹ㈮，
即菱形ܣܤܥ的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE 于点O、H，
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∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG∥AC，
∴
ᦙ
ᦙ〮
䁡
ܤ〮
ͳ
ʹ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴
ᦙ
边ᦙ〮
ͳ
ʹ，
∵AB∥CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴
ܥᦙ
ܣᦙ〮
ᦙ
边ᦙ〮
ͳ
ʹ，
∴CH＝
ͳ
⸵AC＝
㌠
⸵，
∴OH＝OC－CH＝4－
㌠
⸵＝
㈮
⸵，
∴tan∠BDE＝
䁡ᦙ
䁡〮
㈮
䁡；
（3）如图3，过点G 作GT∥BC 交AE 于点T，此时ET＝
ͳ㌸
⸵．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB 的大小发生变化时，始终有BG∥AC，
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∴△BGE∽△AHE，
∴
边ᦙ
ᦙᦙ〮
ܤ边
ܣܤ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴
ᦙ
ᦙᦙ〮
䁡
ܤ䁡，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT∥BC，
∴GT∥AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴
ᦙܶ
ܣ〮
边ᦙ
边〮
边ܶ
边ܣ〮
ͳ
⸵，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝
ͷ
⸵，为定值，
此时ET＝
ͳ
⸵AE＝
ͳ
⸵（AB＋BE）＝
ͳ㌸
⸵．
1．C
2．A
3．D
4．ͷ െʹ ͷ/െʹ ͷ ൅ͷ
5．
ͳ⸵
㈮
6．【答案】(1)
证明：如图，连接ᦙ，
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根据题意可知，边〮ܨ〮ᦙ，
∵四边形ܣܤܥ是正方形，
∴ܣܤ〮ܤܥ〮ܥ〮ܣ，סܣ〮סܣܤܥ〮סܥ〮䁡㌸ι，
在Rt ᇞܣ边和Rt ᇞܥᦙ中，
边〮ᦙ
ܣ〮ܥ，
∴Rt ᇞܣ边،Rt ᇞܥᦙHL ，
∴ܣ边〮ܥᦙ，
∴ܤ边〮ܤᦙ，
∴ᇞ边ܤᦙ为等腰直角三角形；
（2）解：∵四边形ܣܤܥ是正方形，
∴ܣ〮ܣܤ〮ʹ，
∵点边为ܣܤ的中点，
∴ܣ边〮
ͳ
ʹ ܣܤ〮ͳ，
在Rt ᇞܣ边中，边〮
