专题12四边形及应用（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

1 / 65
学科网（北京）股份有限公司
专题12 四边形及应用
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 多边形与
平行四边形
2026·浙江·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江温州·中考
近5 年在本考点共选取7 道真题，2024、2025 年省统
考未单独设题，2026 年以一道多概念的四边形命题判
断题回归。题型以填空、解答为主，分值3-8 分，核心
考查平行四边形的判定与性质，常由三角形中位线或角
平分线构造平行四边形；地市卷命题将平行四边形证明
与尺规作菱形结合，以三角形剪拼为背景考查中位线、
平行四边形与矩形，结合解直角三角形求线段长等。整
体难度基础偏中档，预计未来省统考仍将以中位线构造
平行四边形及平行四边形性质应用为主要形态。
考点02 矩形、菱形、
正方形
2024·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江嘉兴·中考
近5 年共选取12 道真题，其中2024 年省统考2 道，2025
年、2026 年未单独设题。题型以选择和填空为主，分值
3-8 分，核心考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，
尤以菱形与折叠、对称、内嵌小图形、角平分线的组合
最为典型；2024 年省统考分别以"x、y 变化中xy 不变"
的代数判断和菱形对称折叠的面积比呈现，体现从定性
向定量的转变；2022 年绍兴卷以"存在无数个平行四边
形/矩形/菱形/正方形"形式考查图形存在性。整体难度
中档偏上，预计未来省统考将继续突出菱形、矩形中的
折叠、对称、面积与变量关系，需重视性质与判定的灵
活转换。
考点03 四边形综合
应用
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2022·浙江衢州·中考
近5 年共选取4 道真题，均为解答题性质、分值8-12
分、位于试卷后段，集中在2022-2023 地市卷，
2024-2026 省统考阶段的纯四边形综合题归入专题15，
本考点保留地市卷题目。命题以矩形、菱形为载体，综
合考查矩形对称中心、轴对称折叠、动点、面积关系以
2 / 65
学科网（北京）股份有限公司
及相似、三角函数的结合，设问层层递进，含定量探究
与定值证明，整体难度高、区分度强。预计省统考此类
综合性四边形多归"几何综合与压轴"，本考点更倾向于
具有一定区分度的四边形综合题。
考点01
多边形与平行四边形
1．（2026·浙江·中考真题）下列命题为假命题的是（
）
A．四边形内角和等于͵䔈൓ι
B．平行四边形对角线互相平分
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四个角相等的四边形是菱形
【答案】D
【详解】选项A，任意四边形的内角和均为͵䔈൓ι，该命题为真命题，不符合题意；
选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意；
选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命
题，不符合题意；
选项D，四边形内角和为͵䔈൓ι，若四个角相等，则每个角的度数为͵䔈൓ι ൊͶ t h൓ι，四个角均为直角
的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。
2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形ܣ形ܥm 中，ܣm∥形ܥ，סܣt סܥ，形m 为对角线．
(1)证明：四边形ܣ形ܥm 是平行四边形．
(2)已知ܣm ൐ܣ形，请用无刻度的直尺和圆规作菱形形圆m作，顶点E，F 分别在边形ܥ，ܣm 上（保留作图痕
迹，不要求写作法）．
【答案】(1)
3 / 65
学科网（北京）股份有限公司
证明：∵ܣm∥形ܥ，
∴סܣm形t סܥ形m，
∵סܣt סܥ，
∴ͳ⸳൓ι െסܣm形൅סܣt ͳ⸳൓ι െסܥ形m ൅סܥ，
即סܣ形m t סܥm形．
∴ܣ形∥ܥm．
∴四边形ܣ形ܥm 是平行四边形．
(2)
如图，
四边形形圆m作就是所求作的菱形．
【分析】（1）先证明סܣm形t סܥ形m，再证明ͳ⸳൓ι െסܣm形൅סܣt ͳ⸳൓ι െסܥ形m ൅סܥ，即סܣ形m t
סܥm形，从而可得结论；
（2）作对角线形m 的垂直平分线交ܣm 于作，交形ܥ于圆，从而可得菱形形圆m作．
【详解】（1）略
（2）略
3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知סܣᦙ形，以点O 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分
别交于C，D 两点，分别以点C，D 为圆心，大于
ͳ
ʹ ܥm 长为半径作圆弧，两条圆弧交于סܣᦙ形内一点P，连
接ᦙܲ，过点P 作直线ܲ
圆∥ᦙܣ，交OB 于点E，过点P作直线ܲ
作∥ᦙ形，交ᦙܣ于点F．若סܣᦙ形t 䔈൓ι，ᦙܲ
t 䔈cm，
则四边形ܲ
作ᦙ圆的面积是（
）
A．ͳʹ ͵cmʹ
B．䔈͵cmʹ
C．͵ ͵cmʹ
D．ʹ ͵cmʹ
【答案】B
4 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【分析】过P 作ܲ
ܯ٣ ᦙ形于M，再判定四边形ܲ
作ᦙ圆为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最
后求出面积．
【详解】解：过P 作ܲ
ܯ٣ ᦙ形于M，
由作图得：ᦙܲ
平分סܣᦙ形，
∴סܲᦙ形t סܣᦙܲ
t
ͳ
ʹ סܣᦙ形t ͵൓ι，
∴ܲܯt
ͳ
ʹ ᦙܲ
t ͵cm，
∴ᦙܯt
ᦙܲ
ʹ െܲ
ܯʹ t ͵ ͵，
∵ܲ圆∥ᦙܣ，ܲ作∥ᦙ形，
∴四边形ܲ
作ᦙ圆为平行四边形，ס圆ܲᦙt סܲᦙܣt ͵൓ι，
∴סܲᦙ圆t סᦙܲ圆，
∴ᦙ圆tܲ
圆，
设ᦙ圆tܲ
圆t ݔ，
在Rt ᇞܲ
圆ܯ中，ܲ圆ʹ െܯܲ
ʹ t 圆ܯʹ，
即：ݔʹ െ͵ʹ t ͵ ͵ െݔ
ʹ，
解得：ݔt ʹ ͵，
∴ܵ四边形ᦙ圆ܲ作t ᦙ圆൉ܲܯt ʹ ͵ ൈ͵ t 䔈͵ cmʹ ．
故选：B．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，
并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取ܣ形ǡܣܥ的中点mǡ圆，连接m圆，画ܣ作٣ m圆于点作；
5 / 65
学科网（北京）股份有限公司
(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
如图所示：
(2)
方法一：四边形形ܥ䗃ܯ为所求作的四边形
方法二：四边形m形ܥ䗃是所求的四边形．
方法三：四边形ܯ形ܥ圆是所求的四边形．
(3)答案不唯一，
方法一（图1），
6 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵סܯm形൅ס形m圆t ͳ⸳൓ιǡסm圆ܥ൅ס䗃圆ܥt ͳ⸳൓ι，
∴点ܯǡmǡ圆ǡ䗃在同一直线上，
∵点mǡ圆分别是ܣ形ǡܣܥ的中点，
∴m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，
∴m圆∥形ܥ且形ܥt ʹm圆．
∵ܯm ൅圆䗃t m圆，
∴ܯ䗃t ܯm ൅m圆൅圆䗃t 形ܥ且ܯ䗃∥形ܥ，
∴四边形ܯ形ܥ䗃为平行四边形．
∵ܣ作٣ m圆，סܯt h൓ι，
∴平行四边形ܯ形ܥ䗃为矩形．
方法二（图2），
∵סm圆ܥ൅סܯ圆ܥt ͳ⸳൓ιǡס圆ܯܥ൅ס䗃ܯܥt ͳ⸳൓ι，
∴点mǡ圆ǡܯǡ䗃在同一直线上．
∵点mǡ圆分别是ܣ形ǡܣܥ的中点，
∴m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，
∴m圆∥形ܥ且形ܥt ʹm圆．
∵圆䗃t m圆，
∴m䗃t 形ܥ且m䗃∥形ܥ，
∴四边形m形ܥ䗃为平行四边形．
方法三（图3），
7 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵סܯ䗃形൅ס形䗃m t ͳ⸳൓ιǡס䗃m形൅ס形m圆t ͳ⸳൓ι，
∴点ܯǡ䗃ǡmǡ圆在同一直线上．
∵点mǡ圆分别是ܣ形ǡܣܥ的中点，
∴m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，
∴m圆∥形ܥ且形ܥt ʹm圆．
∵ܯm t m圆，
∴ܯ圆t 形ܥ且ܯ圆∥形ܥ，
∴四边形ܯ形ܥ圆为平行四边形．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）方法一：将ᇞܣm作绕点D 逆时针旋转ͳ⸳൓ι到ᇞm形ܯ，将ᇞܣ圆作绕E 点顺时针旋转ͳ⸳൓ι到ᇞܥ圆䗃
即可得出四边形形ܥ䗃ܯ；
方法二：将ᇞܣ圆作绕E 点顺时针旋转ͳ⸳൓ι到ᇞܥ圆ܯ，将ᇞܣm作绕点D 逆时针旋转ͳ⸳൓ι后再沿形ܥ向右
平移到ᇞܥܯ䗃，即可得出四边形m形ܥ䗃；
方法三：将ᇞܣm作绕点D 逆时针旋转ͳ⸳൓ι到ᇞm形䗃，将ᇞܣ圆作绕E 点顺时针旋转ͳ⸳൓ι后沿ܥ形向左平
移到ᇞ形䗃ܯ，即可得出四边形ܯ形ܥ圆；
（3）方法一：先证明点ܯǡmǡ圆ǡ䗃在同一直线上，根据m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，得出m圆∥形ܥ且
形ܥt ʹm圆．证明ܯ䗃t ܯm ൅m圆൅圆䗃t 形ܥ且ܯ䗃∥形ܥ，得出四边形ܯ形ܥ䗃为平行四边形，根据סܯt h൓ι，
得出平行四边形ܯ形ܥ䗃为矩形．
方法二：证明点mǡ圆ǡܯǡ䗃在同一直线上，根据m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，得出m圆∥形ܥ且形ܥt ʹm圆，证
明圆䗃t m圆，得出m䗃t 形ܥ且m䗃∥形ܥ，证明四边形m形ܥ䗃为平行四边形．
方法三：证明点ܯǡ䗃ǡmǡ圆在同一直线上，根据m圆为ᇞܣ形ܥ的中位线，得出m圆∥形ܥ且形ܥt ʹm圆，证
明ܯ圆t 形ܥ且ܯ圆∥形ܥ，得出四边形ܯ形ܥ圆为平行四边形．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
8 / 65
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：略．
5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ᇞܣ形ܥ中，ܣ形t ܣܥt ⸳，点E，F，G 分别在边ܣ形，形ܥ，ܣܥ上，
圆作∥ܣܥ，ܩ作∥ܣ形，则四边形ܣ圆作ܩ的周长是（
）
A．32
B．24
C．16
D．8
【答案】C
【分析】根据圆作∥ܣܥ，ܩ作∥ܣ形，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由圆作∥ܣܥ，
可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形ܣ圆作ܩ的周长是2（AE+EF），
即可求解．
【详解】解∶∵圆作∥ܣܥ，ܩ作∥ܣ形，
∴四边形AEFG 是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵圆作∥ܣܥ，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形ܣ圆作ܩ的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在ᇞܣ形ܥ中，D，E，F 分别是形ܥ，ܣܥ，ܣ形的中点．若ܣ形t 䔈，形ܥt ⸳，
则四边形形m圆作的周长是（
）
9 / 65
学科网（北京）股份有限公司
A．28
B．14
C．10
D．7
【答案】B
【分析】首先根据D，E，F 分别是形ܥ，ܣܥ，ܣ形的中点，可判定四边形形m圆作是平行四边形，再根据
三角形中位线定理，即可求得四边形形m圆作的周长．
【详解】解：׶D，E，F 分别是形ܥ，ܣܥ，ܣ形的中点，
׵ 圆作、圆m 分别是ᇞܣ形ܥ的中位线，
׵ 圆作∥形ܥ，圆m∥ܣ形且圆作t
ͳ
ʹ 形ܥt
ͳ
ʹ ൈ⸳tͶ，圆mt
ͳ
ʹ ܣ形t
ͳ
ʹ ൈ䔈t͵，
׵四边形形m圆作是平行四边形，
׵ 形mt圆作t Ͷ，形作t 圆m t ͵，
׵四边形形m圆作的周长为：
形作൅形m ൅圆m ൅圆作t͵ ൅Ͷ ൅͵ ൅ͶtͳͶ，
故选：B．
7．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在ᇞܣ形ܥ中，ܣm ٣ 形ܥ于点D，E，F 分别是ܣܥǡܣ形的中点，O 是m作
的中点，圆ᦙ的延长线交线段形m 于点G，连结m圆，圆作，作ܩ．
(1)求证：四边形m圆作ܩ是平行四边形．
(2)当ܣm t ⸴，tanס圆mܥt
⸴
ʹ时，求作ܩ的长．
【答案】(1)见解析
(2)
ʹh
ʹ
【分析】（1）根据E，F 分别是ܣܥ，ܣ形的中点，得出圆作∥形ܥ，根据平行线的性质，得出ס作圆ᦙt סmܩᦙ，
10 / 65
学科网（北京）股份有限公司
ס圆作ᦙt סܩmᦙ，结合O 是m作的中点，利用“AAS”得出ᇞ圆作ᦙ، ᇞܩmᦙ，得出圆作t ܩm，即可证明m圆作ܩ
是平行四边形；
（2）根据ܣm ٣ 形ܥ，E 是ܣܥ中点，得出m圆t
ͳ
ʹ ܣܥt 圆ܥ，即可得出tanܥt tanס圆mܥt
⸴
ʹ，即
ܣm
mܥt
⸴
ʹ，
根据ܣm t ⸴，得出CD=2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出作ܩt m圆t
ʹh
ʹ ．
【详解】（1）解：（1）∵E，F 分别是ܣܥ，ܣ形的中点，
∴圆作∥形ܥ，
∴ס作圆ᦙt סmܩᦙ，ס圆作ᦙt סܩmᦙ，
∵O 是m作的中点，
∴作ᦙt mᦙ，
∴ᇞ圆作ᦙ، ᇞܩmᦙሺAASሻ，
∴圆作t ܩm，
∴四边形m圆作ܩ是平行四边形．
