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专题14 反比例函数压轴题综合（17 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
反比例函数压轴题
综合
解答压轴必考，联动一次函数，考查
交点、面积、直角三角形存在性、图
形平移探究，侧重动态分析与分类讨
论思想。
探究创新：新增函数关系分类定义（陌
生/相连/友好函数）；
动态创新：结合图形平移探究定值问
题，考查压轴综合推理。
一、单选题
1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交于A、B 两点，分别与y
轴、x 轴交于C、D 两点．若2
3
AB
BD
=
，
7
COD
S
=
△
，则k 的值是（ ）
A．3
B．20
7
C．7
D．40
21
【答案】B
【分析】如图，过点A作AE
OD
⊥
于点E，过点B作BF
OD
⊥
于点F，证明DBF
DAE
∽
V
V
，得到
2
5
BF
BD
AE
AD
=
=
，
设
5
AE
a
=
，
2
BF
a
=
得到
,5
5
k
A
a
a
，
,2
2
k
B
a
a
，
5
k
OE
a
=
，
2
k
OF
a
=
，然后由平行线分线段成比例得到
5
k
FD
a
=
，然后利用相似三角形的性质得到
7
OC
a
=
，最后利用
7
COD
S
=
△
列方程求解．
【详解】解：如图，过点A 作AE
OD
⊥
于点E，过点B 作BF
OD
⊥
于点F，
2 / 30
∵2
3
AB
BD
=
∴
2
3
BD
AB =
∴
2
5
BD
AD =
∵AE
OD
⊥
，BF
OD
⊥
∴AE
BF
∴DBF
DAE
∽
V
V
∴
2
5
BF
BD
AE
AD
=
=
设
5
AE
a
=
，
2
BF
a
=
∴
,5
5
k
A
a
a
，
,2
2
k
B
a
a
∴
5
k
OE
a
=
，
2
k
OF
a
=
∴
3
10
k
EF
OF
OE
a
=
−
=
∵AE
BF
∴
2
3
FD
BD
EF
AB
=
=
∴
2
3
3
10
FD
k
a
=
∴
5
k
FD
a
=
∴
7
2
5
10
k
k
k
OD
OF
FD
a
a
a
=
+
=
+
=
∵CO
OD
⊥
∴OC
BF
∥
∴DBF
DCO
∽
∴BF
FD
OC
OD
=
，即2
5
7
10
k
a
a
k
OC
a
=
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∴
7
OC
a
=
∵
7
COD
S
=
△
∴1
1
7
7
7
2
2
10
k
OD OC
a
a
=
=
∴
20
7
k =
．
2．（2026·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
y
kx−
=
（
0
k
）的图象分别与x 轴
和y 轴交于点A 和B ，与反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）在第一象限内的图象交于点P ．若OP
OB
=
，
3
5
PA
AB =
，
则m=（ ）
A．3
4
B．4
3
C．12
25
D．25
12
【答案】C
【分析】先求出点B 的坐标，然后结合已知可求出OP ，过点P 作PD
y
⊥
轴于D ，则OA
PD
∥
，根据平行线
分线段成比例求出OD，根据勾股定理求出PD ，从而求出点P 的坐标，即可得解．
【详解】对于一次函数
1
y
kx−
=
，当
0
x =
时，
1
y
−
=
，
(
)
0, 1
B
−
，
1
OB
= ，
OP
OB
=
，
1
OP
= ，
过点P 作PD
y
⊥
轴于D ，
OA PD
，
4 / 30
OD
PA
OB
AB
=
，即
3
1
5
OD =
，
3
5
OD
=
，
2
2
2
2
3
4
1
5
5
PD
OP
OD
=
−
=
−
=
，
4 3
,
5 5
P
，
4
3
12
5
5
25
m
=
=
．
3．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为
“倒数点”．如：
1
(2, )
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据“倒数点”定义，若(
)
,x y 为倒数点，则满足
(
)
1
0
xy
x
=
，即
1
y
x
=
，联立各函数与
1
y
x
=
，判
断方程解的个数，逐个验证结论即可.
