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专题12 尺规作图问题
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 尺规作图
问题
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
稳定设置一道解答大题，个别年份选择题同步考
查作图原理。考题分为两大模块：①基础尺规作
图辨析（角平分线、垂直平分线、作平行线、作
圆切线等原理识别）；②复合情境尺规作图，依
托矩形、平行线、圆等几何背景，要求完成满足
角度、边长条件的定点作图，保留痕迹、不写作
法。第(2) 小问一般结合勾股定理、相似三角形、
解直角三角形进行长度计算。核心掌握5 类基
础作图：作角平分线、作线段垂直平分线、作一
角等于已知角、过点作垂线、作平行线。近五年
特色显著：偏向构造二倍角、正方形内嵌、等距
平行线、切线作图等综合情境，不再单纯考查单
一基础作图，侧重利用作图实现角度转化、构造
等腰三角形；作图与计算紧密捆绑，兼顾动手操
作能力与几何推理计算。
考点01 尺规作图问题
1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：
①在OA 和OB 上分别截取
,
OC OD ，使OC
OD
；
②分别以
,
C D 为圆心，以大于1
2 CD 的长为半径作弧，两弧在
AOB
内交于点M ；
③作射线OM ，连接
,
CM DM ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（）
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A．
1
2
且CM
DM
B．1
3
且CM
DM
C．
1
2
且OD
DM
D．
2
3
且OD
DM
【答案】A
【分析】由作图过程可得：
,
OD
OC CM
DM
，再结合DM
DM
可得
SSS
COM
DOM
≌
，由全等三
角形的性质可得
1
2
即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：
,
OD
OC CM
DM
，
∵DM
DM
，
∴
SSS
COM
DOM
≌
．
∴
1
2
．
∴A 选项符合题意；
不能确定OC
CM
,则1
3
不一定成立，故B 选项不符合题意；
不能确定OD
DM
,故C 选项不符合题意，
OD
CM 不一定成立，则
2
3
不一定成立，故D 选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是
解答本题的关键．
2．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点E 在AD 的延长线上．
(1)求作点F ，使点F 在AD 边上，且
2
AFB
EBC
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
4
AB
，
6
BC
，
2
DE
，求AF 的长．
【答案】(1)如图，点F 即为所求．
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(2)3
【分析】（1）利用尺规作图作
FBE
EBC
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
（2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得BF
EF
，即可求得AE 的长；设AF
x
，则
8
BF
EF
x
，在Rt ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：作
FBE
EBC
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
∥
，
∴
AFB
FBC
，
∵
2
FBC
FBE
EBC
EBC
，
∴
2
AFB
EBC
，即点F 即为所求．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
6
BC
，
AD
BC
，
6
AD
BC
．
E
EBC
，
FBE
EBC
，
FBE
E
，
BF
EF
．
2
DE
，
8
AE
AD
DE
，
设AF
x
，则
8
BF
EF
AE
AF
x
，
在Rt ABF 中，
90
A
，
4
AB
，
由勾股定理得
2
2
2
AF
AB
BF
，
2
2
2
4
8
x
x
，解得
3
x
，
即
3
AF
．
3．（2025·福建·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB
AD
．
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(1)求作正方形EFGH ，使得点E，G 分别落在边
,
AD BC 上，点F，H 落在BD 上；（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）
(2)若
2,
4
AB
AD
，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)
如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形．
(2) 10
2
【分析】（1）作BD 的中垂线交AD 于点E ，交BC 于点G ，以EG 为直径画圆，交BD 于点
,
F H ，即可得
到正方形EFGH ；
（2）勾股定理求出BD 的长，进而求出OD 的长，证明
EOD
BAD
△
△
∽
，求出OE 的长，再根据正方形的
性质，结合勾股定理求出EH 的长即可．
【详解】（1）解：由作图可知，OB
OD
，EG
HF
，
∵矩形ABCD，
∴AD
BC ，
∴
ADB
CBD
，
DEO
BGO
，
∴DOE
BOG
≌
，
∴OE
OG
，
由作图可知，OE
OG
OF
OH
，
∴四边形EHGF 为矩形，
∵EG
HF
，
∴四边形EHGF 为正方形；
（2）由（1）知：OB
OD
，OE
OG
，
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四边形ABCD是矩形，
90
A
，
在Rt ABD 中，
2,
4
AB
AD
，
2
2
2 5
BD
AB
AD
，
1
5
2
OD
BD
．
EG
FH
，
90
DOE
DAB
．
又
ODE
ADB
Q
，
EOD
BAD
∽
△
△
，
OE
OD
AB
AD
，即
5
2
4
OE
，
5
2
OE
．
在Rt EOH 中，OE
OH
，
10
2
2
EH
OE
，
∴正方形EFGH 的边长为10
2
．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相
似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
4．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线1l
2l ．
(1)在1
2
,
l l 所在的平面内求作直线l ，使得l
1l
2l ，且l 与1l 间的距离恰好等于l 与2l 间的距离；（要求：尺规
作图，不写作法，保留作图痕迹）
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(2)在（1）的条件下，若1l 与2l 间的距离为2，点, ,
A B C 分别在
1
2
, ,
l l l 上，且ABC 为等腰直角三角形，求ABC
的面积．
【答案】(1)
如图，直线l 就是所求作的直线．
(2) ABC 的面积为1 或5
2 ．
【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：
（1）先作出与2l 的垂线，再作出夹在1
2
,
l l 间垂线段的垂直平分线即可；
（2）分
90 ,
BAC
AB
AC
；
90 ,
ABC
BA
BC
；
90 ,
ACB
CA
CB
三种情况，结合三角形面积公
式求解即可
【详解】（1）略
（2）①当
90 ,
BAC
AB
AC
时，
l
1l
2l ，直线1l 与2l 间的距离为2，且l 与1l 间的距离等于l 与2l 间的距离，根据图形的对称性可知：
2
BC
，
2
AB
AC
，
1
1
2
ABC
S
AB AC
△
．
②当
90 ,
ABC
BA
BC
时，
分别过点
,
A C 作直线1l 的垂线，垂足为
,
M N ，
90
AMB
BNC
．
l
1l
2l ，直线1l 与2l 间的距离为2，且l 与1l 间的距离等于l 与2l 间的距离，
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2,
1
CN
AM
．
90
MAB
ABM
，
90
NBC
ABM
，
MAB
NBC
，
AMB
BNC
△
≌△
，
2
BM
CN
．
在Rt
ABM
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
AM
BM
，
5
AB
．
1
5
2
2
ABC
S
AB BC
△
．
③当
90 ,
ACB
CA
CB
时，同理可得，
5
2
ABC
S
．
综上所述，ABC 的面积为1 或5
2 ．