（2）∵ܣm ٣ 形ܥ，E 是ܣܥ中点，
∴m圆t
ͳ
ʹ ܣܥt 圆ܥ，
∴ס圆mܥt סܥ，
∴tanܥt tanס圆mܥt
⸴
ʹ，
∴
ܣm
mܥt
⸴
ʹ，
∵ܣm t ⸴，
∴ܥm t ʹ，
∴m圆t
ͳ
ʹ ܣܥt
ͳ
ʹ
ܣmʹ ൅ܥmʹ t
ͳ
ʹ ൈ
⸴ʹ ൅ʹʹ t
ʹh
ʹ ．
∵四边形DEFG 为平行四边形，
∴作ܩt m圆t
ʹh
ʹ ．
考点02
矩形、菱形、正方形
1．
（2024·浙江·中考真题）如图，在
ܣ形ܥm 中，ܣܥ，形m 相交于点O，ܣܥt ʹǡ形m t ʹ ͵．过点A 作ܣ圆٣ 形ܥ
的垂线交形ܥ于点E，记形圆长为x，形ܥ长为y．当x，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（
）
11 / 65
学科网（北京）股份有限公司
A．ݔ൅ㄸ
B．ݔെㄸ
C．ݔㄸ
D．ݔʹ ൅ㄸʹ
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D 作m作٣ 形ܥ
交形ܥ的延长线于点F，证明ᇞܣ形圆، ᇞmܥ作AAS ，得到ܣ圆t m作ǡ形圆t ܥ作t ݔ，由勾股定理可得，ܣ圆ʹ t Ͷ െ
ㄸെݔʹ，m作ʹ t ͳʹ െㄸ൅ݔʹ，则Ͷ െㄸെݔʹ t ͳʹ െㄸ൅ݔʹ，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D 作m作٣ 形ܥ交形ܥ的延长线于点F，
∵ܣ圆٣ 形ܥ的垂线交形ܥ于点E，
∴סܣ圆形t סm作ܥt h൓ι，
∵四边形ܣ形ܥm 是平行四边形，
∴ܣ形t mܥǡܣ形∥ܥm，
∴סܣ形圆t סmܥ作，
∴ᇞܣ形圆، ᇞmܥ作AAS
∴ܣ圆t m作ǡ形圆t ܥ作t ݔ，
由勾股定理可得，ܣ圆ʹ t ܣܥʹ െܥ圆ʹ t ܣܥʹ െ形ܥെ形圆ʹ t Ͷ െㄸെݔʹ，
m作ʹ t 形mʹ െ形作ʹ t 形mʹ െ形ܥ൅ܥ作ʹ t 形mʹ െ形ܥ൅形圆ʹ t ͳʹ െㄸ൅ݔʹ，
∴Ͷ െㄸെݔʹ t ͳʹ െㄸ൅ݔʹ，
∴ㄸ൅ݔʹ െㄸെݔʹ t ⸳
∴ݔʹ ൅ʹݔㄸ൅ㄸʹ െㄸʹ ൅ʹݔㄸെݔʹ t ⸳
即Ͷݔㄸt ⸳，解得ݔㄸt ʹ，
∴当x，y 的值发生变化时，代数式的值不变的是ݔㄸ，
故选：C
12 / 65
学科网（北京）股份有限公司
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ܣ形ܥm 中，对角线ܣܥ，形m 相交于点O，
ܣܥ
形m t
⸴
͵．线段ܣ形与ܣԢ形Ԣ
关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点形Ԣ在线段ᦙܥ上，ܣԢ形Ԣ交ܥm 于点E，则ᇞ形Ԣܥ圆与四边形ᦙ形Ԣ圆m 的
面积比为__________
【答案】ͳ答͵ /
ͳ
͵
【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握
以上知识点．
设ܣܥt ͳ൓ܽ，形m t 䔈ܽ，首先根据菱形的性质得到ᦙܣt ᦙܥt
ͳ
ʹ ܣܥt ⸴ܽ，ᦙ形t ᦙm t
ͳ
ʹ 形m t ͵ܽ，连
接ܣԢm，ᦙ圆，直线l 交形ܥ于点F，交ܣm 于点G，得到点ܣԢ，D，O 三点共线，ܣԢm t ܣԢᦙെᦙm t ʹܽ，形Ԣܥt ᦙܥെ
ᦙ形Ԣ t ʹܽ，ܵᇞܥ圆形Ԣܵ
ᇞᦙ圆形Ԣ t
形Ԣܥ
ᦙ形Ԣ t
ʹܽ
͵ܽt
ʹ
͵，然后证明出ᇞܣԢ圆m، ᇞܥ圆形Ԣ AAS ，得到ܣԢ圆t ܥ圆，然后证明出ᇞᦙm圆، ᇞ
ᦙ形Ԣ圆SSS ，得到ܵᇞᦙm圆tܵ
ᇞᦙ形Ԣ圆，进而求解即可．
【详解】∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
ܣܥ
形m t
⸴
͵
∴设ܣܥt ͳ൓ܽ，形m t 䔈ܽ
∴ᦙܣt ᦙܥt
ͳ
ʹ ܣܥt ⸴ܽ，ᦙ形t ᦙm t
ͳ
ʹ 形m t ͵ܽ
如图所示，连接ܣԢm，ᦙ圆，直线l 交形ܥ于点F，交ܣm 于点G，
∵线段ܣ形与ܣԢ形Ԣ关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点形Ԣ在线段ᦙܥ上，
∴ס形ᦙ作t סܥᦙ作t
ͳ
ʹ ס形ᦙ形Ԣ t Ͷ⸴ι，ܣᦙt ܣԢᦙt ⸴ܽ，ᦙ形Ԣ t ᦙ形t ͵ܽ
∴סܣᦙܩt סmᦙܩt Ͷ⸴ι
13 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴点ܣԢ，D，O 三点共线
∴ܣԢm t ܣԢᦙെᦙm t ʹܽ，形Ԣܥt ᦙܥെᦙ形Ԣ t ʹܽ
∴ܵᇞܥ圆形Ԣܵ
ᇞᦙ圆形Ԣ t
形Ԣܥ
ᦙ形Ԣ t
ʹܽ
͵ܽt
ʹ
͵
∴ܣԢm t 形Ԣܥ
∵ܥm ∥ܣ形
∴סܥmᦙt סܣ形ᦙ
由对称可得，סܣԢ形Ԣᦙt סܣ形ᦙ
∴סܣԢ形Ԣᦙt סܥmᦙ
∴סܣԢm圆t סܥ形Ԣ圆
又∵סܣԢ圆m t סܥ圆形Ԣ
∴ᇞܣԢ圆m، ᇞܥ圆形Ԣ AAS
∴ܣԢ圆t ܥ圆
∵ܣԢ形Ԣ t ܣ形t ܥm
∴m圆t 形Ԣ圆
又∵ᦙm t ᦙ形Ԣ，ᦙ圆t ᦙ形Ԣ
∴ᇞᦙm圆، ᇞᦙ形Ԣ圆SSS
∴ܵᇞᦙm圆tܵ
ᇞᦙ形Ԣ圆
∴ܵ
ᇞܥ圆形Ԣܵ
四边形ᦙ形Ԣ圆m
tܵ
ᇞܥ圆形Ԣܵ
ᇞᦙ圆形Ԣ൅ܵᇞᦙm圆t
ʹ
͵൅͵ t
ʹ
䔈t
ͳ
͵．
故答案为：
ͳ
͵．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形ܣ形ܥm 的对角线ܣܥǡ形m 相交于点ᦙ．若סܣᦙ形t 䔈൓ι，则
ܣ形
形ܥt
（
）
A．
ͳ
ʹ
B．
͵െͳ
ʹ
C．
͵
ʹ
D．
͵
͵
【答案】D
【分析】根据矩形性质得出ᦙܣt ᦙܥt
ͳ
ʹ ܣܥ，ᦙ形t ᦙm t
ͳ
ʹ 形m，ܣܥt 形m，推出ᦙܣt ᦙ形则有等边三
14 / 65
学科网（北京）股份有限公司
角形ܣᦙ形，即ס形ܣᦙt 䔈൓ι，然后解直角三角形解答．
【详解】解：∵四边形ܣ形ܥm 是矩形，
∴ᦙܣt ᦙܥt
ͳ
ʹ ܣܥ，ᦙ形t ᦙm t
ͳ
ʹ 形m，ܣܥt 形m，
∴ᦙܣt ᦙ形，
∵סܣᦙ形t 䔈൓ι，
∴ᇞܣᦙ形是等边三角形，
∴ס形ܣᦙt 䔈൓ι，
∴סܣܥ形t h൓ι െ䔈൓ι t ͵൓ι，
∵tanסܣܥ形t
ܣ形
形ܥt tan͵൓ι t
͵
͵ ，故D 正确．
故选：D．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形ܣ形ܥm 中，ܣ形t ͳ，סmܣ形t 䔈൓ι，则ܣܥ的长为（
）
A．
ͳ
ʹ
B．1
C．
͵
ʹ
D．͵
【答案】D
【分析】连接形m 与ܣܥ交于O．先证明ᇞܣ形m 是等边三角形，由ܣܥ٣ 形m，得到סᦙܣ形t
ͳ
ʹ ס形ܣm t ͵൓ι，
סܣᦙ形t h൓ι，即可得到ᦙ形t
ͳ
ʹ ܣ形t
ͳ
ʹ，利用勾股定理求出ܣᦙ的长度，即可求得ܣܥ的长度．
【详解】解：连接形m 与ܣܥ交于O．
∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
∴ܣ形∥ܥm，ܣ形t ܣm，ܣܥ٣ 形m，ܣᦙt ᦙܥt
ͳ
ʹ ܣܥ，
15 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵סmܣ形t 䔈൓ι，且ܣ形t ܣm，
∴ᇞܣ形m 是等边三角形，
∵ܣܥ٣ 形m，
∴סᦙܣ形t
ͳ
ʹ ס形ܣm t ͵൓ι，סܣᦙ形t h൓ι，
∴ᦙ形t
ͳ
ʹ ܣ形t
ͳ
ʹ，
∴ܣᦙt
ܣ形ʹ െᦙ形ʹ t
ͳʹ െ
ͳ
ʹ
ʹ
t
ͳ
ʹ
͵，
∴ܣܥt ʹܣᦙt
͵，
故选：D．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知矩形纸片ܣ形ܥm，其中ܣ形t ͵，形ܥt Ͷ，现将纸片进行如下
操作：
第一步，如图①将纸片对折，使ܣ形与mܥ重合，折痕为圆作，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线形m 折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点圆的直线折叠，使点ܥ落在对角线形m 上的点ܪ处，如图④．则mܪ的长
为（
）
A．
͵
ʹ
B．
⸳
⸴
C．
⸴
͵
D．
h
⸴
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得出圆形t 圆ܪt 圆ܥ，ܥܪ٣ 形m，等面积法求得ܥܪ，根据tanס形mܥt
形ܥ
ܥm t
ܥܪ
ܪm，
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接ܥܪ，
16 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵折叠，
∴圆形t 圆ܪt 圆ܥ
∴形ǡܥǡܪ在以圆为圆心，形ܥ为直径的圆上，
∴ס形ܪܥt h൓ι，
∴ܥܪ٣ 形m
∵矩形ܣ形ܥm，其中ܣ形t ͵，形ܥt Ͷ，
∴形ܥt Ͷǡܥm t ͵
∴形m t
形ܥʹ ൅ܥmʹ t ⸴，
∴ܥܪt
形ܥൈܥm
形m
t
ͳʹ
⸴，
∵tanס形mܥt
形ܥ
ܥm t
ܥܪ
ܪm
∴ܪm t
h
⸴，
故选：D．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好
拼成对角互补的四边形ܣ形ܥm，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt ᇞܣ形圆和等腰Rt ᇞ
形ܥ作，③和④分别是Rt ᇞܥmܩ和Rt ᇞmܣܪ，⑤是正方形圆作ܩܪ，直角顶点E，F，G，H 分别在边
形作，ܥܩ，mܪ，ܣ圆上．
（1）若圆作t ͵cm，ܣ圆൅作ܥt ͳͳcm，则形圆的长是______cm．
（2）若
mܩ
ܩܪt
⸴
Ͷ，则tanסmܣܪ的值是______．
【答案】
4
3
【分析】（1）将ܣ圆和作ܥ用形圆表示出来，再代入ܣ圆൅作ܥt ͳͳcm，即可求出形圆的长；
（2）由已知条件可以证明סmܣܪt סܥmܩ，从而得到tanסmܣܪt tanסܥmܩ，设ܣܪt ݔ，mܩt ⸴݇，ܩܪt
Ͷ݇，用x 和k 的式子表示出ܥܩ，再利用tanסmܣܪt tanסܥmܩ列方程，解出x，从而求出tanסmܣܪ的值．
17 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：（1）∵Rt ᇞܣ形圆和Rt ᇞ形ܥ作都是等腰直角三角形，
∴ܣ圆t 形圆，形作t ܥ作，
∵ܣ圆൅作ܥt ͳͳcm，
∴形圆൅形作t ͳͳcm，
即形圆൅形圆൅圆作t ͳͳcm，
即ʹ形圆൅圆作t ͳͳcm，
∵圆作t ͵cm，
∴形圆t Ͷcm，
故答案为：4；
（2）设ܣܪt ݔ，
∵
mܩ
ܩܪt
⸴
Ͷ，
∴可设mܩt ⸴݇，ܩܪt Ͷ݇，
∵四边形圆作ܩܪ是正方形，
∴ܪ圆t 圆作t 作ܩt ܩܪt Ͷ݇，
∵Rt ᇞܣ形圆和Rt ᇞ形ܥ作都是等腰直角三角形，
∴ܣ圆t 形圆，形作t ܥ作，סܣ形圆t סܥ形作t Ͷ⸴ι，
∴ܥܩt ܥ作൅ܩ作t 形作൅Ͷ݇
t 形圆൅⸳݇
t ܣܪ൅ͳʹ݇
t ݔ൅ͳʹ݇，
סܣ形ܥt סܣ形圆൅סܥ形作t Ͷ⸴ι ൅Ͷ⸴ι t h൓ι，
∵四边形ܣ形ܥm 对角互补，
∴סܣmܥt h൓ι，
∴סܣmܪ൅סܥmܩt h൓ι，
∵四边形圆作ܩܪ是正方形，
∴סܣܪm t סܥܩm t h൓ι，
∴סܣmܪ൅סmܣܪt h൓ι，
∴סmܣܪt סܥmܩ，
∴tanסmܣܪt tanסܥmܩ，
∴
mܪ
ܣܪt
ܥܩ
mܩ，即
⸴݇൅Ͷ݇
ݔ
t
ݔ൅ͳʹ݇
⸴݇
，
整理得：ݔʹ ൅ͳʹ݇ݔെͶ⸴݇ʹ t ൓，
解得ݔͳ t ͵݇，ݔʹ tെͳ⸴݇（舍去），
18 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴tanסmܣܪt
mܪ
ܣܪt
h݇
͵݇t ͵．
故答案为：3．
7．（2023·浙江金华·中考真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1 是搭成的“倍力桥”，纵
梁ܽ
ǡ㌹夹住横梁ܾ
，使得横
梁不能移动，结构稳固．
图ʹ 是长为݈
cm ，宽为
͵cm 的横梁侧面示意图，三
个凹槽都是半径为ͳcm 的
半圆．圆心分别为
ᦙͳǡᦙʹǡᦙ͵ǡᦙͳܯt
ᦙͳ䗃ǡᦙʹܳ
t ᦙ͵ܲ
t ʹcm，纵
梁是底面半径为ͳcm 的圆
柱体．用相同规格的横梁、
纵梁搭“桥”，间隙忽略不
计．
探究ͳ：图͵ 是“桥”侧面示意图，ܣǡ形为横梁与地面的交点，ܥǡ圆为圆心，mǡܪͳǡܪʹ是横梁侧面两边的交点．测
得ܣ形t ͵ʹcm，点ܥ到ܣ形的距离为ͳʹcm．试判断四边形ܥm圆ܪͳ的形状，并求݈
的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12 根横梁绕成环，图4 是其侧面示意图，内部形成十二边形ܪͳܪʹܪ͵ڮܪͳʹ，求݈
的值；
②若有݊
根横梁绕成的环（݊
为偶数，且݊
൒䔈），试用关于݊
的代数式表示内部形成的多边形ܪͳܪʹܪ͵ڮܪ݊
的周长．
19 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【答案】探究1：四边形ܥm圆ܪͳ是菱形，݈t ʹʹcm；探究2：①݈t ͳ䔈൅䔈͵ cm；②
䔈݊
tan͵䔈൓ι݊cm
【分析】探究1：根据图形即可判断出ܥm圆ܪͳ形状；根据等腰三角形性质可求出ܣܯ长度，利用勾股
定理即可求出ܥܣ长度，从而求出݈
值．
探究2：①根据十二边形的特性可知סܥܪͳ䗃t ͵൓ι，利用特殊角正切值求出ܥܪͳ长度，最后利用菱形的
性质求出圆ܪͳ的长度，从而求得݈
值．②根据正多边形的特性可知סܥܪͳ䗃的度数，利用特殊角正切值求出
ܥܪͳ和ܪͳ䗃长度，最后利用菱形的性质求出圆ܪͳ的长度，从而求得݈
值．
【详解】解：探究1：四边形ܥm圆ܪͳ是菱形，理由如下：
由图1 可知，ܥm∥圆ܪͳ，圆m∥ܥܪͳ，
׵ ܥm圆ܪͳ为平行四边形．
׶桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形ܥm圆ܪͳ每条边上的高相等，
∵
ܥm圆ܪͳ的面积等于边长乘这条边上的高，
׵ ܥm圆ܪͳ每条边相等，
׵ ܥm圆ܪͳ为菱形．