【详解】解：由定义得，倒数点满足
1
xy = ，
0
x
，即
1
y
x
=
，
① 联立
1
3
xy
y
x
=
=
，则
1
3x
x
=
，
整理得
2
3
1
x = ，
解得
3
3
x =
，
∴方程有2 个不同解，故存在2 个倒数点，故①正确；
② 联立
1
1
xy
y
x
=
=
−
，
1
0
y
x
=
−
，
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0
x
，
当
1
x 时，
1
1
x
x
−=
，整理得
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
Δ
( 1)
4 1 ( 1)
5
0
= −
−−
=
，
解得
1
1
5
2
x
+
=
，
2
1
5
2
x
−
=
，
正根
1
5
1
2
x
+
=
，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③ 联立
2
1
2
1
xy
y
x
=
=
+
，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ ，
画出函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象的草图如图所示：
由图象知：函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象有唯一的交点，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ 有唯一的解，
∴存在1 个倒数点，故③正确；
④ 联立
1
2
xy
y
kx
=
=
+
，
6 / 30
整理得
2
2
1
0
kx
x
+
−=
，
当
0
k =
时，方程为2
1
0
x−=
，解得
1
2
x =
，
2
y =
，满足1
2
1
2
= ，是倒数点，
此时
0
1
k =
−，故④错误；
综上，正确的结论共2 个.
二、填空题
4．
（2026·山东·中考真题）如图，一组反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
，
n
k
y
x
=
，其中
0
x
，1
1
k = ，
1
n
n
k
k −
，
n为大于1 的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y
x
=
的图象相交，交点依次记为
1A ，
2
A ，
3
A ，…，
n
A ．若
1
2
2
3
A A
A A
=
= …
1
2
n
n
A
A
−
=
=
，则
6k =________．
【答案】36
【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点
n
A 的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件
1
2
n
n
A
A
−
=
得出
1
1
n
n
k
k −
−
= ，进而发现
nk 的数值规律，求出
6k 的值即可求解．
【详解】解：联立
n
y
x
k
y
x
=
=
，
解得
n
n
x
k
y
k
=
=
（负值舍去）
点
n
A 的坐标为(
)
,
n
n
k
k
，
点
1
nA −的坐标为(
)
1
1
,
n
n
k
k
−
−
，
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
2(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
k
k
k
k
k
k
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
，
1
n
n
k
k −
，
(
)
1
1
2
n
n
n
n
A
A
k
k
−
−
=
−
，
1
2
n
n
A
A
−
=
，
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(
)
1
2
2
n
n
k
k −
−
=
，
1
1
n
n
k
k −
−
= ，
1
1
k = ，
1
1
k
= ，
2
1
1
2
k
k
=
+ =
，
3
2
1
3
k
k
=
+ = ，
6
6
k =
，
2
6
6
36
k
=
=
．
5．（2026·湖南·中考真题）如图，A ，B ，C 是反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
图象上三个不同的点，AD
x
⊥
轴于点D．
（1）若C 在OAD的外接圆上，且A 点的坐标是(
)
4,2 ，则tan OCD
=________；
（2）设E 是线段OA的中点，且BE
y 轴．若BE
mAD
=
，则m=________．
【答案】 2 3
2
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得
OCD
OAD
=
，在Rt
OAD
△
中求tan OAD
即可；
（2）连接BE 并延长，交x 轴于点F ，先根据平行关系得出BE
AD
∥
，根据
, ,
A B E 三点坐标关系得出
2
BF
AD
=
，再根据相似三角形的相似比得出
1
2
EF
AD
=
，即可求出
3
2
BE
BF
EF
AD
−
=
=
．
【详解】解：（1）
AD
x
⊥
轴，
90
ODA
=
，
4,
2
OD
AD
=
=
，
C 在OAD 的外接圆上，
,
OCD
OAD
所对圆弧均为OD ，
8 / 30
tan
tan
2
OD
OCD
OAD
AD