ܣ边ʹ ൅ܣʹ 〮
ͳʹ ൅ʹʹ 〮
ͷ，
∴边〮ܨ〮
ͷ，
在Rt ᇞܣܤ中，ܤ〮
ܣܤʹ ൅ܣʹ 〮
ʹʹ ൅ʹʹ 〮ʹ ʹ，
∴ܤܨ〮ܤെܨ〮ʹ ʹ െ
ͷ，
∴
ܤܨ
ܨ〮
ʹ ʹെͷ
ͷ
〮
ʹ ͳ㌸െͷ
ͷ
．
7．【详解】（1）׶四边形ܣܤܥ是
ܣܤܥ，
׵ ܣ䁡〮ܥ䁡，ܣܤ〮ܥ，ܣܤ∥ܥ，
׶点边是边ܣܤ的中点，
׵ ܣ边〮
ͳ
ʹ ܣܤ，
׶ ܣܤ∥ܥ，
׵ סܤܣ䁡〮סܥ䁡，
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在ᇞܣ边䁡和ᇞܥܨ䁡中，
סܤܣ䁡〮סܥ䁡
ܣ䁡〮ܥ䁡
סܣ䁡边〮סܥ䁡ܨ
，׵ᇞܣ边䁡، ᇞܥܨ䁡ASA ，
׵ ܣ边〮ܥܨ，
׶ ܣ边〮
ͳ
ʹ ܣܤ，ܣܤ〮ܥ，
׵ ܥܨ〮
ͳ
ʹ ܥ．
∴点ܨ是ܥ的中点．
（2）连接对角线ܣܥ，ܤ，交于点䁡，连接ܥ边，交ܤ䁡于点H，连接并延长ܣᦙ交ܤܥ于点G．
׶四边形ܣܤܥ是
ܣܤܥ，
׵ ܣ䁡〮ܥ䁡，即ܤ䁡是ᇞܣܤܥ的中线，
׶点边是边ܣܤ的中点，
∴ܥ边也是ᇞܣܤܥ的中线，
ܥ边、ܤ䁡的交点H 是ᇞܣܤܥ的重心，
∴ܣᦙ也是ᇞܣܤܥ的中线，
即点ᦙ是边ܤܥ的中点．
8．【详解】（1）解：∵以ܣܥ为直径作圆交ܤܥ于点ᦙ，
∴ܣᦙ٣ ܤܥ．
∵ܣܤ〮㈮㌸cm，sinסܣܤܥ〮sinͷ⸵ι 〮
ܣᦙ
ܣܤൎ㌸㌠，
∴ܣᦙൎ⸵ʹcm．
∵ܤܥ〮͸㌸cm，
∴
ܣܤܥ的面积ൎ͸㌸ൈ⸵ʹ 〮ͳ䁡ʹ㌸cmʹ．
（2）证明：连接䁡ᦙǡᦙᦙǡܥᦙ，则䁡ᦙ〮䁡ܥ，
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∵ܣᦙ平分סᦙܣܥ，
∴סᦙܣᦙ〮סܥܣᦙ，
∴סᦙ䁡ᦙ〮סܥ䁡ᦙ，
∴ᦙᦙ〮ܥᦙ，
∴䁡ᦙ٣ ܥᦙ，即边ܨ٣ ܤܥ．
∵四边形ܣܤܥ是平行四边形，
∴ܣܤ〮ܥ，ܣ〮ܤܥ，ܣ∥ܤܥ，䁡ܣ〮䁡ܥ，
∴סܣܥ〮סܤܥܣ，
∵סܣ䁡边〮סܥ䁡ܨ，
∴ᇞܣ䁡边، ᇞܥ䁡ܨSAS ，
∴ܣ边〮ܥܨ，
∴边〮ܤܨ，
∴ܣ边൅ܣܤ൅ܤܨ൅边ܨ〮ܥܨ൅ܥ൅边൅边ܨ．
∴边ܨ٣ ܤܥ且将
ܣܤܥ分成周长相等的两部分．
9．【答案】(1)
证明：∵ᦙܣ٣ ܣᦙ，ᦙܲ
٣ ᦙ，סܣᦙ〮䁡㌸ι
∴סܣᦙܲ
〮סᦙܣᦙ〮סᦙܲᦙ〮䁡㌸ι
∴四边形ܣᦙܲᦙ是矩形．
∵四边形ܣܤ边ܨ是正方形，
∴ܣܤ〮ܣܨ，סܤܣܨ〮סܤ〮〮סܣܨᦙ〮䁡㌸ι，
∵סܤܣܨ〮סᦙܣᦙ〮䁡㌸ι，
∴סܤܣᦙ൅סᦙܣܨ〮סᦙܣܨ൅סܨܣᦙ〮䁡㌸ι
∴סܤܣᦙ〮סܣᦙ．
在ᇞܣܤᦙ和ᇞܣܨᦙ中
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סܤ〮סܣܨᦙ
סܤܣᦙ〮סܨܣᦙ
ܣܤ〮ܣܨ
∴ᇞܣܤᦙ، ᇞܣܨᦙASA ，
∴ܣᦙ〮ܣᦙ，
∴四边形ܣᦙܲᦙ是正方形．
