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专题16 二次函数填选题压轴题综合（4 考点20
题）（解析版）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 01 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象与性质
填选压轴高频考点，依托抛物线图
象、表格数据、多函数对比命题，
考查开口、对称轴、参数符号、函
数值比较，多以多结论正误判断呈
现，侧重数形结合与逻辑推理。
考法创新：多结论正误判断成主流；
表格与图象双维度考查；联动一次、
反比例函数综合辨析，强化参数推
理。
考点 02 二次函数的
最值
核心重难点，涵盖纯函数区间最值、
几何最值、动态最值三类，结合动
点、几何图形、区间限定命题，考
查最值求解与分类讨论，常作为填
空压轴出现。
融合创新：几何最值与函数性质深度
绑定；区间最值分类讨论成必考；结
合旋转、动点轨迹求最值，弱化纯代
数计算。
考点 03 实际问题与
二次函数
应用类核心考点，结合矩形动点、
运动轨迹、图形重叠、行程问题等
场景，考查函数建模、面积 / 最值
求解，多以分段函数图象判断形式
呈现。
场景创新：多阶段动态场景建模；图
形重叠面积函数探究；结合运动过程
分段设问，强化实际问题转化能力。
考点 04 二次函数综
合压轴
填选压轴难点，结合新定义、函数
交点、存在性问题命题，考查函数
与方程思想、分类讨论，多以新定
义函数、多函数联动形式呈现。
定义创新：新定义题型成创新热点；
综合创新：多函数联动探究、存在性
问题与函数性质结合，强化综合探究
能力。
考点01 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象与性质
1．（2026·四川宜宾·中考真题）点P 是抛物线
(
)
(
)
2
2
2
1
1
y
x
a
x
a
= −
+
−
−
−
的顶点，点(
)
1,
A
m
−
、(
)
,
B t m 在抛物
2 / 35
线上（其中
1
t −）．下列结论：
①当点P 在x 轴上时，
1
a = ；②点P 在直线
2
y
x
=
上；③
2
1
m
t
+
；④当点P 所在直线与线段AB 没有交点
时，a的取值范围是
2
a
；⑤当点P 在原点时，过点
1
0,
4
C
−
的直线与抛物线交于M 、N 两点，则
1
1
4
CM
CN
+
=
．
其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
【答案】B
【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、
交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可．
【详解】解：∵
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
1
2
2
y
x
a
x
a
x
a
a
= −
+
−
−
−
= −
−
−
−
+
，
∴顶点P 坐标为(
)
1, 2
2
a
a
−−
+
，
①若P 在x 轴上，则顶点纵坐标为0 ，即2
2
0
a
−
+
=
，
解得
1
a = ，故①正确；
②将
1
x
a
=
−代入
(
)
2
2
1
2
2
y
x
a
a
=
=
−
=
−，当
1
a 时，2
2
2
2
a
a
−−
+
，
∴点P 不在直线
2
y
x
=
上，故②错误；
③∵(
)
1,
A
m
−
，(
)
,
B t m 纵坐标相同，对称轴为
1
x
a
=
−，
∴1
1
2
t
a
−+ =
−，
解得
2
1
t
a
=
−，
将(
)
1,
A
m
−
代入抛物线得
(
)(
) (
)
2
2
2
( 1)
2
1
1
1
2
2
m
a
a
a
a
= −−
+
−
−
−
−
=
−
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2 2
1
2
(
1)
1 1
m
t
a
a
a
a
a
a
+
=
−
−
+
−
= −
+
= −
−
+ ，
当
1
a = 时
2
1
m
t
+
= ，不满足
2
1
m
t
+
，故③错误；
④∵顶点P 坐标为(
)
1, 2
2
a
a
−−
+
，
∴
(
)
2
2
2
1
2
P
P
y
a
a
x
= −
+
= −
−
= −
，
∴P 所在直线为
2
y
x
−
=
，
将y
m
=
代入
2
y
x
−
=
得，
2
m
x
= −
，
解得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
m
x
a
a
−
−
+
−
=
=
−
=
−
，
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∵当点P 所在直线与线段AB 没有交点时，
∴
1
x
−
或
2
1
x
t
a
=
−，
∴
2
2
2
1
2
a
a
+
−
−或
2
2
2
2
1
2
a
a
a
+
−
−，
整理得，(
)
2
0
a a +
或(
)
2
0
a a −
，
∵
2
1
1
t
a
=
−−，
∴
0
a
，
∴(
)
2
0
a a +
无解；
∵(
)
2
0
a a −
，
∴
2
0
a −
，
∴
2
a
，故④正确；
⑤∵点(
)
1, 2
2
P a
a
−−
+
在原点，
∴
1
0
a−= ，2
2
0
a
−
+
= ，
∴
1
a = ，
∴抛物线为
2
y
x
−
=
，
当过
1
0,
4
C
−
的直线是
0
x =
时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意，
则可设过
1
0,
4
C
−
的直线为
1
4
y
kx
=
−
，
联立得
2
1
4
x
kx
−
=
−
，
整理得，
2
4
4
1
0
x
kx
+
−=
，
设
(
)
1
1
,
M x y ，
(
)
2
2
,
N x y
，
∴
1
2
x
x
k
+
= −，
1
2
1
4
x x = −
，
∴(
)
2
2
1
2
x
x
k
+
=
，
1
2
1
4
x x
=
，
∴
2
2
2
1
2
1
2
2
x
x
x x
k
+
+
=
，即
2
2
2
1
2
1
2
2
x
x
k
x x
+
=
−
，
∴(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
4
4
x
x
x
x
x x
k
x x
x x
k
k
+
=
+
+
=
−
+
=
−−
+
=
+
∴
2
1
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
4 / 35
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
4
4
4
CM
x
y
x
kx
x
k
=
−
+
+
=
−
+
−
+
=
+
，
同理可得，
2
2
1
CN
x
k
=
+
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
4
4
k
x
x
k
x
k
x
k
CM
CN
CM
CN
CM CN
x x
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
+
+
+
，故⑤正确．
综上，正确结论为①④⑤，共3 个．
2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象如图所示，顶点坐标为(
)
2,5
−
，与x 轴
交于(
)
,0
A m
，B 两点，其中2
3
m
．则下列结论：
①
0
b
ac
②
4
0
b
a
+
=
③
3
0
a b
c
−+
④
5
1
16
5
a
−
−
⑤方程
(
)
2
2
2
0
ax
b
k
x
c
k
+
+
+
+
= （k 为常数）有实数根．
