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专题12 尺规作图问题
5 年真题1 年模拟·答案版
1．A
2．(1)如图，点F 即为所求．
(2)3
3．(1)
如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形．
(2) 10
2
4．(1)
如图，直线l 就是所求作的直线．
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(2) ABC 的面积为1 或5
2 ．
5．(1)
解：如图所示，⊙A 即为所求作：
(2)
5
1
2
2026 年7 月14 日初中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、系统分组_加入顺序
1．已知在ABC 中，
90
C
，D 为AB 上一点，且AC
CD
，要在线段BA 的延长线上求
作一点E，使得CE
CD
，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，ABC 中，
8
AB
AC
．以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB
AC
，
于
点M，N；分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线AD
交BC 于点E．若点F 为AB 的中点，连接EF ，则EF 的长是（
）
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A．2 2
B．4
C．4 2
D．4 3
3．如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
，
30
A
，
3
BC
，尺规作图痕迹如图所示，
再以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点E ，则图中阴影部分的面积为_____．
4．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，O 是BC 边上一点，以点O为圆心，OB 的长为半径
的圆交AB 于点D ，且过点D 作
O 的切线交AC 于点E ．
(1)尺规作图：试确定点E 的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若
2
AB
AC
，
2 3
BC
，求证：ADE 是等边三角形．
5．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，其内部是由4 个全等直角三角形围着一个小正方形形
成，外部则是将这4 个三角形的顶点连接成一个大正方形，具备中心对称的结构美．它简约
美观而不失深厚，是数学人心中的数学瑰宝，2002 年第24 届国际数学家大会会标就是以“赵
爽弦图ABCD
EFGH
”为基本元素设计而成（如图1 所示）．如图2，点F 在正方形ABCD内，
90 ,
AFB
AF
BF
．
(1)求作赵爽弦图ABCD
EFGH
，使得点E 在AF 上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
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写作法）
(2)在（1）的作图条件下，求证：正方形ABCD的中心就是正方形EFGH 的中心．
6．如图，ABC 中，AB
AC
，
120
BAC
．
(1)尺规作图：在BC 边上求作一点P ，使得
30
PAC
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若
6
AC
，求CP 的长．
7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
．
(1)用无刻度的直尺和圆规，在AC 的延长线上确定点D ，使得以D 为圆心，DC 为半径的圆，
与直线AB 相切，画出⊙D ，并标出切点E ；（不写画法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，⊙D 与直线AC 的另一交点为F ，连接EF ，若
4
cos
5
CAB
，且
5
AB
，
求EF 的长．
8．如图，四边形ABCD为平行四边形．
(1)在CD 上求作一点P ，使得
1
2
PBC
BCD
S
S
；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
120
C
，
4
AB
，
8
AD
，求（1）中
PBC
△
的面积．
9．如图所示的方格图中的小正方形边长均为1，点
,
P A均是格点．直线PA 与ABC 的外接
圆相切于点A ，交射线BC 于点M ，已知AB
BC
．
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(1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图：
①画出ABC 的外接圆的圆心O；
②画出
O 的切线CN ，交射线BA 于点N ．
(2)在（1）的条件下，连结MN ．试证明：AMN 是等腰三角形．
10．解答
(1)【问题提出】如图，在长方形ABCD中，点P 是边CD 上一点，在边BC 、AD 上分别作
出点E
F
、，使得点F
E
P
、、
是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE
PF
，
90
EPF
；
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
(2)【问题解决】在(1)的前提下，作P 关于EF 的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图
形，求证：四边形EPFQ 为正方形．
11．如图，在ABC 中，
90
ACB
，
6
AC
，
10
AB
，点D 为AB 的中点，连接CD ．
(1)尺规作图：试确定一点E ，使得DB与EB 关于直线BC 对称；（保留作图痕迹，不写作
法）
(2)在（1）的前提下，求四边形DBEC 的周长与面积．
12．如图，在ABC 中，
60
B
，
105
C
，
6
BC
．
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(1)在AC 上找一点M ，使得AB CM
AM BC
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
(2)在（1）的条件下，求BM 的长．
13．如图，已知
O 的半径为2，AC 为
O 的直径，AH 与
O 相切于点A．
(1)请用尺规作图的方法，作
O 的内接正方形ABCD；（要求：点A，B，C，D 按顺时针
方向在
O 上，保留作图痕迹，不写作法）
(2)延长CD 交射线AH 于点E，连接OE ，交AD 于点F，求
AEF 的面积．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O．
