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专题12 一次函数及其应用（5 考点33 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 01 正比例
函数
基础必考考点，考查解析式求解、图
象上点的判定、象限特征，常结合物
理密度、坐标规律命题，侧重概念理
解与基础运算。
跨学科创新：结合物理密度公式命题；
规律创新：联动坐标规律探究，强化
函数本质理解。
考点 02 一次函
数的图象与性质
核心高频考点，考查图象象限判定、
增减性、平移规律，常结合方程解的
正负性、参数范围命题，侧重性质的
综合应用。
复合条件创新：结合方程解的特征限
定参数；
易错点强化：重点考查平移后图象象
限与参数取值的联动。
考点 03 求一次
函数的解析式
重点必考题型，考查待定系数法，常
结合几何旋转、平移、反比例函数交
点、动点面积命题，侧重数形结合与
综合计算。
几何融合创新：结合图形旋转、平移
求坐标；
综合创新：联动反比例函数、动点面
积，多层条件求解解析式。
考点 04 一次函
数的实际应用
核心压轴考点，覆盖行程追及、利润
最值、方案优化、人机共跑等真实场
景，考查函数建模、最值求解、方案
设计，侧重实际问题转化。
情境创新：结合人形机器人、非遗中
国结、特产销售等热点场景；
考法升级：新增多阶段行程、最值方
案择优题型。
考点 05 一次函
数与几何综合
重难点压轴考点，考查函数与几何图
形结合，涉及面积平分、图形面积计
算、动点轨迹、反比例函数交点问题，
侧重数形结合与综合推理。
几何性质创新：结合矩形中心、平行
四边形性质命题；
轨迹创新：结合动点轨迹、新定义运
算，强化综合探究能力。
考点01 正比例函数
1．
（2026·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点(
)
2,3
−
，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（ ）
2 / 40
A．(
)
2,3
B．(
)
3, 2
−−
C．(
)
3, 2
−
D．(
)
2, 3
−
【答案】D
【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到
正确结果．
【详解】解：设该正比例函数解析式为
(
)
0
y
kx k
=
，
∵函数图象经过点(
)
2,3
−
，
∴将
2,
3
x
y
= −
=
代入解析式得3
2k
= −
，
解得
3
2
k = −
，
∴该正比例函数解析式为
3
2
y
x
= −
，
A 选项，
2
x =
时，
3
2
3
3
2
y = −
= −
，不符合；
B 选项，
3
x
−
=
时，
(
)
3
9
3
2
2
2
y = −
−
=
−，不符合；
C 选项，
3
x = 时，
3
9
3
2
2
2
y = −
= −
−，不符合；
D 选项，
2
x =
时，
3
2
3
2
y = −
= −，符合解析式要求．
2．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，
得到了甲、乙两种物质的m V
−
图象，如图（
m
V
=
，m 表示质量，表示密度，V 表示体积），下列说法正
确的是（ ）
A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2 倍
B．当乙的质量为10g 时，体积为
3
10cm
C．甲物质的密度小于乙物质的密度
D．甲物质的密度等于乙物质的密度
【答案】A
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【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式
m
V
=
分别计算两者的密度，再结合
图象特征逐项判断；
【详解】解：由图象可知，当
3
20
V
V
cm
=
=
甲
乙
时，
20g
m =
甲
，
10g
m =
乙
，即
2
m
m
=
甲
乙，
A 正确；
当
10g
m =
乙
时，由图象可知
3
20
V
cm
=
乙
，
B 错误；
当
3
20
V
cm
=
甲
时，
20g
m =
甲
；当
3
20
V
cm
=
乙
时，
10g
m =
乙
；
3
3
20
1 /
20
m
g
g cm
V
cm
=
=
=
甲
甲
甲
，
3
3
10
0.5
/
20
m
g
g cm
V
cm
=
=
=
乙
乙
乙
，
甲
乙，
C、D 错误．
3．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有(
)
1,
A
n ，(
)
,6
B m
，
(
)
,
C m n 三点．若直线AB 经过原点，则
点C 一定在（ ）
A．函数
1
6
y
x
=
的图象上
B．函数
6
y
x
=
的图象上
C．函数
5
y
x
−
=
+ 的图象上
D．函数
6
y
x
=
的图象上
【答案】B
【分析】先根据直线AB 过原点设出直线解析式，代入A、B 坐标得到m 与n 的乘积，再根据C 点坐标判断
其满足哪个函数解析式．
【详解】解：∵直线AB 经过原点，
∴设直线AB 的解析式为y
kx
=
，
把(
)
1,
A
n 代入解析式得
1
n
k
=
，即k
n
=
，
∴直线AB 的解析式为y
nx
=
，
把(
)
,6
B m
代入y
nx
=
得6
n m
=
，即
6
mn =
，
∵点C 的坐标为(
)
,
m n ，
4 / 40
∴点C 横纵坐标的乘积为
6
m n
=
，
对函数
6
y
x
=
变形可得
6
xy =
，满足点C 的坐标特征，
∴点C 一定在函数
6
y
x
=
的图象上．
4．（2026·河南·中考真题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________．
【答案】y
x
=
（答案不唯一）
【分析】正比例函数的一般形式为
(
)
0
y
kx k
=
，由图象经过第一、三象限可得
0
k
，写出一个满足条件
的表达式即可．
【详解】解：取
1
k = ，满足
0
k
，
因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为y
x
=
（答案不唯一）．
考点02 一次函数的图象与性质
1．（2026·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数
3
4
y
x
=
+ 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数 y
kx
b
=
+
中k 和b 的符号即可确定图象经过的象限．
【详解】解：
一次函数
3
4
y
x
=
+
中，
3
0
k =
，
4
0
b =
该函数图象经过第一、二、三象限，
观察选项可知，只有A 选项符合题意．
2．（2026·湖北·中考真题）已知点(
)
1
1
,
A x y
在函数
1
y
x
=
的图象上，点(
)
2
2
,
B x y
在函数
2
y
x
=
的图象上，点
(
)
3
3
,
C x y
在函数y
x
=
的图象上，
1x ，
2x ，
3x 均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当
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1
2
3
y
y
y
=
=
时，下列大小关系不可能
．．．的是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
=
=
C．
3
2
1
x
x
x
D．
3
1
2
x
x
x
【答案】D
【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可；
【详解】解：联立
1
y
x
=
与
2
y
x
=
得
2
1
x
x =
，整理得
3
1
x = ，解得：
1
x = ，
联立y
x
=
与
2
y
x
=
得
2
x
x
=
，解得：
0
x =
或
1
x = ，
联立y
x
=
与
1
y
x
=
得
1
x
x
=
，整理得
2
1
x = ，解得：
1
x = −或
1
x = ，
∴函数
1
y
x
=
、函数
2
y
x
=
、函数y
x
=
的图象在第一象限交于点(
)
1,1 ，
故三个函数的图象位于第一象限的部分，
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
= 时，
1
2
3
1
x
x
x
=
=
= ，B 选项可能；
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
时，根据图象可得，
1
2
3
x
x
x
，A 选项可能；
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
时，根据图象可得，
3
2
1
x
x
x
，C 选项可能；
综上，D 选项不可能．
3．（2026·天津·中考真题）将直线y
x
b
−
=
+ （b 为常数）向上平移2 个单位长度，若平移后的直线经过第一、
第二、第四象限，则b 的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足
2
b −即可）
【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到b 的取值范围，
写出一个符合要求的值即可．
【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线y
x
b
−
=
+ 向上平移2 个单位长度后，得到
新直线的解析式为
2
y
x
b
= −+
+
，
∵平移后的直线经过第一、二、四象限，
∴
1
0
k
−
=
，
2
0
b+
，
解得
2
b −，
6 / 40
b
的值可以取1，符合题意（答案不唯一）．
4．（2026·江苏扬州·中考真题）若一次函数
(
)
2
3
y
k
x
=
−
+ 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围
是______．
【答案】