其中正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为(
)
2,5
−
，与y 轴交于正半轴，得到
0
a
，
4
0
b
a
=
，
0
c
，即
可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为(
)
2,5
−
得到
4
5
c
a
=
+ ，根据当
2
x =
时，
0
y
，当
3
x = 时，
0
y
，
即可判断④；讨论抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与直线
2
2
y
k x
k
= −
−
的交点情况即可判断⑤．
【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为(
)
2,5
−
，与y 轴交于正半轴，
∴
0
a
，
2
2
b
a
−
−
=
，
0
c
，
∴
4
0
b
a
=
，
∴
0
b
ac
，故①错误；
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∵
4
b
a
=
，
∴
4
0
b
a
−
= ，故②错误；
∵
0
a
，
0
c
，
∴
0
c
a
−
，
∴
(
)
3
4
3
3
0
a
b
c
a
a
c
c
a
−+
=
−
+
=
−
，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为(
)
2,5
−
，
∴当
2
x = −时，
4
2
5
y
a
b
c
=
−
+
=
，即4
2 4
5
a
a
c
−
+ = ，
∴
4
5
c
a
=
+ ，
由图象可得当
2
x =
时，
0
y
，即4
2
0
a
b c
+
+
，
∴4
8
4
5
0
a
a
a
+
+
+
，
∴
5
16
a −
，
由图象可得当
3
x = 时，
0
y
，即9
3
0
a
b
c
+
+
，
∴9
12
4
5
0
a
a
a
+
+
+
，
∴
1
5
a −，
∴
5
1
16
5
a
−
−
，故④正确；
∵方程
(
)
2
2
2
0
ax
b
k
x
c
k
+
+
+
+
=
可化为
2
2
2
ax
bx
c
k x
k
+
+
= −
−
，
∴该方程的解为抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与直线
2
2
y
k x
k
= −
−
的交点的横坐标，
∵直线
(
)
2
2
2
1
y
k x
k
k
x
= −
−
= −
+
，
∴该直线过定点(
)
1,0
−
，且过第二、三、四象限，
∴抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与直线
2
2
y
k x
k
= −
−
必有交点，
∴方程
(
)
2
2
2
0
ax
b
k
x
c
k
+
+
+
+
=
（k 为常数）有实数根．故⑤正确．
6 / 35
综上所述，正确的结论是③④⑤，共3 个．
3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的部分图象与x 轴交于点(
)
1,0
A
，与y 轴的交
点C 位于点(
)
0, 2
−
和点(
)
0, 3
−
之间，顶点为点P ，对称轴为直线
2
x =
．下列说法：①
0
abc
；②4
0
a
b
+
=
；
③
2
1
3
a
−
−
；④设抛物线与x 轴的另一交点为B ，当
90
CPB
=
时，
2
2
a = −
．其中正确的是（ ）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
【答案】A
【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点分别判断a 、b 、c 的正负，进而判断abc 的正
负；②用对称轴公式
2
0
2
b
x
a
−
=
=
变形推导等式；③把
4
b
a
−
=
、(
)
1,0
A
代入解析式得
3
c
a
=
，结合c 的范
围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B 点坐标，据
3
c
a
=
得C 点坐标，将
2
x =
，
3
c
a
=
，
4
b
a
−
=
代
入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得出点P 的坐标，根据勾股定理列方程求出a ．
【详解】解：
二次函数图象开口向下，
0
a
，
对称轴为
2
0
2
b
x
a
−
=
=
，
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0
b
，
二次函数的图象与y 轴的交点C 位于(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间，
0
c
，
0
abc
，①错；
对称轴为
2
2
b
x
a
−
=
=
，
4
b
a
−
=
，
4
0
a
b
+
=
，②正确；
二次函数的图象与x 轴交于点(
)
1,0
A
，
0
a
b
c
+ + =
，
4
b
a
−
=
，
4
0
a
a
c
−
+ =
，
3
c
a
=
，
二次函数图象与y 轴的交点C 位于(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间，
可得3
3
2
c
a
−
−
=
，
2
1
3
a
−
−
，③正确；
二次函数的图象与x 轴交于点(
)
1,0
A
，对称轴为
2
x =
，
点B 的坐标为(
)
3,0 ，
3
c
a
=
，
点C 的坐标为(
)
0,3a ，
当
2
x =
，可得
4
2
y
a
b
c
=
+
+ ，
将
3
c
a
=
，
4
b
a
−
=
代入，可得y
a
−
=
，
点P 的坐标为(
)
2, a
−
，
2
2
4 16
PC
a
=
+
，
2
2
1
PB
a
= +
，
2
2
9
9
BC
a
=
+
，
90
CPB
=
，
2
2
2
PC
PB
BC
+
=
，
可得
2
2
2
4 16
1
9
9
a
a
a
+
+ +
=
+
，
8 / 35
解得
2
2
a =
或
2
2
a = −
，
0
a
，
2
2
a = −
，④正确．
综上，正确的说法为②③④．
4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示的是二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
）的
部分图象，其顶点坐标为(1, )
n ，与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点
( ,0)
B m
（3
4
m
）．下列结论：①
0
abc
；②3
0
a
c
+
；③
2
4 (
)
b
a c
n
=
−
；④若点
1
( ,
)
P t y ，
2
(
)
3
,
Q
t y
−
（
3
2
t
）都在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上，
则
1
2
y
y
；⑤若OA
OB
=
，则关于x 的方程
2
(
1)
0
ax
b
x
+
+
=
的两根之和为c ．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y 轴交点判定a 、b 、c 正负，判断①；利用抛物线对称性得到
(3)
3
y
a
c
=
+ ，结合B 点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称
轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由OA
OB
=
推出m
c
= ，代入抛物线得到
1
b+
与a、c 关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。
【详解】解：由二次函数图象可得：
抛物线开口向下，
0
a
；