（2）解：设边ܥ〮ݔ，
׶ 四边形ܣܤ边ܨ是正方形，四边形ܣܤܥ是矩形，
׵ 边ܨ∥ܥ，即ܨ∥ᦙ边．
׵ סܨܳ
〮ס边ᦙܳ．
׶ܳ
为ᦙ中点，
׵ ܳ
〮ᦙܳ．
在ᇞܨܳ
和ᇞ边ᦙܳ
中：
סܨܳ
〮ס边ᦙܳ
סܨܳ〮ס边ܳᦙ
ܳ
〮ᦙܳ
׵ᇞܨܳ، ᇞ边ᦙܳሺAASሻ．
׵ ܨ〮ᦙ边〮ݔ．
׶ סܣᦙ〮䁡㌸ι，ܨᦙ٣ ܣ，
׵ סܣܨᦙ〮סܣᦙ〮䁡㌸ι．
׶ סܣᦙܨ൅סܨܣᦙ〮䁡㌸ι，סܣᦙ൅סܨܣᦙ〮䁡㌸ι，
׵ סܣᦙܨ〮סܣᦙ，
׵ᇞܣܨᦙ׾ᇞܣᦙ，
׵
ܣܨ
ܣᦙ〮
ܣᦙ
ܣ，
׵ ܣᦙʹ 〮ܣܨڄ ܣ．
׶ ܣܤ〮ͳ，四边形ܣܤ边ܨ为正方形，
׵ ܣܨ〮ͳ，ܣ〮ͳ ൅ݔ，
׵ ܣᦙʹ 〮ͳ ൅ݔ．
由（1）可知ܣᦙ〮ܣᦙ，
׵ ܣᦙʹ 〮ܣᦙʹ．
在Rt ᇞܣܤᦙ中，
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ܣᦙʹ 〮ܣܤʹ ൅ܤᦙʹ 〮ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ．
׵ ͳ ൅ݔ〮ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ，
整理得：ݔʹ െ⸵ݔ൅ͳ 〮㌸，
解得ݔͳ 〮
⸵൅ͷ
ʹ （舍去），ݔʹ 〮
⸵െͷ
ʹ ．
׵ ܤܥ〮ܣ〮ͳ ൅ݔ〮ͳ ൅
⸵െͷ
ʹ
〮
ͷെͷ
ʹ ．
10．【详解】（1）证明：׶ᇞܣܤܥ، ᇞ边ܨ，
׵ ܣܤ〮边，סܤܣܥ〮ס边ܨ，
在ᇞܣܤ和ᇞ边ܣ中，
ܣܤ〮边
סܤܣܥ〮ס边ܨ
ܣ〮ܣ
，
׵ᇞܣܤ، ᇞ边ܣ，
׵ ܤ〮ܣ边，
׵四边形ܣܤ边是平行四边形；
（2）①解：如下图所示，连接ܤ边交ܨܥ于点䁡，
׶ ܣܤ〮㌠，ܣܥ〮ͳ㌸，
׵ ܤܥ〮
ܣܥʹ െܣܤʹ 〮
ͳ㌸ʹ െ㌠ʹ 〮͸，
׶四边形ܣܤ边是菱形，
׵ ܣܤ〮ܤ〮边〮ܣ边〮㌠，ܤ边和ܣ互相垂直平分，
在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܤܥ〮䁡㌸ι，ܤܥ〮͸，ܣܤ〮㌠，
׵ tanסܤܣܥ〮
ܤ䁡
ܣ䁡〮
ܤܥ
ܣܤ〮
͸
㌠〮
⸵
㈮，
设ܤ䁡〮⸵ݔ，则ܣ䁡〮㈮ݔ，
׵ ܣܤ〮
ܤ䁡ʹ ൅ܣ䁡ʹ 〮
⸵ݔʹ ൅㈮ݔʹ 〮ͷݔ〮㌠，
׵ ݔ〮
㌠
ͷ，
׵ ܤ䁡〮⸵ݔ〮
ʹ㈮
ͷ ，ܣ䁡〮㈮ݔ〮
⸵ʹ
ͷ ，
׵ ܣ〮ʹܣ䁡〮
͸㈮
ͷ ，
׵ ܣܨ〮ܣെܨ〮
͸㈮
ͷ െͳ㌸〮
ͳ㈮
ͷ ；
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②解：如下图所示，延长ܤܥ交边于点ᦙ，
׶ᇞܣܤܥ، ᇞ边ܨ，
׵ סܣܥܤ〮סܨ边，
׵ ܤܥ∥边ܨ，
׶ ס边ܨ〮䁡㌸ι，
׵ סᦙܤ〮ס边ܨ〮䁡㌸ι，
׵ סܤᦙ边〮䁡㌸ι，