(1)尺规作图：在平面内确定一点E ，使得四边形BOCE 是菱形；
(2)在（1）的条件下，若
12
BC
，四边形BOCE 的面积为54，求AB 的长．
15．已知ABC 是直角三角形，AB
BC
，
90
ABC
．
(1)求作
ADE
，使
2
ADE
BAD
，
2
AD
DE
，且点D 落在边BC 上，点E 落在边AC
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上．（仅用无刻度直尺和圆规作图）
(2)若
5
DE
，求ADE 的面积．
16．如图，已知矩形ABCD，E 是边CD 上的一点．
(1)若F 是边AD 上的一点，将
ABF
△
沿直线BF 折叠，得到
MBF
△
，且BM 经过点E ．用
尺规作出满足条件的
MBF
△
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，过点M 作MN MN
FA ，交BF 于点N ，连接AN ．求证：四边形AFMN
是菱形．
17．如图，已知直线m
n
∥，点A 在直线m 和n 之间，且点A 到直线m ，n 的距离相等．
(1)利用直尺和圆规作出等腰直角三角形ABC，使得点B 在直线m 上，点C 在直线n 上，
90
ABC
．（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若直线m 和n 之间的距离为2 ，求ABC 的面积．
18．如图，在ABC 中，
90 ,
5
ACB
AC
，
5
tan
12
B
．
(1)在线段BC 上求作点D，使得
8
BD
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，过点D 作DE
AD
交AC 的延长线于点E，求sin E 的值．
19．如图，已知矩形ABCD，AD
AB
，AC 是对角线．
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(1)求作线段CP ，PQ ，使得CP
PQ
的值最小，且点P，Q 分别落在边AD ，AC 上；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
6
AB
，
3
tan
4
CAD
，求（1）中所作的CP
PQ
的值．
20．如图，四边形ABCD内接于
O ，AB CD ．
(1)在AB 上求作点E ，使得CE
AD ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，D 是AC 的中点，求证：四边形ADCE 是菱形．
21．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形ABCD中，AD
BC ，点E，F
在对角线BD 上，BE
DF
．用尺规作
EHFG
Y
，使得点H，G 分别落在边BC ，AD 上．
(1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法．
甲同学的作法：
在AD 上任取一点G，
连接GE ，GF ；
以点B 为圆心，DG 长
为半径作弧，交BC 于
乙同学的作法：
在AD 上取一点G，连
接GE ，GF ，
GF
DF
；
以点E 为圆心，FG 长
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点H；
连接EH ，FH ，则
EHFG
Y
即为所求．
为半径作弧，交BC 于
点H；
连接EH ，FH ，则
EHFG
Y
即为所求．
请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因；
(2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G 分别
落在边BC ，AD 上，且
2
GH
EF
．请你按下述要求，完成作图．
①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②只需作出一种情况即可．
22．如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
，AB
AC
，AD 是中线．
(1)尺规作图：求作线段BE ，使得BC 平分
ABE
，且BE
BD
，连接ED 并延长交BA 延长
线于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：AD
AF
．
23．如图，已知ABC 和射线CD ，AB
AC
，
60
BAC
．
(1)在射线CD 上求作点E，使得
180
ABE
BCD
；（要求：尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，若
135
BCD
，求证：
2
BE
AB
．
24．如图，在平行四边形ADBC 中．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN ，使得点M 在AC 上，点N 在BD 上．（不
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写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）条件下若
3
AD
，
5
BD
，CN 平分
BCD
，求BN 的长．
25．如图，在ABC 中，AC
AB
．
(1)在AC 上求作一点D，使
1
2
ABD
ABC
S
S
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，在AB 上存在点E 满足DA
DE
，连接CE ．求证：CE
AB
．
26．如图，ABC 内接于
O ，点P 为直径AB 的延长线上一点．
(1)在直径AB 下方，求作
O 的切线PD ，切点为D ；（要求：尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若点D 为BC 中点，
2
AC
，
6
PB
，求
O 的半径．
27．如图，在ABC 中，
BAC
为钝角．
2
B
ACB
，点D 在BC 上，AD
AB
，
(1)将ADC 沿AC 翻折得到
AEC
△
，请尺规作图画出E 点（不写作法，保留作图痕迹，并
标明字母）；
(2)在（1）的条件下，若
4
6
tan
3
BD
BCE
，
，求AC 的长．
28．如图，在菱形ABCD 中，
10,
16
AB
AC
．
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(1)求作正方形DEBF ，使得点E，F 在对角线AC 上，且点E 在点F 的左边；(要求：尺规
作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在（1）的条件下，M 是AB 的中点，连接MF ，求MF 的长．
29．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，BD 平分
ABC
．
(1)请在边AB 上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件：
