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专题17 二次函数解答题压轴题综合
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01、02 二次
函数图象与性质
综合
解答题核心必考，以解析式求解、对
称轴、顶点、参数分析为基础，结合
动点、线段最值、角度关系设问，侧
重数形结合与分类讨论思想。
新增函数新定义题型，融合一次函数
联动探究，弱化机械计算，强化参数
推理、几何角度与函数性质的综合运
用。
考点03 对称及最
值问题
压轴高频难点，涵盖线段、面积、动
态最值，结合抛物线对称、区间范围
命题，常搭配动点、几何图形，分层
设问区分难度。
创新矩形限定最值、整点取值探究，
结合图形平移、旋转考动态最值，侧
重区间分类讨论与几何模型结合。
考点04 二次函数
图象的平移
高频压轴考点，考查抛物线平移规律，
结合平移后解析式、交点、图形存在
性设问，侧重变换规律与函数本质。
突破常规平移，结合射线定向平移，
联动直角三角形、相似三角形存在性
探究，强化动态变换综合应用。
考点05、06 函数
与方程、实际应用
结合一元二次方程根的关系、函数交
点命题，实际场景依托运动、工程、
几何建模，考查函数建模与问题求解
能力。
实景情境更复杂，新增分段动态建模，
结合障碍物、轨迹问题设问，强化方
程思想与实际问题转化能力。
考点07 二次函数
综合压轴
试卷终极难点，融合几何图形、相似、
特殊三角形、面积最值多考点综合，
分层设问，全面考查综合探究能力。
创新几何折叠、对称、定点定值探究，
结合存在性、最值双设问，弱化套路
解题，侧重逻辑推理与动态分析。
考点01 二次函数的图象与性质
1．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
2
1
y
x
t
．（t 为常数）．
(1)若抛物线过点
3,m
，
1,m ，求t 的值．
2 / 1
(2)抛物线与x 轴交于A、B 两点，点
2
1,0
P
t
为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直
线
1
3
2
y
x
交于点M，N，求MN 最大值．
(3)点
1
1
,
C x y
，
2
2
,
D x
y
都在抛物线上，当
1
2
1
2
t
x
t
，
2
2
4
x
时，都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
1
t
(2) MN 的最大值为19
4
(3)
5
2
t
或
1
t
【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解；
（2）由题意易得
2
2
1,
2
M
t
t
t
，
5
2
1,
2
N
t
t
，然后可得
2
3
19
2
4
MN
t
，进而根据二次函数
的性质进行求解即可；
（3）由题意可知抛物线的对称轴为直线x
t
，开口向下，则可分：①当
4
t
时，②当2
4
t
时，③当0
2
t
时，④当
0
t
时，然后分类进行求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线
2
1
y
x
t
可知：对称轴为直线x
t
，
∵抛物线过点
3,m
，
1,m ，
∴这两点关于对称轴对称，即
3 1
2
t
，
∴
1
t ；
（2）解：令
0
y
，则有
2
1
0
x
t
，解得：
1
2
1,
1
x
t
x
t
，
∴抛物线与x 轴的交点横坐标为
1
t ，
1
t，
∵点
2
1,0
P
t
为线段AB 上一点，
∴
1
2
1
1
t
t
t
，
解得：0
2
t
，
∵过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直线
1
3
2
y
x
交于点M，N，且
2
1,0
P
t
，
∴
2
2
1,
2
M
t
t
t
，
5
2
1,
2
N
t
t
，
∴
2
2
2
5
5
3
19
2
3
2
2
2
4
MN
t
t
t
t
t
t
，
∵1
0
，
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∴当
3
2
t
时，
2
3
19
2
4
t
取得最大值，最大值为19
4 ，
∴MN 的最大值为19
4 ；
（3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线x
t
，开口向下，
∴当x
t
时，y 随x 的增大而减小，当x
t
时，y 随x 的增大而增大，
根据题意可知：当
1
2
1
2
t
x
t
，
2
2
4
x
时，
2y 的最小值应大于
1y 的最大值，
分析抛物线对称轴x
t
与
2
x
和
4
x
时三种关系，
①当
4
t
时，如图，
此时2
1
2
2
4
t
t
t
，都有
1
2
y
y
，符合题意；
②当2
4
t
时，且当3
4
t
时，此时当
2
2
x
时，
2y 取得最小值，当
1
2
x
t
时，
1y 取得最大值，
∴
2
2
t
t
t
，解得：
1
t ，
∴当3
4
t
时，
1
2
y
y
恒成立，
当2
3
t
时，如图，
此时2
1
2
2
4
t
t
t
，
1y 在
1
2
x
t
上取得最大值，
2y 在
2
4
x
上取得最小值，
4 / 1
∴
4
2
t
t
t
，解得：
1
t ，
∴当2
4
t
时，都有
1
2
y
y
；
③当0
2
t
时，如图，
此时2
1
2
2
4
t
t
t
，
1y 在
1
2
x
t
上取得最大值，
2y 在
2
4
x
上取得最小值，
∴
4
2
t
t
t
，解得：
1
t ，
∴当1
2
t
时，都有
1
2
y
y
；
④当
0
t
时，则2
0
t
，
若2
1
t
t
时，则
1y 的最大值大于
2y ，即
1
2
y
y
不成立，
若2
1
t
t
时，如图，
∴当
1
2
1
x
t
时，点C 的纵坐标取得最大值，当
2
4
x
时，点D 的纵坐标取得最小值，
∴2
1
4
t
，
解得：
5
2
t
；
综上所述：t 的取值范围为
5
2
t
或
1
t ．
2,（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数
2
1
1
3
0
y
x
x
的
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图象记为
1
G ，顶点为点A ．将
1
G 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象
2
G ，点A 的对
应点为点B ，图象
1
G 与
2
G 合起来得到的图象记为G ．
(1)填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
1
G
2
1
1
3
0
y
x
x
A （__________，
__________）
2
G
__________
B （__________，
__________）
(2)观察图象G ，解答下列问题：
①直接写出当x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而减小；
②当2
x
n
时，1
0
y
，求n 的取值范围．
(3)如图②，点P 为
1
G 上一点，横坐标为m ；点Q 为
2
G 上一点，横坐标为
3
m ；点C 为
2
G 上一点，横坐标
为3．过点C 作x 轴的平行线1l ，点Q 关于直线1l 的对称点为点D ，过点D 作x 轴的平行线2l ．图象G 上P ，
Q 两点之间的部分（含P ，Q 两点）的最高点和最低点到直线2l 的距离分别为
1h ，
2h ．
①请你判断点P ，Q 是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当
1
2
2
h
h
时，直接写出m 的值．
【答案】(1)
1, 1
A
，
2
2
2
4 0
3
G
y
x
x
：
，
2, 4
B
(2)①3
1
x
或0
2
x
；②1
2
3
n
6 / 1
(3)①是；②
10
1
2
m
或
10
1
5
m
或
6
1
3
m
【分析】（1）根据顶点式写出点A 的坐标，根据抛物线的平移规律写出
2
G 的解析式，进而根据顶点式写出
顶点B 的坐标，即可求解；
（2）①根据函数图象，即可求解．
②令
2
G ：
1
y
，求得x 的值，结合函数图象即可求解；
（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点
,
P Q 的坐标，根据点的平移，得出P 平移后的坐标，即
可求解；
②根据
1
G 的图象，分三段讨论，当3
2
m
时，当2
1
m
时，当1
0
m
时，分别画出图形，根据
函数图象，找到最高点和最低点，进而求得
1
2
,
h h ，结合
1
2
2
h
h
，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②令
2
G ：
2
2
4
1
y
x
，
解得：
1
3
2
x
（舍去），
2
3
2
x
如图，
又∵
1, 1
A
根据函数图象可得：当1
0
y
时，1
2
3
n
（3）①∵
1 :
G
2
1
1
y
x
2
2
x
x
，
2
G ：
2
2
2
4
4
y
x
x
x
，
点P 为
1
G 上一点，横坐标为m ，则
2
,
2
P m m
m
，
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点P 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到
2
3,
2
3
m
m
m
，
点Q 为
2
G 上一点，横坐标为
3
m ，
2
2
3
4
3
2
3
m
m
m
m
，即
2
3,
2
3
Q m
m
m
∴点P ，Q 是平移前后的一组对应点；
②解：∵点C 为
2
G 上一点，横坐标为3．
∴
3
x
时，
2
2
4
1 4
3
y
x
，则
3, 3
C
，
∵点Q 关于直线1l 的对称点为点D ，
2
3,
2
3
Q m
m
m
∴
3
2
Q
D
y
y
，
即
2
2
3
6
D
m
m
y
∴
2
2
3
D
y
m
m
，
情形一：当3
2
m
时，点P 在x 轴及其上方部分，
最高点为
2
,
2
P m m
m
，
（i）如图，当1
0
Q
y
时，最低点为1
∴
2
2
2
1
2
2
3
2
4
3
h
m
m
m
m
m
m
2
2
2
1
2
3
2
2
h
m
m
m
m
当
1
2
2
h
h
时，
2
2
2
4
3
2
2
2
m
m
m
m
，
此方程无解，不存在此情形；
（ii）如图，当3
1
Q
y
时，最低点为
2
2
3
Q
y
m
m
8 / 1
∴
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
Q
D
h
y
y
m
m
m
m
m
m
当
1
2
2
h
h
时，
2
2
2
4
3
2 2
4
m
m
m
m
解得：
10
1
2
m
（舍去）或
10
1
2
m
情形二：当2
1
m
时，此时如图，
最高点为点O，则
2
2
1
0
0
2
3
2
3
D
h
y
m
m
m
m
最低点为Q ，则
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
D
Q
h
y
y
m
m
m
m
m
m
当
1
2
2
h
h
时，
2
2
2
3
2
2
4
m
m
m
m
，
解得：
10
1
5
m
或
10
1
5
m
（舍去）；
情形三：当1
0
m
时，
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最高点为点O，则
2
2
1
0
0
2
3
2
3
D
h
y
m
m
m
m
最低点为B ，则
2
2
2
2
3
4
2
1
D
B
h
y
y
m
m
m
m
当
1
2
2
h
h
时，
2
2
2
3
2
2
1
m
m
m
m
，
解得：
6
1
3
m
（舍去）或
6
1
3
m
，
综上所述，当
1
2
2
h
h
时，
10
1
2
m
或
10
1
5
m
或
6
1
3
m
．
3．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点
为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
和抛物线
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
，求GA
GB 的值．
10 / 1
【答案】(1)
2
1
2
4
y
x
x
(2)
2,5
E
(3)
1
2
【分析】（1）根据题意可求得A ，B 两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点P 的坐标，设二次函数解析
式的顶点式，再将点B 的坐标代入，即可求解；
（2）设直线PE 与x 轴交于F 点，过点P 作PH
x
轴于点H ，从而求得
45
PFH
BAO
APF
BAO
BPE
，得到PHF
为等腰直角三角形，由
1
PH
FH
，
2
OH
，
得到
3
OF
，
3,0
F
，利用待定系数法求得直线EF 的解析式为
3
y
x
，根据题意令
2
1
3
2
4
x
x
x
，
即可求解；
（3）设
1
,
2
2
G m
m
，再根据顶点式可表示出
1F 和
2
F 的解析式，由
4,0
A
在抛物线
1F 上，
0,2
B
在抛
物线
2
F 上，可得
2
1
1
4
2
0
2
a
m
m
①，
2
2
1
2
2
2
a m
m
②，与
1
2
2
0
a
a
③，联立即可确定点G 的
坐标，再过点G 作GK
x
轴于点K ，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数
1
2
2
y
x
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，
∴令
0
y
，即1
2
0
2 x
，解得
4
x ，
令
0
x
，
2
y
；
∴
4,0
A
，
0,2
B
，
∵点P 为线段AB 的中点，
∴
4
0 0
2
,
2
2
P
，即
2,1
P
，
∵二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
∴设二次函数解析式为
2
2
1
y
a x
，
将点
0,2
B
代入，得4
1
2
a
，解得
1
4
a
，
∴二次函数解析式为
2
2
1
1
2
1
2
4
4
y
x
x
x
；
（2）解：设直线PE 与x 轴交于F 点，过点P 作PH
x
轴于点H ，
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2,1
P
，
∴
2
OH
，
1
PH ，
∵
45
BPE
BAO
，
APF
BPE
，
∴
45
PFH
APF
BAO
BPE
BAO
，
又∵
90
PHF
，
∴PHF
为等腰直角三角形，
∴
1
FH
PH
，
∴
3
OF
OH
FH
，
∴点
3,0
F
，
设直线EF 的解析式为y
kx
b
，
将点
2,1
P
，
3,0
F
代入得：
2
1
3
0
k
b
k
b
，解得
1
3
k
b
，
∴直线EF 的解析式为
3
y
x
，
∴令
2
1
3
2
4
x
x
x
，解得
1
2
x
，
2
2
x （舍去），
∴
2,5
E
；
（3）解：设
1
,
2
2
G m
m
，
∴
2
1
1
2
2
y
a
x
m
m
，
2
2
1
2
2
y
a
x
m
m
，
∵
4,0
A
在抛物线
1F 上，
0,2
B
在抛物线
2
F 上，
∴
2
1
1
4
2
0
2
a
m
m
①，
2
2
1
2
2
2
a m
m
②，
∵
1
2
2
0
a
a
③，
12 / 1
∴联立①②③，得到
2
1
2
2
1
2
1
4
2
0
2
1
2
2
2
2
0
a
m
m
a m
m
a
a
，解得
1
8
3
m
，
2
4
m （舍去），
∴
8 2
,
3 3
G
，
如图，过点G 作GK
x
轴于点K ，
∴GK
y
∥轴，
∴
8
4
1
3
8
2
3
GA
AK
GB
OK
．
考点02 二次函数�= ���+ ��+ �的图象与性质
1．（2026·广东·中考真题）如图1，设O为坐标原点，二次函数
2
3
y
x
bx
的图象经过点
3,0
A
，与y
轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点C ，连接AB ，BC ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求cos
ABC
的值；
(3)如图2，动点P 在线段AB 上，过点P 作AB 的垂线PQ ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q ，求
2
BP
PQ
的最大值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
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(2) 2 5
5
(3) 25 2
8
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点C 作CT
AB
于点T ，先由勾股定理求解BC ，然后运用等积法求解CT ，再由勾股定理求解BT ，
即可求解cos
ABC
；
（3）过点Q 作QE
x
轴交AB 、x 轴于点
,
D E ，可得ADE
，QDP
为等腰直角三角形，设PQ
PD
m
，
则
2
QD
m
，设DE
AE
n
，则
2
AD
n
，表示出
3,
2
Q n
n
m
，将点
3,
2
Q n
n
m
代入
2
2
3
y
x
x
，整理得
2
2
3 2
2
2
m
n
n
，那么得到
2
2
3 2
2
3 2
2
2
2
BP
PQ
n
n
n
，整理得，
2
2
2
2
3 2
2
2
BP
PQ
n
n
，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
3
y
x
bx
的图象经过点
3,0
A
，
∴将点
3,0
A
代入
2
3
y
x
bx
，则9
3
3
0
b
解得
2
b
∴二次函数的解析式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：过点C 作CT
AB
于点T
对于
2
2
3
y
x
x
，当
0
x
时，
3
y
，
∴
0,3
B
，
∴
3
OB
，
∵
3,0
A
，
∴
3
OA ，
∴
2
2
3 2
AB
OA
OB
∵
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
14 / 1
∴对称轴为直线
1
x
∴
1,0
C
，
∴
1
OC ，
1
3
2
AC
∴
2
2
10
BC
OC
OB
，
∵CT
AB
∴1
1
2
2
AB CT
AC OB
∴
2 3
2
3 2
CT
，
∴
2
2
2 2
BT
BC
CT
∴在Rt BCT
中，
2 2
2 5
cos
5
10
BT
ABC
BC
；
（3）解：过点Q 作QE
x
轴交AB 、x 轴于点
,
D E ，
由（2）知
3
OA
OB
，
∵
90
AOB
∴
45
A
，
∴
45
ADE
QDP
，ADE
为等腰直角三角形
∵QP
AB
，
∴QDP
为等腰直角三角形，QP
DP
∴
2
2
2
QD
QP
DP
DP
设PQ
PD
m
，则
2
QD
m
，
同理设DE
AE
n
，则
2
AD
n
∴
3
OE
OA
AE
n
∴
3,
2
Q n
n
m
，
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将点
3,
2
Q n
n
m
代入
2
2
3
y
x
x
，
则
2
3
2
3
3
2
n
n
n
m
，
整理得，
2
2
3 2
2
2
m
n
n
，
∵
3 2
2
BP
AB
AP
n
m
∴
2
2
3 2
2
3 2
2
2
3 2
2
2
2
BP
PQ
n
m
m
n
n
n
整理得，
2
2
2
2
3 2
2
2
BP
PQ
n
n
设抛物线顶点为点F ，对称轴与线段AB 的交点为点G ，
∵
2
1
4
y
x
∴
1,4
F
，
同理可得ACG
为等腰直角三角形，
∴
2
CA
CG
，
∴
1,2
G
，
∴
2
2
2
2
2
2
1 0
4
3
1 0
3
2
4
BF
BG
，
2
2
4
2
4
FG
∴
2
2
2
BF
BG
FG
∴BF
AB
∴当点P 与点B 重合时，则点Q 与抛物线顶点F 重合，则点D 为抛物线对称轴与线段AB 的交点G ，
∴0
2
n
，
∵
2
0
2
∴当
2
1
2
2
2
2
2
n
时，
2
BP
PQ
取得最大值，
∴最大值为
2
2
1
2
1
25
3 2
2
2
2
2
2
8
．
2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图1，抛物线
12
6
y
a x
x
0
a
与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交
于
0,6 3
B
．
16 / 1
(1)求抛物线的解析式；
(2)将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C ，点D ，连接CD，AD ，作
OAD
的平分线交
CD于点E ．
①求点E 的坐标；
②如图2 ，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G ，连接DG 交抛物线于点H ，
连接EH ，当
DEH
DEF
时，求点H 的横坐标．
【答案】(1)
2
3
3
6 3
12
2
y
x
x
(2)①
6,2 3
E
；②3 5
3
【分析】
1 直接将
0,6 3
B
代入抛物线解析式，然后化成一般式即可；
2 ①由题意可得
12,0
A
，对称轴为
3
x
，进而得到
6,0 ,
6,6 3
C
D
，即得
6,
6,
6 3
OC
AC
CD
，
再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得
2 3
CE
，即可确定点E 的坐标；②过
点H 作HM
CD
于M ，则MH
CG
∥
，设
2
3
3
,
6 3
12
2
H h
h
h
，得
2
3
3
6,
6 3
12
2
M
h
h
，
即得
6
6
MH
h
h
，
2
2
3
3
3
3
6 3
6 3
12
2
12
2
DM
h
h
h
h
，
2
2
3
3
3
3
6 3
2 3
4 3
12
2
12
2
ME
h
h
h
h
，由DMH
DCG
∽
得到
72
CG
h
，再利用
tan
tan
DEH
CEG
解答即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
12
6
y
a x
x
0
a
与y 轴交于
0,6 3
B
，
∴
6 3
0 12
0
6
a
，
解得
3
12
a
，
∴
2
3
3
3
12
6
6 3
12
12
2
y
x
x
x
x
，
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即
2
3
3
6 3
12
2
y
x
x
；
（2）解：①∵抛物线
2
3
3
6 3
12
2
y
x
x
与x 轴负半轴交于点A ，
∴
12,0
A
，对称轴为直线
3
2
3
3
2
12
x
，
∵原点O，点B 关于抛物线对称轴
3
x
对称的点分别记为点C ，点D ，
∴
6,0
6,6 3
C
D
，
，
∴
6
6
12
6
6 3
0
6 3
OC
AC
CD
，
，
，
∴
6 3
tan
3
6
CD
OAD
AC
，
∴
60
OAD
，
∵AE 平分
OAD
，
∴
1
30
2
CAE
OAD
，
∵
3
tan
tan30
3
CE
CAE
AC
，
∴
3
6
3
CE
，
解得
2 3
CE
，
∴
6,2 3
E
；
②如图2 ，过点H 作HM
CD
于M ，则MH
CG
∥
，
设
2
3
3
,
6 3
12
2
H h
h
h
，则
2
3
3
6,
6 3
12
2
M
h
h
，
∴
6
6
MH
h
h
，
2
2
3
3
3
3
6 3
6 3
12
2
12
2
DM
h
h
h
h
，
18 / 1
2
2
3
3
3
3
6 3
2 3
4 3
12
2
12
2
ME
h
h
h
h
，
∵MH
CG
∥
，
∴DMH
DCG
∽
，
∴DM
MH
DC
CG
，即
2
3
3
6
12
2
6 3
h
h
h
CG
，
解得
72
CG
h
，
∵
DEH
DEF
，
DEF
CEG
，
∴
DEH
CEG
，
∴tan
tan
DEH
CEG
，
∴MH
CG
ME
CE
，即
2
72
6
3
3
2 3
4 3
12
2
h
h
h
h
，
解得
3 5
3
h
或
3 5
3
h
（不合题意，舍去），
∴点H 的横坐标为3 5
3
．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
4,0
B
，
0,4
C
，对称轴是直线
1
x ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
(2)3 秒
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(3)当
5
2
t
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4
【分析】（1）根据抛物线
2
y
ax
bx
c
过点
4,0
B
，
0,4
C
，对称轴是
1
x 求解即可；
（2）用待定系数法求出直线BC 的解析式为
4
y
x
，求出
3
2
DE
，根据四边形DENP 为平行四边形得
3
2
NP
DE
．设
2
1
,
4
2
P t
t
t
，
,
4
N t
t
，得出
2
1
3
2
2
2
PN
t
t
求解即可；
（3）根据
CQB
CPB
PCQB
S
S
S
四边形
列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
过点
4,0
B
，
0,4
C
，对称轴是直线
1
x ，
∴
16
4
0
4
1
2
a
b
c
c
b
a
，
解得
1
2
1
4
a
b
c
，
∴
2
1
4
2
y
x
x
；
（2）解：设直线BC 的解析式为
4
y
kx
，把
4,0
B
代入得，
0
4
4
k
，
解得
1
k ．
∴
4
y
x
．
∵
2
2
1
1
9
4
1
2
2
4
y
x
x
x
，
∴
9
1, 4
D
，
当
1
x 时，
1
4
3
y
，
∴
1,3
E
．
∴
9
3
3
2
2
DE
，
∵四边形DENP 为平行四边形，
∴
3
2
NP
DE
．
∵过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P，
20 / 1
∴设
2
1
,
4
2
P t
t
t
，
,
4
N t
t
，
∴
2
2
1
1
3
4
4
2
2
2
2
PN
t
t
t
t
t
，
解得1
2
1,
3
t
t
，
∵
9
1, 4
D
，
∴
1
t 不符合题意，舍去，
∴
3
t
；
（3）解：由题意，得
0.5
OQ
t
，则
4
0.5
BQ
t
，
由（2）得，
2
1
2
2
PN
t
t
．
∴
CQB
CPB
PCQB
S
S
S
四边形
1
1
2
2
BQ OC
PN OB
2
1
1
1
4
0.5
4
2
4
2
2
2
t
t
t
2
5
57
2
4
t
，
∵1
0
，
∴抛物线开口向下，
∴当
5
2
t
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4 ．
4．（2026·上海·中考真题）对于函数
2
0
y
ax
bx
c a
，对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移一个
单位得到点B ，使点C 与点B 的横坐标相等，且点C 的纵坐标为2a ，则称点C 为抛物线的“派生点”，并且
将直线AC 称为抛物线的“派生直线”．
(1)已知函数
2
2
3
y
x
，求该函数的“派生直线”解析式；
(2)已知点C 为某抛物线的“派生点”，点
1,
P
m 和
7,
Q
n 在其“派生直线”
2
6
y
x
上，且点P 是该抛物线与
其“派生直线”的交点，求PC
CQ 的值，并判断点Q 是否在抛物线上．
【答案】(1)
4
y
x
(2)
1
PC
CQ ，点Q 在抛物线上
【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式；
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（2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否
在抛物线上．
【详解】（1）解：已知函数
2
2
3
y
x
，可得
2
a
，
0
b
，二次函数对称轴为
0
2
b
x
a
，对称轴与x 轴
交点A 坐标为
0,0 ，
将A 向右平移1 个单位得到B ，
B 的横坐标为0 1 1
，
根据定义，C 横坐标为1，纵坐标为2
4
a
.即
1,4
C
，
设派生直线AC 解析式为y
kx
，
代入
1,4
C
得
4
k
．
因此该函数的派生直线解析式为
4
y
x
．
（2）解：由题意，A 是派生直线
2
6
y
x
与x 轴的交点，A 纵坐标为0 ，
将
0
y
代入
2
6
y
x
得0
2
6
x
，
解得
3
x
，因此
3,0
A
，
根据定义，B 横坐标为3 1
4
，因此C 横坐标为4 ，
将
4
x
代入
2
6
y
x
得
2
y
.