②如图1，过点ܥ作ܥܯ٣ ܣ形于点ܯ．
由题意，得ܥܣt ܥ形ǡܥܯt ͳʹ，ܣ形t ͵ʹcm．
∴ܣܯt
ͳ
ʹ ܣ形t ͳ䔈．
在Rt ᇞܥܣܯ中，ܥܣʹ t ܣܯʹ ൅ܥܯʹ，
∴ܥܣt
ͳ䔈ʹ ൅ͳʹʹ t
Ͷ൓൓t ʹ൓．
∴݈t ܥܣ൅ʹ t ʹʹcm．
故答案为：݈t ʹʹcm．
探究2：①如图2，过点ܥ作ܥ䗃٣ ܪͳܪʹ于点䗃．
20 / 65
学科网（北京）股份有限公司
由题意，得סܪͳܥܪʹ t ͳʹ൓ιǡܥܪͳ t ܥܪʹǡܥ䗃t ͵，
׵ סܥܪͳ䗃t ͵൓ι．
׵ ܥܪͳ t ʹܥ䗃t 䔈ǡܪͳ䗃t
ܥ䗃
tan͵൓ι t
͵
͵
͵
t ͵ ͵．
又׶四边形ܥm圆ܪͳ是菱形，
∴圆ܪl t ܥܪͳ t 䔈．
∴݈t ʹ ʹ ൅䔈൅͵ ͵ t ͳ䔈൅䔈͵ cm．
故答案为：݈t ͳ䔈൅䔈͵ cm．
②如图3，过点ܥ作ܥ䗃٣ ܪͳܪʹ于点䗃．
由题意，形成的多边形为正݊
边形，
׵外角סܥܪͳܪʹ t
͵䔈൓ι݊．
在Rt ᇞܥ䗃ܪͳ中，ܪͳ䗃t
ܥ䗃
tanסܥܪͳܪʹ t
͵
tan͵䔈൓ι݊．
又׶ ܥܪͳ t ܥܪʹǡܥ䗃٣ ܪͳܪʹ，
∴ܪͳܪʹ t ʹܪͳ䗃t
䔈
tan͵䔈൓ι݊．
׵形成的多边形的周长为
䔈݊
tan͵䔈൓ι݊cm．
故答案为：
䔈݊
tan͵䔈൓ι݊cm．
8．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A 落在边BC
上的点M 处，折痕分别与边AB，AD 交于点E，F．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M
的位置变化时，DF 长的最大值为________．
21 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
͵ ͵
䔈െ͵ ͵
【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质
可知，AF=FM,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB，
∴AE=EB=
ͳ
ʹAB=3，
在RtᇞAEF 中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=
圆作
ܣ形，
∴EF=3 ͵；
当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，
由折叠的性质知EF 垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，
过点D 作DG⊥BC 于点C，则四边形DGMF 为矩形，
∴FM=DG，
在RtᇞDGC 中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3 ͵，
∴DF 长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3 ͵，
故答案为：3 ͵；6-3 ͵．
9．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在菱形ܣ形ܥm 中，ܣ形t ͳǡס形ܣm t 䔈൓ι．在其内部作形状、大小都
相同的菱形ܣ圆䗃ܪ和菱形ܥܩܯ作，使点E，F，G，H 分别在边ܣ形ǡ形ܥǡܥmǡmܣ上，点M，N 在对角线ܣܥ上．若
ܣ圆t ͵形圆，则ܯ䗃的长为___________．
22 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
͵
ʹ /
ͳ
ʹ
͵
【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM 和MN 的长，然后即可计算出MN 的长．
【详解】解：连接DB 交AC 于点O，作MI⊥AB 于点I，作FJ⊥AB 交AB 的延长线于点J，如图所示，
∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠BAC=30°，AC⊥BD，
∵△ABD 是等边三角形，
∴OD=
ͳ
ʹ，
׵ ܣᦙt
ܣmʹ െmᦙʹ t
ͳʹ െሺͳ
ʹ ሻʹ t
͵
ʹ ǡ
∴AC=2AO= ͵，
∵AE=3BE，
∴AE=
͵
Ͷ，BE=
ͳ
Ͷ，
∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，
∴BE=BF=
ͳ
Ͷ，∠FBJ=60°，
∴FJ=BF•sin60°=
ͳ
Ͷ ൈ
͵
ʹ t
͵
⸳ǡ，
∴MI=FJ=
͵
⸳，
23 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ܣܯt
ܯܫ
sin͵൓ι t
͵
⸳
ͳ
ʹ
t
͵
Ͷ ，
同理可得，ܥ䗃t
͵
Ͷ ǡ
∴MN=AC-AM-CN= ͵ െ
͵
Ͷ െ
͵
Ͷ t
͵
ʹ ǡ
故答案为：
͵
ʹ ．
10．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平行四边形ܣ形ܥm 中，ܣm t ʹܣ形t ʹ，סܣ形ܥt 䔈൓ι，圆，作是
对角线形m 上的动点，且形圆t m作，ܯ，䗃分别是边ܣm，边形ܥ上的动点．下列四种说法：①存在无数个
平行四边形ܯ圆䗃作；②存在无数个矩形ܯ圆䗃作；③存在无数个菱形ܯ圆䗃作；④存在无数个正方形ܯ圆䗃作．其
中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【详解】
如图，连接AC、与BD 交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F 时BD 上的点，
∴只要M，N 过点O，
那么四边形MENF 就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN 过点O，则四边形MENF 是矩形，
24 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵点E、F 是BD 上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN 过点O，则四边形MENF 是菱形；
∵点E、F 是BD 上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN 过点O，
则四边形MENF 是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形ܣ形ܥm 的边长为4，E 是形ܥ的中点，ܣ作平分ס圆ܣm 交ܥm
于点F，作ܩ∥ܣm 交ܣ圆于点G，若cos形t
ͳ
Ͷ，则作ܩ的长是（
）
A．3
B．
⸳
͵
C．
ʹ ͳ⸴
͵
D．
⸴
ʹ
【答案】B
【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H，延长FG 交AB 于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，
利用∠AGP=∠B 可得到cos∠AGP=
ͳ
Ͷ，即可得到FG 的长；
【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H，延长FG 交AB 于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E 是BC 的中点，
∴BE=2，
又∵cos形t
ͳ
Ͷ，
25 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴BH=1，即H 是BE 的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF 是∠DAE 的角平分线，作ܩ∥ܣm，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵ܲ作∥ܣm，ܣܲ∥m作，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵ܲ作∥形ܥ，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠AGP=
ͳ
ʹܲܩ
ܣܩ=
ʹെݔ
ʹ
ݔ=
ͳ
Ͷ，
解得x=
⸳
͵；
故选B．
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，
AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC 垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD 是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】
赞成小洁的说法，补充ᦙܣt ᦙܥ晦
证明：∵OB＝OD，ᦙܣt ᦙܥǡ
׵ 四边形ܣ形ܥm 是平行四边形，
26 / 65
学科网（北京）股份有限公司
׶ AC⊥BD，
∴四边形ABCD 是菱形．
【分析】先由OB＝OD，ᦙܣt ᦙܥǡ证明四边形ܣ形ܥm 是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可
得结论．
【详解】略
考点03 四边形综合应用
1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ܣ形ܥ的最长边形ܥ为边向外作矩形形ܥm圆，连结ܣ圆ǡܣm，
设ᇞܣ圆m，ᇞܣ形圆，ᇞܣܥm 的面积分别为ܵ
ǡܵͳǡܵʹ，若要求出ܵ
െܵ
ͳ െܵ
ʹ的值，只需知道(
)
A．ᇞܣ形圆的面积B．ᇞܣܥm 的面积
C．ᇞܣ形ܥ的面积D．矩形形ܥm圆的面积
【答案】C
【分析】过点ܣ作作ܩ∥形ܥ，交圆形的延长线于点作，mܥ的延长线于点ܩ，易得：作ܩt 形ܥǡܣ作٣ 形圆ǡܣܩ٣
ܥm，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得ܵͳ ൅ܵ
ʹ t
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆，再根据ܵ
tܵ
ᇞܣ形ܥ൅ܵ
矩形形ܥm圆െܵ
ͳ െܵ
ʹ tܵ
ᇞܣ形ܥ൅
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆，得到ܵ
െܵ
ͳ െܵ
ʹ tܵ
ᇞܣ形ܥ，即可得出结论．
【详解】解：过点ܣ作作ܩ∥形ܥ，交圆形的延长线于点作，mܥ的延长线于点ܩ，
∵矩形形ܥm圆，
∴形ܥ٣ 形圆ǡ形ܥ٣ ܥmǡ形圆t ܥm，
27 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴作ܩ٣ 形圆ǡ作ܩ٣ ܥm，
∴四边形形作ܩܥ为矩形，
∴作ܩt 形ܥǡܣ作٣ 形圆ǡܣܩ٣ ܥm，
∴ܵͳ t
ͳ
ʹ 形圆ڄ ܣ作ǡܵʹ t
ͳ
ʹ ܥm ڄ ܣܩ，
∴ܵͳ ൅ܵ
ʹ t
ͳ
ʹ 形圆ܣ作൅ܣܩt
ͳ
ʹ 形圆ڄ 形ܥt
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆，
又ܵ
tܵ
ᇞܣ形ܥ൅ܵ
矩形形ܥm圆െܵ
ͳ െܵ
ʹ tܵ
ᇞܣ形ܥ൅
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆，
∴ܵെܵ
ͳ െܵ
ʹ tܵ
ᇞܣ形ܥ൅
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆െ
ͳ
ʹܵ
矩形形ܥm圆tܵ
ᇞܣ形ܥ，
∴只需要知道ᇞܣ形ܥ的面积即可求出ܵ
െܵ
ͳ െܵ
ʹ的值；
故选C．
2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形ܣ形ܥm，点E 在ܥ形延长线上，点F 在形ܥ延长线上，
过点F 作作ܪ٣ 圆作交圆m 的延长线于点H，连结ܣ作交圆ܪ于点G，ܩ圆t ܩܪ．
(1)求证：形圆t ܥ作．
(2)当
ܣ形
作ܪt
⸴
䔈，ܣm t Ͷ 时，求圆作的长．
【答案】(1)
证明：∵作ܪ٣ 圆作，ܩ圆t ܩܪ，
∴ܩ圆t ܩ作t ܩܪ，
∴סܩ作圆t ס圆．
∵四边形ܣ形ܥm 是矩形，
∴ܣ形t ܥm，סܣ形ܥt סmܥ形t h൓ι，
∴ᇞܣ形作، ᇞmܥ圆AAS ，
∴形作t ܥ圆，
∴形作െ形ܥt ܥ圆െ形ܥ，即形圆t ܥ作．
(2)圆作t 䔈
【分析】（1）根据等边对等角得出סܩ作圆t ס圆，根据矩形的性质得出ܣ形t ܥm，סܣ形ܥt סmܥ形t h൓ι，
28 / 65
学科网（北京）股份有限公司
即可证明ᇞܣ形作، ᇞmܥ圆AAS ，根据全等三角形的性质得出形作t ܥ圆，进而即可求解；
（2）根据ܥm∥作ܪ，得出ᇞmܥ圆׽ᇞܪ作圆，设形圆t ܥ作t ݔ，则形ܥt ܣm t Ͷ，ܥ圆t ݔ൅Ͷ，圆作t ʹݔ൅Ͷ，
根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【详解】（1）略
（2）∵ܥm∥作ܪ，
∴ᇞmܥ圆׽ᇞܪ作圆，
∴
圆ܥ
圆作t
ܥm
作ܪ．
∵ܥm t ܣ形，
∴
ܥm
作ܪt
ܣ形
作ܪt
⸴
䔈．
设形圆t ܥ作t ݔ，∵形ܥt ܣm t Ͷ，
∴ܥ圆t ݔ൅Ͷ，圆作t ʹݔ൅Ͷ，
∴
ݔ൅Ͷ
ʹݔ൅Ͷ t
⸴
䔈，
解得ݔt ͳ，
∴圆作t 䔈．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点ᦙ为矩形ܣ形ܥm 的对称中心，ܣ形t Ͷ，ܣm t ⸳，点圆为ܣm 边
上一点൓쳌ܣ圆쳌͵ ，连接圆ᦙ并延长，交形ܥ于点作，四边形ܣ形作圆与ܣԢ形Ԣ作圆关于圆作所在直线成轴对称，
线段形Ԣ作交ܣm 边于点ܩ．
(1)求证：ܩ圆t ܩ作；
(2)当ܣ圆t ʹmܩ时，求ܣ圆的长；
29 / 65
学科网（北京）股份有限公司
(3)令ܣ圆tܽ
，mܩtܾ
．
①求证：Ͷ െܽ
Ͷ െܾ
t Ͷ；
②如图2，连接ᦙ形Ԣ，ᦙm，分别交ܣm，形Ԣ作于点ܪ，ܭ.记四边形ᦙܭܩܪ的面积为ܵͳ，ᇞmܩܭ的面积为ܵʹ.