2
k
【分析】根据一次函数
(
)
2
3
y
k
x
−
=
+ 得
2
0
k −
；图象经过第一、二、三象限，得到
2
0
k−
，解答即可;
【详解】解：根据题意，得
2
0
k −
；且
2
0
k−
，
解得
2
k
．
5．（2026·内蒙古·中考真题）对于一次函数
(
1)
y
k
x
k
=
+
−
（k 是常数，且
1
k −），下列结论：
①点(1,1) 在此函数图象上；
②当
1
k = 且
0
y
时，
1
2
x
；
③当
0
k
时，y 随x 的增大而减小．
其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入k 的值得到
函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论．
【详解】解：对于①，将
1
x = 代入
(
)1
y
k
x
k
=
+
−
，得
(
)1
1
1
1
y
k
k
k
k
=
+
−
=
+ −
= ，所以点(
)
1,1 在此函数
图象上，故①正确．
对于②，当
1
k = 时，函数解析式为
(
)
1 1
1
2
1
y
x
x
=
+
−=
−，当
0
y
时，得不等式2
1
0
x−
，移项得2
1
x ，
系数化为1得
1
2
x
，故②正确．
对于③，一次函数
(
)1
y
k
x
k
=
+
−
的增减性由一次项系数
1
k + 决定，当
0
k
时，若1
0
k
−
，则
1
0
k +
，
此时y 随x 的增大而增大，只有当
1
0
k +
即
1
k −时，y 才随x 的增大而减小，故③错误．
故正确的结论是：①②．
6．
（2026·四川内江·中考真题）若关于x 的方程
(
)
2
3
1
x
m
x
−
=
+
的解是负数，且一次函数
(
)
2
4
y
m
x
=
−
− 中，
函数值y 随x 的增大而减小，则所有满足条件的整数m 的值之和是______．
【答案】2
−
【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到m 的取值范围，再根据一次函数的
性质得到m 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数m 的值，最后相加即可求解．
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【详解】解：解方程
(
)
2
3
1
x
m
x
−
=
+
，得
3
x
m
= −
−，
∵方程的解是负数，
∴
3
0
m
−
−
，
解得
3
m −，
∵一次函数
(
)
2
4
y
m
x
=
−
−中，函数值y 随x 的增大而减小，
∴
2
0
m−
，
解得
2
m
，
∴m 的取值范围是3
2
m
−
，
∴符合条件的整数m 为2, 1,0,1
−
−
，
∴所有满足条件的整数m 的值之和为(
) (
)
2
1
0 1
2
−
+ −
+ + = −．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）点(
)
2,
P
a
−
在一次函数
2
1
y
x
=
+ 的图像上，则a 的值为_________．
【答案】3
−
【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点P 的横坐标代入函数解析式即可求出a 的
值．
【详解】解：
点(
)
2,
P
a
−
在一次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象上，
将
2
x = −代入
2
1
y
x
=
+ ，得
(
)
2
2
1
4 1
3
a = −
+ = −+ = −．
考点03 求一次函数的解析式
1．（2026·四川广安·中考真题）已知OAB在平面直角坐标系中，(
)
2,0
A
，(
)
4,2
B
，将OAB绕点O逆时针
旋转90得到OCD，连接CA 交OB 于点E ，将点E 向左平移2 个单位长度得到点E，则点E的坐标为_____．
【答案】
2 2
,
3 3
−
【分析】由旋转的性质求出点C 的坐标，用待定系数法分别求出直线OB 、AC 的函数解析式，联立求出点
8 / 40
E 的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出E的坐标．
【详解】解：由旋转的性质可知：(
)
0,2
C
，
设直线OB 的函数解析式为
OB
y
mx
=
，
把(
)
4,2
B
代入得4
2
m =
，解得
1
2
m =
，
直线OB 的函数解析式为
1
2
OB
y
x
=
设直线AC 的函数解析式为
AC
y
kx
b
=
+
，
把(
)
2,0
A
，(
)
0,2
C
代入得
2
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
2
k
b
= −
=
，
直线AC 的函数解析式为
2
AC
y
x
= −+
，
联立
1
2
2
y
x
y
x
−
=
=
+
，解得
4
3
2
3
x
y
=
=
，
4 2
,
3 3
E
，
将点E 向左平移2 个单位长度得到点E，
2 2
,
3 3
E
−
．
2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD的顶点分别为(
)
6,0
A −
，
(
)
10,0
B
，
(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明
字母）
(1)在CD边上作一点P，使PA
PB
=
，此时点P 的坐标为 ；
(2)在BC 边上作一点Q，使
QAD
△
和
QOB
△
的面积相等．
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【答案】(1)如图所示，点P 的坐标为
(
)
2,9
(2)如图2 所示．
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得P 在直线
2
x =
上，进而待定系数法求得直线CD的解析式，令
2
x =
，
即可求解；
（2）根据题意得出Q 为
DAB
的角平分线与BC 的交点，即可求解．
【详解】（1）解：∵(
)
6,0
A −
，(
)
10,0
B
∴P 在直线
6 10
2
2
x
−+
=
=
上，
设直线CD的解析式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
∴
4
10
8
k
b
b
+
=
=
，解得；
1
2
8
k
b
=
=
∴直线CD的解析式为
1
8
2
y
x
=
+
当
2
x =
时，
1
2
8
9
2
y =
+
=
∴(
)
2,9
P
；
（2）解：如图，
10 /
∵(
)
6,0
A −
，(
)
10,0
B
，
(
)
0,8
D
∴
6,
8,
10
OA
OD
OB
=
=
=
∴
2
2
10
AD
AO
OD
=
+
=
∴AD
OB
=
设Q 到AD 的距离为
1h ，Q 到AB 的距离为
2h
∵
QAD
△
和
QOB
△
的面积相等
∴
1
2
1
1
10
10
2
2
h
h
=
∴
1
2
h
h
=
∴Q 在
DAB
的角平分线上，作
DAB
的角平分线交BC 于点Q ，即为所求．
3．
（2026·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6 cm
AB =
，
3 cm
AD =
．动点P 从点A 出发，沿折线AB
BC
−
以1cm / s 的速度向终点C 运动．在运动过程中，连接DP ．设点P 的运动时间为( )(
)
s
0
t
t
，DP 扫过的图
形面积为(
)
2
cm
S
．
(1)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．
(2)当DP 扫过的图形面积(
)
2
cm
S
由矩形ABCD面积的
1
4 扩大到矩形ABCD面积的5
6 时，点P 运动了多长时
间？
【答案】(1)
(
)
(
)
3
0
6
2
3
9 6
9
t
t
S
t
t
=
−
(2)5s
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11 /
【分析】（1）分0
6
t
和6
9
t
两种情况建立函数关系式即可；
（2）分别求出矩形ABCD面积的
1
4 和矩形ABCD面积的5
6 ，然后分别代入
3
2
S
t
=
和
3
9
S
t
=
−求出对应的时
间，再求解时间差即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
3cm
AD
BC
=
=
，
90
A
B
C
=
=
=
，
当0
6
t
时，
1
1
3
3
2
2
2
S
AP
AD
t
t
=
=
=
；
当6
9
t
时，DP 扫过的图形为四边形ADPB ，此时
(
)
6 cm
BP
t
=
−
∴
(
)
(
)
1
1
6
3
6
3
9
2
2
S
BP
AD
AB
t
t
=
+
=
−
+
=
−
∴
(
)
(
)
3
0
6
2
3
9 6
9
t
t
S
t
t
=
−
；
（2）解：由题意得，
2
3 6
18cm
ABCD
S
AB
AD
=
= =
矩形
，
当
1
9
18
4
2
S =
=
时，则3
9
2
2
t =
，解得
3s
t =
；
当
5 18
15
6
S =
=
时，则3
9 15
t −=
，解得
8s
t =
8 3
5s
−=
∴点P 运动了5s ．
4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数y
kx
b
=
+
的图象与反比例函数
8
y
x
=
的图象交于(
)
,8
A m
，
(
)
4,
B
n
−
两点．
12 /
(1)求一次函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式
8
kx
b
x
+
的解集；
(3)将直线AB 向下平移12 个单位后交反比例函数的图象于C ，D 两点，交y 轴于点E ，连接AC ，AE ，求
ACE
△
的面积．
【答案】(1)
2
6
y
x
=
+
(2) 4
0
x
−
或
1
x
(3)24