׵ ס边ܤᦙ൅סܤܥ䁡〮䁡㌸ι，סܥᦙ൅סܥᦙ〮䁡㌸ι，
׶ סܤܥ䁡〮סܥᦙ，
׵ ס边ܤᦙ〮סܥᦙ，
在ᇞ边ܤᦙ和ᇞܥᦙ中，
סܤᦙ边〮סᦙܥ〮䁡㌸ι
ס边ܤᦙ〮סܥᦙ
ܤ边〮ܥ
，
׵ᇞ边ܤᦙ، ᇞܥᦙ，
׵ ܤᦙ〮ᦙ，
׵ᇞܤᦙ是等腰直角三角形，
׵ סܤᦙ〮סܤᦙ〮㈮ͷι，
׶四边形ܣܤ边是菱形，
׵ ܣܤ∥边，סܣ边〮
ͳ
ʹ סܤᦙ〮ʹʹͷι，
׵ סܤܣܥ〮סܣ边〮ʹʹͷι．
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11．【答案】(1)证明：∵ܨ٣ ܣǡܨ边٣ ܣ边，סܣ〮䁡㌸ι，
∴ס〮ס边〮סܣ〮䁡㌸ι
∴四边形ܣܨ边是矩形，
∴סܨ〮䁡㌸ι，ܣ边∥ܨ
∵ܣܤ〮ܣܥ〮㈮，ܨᦙ〮ܨᦙ〮㈮，סܨ〮סܣ〮䁡㌸ι
∴ᇞܣܤܥǡ ᇞܨᦙᦙ是等腰直角三角形，
∴סܣܥܤ〮סܨᦙᦙ〮㈮ͷι，ܣܥ〮ᦙܨ〮㈮
∵和ǡܰ
分别为ܣǡܨ关于ܥܤǡᦙᦙ的对称点，
∴和ܥ〮ᦙܰ
〮㈮，ס和ܥܤ〮סܣܥܤ〮㈮ͷιǡסܰᦙᦙ〮סܨᦙᦙ〮㈮ͷι
∴סܣܥ和〮סܨᦙܰ
〮䁡㌸ι
∴和ܥ٣ ܣ边ǡᦙܰ
٣ ܨ
∵ܣ边∥ܨ，
∴ᦙܰ
٣ ܣ边
∴和ܥ∥ᦙܰ
∴四边形ܥ和ᦙܰ
是平行四边形
（2）解：四边形ܥ和ᦙܰ
能成为轴对称图形，
∵四边形ܥ和ᦙܰ
是平行四边形
∴当四边形ܥ和ᦙܰ
是轴对称图形时，四边形ܥ和ᦙܰ
为矩形或菱形，
如图所示，延长ܥ和交ܨ于点䁡，
∵和ᦙ是Rt ᇞ和䁡ᦙ的斜边，ܥ和൏ܣ，则סᦙ和ܥ്
䁡㌸ι
∴四边形ܥ和ᦙܰ
为轴对称图形时，四边形ܥ和ᦙܰ
为菱形，
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∴和ᦙ〮ܥ和〮㈮，
∵ס䁡ܥ边〮ס边〮סܨ〮䁡㌸ι，
∴四边形ܥ䁡边ܨ是矩形，同理可得四边形ܣܥ䁡是矩形，
∴䁡ܨ〮ܥ边ǡܥ䁡〮ܣ，
设ܥ边〮〮，则ܨ䁡〮ܥ边〮〮，䁡ᦙ〮䁡ܨെᦙܨ〮〮െ㈮，
和䁡〮䁡ܥെ和ܥ〮ܣെܣܤ〮ܤ〮ʹ
在Rt ᇞ和䁡ᦙ中，和ܥʹ 〮䁡和ʹ ൅䁡ᦙʹ
∴㈮ʹ 〮ʹʹ ൅〮െ㈮ʹ
∴〮െ㈮ʹ 〮ͳʹ
∴〮െ㈮〮േʹ ⸵
解得：〮〮㈮൅ʹ ⸵或㈮െʹ ⸵
即ܥ边〮㈮൅ʹ ⸵或㈮െʹ ⸵
12．【答案】(1)①∵四边形ܣܤܥ是菱形，
∴ܣܤ〮ܤܥ〮ܥ〮ܣ，ܣܤ∥ܥ，סܣܤܥ〮סܣܥ，
∵ܣ边٣ ܤܥ，
∴סܣ边ܤ〮䁡㌸ι，
∴ס边ܣ〮סܣ边ܤ〮䁡㌸ι，סܣܤ边൅סܤܣ边〮䁡㌸ι，
∴ס边ܣܨ൅סܨܣ〮䁡㌸ι，
∵ס边ܣܨ〮סܣܤܥ，
∴סܤܣ边〮סܨܣ，
在ᇞܣܤ边和ᇞܣܨ中，
סܤܣ边〮סܨܣ
ܣܤ〮ܣ
סܣܤ边〮סܣܨ
，
∴ᇞܣܤ边، ᇞܣܨASA ，
׵ ܣ边〮ܣܨ．
②如图，设ܣܥ与ܤ，边ܨ分别交于点䁡和点ᦙ，
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由①可知，ᇞܣܤ边، ᇞܣܨASA ，