顶点坐标为(1, )
n ，则对称轴为直线
1
x = ，
由对称轴公式
1
2
b
a
−
= ，
整理得
2
b
a
= −
，结合
0
a
，得
0
b
；
抛物线与y 轴交于正半轴，
0
c
；
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抛物线与x 轴正半轴交点
( ,0)
B m
满足3
4
m
．
0,
0,
0
a
b
c
，
<0
abc
，
故①错误
根据二次函数轴对称性质：对称轴为
1
x = ，则( 1)
(3)
y
y
−
=
将
3
x = 代入解析式：
(3)
9
3
y
a
b
c
=
+
+
把
2
b
a
= −
代入化简：
(3)
9
3( 2 )
3
y
a
a
c
a
c
=
+
−
+
=
+
3
4
m
，说明直线
3
x = 在交点B 左侧，此位置抛物线图象在x 轴上方
(3)
0
y
，即3
0
a
c
+
故②错误
∵顶点坐标为(1, )
n ，
∴
2
4
4
ac
b
n
a
−
=
2
4
4
an
ac
b
=
−
2
4
4
4 (
)
b
ac
an
a c
n
=
−
=
−
故③正确
抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．
点P 到对称轴
1
x = 的距离：
1
t −
点Q 到对称轴
1
x = 的距离：(
)
3
1
2
t
t
−
−
=
−
平方作差比较距离大小：
2
21
2
t
t
−
−
−
(
) (
)
2
2
2
1
4
4
t
t
t
t
=
−
+
−
−
+
2
3
t
=
−
3
2
t
，
2
3
0
t
−
，
即
2
2
|
1|
| 2
|
t
t
−
−
，得|
1| | 2
|
t
t
−
−
10 /
点P 离对称轴更近，
1
2
y
y
，
故④正确
由
(0, )
A
c 得OA
c
=
，由
( ,0)
B m
得OB
m
=
OA
OB
=
，
m
c
=
，即
( ,0)
B c
，
将
( ,0)
B c
代入抛物线解析式：
2
0
ac
bc
c
+
+
=
0
c
，
1
0
ac b
+ + =
1
b
ac
+ = −
设一元二次方程
(
)
2
1
0
ax
b
x
+
+
=
的两根为
1x ，
2x 由韦达定理：
1
2
1
b
x
x
a
+
+
= −
，
将
1
b
ac
+ = −
代入：
1
2
ac
x
x
c
a
−
+
= −
=
，
故⑤正确
综上所述正确结论一共有3 个．
5．（2026·四川达州·中考真题）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
，
0
c
）的自变量x 与函数y 的部分对应值
如下表：
x
2
−
0
2
y
0
c
c
在下列结论中：①
0
a
；②2
0
a
b
+
=
；③当
1
x 时，y 的值随着x 值的增大而增大；④
1
2
x = −，
2
4
x =
是
关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）的两个根．正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据表格中y 值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导a ，b ，c 的关系，再逐一判断
每个结论．
【详解】解：由表格可知，
0
x =
和
2
x =
时y 值均为c ，
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11 /
因此二次函数对称轴为
0
2
1
2
x
+
=
= ，
由对称轴公式得
1
2
b
a
−
= ，即
2
b
a
= −
．
2
x = −时
0
y =
，代入二次函数得
(
)
2
( 2)
2
0
a
b
c
−
+
−
+
=
，即4
2
0
a
b
c
−
+ =
，
将
2
b
a
= −
代入得8
0
a
c
+ = ，即
8
c
a = −
．
①
0
c
，
0
8
c
a
= −
，①正确．
②由
2
b
a
= −
可知2
0
a
b
+
=
成立，②正确．
③
0
a ，抛物线开口向上，对称轴为
1
x = ，
1
x
时，y 随x 增大而减小，③错误．
④已知
2
x = −是一个根，设另一个根为
2x ，由对称轴得
2
2
1
2
x
−+
= ，解得
2
4
x =
，因此方程两根为
1
2
=
2,
=4
x
x
−
，
④正确．
综上，正确结论共3 个．
6．（2026·重庆·中考真题）已知整式M ：
2
0
1
2
n
n
a
a x
a x
a x
+
+
+
+
，其中n ，
n
a 为正整数，
0a ，1a ，
2a ，
，
1
na −为整数，
0
1
2
n
a
a
a
a
，且
0
1
6
n
n
a
a
a
+
+
+
+
= ．下列说法：
①当
1
n = 时，满足条件的所有整式M 的和为22
7
x −；
②当
2
n =
时，若函数y
M
x
=
+
的图象关于y 轴对称，则满足条件的整式M 有且仅有1 个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M 共有2 个．
其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据题意和n 的取值，分别确定相应
0
1
2
,
,
a a a 的值，进而可得M 的值，然后计算整式的加减、因式
分解逐个判断即可．
【详解】解：①当
1
n = 时，
0
1
1
6
a
a
+
+
=
，即
0
1
5
a
a
+
=
，
∵
0
1
a
a
，
1a 为正整数，
∴
0
1
5
a
a
+
=
，
当
1
1
a = 时，则
0
4
a =
，解得
0
4
a = −或
0
1
4
a
a
=
（舍去），此时
4
M
x
= −+ ；
当
1
2
a =
时，则
0
3
a =
，解得
0
3
a = −或
0
1
3
a
a
=
（舍去），此时
3 2
M
x
= −+
；
12 /
当
1
3
a = 时，则
0
2
a =
，解得
0
2
a = −或
0
2
a =
，此时
2 3
M
x
= −+
或
2 3
M
x
=
+
；
当
1
4
a =
时，则
0
1
a = ，解得
0
1
a = −或
0
1
a = ，此时
1 4
M
x
= −+
或
1 4
M
x
= +
；
当
1
5
a =
时，则
0
0
a =
，解得
0
0
a =
，此时
5
M
x
=
，
则满足条件的所有整式M 的和为(
) (
) (
) (
) (
) (
)
3 2
2 3
2 3
1 4
1 4
5
2
7
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
−+
−+
+
−+
+
−+
+
+
=
+
+
+
+
−
，
说法①正确；
②当
2
n =
时，
2
0
1
2
M
a
a x
a x
=
+
+
，
0
1
2
2
6
a
a
a
+
+
+
=
，即
0
1
2
4
a
a
a
+
+
=
，
由题意可知，
2a 为正整数，
0a ，
1a 为整数，且
0
1
2
a
a
a
，
∴
0
1
2
4
a
a
a
+
+
=
，
∵函数
(
)
2
2
1
0
1
y
M
x
a x
a
x
a
=
+
=
+
+
+
的图象关于y 轴对称，
∴
1
1
0
a + =
，即
1
1
a = −，
∴
0
2
1
4
a
a
+ −+
=
，
解得
0
2
3
a
a
= −
，
∵
0
1
2
a
a
a
，
∴
0
2
1
a
a
−
，
∴
0
1
a ，
∴
2
3
1
a
−
，解得
2
2
a
，
又∵
2a 为正整数，
∴
2
1
a = ，
0
1
2
3
a = −=
，
∴
0
2
a = −或
0
2
1
a =
−（舍去），
∴满足条件的整式
2
2
M
x
x
−−
=
+
，有且仅有1 个；说法②正确；
③∵整式M 是二次二项式，
∴
2
n =
，且M 只有两个非零项，
同②可得：
0
1
2
4
a
a
a