【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可；
（2）结合图像与不等式的几何意义判断即可；
（3）先求出移动后直线解析式，设AB 与x 轴交于点F ，CD与x 轴交于点G ，再分别求出点
(
)
3,0
F −
，(
)
3,0
G
，
(
)
0, 6
E
−
、
(
)
4,2
C
，然后利用
ACE
FCE
FCG
FEG
S
S
S
S
=
=
+
求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数
8
y
x
=
的图象过(
)
,8
A m
，(
)
4,
B
n
−
两点，
∴
8
8
m
=
，
8
4
n = −，
∴
1
m = ，
2
n = −，
∴(
)
1,8
A
，(
)
4, 2
B −−
，
将(
)
1,8
A
，(
)
4, 2
B −−
代入一次函数y
kx
b
=
+
，可得：
8
2
4
k
b
k
b
=
+
−= −
+
，
解得
6
2
b
k
=
=
，
∴一次函数的表达式为
2
6
y
x
=
+
．
（2）解：∵不等式
8
kx
b
x
+
的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x 范围，
∴不等式
8
kx
b
x
+
的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x 范围，
∵反比例函数
8
y
x
=
的自变量取值范围为
0
x
，
当
0
x
时，
∵反比例函数
8
y
x
=
的图象与一次函数
2
6
y
x
=
+
的图像交于(
)
1,8
A
，
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13 /
∴当
1
x 时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方，
当
0
x
时，
∵反比例函数
8
y
x
=
的图象与一次函数
2
6
y
x
=
+
的图像交于(
)
4, 2
B −−
，
∴当4
0
x
−
时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方，
综上，不等式
8
kx
b
x
+
的解集为4
0
x
−
或
1
x ．
（3）解：∵直线AB 向下平移12 个单位后交反比例函数的图象于C ，D 两点，且直线AB 所在一次函数的
表达式为
2
6
y
x
=
+
，
∴直线CD所在一次函数的表达式为
2
6 12
2
6
y
x
x
=
+
−
=
−，
如图，设AB 与x 轴交于点F ，CD与x 轴交于点G ，
∴将
0
y =
代入
2
6
y
x
=
+
得0
2
6
x
=
+ ，
解得
3
x = −，
∴
(
)
3,0
F −
，
将
0
y =
代入
2
6
y
x
=
−得0
2
6
x
=
−，
解得
3
x = ，
∴
(
)
3,0
G
，
∴
(
)
3
3
6
FG = −−
=
，
∵直线CD交y 轴于点E ，
∴将
0
x =
代入
2
6
6
y
x
=
−
= −，
∴
(
)
0, 6
E
−
，
联立平移后直线与反比例函数，得：
2
6
8
y
x
y
x
=
−
=
，
14 /
∴
8
2
6
x
x
−
=
，即
2
3
4
0
x
x−
−
=
，
解得
4
x =
或
1
x = −，
∵点C 在第一象限，
∴
4
x =
，
8
2
4
y =
=
，
∴
(
)
4,2
C
，
∵直线AB 平移得到直线CD，直线AB 和直线CD平行，
∴
1
1
6 2
6 6
24
2
2
ACE
FCE
FCG
FEG
S
S
S
S
=
=
+
=
+
=
．
考点04 一次函数的实际应用
1．（2026·山西·中考真题）某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超过20000 册时，投入成本y （元）
与印刷数量x （册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示．当印刷数量为5000 册时，
投入成本是________元．
印刷数量x
（册）
0
500
1000
1500
…
20000
投入成本y
（元）
24000
27000
30000
33000
…
144000
【答案】54000
【分析】根据表格数据可判断投入成本y 与印刷数量x 满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，
再将
5000
x =
代入解析式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意，设
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，将(
)
0,24000 ，(
)
500,27000 代入解析式得：
24000
500
27000
b
k
b
=
+
=
解得
6
24000
k
b
=
=
∴函数解析式为
6
24000
y
x
=
+
，
当
5000
x =
时，
6 5000
24000
54000
y =
+
=
．
2．（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进
行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为800 m ，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后
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15 /
停止．机器人出发1 min 后运动员才出发，运动员出发1 min 后追上机器人．如图，1l ，2l 分别表示运动员、
机器人距起点的距离( )
m
y
与时间(
)
min
x
之间的关系．
(1)求1l 对应的函数表达式；
(2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离．
【答案】(1)
(
)
200
200 1
5
y
x
x
=
−
(2)300m
【分析】（1）先求出1l ，2l 的交点为(
)
2,200 ，再由待定系数法求解1l 对应的函数表达式；
（2）可求运动员在第5min 时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离．
【详解】（1）解：由题意得，机器人的速度为
(
)
800 8
100 m/min
=
，
由题意得，运动员2min 时追上机器人，此时机器人跑了
( )
100 2
200 m
=
∴1l ，2l 的交点为(
)
2,200 ，
设1l 对应的函数表达式为y
kx
b
=
+
，代入点(
)
1,0 ，(
)
2,200 ，
则
0
2
200
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
200
200
k
b
=
= −
，
∴
200
200
y
x
=
−
，
当
800
y =
时，则200
200
800
x−
=
，解得
5
x = ，
∴1l 对应的函数表达式为
(
)
200
200 1
5
y
x
x
=
−
；
（2）解：对于
200
200
y
x
=
−
，当
800
y =
时，
则200
200
800
x−
=
，
解得
5
x = ，
16 /
∴
( )
800 100 5
300 m
−
=
，
∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为300m．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”
到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有A ，B 两地，
机器人甲、乙分别从A ，B 两地同时出发，机器人甲以360 米/分的速度沿测试路匀速跑向B 地，到达B 地
后，立即以n 米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240 米/分的速度沿测试路匀速跑向A 地，到达A 地后
停止运动，机器人乙到达A 地一段时间后，机器人甲也到达A 地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离y（米）
与机器人甲行进的时间x （分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1) A ，B 两地之间的距离为 米，图中m 的值为 ；
(2)求线段FG 所在直线的函数解析式；
(3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600 米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)3600，6
(2)
600
3600
y
x
=
−
(3)5 分或7 分或20 分
【分析】（1）由图可知AB 距离为3600米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出m
的值；
（2）由（1）得：
(6,0)
F
，由题意可知G 点为甲到达B 地的点，根据甲、乙速度得到
)
10,2
(
400
G
，设FG 解
析式为y
kx
b
=
+
，根据待定系数法求解即可；
（3）先求出n 的值，进而分四种情况作答即可．
【详解】（1）解：
0
x =
时，甲乙还未出发，距离就是A、B 两地距离，因此AB 距离为3600米；
甲乙相向而行，速度和为360
240
600
+
=
米/分，
相遇时间
3600
6
600
=
=
（分），
因此
6
m =
；
（2）解：由（1）得：
(6,0)
F
，由题意可知G 点为甲到达B 地的点，
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17 /
甲走完全程AB 的时间为3600
10
360 =
分钟，
此时乙走了240 10
2400
=
米，
因此甲乙距离为2400 米，
即
)
10,2
(