∴ܤ边〮ܨ，
∴ܤܥെܤ边〮ܥെܨ，即ܥ边〮ܥܨ，
由①可知，ܣ边〮ܣܨ，
∴ܣܥ垂直平分边ܨ，
∵四边形ܣܤܥ是菱形，
∴ܣܥ٣ ܤ，
∴边ܨ∥ܤ，
∴ᇞܥ边ܨ׾ᇞܥܤ，
∴
ܥᦙ
ܥ䁡〮
边ܨ
ܤ〮
ʹ
ͷ，
设ܥᦙ〮ʹݔ，则䁡ܥ〮ͷݔ，
∴䁡ᦙ〮䁡ܥെܥᦙ〮ͷݔെʹݔ〮⸵ݔ，
∵四边形ܣܤܥ是菱形，
∴䁡ܣ〮䁡ܥ〮ͷݔ，
∴ܣᦙ〮䁡ܣ൅䁡ᦙ〮ͷݔ൅⸵ݔ〮㌠ݔ，ܣܥ〮ʹ䁡ܥ〮ͳ㌸ݔ，
∴
ܣᦙ
ܣܥ〮
㌠ݔ
ͳ㌸ݔ〮
㈮
ͷ，
∴ܵ
ᇞܣ边ܨܵ
菱形ܣܤܥ
〮
ͳ
ʹڄ边ܨڄܣᦙ
ͳ
ʹڄܣܥڄܤ〮
边ܨ
ܤڄ
ܣᦙ
ܣܥ〮
ʹ
ͷ ൈ
㈮
ͷ 〮
㌠
ʹͷ．
（2）解：∵四边形ܣܤܥ是菱形，
∴סܤܣܥ〮סܥܣ〮
ͳ
ʹ סܤܣ，ܣܤ∥ܥ，ܣ∥ܤܥ，
∴סܤܣܰ
〮סܣܰܥ，סܣ和〮סܣ和ܥ，
∵ס边ܣܨ〮
ͳ
ʹ סܤܣ，
∴ס边ܣܨ〮סܤܣܥ〮סܥܣ，
∴ס边ܣܨെסܰܣܥ〮סܤܣܥെסܰܣܥ，ס边ܣܨെסܥܣ和〮סܥܣെסܥܣ和，
∴סܤܣܰ
〮סܥܣ和，סܰܣܥ〮סܣ和，
∴סܥܣ和〮סܣܰܥ，סܰܣܥ〮סܣ和ܥ，
∴ᇞܣܥ和׾ᇞܰ
ܥܣ，
设边ܥ〮ݔ，则ܤ边〮͸ െݔ，
①如图ͳ，当ܣܰ
〮ܣ和时，ᇞܣܥ和، ᇞܰ
ܥܣ，
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∴ܣܥ〮ܰ
ܥ，
∴סܣܰܥ〮סܰܣܥ，
∴סܤܣܰ
〮סܰܣܥ，即ܣ边平分סܤܣܥ，
过点边作边ܲ
٣ ܣܤ于点ܲ
，作边ܳ
٣ ܣܥ于点ܳ
，
∴边ܲ
〮边ܳ，
∴ܵᇞܣܤ边ܵ
ᇞܣܥ边〮
ͳ
ʹܣܤڄ边ܲ
ͳ
ʹܣܥڄ边〮ܳ
ܣܤ
ܣܥ，
过点ܣ作ܣᦙ٣ ܤܥ于点ᦙ，
∵ܵᇞܣܤ边ܵ
ᇞܣܥ边〮
ͳ
ʹܤ边ڄܣᦙ
ͳ
ʹ边ܥڄܣᦙ〮
ܤ边
ܥ边，
∴
ܣܤ
ܣܥ〮
ܤ边
边ܥ，即
͸
⸵〮
͸െݔ
ݔ，
解得ݔ〮ʹ，即边ܥ〮ʹ；
②如图ʹ，当ܣܰ
〮和ܰ
时，סܰ和ܣ〮סܰܣ和，
∵ܣܤ〮ܤܥ，
∴סܤܣܥ〮סܤܥܣ，
∵סܤܣܥ〮סܰܣ和，
∴סܤܥܣ〮סܰ和ܣ，
∴ᇞܣܤܥ׾ᇞܣܰ和，
∴
ܣ和
ܣܰ
〮
ܣܥ
ܣܤ，
∵ᇞܣܥ和׾ᇞܰ
ܥܣ，
∴
ܣ和ܰ
ܣ〮
ܣܥܰ
ܥ，
∴ܥܰ
〮ܣܤ，
在ᇞܣܤ边和ᇞܰ
ܥ边中，
סͳ 〮ס边ܰܥ
סܣ边ܤ〮סܰ边ܥ
ܣܤ〮ܰ
ܥ
，
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∴ᇞܣܤ边، ᇞܰ
ܥ边AAS ，
∴ܤ边〮边ܥ，
∴͸ െݔ〮ݔ，
解得ݔ〮⸵，即边ܥ〮⸵；
③如图⸵，当ܣ和〮和ܰ
时，ס和ܰܣ〮סܰܣ和，
同理可得סܤܣܥ〮סܤܥܣ〮ס和ܰܣ〮סܰܣ和，
∴ᇞܣ和ܰ
׾ᇞܣܤܥ，
∴
ܣ和
ܣܰ
〮
ܣܤ
ܣܥ，
∵ᇞܣܥ和׾ᇞܰ