5．（2022·福建·中考真题）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD 与⊙A 相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF 与⊙A 相切于点G，求tan
ADB
的值．
【答案】(1)
解：如图所示，⊙A 即为所求作：
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(2)
5
1
2
【分析】（1）先过点A 作BD 的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设
ADB
，⊙A 的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG 是
正方形，然后在Rt△ABE 中，根据勾股定理建立方程求解
tan
BE
r
，再判定
ABE
CDF
≌
△
△
，根据
tan
BE
DF
r
，
tan
DE
DF
EF
r
r
，在Rt△ADE 中，利用tan
AE
ADE
DE
，得到
2
tan
tan
1
0
，求解得到tan∠ADB 的值为
5
1
2
．
【详解】（1）略
（2）解：根据题意，作出图形如下：
设
ADB
，⊙A 的半径为r，
∵BD 与⊙A 相切于点E，CF 与⊙A 相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG 是矩形，
又AE
AG
r
，
∴四边形AEFG 是正方形，
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∴EF
AE
r
，
在Rt△AEB 和Rt△DAB 中，
90
BAE
ABD
，
90
ADB
ABD
，
∴
BAE
ADB
，
在Rt△ABE 中，tan
BAE
BE
AE
，
∴
tan
BE
r
，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB
CD
∥
，AB＝CD，
∴
ABE
CDF
，又
90
AEB
CFD
，
∴
ABE
CDF
≌
△
△
，
∴
tan
BE
DF
r
，
∴
tan
DE
DF
EF
r
r
，
在Rt△ADE 中，tan
AE
ADE
DE
，即
tan
DE
AE
，
∴
tan
tan
r
r
r
，即
2
tan
tan
1
0
，
∵tan
0
，
∴
5
1
tan
2
，即tan∠ADB 的值为
5
1
2
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判
定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题
的关键．
1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知在ABC 中，
90
C
，D 为AB 上一点，且AC
CD
，要在线段BA
的延长线上求作一点E，使得CE
CD
，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【详解】解：A．由作法可知CE
CD
，符合题意；
B．由作法可知
ECA
DCB
，
∵
90
ACD
DCB
，
∴
90
ACD
ECA
，
∴
90
ECD
，
∴CE
CD
，符合题意；
C．由作法可知CE
CB
，
∴
CEA
CBD
．
∵AC
CD
，
∴
CAD
CDA
，
∴
CAE
CDB
，
∴
AAS
CAE
CDB
≌
，
∴
ECA
DCB
，
由B 可知，CE
CD
，符合题意；
D．由作法可知AE
AC
，由此作法无法说明CE
CD
，故不符合题意．
2．（2026·福建厦门·一模）如图，ABC 中，
8
AB
AC
．以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB
AC
，
于点M，N；分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线AD 交BC 于点E．若
点F 为AB 的中点，连接EF ，则EF 的长是（
）
A．2 2
B．4
C．4 2
D．4 3
【答案】B
【分析】由作图过程可知：AE 是
BAC
的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得AE
BC
，再
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根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：由作图过程可知：AE 是
BAC
的角平分线，
∵
8
AB
AC
．
∴AE
BC
，
∵点F 为AB 的中点，
∴
1
4
2
EF
AB
．
3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
，
30
A
，
3
BC
，尺规作图痕
迹如图所示，再以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点E ，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】1 π
3
【分析】利用三角函数求出BD 的长，由作图得AD
BD
，由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵
90
C
，
30
A
，
∴
90
30
60
ABC
，
由作图知BD 平分
ABC
，
∴
1
30
2
DBC
ABD
ABC
，
在Rt DBC 中，
3
BC
，则
2
cos30
BC
BD
，
∵
30
ABD
A
，
∴
2
AD
BD
，
∴阴影部分面积为
2
30π 2
1 π
360
3
．
4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，O是BC 边上一点，以点O为圆心，OB
的长为半径的圆交AB 于点D ，且过点D 作
O 的切线交AC 于点E ．
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(1)尺规作图：试确定点E 的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若
2
AB
AC
，
2 3
BC
，求证：ADE 是等边三角形．
【答案】(1)解：作图如下：
(2)证明：
2
AB
AC
Q
，
2
AB
AC
．
90
C
，
2
2
2
AC
BC
AB
，
即
2
2
2
2 3
2
AC
AC
，
2
AC
，
tan
3
BC
A
AC
，
60
A
∴
，
30
B
．
OB
OD
，
30
BDO
B
．
30
FDA
BDO
，
OF
DE
，
90
FDE
，
90
30
60
ADE
FDE
FDA
，
60
A
ADE
，
ADE
是等边三角形．
【分析】（1）按照过一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）由已知条件及勾股定理可求得AC ，由三角函数可求得
60
A
，进而得
30
B
，由等腰三角形的
性质得
30
FDA
，由切线的性质及等边三角形的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：连接OD 并延长到F，以D 为圆心，任意长为半径画弧交射线OF 于两点，再作以这两
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点为端点的线段的垂直平分线交AC 于点E，则点E 为所确定的点．作图略；
（2）略
5．（2026·福建莆田·模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，其内部是由4 个全等直角三角形围着一
个小正方形形成，外部则是将这4 个三角形的顶点连接成一个大正方形，具备中心对称的结构美．它简约
美观而不失深厚，是数学人心中的数学瑰宝，2002 年第24 届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图
ABCD
EFGH
”为基本元素设计而成（如图1 所示）．如图2，点F 在正方形ABCD内，
90 ,
AFB
AF
BF
．
(1)求作赵爽弦图ABCD
EFGH
，使得点E 在AF 上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的作图条件下，求证：正方形ABCD的中心就是正方形EFGH 的中心．
【答案】(1)解：作图如下：
正方形EFGH 即为所求
(2)证明：连接
,
AC BD 两线交于点O，连接
,
,
,
OE OF OG OH ，
四边形ABCD是正方形，四边形EFGH 是正方形，
,
90
AB
AD
BAD
AED
AFB
，
90
BAF
EAD
，
90
EAD
EDA
，
BAF
ADE
，
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BAF
ADE ASA
≌
，
ABF
DAE
，BF
AE
，
四边形ABCD是正方形，
45
OBA
DAO
\ Ð
= Ð
=
°，OB
OA
，
90
BOA
，
OBF
OAE
，
BOF
AOE SAS
≌
，
OE
OF
∴
，
BOF
AOE
，
90
EOA
BOE
Ð
+Ð
=
°，
90
BOF
BOE
，
90
EOF
，
EOF
V
是等腰直角三角形，
同理可证，