400
G
．
设FG 解析式为y
kx
b
=
+
，代入两点坐标：
6
0
10
2400
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
600
3600
k
b
=
= −
，
因此FG 的解析式为：
600
3600
y
x
=
−
；
（3）解：由图象可知，
,
A B 两地距离为3600米．
乙从B 匀速跑到A ，速度为240 米/分，
因此乙走完全程的时间为：3600
15
240 =
分钟
即图中H 点对应的时间
15
x =
分钟，
此时乙已经到达A 地，甲乙相距2100 米，从甲开始返回到乙到达A 地，一共经过了15 10
5
−
=
分钟，甲返
回走了3600
2100
1500
−
=
米，
因此
1500
300
5
n =
=
，
即甲到达B 后返回速度为300米/分，返回全程需3600
12
300 =
分钟，总耗时10 12
22
+
=
分钟，
乙从B 到A 速度为240 米/分，走完全程到A 的时间为3600
15
240 =
分钟，
设甲行进时间为x 分钟，甲乙距离
600
y =
米，分阶段计算：
阶段1：相遇前（0
6
x
），
甲乙相向而行，两人距离满足：
3600
(360
240)
3600
600
y
x
x
=
−
+
=
−
，
令
600
y =
，解得：
5
x = ，符合范围，是有效解；
阶段2：相遇后，甲未到B 地（6
10
x
），
相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：
(360
240)(
6)
600
3600
y
x
x
=
+
−
=
−
，
令
600
y =
，解得：
7
x =
，符合范围，是有效解；
阶段3：甲到B 开始返回，乙未到A 地（10
15
x
），
甲在B 后返回，乙仍向A 行走，两人距离满足：
240
300(
10)
60
3000
y
x
x
x
=
−
−
= −
+
，
18 /
该阶段y 的范围是2100
2400
y
，始终大于600，此阶段无解；
阶段4：乙到达A 停止，甲仍在返回途中（15
22
x
），
乙已经停在A 点，两人距离就是甲到A 点的距离，两人距离满足：
3600
300(
10)
6600
300
y
x
x
=
−
−
=
−
，
令
600
y =
，解得：
20
x =
，符合范围，是有效解；
综上所述，机器人甲行进时间为5 分或7 分或20 分时，甲乙相距600 米．
4．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t （分钟）的模型：
1
2
t
t
t
=
+
．其中，1t
kx
=
（k 为常数），x （千米）表示登山路线的长度；2
150
t
h
=
，h （千米）表示山顶与
起点的海拔高度差．从A 出发到山顶M 的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登
山过程中休息和必要的预留时间）
(1)①求k ，h 的值；
②计算路线3 的长度．
(2)已知山顶M 的海拔高度为1000 米，B 在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单
位：米）．若该登山爱好者从B 出发到山顶M 的路线长度为3 千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山
顶M 的预估用时．
【答案】(1)①
15,
0.8
k
h
=
=
；②5千米
(2)135分钟
【分析】（1）①由题意得，
150
t
kx
h
=
+
，再用待定系数法求解即可；②先得到
15
150 0.8 15
120
t
x
x
=
+
=
+
，
然后将
195
t =
代入，解方程即可；
（2）求出海拔差为0.6km，然后代入
15
150 0.6
t
x
=
+
求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，
150
t
kx
h
=
+
，
代入两组数据得，
6
150
210
4
150
180
k
h
k
h
+
=
+
=
解得
15
0.8
k
h
=
=
；
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19 /
②由①得，
15
150 0.8 15
120
t
x
x
=
+
=
+
路线3 同样从A 到M，海拔差仍为
0.8km
h =
，
将
195
t =
代入
15
120
t
x
=
+
，得15
120 195
x+
=
解得
5
x =
即路线3 的长度为5 千米；
（2）解：由等高线图可知，B 点位于400 米等高线上，海拔为400m
0.4km
=
；
山顶M 海拔为1000m
1km
=
，因此海拔差：
1 0.4
0.6km
h = −
=
将
3km,
15
x
k
=
=
代入得，
15 3 150 0.6
45 90
135
t =
+
=
+
=
即预估用时为135 分钟
5．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销
售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3 件中果礼盒和2 件大果礼盒需190 元，购进2 件中果礼盒和4 件
大果礼盒需260 元．
(1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格；
(2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100 件进行销售，中果礼盒每件售价50 元，大果礼盒
每件售价80 元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2 倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多
少？
【答案】(1)购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
(2)购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
【分析】（1）设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，根据题意可得
100
3
m
，即m 的最大值为33；再
列出获得利润：
10
2000
W
m
=
+
，再利用一次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．
则
3
2
190
2
4
260
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
30
50
x
y
=
=
，
答：购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
（2）解：设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，
由题意可得：2
100
m
m
−
，解得：
100
3
m
，
∵m 为整数，
∴m 的最大值为33，
20 /
由题意可得：获得利润：
(
)
(
)(
)
80 50
50 30 100
10
2000
W
m
m
m
=
−
+
−
−
=
+
，
∵10
0
，
∴W 随m 的增大而增大，
∴当
33
m =
时，有最大利润33 10 2000
2330
+
=
元．
答：购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
6．（2026·湖北·中考真题）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编
织2 个大号中国结和3 个小号中国结需用绳19米；编织4 个大号中国结和1 个小号中国结需用绳23米．
(1)求编织1 个大号中国结和1 个小号中国结各需用绳多少米；
(2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450 米．设编织m 个大号中国结．
①求m 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元，其他成本总计
90元．求该饰品店获得的最大利润．
【答案】(1)编织1 个大号中国结需用绳5米，编织1 个小号中国结需用绳3米
(2)①0
45
m
且m 为整数；②该饰品店获得的最大利润为600元
【分析】（1）设编织1 个大号中国结需用绳x 米，编织1 个小号中国结需用绳y 米，利用题目给的条件列出
方程组，求解即可；
（2）①由题得编织(
)
120
m
−
个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合m 是计划编织的大号中国结
个数即可求出m 的取值范围；②利用每米编织绳的成本为1元可得出编织1 个大号中国结和1 个小号中国结
各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用m 的取值范围可得出最大利润．
【详解】（1）解：设编织1 个大号中国结需用绳x 米，编织1 个小号中国结需用绳y 米，
由题意得
2
3
19
4
23
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②，
2
①
得4
6
38
x
y
+
=
③，
③-②得5
15
y =
，解得
3
y =
，
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21 /
把
3
y =
代入②得
5
x = ，
故原方程组的解为
5
3
x
y
=
=
．
答：编织1 个大号中国结需用绳5米，编织1 个小号中国结需用绳3米．
（2）解：①依题意得
(
)
5
3 120
450
m
m
+
−
，
化简得2
90
m
，
解得
45
m
，
因为m 是计划编织的大号中国结个数，
所以
0
m
，为整数，
所以m 的取值范围为0
45
m
，且m 为整数．
②由题意得每个大号中国结用绳成本为5 元，每个小号中国结用绳成本为3 元，
设获得的利润为W 元，