=
=
=
．
（2）如图，连接BE 并延长，交x 轴于点F ，
设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，由E 是线段OA的中点得
1
1
,
2
2
x
y
E
，
AD
x
⊥
轴，BE
y 轴，
AD
BE
∥
，
,
B E
两点横坐标相同，
1
2
2
x
x
=
，即
1
2
2
x
x
=
,
A B 都在反比例函数上，
1
1
2
2
x y
x y
k
=
=
，
1
2
1
2
y
y
=
，即
2
BF
AD
=
，
AD
BE
∥
，
OEF
OAD
∽
，
1
2
EF
OE
AD
OA
=
=
，
1
2
2
BF
BE
EF
BE
AD
AD
=
+
=
+
=
，
3
2
BE
AD
=
，
3
2
m
=
．
6．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数
k
y
x
=
与边长为10 的等边三角形OAB 相交于C ，D 两
点，边OB 与x 轴重合，
:
1:3
BD OC =
，则k 的值是_________．
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【答案】9 3
−
【分析】根据等边三角形的性质得出
60
AOB
ABO
=
=
，设BD
a
=
，则
3
OC
a
=
，利用锐角三角函数分
别表示出点C 和点D 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a 的方程，求出a 的值，进而
求出k 的值
【详解】解：∵OAB是等边三角形，边长为10，
∴
60
AOB
ABO
=
=
，
10
OB =
，
∴点B 的坐标为(
)
10,0
−
．
设BD
a
=
，
∵
:
1:3
BD OC =
，
∴
3
OC
a
=
．
过点C 作CM
x
⊥
轴于点M，过点D 作DN
x
⊥
轴于点N，
∴在Rt
OMC
△
中，
3
cos
3
cos60
2
OM
OC
COM
a
a
=
=
=
，
3 3
sin
3
sin 60
2
CM
OC
COM
a
a
=
=
=
，
∴点C 的坐标为
3
3 3
,
2
2
a
a
−
．
∵在Rt BDN 中，
1
cos
cos60
2
BN
BD
DBN
a
a
=
=
=
，
3
sin
sin 60
2
DN
BD
DBN
a
a
=
=
=
，
∴
1
10
2
ON
BO
BN
a
=
−
=
−
，
10 /
∴点D 的坐标为1
3
10,
2
2
a
a
−
，
∵点C，D 都在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
∴
3
3 3
1
3
10
2
2
2
2
k
a
a
a
a
= −
=
−
，
整理得
2
2
9 3
3
5 3
4
4
a
a
a
−
= −
+
，
∵
0
a
，
∴
9
1
5
4
4
a
a
−
= −+
，
解得
2
a =
，
∴
3
3 3
2
2
9 3
2
2
k
= −
= −
．
7．（2026·四川广元·中考真题）如图，在AOB 中，AB
x 轴，点C 为OA的中点，函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象
经过B ，C 两点，过点B 作OA的平行线交y 轴于点D ，连接CD，若
COD
△
的面积为2，则k 的值为
__________．
【答案】8
3 /
2
2 3
【分析】设点C 的坐标为
, k
a a
，则点A 的坐标为
2
2 , k
a a
，进而可得
2
,
2
a
k
B
a
， 求出
3
2
a
AB =
， 进一
步可得
3
2
AOB
S
k
=
，根据三角形的中线平分三角形的面积得到
1
3
2
4
OBC
AOB
S
S
k
=
=
，由平行线的性质得到
3
4
COD
OBC
S
S
k
=
=
，则3
2
4 k =
，解之即可得到答案．
【详解】解：如图，连接BC ，
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设点C 的坐标为
, k
a a
，
点C 为OA的中点，O为坐标原点 ，
点A 的坐标为
2
2 , k
a a
，
AB
x 轴，
点B 的纵坐标为2k
a ，
点B 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
点B 的横坐标为2
2
k
a
k
a
=
，即
2
,
2
a
k
B
a
，
3
2
2
2
a
a
AB
a
=
−
=
，
1
1
3
2
3
2
2
2
2
AOB
A
a
k
S
AB y
k
a
=
=
=
，
点C 为OA的中点，
1
3
2
4
OBC
AOB
S
S
k
=
=
，
BD OA ，即BD
OC ，
点D 到直线OC 的距离等于点B 到直线OC 的距离，
3
4
COD
OBC
S
S
k
=
=
，
2
COD
S
=
，
3
2
4 k
=
，
解得
8
3
k =
．
8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y 轴正半轴上，E 是
边AD 的中点，
2
tan
3
BCE
=
，点F 在边BC 上，
1
3
BF
BC
=
，反比例函数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象经过点E ，
F ．若
6
AD =
，则k 的值为____________．
12 /
【答案】
24
−
【分析】根据矩形性质及CD在y 轴上，确定AD 、BC 平行于x 轴，结合