,
,
GOF
GOH
HOE 都是等腰直角三角形，
180 ,
180
EOF
FOG
EOF
EOH
\
靶
+
，
,
,
E O G
\
三点共线，
,
,
F O H 三点共线，OE
OF
OG
OH
，
故正方形ABCD的中心就是正方形EFGH 的中心．
【分析】（1）在AF 上截取AE
BF
，连接DE ，过点C 作CH
DE
于点H，延长BF 交CH 于点G，求解
即可；
（2）连接
,
AC BD 两线交于点O，连接
,
,
,
OE OF OG OH ，证明
ASA
BAF
ADE
≌
，再证明
BOF
AOE SAS
≌
，得证EOF 是等腰直角三角形，同理可证，
,
,
GOF
GOH
HOE 都是等腰直角三角
形，解答即可；
【详解】（1）略
（2）略
6．（2026·福建三明·模拟预测）如图，ABC 中，AB
AC
，
120
BAC
．
(1)尺规作图：在BC 边上求作一点P ，使得
30
PAC
；（保留作图痕迹，不写作法）
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(2)在（1）的条件下，若
6
AC
，求CP 的长．
【答案】(1)
(2) 2 3
【分析】（1）作
90
PAB
或作线段AC 的垂直平分线，交点为所求或运用作一个角等于已知角的基本作
图求解；
（2）根据等腰三角形的性质，特殊角的三角函数求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
AB
AC
∵
，
120
BAC
，
6
AC
，
6
AB
，
30
B
C
．
30
PAC
，
120
BAC
，
90
PAB
．
在Rt
PAB
△
中，
tan30
AP
AB
，
3
tan30
6
2 3
3
AP
AB
．
又
30
C
PAC
Q
，
2 3
CP
AP
．
7．（2026·福建三明·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
．
(1)用无刻度的直尺和圆规，在AC 的延长线上确定点D ，使得以D 为圆心，DC 为半径的圆，与直线AB 相
切，画出⊙D ，并标出切点E ；（不写画法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，⊙D 与直线AC 的另一交点为F ，连接EF ，若
4
cos
5
CAB
，且
5
AB
，求EF 的
长．
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【答案】(1)
(2) 24 5
5
【分析】（1）作ABC 中
ABC
的外角的平分线交AC 延长线于点D，以D 为圆心，DC 为半径的圆，与
直线AB 相切；
（2）过点F 作FG
AB
于点G ；由余弦函数关系可求得AC ，进而由勾股定理求得AC ，证明
Rt DCB
Rt DEB
≌
，得
3
CB
BE
，证明
DEA
FGA
△
∽△
，求得FG
AG
、
，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：略；
（2）解：如图，过点F 作FG
AB
于点G ；
90
FGE
，
90
ACB
，
4
cos
5
AC
CAB
AB
，
5
AB
，
4
AC
．
∵在Rt
ACB
△
中，由勾股定理
2
2
2
AB
AC
BC
，得
3
BC ，
D
Q e
与直线AB 相切于点E ，
DE
AB
，
90
DEA
．
90
DEA
BCD
Q
，BD
BD
，DC
DE
，
Rt DCB
Rt DEB HL
≌
，
3
CB
BE
．
90
DEA
，
4
cos
cos
5
AE
DAE
CAB
AD
，
8
AE
AB
BE
，
10
AD
，
6
CD
DE
，
16
AF
．
90
DEA
FGA
Q
，
DAE
FAG
．
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DEA
FGA
△
∽△
，
AD
DE
AE
AF
FG
AG
，
10
6
8
16
FG
AG
，
48
5
FG
，
64
5
AG
，
24
5
EG
AG
AE
，
∴在Rt EFG 中，由勾股定理得
2
2
2
2
48
24
24 5
(
)
(
)
5
5
5
EF
EG
FG
．
8．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形．
(1)在CD 上求作一点P ，使得
1
2
PBC
BCD
S
S
；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
120
C
，
4
AB
，
8
AD
，求（1）中
PBC
△
的面积．
【答案】(1)点P 的位置如图所示；
(2) 4 3
【分析】（1）分别以点C ，点D 为圆心，大于1
2 CD 为半径画圆，连接交点，与CD 交于点P ，根据三角形
的面积，等底半高，点P 即为所求；
（2）过点P 作PE
BC
垂足为E ，根据
120
C
，求出
DCE
，根据
1
2
PBC
BCD
S
S
，求出PC ，再根据
sin
PE
PCE
PC
，求出PE ，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：过点P 作PE
BC
垂足为E ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD
，BC
AD
，
∵
120
BCD
，
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∴
180
60
PCE
BCD
，
∵
1
2
PBC
BCD
S
S
，
∴点P 是CD 中点，
∴
1
2
2
PC
CD
，
在Rt
PCE
△
中，sin
PE
PCE
PC
，
即
3
2
2
PE
，
∴
3
PE
，
∴
1
4 3
2
PBC
S
BC PE
．
【点睛】本题解直角三角形，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图，解直角三角形，进行解答，即可．
9．（2026·福建泉州·二模）如图所示的方格图中的小正方形边长均为1，点
,
P A均是格点．直线PA 与ABC
的外接圆相切于点A ，交射线BC 于点M ，已知AB
BC
．
(1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图：
①画出ABC 的外接圆的圆心O ；
②画出
O 的切线CN ，交射线BA 于点N ．
(2)在（1）的条件下，连结MN ．试证明：AMN 是等腰三角形．
【答案】(1)①如图所示点O为所作的圆心；
②如图所示CN 为所作的
O 的切线；
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(2)如图，由等腰ABC
O
、
、切线AM 与切线CF 的轴对称性质，
可得BN
BM
BD
MN
、
，
则
,
90
BNM
BMN
BDM
，
∵PA 是
O 的切线，
∴
90
OAF
，
又
AFO
DFM
，
∴180
180
OAF
AFO
BDM
DFM
，
即
AOF
DMF
，
∵
AOF
OBA
OAB
，
且
,
OBA
OAB
OBA
OBC
，
∴
AOF
OBA
OBC
ABC
，
∴
ABC
DMF
，即
MBN
AMN
，
又
MNB
ANM
，
∴MNB
ANM
∽
，
即
MAN
BMN
，
∴
MAN
BNM
，即
MAN
MNA
，
∴AMN 是等腰三角形．
【分析】（1）①找格点L ，使
90
PAL
，找出圆与格线的交点G
H
、
，使
90
GAH
，AL 和GH 的交
点就是圆心O；②连接BO 并延长，交AM 于点F ，连接CF 并延长，交直线BA 于点N ，CN 就是所求作
的切线．
（2 ）借助切线垂直半径、图形轴对称得出BNM 等腰，通过内角和、圆心角性质等量代换，推导出
MAN
MNA
，证出AMN 为等腰三角形．
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【详解】（1）解：①如图
∵
90
GAH
∴GH 是圆的直径，
∵
45
45
90
PAL
PAG
GAL
，
∴PA
AL
，
∵PA 是○O 的切线，
∴圆心O在直线AL 上，
∴AL 与GH 的交点就是圆心O；
②作切线CN ：
在AOB 和
COB
△
中，
∵
OA
OC
AB
CB
OB
OB
，
∴
(SSS)
AOB
COB
△
≌△
，
∴
ABO
CBO
，
BAO
BCO
，
在
ABF
△
和
CBF
△
中，
∵
AB
CB
ABF
CBF
BF
BF
，
∴
(SAS)
ABF
CBF
≌
，
∴
BAF
BCF
，
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∴
BAF
BAO
BCF
BCO
，
即
OAF
OCF
，
∵直线PA 与ABC 的外接圆相切于点A ，
∴
90
OAF
，
∴
90
OCF
，
∵OC 是半径，
∴CN 就是所求切线；
（2）略
10．（2026·福建莆田·模拟预测）解答
(1)【问题提出】如图，在长方形ABCD中，点P 是边CD 上一点，在边BC 、AD 上分别作出点E
F
、，使
得点F
E
P
、、
是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE
PF
，
90
EPF
；要求：用尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法；