由题意得
(
)
(
) (
)
12 5
8 3
120
90
2
510
W
m
m
m
=
−
+
−
−
−
=
+
，
因为2
0
，所以W 随m 的增大而增大，
由①知0
45
m
，且m 为整数，
所以当
45
m =
时，W 最大，最大值为2 45 510
600
+
=
，
答：该饰品店获得的最大利润为600元．
7．（2026·四川甘孜·中考真题）图1 是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1 联系小明，发现小明
在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2 中，1l ，2l 分别表示两人到观景台1 的路程与追赶时间之间
的关系．
(1) 2l 表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
(2)分别求出1l ，2l 的函数解析式；
22 /
(3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3 前追上小明？请通过计算说明．
【答案】(1)小明
(2) 1l 的函数解析式为
70
y
x
=
；2l 的函数解析式为
40
1200
y
x
=
+
；
(3)解：小聪能在到达观景台3 前追上小明，计算说明如下：
令70
40
1200
x
x
=
+
，解得
40
=
x
，
在
70
y
x
=
中，当
40
=
x
时，
2800
y =
，
∴小聪追上小明时所走的路程为2800m，
∵2800
1200 1800
3000
+
=
，
∴小聪能在到达观景台3 前追上小明．
【分析】（1）当追赶时间为0 时，小明到观景台1 的路程为1200m，而小聪到观景台1 的路程为0，据此结
合函数图象可得答案；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出两人相遇时的时间，进而求出两人相遇时小聪所走的路程即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0 时，小明到观景台1 的路程为1200m，而小聪到观景台1 的
路程为0，
∴由函数图象可知，2l 表示小明到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
（2）解：设1l 的函数解析式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=
，
把(
)
20,1400 代入
(
)
1
1
0
y
k x k
=
得
1
1400
20k
=
，解得
1
70
k =
，
∴1l 的函数解析式为
70
y
x
=
；
设2l 的函数解析式为
(
)
2
2
0
y
k x
b k
=
+
，
把(
)
0,1200 和(
)
20,2000 代入
(
)
2
2
0
y
k x
b k
=
+
得
2
20
2000
1200
k
b
b
+
=
=
，
∴
2
40
1200
k
b
=
=
，
∴2l 的函数解析式为
40
1200
y
x
=
+
；
（3）略
8．（2026·黑龙江绥化·中考真题）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进
A，B 两种型号的快递智能分拣机械手（以下A 型快递智能分拣机械手简称A 型机械手，B 型快递智能分
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23 /
拣机械手简称B 型机械手），已知A 型机械手的单价比B 型机械手的单价高2 万元，用120 万元购进A 型
机械手的数量和用80 万元购进B 型机械手的数量相等．
(1)求A，B 两种型号机械手的单价分别是多少万元？
(2)快递公司计划购买A，B 两种型号的机械手共30 台，且A 型的数量不少于B 型数量的2 倍．如何购买
这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
(3)该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某
天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好
后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）
与甲机械手工作时间x （分钟）之间的函数关系如图所示．
①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，a =_________．
②直接写出BC 所在直线的函数表达式：_________．
③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
【答案】(1)A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
(2)购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
(3)①20；60；②
15
450
BC
y
x
=
−
；③22.5
【分析】（1）设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为(
)
2
n−
万元，根据题意列出分式方程，
据此求解即可；
（2）设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手(
)
30
m
−
台，所需费用为w 万元，根据题意列出不等式
组，求得20
30
m
，再列出w 关于m 的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可；
（3）①根据函数图象求解即可；②利用待定系数法求解即可；③相同数量是450 件，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为(
)
2
n−
万元，
由题意得120
80
2
n
n
=
−
，
24 /
解得：
6
n =
，
经检验：
6
n =
是原分式方程的解，
B 型机械手的单价：
2
6 2
4
n−= −=
（万元），
答：A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
（2）解：设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手(
)
30
m
−
台，所需费用为w 万元，
由题意得
(
)
2 30
30
0
m
m
m
−
−
，
解得：20
30
m
，
由题意得：
(
)
6
4 30
2
120
w
m
m
m
=
+
−
=
+
，
∵2
0
，
∴w 随m 的增大而增大，且m 取正整数，
∴当
20
m =
时，w 的最小值为2
120
2 20 120
160
m+
=
+
=
（万元），
此时B 型机械手：30
30 20
10
m
−
=
−
=
（台），
答：购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
（3）解：①乙机械手的工作速度为
(
)
3000
180 30
20
−
=
件/分钟，
甲机械手的工作速度为450
30
15
=
件/分钟，
∴
(
)
180
2250
450
15
60
a =
−
−
=
；
②设BC 所在直线的函数表达式为
BC
y
kx
b
=
+ ，
将(
)
60,450 ，(
)
180,2250 代入
BC
y
kx
b
=
+ ，
得
60
450
180
2250
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
15
450
k
b
=
= −
，
∴BC 所在直线的函数表达式为
15
450
BC
y
x
=
−
；
③∵乙机械手的工作速度为20 件/分钟，
由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是450 件，
∴450 20
22.5
=
，
∴当乙机械手工作22.5 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
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25 /
9．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100元，售价160
元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元．现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60 件．设购
进甲种衬衣x 件，两种衬衣全部售完，商场可获利y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案？
(3)在( )
2 的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a 元（0
30
a
）出
售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为4650 元，求a 的值．
【答案】(1)
20
4000
y
x
=
+
（60
100
x
，x 为整数）；
(2)共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣39
件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣64
件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
(3)
10
a =
【分析】( )
1 设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，然后根据“总利润=甲的利润+ 乙的利润”，
列出函数关系式即可；
( )
2 根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，结合自变量的取值范围得到所有整数