+
+
=
，
2a 为正整数，
∴在这个二次二项式中，
1
0
a =
或
0
0
a =
，
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13 /
（Ⅰ）当
1
0
a =
时，
2
0
2
M
a
a x
=
+
，
0
2
4
a
a
+
=
，
0
2
0
a
a
，
∴
2
0
0
0
4
4
a
a
a
=
−
=
+
，
∴
0
4
a −，
∴当
0
2
1,
3
a
a
= −
= 时，
2
3
1
M
x
=
−，不能在有理数范围因式分解，舍去；
当
0
2
2,
2
a
a
= −
=
时，
(
)(
)
2
2
2
2
1
1
M
x
x
x
=
−
=
−
+
，能在有理数范围因式分解；
当
0
2
3,
1
a
a
= −
= 时，
2
3
M
x
=
−，不能在有理数范围因式分解，舍去；
（Ⅱ）当
0
0
a =
时，
2
1
2
M
a x
a x
=
+
，
1
2
4
a
a
+
=
，
1
2
0
a
a
，
∴
1
2
4
a
a
+
=
，
∴只有
1
2
1,
3
a
a
=
= 符合，此时
(
)
2
3
3
1
M
x
x
x
x
=
+
=
+
，能在有理数范围因式分解；
综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M 共有2 个；说法③正确；
所以说法正确的个数是3 个．
7．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
+
+ =
的两根分别是
1x ，
2x ，一元二次方程
2
2
1
0
mx
x
+
+ =
的两根分别是
3x ，4x ，若
1
3
4
2
0
x
x
x
x
，把a ，m ，0 ，1这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：
_________．
【答案】0
1
a
m
【分析】设
2
1
2
1
y
ax
x
=
+
+ ，
2
2
2
1
y
mx
x
=
+
+ ，根据方程的根的情况，判断抛物线与x 轴的交点个数，对称
轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果．
【详解】解：设
2
1
2
1
y
ax
x
=
+
+ ，
2
2
2
1
y
mx
x
=
+
+ ，
则两个函数都经过点(0,1) ，对称轴分别为
2
1
2
x
a
a
= −
= −
和
2
1
2
x
m
m
= −
= −
，
∵一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
+
+ =
的两根分别是
1x ，
2x ，一元二次方程
2
2
1
0
mx
x
+
+ =
的两根分别是
3x ，
4x ，
∴
1x ，
2x 为抛物线
1y 与x 轴的交点的横坐标，
3x ，
4x 为抛物线
2y 与x 轴的交点的横坐标，
∵
1
3
4
2
0
x
x
x
x
，
∴抛物线
1y 与抛物线
2y 的对称轴均在y 轴的左侧，
∴
1
0
a
−
，
1
0
m
−
，
14 /
∴
0
a
，
0
m
，
∴两条抛物线的开口向上，
∵
1
3
4
2
0
x
x
x
x
，
∴抛物线
1y 的开口大于抛物线
2y 的开口，
∴a
m
，
∵两条抛物线与x 轴都有两个交点，
∴
2
1
2
4
0
a
=
−
，
2
2
2
4
0
m
=
−
，
∴
1
a ，
1
m，
综上：0
1
a
m
．
考点02 二次函数的最值
1．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数
2
2
3
y
x
x
=
−
+
，当
2
a
x
a
+
时，y 的最小值为t ，则下列t 与
a的函数关系图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据
2
a
x
a
+
与对称轴的位置关系分类讨论，求出t 关
于a的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象．
【详解】解：
2
2
2
3
(
1)
2
y
x
x
x
=
−
+
=
−
+
，
抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为(1,2) ，
当
2
a
x
a
+ 时，y 的最小值为t ，
分三种情况讨论：
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15 /
①当
2
a
x
a
+ 在对称轴左侧，即
2
1
a+
，
解得
1
a
−
时，y 随x 的增大而减小 ，
当
2
x
a
=
+ 时，y 取得最小值
2
2
(
2 1)
2
(
1)
2
t
a
a
=
+
−
+
=
+
+
；
②当
2
a
x
a
+ 包含对称轴，即
1
2
a
a
+
，
解得1
1
a
−
时，y 的最小值为顶点的纵坐标，
2
t
=
；
③当
2
a
x
a
+ 在对称轴右侧，即
1
a 时，y 随x 的增大而增大 ，
当x
a
=
时，y 取得最小值
2
(
1)
2
t
a
=
−
+
，
综上所述，t 与a的函数关系为：𝑡= {
(𝑎+ 1)2 + 2
(𝑎< −1)
2
(−1 ≤𝑎≤1)
(𝑎−1)2 + 2
(𝑎> 1)
，
观察图象可知，当1
1
a
−
时，图象为平行于a 轴的线段；
当
1
a 或
1
a
−
时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A 符合题意．
2．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a
b c
、、为常数，且
0
a
）与x 轴的两个交
点坐标分别为( 1,0) ( ,0)
m
−
、
，且2
3
m
．下列结论：①
0
abc
；②3
0
a
c
+
；③
9
4
4
a
a
y
−
−
最小值
；④
若方程
2
1
0
2
ax
bx
c
+
+
+
=
有实数根，则
2
4
b
ac
a
−
．其中正确结论的序号为（ ）
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利
用抛物线解析式及m 的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④．
【详解】解：①
抛物线开口向上，
0
a
，
∵与x 轴的两个交点坐标分别为( 1,0) ( ,0)
m
−
、
，
∴对称轴
1
2
2
b
m
x
a
−+
= −
=
，
0
a
b
c
−+ =
，
(
)(
)
(
)
2
1
1
y
a x
x
m
ax
a
m x
am
=
+
−
=
+
−
−
，
16 /
∴
(
)
1
b
m a
=
−
，c
am
= −
，
∵2
3
m
，
∴1
1
1
2
2
m
−+
，
∴对称轴在y 轴右侧，
0
2
b
x
a
= −
，
0
b
，
抛物线与y 轴交于负半轴，
0
c
，
0
abc
，
故①正确；
(
)
3
3
3
a
c
a
am
a
m
+ =
−
=
−
，
由
0
a
和2
3
m
可得
(
)
3
3
0
a
c
a
m
+ =
−
，
故②结论错误；
③当
1
2
m
x
−+
=
时，抛物线有最小值，
(
)(
)
(
)
2
1
1
1
1
1
1
2
2
4
m
m
y
a x
x
m
a
m
a m
−
−
−
−+
−+
=
+
=
+
=
+
最小值
，
∵2
3
m
，
1
0
4 a
−
，
∴当2
3
m
时，
(
)
2
1
1
4
y
a m
−
=
+
最小值
随m 增大而减小，当
2
m =
时，
9
4
y
a
= −
最小值
；当
3
m =
时，
4
y
a
= −
最小值
；
∴
9
4
4
a
a
y
−
−
最小值
，
故③正确；
④
方程
2
1
0
2
ax
bx
c
+
+
+
=
有实数根，
2
1
Δ
4
0
2
b
a c
=
−
+
，即
2
4
2
0
b
ac
a
−
−
.