(2)【问题解决】在(1)的前提下，作P 关于EF 的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图形，求证：四边
形EPFQ 为正方形．
【答案】(1)所作等腰直角三角形EPF 如图1 所示：
(2)证明：补全图形如图2，
∵点Q 与点P 关于直线EF 对称，
∴EF 垂直平分线段PQ ，
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∴PE
QE
，PF
QF
．
又∵PE
PF
，
∴PE
QE
QF
PF
，
∴四边形EPFQ 是菱形．
∵
90
EPF
，
∴菱形EPFQ 是正方形．
【分析】（1）根据作图技巧运用圆规分别在
,
AD BC 上截取
,
CP
DF DP
CE
，然后，连接
,
,
PE PF EF ，
证得
, ,
CPE
DFP S A S
≌
，得出PE
FP
，
CPE
DFP
即可证得结论；
（2）根据垂直平分线的性质，得PE
QE
，PF
QF
，再由PE
PF
，得四边形EPFQ 是菱形，最后，由
90
EPF
即可证得结论．
【详解】（1）解：∵在长方形ABCD中，
∴
90
C
D
，
根据作图痕迹可知
,
CP
DF DP
CE
，
在CPE 和DFP 中，
CP
DF
C
D
CE
DP
，
∴
, ,
CPE
DFP S A S
≌
，
∴PE
FP
，
CPE
DFP
，
∴
90
DFP
DPF
CPE
DPF
，
∴
180
90
EPF
CPE
DPF
，
∴EPF 是等腰直角三角形；
（2）略
11．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在ABC 中，
90
ACB
，
6
AC
，
10
AB
，点D 为AB 的中点，
连接CD ．
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(1)尺规作图：试确定一点E ，使得DB与EB 关于直线BC 对称；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的前提下，求四边形DBEC 的周长与面积．
【答案】(1)如图，点E 即为所求
(2)周长为20 ，面积为24 ，
【分析】（1）以点B 为圆心，BD 为半径画弧，再以点C 为圆心，CD 为半径画弧，两弧的另一个交点即为
所求的点E ；
（2）由勾股定理可得
8
BC ，结合点D 为AB 的中点可得
1
12
2
BCD
ABC
S
S
，由（1）可得BCD
BCE
≌
，
因此
四边形
△
2
24
DBEC
BCD
S
S
，利用直角三角形的性质可得
1
5
2
BD
CD
AB
，结合BD
BE
，CD
CE
，
即可得出四边形DBEC 的周长．
【详解】（1）解：如图，连接CE 、DE ，DE 交BC 于点F ，
由题意可知，BD
BE
，CD
CE
，
在BCD 和BCE 中，
BD
BE
BC
BC
CD
CE
，
∴
BCD
BCE SSS
≌
，
∴
CBD
EBD
，
又∵BD
BE
，
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∴BC
DE
，
DF
EF ，
∴点D 与点E 关于直线BC 对称，
∴DB与EB 关于直线BC 对称；
（2）解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
6
8
BC
AB
AC
，
∵点D 为AB 的中点，
∴
1
5
2
AD
BD
CD
AB
，
∴
△
△
1
1
1
12
2
2
2
BCD
ABC
S
S
AC
BC
，
由（1）可知，BCD
BCE
≌
，
∴
△
△
12
BCD
BCE
S
S
，
∴
四边形
△
△
24
DBEC
BCD
BCE
S
S
S
，
∵BD
BE
，CD
CE
，
又∵
5
BD
CD
，
∴
5
BD
BE
CD
CE
，
∴四边形DBEC 的周长为
20
BD
BE
CD
CE
．
12．（2026·福建福州·三模）如图，在ABC 中，
60
B
，
105
C
，
6
BC
．
(1)在AC 上找一点M ，使得AB CM
AM BC
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求BM 的长．
【答案】(1)
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(2)3 3 3
【分析】（1）过点B 作BM 平分
ABC
交AC 于点M ，点M 即为所求，
（2），过点C 作CF
BM
，由（1）可知BM 平分
ABC
，
60
ABC
，根据角平分线的定义可知
30
CBM
，
根据含30角的直角三角形的性质可知
1
3
2
CF
BC
，根据勾股定理可以求出
3 3
BF
，根据三角形内角
和定理可以求出
45
BMC
，可知CFM 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知
3
FM
CM
，根据BM
BF
FM
即可求出结果．
【详解】（1）解：如下图所示，过点B 作BM 平分
ABC
交AC 于点M ，点M 即为所求，
BM 平分
ABC
，
30
ABM
CBM
，
过点C 作
//
CN AB 交BM 的延长线于点N ，
30
N
ABM
，
N
CBM
，
CN
BC
，
//
CN AB，
CNM
ABM
∽
，
AB
AM
CN
CM
，
AB
AM
BC
CM
，
AB CM
AM BC
；
（2）解：如下图所示，过点C 作CF
BM
，
由（1）可知BM 平分
ABC
，
60
ABC
1
30
2
ABM
CBM
ABC
，
105
ACB
，
180
45
BMC
MBC
MCB
，
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CFM
是等腰直角三角形，
6
BC
Q
，CF
BM
，
1
3
2
CF
BC
，
2
2
2
2
6
3
3 3
BF
BC
CF
，
3
FM
CF
，
3 3
3
BM
BF
FM
．
13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知
O 的半径为2，AC 为
O 的直径，AH 与
O 相切于点A．
(1)请用尺规作图的方法，作
O 的内接正方形ABCD；（要求：点A，B，C，D 按顺时针方向在
O 上，
保留作图痕迹，不写作法）
(2)延长CD 交射线AH 于点E，连接OE ，交AD 于点F，求
AEF 的面积．
【答案】(1)见详解
(2) 8
3
【分析】（1）分别以
,
A C 为圆心，大于OA的长度为半径画弧，分别交于点
,
M N ，过点
,
M N 作直线，交
圆于,
B D，则四边形ABCD 为正方形；
（2）过点O作OG
CD
，证明EDF
EGO
∽
，根据相似三角形的性质可知DF 的长度，进而根据
AEF
ADE
DEF
S
S
S
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，
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（2）解：过点O作OG
CD
，
∵ABCD是正方形，
∴
45
ACD
，
90
ADC
，
∵AH 与
O 相切于点A，
∴
90
CAH
，
∴
45
AEC
，
∴
ACE
△
是等腰直角三角形，
4
AC
AE
，
2
2
4 2
EC
AC
AE
，
又AD
CE
，
∴
1
2 2
2
AD
DE
EC
，
sin
2
OG
OC
ACD
，
cos
2
CG
OC
ACD
，
∴
3 2
EG
EC
CG
，
∵
90
OGC
ADC
，
∴DF
OG
∥
，
∴EDF
EGO
∽
，
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∴DF
ED
OG
EG
，
∴
2 2
2
3 2
DF
，
∴
2 2
3
DF
，
∴
1
1
4
8
4
2
2
3
3
AEF
ADE
DEF
S
S
S
AD DE
DE DF
．
14．（2026·福建三明·三模）如图，矩形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O．
(1)尺规作图：在平面内确定一点E ，使得四边形BOCE 是菱形；
(2)在（1）的条件下，若
12
BC
，四边形BOCE 的面积为54，求AB 的长．
【答案】(1)解：方法不唯一：
如：分别以B、C 为圆心，BO 长为半径作弧，交于点E，点E 即为所求．
理由：∵矩形ABCD，
∴OA
OB
OC
OD
，
由作图可得：BO
BE
，CE
CO
，
∴OB
OC
BE
CE
=
=
=
，
∴四边形BOCE 为菱形．
(2)9
【分析】（1）由菱形四边相等，在BC 的下侧作BO
BE
，CE
CO
即可；
（2）由四边形BOCE 是菱形，面积为54，可得
9
OE
．由四边形ABEO 是平行四边形，可得
9
AB
．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接EO ，
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∵
12
BC
，四边形BOCE 的面积为54，四边形BOCE 是菱形，
1
54
2 BC OE
，OE
BC
．OC
BE ，
∵
12
BC
，
9
OE