ܥܣ，
∴
ܣ和ܰ
ܣ〮
ܣܥܰ
ܥ，
∴
ܣܥܰ
ܥ〮
ܣܤ
ܣܥ，即
⸵ܰ
ܥ〮
͸
⸵，
∴ܥܰ
〮
⸵
ʹ，
∵סͳ 〮ס边ܰܥ，סܣ边ܤ〮סܰ边ܥ，
∵ᇞܣܤ边׾ᇞܰ
ܥ边，
∴
ܣܤ
ܥܰ
〮
ܤ边
边ܥ，即
͸
ͳͷ 〮
͸െݔ
ݔ，
解得ݔ〮
͸
ͷ，即边ܥ〮
͸
ͷ；
综上所述，边ܥ的长度为ʹ 或⸵或
͸
ͷ．
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13．【详解】（1）解：如图，
∵四边形ܣܤܥ是矩形，
∴סܣܤܥ〮䁡㌸ι，
在Rt ᇞܣܤܥ中，ܣܥ〮
ܣܤʹ ൅ܤܥʹ 〮
㈮ʹ ൅⸵ʹ 〮ͷ，
由折叠的性质可得，ܤԢܥ〮ܤܥ〮⸵，ܤ边〮ܤԢ边，ס边ܤԢܥ〮סܣܤܥ〮䁡㌸ι，
∴סܣܤԢ边〮ͳ㌠㌸ι െס边ܤԢܥ〮䁡㌸ι 〮סܣܤܥ，ܣܤԢ 〮ܣܥെܤԢܥ〮ʹ，
∵סܤԢܣ边〮סܤܣܥ，
∴ᇞܣܤԢ边׾ᇞܣܤܥ，
∴
ܤԢ边
ܤܥ〮
ܣܤԢ
ܣܤ，即
ܤԢ边
⸵〮
ʹ
㈮，
∴ܤԢ边〮
⸵
ʹ，
∵ܤ边〮ܤԢ边，
∴ܤ边〮
⸵
ʹ；
（2）解：①当ܣ〮ܣܤԢ时，如图，过点ܤԢ作ܥ的垂线，交ܥ于点ܨ，交ܣܤ于点ᦙ，设ܣᦙ〮ܽ
，ܤԢᦙܾ〮
，
∵四边形ܣܤܥ是矩形，
∴ܣ〮ܤܥ〮⸵，סܤܣ〮סܣܥ〮䁡㌸ι，
∴ܣܤԢ 〮ܣ〮⸵，
∵ܤԢܨ٣ ܥ，
∴四边形ܣܨᦙ是矩形，
∴ܨ〮ܣᦙ〮ܽ
，ܨᦙ〮ܣ〮⸵，סܨᦙܣ〮䁡㌸ι，
∴ܤԢܨ〮ܨᦙെܤԢᦙ〮⸵െܾ，ܥܨ〮ܥെܨ〮㈮െܽ，סܨᦙܤ〮ͳ㌠㌸ι െסܨᦙܣ〮䁡㌸ι，
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在Rt ᇞܣᦙܤ̵ 中，ܣᦙʹ ൅ܤԢᦙʹ 〮ܣܤԢʹ，
∴ܽʹ ൅ܾ
ʹ 〮䁡①，
由折叠的性质可得，ܤԢܥ〮ܤܥ〮⸵，ܤ边〮ܤԢ边，
在Rt ᇞܤ̵ ܥܨ中，ܥܨʹ ൅ܤԢܨʹ 〮ܤԢܥʹ，
∴㈮െܽ
ʹ ൅⸵െܾ
ʹ 〮䁡②，
联立①与②，得，ܽ
ʹ ൅ܾ
ʹ 〮䁡
㈮െܽ
ʹ ൅⸵െܾ
ʹ 〮䁡，
解得ܽ
〮
ʹ㌸െ⸵ͳͳ
ͳ㌸ܾ
〮
ͳͷ൅㈮ͳͳ
ͳ㌸
或ܽ
〮
ʹ㌸൅⸵ͳͳ
ͳ㌸ܾ
〮
ͳͷെ㈮ͳͳ
ͳ㌸
，
在Rt ᇞܤ̵ 边ᦙ中，边ᦙ〮ܣܤെܣᦙെܤ边〮㈮െܽ
െܤ边，ܤ边〮ܤԢ边，
∵边ᦙʹ ൅ܤԢᦙʹ 〮ܤԢ边ʹ，
∴㈮െܽ
െܤ边ʹ ൅ܾ
ʹ 〮ܤ边ʹ，
化简，得ܤ边〮ܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ͸െ㌠ܽ
㌠െʹܽ
，
∵ܽʹ ൅ܾ
ʹ 〮䁡，
∴ܤ边〮
ʹͷെ㌠ܽ
㌠െʹܽ
〮㈮െ
͹
㌠െʹܽ，
当ܽ
〮
ʹ㌸െ⸵ͳͳ
ͳ㌸
时，ܤ边〮
͹ʹ൅ͳͷ ͳͳ
㈮⸵
，
当ܽ
〮
ʹ㌸൅⸵ͳͳ
ͳ㌸
时，ܤ边〮
͹ʹെͳͷ ͳͳ
㈮⸵
；