①点B 在圆O 上；
②与边AC 切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的图中，若
3
sin
5
A
，
1
CD ，求AD 的长．
30．提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB
BC
，且BC
AC
），在
蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕
和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为
三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
(1)小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等
分积周线”，从而平分蛋糕；
(2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点C 画了一条直线CE 交AB 于点
E ．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
31．探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中
心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得．
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(1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
，根据三角
形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心G 的坐标为
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
．如图1，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
．求该三角形重心的坐标；
(2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心
连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即
1
1
2
2
F l
F l ）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2 倍，将它们底部对齐按图
3 方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心G 的大致位置（简要说明方法）；
(3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重
心分别为
1
1
1
,
G
x y
，
2
2
2
,
G
x
y
，对应面积分别为
1S ，
2
S ，猜想并直接写出四边形重心G 的
坐标；（用含
1x ，
2x ，
1y ，
2y ，
1S ，
2
S 的代数式表示）
(4)【猜想应用】如图5，四边形ABCD的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1 ,
6,7
C
D
，
求四边形ABCD重心G 的坐标．
32．阅读以下作图步骤：
①在OA 和OB 上分别截取
,
OC OD ，使OC
OD
；
②分别以
,
C D 为圆心，以大于1
2 CD 的长为半径作弧，两弧在
AOB
内交于点M ；
③作射线OM ，连接
,
CM DM ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（）
A．
1
2
且CM
DM
B．1
3
且CM
DM
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C．
1
2
且OD
DM
D．
2
3
且OD
DM
33．如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点E 在AD 的延长线上．
(1)求作点F ，使点F 在AD 边上，且
2
AFB
EBC
；（要求：尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
4
AB
，
6
BC
，
2
DE
，求AF 的长．
34．如图，矩形ABCD中，AB
AD
．
(1)求作正方形EFGH ，使得点E，G 分别落在边
,
AD BC 上，点F，H 落在BD 上；（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
2,
4
AB
AD
，求（1）中所作的正方形的边长．
35．如图，已知直线1l
2l ．
(1)在1
2
,
l l 所在的平面内求作直线l ，使得l
1l
2l ，且l 与1l 间的距离恰好等于l 与2l 间的距离；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若1l 与2l 间的距离为2，点
, ,
A B C 分别在
1
2
, ,
l l l 上，且ABC 为等腰直
角三角形，求ABC 的面积．
36．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．
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(1)求作⊙A，使得⊙A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD 与⊙A 相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF 与⊙A 相
切于点G，求tan
ADB
的值．
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1．D
2．B
3．1 π
3
4．(1)解：作图如下：
(2)证明：
2
AB
AC
Q
，
2
AB
AC
．
90
C
，
2
2
2
AC
BC
AB
，
即
2
2
2
2 3
2
AC
AC
，
2
AC
，
tan
3
BC
A
AC
，
60
A
∴
，
30
B
．
OB
OD
，
30
BDO
B
．
30
FDA
BDO
，
OF
DE
，
90
FDE
，
90
30
60
ADE
FDE
FDA
，
60
A
ADE
，
ADE
是等边三角形．
5．(1)解：作图如下：
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正方形EFGH 即为所求
(2)证明：连接
,
AC BD 两线交于点O，连接
,
,
,
OE OF OG OH ，
四边形ABCD是正方形，四边形EFGH 是正方形，
,
90
AB
AD
BAD
AED
AFB
，
90
BAF
EAD
，
90
EAD
EDA
，
BAF
ADE
，
BAF
ADE ASA
≌
，
ABF
DAE
，BF
AE