．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB
BC
，
∴AB
OE
∥
，
四边形ABEO 是平行四边形．
9
AB
OE
．
15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知ABC 是直角三角形，AB
BC
，
90
ABC
．
(1)求作
ADE
，使
2
ADE
BAD
，
2
AD
DE
，且点D 落在边BC 上，点E 落在边AC 上．（仅用无刻
度直尺和圆规作图）
(2)若
5
DE
，求ADE 的面积．
【答案】(1)如图所示：
(2)3
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【分析】（1）作AB 的垂直平分线交AC 于点E，连接BE ，作BE 的垂直平分线交BE 于点O，连接AO 并
延长交BC 于点D，交AB 的垂直平分线于点F，连接BF
DE
，
即可．
（2）过点D 作DG
AC
于点G，则DG
CG
，设GE
a
，则可表示DG
CD
、
，再由平行线分线段成比例
可求得DB，在Rt ABD 中，由勾股定理求得AB ，根据AB
BC
求得a 的值，即可求得ADE 的面积．
【详解】（1）解：∵EF 是AB 的垂直平分线，
90
ABC
，
∴EF
BC
∥
，
∴
FEO
DBO
EFO
BDO
，
，
∵O 是BE 的中点，
∴OE
OB
，
∴
OEF
OBD AAS
≌
，
∴EF
DB
，
∴四边形EFBD 是平行四边形，
∴DE
BF
DE
BF
，
∥
，
∴
ADE
BFD
，
∵EF 是AB 的垂直平分线，
∴AF
BF
，
∴
DAB
FBA
，
∴
2
BFD
BAD
∵
90
DAB
ADB
FBA
FBD
，
∴
ADB
FBD
，
∴FD
FB
AF
，
∴
2
2
AD
FB
DE
，
即所作
ADE
，满足
2
ADE
BAD
，
2
AD
DE
．
（2）解：如图，过点D 作DG
AC
于点G，
∵EF 是AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
，
∴
45
EBA
EAB
，
∴
45
EBC
C
Ð
= Ð
=
°，
∴CE
BE
，
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∵DG
AC
，
∴
45
GDC
C
，
∴DG
CG
，
设GE
a
，
在Rt
DGE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
5
CG
DG
DE
GE
a
，
由勾股定理得
2
2
2
5
CD
DG
a
，
∵AE
BE
CE
，AB
BC
，
∴BE
AC
，
∴DG
BE ，
∴CG
CD
GE
DB
，
∴
2
DB
a
，
在Rt ABD 中，
2
2 5
AD
DE
，由勾股定理得
2
2
2
20
2
AB
AD
DB
a
，∵AB
BC
CD
DB
，
∴
2
2
20
2
2
5
2
a
a
a
，
两边平方并整理得
2
2
5
2
5
a
a
a
，
两边平方并整理得：
2
2
5
1
0
a
a
，
∵a 为正数，
∴
5
a
或
1
a ，
当
5
a
，即
5
GE
时，DE
GE
，与直角三角形中直角边小于斜边矛盾，不符合题意，
∴
1
a ，即
1
GE ，
∴
2
3
DG
CG
AE
CE
GE
CG
，
，
∴ADE 的面积为1
1
3 2
3
2
2
AE DG
．
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16．（2026·福建宁德·一模）如图，已知矩形ABCD，E 是边CD 上的一点．
(1)若F 是边AD 上的一点，将
ABF
△
沿直线BF 折叠，得到
MBF
△
，且BM 经过点E ．用尺规作出满足条
件的
MBF
△
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，过点M 作MN MN
FA ，交BF 于点N ，连接AN ．求证：四边形AFMN 是菱形．
【答案】(1)
如图所示：作射线BE ，作
ABE
的平分线BF 交AD 于点F ，在射线BE 上截取BM
BA
，连接MF ，MBF
△
即为所求；
(2)
证明：连接AM ，交BF 于点O ，
线段AB ，MB 关于直线BF 对称，
AO
MO
，BF
AM
，
FA
FM
，
MN
AF ，
FAM
NMA
，
又
AOF
MON
，
ASA
AOF
MON
≌
，
MN
AF
，
四边形AFMN 是平行四边形，
FA
FM
，
平行四边形AFMN 是菱形.
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【分析】（1）作射线BE ，作
ABE
的平分线BF 交AD 于点F ，在射线BE 上截取BM
BA
，连接MF 即
可；
（2）连接AM ，交BF 于点O，根据折叠的性质可得AO
MO
，进而FA
FM
，得到AOF
MON
≌
，
从而得出MN
AF
，结合
MN
FA ，即可得出结论.
【详解】（1）略
（2）略
17．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知直线m
n
∥，点A 在直线m 和n 之间，且点A 到直线m ，n 的
距离相等．
(1)利用直尺和圆规作出等腰直角三角形ABC ，使得点B 在直线m 上，点C 在直线n 上，
90
ABC
．（保
留作图痕迹，不写作法）．
(2)若直线m 和n 之间的距离为2 ，求ABC的面积．
【答案】(1)
(2) ABC 的面积为5
2
【分析】（1）以点M 为圆心，MN 的长度为半径画弧，交直线m 于点B ，连接AB ，以点B 为圆心AB 为
半径画弧，交直线n 于点C ，连接AC 得到ABC 即为所求；
（2）证明
ABM
BCD AAS
≌
，根据全等三角形的性质可得：
2
BM
CD
MN
，根据点A 到直线m ，
n 的距离相等可得：
1
AM
AN
，利用勾股定理可以求出
5
AB
CB
，根据三角形的面积公式即可求出
ABC 的面积．
【详解】（1）解：如下图所示，
以点M 为圆心，MN 的长度为半径画弧，交直线m 于点B ，连接AB ，
以点B 为圆心AB 为半径画弧，交直线n 于点C ，
连接AC 得到ABC，
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过点C 作CD
m
，
则有
90
AMB
CDB
，
在Rt AMB 和Rt BDC 中，
AB
BC
BM
CD
，
Rt AMB
Rt BDC
≌
，
CBD
BAM
，
90
BAM
ABM
，
90
CBD
ABM
，
90
ABC
，
ABC
是等腰直角三角形；
（2）解：如下图所示，过点C 作CD
m
于点D ，则
90
BDC
，
90
BCD
CBD
，
ABC 为等腰直角三角形，
AB
BC
，
90
ABC
，
90
ABM
CBD
，
∴
ABM
BCD
，
在
ABM 和BCD 中，
AMB
BDC
ABM
BCD
AB
BC
，
ABM
BCD AAS
≌
，
2
BM
CD
MN
，
点A 到直线m 和n 的距离相等，
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1
AM
AN
，
在Rt ABM 中，
90
AMB
，
2
2
2
2
1
2
5
AB
AM
BM
，
ABC
的面积
2
1
5
2
2
AB
．
18．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
90 ,
5
ACB
AC
，
5
tan
12
B
．
(1)在线段BC 上求作点D，使得
8
BD
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，过点D 作DE
AD
交AC 的延长线于点E，求sin E 的值．
【答案】(1)见解析
(2) 5 41
41
【分析】（1）求出
12
BC
，
13
AB
，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点H ，则
8
BH
AB
AH
，
以点B 为圆心，BH 的长为半径画弧交BC 于点D ,则
8
BD
BH
；
（2）求出
41
AD
，证明ADC
AED
∽
，得到
5
5 41
41
41
AD
AC
AE
AD
，即可得到sin E 的值．
【详解】（1）解：∵在ABC 中，
90 ,
5
ACB
AC
，
5
tan
12
B
．
∴
5
tan
12
AC
B
BC
，
∴
12
BC
，
∴
2
2
2
2
5
12
13
AB
AC
BC
，2
以点A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点H ，则
8
BH
AB
AH
，以点B 为圆心，BH 的长为半径画弧
交BC 于点D ,则
8
BD
BH
；
（2）解：∵
4
CD
BC
BD
，
90
ACB
，
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∴
2
2
2
2
4
5
41
AD
DC
AC
，
∵
90
ADE
ACD
DCE
ACB
，
∴
90
ADC
CAD
AED
CAD
，
∴
ADC
AED
∽
，
∴ADC
AED
∽
，
∴
5
5 41
41
41
AD
AC
AE
AD
，
∴
5 41
sin
41
AD
AED
AE
.