解，即所有进货方案；
( )
3 根据题意调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，则利润
(
)
20
4000
y
a x
−
=
+
，分情况
根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解a ，舍去不符合范围的解．
【详解】（1）解：设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，
甲每件利润为160 100
60
−
=
元，乙每件利润为120 80
40
−
=
元，
根据题意得
(
)
60
40 100
20
4000
y
x
x
x
−
=
+
=
+
由题意得
60
x
，100
0
x
−
，
因此60
100
x
，且x 为整数；
（2）解：根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，
整理得20
1300
x
，
解得
65
x
，
∵
60
x
，且x 为正整数，
∴60
65
x
，x 的取值为60,61,62,63,64,65，对应乙的数量为40,39,38,37,36,35，
26 /
因此共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣
39件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣
64 件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
（3）解：根据题意，调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，
∴利润
(
)
(
) (
)
60
40 100
20
4000
y
a x
x
a x
−
−
−
=
+
=
+
，
①当0
20
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵60
65
x
，
∴当
65
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
65
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
10
a =
；
②当
20
a =
时，
4000
4650
y =
，不符合题意；
③当20
30
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵60
65
x
，
∴当
60
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
60
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
55
6
a =
，不符合题意；
综上可得：最大利润为4650 元时a 的值为10．
10．
（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km ，
体育公园离家2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min 到体育公园，在体育公园停留了40min ，之后匀速
骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min 后，再匀速骑行了5min回到家．下面图中x 表示时间，
y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
小杰离开家的时间
6
20
50
65
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27 /
/min
小杰离家的距离
/km
2
(2)当50
80
x
时，请直接写出小杰离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；
(3)当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min 直接回到家．在50
80
x
的
时段内，对于同一个x 的值，小杰离家的距离为
1y ，小杰的爷爷离家的距离为
2y ，当
1
2
y
y
=
时，求x 的值
（直接写出结果即可）．
【答案】(1)填表如下：
小杰离开家的时
间/min
6
20
50
65
小杰离家的距离
/km
1.2
2
2
1
(2)
(
)
(
)
(
)
0.2
12 50
55
1 55
75
0.2
16 75
80
x
x
y
x
x
x
−
+
=
−
+
(3)52.5或65或77.5
【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家6min 时离家的距离；再根据图象分别得
到小杰离开家50min 和65min 时离家的距离，即可填表；
（2）分三种情况讨论：50
55
x
、55
75
x
、75
80
x
，结合图象，利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意
2y 与x 满足一次函数关系，利用待定系数法求出
(
)
2
0.04
3.6 40
90
y
x
x
−
=
+
，再分三种情
况讨论：50
55
x
、55
75
x
、75
80
x
，令
1
2
y
y
=
，即可求出x 的值．
【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为
(
)
2 10
0.2 km/ min
=
，
∴当小杰离开家6min 时，离家的距离为
(
)
0.2 6
1.2 km
=
；
由图象得，当小杰离开家50min 时，离家的距离为2km；
当小杰离开家65min 时，离家的距离为1km ；
填表略；
28 /
（2）解：当50
55
x
时，小杰离家的距离y 与时间x 的满足一次函数关系，
设
1
1
y
k x
b
=
+
，
代入(
)
50,2 和(
)
55,1 得，
1
1
1
1
50
2
55
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
1
1
0.2
12
k
b
−
=
=
，
∴
(
)
0.2
12 50
55
y
x
x
−
=
+
；
当55
75
x
时，由图象得，
1
y = ，
∴
(
)
1 55
75
y
x
=
；
当75
80
x
时，小杰离家的距离y 与时间x 的满足一次函数关系，
设
2
2
y
k x
b
=
+
，
代入(
)
75,1 和(
)
80,0 得，
2
2
2
2
75
1
80
0
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
1
1
0.2
16
k
b
−
=
=
，
∴
(
)
0.2
16 75
80
y
x
x
−
=
+
；
综上，小杰离家的距离y 关于时间x 的函数解析式为
(
)
(
)
(
)
0.2
12 50
55
1 55
75
0.2
16 75
80
x
x
y
x
x
x
−
+
=
−
+
；
（3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为
(
)
40 50
90 min
+
=
，
由题意得，
2y 与x 满足一次函数关系，设
2y
kx
b
=
+ ，
代入(
)
40,2 和(
)
90,0 得，
40
2
90
0
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
0.04
3.6
k
b
−
=
=
，
∴
(
)
2
0.04
3.6 40
90
y
x
x
−
=
+
；
当50
55
x
时，
∵
1
2
y
y
=
，
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29 /
∴0.2
12
0.04
3.6
x
x
−
−
+
=
+
，
解得
52.5
x =
；
当55
75
x
时，
∵
1
2
y
y
=
，
∴1
0.04
3.6
x
−
=
+
，
解得
65
x =
；
当75
80
x
时，
∵
1
2
y
y
=
，
∴0.2
16
0.04
3.6
x
x
−
−
+
=
+
，
解得
77.5
x =
；
综上，当
1
2
y
y
=
时，x 的值为52.5或65或77.5．
11．（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，8:10:00时第一位游客站上扶梯，
8:10:51时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为0.8秒．
(1)设登上观景台的游客数为x ，时间为y（从8:10:00开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出y 关于x
的函数解析式；（不用写定义域）
x
1
6
y
表1
(2)①请你求出从8 10
0
8 12
0
点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台；
②请你求出
8 12
0
8 14
0
从点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台．
【答案】(1)表格依次填入51，55；y 关于x 的函数解析式为
0.8
50.2
y
x
=
+
(2)①87位；②150位
【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游
客到达间隔推出表格数据，再推导得到y 关于x 的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时y 的范围，
结合x 为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解．
【详解】（1）解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51 秒．
所以当
1
x = 时，
51