②当ܣ〮ܤԢ时，如图，过点ܤԢ作ܥ的垂线，交ܥ于点ܨ，交ܣܤ于点ᦙ，设ܣᦙ〮ܽ
，ܤԢᦙܾ〮
，
∵ܣ〮ܤԢ〮⸵，ܤԢܥ〮ܤܥ〮⸵，
∴ܤԢ〮ܤԢܥ，
∵ܤԢܨ٣ ܥ，
∴ܨ〮ܥܨ〮
ͳ
ʹ ܥ〮ʹ，
在Rt ᇞܤ̵ ܨ中，ܤԢܨ〮
ܤԢʹ െܨʹ 〮
⸵ʹ െʹʹ 〮
ͷ，
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∵四边形ܣܨᦙ是矩形，
∴ܣᦙ〮ܨ〮ʹ 〮ܽ
，ܨᦙ〮ܣ〮⸵，
∴ܤԢᦙ〮ܨᦙെܤԢܨ〮⸵െ
ͷ ܾ〮
，
由①可知，ܤ边〮ܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ͸െ㌠ܽ
㌠െʹܽ
，
∴ܤ边〮
䁡െ⸵ͷ
ʹ
；
③当ܣܤԢ 〮ܤԢ时，如图，过点ܤԢ作ܥ的垂线，交ܥ于点ܨ，交ܣܤ于点ᦙ，设ܣᦙ〮ܽ
，ܤԢᦙܾ〮
，
∵四边形ܣܨᦙ是矩形，
∴סܨᦙܣ〮סܨᦙ〮䁡㌸ι，ܣᦙ〮ܨ〮ܽ
，ܨᦙ〮ܣ〮⸵，
在Rt ᇞܣܤ̵ ᦙ和Rt ᇞܤ̵ ܨ中，
ܣᦙ〮ܨ
ܣܤԢ 〮ܤԢ，
∴Rt ᇞܣܤ̵ ᦙ،Rt ᇞܤ̵ ܨHL ，
∴ܤԢᦙ〮ܤԢܨ〮
ͳ
ʹ ܨᦙ〮
⸵
ʹ ܾ〮
，
由折叠的性质可得，ܤԢܥ〮ܤܥ〮⸵，ܤ边〮ܤԢ边，
在Rt ᇞܤ̵ ܥܨ中，ܥܨ〮
ܤԢܥʹ െܤԢܨʹ 〮
⸵ʹ െ
⸵
ʹ
ʹ
〮
⸵⸵
ʹ ，
∴ܣᦙ〮ܨ〮ܥെܥܨ〮㈮െ
⸵⸵
ʹ 〮ܽ
，
由①可知，ܤ边〮ܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ͸െ㌠ܽ
㌠െʹܽ
，
∴ܤ边〮
⸵；
综上所述，符合条件的ܤ边的长为
͹ʹ൅ͳͷ ͳͳ
㈮⸵
或
͹ʹെͳͷ ͳͳ
㈮⸵
或
䁡െ⸵ͷ
ʹ
或⸵；
（3）解：先探究ᇞܤԢܣ边面积最大的情况，
①当点ܤԢ在矩形ܣܤܥ的内部或边界时，如图，过点ܤԢ作ܥ的垂线，交ܥ于点ܨ，交ܣܤ于点ᦙ，
设ܣᦙ〮ܽ
，ܤ边〮ݔ，ܵᇞܤԢܣ边〮ݕ，则边ᦙ〮㈮െݔെܽ，ܣ边〮㈮െݔ，
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∵四边形ܣܨᦙ是矩形，
∴ܨ〮ܣᦙ〮ܽ
，ܣ〮ܨᦙ〮ʹ，
∴ܥܨ〮㈮െܽ，
由折叠的性质可得，ܤ边〮ܤԢ边〮ݔ，ܤܥ〮ܤԢܥ〮ʹ，סܥܤԢ边〮סܥܤ边〮䁡㌸ι，
∵ܤԢᦙ٣ ܥ，ܣܤ∥ܥ，
∴סܥܨܤԢ 〮סܤԢᦙ边〮䁡㌸ι，
∵סܥܤԢܨ൅ס边ܤԢᦙ〮סܤԢ边ᦙ൅ס边ܤԢᦙ〮䁡㌸ι，
∴סܥܤԢܨ〮סܤԢ边ᦙ，
∴ᇞܤԢܥܨ׾ᇞ边ܤԢᦙ，
∴
边ᦙ
ܤԢܨ〮
ܤԢᦙ
ܥܨ〮
ܤԢ边
ܤԢܥ〮
ݔ
ʹ，
∴ܤԢܨ〮
ʹ
ݔ㈮െݔെܽ
，ܤԢᦙ〮
ݔ
ʹ ㈮െܽ
，
∵ܨᦙ〮ܤԢᦙ൅ܤԢܨ〮ʹ，
∴
ݔ
ʹ ㈮െܽ
൅
ʹ
ݔ㈮െܽ
െݔ〮ʹ，
变形，得ܽ
〮
㈮ݔʹെ㌠ݔ൅ͳ͸
ݔʹ൅㈮
，
∴ܤԢᦙ〮