当ܽ
t ͳ 时，求ܵͳܵ
ʹ的值．
【答案】(1)证明：׶四边形ܣ形ܥm 为矩形，
׵ ܣm∥形ܥ，
׵ סܩ圆作t ס圆作形，
׶四边形ܣ形作圆与ܣԢ形Ԣ作圆关于圆作所在直线成轴对称，
׵ ס形作圆t ס圆作ܩ，
׵ סܩ圆作t ס圆作ܩ，
׵ ܩ圆t ܩ作；
(2)䔈െʹ ͵
(3)①证明：过点ᦙ作ᦙܳ
٣ ܣm 于ܳ
，连接ᦙܣǡᦙmǡᦙܩ，
׶点ᦙ为矩形ܣ形ܥm 的对称中心，
׵ ᦙ圆t ᦙ作ǡᦙܣt ᦙm，ᦙܳ
t
ͳ
ʹ ܣ形t ʹ，
׶ ܩ圆t ܩ作，
׵ ܩᦙ٣ 圆作，
׵ סܩᦙܳ
t h൓ι െס圆ᦙܳ
t סܳ圆ᦙ，
׶ סᦙܳ圆t סܩܳᦙt h൓ι，
׵ᇞܩᦙܳ
׾ᇞᦙ圆ܳ，
׵
ܩܳ
ᦙܳt
ᦙܳ
圆ܳ，即ܩܳ
ڄ 圆ܳ
t ᦙܳ
ʹ t Ͷ，
׵ 圆ܳ
t ܣܳ
െܣ圆t Ͷ െܽ，ܩܳ
t mܳ
െܩm t Ͷ െܾ，
׵ Ͷ െܽ
Ͷ െܾ
t Ͷ；
②ܵͳܵ
ʹ t
ͳ͵
⸳
30 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明סܩ圆作t סܩ作圆，即可解答；
（2）过点ܩ作ܩܪ٣ 形ܥ于ܪ，设mܩt ݔ，则ܣ圆t ʹݔ，求得ܩ圆t ܩ作t ⸳െ͵ݔ，再利用勾股定理，
列方程即可解答；
（3）①过点ᦙ作ᦙܳ
٣ ܣm 于ܳ
，连接ᦙܣǡᦙmǡᦙܩ，证明ᇞܩᦙܳ
׾ᇞᦙ圆ܳ，可得
ܩܳ
ᦙܳt
ᦙܳ
圆ܳ，得到ܩܳ
ڄ 圆ܳ
t Ͷ，
即可解答；
②连接形Ԣmǡᦙܩǡᦙ形，证明ᇞmᦙܩ، ᇞ形Ԣᦙܩ，进而证明ᇞmܩܭ، ᇞ形Ԣܩܪ，进而证明ᇞᦙܩܭ، ᇞᦙܩܪ，可得ܵ
ͳܵ
ʹ t
ʹܵᇞᦙܩܭܵ
ʹ
，再证明ᇞᦙܭ作׾ᇞmܭ形Ԣǡ ᇞ圆ܩ作׾ᇞmܩ形Ԣ，得到
ᦙܭ
mܭt
ᦙ作
形Ԣm，再得到ܵͳܵ
ʹ t
ʹᦙܭ
mܭt
ʹᦙ作
形Ԣm t
圆作
形Ԣm，最后根据
①中结论，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点ܩ作ܩܪ٣ 形ܥ于ܪ，
设设mܩt ݔ，则ܣ圆t ʹݔ，
׵ 圆ܩt ⸳െ͵ݔt ܩ作，
׶ סܩܪܥt סܥt סm t h൓ι，
׵四边形ܩܪܥm 为矩形，
׵ ܥܪt mܥt Ͷ，
׶点ᦙ为矩形ܣ形ܥm 的对称中心，
׵ ܣ圆t ܥ作t ʹݔ，
׵ 作ܪt 作ܥെܥܪt ݔ，
在Rt ᇞܩܪ作中，ܩ作ʹ t 作ܪʹ ൅ܩܪʹ，
可得方程⸳െ͵ݔʹ t ݔʹ ൅Ͷʹ，
解得ݔͳ t ͵ െ
͵ǡݔʹ t ͵ െ
͵（此时ܣ圆൐ܣm，故舍去0），
׵ ܣ圆t ʹݔt 䔈െʹ ͵；
（3）解：①略
②如图，连接形Ԣmǡᦙܩǡᦙ形，
31 / 65
学科网（北京）股份有限公司
由题意可得形作t 形Ԣ作,
׶点ᦙ为矩形ܣ形ܥm 的对称中心，
׵ 形作t 形Ԣ作t 圆m，
同理可得ᦙm t ᦙ形t ᦙ形Ԣ，
由（1）知ܩ作t ܩ圆，
׵ 形Ԣ作െܩ作t m圆െܩ圆，
即形Ԣܩt mܩ，
׶ ᦙܩt ᦙܩ，
׵ᇞmᦙܩ، ᇞ形ԢᦙܩSSS ，
׵ סᦙmܩt סᦙ形Ԣܩ，
׶ mܩt 形Ԣܩǡסmܩܭt ס形Ԣܩܪ，
׵ᇞmܩܭ، ᇞ形ԢܩܪASA ，
׵ mܭt 形Ԣܪǡܩܭt ܩܪ，
׵ ᦙm െmܭt ᦙ形Ԣ െ形Ԣܪ，
即ᦙܭt ᦙܪ，
׶ ᦙܩt ᦙܩ，
׵ᇞᦙܩܭ، ᇞᦙܩܪSSS ，
׵ܵ
ᇞᦙܩܭtܵ
ᇞᦙܩܪ，
׵ܵ
ͳ t ʹܵᇞᦙܩܭ，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ t
ʹܵᇞᦙܩܭܵ
ʹ
，
׶ ס圆ܩ作t סmܩ形Ԣǡܩ圆t ܩ作ǡܩm t ܩ形Ԣ，
׵ סܩ圆作t סܩ作圆t סܩm形Ԣ t סܩ形Ԣm，
׵
ᦙܭ
mܭt
ᦙ作
形Ԣm，
׶ܵ
ᇞᦙܩܭܵ
ʹ
t
ᦙܭ
形Ԣm，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ t
ʹᦙܭ
mܭt
ʹᦙ作
形Ԣm t
圆作
形Ԣm，
׶ᇞ圆ܩ作׾ᇞmܩ形Ԣ，
׵
圆作
形Ԣm t
ܩ圆
ܩm，
当ܽ
t ͳ 时，由①可得Ͷ െͳ
Ͷ െܾ
t Ͷ，
32 / 65
学科网（北京）股份有限公司
解得ܾ
t
⸳
͵，
׵ ܣ圆t ͳǡmܩt
⸳
͵，
׵ ܩ圆t ܣm െܣ圆െmܩt
ͳ͵
͵ ，
׵ܵ
ͳܵ
ʹ t
圆作
形Ԣm t
ܩ圆
ܩm t
ͳ͵
⸳．
4．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AB=5，BD 为对角线.点E 是边AB 延长线上的任
意一点，连结m圆交形ܥ于点作，形ܩ平分סܥ形圆交m圆于点G．
(1)求证：סm形ܩt h൓ι.
(2)若形m t 䔈，mܩt ʹܩ圆．
①求菱形ܣ形ܥm 的面积.
②求tanס形m圆的值.
(3)若形圆t ܣ形，当סmܣ形的大小发生变化时（൓ι＜סmܣ形＜ͳ⸳൓ι），在ܣ圆上找一点ܶ
，使ܩܶ
为定值，说
明理由并求出圆ܶ
的值．
【答案】(1)
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝
ͳ
ʹ∠ABC，
∵形ܩ平分סܥ形圆交m圆于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝
ͳ
ʹ∠CBE，
33 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴∠CBD＋∠CBG＝
ͳ
ʹ（∠ABC＋∠CBE）＝
ͳ
ʹ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
(2)①24，②
Ͷ
h
(3)圆ܶ＝
ͳ൓
͵ ，
如图3，过点G 作GT∥BC 交AE 于点T，此时ET＝
ͳ൓
͵ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB 的大小发生变化时，始终有BG∥AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴
圆ܩ
ܩܪt
形圆
ܣ形，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴
mܪ
ܩܪt
mᦙ
形ᦙ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT∥BC，
∴GT∥AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴
ܩܶ
ܣm t
圆ܩ
圆m t
圆ܶ
圆ܣt
ͳ
͵，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝
⸴
͵，为定值，
此时ET＝
ͳ
͵AE＝
ͳ
͵（AB＋BE）＝
ͳ൓
͵ ．
【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝
ͳ
ʹ∠ABC，由形ܩ平分סܥ形圆交m圆于点G，得到
34 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∠CBG＝∠EBG＝
ͳ
ʹ∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC 交BD 于点O,Rt△DOC 中，OC＝ܥmʹ െᦙmʹt ⸴ʹ െ͵ʹ t Ͷ，求得AC＝8，由菱形的
面积公式可得答案；②由BG∥AC，得到
mܪ
mܩt
mᦙ
形m t
ͳ
ʹ，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝
DH＝HG，则
mܪ
圆ܪt
ͳ
ʹ，再证明△CDH∽△AEH，CH＝
ͳ
͵AC＝
⸳
͵，OH＝OC－CH＝4－
⸳
͵＝
Ͷ
͵，利用正切的定义得
到答案；
（3）过点G作GT∥BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，
得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA 得
ܩܶ
ܣm t
圆ܶ
圆ܣt
ͳ
͵，GT＝
⸴
͵，为定值，即可得到ET 的值．
【详解】（1）略
（2）解：①如图1，连接AC 交BD 于点O，
∵四边形ABCD 是菱形，BD＝6，
∴OD＝
ͳ
ʹBD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC 中，OC＝ܥmʹ െᦙmʹt ⸴ʹ െ͵ʹ t Ͷ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ܵ菱形ܣ形ܥm t
ͳ
ʹ ܣܥൈ形m t
ͳ
ʹ ൈ⸳ൈ䔈t ʹͶ，
即菱形ܣ形ܥm 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE 于点O、H，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
35 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴BG⊥BD，
∴BG∥AC，
∴
mܪ
mܩt
mᦙ
形m t
ͳ
ʹ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴
mܪ
圆ܪt
ͳ
ʹ，
∵AB∥CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴
ܥܪ
ܣܪt
mܪ
圆ܪt
ͳ
ʹ，
∴CH＝
ͳ
͵AC＝
⸳
͵，
∴OH＝OC－CH＝4－
⸳
͵＝
Ͷ
͵，
∴tan∠BDE＝
ᦙܪ
ᦙm t
Ͷ
h；
（3）略
1．（2026·浙江丽水·一模）如图，正方形ܣ形ܥm 的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形圆ܳ作ܲ，其
中ܲ
，ܳ
分别为ܣm，形ܥ的中点，则菱形的边长为（
）
A．5
B．6
C．ʹ ⸴
D．Ͷ ⸴
【答案】C
【分析】作出如图的辅助线，得到ᇞܲ
mܩ، ᇞ作ܪܩ，利用勾股定理求得ܲ
ܩt 作ܩt
⸴，据此求解即可．
【详解】解：如图，
36 / 65
学科网（北京）股份有限公司
根据题意知ᇞܲ
mܩ، ᇞ作ܪܩ，
mܩt ܪܩt
ͳ
ʹ mܪt
ͳ
Ͷ ܥm t ͳ，ܲ
m t 作ܪt
ͳ
ʹ ܣm t ʹ，ܲ
ܩt 作ܩt
ͳʹ ൅ʹʹ t
⸴，
∴ܲ作tܲ
ܩ൅作ܩt ʹ ⸴，即菱形的边长为ʹ ⸴．
2．（2026·浙江温州·三模）小明在手工课上拿到了一张如图1 所示的五边形纸片ܣ形ܥm圆，已知סܣt ס形t
סܥt h൓ι，ܥm t ͵，形ܥt ⸳，他计划在线段ܣ形上选取一点P，分别以ܣܲ，形ܲ
为边裁剪出两张正方形纸
片．设ܣܲ
的长度为ݔܽ
൑ݔ൑Ͷ ，两个正方形面积和为y，y 关于x 的函数图象如图2 所示，则线段ܣ形的
长与a 的值分别为（
）
A．7，1.5
B．7，1
C．6，1.5