因此
4,2
C
，
将
1,
P
m 代入
2
6
y
x
得
4
m ，即
1, 4
P
，
将
7,
Q
n 代入
2
6
y
x
得
8
n
，即
7,8
Q
，
∴
2
2
(4 1)
(2
4 )
3 5
PC
，
2
2
(7
4)
(8
2)
3 5
CQ
，
3 5
1
3 5
PC
CQ
，
由定义，抛物线对称轴为
3
x
，
C 纵坐标为2
2
a
，得
1
a ，
设抛物线解析式为
2
(
3)
y
x
k
，
22 / 1
∵
1, 4
P
在抛物线上，代入得
2
4
(1 3)
k
，
解得
8
k ，
∵抛物线解析式为
2
2
(
3)
8
6
1
y
x
x
x
，
∴将
7
x
代入抛物线解析式得
2
7
6 7 1
8
y
，与Q 的纵坐标相等，
因此点Q 在抛物线上．
5．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数
2
1
y
ax
bx
．
(1)若该二次函数的图象经过点3,4
（
），且关于直线
1
x 对称，求二次函数的解析式；
(2)当
2
3
a
时，该二次函数的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且ABC
是等腰三角形，
求ABC
的面积；
(3)当
1
b 时，点
1
1,
D
y
（
），
2
2,
E
y
（
）在该二次函数的图象上，若
1
2
y
y
，求二次函数在0
1
x
上的最大值m
的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
y
x
x
(2) 5
8
(3)
5
1
3
m
【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得
0,1
C
，设该二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为
1,0
A x
，
2,0
B x
，当
0
y
时，
则有
2
2
1
0
3 x
bx
，那么
1
2
,
x x 是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：
1
2
3
2
x x
，然后根
据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可；
（3）由题意易得
2
1
y
ax
x
，然后根据
1
2
y
y
可得
1
3
a
，则有该二次函数的对称轴范围为
1
3
0
2
2
a
，
进而根据二次函数的性质分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵该二次函数
2
1
y
ax
bx
的对称轴为直线
1
x ，
∴
1
2
b
x
a
，即
2
b
a
，
∵该二次函数的图象经过点3,4
（
），
∴9
3
1
4
a
b
，
把
2
b
a
代入得：
9
3
2
1
4
a
a
，
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解得：
1
a ，
∴
2
b ，
∴该二次函数的解析式为
2
2
1
y
x
x
；
（2）解：当
2
3
a
时，则有
2
2
1
3
y
x
bx
，
令
0
x
，则有
1
y ，即
0,1
C
，
∴
1
OC ，
设该二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为
1,0
A x
，
2,0
B x
，不妨设
1
2
x
x
，
当
0
y
时，则有
2
2
1
0
3 x
bx
，那么
1
2
,
x x 是该方程的两个不等实数根，
∴根据根与系数的关系可得：
1
2
3
2
x x
，
∴根据两点间距离公式可得：
2
2
2
2
1
1
0
0 1
1
AC
x
x
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
3
2
2
3
2
AB
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
0
0 1
1
BC
x
x
，
当该二次函数的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，且在y 轴的右侧，
∵ABC
是等腰三角形，
∴AC
AB
，
∴
2
2
2
1
1
2
1
3
x
x
x
，解得：
2
2
x
（负根舍去），
∴把
2
2
x
代入
2
2
1
0
3 x
bx
得：2
4
2
1
0
3
b
，解得：
11
6
b
，
∴
2
2
11
1
0
3
6
x
x
，解得：
1
2
3 ,
2
4
x
x
，
∴
3
5
2
4
4
AB
，
∴
1
5
2
8
ABC
S
AB OC
；
当该二次函数的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，且在y 轴的左侧，
∵ABC
是等腰三角形，
∴BC
AB
，
同理可得：
1
5
2
8
ABC
S
AB OC
；
综上所述：ABC
的面积为5
8 ；
（3）解：当
1
b 时，则有
2
1
y
ax
x
，
24 / 1
∵点
1
1,
D
y
（
），
2
2,
E
y
（
）在该二次函数的图象上，
∴
1
2
2,
4
3
y
a
y
a
，
∵
1
2
y
y
，
∴
2
4
3
a
a
，解得：
1
3
a
，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线
1
2
x
a
，
∵
1
3
a
，
∴
2
2
3
a
，即
1
3
0
2
2
a
，
∴当
1
3
1
2
2
a
时，即
1
1
2
3
a
，此时二次函数在0
1
x
上，y 随x 的增大而增大，
∴二次函数在0
1
x
上的最大值为
2
m
a
，
∵
1
1
2
3
a
，
∴3
5
2
3
m
，
当
1
0
1
2a
时，即
1
2
a
，
∴二次函数在0
1
x
上的最大值为
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
2
4
m
a
a
a
a
a
a
，
∵
1
2
a
，
∴4
2
a
，即
1
1
0
4
2
a
，
∴
3
1
2
m
；
综上所述：最大值m 的取值范围为
5
1
3
m
．
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
( 3,0)
A
、
(1,0)
B
两点，与y 轴交于点
(0, 3)
C
．
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(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐标；
(3)如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M
，直线
1
y
kx
k
（k 为常数）交
抛物线于E 、F
两点（点E 、F
分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P ，直线NE 交x
轴于点Q ．试探究MP MQ
是否为定值？若为定值，求出MP MQ
的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)四边形ABCD面积的最大值为75
8 ；点D 的坐标为
3
15
,
2
4
(3)是定值，定值为16
3
【分析】（1）先写出交点式，再代入点C 坐标求解即可；
（2）过点D 作DT
y
轴，交AC 于点T ，可求直线
:
3
AC y
x
，根据
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
四边形
，可得当
ACD
面积最大时，四边形ABCD面积最大，设
2
,
2
3
D d d
d
（3
0
d
），则
,
3
T d
d
，那么
2
3
DT
d
d
，再由
ACD
DTC
TDA
S
S
S
，得到
2
3
9
2
2
ACD
S
d
d
，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）不妨设点E 、F 分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点
1, 4
N
，则
1,0
M
，设
2
1
1
1
,
2
3
E x x
x
，
2
2
2
2
,
2
3
F x
x
x
，联立直线
1
y
kx
k
与抛物线
2
2
3
y
x
x
，整理得，
2
2
2
0
x
k x
k
，则
1
2
1
2
2,
2
x
x
k
x x
k
，可求直线
1
1
:
1
3
NE y
x
x
x
，求出
1
1
3
,0
1
x
Q x
，同理可得
2
2
3
,0
1
x
P
x
，
则
1
1
1
3
4
1
1
1
x
MQ
x
x
，
2
2
2
3
4
1
1
1
x
MP
x
x
，即可求解MP MQ
．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
( 3,0)
A
、
(1,0)
B
两点，
∴
3
1
y
a x
x
∵抛物线与y 轴交于点
(0, 3)
C
26 / 1
∴3
3
a
，
解得
1
a
∴抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：过点D 作DT
y
轴，交AC 于点T ，
设直线
:
AC y
px
q
，
代入
( 3,0)
A
，
(0, 3)
C
可得，
3
0
3
p
q
q
解得
1
3
p
q
∴直线
:
3
AC y
x
∵
1
1
1
3
3
6
2
2
ABC
ACD
ACD
ACD
ACD
ABCD
S
S
S
AB
OC
S
S
S
四边形
∴当ACD
面积最大时，四边形ABCD面积最大，
设
2
,
2
3
D d d
d
（3
0
d
），则
,
3
T d
d
∴
2
2
3
2
3
3
DT
d
d
d
d
d
，
∴
2
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
ACD
DTC
TDA
C
T
T
A
C
A
S
S
S
TD x
x
TD x
x
TD x
x
d
d
，
即
2
2
3
9
3
3
27
2
2
2
2
8
ACD
S
d
d
d
∵
3
0
2
，3
0
d
，
∴当
3
2
d
时，ACD
的面积最大为27
8 ，
∴四边形ABCD面积最大值为
27
75
6
8
8
，
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∴此时点D 纵坐标为
2
3
3
15
2
3
2
2
4
y
，
∴点D 的坐标为
3
15
,
2
4
；
（3）解：MP MQ
是定值，
如图，不妨设点E 、F 分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴顶点
1, 4
N
∴
1,0
M
设
2
1
1
1
,
2
3
E x x
x
，
2
2
2
2
,
2
3
F x
x
x
联立直线
1
y
kx
k
与抛物线
2
2
3
y
x
x
，
则
2
1
2
3
y
kx
k
y
x
x
整理得，
2
2
2
0
x
k x
k
，
∴
1
2
1
2
2,
2
x
x
k
x x
k
，
设直线
1
1
:
NE y
k x
b
，则
1
1
2
1 1
1
1
1
4
2
3
k
b
k x
b
x
x
解得
1
1
1
1
1
3
k
x
b
x
∴直线
1
1
:
1
3
NE y
x
x
x
，
令
0
y
，则
1
1
1
3
0
x
x
x
，解得
1
1
3
1
x
x
x
，
28 / 1
∴
1
1
3
,0
1
x
Q x
，同理可得
2
2
3
,0
1
x
P
x
，
∴
1
1
1
3
4
1
1
1
x
MQ
x
x
，
2
2
2
3
4
1
1
1
x
MP
x
x
，
∴
2
1
2
1
1
2
1
2
4
4
16
16
16
16
1
1
1
1
1
2
2
1
3
MP MQ
x
x
x
x
x x
x
x
k
k
．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数
2
y
ax
bx
c
与一个一次函数y
mx
n
求和，可以得到一
个新的二次函数
2
y
ax
b
m x
c
n
，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的
“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
(1)若二次函数
2
y
x
对一次函数y
mx
n
“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为
2,0
，
4,0 ，
求m，n 的值；
(2)已知二次函数
2
2
3
y
x
x
对一次函数y
mx
n
“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与
2
2
3
y
x
x
的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数y
mx
n
的图像交于A，B 两点．当ABM
的面积为
4 时，求m 的值．
【答案】(1)
2,
8
m
n
(2)①
1
n ；②
1
2
3
4
2 2,
2 2,
2 6,
2 6
m
m
m
m
【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把
2,0
，
4,0 代入求解即可；
（2）①先求出
2
2
3
y
x
x
的最小值为4
，根据吸收函数定义写出表达式为
2
2
3
y
x
m
x
n
，根
据二次函数的性质得出
2
4
3
(
2)
4
4
n
m
，化简得
2
(
2)
1
4
m
n
，最后根据非负数的性质和不等式的
性质求解即可；
②过点M 作y 轴平行线l 交AB 于点N ，过点
,
A B 分别作l 的垂线段，垂足为
,
C D ．联立吸收函数表达式
和一次函数表达式，并化简得出
2
2
3
0
x
x
，解方程求出A、B 两点的横坐标分别是
1
1
3.
B
x
x
､
则
4
A
B
x
x
，根据M 为“吸收函数”的顶点，得出
2
2
M
N
m
x
x
，根据可求出
2
1
4
4
MN
m
，结合ABM
的面积为4 得出
2
1
8
4
2 m
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为
2
y
x
mx
n
．
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根据题意，得
4
2
0
16
4
0
m
n
m
n
，
解得
2
8
m
n
；
（2）解：①
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，
2
2
3
y
x
x
的最小值为4
．
由题意，吸收函数的表达式为
2
2
3
y
x
m
x
n
．
根据题意，得
2
4
3
(
2)
4
4
n
m
．
2
(
2)
1
4
m
n
，
2
2
0
m
，
2
2
1
1
4
m
，即
1
n ，
m
为一次函数的系数即
0
m
，
考虑到当
0
m
时，
2
0
2
1
0
4
n
，
但当
4
m 时，
2
4
2
1
0
4
n
，
故
0
n
可取，
综上所述，
1
n
；
②如图，过点M 作y 轴平行线l 交AB 于点N ，过点
,
A B 分别作l 的垂线段，垂足为
,
C D ．
30 / 1
根据题意，列出方程组为
2
2
3
y
x
m
x
n
y
mx
n
①，
②．
把②代入①得：
2
2
3
mx
n
x
m
x
n
，
即
2
2
3
0
x
x
．
解得
1
2
1,
3
x
x
．
∴点
,
A B 的横坐标分别是
1
1
3.
B
x
x
､
4
A
B
x
x
，
M
为“吸收函数”的顶点，
2
2
M
N
m
x
x
，
2
2
2
3
2
3
N
M
N
M
M
M
M
MN
y
y
mx
n
x
m
x
n
x
x
．
2
2
2
2
1
2
3
4
2
2
4
m
m
MN
m
．
ABM
的面积
2
2
1
1
1
1
4
4
8
2
2
4
2
A
B
MN x
x
m
m
．
ABM
△
的面积为4 ，
2
1
8
4
2 m
，
解得
1
2
3
4
2 2,
2 2,
2 6,
2 6
m
m
m
m
．
8．（2026·湖南·中考真题）【问题背景】
如图1 ，给定平行四边形ABCD，点P 是AD 边上不与A ，D 重合的一动点．如图2 ，作XYZ
，使得XY
AD
，
且当点P 运动时，保持
X
ABP
，
Y
DCP
．
【动手操作】
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将XYZ
拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X 与A 重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q ，作QS
AB
交AD 于点S ；
操作二：如图4 ，使点X 与D 重合，点Y 与A 重合，将此时的Z 点记为R ，连接RP ．
【问题解决】
(1)如图1 ，当
80
BPC
时，
APB
DPC
________°；
(2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明；
①ASQ
BAP
∽
，②DSQ
CDP
∽
；
(3)如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
(4)如图4 ，设
4
AD
，
3
AB
，当点P 运动时，求PR
PD
的最大值．
【答案】(1)100
(2)解：选择①ASQ
BAP
∽
，
证明：∵QS
AB
，
∴
ASQ
BAP
，
又
QAS
ABP
，
∴ASQ
BAP
∽
；
选择②DSQ
CDP
∽
，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
CD
∥
，AB
CD
，
又QS
AB
，
∴QS
CD
，
∴
QSD
PDC
，
又
QDS
DCP
，
∴DSQ
CDP
∽
；
(3)解：AP
DS
，
理由：∵ASQ
BAP
∽
，DSQ
CDP
∽
，
∴SQ
AS
AP
AB
①，SQ
DS
DP
CD
，
∵AB
CD
，
∴SQ
DS
DP
AB
②，
由①得AB SQ
AP AS
，
32 / 1
由②得AB SQ
DP DS
，
∴AP AS
DP DS
，
∴
AP
AD
SD
AD
AP
DS
，
∴AP AD
AP SD
AD DS
AP DS
，
∴AP AD
AD DS
，
∴AP
DS
；
(4) 49
12
【分析】（1）根据平角定义求解即可；
（2）选择①：根据平行线的性质得出
ASQ
BAP
，结合
QAS
ABP
即可得证；选择②：根据平行四
边形的性质和平行线的传递性得出QS
CD
，根据平行线的性质得出
QSD
PDC
，结合
QDS
DCP
即可得证；
（3）根据（2）中∵ASQ
BAP
∽
，DSQ
CDP
∽
，可得出AB SQ
AP AS
，AB SQ
DP DS
，则
AP AS
DP DS
，变形为
AP
AD
SD
AD
AP
DS
，则AP AD
AP SD
AD DS
AP DS
，得出
AP AD
AD DS
，然后根据等式的性质即可得出结论；
（4）根据题意，得图3 中ADQ
和图4中DAR
全等，得出DQ
AR
，由图3 中DSQ
CDP
∽
，得出QD
DS
PC
CD
，
结合AP
DS
，得出AR
AP
PC
CD
，则可证明ARP
CPD
∽
，设PD
x
，则
4
AP
x
，根据相似三角形的性
质求出
2
4
3
x
x
PR
，则
2
4
3
x
x
PR
PD
x
，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
80
BPC
，
∴
180
100
APB
DPC
BPC
；
（2）略
（3）略
（4）解：根据题意，得图3 中ADQ
和图4 中DAR
全等，
∴DQ
AR
，
∵图3 中DSQ
CDP
∽
，
∴QD
DS
PC
CD
，
由（3）知：AP
DS
，
∴AR
AP
PC
CD
，
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33 / 141
又
RAP
DCP
，
∴ARP
CPD
∽
，
∴AR
AP
PR
PC
DC
PD
，
设PD
x
，则
4
AP
x
，
∴4
3
x
PR
x
，
解得
2
4
3
x
x
PR
，
∴
2
4
3
x
x
PR
PD
x
2
1
7
3
3
x
x
2
1
7
49
3
2
12
x
，
∴当
7
2
x
时，PR
PD
取最大值为49
12 ．
9．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴
随对称抛物线”．
(1)试判断
2
4
4
y
x
x
与
2
2
y
x
x
是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
(2)如图1，若
1
C ：
2
1
1
1
y
a
x
h
k
与
2
C ：
2
2
2
2
y
a
x
h
k
互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为
1A ，
2
A ，
记
1
C ，
2
C 组成的图形为C ．
①试猜想
1a 与
2a 的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C 为中心对称图形，请确定C 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若
1
C ：
2
y
x
，
2
0
h
，
1
B ，
2
B 分别为
1
C ，
2
C 上的点，且四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，求
2
2
2
2
1
1
h
h
h
的值．
34 / 1
【答案】(1)解：
2
4
4
y
x
x
与
2
2
y
x
x
互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
2
2
4
4
2
y
x
x
x
的顶点为
2,0 ，
将
2
x
代入
2
2
y
x
x
中，得
2
2
2 2
0
y
，
即
2
2
y
x
x
经过
2,0 ．
2
2
2
1
1
y
x
x
x
的顶点为
1,1 ，
将
1
x 代入
2
4
4
y
x
x
中，得
21
4 1 4
1
y
，
即
2
4
4
y
x
x
经过
1,1 ．
故
2
4
4
y
x
x
与
2
2
y
x
x
互为“伴随对称抛物线”．
(2)①
1
2
0
a
a
，证明如下：
∵
1
C ：
2
1
1
1
y
a
x
h
k
与
2
C ：
2
2
2
2
y
a
x
h
k
∴
1
1
1
,
A h k
，
2
2
2
,
A
h k
，
∵若
1
C ：
2
1
1
1
y
a
x
h
k
与
2
C ：
2
2
2
2
y
a
x
h
k
互为“伴随对称抛物线”，
2
1
2
1
2
2
k
a
h
h
k
，
2
2
1
2
1
1
k
a
h
h
k
，
两式相加得
2
1
2
1
2
0
a
a
h
h
．
1
2
h
h
，
1
2
0
a
a
．
②C 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点；
③
2
2
2
2
1
1
4
h
h
h
【分析】（1）分别求出
2
4
4
y
x
x
与
2
2
y
x
x
的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可；
（2）①先求出
1
1
1
,
A h k
，
2
2
2
,
A
h k
，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出
2
1
2
1
2
2
k
a
h
h
k
，
2
2
1
2
1
1
k
a
h
h
k
，两式相加即可解答；
②根据C 为中心对称图形，可得C 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点，即可解答；
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③根据题意得出
2
1
1
a
a
，则
2
C ：
2
2
2
y
x
h
k
．设
1
2
A A 与
1
2
B B 相交于点P ，根据四边形
1
1
2
2
A B A B
为正方形，得出P 为C 的对称中心，
2
2
,
2
2
h
k
P
．过点P 作直线l
y
轴，垂足为M ，过点
1
B 作
1B N
l
，垂
足为N ．证明
1
1
PB N
A PM
△
≌△
，得出
1
PN
A M
，1B N
PM
．设
1
1
1
,
B x y
，得出
2
2
1
2
h
k
x
，
2
2
1
2
h
k
y
．结
合
2
2
2
k
h
，点
1
B 在
1
C 上，可得
3
2
2
2
2
2
2
h
h
h
，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：①略
②∵C 为中心对称图形，
∴C 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点．
③
1
C
：
2
y
x
，
1
2
0
a
a
，
∴
1
1
a ，
2
1
1
a
a
，
2
C
：
2
2
2
y
x
h
k
，
∴
1 0,0
A
，
2
2
2
,
A
h k
，
2
2
2
k
h
，
如图，设
1
2
A A 与
1
2
B B 相交于点P ，
∵四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，
P
为C 的对称中心，
1
2
1
2
1
1
,
A A
B B B P
A P
，
2
2
,
2
2
h
k
P
．
过点P 作直线l
y
轴，垂足为M ，过点
1
B 作
1B N
l
，垂足为N ．
则
1
1
1
1
1
,
90
B NP
A MP
B PN
MA P
MPA
，
∴
1
1
PB N
A PM AAS
≌
，
36 / 1
∴
1
PN
A M
，
1B N
PM
．
设
1
1
1
,
B x y
，
则
2
2
1
2
2
h
k
x
，
2
2
1
2
2
k
h
y
，即
2
2
1
2
h
k
x
，
2
2
1
2
h
k
y
．
又
2
2
2
k
h
，
2
2
2
1
2
h
h
x
，
2
2
2
1
2
h
h
y
．
∵点
1
B 在
1
C 上，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
h
h
，化简整理得
3
2
2
2
2
2
2
h
h
h
，
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
4
h
h
h
h
h
h
h
h
．
10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