6
AD =
及点E 、F 的位置关系求
出点E 、F 的横坐标；设点D 的坐标为(0, )
n ，点C 的坐标为(0,
)
m ，利用反比例函数图象上点的坐标特征
建立等式，再通过解直角三角形利用正切值求出纵坐标之间的关系，联立求解即可得出k 的值
【详解】解：
四边形ABCD是矩形，CD在y 轴正半轴上，
AD
y
⊥
轴，BC
y
⊥
轴，AD
BC
x
∥
∥轴，
反比例函数
k
y
x
=
的图象在第二象限，
矩形ABCD在第二象限，
6
AD =
，
6
BC
AD
=
=
，
∴点A 、B 的横坐标为6
−，点C 、D 的横坐标为0 ，
E 是边AD 的中点，
点E 的横坐标为3
−，
点F 在边BC 上，
1
3
BF
BC
=
，
1
6
2
3
BF
=
=
，
点F 的横坐标为6
2
4
−+
= −，
设点D 的坐标为(0, )
n ，点C 的坐标为(0,
)
m ，其中
0
n
m
，
点E 的坐标为( 3, )
n
−
，点F 的坐标为( 4,
)
m
−
，
点E 、F 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
3
4
k
n
m
= −
= −
，
4
3
n
m
=
，
过点E 作EH
BC
⊥
于点H ，
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点H 的坐标为( 3,
)
m
−
，
EH
n
m
=
−
，
0
( 3)
3
CH =
−−
=
，
在Rt EHC中，tan
3
EH
n
m
ECH
CH
−
=
=
，
BCE
ECH
=
，
tan
3
n
m
BCE
−
=
，
2
tan
3
BCE
=
，
2
3
3
n
m
−
=
，
2
n
m
−
=
联立
4
3
2
n
m
n
m
=
−
=
，
解得
6
8
m
n
=
=
，
4
4 6
24
k
m
= −
= −= −
．
9．（2026·广东·中考真题）如图，直线
2
y
x
b
=
+
与反比例函数
k
y
x
=
在第二象限的图象交于点A ，B ，与x 轴
交于点C ．点A 的横坐标为1
−，且
2
AB
BC
=
，则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
6
y
x
−
=
【分析】过点A 作AD
x
⊥
轴于点D，过点B 作BE
x
⊥
轴于点E，证明BCE
ACD
∽
，得出
14 /
1
2
3
3
CE
BE
BC
BC
BC
BC
CD
AD
AC
AB
BC
BC
BC
BC
=
=
=
=
=
=
+
+
，求出
2
AD
b
= −+ ，设点B 的坐标为(
)
,
B
B
x
y
，则
2
2
B
B
b
b
CE
x
x
=
−−
=
+
，
1
1
2
2
b
b
CD
= −−−
= −+
，求出
1
3
B
b
x
−−
=
，
2
3
B
b
y
−
=
，根据
B
B
x
y
k
=
，得出
1
2
2
3
3
b
b
b
−−
−
=
−
，求出b 的值，即可得出答案．
【详解】解：过点A 作AD
x
⊥
轴于点D，过点B 作BE
x
⊥
轴于点E，如图所示：
则BE
AD
∥
，
∴BCE
ACD
∽
，
∴
1
2
3
3
CE
BE
BC
BC
BC
BC
CD
AD
AC
AB
BC
BC
BC
BC
=
=
=
=
=
=
+
+
，
把
1
x = −代入
2
y
x
b
=
+
得：
2
y
b
= −+
，
∴点A 的坐标为(
)
1, 2 b
−−+
，
∴
2
AD
b
= −+ ，
∵点A 在反比例函数图象上，
∴
(
)
1
2
2
k
b
b
= −−+
=
−，
把
0
y =
代入
2
y
x
b
=
+
得：0
2x
b
=
+ ，
解得：
2
b
x = −
，
∴点C 的坐标为
,0
2
b
−
，
设点B 的坐标为(
)
,
B
B
x
y
，则
2
2
B
B
b
b
CE
x
x
=
−−
=
+
，
1
1
2
2
b
b
CD
= −−−
= −+
，
∵
1
3
CE
BE
CD
AD
=
=
，
∴
1
2
3
1
2
B
b
x
b
+
=
−+
，
1
2
3
B
y
b =
−+
，
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15 /
解得：
1
3
B
b
x
−−
=
，
2
3
B
b
y
−
=
，
∵点B 在反比例函数图象上，
∴
B
B
x
y
k
=
，
即
1
2
2
3
3
b
b
b
−−
−
=
−
，
整理得：(
)(
)
2 8
0
b
b
−
−
=
，
解得：
2
b =
或
8
b =
，
当
2
b =
时，
2
0
k
b
=
−
= ，不符合题意舍去；
当
8
b =
时，
2
6
k
b
=
−= −，
∴反比例函数解析式为
6
y
x
−
=
．
10．（2026·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正半轴上的点P 作x 轴的平行线，分
别交函数
(
)
4
0
y
x
x
=
和
(
)
3
0
y
x
x
= −
的图象于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC 交y 轴
于点Q ，则PQ
QO 的值为________．
【答案】4
3 / 1
13
【分析】设点P 的纵坐标为m ，根据平行于x 轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点A
和点B 的坐标，进而得到点C 的坐标. 利用平行线性质证明APQ
COQ
∽