2
4
2
b
ac
a
−
，
0
a ，
2a
a
，
2
4
b
ac
a
−
，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
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17 /
3．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ ，有下列结论：
①二次函数图象与y 轴的交点坐标是(
)
0,c ；
②二次函数的顶点坐标是
2
,
2
4
b
b
c
−
；
③若二次函数图象经过(
)
1
1,
A
y
−
、(
)
2
3,
B
y
两点，且
1
2
y
y
，则
2
b −；
④当1
2
x
时，二次函数的最大值为m ，最小值为n ，则m
n
−
的值与c 无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法
判断结论正误．
【详解】解：对①：令
0
x =
，得y
c
=
，∴二次函数图象与y 轴交点坐标是(
)
0,c ，①正确．
对②：对函数配方得
2
2
2
(
)
2
4
b
b
y
x
bx
c
x
c
=
+
+
=
+
+ −
，
∴顶点坐标为
2
,
2
4
b
b
c
−
−
，结论中横坐标错误，②错误．
对③：代入
,
A B 坐标得
1
1
y
b
c
= −+ ，
2
9
3
y
b
c
=
+
+ ，∵
1
2
y
y
，
∴1
9 3
b
c
b
c
−+ +
+ ，化简得
2
b −，结论错误，③错误．
对④：二次函数开口向上，对称轴为
2
b
x = −
，对区间1
2
x
分情况讨论：
若
1
2
b
−
，即
2
b −，二次函数y 随x 的增大而增大，
(
) (
)
4
2
1
3
m
n
b
c
b
c
b
−
=
+
+
−
+ +
= + ，不含c ；
若
2
2
b
−
，即
4
b −，二次函数y 随x 的增大而减小，
(
) (
)
1
4
2
3
m
n
b
c
b
c
b
−
=
+ +
−
+
+
= −−
，不含c ；
若1
2
2
b
−
，即4
2
b
−
−，最小值为顶点纵坐标
2
4
b
n
c
=
−
，最大值在离对称轴更远的端点，计算得m n
−
仍消去c ，不含c ；
因此m n
−的值与c 无关，④正确．
综上，正确结论共2 个．
4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，
135
ABC
=
，
8
AB
BC
+
= ，将AC 绕点A 逆时针旋转90得到AD ．连
接BD ，则BD 的最小值为________．
18 /
【答案】8 6
3
/ 8
6
3
【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将BD 转化为CE ；再用代数表达式表示CE 的长度；最后通过二次
函数的性质求CE的最小值，即BD 的最小值．
【详解】解：过A 作AE
AB
⊥
，使AE
AB
=
，连接CE 、BE ．
∴
45
ABE
AEB
=
=
,
∵
135
ABC
=
，
∴
90
CBE
ABC
ABE
=
−
=
；
又
8
AB
BC
+
= ，
设AB
m
=
，则
8
BC
m
=
−
．
由旋转性质，得AD
AC
=
，
90
DAC
=
，
90
BAD
CAE
BAC
=
=
−
，
又AE
AB
=
,
(
)
SAS
DAB
CAE
≌
，
∴BD
CE
=
．
在Rt BAE中，
=
+
=
=
2
2
2
2
BE
AB
AE
AB
m ，
在Rt
CBE
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
CE
BC
BE
=
+
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19 /
代入
8
BC
m
=
−
、
2
BE
m
=
，
化简得：
2
2
2
2
2
8
128
(8
)
2
3
16
64
3
3
3
CE
m
m
m
m
m
=
−
+
=
−
+
=
−
+
，
∵3
0
，
∴抛物线开口向上，
故当
8
3
m =
时，
2
CE 取最小值128
3 ，故
128
8 6
3
3
CE
=
=
最小
，即
8 6
3
BD
=
最小
．
5．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别为对角线AC 、边CD上的动
点，且
2
DQ
AP
=
，则PQ 的最小值为_________．
【答案】3 2
【分析】过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，证明EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
设AP
x
=
，求得
2
6
2
PF
x
=
−
，
2
2
QF
x
=
，在Rt
PQF
△
中，由勾股定理得
(
)
2
2
3 2
18
PQ
x−
=
+
，最后利
用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴
90
BAD
ADC
=
=
，
45
EAP
=
，
6
AD
CD
=
=
，
∵EF
AB
⊥
，
∴EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
∴
6
EF
AD
=
=
，AE
EP
DF
=
=
，EF
CD
⊥
，
设AP
x
=
，则
2
DQ
x
=
，
20 /
∵
2
6
DQ
x
=
，
∴0
3 2
x
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
AE
EP
AP
AE
EP
+
=
=
=
，
∴
2
2
AE
PE
x
=
=
，
∴
2
6
2
PF
EF
PE
x
=
−
=
−
，
2
2
2
2
2
QF
DQ
DF
x
x
x
−
=
−
=
=
，
在Rt
PQF
△
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
PQ
FQ
PF
x
x
=
+
=
+
−
2
2
36
6 2
2
2
x
x
x
=
+
−
+
(
)
2
2
6 2
36
3 2
18
x
x
x−
=
−
+
=
+
，
∵(
)
2
3 2
0
x−
，0
3 2
x
，
∴当
3 2
x =
时，
2
PQ 有最小值18，
∴PQ 的最小值为3 2 ．
考点03 实际问题与二次函数
1．（2026·天津·中考真题）矩形ABCD中，
5
AB
cm
=
，
7
AD
cm
=
．动点P 从点A 出发，以1
/
cm s 的速度沿
边AD 、边DC 向终点C 运动；动点Q 从点A 同时出发，以1
/
cm s 的速度沿边AB 、边BC 向终点C 运动．设
运动的时间为t s．当
3
t
s
=
时，点P ，Q 的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当
6
t
s
=
时，四边形APCQ 是平行四边形；
②APQ 的最大面积为
2
35
2 cm ；
③当APQ 的面积为
2
10cm 时，
2 5
t
s
=
或
10
t
s
=
．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
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21 /
【答案】D
【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二
次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
【详解】解：①当
6
t
s
=
时，如图2，
6
5
1
BQ =
−
= ，
6
=
AP
，
∴
7 1
6
CQ =
−=
，
∴
6
CQ
AP
=
=
，
∵矩形ABCD，
∴AD
BC ，即AP QC ，
∴四边形APCQ 是平行四边形，①正确；
②当点P 在AD 上，点Q 在AB 上，此时0
5
t
时，如图1，
AP
AQ
t
=
= ，
2
1
2
APQ
S
t
=
，
∴当
5