y
ax
bx
的图象与x 轴相交于
A，B 两点，与y 轴相交于点C，连接AC ，已知点
1,0
A
，对称轴为直线
1
x ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P 是直线BC 上一个动点，连接PA ，PO ，当PA
PO
的长度最小时，求点P 的坐标；
(3)点Q 是二次函数图象上一个动点，当
BCQ
ACO
时，请直接写出点Q 的坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)
9 12
,
7
7
P
(3) 5 7
,
2 4
或
4, 5
【分析】（1）代入点
1,0
A
坐标以及利用对称轴公式求解即可；
（2）过点A 关于直线BC 的对称点A，连接
,
,
BA PA OA
，由于PA
PO
PA
PO
A O
，故当点
, ,
A P O
三
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点共线时，PA
PO
取得最小值，此时点P 为A O
与直线BC 的交点，然后求出
3,4
A
，则直线
4
:
3
OA
y
x
，
再求出直线
:
3
BC y
x
，联立即可求解交点P 的坐标；
（3）分两种情况讨论，点Q 在直线BC 上方或者点Q 在直线BC 下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解
即可．
【详解】（1）解：由抛物线
2
3
y
ax
bx
经过点
1,0
A
，对称轴为直线
1
x
得，
3
0
1
2
a
b
b
a
解得
1
2
a
b
，
∴抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：过点A 关于直线BC 的对称点A，连接
,
,
BA PA OA
，
∴PA
PO
PA
PO
A O
，当点
, ,
A P O
三点共线时，PA
PO
取得最小值，此时点P 为A O
与直线BC 的
交点，
对于
2
2
3
y
x
x
，当
0
x
时，
3
y
∴
0,3
C
∵
1,0
A
，对称轴为直线
1
x
∴
3,0
B
∴
3
OB
OC
，而
90
BOC
∴
45
OBC
OCB
，
由对称可得，
45
OBC
A BC
，
3
1
4
BA
BA
∴
45
45
90
ABA
38 / 1
∴
3,4
A
设直线
:
OA
y
kx
则3
4
k
，解得
4
3
k
∴直线
4
:
3
OA
y
x
设直线
1
1
:
BC y
k x
b
∴
1
1
1
3
0
3
k
b
b
解得
1
1
1
3
k
b
∴直线
:
3
BC y
x
联立
3
4
3
y
x
y
x
，
解得
9
7
12
7
x
y
∴点
9 12
,
7
7
P
；
（3）解：当点Q 在直线BC 上方时，过点B 作BG
CB
交射线CQ 于点G ，
∵
BCQ
ACO
∴
1
tan
tan
3
BG
OA
BCQ
ACO
CB
OC
，
过点G 作GH
x
轴于点H ，
∴
90
BOC
GHB
∵BG
CB
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∴
90
CBO
BGH
HBG
∴BHG
COB
∽
∴
1
3
BG
HG
BH
BC
BO
CO
∴
1
3
3
3
HG
BH
∴
1
GH
BH
∴
4,1
G
∵
0,3
C
，
同理可求直线
1
:
3
2
CG y
x
，
与抛物线表达式联立可得，
2
2
3
1
3
2
y
x
x
y
x
解得
0
3
x
y
或
5
2
7
4
x
y
∴
5 7
,
2 4
Q
；
当点Q 在直线BC 下方时，设直线CQ 与x 轴交于点T ，取点
9,0
E
，连接CE ，
则
3
1
tan
9
3
CO
E
OE
∵
1
tan
3
BCQ
∴tan
tan
E
BCQ
∴
E
BCQ
∵
CBT
EBC
∴CBT
EBC
∽
∴BC
BE
BT
BC
∴
2
2
2
2
3
3
3
9
3
3
BT
∴
3
2
BT
∴
3
3
3
2
2
OT
40 / 1
∵
0,3
C
，
同理可求直线
:
2
3
CQ y
x
，
与抛物线表达式联立可得，
2
2
3
2
3
y
x
x
y
x
解得
0
3
x
y
或
4
5
x
y
∴
4, 5
Q
，
综上：点Q 的坐标为5 7
,
2 4
或
4, 5
．
11．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数
2
2 3
3
y
x
m
x
m
，m 为常数．
(1)当
0
m
时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
1
x
时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点A ，且点A 到x 轴的距离为21，求点A 到对称轴的距离．
【答案】(1)直线
3
x
(2) 3
1
3
m
(3)3 3
【分析】（1）把
0
m
代入
2
2 3
3
y
x
m
x
m
，进一步求解即可；
（2）求解抛物线的对称轴为直线
2 3
2
2
2 3
3
2 1
2
m
m
x
m
，结合题意可得1
3
0
m
，进
一步求解即可；
（3）解方程
2
2 3
3
21
x
m
x
m
或
2
2 3
3
21
x
m
x
m
，结合抛物线的性质可得答案．
【详解】（1）解：当
0
m
时，
二次函数为：
2
2 3
3
y
x
x
，
∴二次函数的对称轴为直线
2 3
3
2 1
x
．
（2）解：∵
2
2 3
3
y
x
m
x
m
2
2
2
2 3
2 3
3
x
mx
m
x
m
2
2
2 3
2
2 3
3
x
m x
m
m
，
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抛物线的对称轴为直线
2 3
2
2
2 3
3
2 1
2
m
m
x
m
，
∵当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
1
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴1
3
0
m
，
解得：
3
1
3
m
，
∴m 的取值范围为：
3
1
3
m
．
（3）解：∵
2
2 3
3
y
x
m
x
m
的对称轴为直线
3
x
m
，
而该二次函数的图象上有一点A ，且点A 到x 轴的距离为21，
∴
21
A
y
，
当
21
A
y
时，
∴
2
2 3
3
21
x
m
x
m
，即
2
2 3
24
0
x
m
x
m
，
∴
2 3
4 3
0
x
m
x
m
，
解得：
1
2 3
x
m
，
2
4 3
x
m
，
∴
2 3,21
A m
或
4 3,21
A m
，
∴点A 到对称轴的距离为：
3
2 3
3 3
m
m
．
当
21
A
y
时，
2
2 3
3
21
x
m
x
m
，即
2
2 3
18
0
x
m
x
m
，
∴
2
Δ
2 3
4 1 18
12
72
60
0
，
∴方程无解，
综上：点A 到对称轴的距离为：3 3 ．
考点03 二次函数的对称及最值问题
1．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线
2
3
2
0
y
x
a
x
a
a
．
(1)求抛物线顶点的纵坐标；
42 / 1
(2)点
1
3
, 2
A x
，
2
3
, 2
B x
，（
1
2
x
x
）都在抛物线上．
（i）求
1x
a 的值；
（ⅱ）设a 为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m ，请比较m 与2
2
a
的大小，并说明理由．
【答案】(1)3
(2)（i）2
2
2
；（ⅱ）当
1,2,3
a
时，
2
2
m
a
；当
4
a
时，
2
2
m
a
．
理由如下：由（i）得
2
1
2
AB
x
x
a
，已知
2
1.414
，
2
1
m
a
显然成立，
令
2
1
2
2
a
a
，解得
3 2
3
5.121
2
a
，
也就是说，当
6
a
时，
2
2
m
a
恒成立，
故只用讨论
1,2,3,4,5
a
的情形：
1
a 时，
1
2
2
2
1
0.293,
1
1.707
2
2
x
x
，故整数点只有
1
x ，
1,2
2
0
m
a
，
2
2
m
a
；
2
a
时，
1
2
2
2
0.586,
2
2
3.414
x
x
，故整数点有
1,
2,
3
x
x
x
，
3,2
2
2
m
a
，
2
2
m
a
；
3
a
时，
1
2
3 2
3 2
3
0.879,
3
5.121
2
2
x
x
，故整数点有
1,
2,
3,
4,
5
x
x
x
x
x
，
5,2
2
4
m
a
，
2
2
m
a
；
4
a
时，
1
2
4
2 2
1.172,
4
2 2
6.828
x
x
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6
x
x
x
x
x
，
5,2
2
6
m
a
，
2
2
m
a
；
5
a
时，
1
2
5 2
5 2
5
1.465,
5
8.535
2
2
x
x
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
x
x
x
x
x
x
x
，
7,2
2
8
m
a
，
2
2
m
a
；
综上所述，当
1,2,3
a
时，
2
2
m
a
；当
4
a
时，
2
2
m
a
．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与x 轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出
顶点纵坐标；
（2）（i）根据点
,
A B的纵坐标，令
3
2
y
求出
1
2
,
x x ，即可求出
1x
a
（ⅱ）根据（i）求出
2
1
2
AB
x
x
a
，那么m 不可能超过
2
1
a ，令
2
1
2
2
a
a
，可知
6
a
时，
2
2
m
a
恒成立，故只用对
1,2,3,4,5
a
依次分类讨论即可．
【详解】（1）解：令
0
y
，求得抛物线与x 轴的两个交点为
0,0 , 2 ,0
a
，
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43 / 141
则抛物线的对称轴为
0
2
2
a
x
a
，
把x
a
代入抛物线解析式得
2
3
2
y
a
a
a
a
解得
3
y
，即为抛物线顶点的纵坐标．
（2）解：（i）令
3
2
y
，可得
2
2
2
a
x
a
x
，
即
2
2
2
0
2
a
x
ax
，
1
2
x
x
，
故解得
1
2
2
2
2
2
,
2
2
x
a x
a
，
1
2
2
2
x
a
；
（ⅱ）略
2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效
益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收
支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y （单位：元）与当日充电汽车数量x （单位：辆）之间的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
y
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量x 之间满足：
2
1
20
500
4 x
x
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求y 与x 的函数关系式，并计算当
40
x
时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x 的值，并写出该充电站收入y 与x 的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y
mx
，成本关系保持
不变．已知当汽车数量为80 辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的m 值，
并说明理由．
【总结反思】
44 / 1
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，
后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【答案】(1) y 与x 的函数关系式为
50
y
x
，当
40
x
时，该充电站的收入为2000 元
(2) x 的值为20 或100，收入y 与x 的新关系式为
2
1
20
500
4
y
x
x
(3)
60
m
，理由如下：
设净收益为W，
∴
2
2
1
1
20
500
20
500
4
4
W
mx
x
x
x
m
x
，
1
0
4
，
二次函数图象开口向下，
∴当
20
2
40
1
2
4
m
x
m
时W 取得最大值，
由题意得，
80
x
时净收益最大，
∴2
40
80
m
解得
60
m
．
【分析】（1）观察表格数据可判断y 是x 的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入
40
x
计算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结
合顶点横坐标为80 即可求出m 的值．
【详解】（1）解：由表格数据可知y 与x 成正比例关系，设y
kx
，
将
1
x ，
50
y
代入得
50
k
，
∴y 与x 的函数关系式为
50
y
x
，
当
40
x
时，
50 40
2000
y
（元）；
（2）解：收支平衡满足y
，
∴
2
1
50
20
500
4
x
x
x
2
120
2000
0
x
x
20
100
0
x
x
解得
1
20
x
，
2
100
x
，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入y 与x 的新关系式为
2
1
20
500
4
y
x
x
；
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（3）略
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
4
0
y
ax
bx
a
与x 轴交于点
2,0
A
，
4,0
B
，与y 轴交于
点C ，作直线AC ，BC ，点P 为第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PD
x
轴，垂足为D ，PD 交直线
BC 于点E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PE 的最大值及PE 最大时点P 的坐标；
(3)如图2，若将抛物线
2
4
y
ax
bx
沿射线AC 方向平移5 个单位长度，得到新抛物线，点Q 为新抛物线
上一点，且
CBQ
ACB
∠
∠
，则点Q 的坐标为；
(4)当PE 最大时，作直线OE ，若点M 为直线BC 上的一个动点，连接OM ，将线段OM 绕点O顺时针旋转
90得到OM，取OM的中点N ，过点N 作NF
OE
，垂足为F ，连接AN ，PF ，则AN
PF
的最小值
为．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
(2) PE 的最大值为2，此时点P 的坐标为
2,4
(3)
5,2 或3
61
5
61
,
2
4
(4)5 2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点
2
1
,
4
2
P p
p
p
，求得直线BC 的解析式为
4
y
x
，则
,
4
E p
p
可得
2
1
2
2 0
4
2
PE
p
p
，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点Q 位置：当Q 在x 轴上方时，由
CBQ
ACB
46 / 1
得BQ
AC
，联立直线与抛物线求交点得
5,2
Q
；当Q 在x 轴下方时，由角度关系得
1
tan
tan
2
DBQ
ACO
，列方程解得
3
61
5
61
,
2
4
Q
；
（4）由（2）知，
2,4
P
，
2,2
E
，直线BC 的解析式为
4
y
x
，设
,
4
M m
m
，则
4,
M
m
m
，
4 ,
2
2
m
m
N
求得直线OE 的解析式为y
x
，设
,
F t t ，易得NF 与x 轴所形成的锐角为45，进而得到
1,
1
N t
t
，则
2
2
3
1
AN
t
t
，设
3,1
G
，
2
2
2
2
3
1
2
4
AN
PF
FG
PF
t
t
t
t
，问题转化为求直线OE 上的点F 到点
3,1
G
和
点
2,4
P
的距离和的最小值，求出点G 关于直线y
x
的对称点
1, 3
G
，则AN
PF
的最小值为G P的长
度，利用两点间距离公式求得G P即可求解．
【详解】（1）解：将
2,0
A
，
4,0
B
代入抛物线的解析式
2
4
y
ax
bx
，得
4
2
4
0
16
4
4
0
a
b
a
b
，解得
1
2
1
a
b
．
抛物线的解析式为
2
1
4
2
y
x
x
；
（2）解：设点
2
1
,
4
2
P p
p
p
，
当
0
x
时，
2
1
4
4
2
y
x
x
．
0,4
C
．
设直线BC 的解析式为
4
y
kx
，
4,0
B
，
∴4
4
0
k
，则
1
k ，
∴直线BC 的解析式为
4
y
x
，
PD
x
轴，
,
4
E p
p
．
2
2
1
1
4
4
2
2
2
PE
p
p
p
p
p
2
1
2
2 0
4
2 p
p
，
1
0
2
，
∴当
2
p
时，PE 的值最大，最大值为2，此时点P 的坐标为(
)
2,4 ；
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（3）解：对于
2
1
4
2
y
x
x
，当
0
x
时，
4
y
，则
0,4
C
，
∵
2,0
A
，
2
2
5
1
2
，
∴将抛物线
2
1
4
2
y
x
x
沿射线AC 方向平移5 个单位长度，相当于将抛物线
2
1
4
2
y
x
x
先向右平
移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为
2
2
1
1
9
1
1
4
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
，
分两种情况：
当点Q 在x 轴上方时，如图，
设直线AC 的解析式为
1
4
y
k x
，
将
2,0
A
代入，得
1
0
2
4
k
，解得
1
2
k
，
∴直线AC 的解析式为
2
4
y
x
，
∵
CBQ
ACB
∠
∠
，
∴BQ
AC
∥
，
∴设直线BQ 的解析式为
1
2
y
x
b
，
将
4,0
B
代入，得
1
0
8
b
，解得
1
8
b ，
∴直线BQ 的解析式为
2
8
y
x
，
联立方程组
2
2
8
1
9
2
2
2
y
x
y
x
x
，解得
5
2
x
y
或
5
18
x
y
（舍去），
∴
5,2
Q
；
当点Q 在x 轴下方时，如图，过Q 作QD
x
轴，
48 / 1
设
2
1
9
,
2
2
2
Q q
q
q
，则
,0
D q
，
∵
4
OB
OC
，
2
OA
，
∴
OCB
OBC
，又
CBQ
ACB
∠
∠
，
∴
DBQ
ACO
，
∴
1
tan
tan
2
OA
DBQ
ACO
OC
，
∴
2
1
9
2
1
2
2
4
2
tan
DQ
D
B
q
q
BQ
D
q
，整理得
2
3
13
0
q
q
，
解得
3
61
2
q
或
3
61
2
q
（舍去）
∴
2
2
1
9
1
3
61
3
61
9
5
61
2
2
2
2
2
2
2
2
4
q
q
，
∴
3
61
5
61
,
2
4
Q
，
综上，满足条件的Q 的坐标为
5,2 或3
61
5
61
,
2
4
；
（4）解：如图，作MH
y
轴，M G
x
轴
由（2）知，
2,4
P
，
2,2
E
，直线BC 的解析式为
4
y
x
，
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90
MOM¢
Ð
=
°
,
90
MOH
M OG
，且
90
MOH
OMH
，
OMH
M OG
在
OMH
△
和M OG
中，
90
OHM
M GO
OMH
M OG
OM
OM
°
，
AAS
OMH
M OG
≌
，
,
OH
M G MH
OG
，
设
,
4
M m
m
，则
4,
M
m
m
，
N 是OM的中点，
∴
4 ,
2
2
m
m
N
∵
2,2
E
，
0,0
O
，
ODE
为等腰直角三角形，
45
EOD
，
设直线OE 的解析式为
2
y
k x
，代入
2,2
E
，得
2
1
k ，
直线OE 的解析式为y
x
，
∵NF
OE
于F，
∴设
,
F t t ，且NF 与x 轴所形成的锐角为45，
如图，分别过点N、点F 作x 轴、y 轴的平行线，设交点为K，
则
45 ,
45
FNK
NFK
°
° ，
NKF
是等腰直角三角形，
∴NK
FK
，即
N
N
x
t
t
y
，可得
4
2
2
m
m
t
t
，
50 / 1
∴
2
2
m
t
，则
1,
1
N t
t
，
∴
2
2
2
2
1 2
1 0
3
1
AN
t
t
t
t
，
如图，设
3,1
G
，
∴AN
FG
，
∴
2
2
2
2
3
1
2
4
AN
PF
FG
PF
t
t
t
t
，
问题转化为求直线OE 上的点F 到点
3,1
G
和点
2,4
P
的距离和的最小值，
设点G 关于直线y
x
的对称点为G，则
1, 3
G
，
则AN
PF
的最小值为G P的长度，
∵
2
2
2 1
4
3
50
5 2
G P
，
∴AN
PF
的最小值为5 2 ．
4．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
1
y
ax
bx
经过点
2,1 和
4, 7
．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m
n
），记抛物线在M，N 之间的部分（包括M，N 两
点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分别作y 轴的
垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若
2
m ，矩形R 的垂直高度
9
h
，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是_______；
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②若矩形R 的水平宽度
5
p
，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是_______；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
2
2
1
y
x
x
，顶点坐标为
1,2
(2)①3
6
p
②
25
4
h
③点M 的坐标为
1
3, 1
或
2
3,6 3
10
【分析】（1）将点
2,1 和
4, 7
分别代入
2
1
y
ax
bx
，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式
转换为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据题意知点
2
,
2
1
N n
n
n
，可得
2, 7
M
，再分当点N 在点M 上方的抛物线上时，当点N
在点M 下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围；
②根据题意得到矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点
,
M N 关于抛物线对称轴直线
1
x 对称，再由矩形R
的水平宽度
5
p
，得
3
2
m
，进而得
3
17
,
2
4
M
，可得矩形R 的垂直高度h 的取值范围；
③根据题意设
2
,
2
1
M m
m
m
，则
2
3,
4
2
N m
m
m
，然后，再分四种情况：第一种情况：当
3
1
m
，
即
2
m 时，
第二种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
，即
1
2
2
m
时，第三种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
，即
1
1
2
m
时，第四
种情况：当
1
m 时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可．
【详解】（1）解：将点
2,1 和
4, 7
分别代入
2
1
y
ax
bx
，得
4
2
1
1
16
4
1
7
a
b
a
b
，解得
1
2
a
b
，
∴抛物线的函数表达式为
2
2
1
y
x
x
，
∵
2
2
2
1
1
2
y
x
x
x
，
∴它的顶点坐标为
1,2 ；
（2）①解：根据题意知点
2
,
2
1
N n
n
n
，
当
2
m 时，
2
2
2
1
2
2
2
1
7
y
x
x
，
∴
2, 7
M
，
当点N 在点M 上方的抛物线上时，
∵矩形R 的垂直高度
9
h
，
52 / 1
∴7
9
2
，
∴点N 的纵坐标为2，即
1,2
N
，此时，矩形宽度的最小值为
1
2
3
；
当点N 在点M 下方的抛物线上时，
∵矩形R 的垂直高度
9
h
，
∴2
9
7
，
当
7
y 时，
2
2
1
7
n
n
，解得
2
n (舍去)或
4
n
，
∴
4, 7
N
，此时，矩形宽度的最大值为
4
2
6
．
综上，矩形R 的水平宽度p 的取值范围是3
6
p
；
②解：根据题意知，矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点
,
M N 关于抛物线对称轴直线
1
x 对称，
∵矩形R 的水平宽度
5
p
，
∴
5
3
1
2
2
m
，
当
3
2
m
时，
2
2
3
3
17
2
1
2
1
2
2
4
y
x
x
，
∴
3
17
,
2
4
M
，
∴
17
25
2
4
4
h
，
∴矩形R 的垂直高度h 的取值范围是
25
4
h
；
③解：根据题意设
2
,
2
1
M m
m
m
，则
2
3,
4
2
N m
m
m
，
第一种情况：当
3
1
m
，即
2
m 时，
2
2
4
2
2
1
6
3
3
N
M
h
y
y
m
m
m
m
m
，
∴
1
m (舍去)；
第二种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
，即
1
2
2
m
时，
2
2
2
2
2
1
2
1
3
M
h
y
m
m
m
m
，
∴
1
3
m
或
1
3
m
(舍去)，
当
1
3
m
时，
2
2
2
1
1
3
2
1
3
1
1
m
m
，
∴
1
3, 1
M
；