，根据相似三角形对应边成比例
即可求解．
【详解】解：∵点P 在y 轴正半轴上，
∴设点P 的坐标为(0,
)
m ，其中
0
m
，
∵直线AB 平行于x 轴，
∴点A 和点B 的纵坐标均为m ，
∵点A 、B 分别在函数
(
)
4
0
y
x
x
=
和
(
)
3
0
y
x
x
= −
的图象上，
∴把y
m
=
代入
(
)
4
0
y
x
x
=
，得
4
x
m
=
，
16 /
∴点A 的坐标为
4 ,m
m
，
把y
m
=
代入
(
)
3
0
y
x
x
= −
，得
3
x
m
= −
，
∴点B 的坐标为
3 ,m
m
−
，
∵BC
x
⊥
轴于点C ，
∴点C 的坐标为
3 ,0
m
−
，
∴
4
AP
m
=
，
3
3
CO
m
m
= −
=
，
∵AB
x 轴，即AP
CO
∥
，
∴
PAQ
OCQ
=
，
APQ
COQ
=
，
∴APQ
COQ
∽
，
∴PQ
AP
QO
CO
=
，
∴
4
4
3
3
PQ
m
QO
m
=
=
．
11．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x
）的图象绕点O 顺时针旋转45，
旋转后的图象与x 轴交于点(
)
6,0
A
，则k =_________．
【答案】18
【分析】作出点A 旋转前的对应点B ，根据旋转的性质可得
6
OB
OA
=
=
，过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，
根据勾股定理求出
3 2
BC
OC
=
=
，即可得出点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，作出点A 旋转前的对应点B ，
45
BOA
=
，
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17 /
∵(
)
6,0
A
，
∴
6
OB
OA
=
=
，
过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，
∴
2
3 2
2
BC
OC
OB
=
=
=
，
∴(
)
3 2,3 2
B
，
把(
)
3 2,3 2
B
代入
k
y
x
=
，得
3 2 3 2
18
k =
=
．
三、解答题
12．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相
连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所
以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定
2
1
y
x
=
−与
1
y
x
=
的关系时，由函数表达式得
1
2
1
x
x
−=
，
去分母得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，因为
9
0
=
，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
18 /
(1)对于函数①
2
y
x
= −
，②
2
y
x
=
，③
3
1
y
x
−
=
+ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若
(
)
1
0
m
y
m
x
=
与
(
)
2
0
y
kx
b k
=
+
是“友好函数”，如图2，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是______；若
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，则n 的值为______；
(3)如图3，过点(
)
0,6
C
的直线1l 、2l 对应的函数分别与
1k
y
x
=
（
1
0
k
，
0
x
），
2k
y
x
=
（
2
0
k
，
0
x
）
是“相连函数”，相连点分别为P ，Q ，1l 、2l 与x 轴分别交于A ，B 两点，已知
6
AB =
，1
2
18
k k = −
，求
2
2
1
2
k
k
+
的值．
【答案】(1)陌生；友好
(2)
3
x
−
或0
1
x
；
9
2
−
(3) 45
【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；
（2）根据图象判断
1
2
y
y
时，x 的取值范围；联立
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−，由
0
=
求出n 的值；
（3）设直线1l 的函数解析式为
3
6
y
k x
=
+
，直线2l 的函数解析式为
4
6
y
k x
=
+
，将
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
联立，
并结合
0
=
可得
3
1
9
k
k
−
=
，进而计算出点A 的坐标为
1
2
,0
3 k
，同理，点B 的坐标为
2
2
,0
3 k
．由
6
AB =
可
得
2
1
9
k
k
−
=
，利用完全平方公式变形可计算出
2
2
1
2
k
k
+
的值．
【详解】（1）解：对于①与②，联立得
2
2x
x
−
=
，
整理，得
2
1
0
x + =
，
∵
2
1
1
x + ，
∴该方程无实数解，即
2
y
x
= −
与
2
y
x
=
无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得
2
3
1
x
x
−
−
=
+ ，
整理，得
2
3
2