D．6，1
【答案】A
【分析】设ܣ形长度为m，可得形ܲ
t݉
െݔ，因此两个正方形面积和为ㄸt ݔʹ ൅ሺ݉
െݔሻʹ，这是开口
向上的二次函数，其最小值在顶点处取得，因为函数图象在ݔt Ͷ 时取得最小值ʹ⸴，所以将ݔt Ͷ、ㄸt ʹ⸴
代入上述函数式，即可求解m 的值；确定x 的下限a：因为以形ܲ
为边的正方形最大边长不能超过形ܥ的长
度8，且裁剪时正方形不能超出五边形边界，结合五边形的圆m 段倾斜特征，得到关于x 的不等关系，求解
即可得到a 的值；
【详解】设ܣܲ
t ݔ，ܣ形t݉
，则形ܲ
t݉
െݔ，
∴两个正方形的面积和为：ㄸt ܣܲ
ʹ ൅形ܲ
ʹ t ݔʹ ൅ሺ݉
െݔሻʹ，
由图2 可知，当ݔt Ͷ 时，ㄸt ʹ⸴，
37 / 65
学科网（北京）股份有限公司
代入得：Ͷʹ ൅ሺ݉
െͶሻʹ t ʹ⸴，
整理得ሺ݉
െͶሻʹ t h，
解得݉
ͳ t ͹，݉
ͳ t ͳ，
因为݉
൐Ͷ，所以݉
ͳ t ͹，
∴ܣ形t݉
t ͹，
∵由图2 可知，ܣܲ
的最大值为Ͷ，
且由图1 可知，ܣܲ
的最大限度为ܣ圆，
∴ܣ圆t Ͷ，
如图所示，以ܣ为原点，ܣ形为水平正方向，ܣ圆为竖直正方向建立坐标系：
∴ܣሺ൓ǡ൓ሻ，形ሺ͹ǡ൓ሻ，ܥሺ͹ǡ⸳ሻ，mሺͶǡ⸳ሻ，圆ሺ൓ǡͶሻ，
设m圆的直线方程为ㄸt݇
ݔ൅ܾ，代入坐标得，
Ͷ݇൅ܾ
t ⸳ܾ
t Ͷ
解得݇
t ͳܾ
t Ͷ
∴ㄸt ݔ൅Ͷ，
以形ܲ
为边的正方形左上角坐标为ሺݔǡ͹ െݔሻ，
该点必须在五边形内，因此满足纵坐标不超过m圆在ݔ处的纵坐标，
即：͹ െݔ൑ݔ൅Ͷ，
解得ݔ൒ͳ晦⸴，
∴ܽ
t ͳ晦⸴，
综上，ܣ形长为͹，ܽ
t ͳ晦⸴．
3．（2026·浙江·模拟预测）如图，ܣ形ܥm 中，m圆∥形ܩ，ܣ作∥ܥܪ，圆ǡܩ分别在ܣ作ǡܥܪ上，连接作ܪ，סܣ作形t ͳʹ൓ι，
若ᇞܣ作形، ᇞܪ圆作，ᇞܣ圆m 与ᇞܪ圆作的面积相等，则
ܣ圆
圆作的值为（
）
38 / 65
学科网（北京）股份有限公司
A．
ͳ
͵
B．
ʹ
ʹ
C．
͵െͳ
ʹ
D．
⸴െͳ
ʹ
【答案】D
【分析】设圆作t ͳǡܣ圆t݇
，根据全等可得ܣ作t 圆ܪt݇
൅ͳ，形作t 圆作t ͳ，过点ܪ作ܪܭ٣ ܣ作于点
ܭ，过点m 作mܩ٣ ܣ作于点ܩ，延长m圆交ܣ形于点ܯ，延长形ܩ交ܥm 于点䗃，在Rt ᇞ圆ܪܭ中，求出ܪܭt
͵݇
൅ͳ
ʹ
，则ܵᇞܪ圆作t
͵݇
൅ͳ
Ͷ
，利用平行四边形的判定和性质，证明ᇞܣ形作، ᇞܥmܪAAS ，得出m圆t݇
൅ʹ，
在Rt ᇞmܩ圆中，求出mܩt
͵݇
൅ʹ
ʹ
，则ܵᇞܣ圆m t
͵݇݇
൅ʹ
Ͷ
．再结合ܵᇞܣ圆m tܵ
ᇞܪ圆作列方程求解即可．
【详解】解：设圆作t ͳǡܣ圆t݇
，则
ܣ圆
圆作t݇݇
൐൓，ܣ作t ܣ圆൅圆作t݇
൅ͳ，
׶ᇞܣ作形، ᇞܪ圆作，
׵ ܣ作t 圆ܪt݇
൅ͳ，形作t 圆作t ͳ，
如图，过点ܪ作ܪܭ٣ ܣ作于点ܭ，过点m 作mܩ٣ ܣ作于点ܩ，延长m圆交ܣ形于点ܯ，延长形ܩ交ܥm
于点䗃，
׶ m圆∥形ܩ，סܣ作形t ͳʹ൓ι
׵ סm圆作t ͳʹ൓ι，
׵ סܣ圆ܪt 䔈൓ι，
在Rt ᇞ圆ܪܭ中，sinסܪ圆ܭt
ܪܭ
圆ܪ，
׵ ܪܭt 圆ܪڄ sin䔈൓t
͵
ʹ 圆ܪt
͵݇
൅ͳ
ʹ
，
׵ܵ
ᇞܪ圆作t
ͳ
ʹ ڄ 圆作ڄ ܪܭt
ͳ
ʹ ൈͳ ൈ
͵݇
൅ͳ
ʹ
t
͵݇
൅ͳ
Ͷ
．
׶四边形ܣ形ܥm 是平行四边形，
׵ ܣ形∥ܥm，ܣ形t ܥm，
׶ mܯ∥形䗃，
39 / 65
学科网（北京）股份有限公司
׵四边形形䗃mܯ是平行四边形，
׵ סܯ形䗃t ס䗃mܯ，
׶ m圆∥形ܩ，ܣ作∥ܥܪ，
׵四边形圆作ܩܪ是平行四边形，
׵ ס圆作ܩt ס圆ܪܩ，
׵ ס形作圆t סmܪܩ，
在ᇞܣ形作和ᇞܥmܪ中，
סܣ形作t סܥmܪ
סܣ作形t סܥܪm
ܣ形t ܥm
，
׵ᇞܣ形作، ᇞܥmܪAAS ，
׵ mܪt 形作t ͳ，
׵ m圆t 圆ܪ൅mܪt݇
൅ͳ ൅ͳ t݇
൅ʹ，
在Rt ᇞmܩ圆中，סm圆ܩt 䔈൓ι，sinסm圆ܩt
mܩ
m圆，
׵ mܩt m圆ڄ sin䔈൓ι t
͵݇
൅ʹ
ʹ
，
׵ܵ
ᇞܣ圆m t
ͳ
ʹ ڄ ܣ圆ڄ mܩt
ͳ
ʹ݇
ൈ
͵݇
൅ʹ
ʹ
t
͵݇݇
൅ʹ
Ͷ
．
׶ܵ
ᇞܣ圆m tܵ
ᇞܪ圆作，
׵
͵݇݇
൅ʹ
Ͷ
t
͵݇
൅ͳ
Ͷ
，
整理得：݇ʹ ൅݇
െͳ t ൓，
解得：݇
t
െͳേ⸴
ʹ
，
由݇
൐൓，则݇
t
െͳ൅⸴
ʹ
．
4．（2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形ܣ形ܥm 是黄金
矩形（ܣ形쳌形ܥ），点圆、作分别在边ܣm、形ܥ上，将矩形沿直线圆作折叠，使点形的对应点形Ԣ落在ܥm 边
上，点ܣ的对应点为ܣԢ，过点圆作圆ܩ٣ 形ܥ于点ܩ，当矩形ܣ形ܩ圆也是黄金矩形（ܣ圆쳌ܣ形）时，则
形作
形ܥt___________．
40 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【答案】⸴െʹ ⸴/െʹ ⸴൅⸴
【分析】连接形Ԣ圆，根据黄金矩形的定义设ܥm t ܣ形t
⸴െͳܽ
，ܣm t 形ܥt ʹܽ，则ܣ圆t
⸴െͳ
ʹ
ܣ形t
͵ െ
⸴ܽ
，证明Rt ᇞܣԢ形Ԣ圆،Rt ᇞm圆形Ԣ HL 得到形Ԣm t ܣԢ圆t ͵ െ
⸴ܽ
，从而形Ԣܥt ܥm െ形Ԣm t ʹ ⸴െͶܽ
，
设形作t 形Ԣ作t ݔ，则ܥ作t 形ܥെ形作t ʹܽ
െݔ，在Rt ᇞ形Ԣܥ作中，根据形Ԣܥʹ ൅ܥ作ʹ t 形Ԣ作ʹ构造方程，求解得
到形作t ͳ൓െͶ ⸴ܽ
，从而
形作
形ܥt
ͳ൓െͶ ⸴ܽ
ʹܽ
t ⸴െʹ ⸴．
【详解】解：连接形Ԣ圆，
∵矩形ܣ形ܥm 是黄金矩形，ܣ形쳌形ܥ，
ܣ形
形ܥt
⸴െͳ
ʹ ，
∴设ܥm t ܣ形t
⸴െͳܽ
，ܣm t 形ܥt ʹܽ，
∵矩形ܣ形ܩ圆是黄金矩形，ܣ圆쳌ܣ形，
∴
ܣ圆
ܣ形t
⸴െͳ
ʹ ，
∴ܣ圆t
⸴െͳ
ʹ
ܣ形t
⸴െͳ
ʹ
ʹܽ
t ͵ െ
⸴ܽ
，
∵四边形ܣԢ形Ԣ作圆是四边形ܣ形作圆翻折得到，
∴ܣԢ圆t ܣ圆t ͵ െ
⸴ܽ
，ס圆ܣԢ形Ԣ t ס圆ܣ形t h൓ι，
m圆t ܣm െܣ圆t ʹܽ
െ͵ െ
⸴ܽ
t
⸴െͳܽ
，
∴m圆t ܣ形t ܣԢ形Ԣ，
∵在矩形ܣ形ܥm 中，סm t h൓ι，
又形Ԣ圆t 圆形Ԣ
∴Rt ᇞܣԢ形Ԣ圆،Rt ᇞm圆形Ԣ HL ，
∴形Ԣm t ܣԢ圆t ͵ െ
⸴ܽ
，
41 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴形Ԣܥt ܥm െ形Ԣm t
⸴െͳܽ
െ͵ െ
⸴ܽ
t ʹ ⸴െͶܽ
，
设形作t 形Ԣ作t ݔ，则
ܥ作t 形ܥെ形作t ʹܽ
െݔ，
∵在Rt ᇞ形Ԣܥ作中，形Ԣܥʹ ൅ܥ作ʹ t 形Ԣ作ʹ，
∴
ʹ ⸴െͶܽ
ʹ ൅ʹܽെݔʹ t ݔʹ
解得：ݔt ͳ൓െͶ ⸴ܽ
，
∴形作t ͳ൓െͶ ⸴ܽ
，
∴
形作
形ܥt
ͳ൓െͶ ⸴ܽ
ʹܽ
t ⸴െʹ ⸴．
5．（2026·浙江台州·二模）如图，四边形ܣ形ܥm 纸片满足ܣm ∥形ܥ，ܣm 쳌形ܥ，ܣ形٣ 形ܥ，ܣ形t ⸳，ܥm t ͳ൓，
点ܩ，ܪ，ܯ，䗃分别在ܣ形，形ܥ，ܥm 上，把该纸片分别沿ܩ䗃，ܩܪ，ܪܯ折叠，若翻折后的三部分图形恰
能拼合成一个无缝隙、无重叠的正方形，则ܣm 的长为_________．
【答案】
ͳ͵
Ͷ
【分析】根据折叠的性质和拼接成正方形的条件，推断出四边形ܩ䗃ܯܪ为正方形，且点ܩ为ܣ形中点，
点m、ܥ折叠后落在䗃ܯ边上，从而得出正方形边长与ܥm 的关系，利用全等三角形和相似三角形性质求解
ܣm 的长．
【详解】解：由折叠可得：ᇞܩ形ܪ، ᇞܩ圆ܪ，ᇞܪܥܯ، ᇞܪ作ܯ，四边形ܣm䗃ܩ،四边形圆作䗃ܩ；
∴ס形t סܩ圆ܪt h൓ι，סܣt סܩ圆作t h൓ι，
∴סܩ圆ܪ൅סܩ圆䗃t ͳ⸳൓ι，即作、圆、ܪ三点共线，
又∵拼接无缝隙，
∴点m、ܥ的对应点作重合在䗃ܯ上，
∴m䗃t 䗃作，ܯܥt ܯ作，
∴ܥm t m䗃൅䗃ܯ൅ܯܥt 䗃作൅䗃ܯ൅ܯ作t ʹ䗃ܯ，
∵ܥm t ͳ൓，
42 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴正方形ܩ䗃ܯܪ的边长ܩܪt 䗃ܯt ⸴，
∵点ܣ、形的对应点均为圆，
∴ܩܣt ܩ圆t ܩ形，
∵ܣ形t ⸳，
∴ܩ形t Ͷ，
∴在Rt ᇞܩ形ܪ中，形ܪt
ܩܪʹ െܩ形ʹ t
⸴ʹ െͶʹ t ͵，
过点ܯ作ܯܳ
٣ 形ܥ于点ܳ
，过点m 作mܲ
٣ 形ܥ于点ܲ
，如图所示：
∵סܩܪܯt h൓ι，
∴ס形ܪܩ൅סܯܪܳ
t h൓ι，
又∵ס形ܪܩ൅ס形ܩܪt h൓ι，
∴ס形ܩܪt סܯܪܳ，
在ᇞܩ形ܪ和ᇞܪܳܯ中，
ס形t סܪܳܯ
ס形ܩܪt סܯܪܳ
ܩܪt ܪܯ
，
∴ᇞܩ形ܪ، ᇞܪܳܯAAS ，
∴ܯܳ
t 形ܪt ͵，ܪܳ
t ܩ形t Ͷ，
∵mܲ
٣ 形ܥ，ܯܳ
٣ 形ܥ，
∴ܯܳ
∥mܲ，
∴ᇞܥܯܳ
׾ᇞܥmܲ，
∴
ܯܳ
mܲ
t
ܥܯ
ܥm，
∵ܣ形٣ 形ܥ，ܣm ∥形ܥ，
∴mܲ
t ܣ形t ⸳，
∴
͵
⸳t
ܥܯ
ͳ൓，
43 / 65
学科网（北京）股份有限公司
解得：ܥܯt
ͳ⸴
Ͷ ，
在Rt ᇞܥܯܳ
中，ܥܳ
t
ܥܯʹ െܯܳ
ʹ t
ͳ⸴
Ͷ
ʹ
െ͵ʹ t
h
Ͷ，
∴形ܥt 形ܪ൅ܪܳ
൅ܳ
ܥt ͵ ൅Ͷ ൅
h
Ͷ t
͵͹
Ͷ ，
在Rt ᇞܥmܲ
中，ܥܲ
t
ܥmʹ െmܲ
ʹ t
ͳ൓ʹ െ⸳ʹ t 䔈，
∴ܣm t 形ܲ
t 形ܥെܥܲ
t
͵͹
Ͷ െ䔈t
ͳ͵
Ͷ ．
6．（2026·浙江·一模）如图，在正方形ܣ形ܥm 中，点圆为ܣ形的中点，以m 为圆心，m圆为半径作圆，交
对角线形m 于点作，交边形ܥ于点ܩ，连结圆ܩ．
(1)求证：ᇞ圆形ܩ为等腰直角三角形；
(2)若ܣ形t ʹ，求
形作
m作的值．
【答案】(1)
证明：如图，连接mܩ，
根据题意可知，m圆t m作t mܩ，
∵四边形ܣ形ܥm 是正方形，
∴ܣ形t 形ܥt ܥm t ܣm，סܣt סܣ形ܥt סܥt h൓ι，
在Rt ᇞܣm圆和Rt ᇞܥmܩ中，
m圆t mܩ
ܣm t ܥm ，
∴Rt ᇞܣm圆،Rt ᇞܥmܩHL ，
∴ܣ圆t ܥܩ，
44 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴形圆t 形ܩ，
∴ᇞ圆形ܩ为等腰直角三角形；
(2)
ʹ ͳ൓െ⸴
⸴
【分析】（1）由正方形的性质结合m圆t m作t mܩ可证明Rt ᇞܣm圆،Rt ᇞܥmܩHL ，则ܣ圆t ܥܩ，进
而可得形圆t 形ܩ，因此ᇞ圆形ܩ为等腰直角三角形；
（2）使用勾股定理计算出m圆和形m。由m圆t m作计算出形作，最后计算
形作
m作．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形ܣ形ܥm 是正方形，
∴ܣm t ܣ形t ʹ，
∵点圆为ܣ形的中点，
∴ܣ圆t
ͳ
ʹ ܣ形t ͳ，
在Rt ᇞܣm圆中，m圆t
ܣ圆ʹ ൅ܣmʹ t