第三种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
，即
1
1
2
m
时，
2
2
2
2
4
2
4
4
3
N
h
y
m
m
m
m
，
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53 / 141
∴
2
3
m
或
2
3
m
(舍去)，
当
2
3
m
时，
2
2
2
1
2
3
2
2
3
1
6 3
10
m
m
，
∴
2
3,6 3
10
M
；
第四种情况：当
1
m 时，
2
2
2
1
4
2
6
3
3
M
N
h
y
y
m
m
m
m
m
，
∴
0
m
(舍去)；
综上，点M 的坐标为
1
3, 1
或
2
3,6 3
10
．
5．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
经过
0,6 和
2,4 两点．
(1)求m ，n 的值．
(2)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A ，B ，C ，D （点A 在第三象限，点C 在第二象限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC ，BD 分别交x 轴于E ，F 两点，设OAE
，
OBF
△
的面积分别为
1S ，
2S ，是否存在直线AB 使
1
2
2
S
S
?若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
0
6
m
n
；
(2)①线段OC 长度的最小值为11 ；②
6
2
y
x
．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设
2
1
,
6
2
C p
p
，求得
4
2
2
2
2
1
5
36
6
1
2
4
OC
p
p
p
p
，利用二次函数的性质求解即
可；
②设
2
1
,
6
2
A a
a
，
2
1
,
6
2
C c
c
，分别求得直线AC 、AO ，CO的解析式，分别求得点E 、B 、D 的
坐标，再求得直线BD 的解析式，求得点F 的坐标，得到OE
OF
，据此求解即可．
54 / 1
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
经过
0,6 和
2,4 两点，
∴
2
6
1
2
2
4
2
n
m
n
，
解得
0
6
m
n
；
（2）解：①由（1）得
0
6
m
n
，
∴抛物线的解析式为
2
1
6
2
y
x
，
设
2
1
,
6
2
C p
p
，
∴
4
2
2
2
2
1
5
36
6
1
2
4
OC
p
p
p
p
，
令
2
p
t
，0
12
t
，
∴
2
2
1
1
5
36
10
11
4
4
OC
t
t
t
，
∴当
10
t
时，线段OC 长度的最小值为11 ；
②设
2
1
,
6
2
A a
a
，
2
1
,
6
2
C c
c
，
设直线AC 的解析式为y
kx
b
，
∴
2
2
1
6
2
1
6
2
ak
b
a
ck
b
c
，
则直线AC 的解析式为
6
2
2
a
c
ac
y
x
，
令
0
y
，则
6
0
2
2
a
c
ac
x
，
解得
12
E
ac
x
a
c
，
∴
1
0
,
2
c
E ac
a
；
设直线AO 的解析式为
1
y
k x
，则
2
1
1
6
2 a
ak
，
解得
1
1
6
2
k
a
a
，
∴直线AO 的解析式为
1
6
2
x
a
a
y
，
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联立得
2
1
1
6
6
2
2
x
a
x
a
，
解得
1x
a
，
2
12
x
a
，
当
12
x
a
时，
2
2
1
12
72
6
6
2
y
a
a
，
∴
2
12
72
,6
B
a
a
，
设直线CO的解析式为
2
y
k x
，则
2
2
1
6
2 c
ck
，
解得
2
1
6
2
k
c
c
，
∴直线CO的解析式为
1
6
2
x
c
c
y
，
联立得
2
1
1
6
6
2
2
x
c
x
c
，
解得
1
x
c ，
2
12
x
c
，
当
12
x
c
时，
2
2
1
12
72
6
6
2
y
c
c
，
∴
2
12
72
,6
D
c
c
，
∵
2
12
72
,6
B
a
a
，
2
12
72
,6
D
c
c
，
则直线BD 的解析式为
6
72
6
a
c
y
x
ac
ac
，
令
0
y
，则
6
72
6
0
a
c x
ac
ac
，
解得
12
F
c
x
ac
a
，
∴
2 0
1 ,
ac
F
a
c
；
∵
12
E
ac
x
a
c
，
12
F
c
x
ac
a
，
∴OE
OF
，
∴OAE
，
OBF
△
的底边相同，
∴
2
1
2
2
2
12
1
A
A
B
B
S
y
x
a
a
a
S
y
x
，
∴
2
24
a
，
∴
2 6
a
（舍去正值），
56 / 1
∴
1
6
1
6
6
6
2 6
6
2
2
2
2
2 6
a
a
∴直线AB 的解析式为
6
2
y
x
．
6．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数
3
y
x
t
x
t
（其中
0
t
）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点
A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．将点B 绕点A 顺时针旋转90得到点D ．
(1)若
1
t ，求直线PD 的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线PD 上；
(2)当3
6
x
时，二次函数的最大值为9，求t 的值；
(3)连接OP ，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE
OP
∥
交y 轴于点
0,
E
m ，请直接写出m 的最小
值．
【答案】(1)
3
y
x
，点C不在直线PD 上
(2)t 的值为4
7
或4
(3) 2
【分析】（1）先求出
,0
A t
，
3 ,0
B
t
，若
1
t ，则
1,0 ,
3,0
A
B
，
2
1
3
2
1
y
x
x
x
，则
3 1
2
AB
，
2, 1
P
，由旋转可得
2,
90
AD
AB
BAD
，则
1, 2
D
，再由待定系数法求解直线
:
3
PD y
x
；然后求出点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C为
4,3 ，再代入直线PD 表达式验证即
可；
（2）先求出对称轴为直线
3
2
2
t
t
x
t
，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可；
（3）同（1）可求
, 2
D t
t
，可求
2
2 ,
P
t
t
，设直线
:
OP y
px
，求出
2
t
p
，由DE
OP
∥
，可设直线
:
2
t
DE y
x
n
，求出直线
2
:
2
2
2
t
t
DE y
x
t
，当
0
x
时，
2
2
1
1
2
2
2
2
2
m
t
t
t
，再由二次函数
的图象与性质求解即可；
【详解】（1）解：如图，
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对于
3
y
x
t
x
t
，当
0
y
时，则
3
0
x
t
x
t
，
解得
1
2
,
3
x
t x
t
，
∴
,0
A t
，
3 ,0
B
t
，
若
1
t ，则
1,0 ,
3,0
A
B
，
2
2
1
3
4
3
2
1
y
x
x
x
x
x
∴
3 1
2
AB
，
2, 1
P
∵将点B 绕点A 顺时针旋转90得到点D ．
∴
2,
90
AD
AB
BAD
∴
1, 2
D
，
设直线
:
PD y
kx
b
，
则
2
1
2
k
b
k
b
解得
1
3
k
b
∴直线
:
3
PD y
x
；
对于
2
2
1
y
x
，当
0
x
时，
3
y
，
∴
0,3
C
由
2
2
1
y
x
可得对称轴为直线
2
x
，
∴点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C为
4,3 ，
当
4
x
时，
4
3
1
3
y
，
∴点C不在直线PD 上；
（2）解：由（1）可得
,0
A t
，
3 ,0
B
t
，
58 / 1
∴对称轴为直线
3
2
2
t
t
x
t
，
当2
3
t
，即
1.5
t
时，
∵抛物线
3
y
x
t
x
t
中，1
0
，则抛物线开口向上，
∴当3
6
x
时，y 随着x 的增大而增大，
∴当
6
x
时，函数取得最大值，
∴
6
6
3
9
t
t
，
整理得，
2
8
9
0
t
t
，解得
4
7
t
或
4
7
t
（舍去）；
当3
2
6
t
，即3
3
2
t
时，
3
6
9
2
2
x
若
9
2
2
t
，即3
9
2
4
t
时，此时
6
x
离对称轴更远，
∴当
6
x
时，函数取得最大值9，
∴
6
6
3
9
t
t
，
整理得，
2
8
9
0
t
t
，解得
4
7
t
或
4
7
t
，均不在3
9
2
4
t
范围内，故舍去；
若
9
2
2
t
时，即9
3
4
t
，此时
3
x
离对称轴更远，
∴当
3
x
时，函数取得最大值，
∴
3
3 3
9
t
t
，
整理得，
2
4
0
t
t
，解得
4
t
或
0
t
，均不在9
3
4
t
范围内，故舍去；
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当2
6
t
，即
3
t
时，
∴当3
6
x
时，y 随着x 的增大而减小，
∴当
3
x
时，函数取得最大值，
∴
3
3 3
9
t
t
，
整理得，
2
4
0
t
t
，解得
4
t
或
0
t
（舍去）；
综上：t 的值为4
7
或4 ；
（3）解：∵
,0 ,
3 ,0
A t
B
t
，
同（1）可求
, 2
D t
t
对于
3
y
x
t
x
t
，对称轴为直线
2
x
t
，
∴把
2
x
t
代入
3
y
x
t
x
t
可得，
2
2
2
3
y
t
t
t
t
t
，
∴
2
2 ,
P
t
t
，
设直线
:
OP y
px
，则
2
2
t
p
t
，解得
2
t
p
，
∵DE
OP
∥
，
∴设直线
:
2
t
DE y
x
n
，
代入
, 2
D t
t
，则
2
2
t
t
n
t
，解得
2
2
2
t
n
t
，
∴直线
2
:
2
2
2
t
t
DE y
x
t
，
当
0
x
时，
2
2
1
1
2
2
2
2
2
m
t
t
t
，
∵1
0
2
，
∴当
2
t
时，m 取得最小值为2
；
7．（2026·河南·中考真题）定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则称
点Q 是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
上，点
3,9 是点
0,0 的“黄金搭档点”．
(1)点
0, 3
A
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为12．求b ，
c 的值．
(2)点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
60 / 1
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
【答案】(1)
2
b
；
3
c
(2)①点M 的横坐标为
5
2
，点N 的横坐标为
1
2 ；②4
3
或4
5
【分析】（1）根据题意得出
(3,12)
B
，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t ，根据题意建立方程求解即可；
②根据题意得出对称轴为：
2
1
2 1
x
，顶点坐标为( 1, 4)
，抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
，点N
的横坐标为：
3
m ，1
3
3
2
m
，然后分情况分析：当
5
1
2
m
，1
3
1
2
m
时，当
5
1
2
m
，
1
3
2
m
时，当1
0
m
时，2
3
3
m
，结合图象建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点B 是点A 的“黄金搭档点”，
0, 3
A
，点B 的纵坐标为12，
∴
(3,12)
B
，
∵点
0, 3
A
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
上，
∴
3
9
3
12
c
b
c
，
解得：
3
2
c
b
；
（2）解：①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t ，
由（1）得
2
2
3
y
x
x
，
∵点M ，N 的纵坐标相等，
∴
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
t
t
t
t
，
解得：
5
2
t
，
∴
5
1
3
3
2
2
t
，
∴点M 的横坐标为
5
2
，点N 的横坐标为
1
2 ；
②由（1）得
2
2
3
y
x
x
，
对称轴为：
2
1
2 1
x
，
当
1
x 时，
4
y
，
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∴顶点坐标为( 1, 4)
，
当
0
y
时，
2
2
3
0
x
x
，
∴(
3)(
1)
0
x
x
解得：1
2
3,
1
x
x
，
∴抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
，
∵点N 是点M 的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
时，
∴点N 的横坐标为：
3
m ，1
3
3
2
m
，
当
5
1
2
m
时，1
3
2
2
m
，
∵抛物线与x 轴的一个交点为(1,0) ，
∴当
5
1
2
m
，1
3
1
2
m
时，如图所示：
点M、N 均在x 轴下方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
，
∵
5
( 1)
( 1)
1 ( 1)
2
m
即
3
1
0
2
m
，
1
( 1)
3
( 1)
1 ( 1)
2
m
即3
4
2
2
m
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5
4
1
，
此时点N 的纵坐标为1
，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
，
62 / 1
解得：
1
4
3
m
，
2
4
3
m
（不符合题意，舍去）；
当
5
1
2
m
，1
3
2
m
时，如图所示：
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5
4
1
，
此时点N 的纵坐标为1，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
，
解得：
1
4
5
m
，
2
4
5
m
（不符合题意，舍去）；
当1
0
m
时，2
3
3
m
，
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为点M，最高点为点N，
∴
2
2
2
3,
(
3)
2(
3)
3
M
N
y
m
m
y
m
m
，
∴
5
M
N
y
y
即
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
，
∴
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
，
整理得：6
10
0
m
，
解得：
5
3
m
（不符合题意，舍去），
综上可得：
4
3
m
或
4
5
m
．
8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
kx
（
0
k
）与抛物线
2
y
x
相
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交于A ，B 两点．C ，D 两点在抛物线上，且CD
AB
∥
．
(1)若点A 的坐标为
1,1
，求k 的值和点B 的坐标；
(2)在（1）的条件下，记C ，D 两点的横坐标分别为m ，n（m
n
），当m
x
n
时，函数
2
y
x
h
总在
x
n
处取得最大值，求h 的取值范围；
(3)若
2
AB
CD
，直线AC ，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
【答案】(1)
1
k ，点B 的坐标为
2,4
(2) h 的取值范围是
1
2
h
(3)点E 的坐标为
2,0 ，
2 2
k
【分析】（1）将已知点A 的坐标代入直线解析式，求出k 的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得
到点B 的坐标；
（2）根据CD
AB
设出直线CD的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到m
n
的值，再结合
二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴x
h
的不等式求解；
（3）先联立直线AB 、CD与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据
2
AB
CD
建立水平距离的关系，求出t 与k 的关系式，然后利用A 、C 、E 和B 、D 、E 三点共线的条件，
得到关于
1
2
,
,
,
x x m n 的关系式，联立求解得到t 的值，进而求出k 的值和点E 的坐标．
【详解】（1）解：将点
1,1
A
代入
2
y
kx
，
则
2
1
k
，
解得：
1
k ，
2
y
x
，
联立
2
2
y
x
y
x
，可得
2
2
0
x
x
，
64 / 1
解得：
1
1
x ，
2
2
x
，
点A 的坐标为
1,1
，
点B 的横坐标为2 ，
将
2
x
代入
2
y
x
得
4
y
，
点B 的坐标为
2,4 ；
（2）解：
CD
AB
，
设CD的函数解析式为：y
x
b
，
联立
2
y
x
b
y
x
，
则
2
0
x
x
b
，
由根与系数的关系得
1
m
n
，
函数
2
y
x
h
图像为开口向上的抛物线，对称轴为x
h
，
要使函数在x
n
处取得最大值，需满足右端点n 到对称轴的距离不小于左端点m 到对称轴的距离，即：
n
h
h
m
，
则2h
m
n
，即2
1
h ，
解得：
1
2
h
；
（3）解：设CD的函数解析式为：y
kx
t
，
联立
2
2
y
kx
y
x
，
则
2
2
0
x
kx
，
设
2
1
1
,
A x x
，
2
2
2
,
B x
x
，
由根与系数的关系得
1
2
x
x
k
，
1
2
2
x x ，
AB
的水平距离
2
2
1
2
1
2
1
2
4
8
x
x
x
x
x x
k
，
同理，联立
2
y
kx
t
y
x
，
则
2
0
x
kx
t
，
设
2
,
C m m
，
2
,
D n n
，
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由根与系数的关系得m
n
k
，mn
t
，
CD
的水平距离
2
2
4
4
m
n
m
n
mn
k
t
，
AB
CD
∥
，
2
AB
CD
，
2
1
2
x
x
n
m
，
2
2
8
2
4
k
k
t
，整理得
2
2
8
4
16
k
k
t
，
即
2
8
3
16
k
t
，
设
,0
0
E e
e
，
如图，
A
、C 、E 三点共线，
∴直线AE 的k 值与直线CE的k 值相等，
2
2
1
1
0
0
x
m
e
x
e
m
，
化简得，
1
1
e x
m
x m
，则
1
1
1
1
e
x
m
，
同理由B 、D 、E 三点共线得
2
1
1
1
e
x
n
，
1
2
1
1
1
1
x
m
x
n
，
整理得，
1
2
1
2
x
x
n
m
mn
x x
，
1
2
2
x x
，mn
t
，
2
1
2
x
x
n
m
，
2
2
n
m
n
m
t
，
解得：
1
t ，
2
8
3
1
16
k
，
66 / 1
解得：
2 2
k
，
1
1
1
1
e
x
m
，
2
1
1
1
e
x
n
，
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2 2
2
2
x
x
m
n
k
k
e
x
x
m
n
x x
mn
t
，
2
e
，
点E 的坐标为
2,0 ，k 的值为2 2 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交
点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一
次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．
9．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1 的正方形ABCD中，E 是AD 边上的动点（不与点A，D
重合）．将ABE
沿BE 翻折，得到
FBE
△
．过点F 作FM
BE
，FN
BC
，垂足分别为M，N．
(1)如图2，若FM
FN
，求FM
FN
的值；
(2)如图3，若E 为AD 中点，则FM 的长为_______，FN 的长为_______；
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(3)求点E 运动过程中FM
FN
的最大值．
【答案】(1)1
(2)
5
5
，3
5
(3) 9
8
【分析】（1）根据翻折可得
ABE
EBF
，根据角平分线定理可得BF 平分
EBC
，可得
30
ABE
EBF
FBC
，进而可得
1
1
2
2
FN
BF
，即可求出FM
FN
的值；
（2）根据翻折可得
AEB
FEB
△
≌△
，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法
1
1
2
2
FEB
S
EB FM
EF FB
计算即可，再证得四边形HNCD 为矩形，EFH
FBN
∽
，得到EF
FH
EH
FB
BN
FN
，
即可解出FN 的长；
（3）如图，延长NF 交AD 于H ，连接AM ，证明HFA
MAB
∽
，得到HF
AF
AM
AB
，设FM
x
，FN
y
，
表示出AM ，HF ，AF ，然后代入求出
2
2
1
y
x
，然后表示出FM
FN
后利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵FM
BE
，FN
BC
，且FM
FN
，
∴BF 平分
EBC
，
∴
EBF
FBC
，
∵ABE
沿BE 翻折得到
FBE
△
，
∴
ABE
EBF
，
∴
ABE
EBF
FBC
，
∵
90
ABE
EBF
FBC
ABC
，
∴3
90
ABE
，
∴
30
ABE
FBC
，
在Rt
BFN
△
中，
1
BF ，
∴
1
1
2
2
FN
BF
，
又∵FM
FN
，
∴
1
1
1
2
2
FM
FN
；
（2）解：延长NF 交AD 于H ，
68 / 1
∵正方形ABCD的边长为1，且E 为AD 中点，
∴
1
AD ，
1
1
2
2
AE
AD
，AD
BC
，
90
A
D
C
，
∵ABE
沿BE 翻折得到
FBE
△
，
∴
AEB
FEB
△
≌△
，
∴
1
2
AE
EF
，
1
AB
BF
，
90
EFB
EAB
，
在Rt
AEB
△
中，
2
2
2
2
1
5
1
2
2
EB
AE
AB
，
∵FM
BE
，
∴
1
1
2
2
FEB
S
EB FM
EF FB
∴
1
5
1
2
2
FM
∴
5
5
FM
，
∵FN
BC
，AD
BC
，
∴FH
AD
，
∴
90
FHA
FNB
EFB
，
∵
90
D
C
，
∴四边形HNCD 为矩形，
∴
,
1
CN
DH DC
HN
，
∴
90 ,
90
EFH
NFB
NBF
NFB
，
∴
EFH
FBN
，
∴EFH
FBN
∽
，
∴EF
FH
EH
FB
BN
FN
，
设BN
x
，则
1
1
1
,
1
2
2
CN
x EH
x
x
，
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∴
1
1
2
2
1
x
FH
x
FN
，
∴
1
1
,
2
2
1
2
2
FH
x FN
x
x
，
∵
1
FH
FN
HN
，
∴
1
2
1
1
2
x
x
，
解得
4
5
x
，
∴
4
3
2
1
5
5
FN
；
（3）解：如图，延长NF 交AD 于H ，连接AM
由翻转得，点A，M，F 三点共线，
∴
90
AMB
由（2）得，FH
AD
∴
90
AHF
AMB
∴
90
HAF
HFA
∵
90
DAB
∴
90
HAF
MAB
∴
HFA
MAB
∴HFA
MAB
∽
∴HF
AF
AM
AB
设FM
x
，FN
y
∴AM
FM
x
，
1
HF
HN
FN
y
，
∴
2
AF
AM
FM
x
∴1
2
1
y
x
x
整理得，
2
2
1
y
x
70 / 1
∴
2
2
1
9
2
1
2
4
8
FM
FN
x
y
x
x
x
∵2
0
∴当
1
4
x
时，FM
FN
取得最大值9
8 ．
10．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
1
3
y
a x
x
与x 轴交于A ，B 两
点．与y 轴交于点C ．直线y
x
m
经过点C 、与x 轴交于点
3,0
D
．
(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；
(2)若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且
2
EF
，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在
以A ，C ，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在．说明理由．
【答案】(1)
3
m
，
2
2
3
y
x
x
(2)
14
1, 5
E
(3)存在，
11
2, 3
G
、
2,1
G
、
2,2
G
、
1
2, 3
G
【分析】（1）将点D 代入直线方程求m ，得到C 点坐标，再代入抛物线交点式求系数a ，展开得抛物线表
达式；
（2）CD、EF 为定长，将周长最小转化为求CE
DF
的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利
用两点之间线段最短确定E 点位置，联立直线与对称轴求解；
（3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设G 点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾
股定理列方程求解．
【详解】（1）解：∵直线y
x
m
与x 轴交于点
3,0
D
，
∴把
3,0
D
，代入y
x
m
得0
3
m
，
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解得
3
m
，
∴直线解析式为
3
y
x
，
∵直线
3
y
x
经过点C ，且点C 在y 轴上，
∴令
0
x
，得
3
y
，
∴
0,3
C
，
∵抛物线
1
3
y
a x
x
与y 轴交于点C ，
∴把
0,3
C
代入
1
3
y
a x
x
，得3
3a
，
解得
1
a ，
∴
2
1
3
1
3
2
3
y
a x
x
x
x
x
x
，
综上所述，
3
m
，抛物线的函数表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：∵
0,3
C
，
3,0
D
，
∴
3
OC
，
3
OD
，
∴
2
2
2
2
3
3
3 2
CD
OC
OD
，
∵
2
EF
，
∴四边形DCEF 的周长为：
3 2
2
CD
EF
CE
DF
EC
DF
，
∴求四边形DCEF 周长的最小值，只需求CE
DF
的最小值，
∵抛物线的函数表达式为
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵E 、F 在直线
1
x 上，且
2
EF
，E 在F 上方，
∴设
1,
E
t ，
1,
2
F
t
，
如图：把点D 向上平移2 个单位得
3,2
D
，作
''
D 与D关于直线
1
x 对称，则
5,2
D
，连接D D
、
''
D D
、
ED、ED、CD，
72 / 1
在四边形DFED中，
∵DD
x
轴，EF
x
轴，
∴DD
EF
，
∵
2
DD
EF
，
∴四边形DFED是平行四边形，
∴DF
D E
，
∴CE
DF
CE
D E
，
∵D与D关于直线
1
x 对称，E 在直线
1
x 上，
∴D E
D E
，
∴CE
DF
CE
D E
CE
D E
，
∵两点之间线段最短，
∴当E 点在CD与直线
1
x 的交点处时，CE
D E
最小，
设直线CD的函数解析式为
0
y
kx
b k
，
把
0,3
C
，
5,2
D
代入
0
y
kx
b k
得：
3
2
5
b
k
b
，
解得
1
5
3
k
b
，
∴直线CD的解析式为
1
3
5
y
x
，
∵当
1
x 时，
14
5
y
，
∴
14
1, 5
E
；
（3）解：∵抛物线
2
2
3
y
x
x
与x 轴交于A ，B 两点，
∴令
0
y
，得
2
2
3
0
x
x
，
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解得：
1
x 或
3
x
，
∵A 在B 左侧，
∴
1,0
A
，
3,0
B
，
∵由（1）知，
0,3
C
，
∴
3
OC
，
3
OB
，
∴
2
2
2
2
3
3
3 2
BC
OC
OB
，
∵抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度，且B 在抛物线上，
3 2
BC
，
∴B 点沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度后与C 点重合，
∵
3
OB
，
3
OC
，
∴抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度可看作整体向左平移3 个单位长度，向上平移3 个单位长度，
如图：
∵抛物线
2
2
3
y
x
x
的对称轴为直线
1
x ，
∴平移后对称轴为直线
2
x ，
∵点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，
∴设
2,
G
n
，
∵
1,0
A
，
0,3
C
，
∴
2
2
1 0
0
3
10
AC
，
2
2
2
1
2
0
1+
AG
n
n
，
2
2
2
2 0
3
4
3
CG
n
n
，
①若
90
ACG
，如图：
74 / 1
则
2
2
2
AC
CG
AG
，
∴
2
2
10
4
3
1
n
n
，
解得
11
3
n
，
∴
11
2, 3
G
，
②若
=90
AGC
，如图：
则
2
2
2
AG
CG
AC
，
∴
2
2
1
4
3
10
n
n
，
解得
1
n 或
2
n
，
∴
2,1
G
或
2,2
G
，
③若
90
CAG
，如图：
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则
2
2
2
AG
AC
CG
，
∴
2
2
1
10
4
3
n
n
，
解得
1
3
n
，
∴
1
2, 3
G
．
考点04 二次函数图象的平移
1．（2026·湖北·中考真题）抛物线
2
2
y
x
x
c
与x 轴交于点
1,0
A
和点B ，与y 轴交于点C ．点P 在直
线BC 上，设点P 的横坐标为t ．
(1)求c 的值；
(2)如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当
1
t 时，求点H 的坐标；
(3)点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
2 2
PQ
．过点P ，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条垂线围
成四边形PEQF ．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N ，记M ，N 的纵坐标之和为f ．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当
11
2
f
时，直接写出t 的值．
【答案】(1)
3
c
(2)
1
2, 2
(3)①
2
3
6 0
1
2
4 1
3
t
t
t
f
t
t
；②
3
4
，1
3
2
，
3
11
2
【分析】（1）把点
1,0
A
代入抛物线表达式中可解出c 的值；
（2）由（1）求出点B 和点C 的坐标，从而求出直线BC 的表达式，得出当
1
t 时，点P 的坐标，由平行关
系和抛物线表达式可推出点H 的坐标；
76 / 1
（3）利用
2 2
PQ
结合点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方用t 表示出点Q 的坐标，从而可得到四边形
PEQF 是边长为2 的正方形，接着可表示出点E 和点F 的运动轨迹，求出当四边形PEQF 的边与抛物线有
两个交点M ，N 时，t 的取值范围；①分情况讨论当点P 在线段BC 上时，t 的不同取值范围分别对应的点M
和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f 关于t 的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余t 的
不同取值范围分别对应的点M 和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f 关于t 的函数解析式．
【详解】（1）解：把点
1,0
A
代入抛物线
2
2
y
x
x
c
得0
1 2
c
，
解得，
3
c ；
（2）解：由（1）得
2
2
3
y
x
x
，
令
0
y
得
2
2
3
0
x
x
，
因式分解得
3
1
0
x
x
，
解得
3
x
或
1
x ，
令
0
x
得
3
y
，
3,0
B
，
0, 3
C
，
设直线BC 的表达式为y
kx
b
，
把
3,0
B
，
0, 3
C
代入得
0
3
3
k
b
b
，解得
1
3
k
b
，
直线BC 的表达式为
3
y
x
，
当
1
x 时，
2
y ，
当
1
t 时，
1, 2
P
，
PH
平行于x 轴，
H
的纵坐标为2
，
点H 是抛物线上位于第四象限的点，
又
2
2
3
2
x
x
，化简得
2
2
1
0
x
x
，
2
4
8
b
ac
，
解得
2
4
2
2 2
1
2
2
2
b
b
ac
x
a
，
1
2, 2
H
；
（3）解：由（2）知直线BC 的表达式为
3
y
x
，
,
3
P t t
，
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77 / 141
设点Q 的坐标为
,
3
a a
，
2 2
PQ
，
2
2
2
3
3
2 2
a
t
a
t
，
化简得
2
2
8
a
t
，
解得
2
a
t
，
点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
a
t
，
2
a
t
，即
2
a
t
，
2,
1
Q t
t
，
四边形PEQF 是边长为2 的正方形，
如图，当PQ 沿BC 移动时，点E 沿ED 移动，点F 沿FG 移动，
上图中点Q 和点C 重合，
0, 3
Q
，
2, 5
P
，
2, 3
E
，
0, 5
F
，
0, 1
D
，
2, 3
G
，
当
2
x
时，
2
2
3
3
y
x
x
，
点G 在抛物线上，
设直线ED 的表达式为y
kx
b
，
把
2, 3
E
，
0, 1
D
代入得
3
2
1
k
b
b
，解得
1
1
k
b
，
直线ED 的表达式为
1
y
x
，
78 / 1
设直线FG 的表达式为y
kx
b
，
把
0, 5
F
，
2, 3
G
，代入得
3
2
5
k
b
b
，解得
1
5
k
b
，
直线FG 的表达式为
5
y
x
，
点E 在直线
1
y
x
上运动，点F 在直线
5
y
x
上运动，
如图，
令
2
2
3
1
x
x
x
，化简得
2
3
2
0
x
x
，
2
4
17
b
ac
，解得
2
4
3
17
2
2
b
b
ac
x
a
，
令
2
2
3
5
x
x
x
，化简得
2
3
2
0
x
x
，因式分解得
1
2
0
x
x
，解得
1
x 或
2
x
，
点J 的横坐标为3
17
2
，点K 的横坐标为3
17
2
，点L 的横坐标为1，点T 的横坐标为2 ，
当四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N 时，
3
17
2
2
t
，
①当点P 在线段BC 上时，0
3
t
，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当0
1
t
时，即点Q 在线段BC 上时，如图，此时点M 的纵坐标为点P 的
纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
2
2
6
3
2
2
2
3
3
t
f
t
t
t
t
，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当1
3
t
时，即点Q 在线段BC 右上方时，如图，此时点M 的纵坐标为
点P 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 纵坐标，
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79 / 141
4
3
1
2
f
t
t
t
，
综上所述，当点P 在线段BC 上时，
2
3
6 0
1
2
4 1
3
t
t
t
f
t
t
；
②当2
1
t
时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上对应的
纵坐标，
2
2
4
1
2
2
2
3
3
t
f
t
t
t
t
，
当
3
17
1
2
t
时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点P 的纵坐标，
4
3
2
1
f
t
t
t
，
当3
17
0
2
t
时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为点P 的
纵坐标，
2
2
2
3
3
6
f
t
t
t
t
t
，
80 / 1
当
3
17
3
2
t
时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 的
纵坐标，
2
2
2
3
1
4
f
t
t
t
t
t
，
综上所述，
2
2
2
2
3
4
2
1
3
17
2
4
1
2
3
17
6
0
2
3
6 0
1
2
4 1
3
3
17
4 3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
，
当
11
2
f
时，分情况讨论：
当2
1
t
时，
2
2
3
4
11
t
t
，化简得
2
0
2
3
3
t
t
，
2
4
3
b
ac
，解得
2
4
3
3
2
2
b
b
ac
t
a
不
符合2
1
t
，舍去；
当
3
17
1
2
t
时，
2
2
1
4
1
t
，解得
3
4
t
符合
3
17
1
2
t
；
当3
17
0
2
t
时，
2
11
6
2
t
t
，化简得
2
1
0
2
t
t
，
2
4
3
b
ac
，解得
2
4
1
3
2
2
b
b
ac
t
a
，
1
3
2
t
符合3
17
0
2
t
，
1
3
2
t
不符合3
17
0
2
t
，舍去；
当0
1
t
时，
2
2
3
6
11
t
t
，化简得
2
0
2
3
1
t
t
，
2
4
11
b
ac
，解得
2
4
3
11
2
2
b
b
ac
t
a
，
3
11
2
t
符合0
1
t
，
3
11
2
t
不符合0
1
t
，舍去；
当1
3
t
时，
2
2
1
4
1
t
，解得
3
4
t
不符合1
3
t
，舍去；
当
3
17
3
2
t
时，
2
11
4
2
t
t
，化简得
2
3
0
2
t
t
，
2
4
5
0
b
ac
，无解；
综上所述，当
11
2
f
时，t 的值为
3
4
或1
3
2
或
3
11
2
．
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81 / 141
2．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
4
y
x
bx
c
与x 轴交于点A，
4,0
B
，
与y 轴交于点
0,1
C
，连接AC ，BC ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD
BC
，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接PE ．当PD
的长度取得最大值时，求点P 的坐标及
2
2
PE
AE
的最小值；
(3)将抛物线沿射线CA 方向平移
2 个单位长度得到抛物线y，点B 的对应点为F，M 是平移后抛物线y上
一点，直线AM 交直线BF 于点N，且
90
ANB
ACB
．请直接写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出
求解点M 的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
2
1
3
1
4
4
y
x
x
(2)
3
2, 2
P
，9 2
4
(3)点M 的坐标为
1
1, 2
或
14, 52
，
过程如下：
∵
2
2
1
3
1
3
25
1
4
4
4
2
16
y
x
x
x
，将抛物线沿射线CA 方向平移
2 个单位长度得到抛物线y，
∴平移方式为将抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
向左平移1 个单位，向下平移1 个单位，
∴
2
2
2
1
3
25
1
1
9
1
1
1
1
1
4
2
16
4
2
16
4
4
2
y
x
x
x
x
，
∵
4,0
B
，点B 的对应点为F，
∴
4 1,0 1
F
，即
3, 1
F
，
设直线BF 的解析式为y
mx
n
，
∴
0
4
1
3
m
n
m
n
，解得
1
4
m
n
，
82 / 1
∴直线BF 的表达式为
4
y
x
，
∵直线y
x
在一三象限的角平分线上，与x 轴的夹角为45，
∴直线BF 与直线y
x
与x 轴所成的夹角相等，
∴
45
NBG
，
∴
180
45
135
HBN
，
情况1：
如图，取点
1,0
H
，当点N 在x 轴上方时，
∵
1,0
A
，
0,1
C
∴
1
OA
OC
OH
，
∵AH
OC
，
∴
45
CAO
CHO
，
∴
135
CHB
HBN
，
90
ACH
，
∴
90
BCH
ACB
ACH
ACB
，
∵
90
ANB
ACB
，
∴
BCH
ANB
，
∴
CBO
BAN
，
∴
1
tan
tan
4
OC
CBO
BAN
OB
，
∵点N 在直线BF 上，
∴设
,
4
N n n
，
∴
4
1
1
4
n
n
，
解得
17
3
n
，
∴
17 5
,
3
3
N
，
∵
1,0
A
，
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83 / 141
∴可得直线AN 的表达式为
1
1
4
4
y
x
，
∴将
1
1
4
4
y
x
和
2
1
1
1
4
4
2
y
x
x
联立得，
2
1
1
4
4
1
1
1
4
4
2
y
x
y
x
x
，
解得
1
1
2
x
y
，
1
0
x
y
（舍去），
∴
1
1, 2
M
；
情况2：
如图，当点N 在x 轴下方时，
过点C 作CL
BC
交直线BF 于点L，CL与x 轴交点K，过点A 作AN
CL
∥
交直线BF 于点N，
设直线AC 的解析式为y
sx
t
，
∴
1
0
t
s
t
，解得
1
1
s
t
，
∴直线AC 的解析式为
1
y
x
，
∵
1
AC
BF
k
k
，
∴AC
BF
，
∴
ACL
CLB
，
90
ACL
ACB
，
∵
90
ANB
ACB
，
∴
ANB
ACL
，
此时直线AN 与抛物线y的交点即为所求的M，
∵
90
CKO
KCO
KCO
OCB
OCB
CBO
，
∴
CBO
KCO
，
在Rt CBO
中，
1
tan
4
OC
CBO
OB
，
84 / 1
∴
1
tan
tan
4
KCO
CBO
，
∴
1
tan
4
OK
KCO
OC
，即
1
1
4
OK
，
∴
1
4
OK
，即
1 ,0
4
K
，
设直线CL的解析式为y
cx
d
，
将点C，K 分别代入得：
1
1
0
4
d
c
d
，解得：
4
1
c
d
，
∴直线CL的解析式为
4
1
y
x
，
∵AN
CL
∥
，
∴
4
AN
CL
k
k
，
设直线AN 的解析式为
4
y
x
e
，
将点
1,0
A
代入，
4
e
，
∴直线AN 的解析式为
4
4
y
x
，
将
4
4
y
x
和
2
1
1
1
4
4
2
y
x
x
联立得，
2
4
4
1
1
1
4
4
2
y
x
y
x
x
解得
14
52
x
y
，
1
0
x
y
（舍去），
∴
14, 52
M
，
综上所述，点M 的坐标为
1
1, 2
或
14, 52
．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）首先求出BC 所在直线表达式为
1
1
4
y
x
，设过点P 与BC 平行的直线的表达式为
2
1
4
y
x
b
，当
直线
2
1
4
y
x
b
与抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
只有一个交点时，PD 的长度取得最大值，联立后利用判别式
求出
2
2
b
，得到
3
2, 2
P
；在x 轴下方作射线AG ，使
45
BAG
，过点E 作EF
AG
于点F，连接PF ，
表示出
2
sin
2
EF
AE
EAF
AE
，判断出当点P，E，F 三点共线，且PF
AG
时，
2
2
PE
AE
取得最
小值，即PF 的长度，如图，过点P 作PI
x
轴于点I，然后利用勾股定理求解即可；
（3）首先求出
2
1
1
1
4
4
2
y
x
x
，然后分当点N 在x 轴上方时和当点N 在x 轴下方时两种情况求解即可．
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85 / 141
【详解】（1）解：将
4,0
B
，
0,1
C
代入
2
1
4
y
x
bx
c
得，
2
1
4
4
0
4
1
b
c
c
解得
3
4
1
b
c
∴抛物线的表达式为
2
1
3
1
4
4
y
x
x
．
（2）解：∵
4,0
B
，
0,1
C
设BC 所在直线表达式为
1
y
kx
b
，
∴
1
1
4
0
1
k
b
b
∴
1
1
4
1
k
b
∴BC 所在直线表达式为
1
1
4
y
x
，
∵P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，PD
BC
，
设过点P 与BC 平行的直线的表达式为
2
1
4
y
x
b
，
∴当直线
2
1
4
y
x
b
与抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
只有一个交点时，PD 的长度取得最大值，
联立直线
2
1
4
y
x
b
与抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
，
得：
2
2
1
4
1
3
1
4
4
y
x
b
y
x
x
，
∴
2
2
1
1
3
1
4
4
4
x
b
x
x
整理得，
2
2
4
4
4
0
x
x
b
∴
2
2
Δ
4
4 1
4
4
0
b
解得
2
2
b
，
代入
2
2
4
4
4
0
x
x
b
得，
2
4
4
0
x
x
解得
1
2
2
x
x
，
将
2
x
代入
1
1
3
2
2
2
4
4
2
y
x
86 / 1
∴此时
3
2, 2
P
；
如图，在x 轴下方作射线AG ，使
45
BAG
，过点E 作EF
AG
于点F，连接PF ，
∴
2
sin
sin 45
2
EF
AE
EAF
AE
AE
，
∴
2
2
PE
AE
PE
EF
PF
，
∴当点P，E，F 三点共线，且PF
AG
时，
2
2
PE
AE
取得最小值，即PF 的长度，如图，过点P 作PI
x
轴于点I，
∵
45
EAF
，PF
AG
，
∴AEF
是等腰直角三角形，
45
PEI
AEF
，
∵PI
x
轴，
∴PIE
是等腰直角三角形，
∵
3
2, 2
P
，
∴
3
2
EI
PI
，
∴
3
1
2
2
2
OE
OI
EI
，
2
2
3 2
2
PE
EI
PI
，
∵抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
，
∴当
0
y
时，
2
1
3
0
1
4
4
x
x
，
解得
1
1
x ，
2
4
x
，
∴
1,0
A
，
∴
1
3
1
2
2
AE
AO
OE
，
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87 / 141
∵AEF
是等腰直角三角形，
∴AF
EF
，
2
2
2
AF
EF
AE
，
∴
2
2
3
2
2
EF
，
∴
3 2
4
EF
，
∴
3 2
3 2
9 2
2
4
4
PF
PE
EF
，
∴
2
2
PE
AE
的最小值为9 2
4
．
（3）略
3．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
x
m
m
（m 为常数）与x 轴交
于点A，B，点A 位于点B 的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，
都经过点
3,0 ．
(1)直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式；
(2)若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，与直线BC 交于点
3
3
,
Q x y
，且
1
3
2
x
x
x
，
求
2
2
2
1
2
3
x
x
x
的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为D，连接AC ，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的PBD
与ABC
相似，求
点P 的坐标．
【答案】(1)
2
2
4
4
8
12
y
x
x
x
；
2
12
y
x
(2)
2
2
2
1
2
3
60
76
x
x
x
(3)点P 的坐标为14 ,0
3
或
9,0
【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点
3,0 分别代入两次平移后的
解析式，解出m 的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求
出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出BC 解析式即可．
（2）设直线l：y
a
，根据已知条件得出a 的取值范围，再联立直线l 与抛物线和直线BC ，得出
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
，根据抛物线可知
1
2
8
x
x
代入
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
，最后得出
2
2
2
2
1
2
3
1
8
60
4
x
x
x
a
，最后由二次函数的图象和性质求解即可．
（3）连接BD ，过点D 作DE
x
轴，垂足为E．根据正切的定义得出
ABC
DBE
，进而可得出点P 在
88 / 1
点B 的左侧．则存在
ABC
PBD
△
△
∽
或
ABC
DBP
△
∽△
．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解
即可得出答案．
【详解】（1）解：将抛物线向右平移1 个单位后的解析式变成：
2
1
y
x
m
m
，
将点
3,0 代入
2
1
y
x
m
m
得：
2
0
3 1
m
m
，
解得
1
m 或
4
m
，
将抛物线向左平移3 个单位后的解析式变成：
2
3
y
x
m
m
，
将点
3,0 代入
2
3
y
x
m
m
得：
2
0
3
3
m
m
，
解得
4
m
或
9
m
，
∴公共解为
4
m
，
把
4
m
代入
2
y
x
m
m
，
得出抛物线对应的函数表达式为
2
2
4
4
8
12
y
x
x
x
；
令
0
y
，
则
2
0
8
12
x
x
，
解得
1
2
x
，
2
6
x ，
∴
2,0
A
，
6,0
B
，
令
0
x
，则
12
y
，
∴
0,12
C
，
设BC 的解析式为y
kx
b
，
则
6
0
12
k
b
b
，
解得
2
12
k
b
∴直线BC 对应的函数表达式为
2
12
y
x
．
（2）解：如图1，设直线l：y
a
，
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89 / 141
1
3
2
x
x
x
，
0,12
C
，
0
12
a
．
∵直线l 与抛物线和直线BC 都相交，
∴可列方程
2
1
1
2
2
2
3
8
12
,
8
12
,
2
12
.