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
1
4 3
2
25
0
= −
−−
=
，
∴
2
y
x
= −
与
3
1
y
x
−
=
+ 有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为3
−和1，且在
3
x
−
和0
1
x
部分，反比例函数的图象高
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19 /
于一次函数的图象，
∴当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是
3
x
−
或0
1
x
；
联立
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−，得，
2
6
n
x
x
−
=
，
整理，得
2
2
6
0
x
x
n
−
−
=
，
∵
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，
∴
(
)
(
)
2
Δ
6
4 2
0
n
−
= −
−
=
，
解得
9
2
n = −
；
（3）解：设直线1l 的函数解析式为
3
6
y
k x
=
+
，直线2l 的函数解析式为
4
6
y
k x
=
+
，
联立
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
，得，
1
3
6
k
k x
x
+
=
，
整理，得
2
3
1
6
0
k x
x
k
−
+
=
，
∵
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
是“相连函数”，
∴
(
)
2
3
1
Δ
6
4
0
k
k
=
−
−
=
，
∴
1 3
9
k k
−
=
，即
3
1
9
k
k
−
=
，
∴直线1l 的函数解析式为
1
9
6
y
x
k
−
=
+ ，
将
0
y =
代入
1
9
6
y
x
k
−
=
+ ，得
1
2
3
x
k
=
，
∴点A 的坐标为
1
2
,0
3 k
，
同理，点B 的坐标为
2
2
,0
3 k
，
∴
2
1
2
2
6
3
3
AB
k
k
=
−
=
，即
2
1
9
k
k
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
9
2
18
45
k
k
k
k
k k
+
=
−
+
=
+ −
=
．
13．（2026·江西·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，(
)
2,
A
m
−
，(
)
2,0
B
，(
)
0, 1
C
−
，点D 在x 轴
上，反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象经过点A ．
20 /
(1)求反比例函数的表达式；
(2) P 为边BC 上的一点，直线AP 交双曲线另一支于点Q ，当ABP 的面积等于
ABCD 的面积的1
4 时，求点
Q 的坐标．
【答案】(1)
2
y
x
= −
(2)
(
)
2, 1
Q
−
【分析】（1）如图，过点A 作AM
x
⊥
轴于点M ．证明
(
)
ADM
CBO AAS
≌
，根据全等三角形的性质可得
1
AM
CO
=
= ，进而求得A 的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据已知可得P 为BC 的中点，则坐标为
1
1,
2
−
．待定系数法求得直线AP 的表达式为
1
2
y
x
= −
，可
得直线AP 经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点Q 的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点A 作AM
x
⊥
轴于点M ．
∵四边形ABCD为平行四边形，
//
AD BC
，AD
BC
=
，
ADM
CBO
=
，
又∵
90
AMD
COB
=
=
，
(
)
ADM
CBO AAS
≌
．
1
AM
CO
=
= ，
(
)
2,1
A
−
．
(
)
2
1
2
k
−
= −
=
，
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21 /
∴反比例函数的表达式为
2
y
x
= −
．
（2）
ABP 的面积等于
ABCD 的面积的1
4 ，
P
为BC 的中点，
P
的坐标为
1
1,
2
−
．
设直线AP 的表达式为y
ax
b
=
+
，
则
2
1
1
2
a
b
a
b
−
+
=
+
= −
，
，
解得
1
2
0
a
b
= −
=
，
．
∴直线AP 的表达式为
1
2
y
x
= −
，即直线AP 经过坐标原点，
又∵(
)
2,1
A −
，
∴由中心对称可得
(
)
2, 1
Q
−
．
14．（2026·四川自贡·中考真题）如图，反比例函数
1
m
y
x
=
与一次函数
2y
x
n
=
+
的图象相交于A ，B 两点，
点A 的坐标为(
)
6, 3
−
−
．
(1)求反比例函数的解析式及n 的值；
(2)请直接写出当
1
2
y
y
时x 的取值范围；
(3)点P 是直线
2y
x
n
=
+
上的一个动点，当OP
AB
⊥
时，求点P 的坐标．
【答案】(1)
1
18
y
x
=
，
3
n = ；
(2)
6
x −或0
3
x
；
22 /
(3)点P 的坐标为
3 3
,
2 2
−