y =
．
每位游客到达间隔为0.8秒，
30 /
当
6
x =
时，
51
0.8 (6 1)
55
y =
+
−
=
．
∵x 位游客，第一位用时51 秒，剩余(
)1
x −
位每位间隔0.8秒，
∴
51
0.8(
1)
0.8
50.2
y
x
x
−
=
+
=
+
（2）解：①从8 点10 分0 秒整到8 点12 分0 秒整，总计时
120
y =
秒．
令0.8
50.2 120
x+
解得
87.25
x
x 为正整数，因此最大
87
x =
．
答：一共有87位游客到达观景台．
②从8 点10 分0 秒整到8 点14 分0 秒整，总计时
240
y =
秒．
令0.8
50.2
240
x+
解得
237.25
x
x 为正整数，
因此到8 点14 分0 秒整最多有237 位游客到达．
该时间段游客数为237 87
150
−
=
．
答：一共有150位游客到达观景台．
12．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初
二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采
摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8 元留作下一季的种植基金，余下的
捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5 元，全部售完．销售额与销量之间的关系
如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？
【答案】322 元
【分析】设销售额为y ，销量为x ，由图象先可得降价前的函数表达式为
3
y
x
=
，可得降价前的单价为3 元
/千克，则降价后单价为2.5 元/千克，可得降价后的函数表达式为
2.5
50
y
x
=
+
，则可得总销量为160 千克，
则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数．
【详解】解：设销售额为y ，销量为x ，则降价前的函数表达式为y
kx
=
，
把(
)
100,300 代入，得300
100k
=
，
解得
3
k = ，
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31 /
∴降价前的函数表达式为
3
y
x
=
，
∴降价前的单价为3 元/千克，
∴降价后单价为2.5 元/千克，
设降价后的函数表达式为
2.5
y
x
b
=
+ ，
把(
)
100,300 代入，得300 100 2.5 b
=
+
，
解得
50
b =
，
∴降价后的函数表达式为
2.5
50
y
x
=
+
，
当
450
y =
时，2.5
50
450
x+
=
，
解得
160
x =
，
∴总销量为160 千克，
∴留作下一季的种植基金为0.8 160 128
=
（元），
∴捐给福利院450 128
322
−
=
（元）．
答：该班级本次共捐给福利院322 元．
13．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到
下列信息．
背
景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极
性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有
9 条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或
咸蛋）
素
材
一
若3 条加工线加工皮蛋和1 条加工线加工咸蛋，则每月可加工11 万枚；
若2 条加工线加工皮蛋和3 条加工线加工咸蛋，则每月可加工12 万枚．
素
材
二
现收购了30 万枚鸭蛋，计划在一月内用9 条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调
研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素
材
三
每万枚皮蛋可获利0.7 万元，每万枚咸蛋可获利1.2 万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1 万元处理．
根据以上信息，完成下列任务：
32 /
(1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
(2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？
(3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚
(2)共有3种安排加工线的方案
(3)安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元
【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，然后进行
求解即可；
（2）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，进而求解
即可；
（3）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得
0.2
20.4
W
m
= −
+
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得：
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
3
2
x
y
=
=
；
答：每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚．
（2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得：
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，解得：
36
3
7
m
，
∵m 为正整数，
∴m 的取值为3,4,5，
答：共有3种安排加工线的方案．
（3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得：
(
)
(
)
0.7 3
1.2 2 9
0.1 30
3
2 9
W
m
m
m
m
=
+
−
−
−
−
−
(
)
2.1
21.6
2.4
0.1 12
m
m
m
=
+
−
−
−
0.2
20.4
m
= −
+
，
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33 /
由（2）可知：
36
3
7
m
，
∵0.2
0
−
，
∴W 随m 的增大而减小，
∴当
3
m =
时，W 有最大值，最大值为0.2 3 20.4
19.8
−
+
=
，此时9
9 3
6
m
−
=
−=
；
答：安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元．
考点05 一次函数与几何综合
1．（2026·贵州·中考真题）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4 ，宽
为2 的矩形OABC，且点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，于是过定点(
)
0, 1
P
−
沿直线向矩形
OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC 边的交
点坐标为（ ）
A．(
)
0, 1
−
B．(
)
2,2
−
C．(
)
4,2
−
D．(
)
3,2
−
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形OABC的中心坐标，再结
合点P 的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边BC 的交点坐标即可．
【详解】解：
矩形OABC的长为4 ，宽为2 ，且点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，
点
(0,0)
O
，点(
)
4,0
A −
，点(
)
0,2
C
，点
( 4,2)
B −
，
直线将矩形OABC分成面积相等的两部分，
该直线必经过矩形OABC的对称中心（即对角线OB 的中点），
设矩形中心为点M ，则点M 的坐标为
4
0 2
0
,
2
2
−+
+
，即
( 2,1)
M −
，
设过点
(0, 1)
P
−
和点
( 2,1)
M −
的直线解析式为y
kx
b
=
+
，
∴{
𝑏= −1
−2𝑘+ 𝑏= 1，解得{𝑘= −1
𝑏= −1，
直线解析式为
1
y
x
= −−，
34 /
点
(0,2)
C
，点
( 4,2)
B −
，
线段BC 在直线
2
y =
上，
令
2
y =
，则2
1
x
= −−，解得
3
x
−
=
，
该直线与矩形BC 边的交点坐标为( 3,2)
−
．
2．（2026·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m ，n ，则m n
−
=（ ）
A．1
8
B．1
10
C．1
12
D．0
【答案】B
【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为1 :
3
l
y
x
=
，2 :
3
3
l
y
x
=
−，3
1
:
3
3
l
y
x
= −
+
，
4
1
:
2
3
l
y
x
= −
+
，求出阴影部分m 和n 各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分m 和n 均可分割为一个平
行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解．
【详解】解：如图，过点B 作BJ
x 轴交直线1l 于点J ，过点F 作
//
EF x 轴交直线1l 于点E ，
∵
//
CD x轴，GH
x 轴，
∴CD
BJ ，
//
GH EF ，
由图可知，1l 过(
)
0,0 ，(