ݔ
ʹ ㈮െܽ
〮
㈮ݔʹ
ݔʹ൅㈮，
∴ݕ〮ܵ
ᇞܤԢܣ边〮
ͳ
ʹ ܣ边ڄ ܤԢᦙ〮
ͳ
ʹ ㈮െݔڄ
㈮ݔʹ
ݔʹ൅㈮〮
㌠ݔʹെʹݔ⸵
ݔʹ൅㈮，
∴ʹ െݕ〮ʹ െ
㌠ݔʹെʹݔ⸵
ݔʹ൅㈮
〮
ʹݔ⸵െ͸ݔʹ൅㌠
ݔʹ൅㈮
〮
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅㈮
，
∵ݔെʹ ʹ ൒㌸，ݔ൅ͳ ൐㌸，ݔʹ ൅㈮൐㌸，
∴ʹ െݕ〮
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅㈮
൒㌸，即ݕ൑ʹ，
当且仅当ݔ〮ʹ 时，ݕ取得最大值ʹ；
②当点ܤԢ在矩形ܣܤܥ的外部时，如图，过点ܤԢ作ܥ的垂线，交ܥ于点ܨ，交ܣܤ于点ᦙ，设ܣᦙ〮ܽ
，
ܤ边〮ݔ，ܵᇞܤԢܣ边〮ݕ，则边ᦙ〮ݔ൅ܽ
െ㈮，ܣ边〮㈮െݔ，
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同理①可得，ᇞܤԢܥܨ׾ᇞ边ܤԢᦙ，
∴
边ᦙ
ܤԢܨ〮
ܤԢᦙ
ܥܨ〮
ܤԢ边
ܤԢܥ〮
ݔ
ʹ，
∴ܤԢܨ〮
ʹ
ݔ㈮െݔെܽ
，ܤԢᦙ〮
ݔ
ʹ ㈮െܽ
，
∵ܨᦙ〮ܤԢᦙെܤԢܨ〮ʹ，
∴
ݔ
ʹ ㈮െܽ
െ
ʹ
ݔ㈮െܽ
െݔ〮ʹ，
变形，得ܽ
〮
㈮ݔʹെ㌠ݔ൅ͳ͸
ݔʹ൅㈮
，
∴ܤԢᦙ〮
ݔ
ʹ ㈮െܽ
〮
㈮ݔʹ
ݔʹ൅㈮，
∴ݕ〮ܵ
ᇞܤԢܣ边〮
ͳ
ʹ ܣ边ڄ ܤԢᦙ〮
㌠ݔʹെʹݔ⸵
ݔʹ൅㈮，
∵ʹ െݕ〮
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅㈮
൐㌸，
∴ݕ൏ʹ，
综上所述，当且仅当ݔ〮ʹ 时，ݕ取得最大值ʹ；
如图，
当ݔ〮ʹ 时，ܽ
〮
㈮ݔʹെ㌠ݔ൅ͳ͸
ݔʹ൅㈮
〮ʹ，
∴ܤԢܨ〮
ʹ
ݔ㈮െݔെܽ
〮㌸，即点ܤԢ落在边ܥ上，
∴ܤԢ〮ܣ边〮ʹ，
∵点和是ܤԢ的中点，
∴和〮
ͳ
ʹ ܤԢ〮ͳ，
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在Rt ᇞܣ和中，ܣ和〮
ܣʹ ൅和ʹ 〮
ʹʹ ൅ͳʹ 〮
ͷ；
再探究ס边和ܤԢ 〮䁡㌸ι的情况，
假设ס边和ܤԢ可以等于䁡㌸ι，如图，连接边，设ܤ边〮ܤԢ边〮ݔ，则ܣ边〮㈮െݔ，
∵ס边和ܤԢ 〮䁡㌸ι，
∴ס边和〮ͳ㌠㌸ι െס边和ܤԢ 〮䁡㌸ι 〮ס边和ܤԢ，
∵点和是ܤԢ的中点，
∴和〮ܤԢ和，
在ᇞ边和和ᇞܤԢ边和中，
和〮ܤԢ和
ס边和〮ס边和ܤԢ
边和〮边和
，
∴ᇞ边和، ᇞܤ̵ 边和SAS ，
∴边〮ܤԢ边〮ݔ，
在Rt ᇞܣ边中，ܣʹ ൅ܣ边ʹ 〮边ʹ，
∴ʹʹ ൅㈮െݔʹ 〮ݔʹ，
解得ݔ〮
ͷ
ʹ，
∴ܣ边〮㈮െݔ〮
⸵
ʹ，
∴假设成立，当ס边和ܤԢ 〮䁡㌸ι时，ܣ边〮
⸵
ʹ．