．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立求得点B 的坐标为(
)
3,6 ，根据函数图象即可求解；
（3）先求得直线
2
3
y
x
=
+ 与坐标轴的交点坐标，证明OCD是等腰直角三角形，得到点P 是CD的中点，
据此求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数
1
m
y
x
=
经过点(
)
6, 3
A −
−
，
∴
(
)
6
3
18
m
−
=
−
=
，
∴反比例函数的解析式为
1
18
y
x
=
，
∵一次函数
2y
x
n
=
+
的图象经过点(
)
6, 3
A −
−
，
∴3
6
n
−= −+ ，解得
3
n = ；
（2）解：由（1）知一次函数的解析式为
2
3
y
x
=
+ ，
联立得18
3
x
x =
+ ，
解得
6
x = −或
3
x = ，
∴点B 的坐标为(
)
3,6 ，
∴当
1
2
y
y
时x 的取值范围为
6
x −或0
3
x
；
（3）解：设直线
2
3
y
x
=
+ 与坐标轴的交点分别为C 和D ，
令
0
x =
，则
3
y =
，令
0
y =
，则
3
x
−
=
，
∴
(
)
3,0
C −
，
(
)
0,3
C
，
∴
3
OC
OD
=
= ，
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23 /
∴OCD是等腰直角三角形，
∵OP
AB
⊥
，
∴点P 是CD的中点，
∴点P 的坐标为
3 3
,
2 2
−
．
15．
（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线
8
y
x
=
+ 与双曲线
k
y
x
= （
0
k
）交于(
)
1,
A
a 、
B 两点，与x 轴交于点D．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)直接写出不等式
8
k
x
x
+ 的解集；
(3)若点P 为x 轴上的动点，当ADP 为直角三角形时，求点P 的坐标．
【答案】(1)
9
y
x
=
，(
)
9, 1
B −−
(2) 9
0
x
−
或
1
x
(3)当ADP 为直角三角形时，点P 的坐标为(
)
1,0 或(
)
10,0
【分析】（1）先得出(
)
1,9
A
，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B 的坐标；
（2）根据图象可直接进行求解；
（3）由题意可设(
)
,0
P t
，则有
(
)
,8 0
D −
，根据两点间距离公式可得：
(
)
(
)
2
2
2
8 1
0
9
162
AD = −−
+
−
=
，
(
)
2
2
8
DP
t
=
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
0
9
1
81
AP
t
t
=
−
+
−
=
−
+
，然后可分当
90
APD
=
时，当
90
DAP
=
时，进而
分类进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把点(
)
1,
A
a 代入直线
8
y
x
=
+ 得：
1 8
9
a = + = ，
∴(
)
1,9
A
，
∴
1 9
9
k = = ，
∴反比例函数解析式为
9
y
x
=
，
24 /
联立
9
8
y
x
y
x
=
=
+
，解得：
9
1
x
y
= −
= −
或
1
9
x
y
=
=
，
∴点B 的坐标为(
)
9, 1
−
−；
（2）解：由图象及（1）可知：不等式
8
k
x
x
+ 的解集为9
0
x
−
或
1
x ；
（3）解：由题意可设(
)
,0
P t
，
把
0
y =
代入直线
8
y
x
=
+ 得：0
8
x
=
+ ，解得：
8
x = −，
∴
(
)
,8 0
D −
，
∵(
)
1,9
A
，
∴根据两点间距离公式可得：
(
)
(
)
2
2
2
8 1
0
9
162
AD = −−
+
−
=
，
(
)
2
2
8
DP
t
=
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
0
9
1
81
AP
t
t
=
−
+
−
=
−
+
，
当ADP 为直角三角形时，则可分：
当
90
APD
=
时，由勾股定理可得：
2
2
2
DP
AP
AD
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
8
1
81 162
t
t
+
+
−
+
=
，
解得：1
2
1,
8
t
t
=
= −（不符合题意，舍去），
∴(
)
1,0
P
；
当
90
DAP
=
时，由勾股定理可得：
2
2
2
+
=
AD
AP
PD ，
∴(
)
(
)
2
2
8
1
81 162
t
t
+
=
−
+
+
，
解得：
10
t =
，
∴(
)
10,0
P
；
综上所述：当ADP 为直角三角形时，点P 的坐标为(
)
1,0 或(
)
10,0 ．
16．（2026·重庆·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
．点E 以每秒1cm的速度沿
B
C
→
方向运动，点F 在直线AB 上运动，且满足
2
2cm
BEF
S
=
△
．点G 与点E 同时出发，以每秒2cm 的速度
沿折线D
C
A
→
→
方向运动．设运动时间为x 秒(
)
0
8
x
，点F 与点B 的距离为
1y ，点G 与点C 的距离为
2y ．