ͳʹ ൅ʹʹ t
⸴，
∴m圆t m作t
⸴，
在Rt ᇞܣ形m 中，形m t
ܣ形ʹ ൅ܣmʹ t
ʹʹ ൅ʹʹ t ʹ ʹ，
∴形作t 形m െm作t ʹ ʹ െ
⸴，
∴
形作
m作t
ʹ ʹെ⸴
⸴
t
ʹ ͳ൓െ⸴
⸴
．
7．（2026·浙江台州·二模）点圆是
ܣ形ܥm 的边ܣ形的中点，请你利用无刻度的直尺
．．．．．．，完成以下探究与操
作：
操作与证明
(1)如图1，连接对角线ܣܥ，形m，交于点ᦙ，连接圆ᦙ并延长，交边ܥm 于点作，求证：点作是ܥm 的中点．
拓展与探究
(2)请尝试用无刻度的直尺，在图2 的
ܣ形ܥm 中作出边形ܥ的中点ܩ．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
45 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据平行四边形的性质，及三角形全等，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质以及三角形三条中线交于一点（重心），即可证明结论．
【详解】（1）׶四边形ܣ形ܥm 是
ܣ形ܥm，
׵ ܣᦙt ܥᦙ，ܣ形t ܥm，ܣ形∥ܥm，
׶点圆是边ܣ形的中点，
׵ ܣ圆t
ͳ
ʹ ܣ形，
׶ ܣ形∥ܥm，
׵ ס形ܣᦙt סmܥᦙ，
在ᇞܣ圆ᦙ和ᇞܥ作ᦙ中，
ס形ܣᦙt סmܥᦙ
ܣᦙt ܥᦙ
סܣᦙ圆t סܥᦙ作
，׵ᇞܣ圆ᦙ، ᇞܥ作ᦙASA ，
׵ ܣ圆t ܥ作，
׶ ܣ圆t
ͳ
ʹ ܣ形，ܣ形t ܥm，
׵ ܥ作t
ͳ
ʹ ܥm．
∴点作是ܥm 的中点．
（2）连接对角线ܣܥ，形m，交于点ᦙ，连接ܥ圆，交形ᦙ于点H，连接并延长ܣܪ交形ܥ于点G．
׶四边形ܣ形ܥm 是
ܣ形ܥm，
׵ ܣᦙt ܥᦙ，即形ᦙ是ᇞܣ形ܥ的中线，
׶点圆是边ܣ形的中点，
∴ܥ圆也是ᇞܣ形ܥ的中线，
ܥ圆、形ᦙ的交点H 是ᇞܣ形ܥ的重心，
∴ܣܪ也是ᇞܣ形ܥ的中线，
即点ܩ是边形ܥ的中点．
8．（2026·浙江嘉兴·一模）综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，
46 / 65
学科网（北京）股份有限公司
需要找到合适的分割线．
【数学问题】如图2，已知
ܣ形ܥm，ܣ形t Ͷ൓cm，形ܥt 䔈൓cm，ס形t ⸴͵ι．作一条直线圆作，使直线圆作٣ 形ܥ，
且将
ܣ形ܥm 分成周长相等的两部分．
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接ܣܥ，形m 交于点ᦙ；②以ܣܥ为直径作半圆交边形ܥ于点ܪ；③
连接ܣܪ，作סܪܣܥ的角平分线交半圆ᦙ于点ܩ；④作直线ᦙܩ分别交边ܣm，形ܥ于点圆，作，直线圆作就是
所求作的直线．
【解决问题】
(1)求
ܣ形ܥm 的面积．（参考数据：sin⸴͵ι ൎ൓晦⸳，cos⸴͵ι ൎ൓晦䔈）
(2)根据小嘉的作图过程，说明直线圆作٣ 形ܥ且将
ܣ形ܥm 分成周长相等的两部分的理由．
【答案】(1)ͳhʹ൓cmʹ
(2)证明：连接ᦙܪǡܪܩǡܥܩ，则ᦙܪt ᦙܥ，
∵ܣܩ平分סܪܣܥ，
∴סܪܣܩt סܥܣܩ，
∴סܪᦙܩt סܥᦙܩ，
∴ܪܩt ܥܩ，
∴ᦙܩ٣ ܥܪ，即圆作٣ 形ܥ．
∵四边形ܣ形ܥm 是平行四边形，
∴ܣ形t ܥm，ܣm t 形ܥ，ܣm ∥形ܥ，ᦙܣt ᦙܥ，
∴סmܣܥt ס形ܥܣ，
∵סܣᦙ圆t סܥᦙ作，
∴ᇞܣᦙ圆، ᇞܥᦙ作SAS ，
47 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ܣ圆t ܥ作，
∴m圆t 形作，
∴ܣ圆൅ܣ形൅形作൅圆作t ܥ作൅ܥm ൅m圆൅圆作．
∴圆作٣ 形ܥ且将
ܣ形ܥm 分成周长相等的两部分．
【分析】（1）圆周角定理得到ܣܪ٣ 形ܥ，解直角三角形，求出ܣܪ的长，再根据平行四边形的性质进
行求解即可；
（2）连接ᦙܪǡܪܩǡܥܩ，根据角平分线的定义和圆周角定理以及弧，弦，角之间的关系，推出ܪܩt ܥܩ，
进而得到圆作٣ 形ܥ，证明ᇞܣᦙ圆، ᇞܥᦙ作SAS ，得到ܣ圆t ܥ作，进而得到形作t m圆，根据周长公式即可得
出结论．
【详解】（1）解：∵以ܣܥ为直径作圆交形ܥ于点ܪ，
∴ܣܪ٣ 形ܥ．
∵ܣ形t Ͷ൓cm，sinסܣ形ܥt sin⸴͵ι t
ܣܪ
ܣ形ൎ൓晦⸳，
∴ܣܪൎ͵ʹcm．
∵形ܥt 䔈൓cm，
∴
ܣ形ܥm 的面积ൎ䔈൓ൈ͵ʹ t ͳhʹ൓cmʹ．
（2）略
9．（2026·浙江·模拟预测）在矩形ܣ形ܥm 中，ܣ形圆作为正方形，点G 在射线圆作上，סܣܩm t h൓ι，过A 作
ܪܣ٣ ܣܩ交形ܥ于点H，过H 作ܪܲ
٣ mܩ交mܩ于点P，连接mܪ交圆作于点Q．
(1)求证：四边形ܣܪܲܩ是正方形．
(2)已知ܣ形t ͳ，若Q 为ܪm 的中点，求形ܥ的长．
【答案】(1)
证明：∵ܪܣ٣ ܣܩ，ܪܲ
٣ mܩ，סܣܩm t h൓ι
∴סܣܩܲ
t סܪܣܩt סܪܲܩt h൓ι
∴四边形ܣܪܲܩ是矩形．
∵四边形ܣ形圆作是正方形，
48 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ܣ形t ܣ作，ס形ܣ作t ס形tt סܣ作ܩt h൓ι，
∵ס形ܣ作t סܪܣܩt h൓ι，
∴ס形ܣܪ൅סܪܣ作t סܪܣ作൅ס作ܣܩt h൓ι
∴ס形ܣܪt סmܣܩ．
在ᇞܣ形ܪ和ᇞܣ作ܩ中
ס形t סܣ作ܩ
ס形ܣܪt ס作ܣܩ
ܣ形t ܣ作
∴ᇞܣ形ܪ، ᇞܣ作ܩASA ，
∴ܣܪt ܣܩ，
∴四边形ܣܪܲܩ是正方形．
(2)形ܥt
⸴െ⸴
ʹ ．
【分析】（1）根据已知的ܪܣ٣ ܣܩ、ܪܲ
٣ mܩ和סܣܩm t h൓ι，可得四边形ܣܪܲܩ的三个内角均为h൓ι，
因此它是矩形，利用正方形ܣ形圆作的性质，通过同角的余角相等推出ס形ܣܪt ס作ܣܩ，从而证明ᇞܣ形ܪ، ᇞ
ܣ作ܩ，得到邻边相等，即可解答；
（2）由圆作∥ܥm，结合ܳ
是ܪm 中点，可证ᇞ作mܳ، ᇞ圆ܪܳ，得作m t ܪ圆，设圆ܥt ݔ，则作m t ܪ圆t ݔ，
因此ܣm t ͳ ൅ݔ．在Rt ᇞܣܩm 中，由作ܩ٣ ܣm，证ᇞܣ作ܩ׾ᇞܣܩm，得ܣܩʹ t ܣ作ڄ ܣm t ͳ ൅ݔ．由（1）
知ܣܪt ܣܩ，在Rt ᇞܣ形ܪ中，ܣܪʹ t ܣ形ʹ ൅形ܪʹ t ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ，联立方程ͳ ൅ݔt ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ．解方程
并取舍即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：设圆ܥt ݔ，
׶ 四边形ܣ形圆作是正方形，四边形ܣ形ܥm 是矩形，
׵ 圆作∥ܥm，即m作∥ܪ圆．
׵ ס作mܳ
t ס圆ܪܳ．
׶ܳ
为ܪm 中点，
׵ mܳ
t ܪܳ．
在ᇞ作mܳ
和ᇞ圆ܪܳ
中：
ס作mܳ
t ס圆ܪܳ
ס作ܳm t ס圆ܳܪ
mܳ
t ܪܳ
׵ᇞ作mܳ، ᇞ圆ܪܳሺAASሻ．
49 / 65
学科网（北京）股份有限公司
׵ 作m t ܪ圆t ݔ．
׶ סܣܩm t h൓ι，作ܩ٣ ܣm，
׵ סܣ作ܩt סܣܩm t h൓ι．
׶ סܣܩ作൅ס作ܣܩt h൓ι，סܣmܩ൅ס作ܣܩt h൓ι，
׵ סܣܩ作t סܣmܩ，
׵ᇞܣ作ܩ׾ᇞܣܩm，
׵
ܣ作
ܣܩt
ܣܩ
ܣm，
׵ ܣܩʹ t ܣ作ڄ ܣm．
׶ ܣ形t ͳ，四边形ܣ形圆作为正方形，
׵ ܣ作t ͳ，ܣm t ͳ ൅ݔ，
׵ ܣܩʹ t ͳ ൅ݔ．
由（1）可知ܣܪt ܣܩ，
׵ ܣܪʹ t ܣܩʹ．
在Rt ᇞܣ形ܪ中，
ܣܪʹ t ܣ形ʹ ൅形ܪʹ t ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ．
׵ ͳ ൅ݔt ͳ ൅ሺͳ െݔሻʹ，
整理得：ݔʹ െ͵ݔ൅ͳ t ൓，
解得ݔͳ t
͵൅⸴
ʹ （舍去），ݔʹ t
͵െ⸴
ʹ ．
׵ 形ܥt ܣm t ͳ ൅ݔt ͳ ൅
͵െ⸴
ʹ
t
⸴െ⸴
ʹ ．
10．（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探
究．
如图ͳ，两个全等的直角三角形ܣ形ܥ和m圆作的斜边ܣܥ和m作在同一直线上，ܣ形t m圆．ᇞm圆作可沿直线
ܣܥ平移，连接ܣ圆，形m．
50 / 65
学科网（北京）股份有限公司
【实验探究】
(1)在ᇞm圆作平移过程中，同学们发现四边形ܣ形m圆是平行四边形，请证明此结论；
(2)当ᇞm圆作沿ܣܥ平移到某一个位置时，四边形ܣ形m圆恰好为菱形，
①如图ʹ，此时若ܣ形t ⸳，ܣܥt ͳ൓，试求ܣ作的长；
②如图͵，连接形圆，若形圆t ܥm，求ס形ܣܥ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①
ͳͶ
⸴
②ʹʹ晦⸴ι
【分析】（1）根据全等三角形的性质可知ܣ形t m圆，ס形ܣܥt ס圆m作，可证ᇞܣ形m، ᇞm圆ܣ，根据全等
三角形的性质可证形m t ܣ圆，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立；
（2）①连接形圆交作ܥ于点ᦙ，根据勾股定理可得形ܥt 䔈，根据菱形的性质可知形圆和ܣm 互相垂直平
分，可得：tanס形ܣܥt
形ᦙ
ܣᦙt
͵
Ͷ，设形ᦙt ͵ݔ，则ܣᦙt Ͷݔ，利用勾股定理可得：ݔt
⸳
⸴，从而可以求出形ᦙt
ʹͶ
⸴，
ܣᦙt
͵ʹ
⸴，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出ܣ作的长度；
②延长形ܥ交m圆于点ܪ，可证ᇞ圆形ܪ، ᇞܥmܪ，根据全等三角形的性质可证ᇞ形mܪ是等腰直角三角形，
根据等腰直角三角形的性质可知סm形ܪt ס形mܪt Ͷ⸴ι，根据菱形的性质即可求出ס形ܣܥ的度数．
【详解】（1）证明：׶ᇞܣ形ܥ، ᇞm圆作，
׵ ܣ形t m圆，ס形ܣܥt ס圆m作，
在ᇞܣ形m 和ᇞm圆ܣ中，
ܣ形t m圆
ס形ܣܥt ס圆m作
ܣm t ܣm
，
׵ᇞܣ形m، ᇞm圆ܣ，
׵ 形m t ܣ圆，
׵四边形ܣ形m圆是平行四边形；
（2）①解：如下图所示，连接形圆交作ܥ于点ᦙ，
׶ ܣ形t ⸳，ܣܥt ͳ൓，
׵ 形ܥt
ܣܥʹ െܣ形ʹ t
ͳ൓ʹ െ⸳ʹ t 䔈，
׶四边形ܣ形m圆是菱形，
׵ ܣ形t 形m t m圆t ܣ圆t ⸳，形圆和ܣm 互相垂直平分，
在Rt ᇞܣ形ܥ中，סܣ形ܥt h൓ι，形ܥt 䔈，ܣ形t ⸳，
51 / 65
学科网（北京）股份有限公司
׵ tanס形ܣܥt
形ᦙ
ܣᦙt
形ܥ
ܣ形t
䔈
⸳t
͵
Ͷ，
设形ᦙt ͵ݔ，则ܣᦙt Ͷݔ，
׵ ܣ形t
形ᦙʹ ൅ܣᦙʹ t
͵ݔʹ ൅Ͷݔʹ t ⸴ݔt ⸳，
׵ ݔt
⸳
⸴，
׵ 形ᦙt ͵ݔt
ʹͶ
⸴，ܣᦙt Ͷݔt
͵ʹ
⸴，
׵ ܣm t ʹܣᦙt
䔈Ͷ
⸴，
׵ ܣ作t ܣm െm作t
䔈Ͷ
⸴െͳ൓t
ͳͶ
⸴；