t =
时，APQ 的最大面积为
2
25
2 cm ；
当点P 在AD 上，点Q 在BC 上，此时5
7
t
时，如图3，
AP
t
= ，
5
BQ
t−
=
，
1
5
5
2
2
APQ
S
t
t
=
=
，
∴当
7
t =
时，APQ 的最大面积为
2
35
2 cm ；
当点P 在CD上，点Q 在BC 上，此时7
12
t
≤
时，如图4，
22 /
7
DP
t−
=
，
5
BQ
t−
=
，
12
CP
t
−
=
，
12
CQ
t
−
=
，
∴
APQ
ADP
CPQ
ABQ
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
矩形
(
)
(
)(
)
(
)
1
1
1
5 7
7
7
12
12
5
5
2
2
2
t
t
t
t
−
−
−
−
= −
−
−
(
)
2
2
1
1
6
6
18
2
2
t
t
t
= −
+
= −
−
+
，
∵
1
0
2
−
，当
6
t
时，
APQ
S
随t 的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，APQ 的最大面积为
2
35
2 cm ，②正确；
③当点P 在AD 上，点Q 在AB 上，此时0
5
t
时，
又②可知：AP
AQ
t
=
= ，
2
1
2
APQ
S
t
=
，
由题意得
2
1
10
2 t =
，
∴
2 5
t =
（负值已舍）；
当点P 在AD 上，点Q 在BC 上，此时5
7
t
时，
由②可知：
1
5
5
2
2
APQ
S
t
t
=
=
，
由题意得5
10
2 t =
，
∴
4
t =
（不符合题意，舍去）；
当点P 在CD上，点Q 在BC 上，此时7
12
t
≤
时，
2
1
6
2
APQ
S
t
t
−
=
+
，
由题意得
2
1
6
10
2 t
t
−
+
=
，
∴
2
t =
（不符合题意，舍去）或
10
t =
；
综上，当APQ 的面积为
2
10cm 时，
2 5
t
s
=
或
10
t
s
=
，③正确．
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，动点P 从点B 出
发沿边BA 向终点A 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发，沿边AC
CB
→
向终点B 匀速运动，两动点运动到
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23 /
各自终点停止运动．若P ，Q 两点每秒运动的路程相同，点Q 运动的路程为(
)
0
x x
，
BPQ
△
的面积为y ，
则下列图象能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB 的长，分三段讨论：0
8
x
时，Q 在AC 上，P 在AB 上；8
10
x
时，
Q 在BC 上，P 在AB 上；10
14
x
时，Q 在BC 上，P 到达A 点停止．分别求出y 与x 的函数关系式，结
合图象即可判断．
【详解】解：在Rt ABC 中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
3
sin
5
BC
A
AB
=
=
，
4
sin
5
AC
ABC
AB
=
=
．
分三种情况讨论：
①当0
8
x
时，点Q 在AC 上，点P 在AB 上，BP
x
=
，AQ
x
=
，
过点Q 作QD
AB
⊥
于点D ，
则
3
sin
5
QD
AQ
A
x
=
=
，
2
1
1
3
3
2
2
5
10
y
BP QD
x
x
x
=
=
=
，
此时图象为开口向上的抛物线，当
8
x = 时，
3
64
19.2
10
y =
=
；
②当8
10
x
时，点Q 在BC 上，点P 在AB 上，过点Q 作QE
AB
⊥
于点E
24 /
BP
x
=
，
6
(
8)
14
BQ
x
x
=
−
−
=
−
，
∴
sin
QE
BQ
B
=
，
2
1
1
4
2
28
sin
(14
)
2
2
5
5
5
y
BP BQ
B
x
x
x
x
=
=
−
= −
+
，
此时图象为开口向下的抛物线，当
8
x = 时，
19.2
y =
；当
10
x =
时，
2
28
100
10
16
5
5
y = −
+
=
；
③当10
14
x
时，点Q 在BC 上，点P 到达A 点停止运动，
此时
10
BP
AB
=
=
（即BPQ 变为ABQ ），
14
BQ
x
=
−
，
以BQ 为底，AC 为高，
1
1 (14
) 8
56
4
2
2
y
BQ AC
x
x
=
=
−
=
−
，
此时图象为线段， 当
10
x =
时，
16
y =
；
当
14
x =
时，
0
y =
．
综上所述，图象D 符合题意．
3．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为2cm的正方形ABCD，边长为2cm的正方形EFGH 的
顶点F ，H 在同一水平线上，点F 与AD 的中点重合，现将正方形EFGH 以1
/
cm s 的速度沿AB 方向匀速运
动，当点H 运动到BC 上时停止．在这个运动过程中，正方形EFGH 与正方形ABCD重叠部分的面积(
)
2
y cm
与运动时间( )
x s 之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
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25 /
D．
【答案】B
【分析】连接EG 、FH 交于点O，正方形EFGH 的边与正方形ABCD交于点M 、N ，FH 交AD 于点K ，
分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积(
)
2
y cm
与运动时间( )
x s 之间的函数关系表达式，进而得到对应
的函数图象，即可得解．
【详解】解：如图，连接EG 、FH 交于点O，正方形EFGH 的边与正方形ABCD交于点M 、N ，FH 交AD
于点K ，
边长为
2cm的正方形EFGH 的顶点F ，H 在同一水平线上，点F 与AD 的中点重合，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
EG
FH
cm
=
=
+
=
，
1
OE
OF
OG
OH
cm
=
=
=
=
，EG
FH
⊥
，HF 垂直平分AD ，
AD
EG
∥
，
①当0
1
t
时，叠部分的面积为
FMN
S
，此时FK
tcm
=
，
AD
EG
∥
FMN
FGE
∽
，
FK
MN
OF
EG
=
，
1
2
t
MN
=
，
2
MN
tcm
=
，
(
)
2
2
1
1
2
2
2
FMN
S
MN FK
t t
t
cm
=
=
=
；
②当1
2
t
时，叠部分的面积为
HMN
EFGH
S
S
−
正方形
，此时
(
)
2
HK
FH
FK
t cm
−
−
=
=
，
26 /
同理可得，
(
)
2 2
MN
t
−
=
，
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
1
2
2 2
2
4
2
2
2
2
HMN
EFGH
S
S
t
t
t
t
t
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
+
=
+
正方形
，
即当
2
x =
时，有最大值为2；
③当2
3
t
时，叠部分的面积为
FMN
EFGH
S
S
−
正方形
，此时
(
)
2
FK
t
cm
−
=
，
同理可得，
(
)
2
2
MN
t
=
−
，
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
2
4
2
2
2
2
FMN
EFGH
S
S
t
t
t
t
t
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
+
=
+
正方形
；
④当3
4
t
时，叠部分的面积为
HMN
S
，此时
(
)
(
)
2
2
4
HK
t
t cm
−
−
=
−
=
，
同理可得，
(
)
2 4
MN
t
−
=
，