x
x
a
x
x
a
x
a
得
2
2
1
2
1
2
8
24
2
x
x
x
x
a
．
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
，
∵抛物线的对称轴是
4
x
，
1
2
8
x
x
，
2
2
1
2
2
40
x
x
a
．
又
3
6
2
a
x
，
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
40
6
8
60
2
4
a
x
x
x
a
a
．
∵1
0
4
，
∴抛物线开口向上，
又
0
12
a
，
∴当
8
a
时，y 取得最小值为60，当
0
a
时，y 取得最大值为
2
1 0
8
60
76
4
，
2
1
60
8
60
76
4 a
．
即
2
2
2
1
2
3
60
76
x
x
x
．
（3）解：如图2，连接BD ，过点D 作DE
x
轴，垂足为E．
90 / 1
∵抛物线
2
4
4
y
x
，
∴顶点
4, 4
D
．
∴
2
2
4
6
4
0
2 5
BD
，
由（1）可知，
12
OC
，
6
OB
，
4
DE
，
2
BE
，
4
AB
，
2
2
0
6
12
0
6 5
BC
，
∵
12
tan
2
6
ABC
，
4
tan
2
2
DBE
tan
tan
2
ABC
DBE
，
ABC
DBE
．
PBD
与ABC
相似，
∴点P 在点B 的左侧．
∴存在
ABC
PBD
△
△
∽
或
ABC
DBP
△
∽△
．
当
ABC
PBD
△
△
∽
时，
则
D
AB
PB
BC
B
，
得
4
6 5
2 5
PB
4
3
PB
．
∴点
14 ,0
3
P
．
当
ABC
DBP
△
∽△
时，
有AB
DB
BC
BP
，
得
4
2 5
6 5
PB
15
PB
，
∴点
9,0
P
．
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综上，使PBD
与ABC
相似的点P 的坐标为14 ,0
3
或
9,0
．
考点05 二次函数与一元二次方程
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
y
x
bx
c
．
(1)若
1
b ，
2
c
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(3)抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
0,2
C
，直线
2
y
bx
与
1
y
bx
相交于点D ，E 是y 轴
上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
，试探究CD和DE 的数量关系，
并证明．
【答案】(1) 1 9
,
2 4
(2)证明：抛物线上的点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方，
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
，
2
0
0
0
c
x
bx
y
，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
4
1
4
4
4
4
2
4
0
b
c
b
c
b
x
bx
y
x
b
y
，
即方程
2
0
x
bx
c
有两个不相等的实数根，
抛物线与x 轴有两个交点．
(3)CD和DE 的数量关系是CD
DE
，
证明：抛物线
2
y
x
bx
c
与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
0,2
C
，如图，
故可设
1,0
A x
，
2,0
B x
，
1
2
x
x
，
则
1x ，
2x 是方程
2
2
0
x
bx
的两根，
92 / 1
由求根公式可得
2
1
8
2
b
b
x
，
2
2
8
2
b
b
x
，
又坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
，
由对称性可设
,
2
b
M
m
，
由勾股定理可得，
2
2
2
2
8
0
2
2
b
b
b
MA
m
，
2
2
2
2
2
b
MC
m
，
2
2
2
2
2
8
0
2
2
2
2
b
b
b
b
m
m
，
解得
1
2
m
，
点M 的坐标为
1
,
2 2
b
，
直线
2
y
bx
与
1
y
bx
相交于点D ，
0
b
，
联立
2
1
y
bx
y
bx
，解得
3
2
1
2
x
b
y
，
点D 的坐标为
3
1
,
2
2
b
，
由
1
,
2 2
b
M
，
3
1
,
2
2
D
b
可知MD
CE
，
又MC
ME
，
MD 垂直平分CE ，
CD
DE
．
【分析】（1）将
1
b ，
2
c
代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线上的点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方得
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
，进而得
2
0
0
0
c
x
bx
y
，
进而得判别式为
2
2
0
0
4
2
4
0
b
c
x
b
y
，得
2
0
x
bx
c
有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与
x 轴有两个交点；
（3）设
1,0
A x
，
2,0
B x
，
1
2
x
x
，由对称性可设
,
2
b
M
m
，根据抛物线与方程的关系可得
1x 、
2x ，根
据勾股定理得
2
MA ，
2
MC ，由MA
MC
列式计算可得点M 的坐标，联立直线
2
y
bx
与
1
y
bx
可得
点D 的坐标，进而得MD
CE
，由MC
ME
得MD 垂直平分CE ，进而得CD
DE
．
【详解】（1）解：
1
b
，
2
c
，
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93 / 141
2
2
1
9
2
2
4
y
x
x
x
，
抛物线的顶点坐标为1 9
,
2 4
．
（2）略
（3）略
2．（2026·云南·中考真题）已知
0
m
，
4
2
192
4
118
S
m
m
m
m
．某二次函数表示的图象为抛物线M ，抛
物线M 经过
10,0
A
，
2
2
4 ,0
B
m
m
两点．函数
2
4
3
24
y
x
x
表示的图象为抛物线T ．x 轴上有这
样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
(1)求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
(2)比较S 与145 的大小．
【答案】(1)
2,0
，
8,0
(2)
当
1
m 时，
145
S
；当
1
5
m
时，
145
S
【分析】（1）令
2
4
3
24
0
y
x
x
，求出x 值即可得出结果；
（2）分
2
2
4
2
m
m
和
2
2
4
8
m
m
两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：由题意，当
2
4
3
24
0
y
x
x
时，解得
1
2
2,
8
x
x
，
∴抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为
2,0
，
8,0 ；
（2）解：由（1）知：抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为
2,0
，
8,0 ；
∵抛物线M 经过
10,0
A
，
2
2
4 ,0
B
m
m
两点，x 轴上有这样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上，
∴
2
2
4
2
m
m
或
2
2
4
8
m
m
，
①当
2
2
4
2
m
m
时，整理得
2
(
1)
0
m
，解得
1
m ，
将
1
m 代入S 得：
4
2
192
4
1
1
118
72
1
1
S
∵
2
72
5184
145
，
∴72
145
，即
145
S
.
94 / 1
②当
2
2
4
8
m
m
时，整理得
2
2
4
0
m
m
，
解得
1
5
m
，
∴
2
2
4
m
m
，两边除以m 得4
2
m
m
，
∴
4
2
2
2
2
(
)
(2
4)
4
16
16
4(2
4) 16
16
24
32
m
m
m
m
m
m
m
m
，
2
192
192
96
2
4
2
m
m
m
，
∵
2
2
4
0
m
m
，
∴
2
4
2
m
m
，
∴(
2)(
2)
2
m
m
m
，
∴
2
2
2
m
m
m
，
∴
96
96(
2)
96
4
48
48
24
48
24(
2)
96
24
2
2
m
m
m
m
m
m
m
，
∴
(24
32)
(96
24 )
(
2) 118
12
S
m
m
m
m
，
∵
2
12
144
145
，
∴12
145
，即
145
S
；
综上：当
1
m 时，
145
S
；当
1
5
m
时，
145
S
.
3．
（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、
乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动
路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面1 m
2
高的A 点踢出花枪，A 点与O点的水平距离OB 是1 m
2
，
花枪飞行到与O 点水平距离3m 的C 处达到最高，高度为3m ．
①设花枪离地面的高度为
(m)
y
，到O点的水平距离为
(m)
x
．请建立平面直角坐标系，并求y 关于x 的函数
表达式；
②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离
m
d
处接花枪，能接到的高度最大为21m
10
，最小为1 m
2
，求d 的取
值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度
(m)
h
与时间(s)
t
之间
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95 / 141
的关系式是
2
8
5
7
5
h
t
t
（
0
t
），丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
【答案】(1)①如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为
2
2
3
3
5
y
x
；
②d 的取值范围为9
11
2
2
d
(2)丙的平均速度为25
8 米/秒
【分析】（1）①由题意得，
1 1
,
2 2
A
，设函数表达式为：
2
3
3
y
a x
，把
1 1
2 2
A
，
代入
2
3
3
y
a x
，
即可求解；
②当x
d
时，
2
2
2
2
12
3
3
3
5
5
5
5
y
d
d
d
，由题意得，
2
1
2
12
3
21
2
5
5
5
10
d
d
，即可求解；
（2）当
0
h
时，
2
8
5
7
0
5
t
t
，求得t ，即可求解．
【详解】（1）解：①由题意得，
1 1
,
2 2
A
，设函数表达式为：
2
3
3
y
a x
，
把
1 1
2 2
A
，
代入
2
3
3
y
a x
，得
2
1
1
3
3
2
2
a
，
解得
2
5
a
，
∴函数表达式为：
2
2
3
3
5
y
x
．
②当x
d
时，
2
2
2
2
12
3
3
3
5
5
5
5
y
d
d
d
，
由题意得，
2
1
2
12
3
21
2
5
5
5
10
d
d
，
当
2
2
12
3
1
5
5
5
2
d
d
时，整理得，
2
4
24
11
0
d
d
，
令
2
4
24
11
y
d
d
，
当
0
y
时，
2
4
24
11
0
d
d
，
解得
1
1
2
d
，
2
11
2
d
，
96 / 1
∴
2
4
24
11
0
d
d
的解集为1
11
2
2
d
；
当
2
2
12
3
21
5
5
5
10
d
d
时，整理得，
2
4
24
27
0
d
d
，
令
2
4
24
27
y
d
d
，
当
0
y
时，
2
4
24
27
0
d
d
，
解得
1
3
2
d
，
2
9
2
d
，
∴
2
4
24
27
0
d
d
的解集为
3
0
2
d
或
9
2
d
；
由题意得，
3
d
，
综上所述，d 的取值范围为9
11
2
2
d
．
（2）解：当
0
h
时，
2
8
5
7
0
5
t
t
，
解得1
8
5
t
，2
1
5
t
（舍去），
∴丙的平均速度为
8
25
5
5
8
（米/秒）．
4．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
与x 轴交于A ，
2,0
C
两点，与y 轴交于点
0, 6
B
，
动点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
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(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2 ，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
0,
E
p ，且
13
4
ED
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
的最小值和此时p 的值．
【答案】(1)
2
2
5
6
3
3
y
x
x
(2)①8；②
4
2
M
，
(3)13
5
4
，
9
4
p
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①由点B，C 的坐标得到OB ，OC ，再利用勾股定理求出
2
CD ，根据正方形的面积公式求解即可；
②过点M 作MG
y
轴，垂足为G ，通过“ AAS”证明MGD
DOC
≌
，得到
2
GD
OC
，GM
OD
，设
0
GM
OD
m m
，可得点
,2
M
m
m
，代入抛物线解析式，即可求解；
（3）过点A ，D 分别作ED ，AE 的平行线交于点F ，即AF
ED
∥
，FD
AE
∥
，则四边形AEDF 为平行
四边形，
13
4
AF
ED
，FD
AE
，连接CF ，由AE
CD
FD
CD
CF
，得到当C ，D ，F 三点共线
时，AE
CD
的最小值等于CF 的长，根据勾股定理求出CF ，得到AE
CD
的最小值．运用待定系数法求
出直线CF 的表达式，再求出点D 的坐标后，求出点E 的坐标，即可解答．
【详解】（1）解∶∵抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
过点
2,0
C
，点
0, 6
B
，
98 / 1
∴
2
2
2
2
0
3
6
b
c
c
，解得
5
3
6
b
c
，
∴抛物线的表达式为
2
2
5
6
3
3
y
x
x
．
（2）解：①由点
0, 6
B
，
2,0
C
可得
6
OB
，
2
OC
，
4
BD
，
6
4
2
OD
OB
BD
，
2
2
2
2
2
2
2
8
CD
OC
OD
，
2
8
CDMN
S
CD
正方形
．
②如图1，过点M 作MG
y
轴，垂足为G ，
则
90
MGD
DOC
．
四边形CDMN 为正方形，
90
CDM
，CD
DM
，
90
GDM
ODC
∵
90
DOC
，
∴
90
OCD
ODC
，
GDM
OCD
MGD
DOC
，
GDM
OCD
，DM
CD
，
∴
MGD
DOC AAS
≌
，
2
GD
OC
，GM
OD
．
设
0
GM
OD
m m
，则
2
OG
OD
GD
m
，
点
,2
M
m
m
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点
,2
M
m
m
在抛物线
2
2
5
6
3
3
y
x
x
上，
2
2
5
6
2
3
3
m
m
m
，解得
1
4
m
，
2
3
m （不满足
0
m
，舍去），
点
4, 2
M
．
（3）解：如图2 ，过点A ，D 分别作ED ，AE 的平行线交于点F ，即AF
ED
∥
，FD
AE
∥
，
四边形AEDF 为平行四边形，
13
4
AF
ED
，FD
AE
．
连接CF ，
AE
CD
FD
CD
CF
，
当C ，D ，F 三点共线时，FD
CD
CF
，如图3，
即AE
CD
的最小值等于CF 的长．
令
0
y
时，
2
2
5
6
0
3
3
x
x
，
解得，
1
9
2
x
，
2
2
x
，
点
9 ,0
2
A
，
∴点
9
13
,
2
4
F
．
点
2,0
C
，
100 / 1
9
13
2
2
2
AC
//
AF ED
，
90
CAF
COD
，
∴在Rt
CAF
△
中，
2
2
2
2
13
13
13
5
2
4
4
CF
AC
AF
，
AE
CD
的最小值为13
5
4
．
设直线CF 的表达式为
0
y
kx
n k
，
∵直线
0
y
kx
n k
过点
2,0
C
，
9
13
,
2
4
F
，
2
0
9
13
2
4
k
n
k
n
，解得
1
2
1
k
n
，
直线CF 的表达式为
1
1
2
y
x
，
点
0, 1
D
，
1
OD
．
13
9
1
4
4
OE
DE
OD
，
点
9
0, 4
E
，
当AE
CD
取最小值时，
9
4
p
．
5．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
:
2
3
C y
x
x
交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶
点为点P ．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)直线
:
0
l y
kx
b k
与抛物线C 交于D ，E 两点．
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①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若
90
DPE
，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
1,0
A
，
3,0
B
(2)①定点
1,0
F
；
如图，设直线l 与x 轴交于点F ，过点A 作AG
DE
，过点B 作BH
DE
，垂足分别为G 、H ．
∴
90
AGF
BHF
．
又∵A、B 两点到直线l 的距离相等，
∴AG
BH
．
又∵
AFG
BFH
，
∴
AGF
BHF AAS
≌
．
∴AF
BF
，
即：点F 为AB 中点．
∵
1,0
A
，
3,0
B
，
∴AB 中点
1,0
F
，
即直线l 过定点
1,0
F
；
②直线l 过定点
1, 3
【分析】（1）令
2
2
3
0
y
x
x
，解得
1
2
3,
1
x
x
，再根据抛物线
2
:
2
3
C y
x
x
交x 轴于A、B 两点
（点A 在点B 的左侧），得到
1,0
A
，
3,0
B
．
（2）①设直线l 与x 轴交于点F ，过点A 作AG
DE
，过点B 作BH
DE
，垂足分别为G 、H ．即可证明
AGF
BHF AAS
≌
．得到AF
BF
，则点F 为AB 中点，根据中点公式得到
1,0
F
，即直线l 过定点
1,0
F
；
102 / 1
②先求出顶点
1, 4
P
，过点P 作直线m
x
轴，过点D、E 分别作m 的垂线段，垂足分别为M 、N ，即可
证明
DPM
PEN
△
∽△
，得到DM
MP
PN
EN
，设
2
1
1
1
,
2
3
D x x
x
，
2
2
2
2
,
2
3
E x
x
x
，分别表示出MP ，PN ，DM ，
EN ，代入整理得
1
2
1
2
2
x
x
x x
，再联立
2
2
3
y
kx
b
y
x
x
，结合根与系数的关系得到
1
2
2
x
x
k
，
1 2
3
x x
b
．即可得到
3
b
k
，则
1
3
y
kx
b
k x
，直线l 过定点
1, 3
．
【详解】（1）解：令
2
2
3
0
y
x
x
，解得
1
2
3,
1
x
x
，
∵抛物线
2
:
2
3
C y
x
x
交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），
∴
1,0
A
，
3,0
B
．
（2）解：①略
②∵
2
:
2
3
C y
x
x
的对称轴为
2
1
2
x
，当
1
x 时，
2
2
3
4
y
x
x
，
∴顶点
1, 4
P
，
如图，过点P 作直线m
x
轴，过点D、E 分别作m 的垂线段，垂足分别为M 、N ，
∴
90
DMP
PNE
，
∴
90
MDP
MPD
．
又∵
90
DPE
，
∴
90
DPM
EPN
．
∴
DPM
PEN
．
∴
DPM
PEN
△
∽△
．
∴DM
MP
PN
EN
，
设
2
1
1
1
,
2
3
D x x
x
，
2
2
2
2
,
2
3
E x
x
x
，
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∴
1
1
MP
x
，
2
1
PN
x
，
2
2
1
1
1
2
3
4
1
DM
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
3
4
1
EN
x
x
x
，
∴
2
1
1
2
2
2
(
1)
1
1
(
1)
x
x
x
x
．
整理得
1
2
1
2
2
x
x
x x
．
∵直线
:
0
l y
kx
b k
与抛物线C 交于D ，E 两点．
∴联立
2
2
3
y
kx
b
y
x
x
，
可得
2
2
3
0
x
k x
b
，
∴
1
2
2
x
x
k
，
1 2
3
x x
b
．
代入
1
2
1
2
2
x
x
x x
可得
2
3
2
k
b
，
∴
3
b
k
．
∴
3
1
3
y
kx
b
kx
k
k x
，
∴当
1
x 时，
3
y
固定不变，
∴直线l 过定点
1, 3
．
考点06 实际问题与二次函数
1．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①
所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A 处
投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
，
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
，
2
3
2
:
0. 5
C
y
x
px
q
，与水面分别接触于点B ，点C ．
（演
示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
(1)已知点A 与点O所在直线AO 的表达式为
0.9
y
x
，分别求出A ，B 两点的坐标；
104 / 1
(2)若水面上
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
4
DE
的暗礁，抛物线
2
C 在
14
x
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
2
C 运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径
3
C 撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹内部回
弹装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
1
2
FH
MH
MH
NH
．且目标露出水面的垂直高度
6
HG
，点H 的坐标
20,0 ，打击点N 距水面的距离为NH ，
且6
10
NH
，求抛物线
3
C 中p 的取值范围．
【答案】(1)
9,8.1
A
，
10,0
B
(2)能避开障碍物和暗礁
(3) 41
43
4
4
p
【分析】（1）将
8.1
y
，代入
0.9
y
x
，求得A 的坐标，将
0
y
，代入
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
，即可求得B
的坐标；
（2）先根据对称轴为
14
x
得出
7
m
，代入
10,0
B
求得
45
n
，得出
2
2
0.25
7
45
:
C
y
x
x
，分别计
算
12
x
和
16
x
的函数值，结合题意，即可求解；
（3）设
20,
F
f ，根据已知得出3
5
2
2
f
，将
18,0
C
代入
3
C ，得出
81 18
q
p
，将
20
x
代入，得出
19
2
f
p
，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为8.1的A 处投放跳弹，直线AO 的表达式为
0.9
y
x
，
∴当
8.1
y
时，0.9
8.1
x
，
解得：
9
x
，
∴
9,8.1
A
，
∵
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
，
当
0
y
时，
2
0.25
2.5
0
x
x
，
解得：
1
2
0,
10
x
x
，
∴
10,0
B
；
（2）解：∵
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
，抛物线
2
C 在
14
x
时距水面最高，
∴
14
2
0.25
m
x
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105 / 141
解得：
7
m
，
∴
2
2
2
:
0. 5
7
C
y
x
x
n
，
∵
2
C 过点
10,0
B
，
∴当
10
x
时，
2
0.25 10
7 10
0
n
，
解得：
45
n
，
∴
2
2
0.25
7
45
:
C
y
x
x
，
当
0
y
时，
2
0.25
7
45
0
x
x
，
解得：
1
2
10,
18
x
x
，
∴
18,0
C
，
∵水面上
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物，
∴当
12
x
时，
2
0.25 12
7 12
45
3
y
，
∵3
2
，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽
4
DE
，
12
OD
，
∴
12
4
16
OE
，
∴当
16
x
时，
2