)
1,3 ；2l 过(
)
1,0 ，(
)
2,3 ；3l 过(
)
0,3 ，(
)
3,2 ；4l 过(
)
0,2 ，(
)
3,1 ，
设1l 的直线解析式为
(
)
0
y
ax a
=
，
将(
)
1,3 代入上式，则
3
a = ，
∴1l 的直线解析式为
3
y
x
=
；
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35 /
同理可得另外三条直线的解析式分别为：2 :
3
3
l
y
x
=
−，3
1
:
3
3
l
y
x
= −
+
，4
1
:
2
3
l
y
x
= −
+
，
∵直线1l 与
2l 的斜率均为 3，
∴1
2
l
l
∥，
∴四边形
,
JBDC EFHG是平行四边形，
当
1
y = 时，1 3x
=
，解得
1
3
x =
，则
1 ,1
3
G
；
当
1
y = 时，1
3
3
x
=
−，解得
4
3
x =
，则
4 ,1
3
H
；
当
2
y =
时，2
3x
=
，解得
2
3
x =
，则
2 ,2
3
C
；
当
2
y =
时，2
3
3
x
=
−，解得
5
3
x =
，则
5 ,2
3
D
；
∴
1
GH
BC
=
= ，
联立2l 与3l 得：
1
3
3
3
3
x
x
−
= −
+ ，解得：
1.8
x =
，则
2.4
y =
，
∴(
)
1.8,2.4
B
；
联立1l 与
3l 得：
1
3
3
3
x
x
= −
+ ，解得：
0.9
x =
，则
2.7
y =
，
∴(
)
0.9,2.7
A
；
联立2l 与4l 得：
1
3
3
2
3
x
x
−
= −
+
，解得：
1.5
x =
，则
1.5
y =
，
∴
(
)
1.5,1.5
F
；
联立1l 与
4l 得：
1
3
2
3
x
x
= −
+
，解得：
0.6
x =
，则
1.8
y =
，
∴(
)
0.6,1.8
I
；
∴阴影部分n的面积
CDBJ
ABJ
S
S
=
+
(
)
(
)
1
1
2.4
2
1
2.7
2.4
0.55
2
=
−
+
−
=
．
阴影部分m 的面积
GHFE
EFI
S
S
=
+
(
)
(
)
1
1
1.5 1
1
1.8 1.5
0.65
2
=
−
+
−
=
．
∴
1
0.65
0.55
0.1
10
m
n
−
=
−
=
=
．
3.（2026·江西·中考真题）如图，点P 在直线
(
)
0
y
x
b b
−
=
+
上，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，
B ，矩形OAPB的面积为1（O 为坐标原点）．若满足条件的点P 有且仅有三个，则点P 的横坐标为
______________．
36 /
【答案】1 或1
2
−
或1
2
+
【分析】设(
)
,
P x
x
b
−+
，依题意，(
)
1
x
x
b
−+
= ，得出
2
1
x
bx
−
= 或
2
1
x
bx
−
−
=
，根据满足条件的点P 有且
仅有三个，确定b 的值，进而解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设(
)
,
P x
x
b
−+
，依题意，
(
)
1
x
x
b
−+
=
∴
2
1
x
bx
−
= 或
2
1
x
bx
−
−
=
∵
2
1
x
bx
−
= 中，
2
Δ
4
0
b
=
+
，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点P 有且仅有三个
∴方程
2
1
x
bx
−
−
=
有且只有一个解，
∴
2
Δ
4
0
b
=
−
=
∵
0
b
∴
2
b =
所以方程
2
2
1
x
x
−
= ，
∴
2
2
1
2
x
x
−
+ =
∴(
)
2
1
2
x−
=
∴
1
2
x −=
解得：
1
2
1
2,
1
2
x
x
= −
= +
解方程
2
2
1
x
x
−
= −
∴(
)
2
1
0
x −
=
解得：
1
x =
综上所述，点P 的横坐标为1 或1
2
−
或1
2
+
4．
（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，记(
)
1
2
1
2
,
L A B
x
x
y
y
=
−
+
−
，
例如，若
(
)
1,3
M
，则(
)
,
0 1
0 3
4
L O M =
−+
−
=
．若点N 满足(
)
,
1
L O N = ，则所有N 点组成的图形面积为
_____；已知A 是直线y
kx
=
（
0
k ）上一点且位于第一象限，
2
OA=
，点P 在OA上，点Q 满足(
)
,
1
L P Q = ，
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37 /
当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5 ，则k =_____．
【答案】 2 3
4 或4
3
【分析】根据定义得出所有N 点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2 的正方形，进而求得其
面积；进而根据(
)
,
1
L P Q = ，得出Q 点运动所覆盖的区域面积，设(
)
,
A a b ，分情况讨论，分别画出图形，
求得点A 的坐标，进而求得k 的值，即可求解．
【详解】解：①∵(
)
,
1
L O N =
设
(
)
,
N m n
∴
1
m
n
+
=
当N 在第一象限时，
1
m
n
+
=
即
1
n
m
−
=
+
∴点N 在直线
1
y
x
= −+ 上，
同理当N 在第二象限时，
1
m
n
−
+
=
∴
1
n
m
=
+ ，即点N 在
1
y
x
=
+ 上，
当N 在第三象限时，
1
m n
−
−
= ，即
1
n
m
= −
−点N 在
1
y
x
−−
=
上，
当N 在第四象限时，
1
m n
−
= ，即
1
n
m
=
−点N 在
1
y
x−
=
上，
∴所有N 点与坐标轴的交点(
)
1,0 ，(
)
0,1 ，(
)
1,0
−
，(
)
0, 1
−
∴所有N 点组成的图形为正方形，其面积为1
2 2
2
2
=
；
②∵已知A 是直线y
kx
=
（
0
k ）上一点且位于第一象限，
2
OA=
，点P 在OA上，
∴点A 在2 为半径的弧上运动，
∵点Q 满足(
)
,
1
L P Q = ，同①可得点Q 组成的图形是对角线为2 ，且平行于坐标轴的正方形，
∴当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5
设(
)
,
A a b ，A 是直线y
kx
=
（
0
k ）上一点且位于第一象限，
∴b
ak
=
，,
0
a b
∴
b
k
a
=
当b
a
时，如图，
38 /
∴26
1
2 1 2
5
2
CDEF
S
=
+
平行四边形
∴26
1
2 1 2
2
5
2
b
=
+
解得：
8
5
b =
∵
2
2
4
a
b
+
=
，
0
a
∴
6
5
a =
∴
6 8
,
5 5
A
∴
8
4
5
6
3
5
k =
=
当a
b
时，如图，
∴26
1
2 1 2
5
2
GHNM
S
=
+
平行四边形
∴26
1
2 1 2
2
5
2
a
=
+
解得：
8
5
a =
∵
2
2
4
a
b
+
=
，
0
a
∴
6
5
b =
∴
8 6
,
5 5
A
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39 /
∴
6
3
5
8
4
5
k =
=
综上所述，
4
3
k =
或3
4
5．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象相交于点(
)
2,6
A
和点(
)
4,
B
m
−
．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集；
(3)已知点C 是x 轴上一点，连接AC 、BC ，若ABC 的面积为15，求点C 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
12
y
x
=
；一次函数的表达式为
3
3
2
y
x
=
+
(2) 4
0
x
−
或
2
x
(3)
16 ,0
3
−
或4 ,0
3
【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B 的坐标，
再根据点A 和点B 的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答
案；
（3）设直线AB 交x 轴于点D，求出点D 的坐标，根据
15
ABC
ACD
BCD
S
S
S
=
+
=
求出CD的长即可得到答案．
【详解】（1）解：把点(
)
2,6
A
代入反比例函数的表达式得
2
6
2
k
=
，
∴
2
12
k =
，
∴反比例函数的表达式为
12
y
x
=
；
把点(
)
4,
B
m
−
代入
12
y
x
=
得
12
4
m = −，
40 /
∴
3
m
−
=
，
∴点B 的坐标为(
)
4, 3
−
−
，
把点A 和点B 的坐标代入一次函数的表达式得
1
1
2
6
4
3
k
b
k
b
−
+
=
−
+
=
，
∴
1
3
2
3
k
b
=
=
，
∴一次函数的表达式为
3
3
2
y
x
=
+ ；
（2）解：由函数图象可得关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集为4
0
x
−
或
2
x
；
（3）解：如图所示，设直线AB 交x 轴于点D，
在
3
3
2
y
x
=
+ 中，当
0
y =
时，3
3
0
2 x +
=
，解得
2
x = −，
∴点D 的坐标为(
)
2,0
−
，
∵
15
ABC
ACD
BCD
S
S
S
=
+
=
，
∴1
1
15
2
2
A
B
CD y
CD y
+
=
，
∴1
1
6
3
15
2
2
CD
CD
+
−
=
，
∴
10
3
CD =
，
∴点C 的横坐标为
10
16
2
3
3
−
−−
=
或点C 的横坐标为
10
4
2
3
3
−+
=
，
∴点C 的坐标为
16 ,0
3
−
或4 ,0
3
．