19．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，AD
AB
，AC 是对角线．
(1)求作线段CP ，PQ ，使得CP
PQ
的值最小，且点P，Q 分别落在边AD ，AC 上；（要求：尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
6
AB
，
3
tan
4
CAD
，求（1）中所作的CP
PQ
的值．
【答案】(1)图见详解
(2) 48
5
【分析】本题考查了最短路径问题，锐角三角函数解直角三角形，能够利用对称的性质找到最短路径是解
题的关键．
（1）根据“将军饮马”模型即可画图；
（2）利用锐角三角函数解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：以点A 为圆心，AC 为半径画弧，以点D 为圆心，DC 为半径画弧，两弧交于C，则C
为点C 关于AD 的对称点；以点C为圆心，AC为半径，画弧与线段AC 交于E ，分别以A ，E 为圆心，以
AE 为半径画弧，连接C与两弧交点，与AD 交于P ，与AC 交于Q ，连接CP ，
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此时，C Q
AC
，则C Q
为C到AC 的最短距离，由于
CP
C P ，则此时CP
PQ
的最小值；
（2）解：连接C D
，
∵四边形ABCD为矩形，
∴
6
AB
CD
，AD
BC
，
∵
3
tan
4
CAD
，
∴
8
tan
CD
AD
CB
CAD
，
∵C为点C 关于AD 的对称点，
∴
6
C D
CD
，
APQ
C PD
，
90
AQP
PDC
，
∴
CAD
DC P
，
∴
9
tan
2
PD
C D
CAD
，
∴
7
2
AP
，
15
2
C P
CP
，
在Rt
APQ
△
中，设
3
PQ
k
，
4
AQ
k
，则
2
2
2
7
4
3
2
k
k
，解得
7
10
k
，
7
10
k
（不符合题意，舍去），
∴
21
10
PQ
，
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则
15
21
48
2
10
5
CP
PQ
．
20．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形ABCD内接于
O ，AB CD ．
(1)在AB 上求作点E ，使得CE
AD ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，D 是AC 的中点，求证：四边形ADCE 是菱形．
【答案】(1)
解：如图，点E 为所求作的点：
(2)
证明：
AE
DC
，AE
DC
∥
，
四边形ADCE 是平行四边形，
D 是AC 的中点，
AD
DC
，
四边形ADCE 是菱形．
【分析】（1）以A 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于点E ，可得AE
CD
，易得四边形AECD是平行
四边形，即可得到CE
AD
∥
；
（2）根据已知条件得出AD
DC
，再根据四边形ADCE 是平行四边形，即可得证；
【详解】（1）略
（2）略
21．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形ABCD中，AD
BC ，
点E，F 在对角线BD 上，BE
DF
．用尺规作
EHFG
Y
，使得点H，G 分别落在边BC ，AD 上．
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(1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法．
甲同学的作法：
在AD 上任取一点G，
连接GE ，GF ；
以点B 为圆心，DG 长
为半径作弧，交BC 于
点H；
连接EH ，FH ，则
EHFG
Y
即为所求．
乙同学的作法：
在AD 上取一点G，连
接GE ，GF ，
GF
DF
；
以点E 为圆心，FG 长
为半径作弧，交BC 于
点H；
连接EH ，FH ，则
EHFG
Y
即为所求．
请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因；
(2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G 分别落在边BC ，AD
上，且
2
GH
EF
．请你按下述要求，完成作图．
①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②只需作出一种情况即可．
【答案】(1)
解：甲同学：以点B 为圆心，DG 长为半径作弧，交BC 于点H；
由题意可得DG
BH
，
AD
BC
∥
，
ADB
DBC
，
DF
BE
，
(SAS)
GFD
HEB
≌
，
,
GF
EH
GFD
HEB
GFE
FEH
GF
EH
∥
四边形EHFG 是平行四边形；
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乙同学：以点E 为圆心，FG 长为半径作弧，交BC 于点H；
与BC 可能有两个交点，故无法进行判断；
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可；
（2）取平行四边形对角线也就是EF 的中点O，过O作直线交AD 于点G ，交BC 于点H ，使GO
OH
，
连接EG、FH ，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：取平行四边形对角线也就是EF 的中点O，
在AD 上任取一点G，连接GE ，GF ；以点B 为圆心，DG 长为半径作弧，交BC 于点H，保证GF
DF
，
使得GO
EF
，
由题意可得DG
BH
，
AD
BC
∥
，
ADB
DBC
，
DF
BE
，
(SAS)
GFD
HEB
≌
，
,
GF
BH
GFD
HEB
，
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GFE
FEH
，
GF
EH
∥
，
四边形EHFG 是平行四边形；
2
GH
GO
，
GO
EF
，
2
GH
EF
\
=
，
则四边形EHFG 是平行四边形且
2
GH
EF
．
22．（2026·福建福州·二模）如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
，AB
AC
，AD 是中线．
(1)尺规作图：求作线段BE ，使得BC 平分
ABE
，且BE
BD
，连接ED 并延长交BA 延长线于点F（保留
作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：AD
AF
．
【答案】(1)
如图所示：
(2)
证明：
90
,
BAC
AB
AC
,
AD 是中线，
,
,
45
AD
BC AD
BD
BAD
，
BC 平分
ABE
，
45
DBE
ABC
，
BE
BD
，
180
45
67.5
2
BDE
，
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180
90
67.5
22.5
ADF
，
180
45
135
DAF
，
180
135
22.5
22.5
AFD
，
ADF
AFD
，
AD
AF
．
【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可；
（2）由等腰三角形的性质可得
,
,
45
AD
BC AD
BD
BAD
，再求出
45
DBE
ABC
，再由等腰三
角形性质可得
180
45
67.5
2
BDE
，再求出
ADF
AFD
，最后可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
23．（2026·福建南平·二模）如图，已知ABC 和射线CD ，AB
AC
，
60
BAC
．
(1)在射线CD 上求作点E，使得
180
ABE
BCD
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，若
135
BCD
，求证：
2
BE
AB
．
【答案】(1)
解：如图①，点E 即为所求作；
(2)
证明：如图②，过点B 作BF
CE
交EC 的延长线于点F，
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∴
90
BFC
，
∵
135
BCE
，
∴
180
45
BCF
BCE
，
∴BCF 为等腰直角三角形，
∴BF
CF
，
45
CBF
，
连接AF 交BC 于点H，
∵AB
AC
，
∴AF 垂直平分BC ，
∴
90
BHF
，
∴
2
cos
cos 45
2
BH
CBF
BF
，
∵
135
BCE
，
∴
180
45 ,
ABE
BCE
即
ABE
FBC
，
∴
ABE
EBH
FBC
EBH
∴
ABH
EBF
，
∴cos
cos
ABH
EBF
，
∴BH
BF
AB
BE
，
∴
2
2
AB
BH
BE
BF
，
∴
2
BE
AB
．
【分析】（1）延长BC ，作出
ABE
DCM
，与CD 的交点即为点E；
（2）过点B 作BF
CE
交EC 的延长线于点F，推导出BCF 为等腰直角三角形，得到BF
CF
，
45
CBF
，
连接AF 交BC 于点H，推导出AF 垂直平分BC ，得到
2
cos
cos 45
2
BH
CBF
BF
，继而推导出
ABE
FBC
，得到
ABH
EBF
，则cos
cos
ABH
EBF
，得到BH
BF
AB
BE
，可推导出
2
BE
AB
，
即可解答．
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【详解】（1）解：如图①，