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
1
1
2 4
4
4
4
2
2
HMN
S
MN HK
t
t
t
t
−
−
−
−
=
=
=
=
，
综上可知，当0
1
t
时，图象为开口向上的抛物线；当1
2
t
时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值
为2；当2
3
t
时，图象为开口向下的抛物线；当3
4
t
时，图象为开口向上的抛物线，
只有B 选项符合题意．
4．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB CD ，
10
AB =
，
4
DC =
，
5
AD
BC
=
=
．点
P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A
D
C
B
→
→
→
的路径向终点B 运动，同时点Q 从点A 出发，
以同样速度沿边AB 向终点B 运动．设APQ 的面积为S ，运动时间为t （s ），则S 关于t 的函数图象大致为
（ ）
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27 /
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过点
,
C D 分别作AB 的垂线，垂足分别为
,
F E ，先求得
4
DE =
，
4
sin
sin
5
A
B
=
=
，根据三角形的面
积公式，分成当P 在AD 上时，即0
5
t
时，当P 在CD上时，即5
9
t
时，当P 在CB 上且Q 未到达B 时，
即9
10
t
时，当P 在CB上且Q 到达B 后，即10
14
t
时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图，过点
,
C D 分别作AB 的垂线，垂足分别为
,
F E ，
∴
90
DEF
EFC
=
=
，
∵AB CD ，即EF
CD ，
∴
90
CDE
=
，
∴
90
CDE
DEF
EFC
=
=
=
，
∴四边形CDEF 是矩形，
∴
4
EF
CD
=
=
，
90
AED
BFC
=
=
，DE
CF
=
，
∵
5
AD
BC
=
=
，
∴
(
)
ADE
BCF HL
≌
，
∴
(
)
1
3
2
AE
BF
AB
EF
−
=
=
=
，
∵
5
AD = ，
在Rt
ADE
△
中，
2
2
4
DE
AD
AE
=
−
=
，
28 /
∴
4
sin
sin
5
A
B
=
=
，
过点P 作PM
AB
⊥
于点M ，
当P 在AD 上时，即0
5
t
时，如图所示，
∴
4
sin
5
PM
AP
A
t
=
=
，
∴
2
1
1
4
2
2
2
5
5
S
AQ
PM
t
t
t
=
=
=
，函数图象为开口向上的抛物线，C，D 不符合题意；
当P 在CD上时，即5
9
t
时，
∴
4
PM
DE
=
=
，
∴
1
1
4
2
2
2
S
AQ
PM
t
t
=
=
=
，函数图象为直线的一部分，
当P 在CB上且Q 未到达B 时，即9
10
t
时，
∴
14
BP
AD
DC
CB t
t
−
−
=
+
+
=
，
∴
(
)
4
sin
14
5
PM
PB
B
t
−
=
=
，
∴
(
)
2
1
1
4
2
28
14
2
2
5
5
5
S
AQ
PM
t
t
t
t
−
−
=
=
=
+
，函数图象为开口向下的抛物线，故B 不符合题意；
当P 在CB上且Q 到达B 后，即10
14
t
时，
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29 /
∴
(
)
1
1
4
10
14
4
56
2
2
5
S
AB
PM
t
t
−
−
=
=
=
+
，函数图象为直线的一部分，故A 符合题意．
考点04 二次函数综合
1．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为
“倒数点”．如：
1
(2, )
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据“倒数点”定义，若(
)
,x y 为倒数点，则满足
(
)
1
0
xy
x
=
，即
1
y
x
=
，联立各函数与
1
y
x
=
，判
断方程解的个数，逐个验证结论即可.
【详解】解：由定义得，倒数点满足
1
xy = ，
0
x
，即
1
y
x
=
，
① 联立
1
3
xy
y
x
=
=
，则
1
3x
x
=
，
整理得
2
3
1
x = ，
解得
3
3
x =
，
∴方程有2 个不同解，故存在2 个倒数点，故①正确；
② 联立
1
1
xy
y
x
=
=
−
，
1
0
y
x
=
−
，
0
x
，
当
1
x 时，
1
1
x
x
−=
，整理得
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
Δ
( 1)
4 1 ( 1)
5
0
= −
−−
=
，
30 /
解得
1
1
5
2
x
+
=
，
2
1
5
2
x
−
=
，
正根
1
5
1
2
x
+
=
，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③ 联立
2
1
2
1
xy
y
x
=
=
+
，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ ，
画出函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象的草图如图所示：
由图象知：函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象有唯一的交点，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ 有唯一的解，
∴存在1 个倒数点，故③正确；
④ 联立
1
2
xy
y
kx
=
=
+
，
整理得
2
2
1
0
kx
x
+
−=
，
当
0
k =
时，方程为2
1
0
x−=
，解得
1
2
x =
，
2
y =
，满足1
2
1
2
= ，是倒数点，
此时
0
1
k =
−，故④错误；
综上，正确的结论共2 个.
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31 /
2．
（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
2
1
1
:
C
y
mx
=
与
(
)
2
2
2
:
2
C
y
m
x
=
+
，过原点O 的直线l 与抛物线
1
C ，
2
C 的另一个交点分别为
1A ，
2
A ，如果
2
1
3
OA
OA
=
，则m 的值为（ ）
A．3
−或
3
2
−
B．3
−或1
C．
1
2
−
或
3
2
−
D．
1
2
−
或1
【答案】A
【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m 即可．
【详解】解：设过原点O的直线l 为y
kx
=
，
0
k
，
联立直线l 与抛物线
1
C ，消去y 得：
2
mx
kx
=
，解得：
1
2
0,
k
x
x
m
=
=
，
∴
1A 的横坐标为k
m ，代入y
kx
=
得：
2
k
k
y
k m
m
=
=
，
∴
2
1
, m
A
k k
m
，
同理联立直线l 与抛物线
2
C 得：
2
A 的坐标为
2
,
2
2
k
k
m
m
+
+
，
∴根据两点间距离公式可得：
(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2
0
0
,
0
0
2
2
2
k
O
m
A
OA
m
k
k
k
k
k
k
k
m
m
m
m
+
+
=
−
+
=
=
−
+
−
+
+
−
=
+
∵
2
1
3
OA
OA
=
，
∴
2
2
1
2
9
OA
OA
=
，
∴(
)
2
4
2
4
2
2
9
2
k
k
k
k
m
m
=
+
+
+
，
∵
0
k
，
2
4
0
k
k
+
，
∴约去公因式得(
)
2
2
1
9
2
m
m
=
+
，整理得
2
2
9
9
0
m
m
+
+ =