，
四边形ABCD是正方形，
45
OBA
DAO
\ Ð
= Ð
=
°，OB
OA
，
90
BOA
，
OBF
OAE
，
BOF
AOE SAS
≌
，
OE
OF
∴
，
BOF
AOE
，
90
EOA
BOE
Ð
+Ð
=
°，
90
BOF
BOE
，
90
EOF
，
EOF
V
是等腰直角三角形，
同理可证，
,
,
GOF
GOH
HOE 都是等腰直角三角形，
180 ,
180
EOF
FOG
EOF
EOH
\
靶
+
，
17 / 26
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,
,
E O G
\
三点共线，
,
,
F O H 三点共线，OE
OF
OG
OH
，
故正方形ABCD的中心就是正方形EFGH 的中心．
6．(1)
(2) 2 3
7．(1)
(2) 24 5
5
8．(1)点P 的位置如图所示；
(2) 4 3
9．(1)①如图所示点O为所作的圆心；
②如图所示CN 为所作的
O 的切线；
(2)如图，由等腰ABC
O
、
、切线AM 与切线CF 的轴对称性质，
可得BN
BM
BD
MN
、
，
则
,
90
BNM
BMN
BDM
，
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∵PA 是
O 的切线，
∴
90
OAF
，
又
AFO
DFM
，
∴180
180
OAF
AFO
BDM
DFM
，
即
AOF
DMF
，
∵
AOF
OBA
OAB
，
且
,
OBA
OAB
OBA
OBC
，
∴
AOF
OBA
OBC
ABC
，
∴
ABC
DMF
，即
MBN
AMN
，
又
MNB
ANM
，
∴MNB
ANM
∽
，
即
MAN
BMN
，
∴
MAN
BNM
，即
MAN
MNA
，
∴AMN 是等腰三角形．
10．(1)所作等腰直角三角形EPF 如图1 所示：
(2)证明：补全图形如图2，
∵点Q 与点P 关于直线EF 对称，
∴EF 垂直平分线段PQ ，
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∴PE
QE
，PF
QF
．
又∵PE
PF
，
∴PE
QE
QF
PF
，
∴四边形EPFQ 是菱形．
∵
90
EPF
，
∴菱形EPFQ 是正方形．
11．(1)如图，点E 即为所求
(2)周长为20 ，面积为24 ，
12．(1)
(2)3 3 3
13．(1)见详解
(2) 8
3
14．(1)解：方法不唯一：
如：分别以B、C 为圆心，BO 长为半径作弧，交于点E，点E 即为所求．
理由：∵矩形ABCD，
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∴OA
OB
OC
OD
，
由作图可得：BO
BE
，CE
CO
，
∴OB
OC
BE
CE
=
=
=
，
∴四边形BOCE 为菱形．
(2)9
15．(1)如图所示：
(2)3
16．(1)
如图所示：作射线BE ，作
ABE
的平分线BF 交AD 于点F ，在射线BE 上截取BM
BA
，连接MF ，MBF
△
即为所求；
(2)
证明：连接AM ，交BF 于点O ，
线段AB ，MB 关于直线BF 对称，
AO
MO
，BF
AM
，
FA
FM
，
MN
AF ，
FAM
NMA
，
又
AOF
MON
，
21 / 26
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ASA
AOF
MON
≌
，
MN
AF
，
四边形AFMN 是平行四边形，
FA
FM
，
平行四边形AFMN 是菱形.
17．(1)
(2) ABC 的面积为5
2
18．(1)见解析
(2) 5 41
41
19．(1)图见详解
(2) 48
5
20．(1)
21．(1)
解：甲同学：以点B 为圆心，DG 长为半径作弧，交BC 于点H；
由题意可得DG
BH
，
AD
BC
∥
，
ADB
DBC
，
DF
BE
，
(SAS)
GFD
HEB
≌
，
,
GF
EH
GFD
HEB
GFE
FEH
GF
EH
∥
四边形EHFG 是平行四边形；
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乙同学：以点E 为圆心，FG 长为半径作弧，交BC 于点H；
与BC 可能有两个交点，故无法进行判断；
(2)
22．(1)
如图所示：
(2)
证明：
90
,
BAC
AB
AC
,
AD 是中线，
,
,
45
AD
BC AD
BD
BAD
，
BC 平分
ABE
，
45
DBE
ABC
，
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BE
BD
，
180
45
67.5
2
BDE
，
180
90
67.5
22.5
ADF
，
180
45
135
DAF
，
180
135
22.5
22.5
AFD
，
ADF
AFD
，
AD
AF
．
24．(1)
菱形DMCN 即为所求作；
(2) 9
5
25．(1)如图：点D 即为所求．
(2)
证明：由（1）作图可知：AD
DC
，
∵DA
DE
，
∴DA
DE
DC
，
∴
,
DAE
DEA
DEC
DCE
，
∵
180
DAE
DCE
AEC
，
∴
180
DAE
DCE
DEA
DEC
，
∴
2
180
DEA
DEC
，
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∴
90
DEA
DEC
，即
90
AEC
，
∴CE
AB
．
26．(1)
如图，PD 即为所求；
(2)
O 的半径为3
27．(1)
解：如图，点E 即为所求，
(2) 4 5
28．(1)
如下图所示，正方形DEBF 即为所求作的正方形，
(2) 109
29．(1)
如图所示，
O 即为所求；
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(2)
5
3
AD
30．(1)解：如图所示，BD 即为所求．
(2)解：小华不会成功．理由如下：
若直线CE 平分ABC 的面积，过C 作CD
AB
于D，如图
那么
AEC
EBC
S
S
，
∴1
1
2
2
AE CD
BE CD
，
∴BE
AE
．
∵AC
BC
，
∴AE
AC
BE
BC
，
∴小华不会成功．
31．(1) ABC 的重心坐标是10 7
,
3
3
(2)
如图，设小矩形的重心为
1
G ，大矩形的重心为
2
G ，分别作出矩形的重心
1
G 和
2
G ，连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取
点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
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(3)四边形重心G 坐标为
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
S x
S x
S y
S y
G
S
S
S
S
(4)四边形ABCD重心G 的坐标为62 53
,
15 15