理由如下：∵
ABE
DCM
，
180
BCD
DCM
，
∴
180
ABE
BCD
；
（2）略
24．（2026·福建泉州·三模）如图，在平行四边形ADBC 中．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN ，使得点M 在AC 上，点N 在BD 上．（不写作法，保留
作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）条件下若
3
AD
，
5
BD
，CN 平分
BCD
，求BN 的长．
【答案】(1)
菱形DMCN 即为所求作；
(2) 9
5
【分析】（1）分别以C
D
、
为圆心，大于1
2 CD 的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交AC
于点M ，交BD 于点N ，连接DM
DN
、
即可；
（2）根据平行四边形的性质得到
3,
,
5
BC
AD
AC
BD BD
AC
∥
，根据菱形的性质证明
NCB
NDC
，
证明BCN
BDC
∽
，得到BN
BC
BC
BD
，即可得到答案．
【详解】（1）略
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（2）解：
平行四边形ADBC 中，
3,
,
5
BC
AD
AC
BD BD
AC
∥
，
菱形DMCN ，
CN
DN
，
NCD
NDC
，
CN 平分
BCD
，
NCD
NCB
，
NCB
NDC
，
CNB
NDC
DCN
，
DCB
DCN
NCB
，
又
NCB
NDC
，
CNB
DCB
，
BCN
BDC
∽
，
BN
BC
BC
BD
，
3
3
5
BN
，
9
5
BN
．
25．（2026·福建厦门·一模）如图，在ABC 中，AC
AB
．
(1)在AC 上求作一点D，使
1
2
ABD
ABC
S
S
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，在AB 上存在点E 满足DA
DE
，连接CE ．求证：CE
AB
．
【答案】(1)如图：点D 即为所求．
(2)
证明：由（1）作图可知：AD
DC
，
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∵DA
DE
，
∴DA
DE
DC
，
∴
,
DAE
DEA
DEC
DCE
，
∵
180
DAE
DCE
AEC
，
∴
180
DAE
DCE
DEA
DEC
，
∴
2
180
DEA
DEC
，
∴
90
DEA
DEC
，即
90
AEC
，
∴CE
AB
．
【分析】（1）用尺规作图作出线段AC 的中点即可；
（2）由（1）作图可知：AD
DC
，再结合DA
DE
可得DA
DE
DC
，利用等边对等角、三角形内角
和定理、角的和差可得
90
AEC
，进而证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
26．（2026·福建泉州·一模）如图，ABC 内接于
O ，点P 为直径AB 的延长线上一点．
(1)在直径AB 下方，求作
O 的切线PD ，切点为D ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若点D 为BC 中点，
2
AC
，
6
PB
，求
O 的半径．
【答案】(1)
如图，PD 即为所求；
(2)
O 的半径为3
【分析】（1）作OP 的垂直平分线交OP 于点M ，再以M 为圆心，OM 为半径作圆，在直径AB 下方交
O
于点D ，最后连接PD ，PD 即为所求；
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（2）设BC 与OD 交于点E ，
O 的半径为r ，由题意可知，OD 垂直平分BC ，证明OBE
ABC
∽
，根据
相似三角形的性质得到
1
OE ，再证明OBE
OPD
∽
，根据相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设BC 与OD 交于点E ，
O 的半径为r ，
点D 为BC 中点，
OD 垂直平分BC ，即
90
OEB
，
90
OEB
ACB
，
OBE
ABC
，
OBE
ABC
∽
，
OB
OE
AB
AC
，即1
2
2
OE
，
1
OE ，
90
OEB
ODP
，
BOE
POD
，
OBE
OPD
∽
，
OB
OE
OP
OD
，即
1
6
r
r
r
，
解得
3
r
，
O 的半径为3 ．
27．（2026·福建三明·一模）如图，在ABC 中，
BAC
为钝角．
2
B
ACB
，点D 在BC 上，AD
AB
，
(1)将ADC 沿AC 翻折得到
AEC
△
，请尺规作图画出E 点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
(2)在（1）的条件下，若
4
6
tan
3
BD
BCE
，
，求AC 的长．
【答案】(1)
解：如图，点E 即为所求，
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(2) 4 5
【分析】（1）以点A 为圆心、AD 长为半径画弧，以点C 为圆心、CD 长为半径画弧，两弧的交点即为点E ，
连接AE 、CE ；
（2）过点A 作AF
BC
于点F ，先利用AB
AD
的等腰三角形三线合一性质求出
3
BF
DF
，再根据
ADC 沿AC 翻折的全等性质推出
2
BCE
ACB
，结合已知
2
B
ACB
得到
B
BCE
，因此
4
tan
tan
3
B
BCE
，在Rt ABF 中利用三角函数求出
4
AF
，再通过勾股定理算出
5
AB
AD
，接着利
用三角形外角性质推出
CAD
ACB
，由等角对等边得到
5
CD
AD
，进而算出
8
CF
DF
CD
，最
后在Rt ACF 中通过勾股定理求出AC 的长．
【详解】（1）
（2）解：如图，过点A 作AF
BD
，垂足为F ，
又∵AD
AB
，
∴
1
3
2
BF
DF
BD
，
ADB
B
，
∵ADC 沿AC 翻折得到
AEC
△
，
∴ADC
AEC
≌
，
∴
ACB
ACE
，即
2
BCE
ACB
，
∵
2
B
ACB
，
∴
B
BCE
，
∴
4
tan
tan
3
B
BCE
，
在Rt ABF 中，
4
tan
3
AF
B
BF
，
∴
4
AF
，
∴
2
2
5
AB
AF
BF
，
∴
5
AD
AB
，
∵
ADB
B
，
2
B
ACB
，
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∴
2
ADB
ACB
，
∵
ADB
ACB
CAD
，
∴
ACB
CAD
，
∴
5
CD
AD
，
∴
8
CF
CD
DF
，
在Rt ACF 中，
2
²
4 5
AC
AF
CF
．
28．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形ABCD 中，
10,
16
AB
AC
．
(1)求作正方形DEBF ，使得点E，F 在对角线AC 上，且点E 在点F 的左边；(要求：尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹)
(2)在（1）的条件下，M 是AB 的中点，连接MF ，求MF 的长．
【答案】(1)
如下图所示，正方形DEBF 即为所求作的正方形，
(2) 109
【分析】（1）连接BD 交AC 于点O，以OD 为半径，点O 为圆心作圆交AC 于点E 和点F，再作四边形DEBF
即可．根据作图可知OB
OD
OE
OF
，EF
BD
，则四边形DEBF 是正方形；
（2）利用勾股定理求出OB ，取OA的中点N，连接MN ，可知利用中位线定理求出ON 和MN ，并证明
90
MNF
BOC
，继而求出FN ，再用勾股定理求MF 即可．
【详解】（1）略
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（2）解：取OA的中点N，连接MN ，
由作图可知：OF
OB
∵四边形ABCD 是菱形，
10,
16
AB
AC
∴
1
8
2
OA
OC
AC
，AC
BD
，
2
2
6
OB
AB
OA
，
∴
6
OF
OB
，
又∵点N 是OA的中点，M 是AB 的中点，
∴
1
4
2
ON
OA
，MN
BD
∥
，
∴
90 ,
MNF
BOC
1
3,
2
MN
OB
∴
10
FN
ON
OF
，
2
2
2
2
10
3
109
MF
FN
MN
．
29．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，BD 平分
ABC
．
(1)请在边AB 上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件：
①点B 在圆O 上；
②与边AC 切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的图中，若
3
sin
5
A
，
1
CD ，求AD 的长．
【答案】(1)
如图所示，
O 即为所求；
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(2)
5
3
AD
【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等，熟知
相关知识是解题的关键．
（1）由题意，当
O 与边AC 切于点D ，且点B 在圆O上，圆心O 在边AB 上，则OB
OD
，再由等边对等
角和角平分线的定义可证明
ODB
CBD
，进而证明BC
OD
∥
，则有
90
ODA
C
，从而确定作线
段BD 的垂直平分线即可得到答案；
（2）解Rt AOD 得到
3
sin
5