0.25 16
7 16
45
3
y
，
∵3
0
，
∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径
2
C 运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点H 的坐标
20,0 ，
设
20,
F
f
，
∵
1
2
FH
MH
MH
NH
，
∴
1
2
FH
MH
，
1
2
MH
NH
，
∵6
10
NH
，
∴3
5
MH
，
∴3
5
2
2
FH
，即3
5
2
2
f
，
106 / 1
∵
3
C 过点
18,0
C
，
当
18
x
时，
2
0.25 18
18
0
p
q
，即
81 18
q
p
，
∴当
20
x
时，
2
3
0.25 20
2
00
20
:
0
1
C
y
p
q
p
q
，
100
20
81 18
19
2
p
p
p
即
19
2
f
p
，
∵3
5
2
2
f
，
∴
5
19
2
2
3
19
2
2
p
p
，
解得：41
43
4
4
p
．
2．（2026·湖南·中考真题）如图1，公路1l 与铁路2l 垂直交汇于河岸O点处，公路1l 与河岸的另一交点为A ，
其中河岸OCB 段为抛物线的一部分，AB 段为线段，
7 km
OA
，
5km
AB
，点B 到公路1l 的距离
3km
BD
，
抛物线的顶点C 到公路1l 与铁路2l 的距离分别为4 km 与2 km ．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与
公路1l 围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2 ，栅栏EF 紧
挨公路1l （与公路1l 的距离忽略不计），栅栏EH
EF
，点H 在该段抛物线上；栅栏FG
EF
，点G 在线段
AB 上．以点O为坐标原点，直线1l 与2l 分别为x 轴与y 轴，规定1个单位长度为1 km ，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出点B 的坐标；
(2)分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
2
EH
FG
，已知建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费
17 万元．求栅栏EH 到铁路2l 的距离．
【答案】(1)
(3,3)
B
学科网（北京）股份有限公司
107 / 141
(2)直线AB 的函数表达式为：
3
21
4
4
y
x
；抛物线OCB 的函数表达式为：
2
4
y
x
x
(3)1 km
【分析】（1）由
7km
OA
确定(7,0)
A
，利用勾股定理由
5km
AB
、
3km
BD
求点B 的横坐标．
（2）用待定系数法分别求直线AB 和抛物线OCB 的解析式．
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为17 km
2
，即
17 km
2
HE
EF
FG
；设
( ,0)
E e
，利用抛物线解析式
写出
2
,
4
H e
e
e
，利用直线AB 解析式写出
3
21
,
4
4
G
f
f
；由
2
EH
FG
把f 用e表示，再得到关于e
的一元二次方程，结合
1.5
e
取根，即可得到栅栏EH 到铁路2l （y 轴）的距离．
【详解】（1）解：O为原点，1l 为x 轴，
7km
OA
，
(7,0)
A
，
点B 到1l 的距离
3km
BD
，
5km
AB
，
∴
2
2
2
2
5
3
4km
DA
AB
BD
，
∴
7
4
3km
OD
OA
DA
，
(3,3)
B
．
（2）解：设直线AB 的函数表达式为：y
kx
b
，
将(7,0)
A
、
(3,3)
B
代入得：
7
0
3
3
k
b
k
b
，
解得
3
4
21
4
k
b
，
直线AB 的函数表达式为：
3
21
4
4
y
x
．
顶点C 到1l 的距离为4km ，到2l 的距离为2km ，
(2,4)
C
，
∴设抛物线OCB 的函数表达式为
2
(
2)
4
y
a x
，
将
(0,0)
O
代入得0
4
4
a
，
解得：
1
a ，
2
2
(
2)
4
4
y
x
x
x
，
108 / 1
抛物线OCB 的函数表达式为：
2
4
y
x
x
．
（3）解：∵建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费17 万元，
∴栅栏总长为17 km
2
，
17
2
HE
EF
FG
，
设点E 的坐标为( ,0)
e
，且0
3
e
，
点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
1.5
e
，
点H 在抛物线
2
4
y
x
x
上，
2
,
4
H e
e
e
，
2
4
HE
e
e
，
设点F 的坐标为( ,0)
f
，且f
e
，
点G 在直线
3
21
:
4
4
AB y
x
上，
3
21
,
4
4
G
f
f
，
3
21
4
4
FG
f
，
2
EH
FG
，
2
3
21
4
2
4
4
e
e
f
，
整理得：
2
2
8
21
3
e
e
f
，
又
EF
f
e
，
2
3
21
17
4
(
)
4
4
2
HE
EF
FG
e
e
f
e
f
，
将
2
2
8
21
3
e
e
f
代入，整理得：
2
5
14
9
0
e
e
，
解得：
1
1
e ，
2
9
5
e
，
1.5
e
，
9
5
e
不合题意，舍去，
1
e
，
栅栏EH 到铁路2l 的距离为1 km ．
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109 / 141
3．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，O 为原点，点B 在x 轴的
正半轴上，点A ，C 分别在第一、第四象限，且关于x 轴对称，
6
OA
，
90
A
，
120
AOC
．
(1)填空：如图①，点B 的坐标为________，点C 的坐标为________；
(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l
x
轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O
落在x 轴的正半轴上．设OP
t
．
①如图②，若直线l 分别与边AB ，CB相交于点D ，E ，当折叠后重叠部分为五边形时，点A ，C 的
对应点分别为A，C，A O
与DB 相交于点F
，C O
与EB 相交于点G ．试用含有t 的式子表示线段DF
的长，并直接写出t 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S ，当2
8
t
时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
12,0 ，
3, 3 3
(2)①
4 3
4 3
3
DF
t
，3
6
t
；②
72 3
4 3
5
S
【分析】（1）连接AC 交x 轴于点R ，然后解
,
Rt AOB Rt AOR
，再根据轴对称的性质即可求解；
（2）①导角得到
O BF
OF B
，则
12
2
O F
O B
t
，那么
6
12
2
2
6
A F
A O
O F
t
t
，然
后解Rt A FD
，即可求解DF ，然后找出两个临界位置求解t 的取值范围即可；
②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解S 的取值范围．
【详解】（1）解：连接AC 交x 轴于点R ，
110 / 1
∵
6
OA
，
90
A
，
120
AOC
．
∴由对称可得，
1
60
2
AOB
COB
AOC
，AC
OB
，
∴
12
cos
OA
OB
AOB
，
cos
3
OR
OA
AOB
，
sin
3 3
AR
OA
AOB
，
∴
12,0
B
，
3,3 3
A
，
∵点A，C 关于x 轴对称，
∴
3, 3 3
C
；
（2）解：①在Rt AOB
中，∵
60
AOB
，
∴
30
ABO
，
由折叠可得，
6
A O
AO
，OP
O P
t
，
90
A
A
，
60
A O P
AOP
，
∴
12
2
O B
OB
OP
O P
t
，
30
O FB
A O P
ABO
∴
O BF
OF B
∴
12
2
O F
O B
t
∴
6
12
2
2
6
A F
A O
O F
t
t
，
由
A FD
O FB
得，
30
A FD
，
在Rt A FD
中，cos
A F
A FD
DF
，得
2
6
cos30
t
DF
∴
4 3
4 3
3
DF
t
当点
,
,
,
A A D F
重合时，如图：
此时由（1）可得，
3
t
OP
；
当点
,
,
,
O F G B
重合时，如图：
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此时
2
12
OB
t
，则
6
t
，
∴t 的取值范围为3
6
t
；
②当2
3
t
时，如图，记直线l 与
,
OA OC 交于点
,
D E ，重叠部分为DO E
，
此时
DO E
S
S
，
在Rt
DOP
△
中，
tan
3
DP
OP
AOB
t
，
∴由对称可得，
2
2 3
DE
DP
t
，OP
O P
t
，
∴
2
1
1
2 3
3
2
2
DO E
S
S
DE
O P
t
t
t
，
∵
3
0
，对称轴为直线
0
t
∴当2
3
t
时，S 随着t 的增大而增大
∴
2
t
时，
4 3
S
；
3
t
时，
9 3
S
，
∴2
3
t
时，4 3
9 3
S
；
当3
6
t
，重叠部分为五边形DEGO F
，延长O F
交直线l 于点K ，
112 / 1
在Rt KPO
中，
60
KO P
，
∴
30
K
A FD
∴DK
DF
，
1
2 3
2 3
2
3
A D
DF
t
∵
90
DA F
∴
2
6
KA
A F
t
∴
4
12
KF
t
，
∴
2
1
1
2 3
4 3
4
12
2 3
3
2
2
3
3
KFD
S
KF
A D
t
t
t
，
在Rt KPO
中，
tan
3
KP
O P
A O P
t
∴
2
1
3
2
2
KPO
S
O P
KP
t
∴
2
2
2
3
4 3
5 3
3
8 3
12 3
2
3
6
KPO
KFD
S
S
t
t
t
t
∴
2
2
5 3
5 3
2
2
2
8 3
12 3
16 3
24 3
6
3
KPO
KFD
DEGO F
DPO F
S
S
S
S
t
t
t
t
五边形
四边形
，
即
2
5 3
16 3
24 3
3
S
t
t
∵
5 3
0
3
，3
6
t
，对称轴为直线
16 3
24
5
5 3
2
3
t
，
∴当
24
5
t
时，S 取得最大值为
2
5 3
24
24
72 3
16 3
24 3
3
5
5
5
S
，
当
3
t
时，可求
9 3
S
；当
6
t
时，可求
12 3
S
，
∴当3
6
t
时，
72 3
9 3
5
S
；
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当6
8
t
时，重叠部分为BDE
，
此时
12
BP
OB
OP
t
，
在Rt DPB
中，
30
ABO
，
∴
3
tan
12
3
DP
BP
ABO
t
，
∴由对称可得，
2 3
2
12
3
DE
DP
t
，
∴
2
1
1
2 3
3
12
12
12
2
2
3
3
BDE
S
S
DE
BP
t
t
t
，
即
2
3
8 3
48 3
3
S
t
t
，
∵
3
0
3
，对称轴为直线
8 3
12
3
2
3
t
，
∴当6
8
t
时，S 随着t 的增大而减小，
∴当
6
t
时，可求
12 3
S
；
8
t
时，可求
16 3
3
S
，
∴当6
8
t
时，16 3
12 3
3
S
综上：
72 3
4 3
5
S
．
考点07 二次函数综合
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线
2
4
y
ax
bx
与x 轴交于点
1,0
A
，
4,0
B
，
与y 轴交于点C ，点O为坐标原点，作直线BC ．
114 / 1
(1)求该抛物线的解析式．
(2)在抛物线上有两个动点P ，Q ，点P 在第一象限，横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，交BC
于点M ，点Q 的横坐标为
3
2
m
．若
MCN
△
的面积记作
1S ，
PMQ
△
的面积记作
2S ，当
1
2
S
S
S
有最大值
时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
(3)把抛物线
2
4
y
ax
bx
沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y过点C ，点E 是新抛物线y对称轴与
x 轴的交点，点F 是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC ，FO．若FO平分
CFE
，请直接写出符合条
件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
(2)
2,6
P
(3)
5 8
39
,
2
2
或
5 8
39
,
2
2
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线BC 的解析式为
4
y
x
，结合已知可得
2
,
3
4
P m
m
m
0
4
m
，
,0
N m
，
,
4
M m
m
，
2
3
11
,
6
2
4
Q m
m
m
，则
4
MN
m
，
2
4
PM
m
m
，
3
2
P
Q
x
x
，则可求
出
1
2
2
5
5
4
m
S
m
S
S
，根据二次函数的性质得出当
2
m
时，S 有最大值，此时
2
3
4
6
m
m
，即可
求解；
（3）根据题意判断出点C 与点B 是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4 个单位长度，再向上平移
4 个单位长度得出新抛物线y，根据平移规律得出
2
5
41
2
4
y
x
，则新抛物线的对称轴为直线
5
2
x
，
5 ,0
2
E
，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出
CFO
COF
EFO
，根据等边对等角得出
CF
CO
，设
5 ,
2
F
n
，根据两点距离公式得出
2
2
5
0
4
4
2
n
，解方程即可．
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【详解】（1）解：∵抛物线
2
4
y
ax
bx
经过点
1,0
A
，
4,0
B
，
∴
4
0
16
4
4
0
a
b
a
b
，
解得
1
3
a
b
，
∴
2
3
4
y
x
x
；
（2）解：当
0
x
时，
4
y
，
∴
0,4
C
，
设直线BC 的解析式为
1
1
y
k x
b
，
则
1
1
1
4
0
4
k
b
b
，
解得
1
1
1
4
k
b
，
∴直线BC 的解析式为
4
y
x
，
∵点P 在第一象限，横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，交BC 于点M ，点Q 的横坐标为
3
2
m
，
∴
2
,
3
4
P m
m
m
0
4
m
，
,0
N m
，
,
4
M m
m
，Q 的纵坐标为
2
2
3
3
11
3
4
6
2
2
4
m
m
m
m
，则
2
3
11
,
6
2
4
Q m
m
m
，
或
∴
4
MN
m
，
2
2
3
4
4
4
PM
m
m
m
m
m
，
3
3
2
2
P
Q
x
x
m
m
，
∴
1
2
S
S
S
1
1
2
2
N
P
Q
MN x
PM
x
x
2
1
1
3
4
4
2
2
2
m
m
m
m
116 / 1
2
5
5
4 m
m
2
5
2
5
4 m
，
∵
5
0
4
，
∴当
2
m
时，S 有最大值，
此时
2
2
3
4
2
3
2
4
6
m
m
，
∴
2,6
P
；
（3）解：∵抛物线
2
2
3
25
3
4
2
4
y
x
x
x
沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y过点C ，
∴相当于点C 与点B 是平移前后的对应点，
即把原抛物线向左平移4 个单位长度，再向上平移4 个单位长度得出新抛物线y，
∴
2
2
3
25
5
41
4
4
2
4
2
4
y
x
x
，
∴新抛物线的对称轴为直线
5
2
x
，
5 ,0
2
E
，
∵FO平分
CFE
，
∴
EFO
CFO
，
∵EF
y
∥
轴，
∴
EFO
COF
，
∴
CFO
COF
，
∴CF
CO
，
设
5 ,
2
F
n
，
∵
0,4
C
，
0,0
O
，
∴
2
2
5
0
4
4
2
n
，
解得
8
39
2
n
，
∴F 的坐标为
5 8
39
,
2
2
或
5 8
39
,
2
2
．
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或
2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线
2
2
y
ax
bx
（
0
a
）与x 轴交于
2,0
A
、
1,0
B
两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 为抛物线在第二象限内的动点，求ACD
面积的最大值；
(3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q ，使得
2
ACQ
OCB
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说
明理由．
【答案】(1)
2
2
y
x
x
(2)1
(3)存在，
6 104
,
7
49
Q
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得
0,2
C
，连接OD ，设
2
,
2
D t
t
t
，其中2
0
t
，然后根据割补法得到ACD
的面
积，进而根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）过点O作OE
CQ
∥
，交AC 于点E ，过点E 作EG
OC
，取OA的中点F ，连接CF ，过点F 作FH
BC
，
过点O作OP
AC
，由题意易得
2,
1
OA
OC
OB
，
2
2
5
BC
OB
OC
，
45
ACO
，然后可得
2
BCF
BCO
ACQ
OEC
，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
2
y
ax
bx
（
0
a
）与x 轴交于
2,0
A
、
1,0
B
两点，
118 / 1
∴
4
2
2
0
2
0
a
b
a
b
，解得：
1
1
a
b
，
∴抛物线的表达式为
2
2
y
x
x
；
（2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为
2
2
y
x
x
，
∴令
0
x
时，则有
2
y
，即
0,2
C
，
连接OD ，设
2
,
2
D t
t
t
，其中2
0
t
，
∵
2,0
A
，
0,2
C
，
∴
2
OA
OC
，
∴
2
1
1
2,
2
2
2
AOC
AOD
D
S
OA OC
S
OA y
t
t
，
1
2
COD
D
S
OC x
t
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
1
ADC
AOD
COD
AOC
S
S
S
S
t
t
t
t
t
t
，
∴当
1
t 时，ACD
的面积最大，最大值为1；
（3）解：存在点Q ，使得
2
ACQ
OCB
，
∵
2,0
A
，
0,2
C
，
1,0
B
，
∴
2,
1
OA
OC
OB
，
∴
2
2
5
BC
OB
OC
，
45
ACO
，
过点O作OE
CQ
∥
，交AC 于点E ，过点E 作EG
OC
，取OA的中点F ，连接CF ，过点F 作FH
BC
，
过点O作OP
AC
，如图所示：
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∴
1
1
2
OF
OA
OB
，
ACQ
OEC
，
sin 45
2
OP
OC
CP
，
∵OC
BF
，
∴
5
CF
BC
，
∴
BCO
FCO
，
∴
2
BCF
BCO
ACQ
OEC
，
∵
1
1
2
2
BCF
S
BF OC
BC FH
，
∴
2 2
4 5
5
5
FH
，
∴
4
sin
5
FH
FCB
FC
，
∴
4
sin
5
OP
OEC
OE
，
∴
5 2
4
OE
，
∴
2
2
3 2
4
PE
OE
OP
，
∴
7 2
4
CE
CP
PE
，
∴
7
sin 45
4
EG
CG
CE
，
∴
1
4
OG
OC
CG
，
∴
7 1
,
4 4
E
，
设OE 的解析式为y
kx
，则有
7
1
4
4
k
，
∴
1
7
k
，
∴OE 的解析式为
1
7
y
x
，
∵OE
CQ
∥
，
120 / 1
∴设直线CQ 的解析式为
1
7
y
x
m
，把点
0,2
C
代入得：
2
m
，
∴直线CQ 的解析式为
1
2
7
y
x
，
联立
2
1
2
7
2
y
x
y
x
x
，解得：
6
7
104
49
x
y
或
0
2
x
y
（不符合题意，舍去），
∴
6 104
,
7
49
Q
．
3．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
0
2
y
ax
x
c a
的图象与x 轴
交于
1,0
A
B
、两点，与y 轴交于点
0,2
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC ，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH
BC
于点H，求线段PH 的最大值；
(3)连接AC ，点D 与点C 关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE ，使
BDE
ACO
，
求点E 的纵坐标．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
(2) 4 5
5
(3) 2
或2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P 作PQ
y
轴交BC 于点Q，求出点B 的坐标为
4,0 ；则可求出直线BC 的函数表达式为
1
2
2
y
x
；设点P 的坐标为
2
1
3
,
2
2
2
p
p
p
，则点Q 的纵坐标为
1
2
2 p
，故
2
1
2
2
2
PQ
p
；
可证明
2 5
sin
sin
5
PQH
OCB
∠
∠
；则可证明
2
2 5
5
4 5
2
5
5
5
PH
PQ
p
，据此可得答案；
（3）当点E 在点B 上方时，设DE 交x 轴于点H，可证明
AOC
DBO
，则可证明
BDE
DBO
∠
∠
，得
到DH
BH
；设DH
BH
t
，则
4
OH
t
，由勾股定理得
2
2
2
2
4
t
t
，解方程推出
3 ,0
2
H
，则直
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121 / 141
线DH 的函数表达式为
1
4
2
3
y
k
，联立
2
4
2
3
1
3
2
2
2
y
x
y
x
x
，解得
3
2
x
y
或
8
3
50
9
x
y
（舍去），则点E 的
纵坐标为2；当点E 在点B 下方时，可证明DE
OB
∥
，即DE
x
轴，则点E 的纵坐标为2
．
【详解】
（1）解：∵二次函数
2
3
0
2
y
ax
x
c a
的图象与x 轴交于
1,0
A
B
、两点，与y 轴交于点
0,2
C
，
∴
2
3
1
1
0
2
2
a
c
c
，
∴
1
2
2
a
c
，
∴二次函数的表达式为
2
1
3
2
2
2
y
x
x
；
（2）解：如图所示，过点P 作PQ
y
轴交BC 于点Q
在
2
1
3
2
2
2
y
x
x
中，当
0
y
时，
2
1
3
2
0
2
2
x
x
，
解得
1
x 或
4
x
，
∴点B 的坐标为
4,0 ；
设直线BC 的函数表达式为
0
y
k x
b k
，
∴
4
0
2
k
b
b
，
∴
1
2
2
k
b
，
∴直线BC 的函数表达式为
1
2
2
y
x
；
设点P 的坐标为
2
1
3
,
2
2
2
p
p
p
，
∵PQ
y
轴，
∴点Q 的横坐标为p，
122 / 1
∴点Q 的纵坐标为
1
2
2 p
，
∴
2
2
2
1
3
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PQ
p
p
p
p
p
p
；
∵PQ
y
轴，
∴
PQH
OCB
∠
∠
，
∴sin
sin
PQH
OCB
∠
∠
；
∵
4,0
0,2
B
C
，
，
∴
4
2
OB
OC
，
，
∴
2
2
2
2
4
2
2 5
BC
OB
OC
，
∴
4
2 5
sin
5
2 5
OB
OCB
BC
∠
，
∴
2 5
sin
PQH
5
；
∵PH
BC
，
∴
90
PHQ
，
∴sin
PH
PQH
PQ
∠
，
∴
2
2 5
5
4 5
2
5
5
5
PH
PQ
p
，
∵
5
0
5
，
∴当
2
0
p
，即
2
p
时，PH 有最大值，最大值为4 5
5
；
（3）解：如图3-1 所示，当点E 在点B 上方时，设DE 交x 轴于点H，
∵
0,2
C
，点C 与点D 关于原点成中心对称，
∴
0, 2
D
，
∴
2
OC
OD
，
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∵
1,0
4,0
A
B
，
，
∴
1
4
OA
OB
，
，
∴
1
1
tan
tan
2
2
OA
OD
AOC
DBO
OC
OB
∠
，∠
，
∴tan
tan
AOC
DBO
∠
∠
，
∴
AOC
DBO
；
∵
BDE
ACO
，
∴
BDE
DBO
∠
∠
，
∴DH
BH
；
设DH
BH
t
，则
4
OH
t
，
在Rt
DOH
△
中，由勾股定理得
2
2
2
DH
OD
OH
，
∴
2
2
2
2
4
t
t
，
解得
5
2
t
，
∴
3
2
OH
，
∴
3 ,0
2
H
；
设直线DH 的函数表达式为
1
1
1
0
y
k x
b k
，
∴
1
1
1
3
0
2
2
k
b
b
，
∴
1
1
4