②解：如下图所示，延长形ܥ交m圆于点ܪ，
׶ᇞܣ形ܥ، ᇞm圆作，
׵ סܣܥ形t סm作圆，
׵ 形ܥ∥圆作，
׶ סm圆作t h൓ι，
׵ סmܪ形t סm圆作t h൓ι，
׵ ס形ܪ圆t h൓ι，
׵ ס圆形ܪ൅ס形ܥᦙt h൓ι，סܥmܪ൅סmܥܪt h൓ι，
׶ ס形ܥᦙt סmܥܪ，
׵ ס圆形ܪt סܥmܪ，
在ᇞ圆形ܪ和ᇞܥmܪ中，
ס形ܪ圆t סmܪܥt h൓ι
ס圆形ܪt סܥmܪ
形圆t ܥm
，
׵ᇞ圆形ܪ، ᇞܥmܪ，
׵ 形ܪt mܪ，
׵ᇞ形mܪ是等腰直角三角形，
52 / 65
学科网（北京）股份有限公司
׵ סm形ܪt ס形mܪt Ͷ⸴ι，
׶四边形ܣ形m圆是菱形，
׵ ܣ形∥m圆，סܣm圆t
ͳ
ʹ ס形mܪt ʹʹ晦⸴ι，
׵ ס形ܣܥt סܣm圆t ʹʹ晦⸴ι．
11．（2026·浙江温州·三模）如图，在Rt ᇞܣ形ܥ中，סܣt h൓ι，ܣ形t ܣܥt Ͷ，在ܣ形的延长线上取点m，
使形m t ʹ，在ܣܥ的延长线上取点圆（ܥ圆്
Ͷ），分别过点m，圆作ܣm，ܣ圆的垂线交于点作，在作m，作圆
上截取作ܩt 作ܪt Ͷ，作点ܣ关于形ܥ的对称点ܯ，作点作关于ܩܪ的对称点䗃，连结ܩܯ，ܩ䗃，ܥܯ，ܥ䗃．
(1)求证：四边形ܥܯܩ䗃是平行四边形；
(2)四边形ܥܯܩ䗃能否成为轴对称图形？若能，请求出ܥ圆的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵作m ٣ ܣmǡ作圆٣ ܣ圆，סܣt h൓ι，
∴סm t ס圆t סܣt h൓ι
∴四边形ܣm作圆是矩形，
∴ס作t h൓ι，ܣ圆∥m作
∵ܣ形t ܣܥt Ͷ，作ܩt 作ܪt Ͷ，ס作t סܣt h൓ι
∴ᇞܣ形ܥǡ ᇞ作ܩܪ是等腰直角三角形，
∴סܣܥ形t ס作ܩܪt Ͷ⸴ι，ܣܥt ܩ作t Ͷ
∵ܯǡ䗃分别为ܣǡ作关于ܥ形ǡܩܪ的对称点，
∴ܯܥt ܩ䗃t Ͷ，סܯܥ形t סܣܥ形t Ͷ⸴ιǡס䗃ܩܪt ס作ܩܪt Ͷ⸴ι
∴סܣܥܯt ס作ܩ䗃t h൓ι
∴ܯܥ٣ ܣ圆ǡܩ䗃٣ m作
53 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵ܣ圆∥m作，
∴ܩ䗃٣ ܣ圆
∴ܯܥ∥ܩ䗃
∴四边形ܥܯܩ䗃是平行四边形
(2)能，ܥ圆t Ͷ ൅ʹ ͵或Ͷ െʹ ͵
【分析】（1）先证明四边形ܣm作圆是矩形，进而根据已知可得ᇞܣ形ܥǡ ᇞ作ܩܪ是等腰直角三角形，根
据对称的性质得出ܯܥt ܩ䗃，进而证明ܯܥ∥ܩ䗃，即可证明四边形ܥܯܩ䗃是平行四边形；
（2）根据题意得出四边形ܥܯܩ䗃是菱形，进而根据勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：四边形ܥܯܩ䗃能成为轴对称图形，
∵四边形ܥܯܩ䗃是平行四边形
∴当四边形ܥܯܩ䗃是轴对称图形时，四边形ܥܯܩ䗃为矩形或菱形，
如图所示，延长ܥܯ交m作于点ܭ，
∵ܯܩ是Rt ᇞܯܭܩ的斜边，ܥܯ쳌ܣm，则סܩܯܥ്
h൓ι
∴四边形ܥܯܩ䗃为轴对称图形时，四边形ܥܯܩ䗃为菱形，
∴ܯܩt ܥܯt Ͷ，
∵סܭܥ圆t ס圆t ס作t h൓ι，
∴四边形ܥܭ圆作是矩形，同理可得四边形ܣܥܭm 是矩形，
∴ܭ作t ܥ圆ǡܥܭt ܣm，
设ܥ圆t݉
，则作ܭt ܥ圆t݉
，ܭܩt ܭ作െܩ作t݉
െͶ，
ܯܭt ܭܥെܯܥt ܣm െܣ形t m形t ʹ
在Rt ᇞܯܭܩ中，ܯܥʹ t ܭܯʹ ൅ܭܩʹ
∴Ͷʹ t ʹʹ ൅݉
െͶ ʹ
∴݉
െͶ ʹ t ͳʹ
∴݉
െͶ tേʹ ͵
解得：݉
t Ͷ ൅ʹ ͵或Ͷ െʹ ͵
54 / 65
学科网（北京）股份有限公司
即ܥ圆t Ͷ ൅ʹ ͵或Ͷ െʹ ͵
12．（2026·浙江宁波·三模）如图，在菱形ܣ形ܥm 中，סܣ形ܥ是锐角，圆是形ܥ边上的动点，将射线ܣ圆绕
点ܣ按逆时针方向旋转，交直线ܥm 于点作．
(1)如图ͳ，当ܣ圆٣ 形ܥ，ס圆ܣ作t סܣ形ܥ时，
①求证：ܣ圆t ܣ作；
②连接形m，圆作，若
圆作
形m t
ʹ
⸴，求ܵ
ᇞܣ圆作ܵ
菱形ܣ形ܥm
的值．
(2)如图ʹ，当ס圆ܣ作t
ͳ
ʹ ס形ܣm 时，延长形ܥ交射线ܣ作于点ܯ，延长mܥ交射线ܣ圆于点䗃，连接ܣܥ，ܯ䗃．若
ܣ形t 䔈，ܣܥt ͵ 且ᇞܣܯ䗃是等腰三角形，求ܥ圆的长．
【答案】(1)①∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
∴ܣ形t 形ܥt ܥm t mܣ，ܣ形∥ܥm，סܣ形ܥt סܣmܥ，
∵ܣ圆٣ 形ܥ，
∴סܣ圆形t h൓ι，
∴ס圆ܣm t סܣ圆形t h൓ι，סܣ形圆൅ס形ܣ圆t h൓ι，
∴ס圆ܣ作൅ס作ܣm t h൓ι，
∵ס圆ܣ作t סܣ形ܥ，
∴ס形ܣ圆t ס作ܣm，
在ᇞܣ形圆和ᇞܣm作中，
ס形ܣ圆t ס作ܣm
ܣ形t ܣm
סܣ形圆t סܣm作
，
∴ᇞܣ形圆، ᇞܣm作ASA ，
׵ ܣ圆t ܣ作．
②ܵ
ᇞܣ圆作ܵ
菱形ܣ形ܥm
t
⸳
ʹ⸴
(2)圆ܥ的长度为ʹ 或͵ 或
䔈
⸴
【分析】（1）①由条件证明ᇞܣ形圆، ᇞܣm作，即证明结论；
55 / 65
学科网（北京）股份有限公司
②设ܣܥ与形m，圆作分别交于点ᦙ和点ܪ，证明ܣܥ垂直平分圆作，可得圆作∥形m，则ᇞܥ圆作׾ᇞܥ形m，
可得
ܥܪ
ܥᦙt
圆作
形m t
ʹ
⸴，则可得
ܣܪ
ܣܥt
⸳ݔ
ͳ൓ݔt
Ͷ
⸴，即可得结论；
（2）先证明ᇞܣܥܯ׾ᇞ䗃ܥܣ，分ܣ䗃t ܣܯ时，ܣ䗃t ܯ䗃时，ܣܯt ܯ䗃时，三种情况即可求解．
【详解】（1）解：①证明：略．
②如图，设ܣܥ与形m，圆作分别交于点ᦙ和点ܪ，
由①可知，ᇞܣ形圆، ᇞܣm作ASA ，
∴形圆t m作，
∴形ܥെ形圆t ܥm െm作，即ܥ圆t ܥ作，
由①可知，ܣ圆t ܣ作，
∴ܣܥ垂直平分圆作，
∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
∴ܣܥ٣ 形m，
∴圆作∥形m，
∴ᇞܥ圆作׾ᇞܥ形m，
∴
ܥܪ
ܥᦙt
圆作
形m t
ʹ
⸴，
设ܥܪt ʹݔ，则ᦙܥt ⸴ݔ，
∴ᦙܪt ᦙܥെܥܪt ⸴ݔെʹݔt ͵ݔ，
∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
∴ᦙܣt ᦙܥt ⸴ݔ，
∴ܣܪt ᦙܣ൅ᦙܪt ⸴ݔ൅͵ݔt ⸳ݔ，ܣܥt ʹᦙܥt ͳ൓ݔ，
∴
ܣܪ
ܣܥt
⸳ݔ
ͳ൓ݔt
Ͷ
⸴，
∴ܵ
ᇞܣ圆作ܵ
菱形ܣ形ܥm
t
ͳ
ʹڄ圆作ڄܣܪ
ͳ
ʹڄܣܥڄ形m t
圆作
形m ڄ
ܣܪ
ܣܥt
ʹ
⸴ൈ
Ͷ
⸴t
⸳
ʹ⸴．
（2）解：∵四边形ܣ形ܥm 是菱形，
∴ס形ܣܥt סܥܣm t
ͳ
ʹ ס形ܣm，ܣ形∥ܥm，ܣm ∥形ܥ，
∴ס形ܣ䗃t סܣ䗃ܥ，סmܣܯt סܣܯܥ，
56 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵ס圆ܣ作t
ͳ
ʹ ס形ܣm，
∴ס圆ܣ作t ס形ܣܥt סܥܣm，
∴ס圆ܣ作െס䗃ܣܥt ס形ܣܥെס䗃ܣܥ，ס圆ܣ作െסܥܣܯt סܥܣm െסܥܣܯ，
∴ס形ܣ䗃t סܥܣܯ，ס䗃ܣܥt סmܣܯ，
∴סܥܣܯt סܣ䗃ܥ，ס䗃ܣܥt סܣܯܥ，
∴ᇞܣܥܯ׾ᇞ䗃ܥܣ，
设圆ܥt ݔ，则形圆t 䔈െݔ，
①如图ͳ，当ܣ䗃t ܣܯ时，ᇞܣܥܯ، ᇞ䗃ܥܣ，
∴ܣܥt 䗃ܥ，
∴סܣ䗃ܥt ס䗃ܣܥ，
∴ס形ܣ䗃t ס䗃ܣܥ，即ܣ圆平分ס形ܣܥ，
过点圆作圆ܲ
٣ ܣ形于点ܲ
，作圆ܳ
٣ ܣܥ于点ܳ
，
∴圆ܲ
t 圆ܳ，
∴ܵᇞܣ形圆ܵ
ᇞܣܥ圆t
ͳ
ʹܣ形ڄ圆ܲ
ͳ
ʹܣܥڄ圆ܳt
ܣ形
ܣܥ，
过点ܣ作ܣܩ٣ 形ܥ于点ܩ，
∵ܵᇞܣ形圆ܵ
ᇞܣܥ圆t
ͳ
ʹ形圆ڄܣܩ
ͳ
ʹ圆ܥڄܣܩt
形圆
ܥ圆，
∴
ܣ形
ܣܥt
形圆
圆ܥ，即
䔈
͵ t
䔈െݔ
ݔ，
解得ݔt ʹ，即圆ܥt ʹ；
②如图ʹ，当ܣ䗃t ܯ䗃时，ס䗃ܯܣt ס䗃ܣܯ，
∵ܣ形t 形ܥ，
∴ס形ܣܥt ס形ܥܣ，
∵ס形ܣܥt ס䗃ܣܯ，
∴ס形ܥܣt ס䗃ܯܣ，
∴ᇞܣ形ܥ׾ᇞܣ䗃ܯ，
57 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴
ܣܯ
ܣ䗃t
ܣܥ
ܣ形，
∵ᇞܣܥܯ׾ᇞ䗃ܥܣ，
∴
ܣܯ
䗃ܣt
ܣܥ
䗃ܥ，
∴ܥ䗃t ܣ形，
在ᇞܣ形圆和ᇞ䗃ܥ圆中，
סͳ t ס圆䗃ܥ
סܣ圆形t ס䗃圆ܥ
ܣ形t 䗃ܥ
，
∴ᇞܣ形圆، ᇞ䗃ܥ圆AAS ，
∴形圆t 圆ܥ，
∴䔈െݔt ݔ，
解得ݔt ͵，即圆ܥt ͵；
③如图͵，当ܣܯt ܯ䗃时，סܯ䗃ܣt ס䗃ܣܯ，
同理可得ס形ܣܥt ס形ܥܣt סܯ䗃ܣt ס䗃ܣܯ，
∴ᇞܣܯ䗃׾ᇞܣ形ܥ，
∴
ܣܯ
ܣ䗃t
ܣ形
ܣܥ，
∵ᇞܣܥܯ׾ᇞ䗃ܥܣ，
∴
ܣܯ
䗃ܣt
ܣܥ
䗃ܥ，
∴
ܣܥ
䗃ܥt
ܣ形
ܣܥ，即
͵
䗃ܥt
䔈
͵，
∴ܥ䗃t
͵
ʹ，
∵סͳ t ס圆䗃ܥ，סܣ圆形t ס䗃圆ܥ，
∵ᇞܣ形圆׾ᇞ䗃ܥ圆，
∴
ܣ形
ܥ䗃t
形圆
圆ܥ，即
䔈
ͳ晦⸴t
䔈െݔ
ݔ，
58 / 65
学科网（北京）股份有限公司
解得ݔt
䔈
⸴，即圆ܥt
䔈
⸴；
综上所述，圆ܥ的长度为ʹ 或͵ 或
䔈
⸴．
13．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形ܣ形ܥm 中，ܣ形t Ͷ．点圆是边ܣ形上的一动点，将ᇞܥ形圆沿ܥ圆
折叠，点形落在点形Ԣ处．
(1)若形ܥt ͵，当形Ԣ落在对角线ܣܥ上时，求形圆的长；
(2)若形ܥt ͵，连接形Ԣm．若ᇞܣ形Ԣm 为等腰三角形，求所有符合条件的形圆的长；
(3)若形ܥt ʹ，在点圆运动的过程中，线段形Ԣm 的中点为ܯ．求当ᇞ形Ԣܣ圆的面积取得最大值时，点ܯ到点
ܣ的距离，同时探讨ס圆ܯ形Ԣ能否为h൓ι，若可以，请求出此时ܣ圆的长；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)
͵
ʹ
(2)
͹ʹ൅ͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
或
͹ʹെͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
或
hെ͵ ⸴
ʹ
或͵
(3)当ᇞ形Ԣܣ圆的面积取得最大值时，ܣܯt
⸴；ס圆ܯ形Ԣ可以为h൓ι，此时ܣ圆t
͵
ʹ
【分析】（1）由勾股定理可计算出ܣܥt ⸴，由折叠的性质可得形Ԣܥt 形ܥt ͵，形圆t 形Ԣ圆，ס圆形Ԣܥt
סܣ形ܥt h൓ι，则ܣ形Ԣ t ܣܥെ形Ԣܥt ʹ．容易证明ᇞܣ形Ԣ圆׾ᇞܣ形ܥ，计算得形Ԣ圆t
͵
ʹ，因此形圆t
͵
ʹ；
（2）分三类讨论，当ܣm t ܣ形Ԣ时，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，形Ԣܩtܾ
，
利用ܣ形Ԣ t ܥ形Ԣ t ͵，结合勾股定理构造方程组，可以求出ܽ
与ܾ
的值．在ܴ
ݐᇞ形Ԣ圆ܩ中，利用勾股定理构
造方程，解得形圆tܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ䔈െ⸳ܽ