，
解得：
1
3
m = −，
2
3
2
m = −
，
经检验：
1
3
m = −，
2
3
2
m = −
都是方程的解，
∴m 的值为3
−或
3
2
−
．
3．（2026·重庆·中考真题）自然数m 与n 均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m
与n的乘积为三位数．m
n
+ 的最小值为_____；当m
n
时，存在正整数k ，使得
2
2
2
k
m
n
=
−
，则满足条件的
32 /
所有k 的值之和为____．
【答案】 29 28
【分析】设两个自然数的十位上的数字为a（1
9
a
，且a 为整数），自然数m 的个位上的数字为b（0
9
b
，
且b 为整数），则自然数n的个位上的数字为9
b
−
，表示出
,
m n ，根据m
n
+
的化简结果确定其和a 的关系，
结合乘积为三位数的条件求出m
n
+ 的最小值，再利用平方差公式变形
2
2
2
k
m
n
=
−
，根据完全平方数的性质
枚举所有可能，计算所有k 的和即可．
【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为a （1
9
a
，且a 为整数），自然数m 的个位上的数字为b
（0
9
b
，且b 为整数），则自然数n 的个位上的数字为9
b
−
，
∴
10
m
a
b
=
+ ，
10
9
n
a
b
=
+ -
，
∴
(
) (
)
10
10
9
20
9
m
n
a
b
a
b
a
−
+
=
+
+
+
=
+ ，
(
)(
)
(
)
2
10
10
9
100
90
9
mn
a
b
a
b
a
a
b
b
−
−
=
+
+
=
+
+
，
要使
20
9
m n
a
+
=
+ 最小，需a 最小，
则当
1
a = 时，m
n
+ 的最小值为20 1 9
29
+ =
，
此时
(
)
2
2
9
841
100
90
9
9
190
2
4
mn
b
b
b
b
b
−
−
−
−
=
+
+
=
+
+
=
+
，
由二次函数的性质可知，当
4
b =
或
5
b =
时，mn 的值最大，最大值为
2
9
841
4
210
1000
2
4
−
−
+
=
或
2
9
841
5
210
1000
2
4
−
−
+
=
，符合题意．
当m
n
时，
(
) (
)
10
10
9
2
9
0
m
n
a
b
a
b
b
−
−
−
=
+
−
+
=
，
解得
4.5
b
，
∴5
9
b
，且b 为整数，
∴1
2
9
9
b
−
，
∵
2
2
2
k
m
n
=
−
，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
2
9
20
9
k
m
n
m
n
b
a
−
−
=
+
=
+
，
又∵2
9
b−为奇数，且1
2
9
9
b
−
，
∴2
9
b−所有可能的取值为1,3,5,7,9，
①当2
9
1
b−= ，即
5
b =
时，
2
20
9
k
a
=
+ ，
(
)(
)
10
5 10
4
mn
a
a
=
+
+
，
学科网（北京）股份有限公司
33 /
∵1
9
a
，且a为整数，
∴当
2
a =
时，
2
49
k =
，
此时正整数
7
k =
，
(
) (
)
10 2 5
10 2
4
600
1000
mn =
+
+
=
，符合题意；
当
8
a = 时，
2
169
k =
，
此时正整数
13
k =
，
(
) (
)
10 8 5
10 8
4
7140
1000
mn =
+
+
=
，不符合题意，舍去；
②当2
9
3
b−= ，即
6
b =
时，
(
)
2
3 20
9
k
a
=
+
，
(
)(
)
10
6 10
3
mn
a
a
=
+
+
，
同理可得：没有符合条件的a ，使得正整数k 满足
(
)
2
3 20
9
k
a
=
+
；
③当2
9
5
b−= ，即
7
b =
时，
(
)
2
5 20
9
k
a
=
+
，
(
)(
)
10
7 10
2
mn
a
a
=
+
+
，
同理可得：没有符合条件的a ，使得正整数k 满足
(
)
2
5 20
9
k
a
=
+
；
④当2
9
7
b−=
，即
8
b =
时，
(
)
2
7 20
9
k
a
=
+
，
(
)(
)
10
8 10
1
mn
a
a
=
+
+
，
同理可得：没有符合条件的a ，使得正整数k 满足
(
)
2
7 20
9
k
a
=
+
；
⑤当2
9
9
b−= ，即
9
b =
时，
(
)
2
9 20
9
k
a
=
+
，
(
)
10
10
9
mn
a
a
=
+
，
当
2
a =
时，
(
)
2
2
9
20 2 9
441
21
k =
+
=
=
，
此时正整数
21
k =
，
(
)
10 2
10 2
9
580
1000
mn =
+
=
，符合题意；
当
8
a = 时，
(
)
2
2
9
20 8 9
1521
39
k =
+
=
=
，
此时正整数
39
k =
，
(
)
10 8
10 8 9
7120
1000
mn =
+
=
，不符合题意，舍去；
综上，满足条件的所有k 的值为7 和21，它们的和为7
21
28
+
=
．
【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论．
4．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的动点（不与端点重
合），过点D 作DG
AB
⊥
于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2 分，
选全得4 分）
①0
1
DG
；
34 /
②
ADG
BDG
S
S
△
△
；
③设AG
x
=
，则
ADG
△
的面积S 是关于x 的二次函数；
④仅存在一点D，使得
ACD
ADG
S
S
=
△
△
．
【答案】①②③④
【分析】由题意易得
60 ,
1
C
B
AB
BC
AC
=
=
=
=
= ，则有
3
sin
2
DG
BD
B
BD
=
=
，
1
cos
2
BG
BD
B
BD
=
=
，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可．
【详解】解：∵ABC是等边三角形，且边长为1，
∴
60 ,
1
C
B
AB
BC
AC
=
=
=
=
= ，
∵DG
AB
⊥
，
∴
3
sin
2
DG
BD
B
BD
=
=
，
1
cos
2
BG
BD
B
BD
=
=
，
∵D 为BC 边上的动点（不与端点重合），
∴0
1
BD
，
∴
3
0
1
2
DG
，
1
0
2
BG
，故①说法正确；
∵
1
AG
AB
BG
BG
=
−
= −
，
∵
1
0
2
BG
，
∴1
1
2
AG
，
∴AG
BG
，
∵
1
,
2
1
2
ADG
BDG
BG DG
S
AG DG S
=
=
△
△
，
∴
ADG
BDG
S
S
△
△
，故②说法正确；
设AG
x
=
，则有
1
BG
x
= −，
∴
(
)
tan
3 1
DG
BG
B
x
=
=
−
，
∴
(
)
2
1
1
3
3
3 1
2
2
2
2
S
AG DG
x
x
x
x
=
=
−
= −
+
，
∴
ADG
△
的面积S 是关于x 的二次函数，故③说法正确；
过点D 作DH
AC
⊥
，如图所示：
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∴
3
sin
2
DH
DC
C
DC
=
=
，
设AG
x
=
，则
1
BG
x
= −，
∴
2
2 2
BD
BG
x
=
= −
，
∴
2
1
DC
BC
BD
x
=
−
=
−，
∴
(
)
3
3
2
1
3
2
2
DH
x
x
=
−
=
−
，
∴
1
3
3
2
2
4
ADC
S
AC DH
x
=
=
−
，
∵
2
3
3
2
2
ADG
S
x
x
= −
+
，
ACD
ADG
S
S
=
△
△
，
∴
2
3
3
3
3
2
2
2
4
x
x
x
−
+
=
−
，
解得：
2
2
x =
（负根舍去），
∴仅存在一点D，使得
ACD
ADG
S
S
=
△
△
，故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④．