3
2
k
b
，
∴直线DH 的函数表达式为
4
2
3
y
x
，
联立
2
4
2
3
1
3
2
2
2
y
x
y
x
x
，解得
3
2
x
y
或
8
3
50
9
x
y
（舍去），
∴点E 的坐标为
3,2 ，
∴点E 的纵坐标为2；
如图3-2 所示，当点E 在点B 下方时，
124 / 1
同理可得
BDE
DBO
∠
∠
，
∴DE
OB
∥
，即DE
x
轴，
∴点E 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，即点E 的纵坐标为2
；
综上所述，点E 的纵坐标为2
或2．
4．
（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线
6
y
x
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
经过A ，C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．抛物线的对称轴为直线
3
2
x
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 在抛物线上，横坐标为t ，若点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，求出所有满足条件的t 的值；
(3)若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出
5
2
PH
PO
的最小值．
【答案】(1)
2
1
6
3
y
x
x
(2)
3 3 2
t
或
3
3 2
t
或
3
t
(3)15
2
【分析】（1）根据一次函数先求得
,
A C 的坐标，进而根据对称轴求得点B 的坐标，设抛物线解析式为
6
3
y
a x
x
，代入
0
6
C
，
，待定系数法即可求解；
（2）根据AOC
是等腰直角三角形，点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，取点
0, 3
E
，
9,0
F
，过点
,
E F
分别作AC 的平行线1
2
,l l ，过点
,
E F 分别作AC 的垂线，垂直分别为
,
K G ，得出D 在1
2
,l l ，根据一次函数的
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平移可得1
2
,l l 的解析式分别为
3
y
x
，
9
y
x
，分别联立抛物线解析式，即可求解；
（3）先求得
3
27
,
2
4
H
，根据
5
2
PH
PO
转化为
5
2 5
2
5
PH
PQ
，构造1: 2
5
：的直角三角形，过
点P 作PQ
HQ
使得
2
PQ
QH
，则
2
2
5
PH
PQ
QH
QH
，得出
2 5
sin
5
PQ
PHQ
PH
，
tan
2
PHQ
，
5
cos
5
PHQ
，当P 在ON 上时，
5
2
PH
PO
取得最小值，最小值为
5
2 ON ．进而求得
ON 的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线
6
y
x
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，
当
0
x
时，
6
y ，当
0
y
时，
6
x ，
∴
6,0
A
，
0, 6
C
，
∵抛物线与x 轴的另一个交点为B ，抛物线的对称轴为直线
3
2
x
．
∴
3,0
B
，
设抛物线解析式为
6
3
y
a x
x
，代入
0, 6
C
，
∴6
18a
解得：
1
3
a
∴
2
1
1
6
3
6
3
3
y
x
x
x
x
；
（2）解：∵
6,0
A
，
0, 6
C
∴
6
OA
OC
，
∴AOC
是等腰直角三角形，
∴
45
ACO
设直线AC 的解析式为y
kx
b
，代入
6,0
A
，
0, 6
C
∴
6
0
6
k
b
b
，解得：
1
6
k
b
∴直线AC 的解析式为
6
y
x
如图，取点
0, 3
E
，
9,0
F
，过点
,
E F 分别作AC 的平行线1
2
,l l ，过点
,
E F 分别作AC 的垂线，垂足分
别为
,
K G ，
126 / 1
∴
45
GCF
ECK
ACO
，
3
EC
FC
∴
,
ECK
GCF
是等腰直角三角形，
∴
2
3 2
2
2
EK
EC
，
2
3 2
2
2
FG
FC
∵点D 到直线AC 的距离为3
2
2
∴D 在1
2
,l l 上，
∵1
2
,l l 平行AC ，
∴1
2
,l l 的解析式分别为
3
y
x
，
9
y
x
联立
2
3
1
6
3
y
x
y
x
x
消去y 得，
2
1
6
3
3 x
x
x
解得：
1
2
3 3 2,
3
3 2
x
x
联立
2
9
1
6
3
y
x
y
x
x
消去y 得，
2
1
6
9
3 x
x
x
解得：
3
x
∵点D 横坐标为t ，
∴
3 3 2
t
或
3
3 2
t
或
3
t
（3）∵
2
2
1
1
3
27
6
3
3
2
4
y
x
x
x
∴
3
27
,
2
4
H
如图，过点P 作PQ
HQ
使得
2
PQ
QH
，则
2
2
5
PH
PQ
QH
QH
，
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∴
2 5
sin
5
PQ
PHQ
PH
，tan
2
PHQ
，
5
cos
5
PHQ
，
∴
2 5
5
PQ
PH
，
过点O作ON
QH
，设HQ 的延长线交x 轴于点T ，PH 交x 轴于点L ，则
90
TON
OTH
PHQ
∴
5
5
2 5
5
5
2
2
5
2
2
PH
PO
PH
PO
PQ
PO
ON
∴当P 在ON 上时，
5
2
PH
PO
取得最小值，最小值为
5
2 ON ．
∴
27
4
LH
∴
27
tan
2
2
LT
LH
PHQ
LH
∴
27
3
15
2
2
TO
∴
5
cos
15
3 5
5
ON
OT
TON
，
∴
5
5
5
15
3 5
2
2
2
2
PH
PO
ON
5．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
与x 轴交于A ，(2,0)
C
两点，与y 轴交于点
(0, 6)
B
．动
点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
128 / 1
①如图1，当
4
BD
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(0, )
E
p ，且
13
4
ED
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
的最小值和此时p 的值．
【答案】(1)
2
2
5
6
3
3
y
x
x
(2)①8 ；②( 4, 2)
(3) AE
CD
的最小值为13 5
4
，此时
9
4
p
【分析】（1）把
(2,0)
C
、
(0, 6)
B
代入
2
2
3
y
x
bx
c
，解方程组求出
5
3
6
b
c
，即可得出答案；
（2）①根据
(0, 6)
B
、
4
BD
得出
2
OD
，根据点
(2,0)
C
，利用勾股定理求出
2
8
CD
，即可求出正方形
CDMN 的面积；
②过点M 作MF
x
轴于F ，MH
y
轴于H ，得出四边形FMHO 是矩形，得出OH
FM
，MH
OF
，
根据正方形的性质及角的和差关系得出CD
MD
，
MDH
OCD
，可证明
(AAS)
MDH
OCD
≌
，得出
2
DH
OC
，MH
OD
，设
2
2
5
( ,
6)
3
3
M m
m
m
(
0)
m
，则MH
m
，
2
2
5
6
3
3
OH
m
m
，根据
OD
OH
DH
得出
2
2
5
6
2
3
3
m
m
m
，解方程求出m 的值，即可得出答案；
（3）过点A 作AG
y
∥
轴，使
13
4
ED
AG
，连接DG ，得出四边形AGDE 是平行四边形，可得AE
DG
，
得出当点G 、D 、C 三点在同一条直线上时，AE
CD
取最小值，最小值为CG 的长，根据抛物线解析式求
出
9
(
,0)
2
A
，利用勾股定理求出
13 5
4
CG
，利用待定系数法求出直线CG 的解析式为
1
1
2
y
x
，进而求
出
(0, 1)
D
，根据
13
4
ED
，即可求出
9
4
p
．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
与x 轴交于A ，
(2,0)
C
两点，与y 轴交于点
(0, 6)
B
，
∴
2
2
2
2
0
3
6
b
c
c
，
解得：
5
3
6
b
c
，
∴抛物线的表达式为
2
2
5
6
3
3
y
x
x
．
（2）解：①∵
(0, 6)
B
，点D 在线段OB 上，
4
BD
，
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∴
6
OB
，
2
OD
OB
BD
，
∵
(2,0)
C
，
∴
2
OC
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
8
CD
OD
OC
，
∴正方形CDMN 的面积为
2
8
CD
；
②如图，过点M 作MF
x
轴于F ，MH
y
轴于H ，
∵
90
OFM
FOH
MHO
，
∴四边形FMHO 是矩形，
∴OH
FM
，MH
OF
，
∵在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ，
∴CD
MD
，
90
CDM
，
∵
90
MDH
ODC
，
90
ODC
OCD
，
∴
MDH
OCD
，
在MDH
和OCD
中，
MHD
DOC
MDH
OCD
MD
CD
，
∴
AAS
MDH
DCO
≌
，
∴
2
DH
OC
，MH
OD
，
设
2
2
5
( ,
6)
3
3
M m
m
m
(
0)
m
，则MH
m
，
2
2
2
5
2
5
(
6)
6
3
3
3
3
OH
m
m
m
m
，
∵OD
OH
DH
，
∴
2
2
5
6
2
3
3
m
m
m
，
解得：
1
4
m ，
2
3
m
（舍去），
130 / 1
∴
2
2
2
5
2
5
6
( 4)
( 4)
6
2
3
3
3
3
m
m
，
∴点M 的坐标( 4, 2)
．
（3）解：如图，过点A 作AG
y
∥
轴，使AG
ED
，连接DG ，
∵点D 、E 的速度相同，
∴
13
4
ED
是定值，
∵AG
DE
∥
，
13
4
ED
AG
，
∴四边形AGDE 是平行四边形，
∴AE
DG
，
∴AE
CD
DG
CD
，
∴当点G 、D 、C 三点在同一条直线上时，AE
CD
取最小值，最小值为CG 的长，
∵
2
2
5
6
3
3
y
x
x
，
∴当
0
y
时，
2
2
5
6=0
3
3
x
x
，
解得：
1
9
2
x
，
2
2
x
，
∴
9
(
,0)
2
A
，
9
2
OA
，
9
13
2
2
2
AC
OC
OA
，
∴
2
2
2
2
13
13
13 5
(
)
(
)
4
2
4
CG
AG
AC
，即AE
CD
的最小值为13 5
4
，
∵
9
(
,0)
2
A
，
13
4
ED
AG
，
∴
9
13
(
,
)
2
4
G
，
设直线CG 的解析式为y
kx
n
，
∴
2
0
9
13
2
4
k
n
k
n
，
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131 / 141
解得：
1
2
1
k
n
，
∴直线CG 的解析式为
1
1
2
y
x
，
当
0
x
时，
1
y
，
∴
(0, 1)
D
，
∵
13
4
DE
，
(0, )
E
p ，点E 在点D 上方，
∴
13
9
1
4
4
p
．
6．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于
1,0
A
、
2,0
B
两点，与y 轴交于
点
0, 2
C
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，连接AD ．试判定ABD
的形状，并说明理由；
(3)如图2 ，点E 、F 是直线AC 上两动点，且
EBF
ABC
．求
EBF
△
面积的最小值．
【答案】(1)
2
y
x
x
2
(2) ABD
是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线
2
y
x
x
2
，对称轴为直线
1
1
2 1
2
x
，
设直线
:
BC y
px
q
，代入点
2,0
B
、
0, 2
C
∴
2
0
2
p
q
q
解得
1
2
p
q
∴直线
:
2
BC y
x
132 / 1
将
1
2
x
代入
2
y
x
，得
1
3
2
2
2
y
∴
1
3
,
2
2
D
，
∴
2
1
3
AB
，
2
2
1
3
3
1
0
2
2
2
2
AD
，
2
2
1
3
3
2
0
2
2
2
2
BD
，
∴AD
BD
，
∵
2
2
2
2
3
3
2
2
9
2
2
AD
BD
，
2
9
AB
∴
2
2
2
AD
BD
AB
∴
90
ADB
，
∴ADB
为等腰直角三角形；
(3) 36 2
36
5
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线BC 的表达式，然后求出点D 坐标，再由勾股定理逆定理求解即可；
（3）过点B 作BK
AC
于点K ，解Rt AOC
，求出
2
sin
5
5
OAC
，再解Rt
ABK
△
中，求出
6
sin
5
5
BK
AB
OAC
，可得BOC
为等腰直角三角形，则
45
ABC
，作
EBF
△
的外接圆，记作
T
，
连接
,
,
TE TF TB ，过点T 作TR
AC
于点R ，连接BR ，则
2
90
ETF
EBF
，可得
,
,
TEF
TRE
TRF
△
△
△
为等腰直角三角形，则设RE
RF
RT
x
，那么
2
TB
TE
x
，由于TB
TR
BR
BK
，则
6
2
5
5
x
x
，
求出
6 10
6 5
5
x
，故当点
, ,
B T R 三点共线，且点
,
K R 重合时，x 取得最小值为6 10
6 5
5
，则此时EF
取得最小值为12 10
12 5
5
，而
EBF
△
的高BK 为定值，即可求解面积最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于
1,0
A
、
2,0
B
两点，
∴
1
2
y
a x
x
∵抛物线与y 轴交于点
0, 2
C
．
∴2
2
a
，
解得
1
a
∴
1
2
y
x
x
，即
2
y
x
x
2
；
（2）略
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133 / 141
（3）解：如图，过点B 作BK
AC
于点K ，
∵
1,0
A
，
0, 2
C
∴
1,
2
OA
OC
，
∴
2
2
5
AC
OA
OC
，
∴在Rt AOC
中，
2
2
sin
5
5
5
OC
OAC
AC
∵BK
AC
，
∴在Rt
ABK
△
中，
2
6
sin
3
5
5
5
5
BK
AB
OAC
，
∵点
2,0
B
、
0, 2
C
∴
2
OB
OC
∵
90
BOC
∴BOC
为等腰直角三角形，
∴
45
ABC
，
∴
45
EBF
ABC
作
EBF
△
的外接圆，记作
T
，连接
,
,
TE TF TB ，过点T 作TR
AC
于点R ，连接BR ，
则
2
90
ETF
EBF
，
∵TE
TF
∴TEF
为等腰直角三角形，
45
TEF
TFE
，
∵TR
AC
，
∴
,
TRE
TRF
△
△
均是等腰直角三角形，
∴RE
RF
RT
，
设RE
RF
RT
x
，
134 / 1
则
2
2
2
TE
TR
ER
x
，
∴
2
TB
TE
x
，
∵TB
TR
BR
BK
，
∴
6
2
5
5
x
x
，
解得
6 10
6 5
5
x
，
当点
, ,
B T R 三点共线，且点
,
K R 重合时，x 取得最小值为6 10
6 5
5
∵
2
EF
ER
FR
x
，
∴此时EF 取得最小值为6 10
6 5
12 10
12 5
2
5
5
，
而高
6
5
5
BK
为定值，
∴
EBF
△
的面积最小值为1
12 10
12 5
6
36 2
36
5
2
5
5
5
，
∴
EBF
△
的面积为36 2
36
5
．
7．（2026·天津·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
（a ，b ，c 为常数，
0
a
，
0
c
）的顶点为P ．
(1)当
1
a ，
2
b ，
3
c 时，求点P 的坐标；
(2)点
,0
A
c
和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
①当
1
2
a
时，若
90
PCA
，求c 的值；
②若点
,0
B m
，
75
ACB
，D 为线段BC 的中点，点M 在线段AC 上（不与点A ，C 重合），点N 在线
段AB 上，且
2
CM
BN
，当MN
ND
取得最小值为5时，求c 的值．
【答案】(1)点P 的坐标为
1,4
；
(2)①c 的值为6；②c 的值为15 ．
【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解；
（2）①求得顶点P 的坐标为
2
1
, 2
b
b
c
，作PH
y
轴于点H ，得到OAC
和PCH
都是等腰直角三角形，
推出
2
1
2
OH
b
c
b
c
，求得
2
b ，把
,0
A
c
，代入求解即可；
②根据题意求得
2 3
3
c
BC
，
3
3
c
BD
，作ME
y
轴于点E ，则
CME
△
是等腰直角三角形，得到四边形
MEBN 是平行四边形，推出BE
MN
，过点B 作BF
BC
，且BF
BC
，证明
NBF
ECB SAS
≌
，得到
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135 / 141
FN
BE
，推出FN
DN
DF
，则当D
N
F
、、
共线时，FN
DN
有最小值，即MN
ND
有最小值，据此
列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴点P 的坐标为
1,4
；
（2）解：①由题意得
2
1
2
y
x
bx
c
，
对称轴为直线
2
b
x
b
a
，
顶点P 的坐标为
2
1
, 2
b
b
c
，
作PH
y
轴于点H ，
如图，由题意得点
,0
A
c
，
0,
C
c ，
∴OA
OC
c
，
∴OAC
是等腰直角三角形，
∴
45
ACO
，
∵
90
PCA
，
∴
45
PCH
，
∴PCH
是等腰直角三角形，
∴PH
CH
b
，
2
1
2
OH
b
c
，
∴
2
1
2
OH
b
c
b
c
，
解得
0
b
（舍去），
2
b ，
∵抛物线经过点
,0
A
c
，
∴
2
1
2
0
2
c
c
c
，
解得
0
c
（舍去），
6
c
，
∴c 的值为6；
136 / 1
②∵点
,0
B m
，
75
ACB
，
∴
75
45
30
OCB
，
60
OBC
，OB
m
，
∴
2
BC
m
，
3
OC
m
，
∵
0,
C
c ，
∴
3m
c
，
∴
3
3
c
m
，
∴
2 3
3
c
BC
，
∵D 为线段BC 的中点，
3
3
c
BD
，
作ME
y
轴于点E ，则
CME
△
是等腰直角三角形，
∴CM
CE
，
2
CM
ME
，
∵
2
CM
BN
，
∴ME
BN
CE
，
由题意得ME
BN
，
∴四边形MEBN 是平行四边形，
∴BE
MN
，
过点B 作BF
BC
，且BF
BC
，
∴
90
60
30
NBF
，
∴
30
NBF
ECB
，
∵BN
CE
，BF
BC
，
∴
NBF
ECB SAS
≌
，
∴FN
BE
，
∴FN
DN
DF
，
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137 / 141
∴当D
N
F
、、
共线时，FN
DN
有最小值，即MN
ND
有最小值，
∵
3
3
c
BD
，
2 3
3
c
BF
BC
，
90
DBF
，且MN
ND
取得最小值为5，
∴
2
2
2
BF
BD
DF
，即
2
2
2
2 3
3
5
3
3
c
c
，
解得
15
c
，
∴c 的值为15 ．
8．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
（a，b 为常数，
0
a
）的图象与x 轴分别交
于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，
1
2
OB
OA
，
6
AB
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①连接AC ，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M ，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN
y
轴，连接BM ，MN ，NP ，
求BM
MN
NP
的最小值；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q ，使以点Q ，A ，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请
直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
；
(2)①
2,4
P
；②6；
(3)存在，Q 的坐标为
3
2 3,2
3
，
3
2 3,2
3
【分析】
（1）由
6
AB
且
1
2
OB
OA
，可得
4
OA
，
2
OB
，即
4,0
A
，
2,0
B
．将两点坐标代入
2
4
y
ax
bx
，
求解即可；
（2）①先求直线AC 解析式为
4
y
x
，由AOC
为等腰直角三角形，可知点P 到AC 的距离与竖直线段
PF 成正比，设
2
1
,
4
2
P m
m
m
，表示出PF 的长度并配方，当
2
m
时PF 最大，即可求出点P 坐标；
138 / 1
②先求出抛物线对称轴为
1
x ，根据MN
y
轴，可得
1
MN 为定值．将点B 向右平移1 个单位得
1,0
B
，
则BM
B N
，原式转化为1
B N
NP
．当B、N 、P 三点共线时和最小，由两点间距离公式得
5
B P
，
即可求出最小值；
（3）已知
4,0
A
、
2,4
P
，先求得
2 5
AP
，设AP 的中点为G，则
3,2
G
，由三线合一可得QG
AP
，
设
,
Q x y ，由QA
QP
可得，
2
1
x
y
，再结合等边三角形的高
15
QG
列方程求解，得到Q 的两个坐标，
对应线段AP 两侧的两种情况．
【详解】（1）解：
6
AB
，
1
2
OB
OA
，
4
OA
，
2
OB
，
4,0
A
，
2,0
B
，
将
4,0
A
，
2,0
B
代入
2
4
y
ax
bx
中，
得
16
4
4
0
4
2
4
0
a
b
a
b
，
解得
1
2
1
a
b
，
抛物线的解析式为
2
1
4
2
y
x
x
；
（2）解：①过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点D ，交AC 于点F ，过点P 作PE
AC
于点E ，如图，
当
0
x
时，
4
y
，
∴
0,4
C
，
∴
4
OA
OC
，且OC
OA
，
∴AOC
为等腰直角三角形，
∴
45
OAC
，
∵OC
OA
，OA
DF
，
∴DF
OC
∥
，
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45
AFD
，
45
EFP
，
在Rt
PEF
△
中，
2
sin
sin45
2
PE
PF
PFE
PF
PE
，
设AC 的解析式为y
kx
b
，
将
4,0
A
和
0,4
C
代入，
得
4
0
4
k
b
b
，
解得
1
4
k
b
，
∴AC 的解析式为
4
y
x
，
设
2
1
,
4
2
P m
m
m
，则
,
4
F m
m
，
P
为第一象限内的点
0
4
m
，
F
P
PF
y
y
2
1
4
4
2 m
m
m
2
1
2
2 m
m
2
1
2
2
2 m
，
∵
1
0
2
，
当
2
m
时，PF 最大，即当PF 取最大值时，PE 最大，此时
2,4
P
；
②将点B 向右平移1 个单位长度得点B，则BB
MN
∥
，连接B P
交对称轴于点N ，如图，
∵
2
2
1
1
9
4
1
2
2
2
y
x
x
x
，且MN
y
，
∴
1
MN ，
∵
2,0
B
，
140 / 1
1,0
B
，
∴
1
BM
MN
NP
BB
B N
NP
B N
NP
当B，N ，P 三点共线时，BM
MN
NP
最小，为1
B P
，
∵
1,0
B
，
2,4
P
，
∴
2
2
1
2
0
4
5
B P
，
1
5
6
BB
B P
，
BM
MN
NP
的最小值为6；
（3）解：由（2）得，点D 坐标为
2,0 ，
∴
4
2
2
AD
，
4
0
4
PD
，
在Rt APD
中，
2
2
2
2
2
4
2 5
AP
AD
PD
，
设AP 的中点为G，连接
,
QG AP ，如图，
则G 的坐标为4
2 0
4
,
2
2
，即
3,2 ，且
1
5
2
AG
AP
，
∵QAP
为等边三角形，
∴
2 5
QA
QP
AP
，且QG
AP
，
在Rt QGA
中，
2
2
2
2
2 5
5
15
QG
QA
AG
，
设
,
Q x y ，由QA
QP
得，
2
2
2
2
4
2
4
x
y
x
y
2
2
2
2
4
2
4
x
y
x
y
2
2
2
2
8
16
4
4
8
16
x
x
y
x
x
y
y
解得
2
1
x
y
，
又∵
15
QG
，
∴
2
2
3
2
15
x
y
学科网（北京）股份有限公司
141 / 141
将
2
1
x
y
代入，得
2
2
2
1 3
2
15
y
y
2
2
2
4
2
15
y
y
2
2
4
2
2
15
y
y
2
5
2
15
y
2
2
3
y
解得
2
3
y
或
2
3
y
，
当
2
3
y
时，
2 2
3
1
3
2 3
x
，即
1 3
2 3, 2
3
Q
；
当
2
3
y
时，
2 2
3
1
3
2 3
x
，即
2 3
2 3, 2
3
Q
，
综上所述，点Q 的坐标为
3
2 3, 2
3
和
3
2 3, 2
3
．
【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方
向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置．