⸳െʹܽ
，将ܽ
与ܾ
的值代入即可；当ܣm t 形Ԣm 时，容易得到形Ԣm t 形Ԣܥ，则m作t ܥ作t
ͳ
ʹ ܥm t ʹ，从而求出ܽ
与ܾ
的值，代入形圆的表达式即可；当ܣ形Ԣ t 形Ԣm 时，容易证明Rt ᇞܣ形̵ ܩ،Rt ᇞm形̵ 作HL ，
从而求出ܽ
与ܾ
的值，代入形圆的表达式即可；
小学
初中
59 / 65
学科网（北京）股份有限公司
（3）先分析ᇞ形Ԣܣ圆面积最大的情况，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，
形圆t ݔ，ܵᇞ形Ԣܣ圆t ㄸ，则圆ܩt Ͷ െݔെܽ，ܣ圆t Ͷ െݔ，利用ᇞ形Ԣܥ作׾ᇞ圆形Ԣܩ可计算得ܽ
t
Ͷݔʹെ⸳ݔ൅ͳ䔈
ݔʹ൅Ͷ
，进而
得到形Ԣܩt
Ͷݔʹ
ݔʹ൅Ͷ．利用三角形面积公式可得ㄸt
⸳ݔʹെʹݔ͵
ݔʹ൅Ͷ ．则ʹ െㄸt
ʹݔ͵െ䔈ݔʹ൅⸳
ݔʹ൅Ͷ
，利用分组分解法可得ʹ െㄸt
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅Ͷ
൒൓，因此当ݔt ʹ 时，ㄸ取得最大值ʹ，容易计算得此时ܣܯt
⸴；再分析ס圆ܯ形Ԣ能否为h൓ι，
假设ס圆ܯ形Ԣ t h൓ι，容易证明ᇞm圆ܯ، ᇞ形̵ 圆ܯSAS ，则m圆t 形Ԣ圆t ݔ，在ܴ
ݐᇞܣm圆中，利用勾股定理构
造方程，解得ݔt
⸴
ʹ，因此ܣ圆t
͵
ʹ．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形ܣ形ܥm 是矩形，
∴סܣ形ܥt h൓ι，
在Rt ᇞܣ形ܥ中，ܣܥt
ܣ形ʹ ൅形ܥʹ t
Ͷʹ ൅͵ʹ t ⸴，
由折叠的性质可得，形Ԣܥt 形ܥt ͵，形圆t 形Ԣ圆，ס圆形Ԣܥt סܣ形ܥt h൓ι，
∴סܣ形Ԣ圆t ͳ⸳൓ι െס圆形Ԣܥt h൓ι t סܣ形ܥ，ܣ形Ԣ t ܣܥെ形Ԣܥt ʹ，
∵ס形Ԣܣ圆t ס形ܣܥ，
∴ᇞܣ形Ԣ圆׾ᇞܣ形ܥ，
∴
形Ԣ圆
形ܥt
ܣ形Ԣ
ܣ形，即
形Ԣ圆
͵ t
ʹ
Ͷ，
∴形Ԣ圆t
͵
ʹ，
∵形圆t 形Ԣ圆，
∴形圆t
͵
ʹ；
（2）解：①当ܣm t ܣ形Ԣ时，如图，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，形Ԣܩtܾ
，
60 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵四边形ܣ形ܥm 是矩形，
∴ܣm t 形ܥt ͵，ס形ܣm t סܣmܥt h൓ι，
∴ܣ形Ԣ t ܣm t ͵，
∵形Ԣ作٣ ܥm，
∴四边形ܣm作ܩ是矩形，
∴m作t ܣܩtܽ
，作ܩt ܣm t ͵，ס作ܩܣt h൓ι，
∴形Ԣ作t 作ܩെ形Ԣܩt ͵ െܾ，ܥ作t ܥm െm作t Ͷ െܽ，ס作ܩ形t ͳ⸳൓ι െס作ܩܣt h൓ι，
在Rt ᇞܣܩ形̵ 中，ܣܩʹ ൅形Ԣܩʹ t ܣ形Ԣʹ，
∴ܽʹ ൅ܾ
ʹ t h①，
由折叠的性质可得，形Ԣܥt 形ܥt ͵，形圆t 形Ԣ圆，
在Rt ᇞ形̵ ܥ作中，ܥ作ʹ ൅形Ԣ作ʹ t 形Ԣܥʹ，
∴Ͷ െܽ
ʹ ൅͵ െܾ
ʹ t h②，
联立①与②，得，ܽ
ʹ ൅ܾ
ʹ t h
Ͷ െܽ
ʹ ൅͵ െܾ
ʹ t h ，
解得ܽ
t
ʹ൓െ͵ ͳͳ
ͳ൓ܾ
t
ͳ⸴൅Ͷ ͳͳ
ͳ൓
或ܽ
t
ʹ൓൅͵ ͳͳ
ͳ൓ܾ
t
ͳ⸴െͶ ͳͳ
ͳ൓
，
在Rt ᇞ形̵ 圆ܩ中，圆ܩt ܣ形െܣܩെ形圆t Ͷ െܽ
െ形圆，形圆t 形Ԣ圆，
∵圆ܩʹ ൅形Ԣܩʹ t 形Ԣ圆ʹ，
∴Ͷ െܽ
െ形圆ʹ ൅ܾ
ʹ t 形圆ʹ，
化简，得形圆tܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ䔈െ⸳ܽ
⸳െʹܽ
，
∵ܽʹ ൅ܾ
ʹ t h，
∴形圆t
ʹ⸴െ⸳ܽ
⸳െʹܽ
t Ͷ െ
͹
⸳െʹܽ，
当ܽ
t
ʹ൓െ͵ ͳͳ
ͳ൓
时，形圆t
͹ʹ൅ͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
，
当ܽ
t
ʹ൓൅͵ ͳͳ
ͳ൓
时，形圆t
͹ʹെͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
；
②当ܣm t 形Ԣm 时，如图，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，形Ԣܩtܾ
，
61 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∵ܣm t 形Ԣm t ͵，形Ԣܥt 形ܥt ͵，
∴形Ԣm t 形Ԣܥ，
∵形Ԣ作٣ ܥm，
∴m作t ܥ作t
ͳ
ʹ ܥm t ʹ，
在Rt ᇞ形̵ m作中，形Ԣ作t
形Ԣmʹ െm作ʹ t
͵ʹ െʹʹ t
⸴，
∵四边形ܣm作ܩ是矩形，
∴ܣܩt m作t ʹ tܽ
，作ܩt ܣm t ͵，
∴形Ԣܩt 作ܩെ形Ԣ作t ͵ െ
⸴tܾ
，
由①可知，形圆tܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ䔈െ⸳ܽ
⸳െʹܽ
，
∴形圆t
hെ͵ ⸴
ʹ
；
③当ܣ形Ԣ t 形Ԣm 时，如图，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，形Ԣܩtܾ
，
∵四边形ܣm作ܩ是矩形，
∴ס作ܩܣt סm作ܩt h൓ι，ܣܩt m作tܽ
，作ܩt ܣm t ͵，
在Rt ᇞܣ形̵ ܩ和Rt ᇞm形̵ 作中，
ܣܩt m作
ܣ形Ԣ t 形Ԣm ，
∴Rt ᇞܣ形̵ ܩ،Rt ᇞm形̵ 作HL ，
∴形Ԣܩt 形Ԣ作t
ͳ
ʹ 作ܩt
͵
ʹ tܾ
，
由折叠的性质可得，形Ԣܥt 形ܥt ͵，形圆t 形Ԣ圆，
在Rt ᇞ形̵ ܥ作中，ܥ作t
形Ԣܥʹ െ形Ԣ作ʹ t
͵ʹ െ
͵
ʹ
ʹ
t
͵ ͵
ʹ ，
62 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ܣܩt m作t ܥm െܥ作t Ͷ െ
͵ ͵
ʹ tܽ
，
由①可知，形圆tܽ
ʹ൅ܾʹ൅ͳ䔈െ⸳ܽ
⸳െʹܽ
，
∴形圆t
͵；
综上所述，符合条件的形圆的长为
͹ʹ൅ͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
或
͹ʹെͳ⸴ͳͳ
Ͷ͵
或
hെ͵ ⸴
ʹ
或͵；
（3）解：先探究ᇞ形Ԣܣ圆面积最大的情况，
①当点形Ԣ在矩形ܣ形ܥm 的内部或边界时，如图，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，
设ܣܩtܽ
，形圆t ݔ，ܵᇞ形Ԣܣ圆t ㄸ，则圆ܩt Ͷ െݔെܽ，ܣ圆t Ͷ െݔ，
∵四边形ܣm作ܩ是矩形，
∴m作t ܣܩtܽ
，ܣm t 作ܩt ʹ，
∴ܥ作t Ͷ െܽ，
由折叠的性质可得，形圆t 形Ԣ圆t ݔ，形ܥt 形Ԣܥt ʹ，סܥ形Ԣ圆t סܥ形圆t h൓ι，
∵形Ԣܩ٣ ܥm，ܣ形∥ܥm，
∴סܥ作形Ԣ t ס形Ԣܩ圆t h൓ι，
∵סܥ形Ԣ作൅ס圆形Ԣܩt ס形Ԣ圆ܩ൅ס圆形Ԣܩt h൓ι，
∴סܥ形Ԣ作t ס形Ԣ圆ܩ，
∴ᇞ形Ԣܥ作׾ᇞ圆形Ԣܩ，
∴
圆ܩ
形Ԣ作t
形Ԣܩ
ܥ作t
形Ԣ圆
形Ԣܥt
ݔ
ʹ，
∴形Ԣ作t
ʹ
ݔͶ െݔെܽ
，形Ԣܩt
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
，
∵作ܩt 形Ԣܩ൅形Ԣ作t ʹ，
∴
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
൅
ʹ
ݔͶ െܽ
െݔt ʹ，
变形，得ܽ
t
Ͷݔʹെ⸳ݔ൅ͳ䔈
ݔʹ൅Ͷ
，
∴形Ԣܩt
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
t
Ͷݔʹ
ݔʹ൅Ͷ，
∴ㄸtܵ
ᇞ形Ԣܣ圆t
ͳ
ʹ ܣ圆ڄ 形Ԣܩt
ͳ
ʹ Ͷ െݔڄ
Ͷݔʹ
ݔʹ൅Ͷ t
⸳ݔʹെʹݔ͵
ݔʹ൅Ͷ ，
63 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ʹ െㄸt ʹ െ
⸳ݔʹെʹݔ͵
ݔʹ൅Ͷ
t
ʹݔ͵െ䔈ݔʹ൅⸳
ݔʹ൅Ͷ
t
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅Ͷ
，
∵ݔെʹ ʹ ൒൓，ݔ൅ͳ ൐൓，ݔʹ ൅Ͷ ൐൓，
∴ʹ െㄸt
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅Ͷ
൒൓，即ㄸ൑ʹ，
当且仅当ݔt ʹ 时，ㄸ取得最大值ʹ；
②当点形Ԣ在矩形ܣ形ܥm 的外部时，如图，过点形Ԣ作ܥm 的垂线，交ܥm 于点作，交ܣ形于点ܩ，设ܣܩtܽ
，
形圆t ݔ，ܵᇞ形Ԣܣ圆t ㄸ，则圆ܩt ݔ൅ܽ
െͶ，ܣ圆t Ͷ െݔ，
同理①可得，ᇞ形Ԣܥ作׾ᇞ圆形Ԣܩ，
∴
圆ܩ
形Ԣ作t
形Ԣܩ
ܥ作t
形Ԣ圆
形Ԣܥt
ݔ
ʹ，
∴形Ԣ作t
ʹ
ݔͶ െݔെܽ
，形Ԣܩt
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
，
∵作ܩt 形Ԣܩെ形Ԣ作t ʹ，
∴
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
െ
ʹ
ݔͶ െܽ
െݔt ʹ，
变形，得ܽ
t
Ͷݔʹെ⸳ݔ൅ͳ䔈
ݔʹ൅Ͷ
，
∴形Ԣܩt
ݔ
ʹ Ͷ െܽ
t
Ͷݔʹ
ݔʹ൅Ͷ，
∴ㄸtܵ
ᇞ形Ԣܣ圆t
ͳ
ʹ ܣ圆ڄ 形Ԣܩt
⸳ݔʹെʹݔ͵
ݔʹ൅Ͷ ，
∵ʹ െㄸt
ʹ ݔെʹ ʹ ݔ൅ͳ
ݔʹ൅Ͷ
൐൓，
∴ㄸ쳌ʹ，
综上所述，当且仅当ݔt ʹ 时，ㄸ取得最大值ʹ；
如图，
64 / 65
学科网（北京）股份有限公司
当ݔt ʹ 时，ܽ
t
Ͷݔʹെ⸳ݔ൅ͳ䔈
ݔʹ൅Ͷ
t ʹ，
∴形Ԣ作t
ʹ
ݔͶ െݔെܽ
t ൓，即点形Ԣ落在边ܥm 上，
∴形Ԣm t ܣ圆t ʹ，
∵点ܯ是形Ԣm 的中点，
∴mܯt
ͳ
ʹ 形Ԣm t ͳ，
在Rt ᇞܣmܯ中，ܣܯt
ܣmʹ ൅mܯʹ t
ʹʹ ൅ͳʹ t
⸴；
再探究ס圆ܯ形Ԣ t h൓ι的情况，
假设ס圆ܯ形Ԣ可以等于h൓ι，如图，连接m圆，设形圆t 形Ԣ圆t ݔ，则ܣ圆t Ͷ െݔ，
∵ס圆ܯ形Ԣ t h൓ι，
∴ס圆ܯm t ͳ⸳൓ι െס圆ܯ形Ԣ t h൓ι t ס圆ܯ形Ԣ，
∵点ܯ是形Ԣm 的中点，
∴mܯt 形Ԣܯ，
在ᇞm圆ܯ和ᇞ形Ԣ圆ܯ中，
mܯt 形Ԣܯ
ס圆ܯm t ס圆ܯ形Ԣ
圆ܯt 圆ܯ
，
∴ᇞm圆ܯ، ᇞ形̵ 圆ܯSAS ，
∴m圆t 形Ԣ圆t ݔ，
在Rt ᇞܣm圆中，ܣmʹ ൅ܣ圆ʹ t m圆ʹ，
∴ʹʹ ൅Ͷ െݔʹ t ݔʹ，
解得ݔt
⸴
ʹ，
65 / 65
学科网（北京）股份有限公司
∴ܣ圆t Ͷ െݔt
͵
ʹ，
∴假设成立，当ס圆ܯ形Ԣ t h൓ι时，ܣ圆t
͵
ʹ．