OD
A
OA
，设
3
5
OD
OB
x
OA
x
，
，则
4
8
AD
x
AB
x
，
，解Rt
ABC
△
得到
24
5
BC
x
，则
2
2
32
5
AC
AB
BC
x
，据此可得方程
32
1
4
5
x
x
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：由切线的性质可得
90
ODA
∠
°，
在Rt AOD 中，
3
sin
5
OD
A
OA
，
∴可设
3
5
OD
OB
x
OA
x
，
，
∴
2
2
4
8
AD
OA
OD
x
AB
OB
OA
x
，
，
在Rt
ABC
△
中，
3
sin
5
BC
A
AB
，
∴
24
5
BC
x
，
∴
2
2
32
5
AC
AB
BC
x
，
∵
1
CD ，
∴
32
1
4
5
x
x
，
解得
5
12
x
，
∴
5
3
AD
．
30．（2026·福建厦门·三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB
BC
，且BC
AC
），
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在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质
量都一样）．
背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分
积周线”．
尝试解决：
(1)小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从
而平分蛋糕；
(2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点C 画了一条直线CE 交AB 于点E ．你觉得小华能
成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
【答案】(1)解：如图所示，BD 即为所求．
(2)解：小华不会成功．理由如下：
若直线CE 平分ABC 的面积，过C 作CD
AB
于D，如图
那么
AEC
EBC
S
S
，
∴1
1
2
2
AE CD
BE CD
，
∴BE
AE
．
∵AC
BC
，
∴AE
AC
BE
BC
，
∴小华不会成功．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC 的垂直平分线BD 即可；
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（2）小华不会成功．直线CD 可能平分ABC 的面积，若也平分周长，则AC
BC
，与题中的AC
BC
冲
突，故不会成功．
【详解】（1）解：理由如下：
如图
∵BD 是AC 的垂直平分线，AB
BC
，
∴AD
CD
，AC 的垂直平分线经过点B ，
∴
ABD
CBD
S
S
△
△
，
∵AB
BC
，
∴
ABD
CBD
C
AB
BD
AD
BC
B
D
C
D
C
，
∴BD 是ABC 的“等分积周线”．
（2）略
31．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的
几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得．
(1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
，根据三角形重心是三角形
三条中线的交点这一性质，可以推出其重心G 的坐标为
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
．如图1，在平面直角坐标
系中，ABC 的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
．求该三角形重心的坐标；
(2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；
如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即
1
1
2
2
F l
F l ）．现有两个矩形，其宽相
等，大矩形高是小矩形的2 倍，将它们底部对齐按图3 方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合
体重心G 的大致位置（简要说明方法）；
(3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为
1
1
1
,
G
x y
，
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2
2
2
,
G
x
y
，对应面积分别为
1S ，
2
S ，猜想并直接写出四边形重心G 的坐标；（用含
1x ，
2x ，
1y ，
2y ，
1S ，
2
S 的代数式表示）
(4)【猜想应用】如图5，四边形ABCD的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1 ,
6,7
C
D
，求四边形ABCD
重心G 的坐标．
【答案】(1) ABC 的重心坐标是10 7
,
3
3
(2)
如图，设小矩形的重心为
1
G ，大矩形的重心为
2
G ，分别作出矩形的重心
1
G 和
2
G ，连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取
点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
(3)四边形重心G 坐标为
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
S x
S x
S y
S y
G
S
S
S
S
(4)四边形ABCD重心G 的坐标为62 53
,
15 15
【分析】（1）依据公式进行计算即可；
（2）连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G ，使
1
2
:
2 :1
G G GG
；
（3）设四边形重心G 的坐标为
,
G
G
x
y
，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可；
（4）连接对角线AC ，分四边形为ABC 和ACD ，记它们的重心和面积分别是
1
G 、2
G 和
1S 、2
S ．可得ABC 、
ADC 的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求．
【详解】（1）解：
ABC 三个顶点分别是
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
，
根据公式得
2
2
6
10
3
3
x
，
5 1 1
7
3
3
y
．
ABC
的重心坐标是10 7
,
3
3
．
（2）解：如图，设小矩形的重心为
1
G ，大矩形的重心为
2
G ，分别作出矩形的重心
1
G 和
2
G ，连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
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因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以
1
G 、
2
G 分别是小矩形和大矩形的几
何中心．
以组合体重心G 为支点，根据力的杠杆平衡原理
1
1
2
2
F l
F l
(其中
1F 、
2
F 分别为两个物体的重力，1l 、2l 分
别为两个物体重心到支点的距离)．
由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2 倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2 倍，即
2
1
2
F
F
．
连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
则点G 即为组合体重心．
（3）解：四边形重心G 的坐标为
,
G
G
x
y
，由（2）杠杆平衡原理得：
1
1
2
2
G
G
S
x
x
S
x
x
1
1 1
2
2
2
G
G
S
x
S x
S
x
S x
1
2
1
1
2
2
G
G
S
x
S x
S x
S
x
1
2
1 1
2
2
G
S
S
x
S x
S
x
1 1
2
2
1
2
G
S x
S
x
x
S
S
同理可得
1
1
2
2
1
2
G
S y
S
y
y
S
S
四边形重心G 坐标为
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
S x
S x
S y
S y
G
S
S
S
S
（4）解：如图，连接对角线AC ，分四边形为ABC 和ACD ，
记它们的重心和面积分别是
1
G 、
2
G 和
1S 、
2
S ．
四边形ABCD的顶点分别是
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
，
6,7
D
，
ABC
的重心坐标是
1
10 7
,
3
3
G
，
面积
1
1
1
5 1
6
2
8
2
2
S
AB BC
，
ADC 的重心坐标是
2
14 13
,
3
3
G
，
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面积
2
1
1
7
1
6
2
12
2
2
S
CD BC
．
根据（3）中四边形重心坐标公式：
10
14
8
12
62
3
3
8 12
15
G
x
，
7
13
8
12
53
3
3
8 12
15
G
y
，
四边形ABCD重心G 的坐标为62 53
,
15 15
．