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25 /
(1)请直接写出
1y ，
2y 关于x 的函数表达式，并分别写出自变量x 的取值范围；
(2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数
1y ，
2y 的图象；结合函数图象，直接写出
1
2
y
y
时x 的取值范围
（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2 ）．
【答案】(1)
1
4
y
x
=
（0
8
x
）；
(
)
(
)
2
6
2
0
3
2
6 3
8
x
x
y
x
x
−
−
=
(2)
1
2
x
或3.6
8
x
【分析】（1）求
1y 的函数表达式：先根据点E 的运动速度得到BE
x
=
，再根据
90
B
=
，将直角边BE 和BF
代入三角形面积公式，可得出BF 即
1y 的表达式；根据点G 沿D
C
A
→
→
运动， G 速度为2cm/s，当0
3
x
时，
2
6
3
y
x
=
−
，当3
8
x
时，
(
)
2
2
3
2
6
y
x
x
−
−
=
=
，分两种情况解答．
（2）根据
1y 、
2y 的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
．
∴
90
B
=
，
∴
2
2
10
AC
AD
CD
=
+
=
（cm），
26 /
∵点E 以每秒1cm的速度沿B
C
→
方向运动，点F 在直线AB 上运动，且满足
2
2cm
BEF
S
=
△
．运动时间x 秒，
∴
cm
BE
x
=
，
∴
1
1
1
2
2
BEF
S
BE BF
xy
=
=
，
∴
1
1
2
2 x y
=
，
∴
1
4
y
x
=
（0
8
x
）；
∵点G 沿D
C
A
→
→
运动， G 速度为2cm/s，
6cm
DC
AB
=
=
，
∴当0
3
x
时，
2
6
2
y
x
=
−
，
当3
8
x
时，
(
)
2
2
3
2
6
y
x
x
−
−
=
=
，
综上，
(
)
(
)
2
6
2
0
3
2
6 3
8
x
x
y
x
x
−
−
=
．
（2）解：列表：
x
0
1
2
1
2
3
4
5
6
8
1y
8
4
2
4
3
1
4
5
2
3
1
2
2y
6
5
4
2
0
2
4
6
10
以表中每对x、
1y 的值和x、
2y 的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得
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27 /
到
1y 和
2y 的图象．
由图象看出当
1
2
y
y
时，1
2
x
或3.6
8
x
．
17．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y
kx
=
与反比例函数
2
y
x
=
的图象
相交于(
)
1,
A
a ，B 两点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求线段AB 的长；
(2)已知P 为y 轴正半轴上一点，若ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；
(3)如图2，将线段DA ，AC 组成的折线段“ D
A C
−
−
”沿x 轴正方向平移得到折线段“ D
A
C
−
−
”，点D，A，
C 的对应点分别为
,
,
D A C
．A C
与反比例函数的图象交于点E，直线BD与反比例函数的图象在第一象限
交于点F，OE 与C F交于点G．试探究：在平移过程中，FG
GC的值是否为定值？若是，求出这个值；若不
是，请说明理由．
【答案】(1)
2 5
AB =
(2)点P 的坐标为(
)
0, 5 或
5
0,
2
(3)是定值，
3
2
FG
GC =
28 /
【分析】（1）将
(1, )
A
a 代入反比例函数解析式求出点A 坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，
根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出
( 1, 2)
B −−
，最后根据两点距离公式求解即可；
（2）设
(0,
)
P
p ，
0
p
，分三种情况讨论直角位置： ①
90
APB
=
，②
90
PAB
=
，③
90
PBA
=
，根
据勾股定理列方程求解即可；
（3）设平移距离为(
0)
t t
，则
( ,2)
D t
，
(1
,0)
C
t
+
，
2
1
,1
E
t
t
+
+
，求出直线BD的解析式，与
2
y
x
=
联立，
求出点
1
4
,
2
1
t
F
t
+
+
，求出OE 的解析式，直线C F
的解析式，联立后求出交点G 的横坐标
4(1
)
5
G
t
x
+
=
，
过点
,
G F 分别作GH
x
⊥
轴，FK
x
⊥
轴，根据平行线分线段成比例得出FG
KH
GC
C G
=
，即可解答．
【详解】（1）解：∵
(1, )
A
a 在反比例函数
2
y
x
=
上，代入得
2
2
1
a =
=
，即
(1,2)
A
，
将
(1,2)
A
代入y
kx
=
得
2
k =
，直线为
2
y
x
=
，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，
∴
( 1, 2)
B −−
，
由两点距离公式：
2
2
2
2
[1 ( 1)]
[2
( 2)]
2
4
2 5
AB =
−−
+
−−
=
+
=
；
（2）解：设
(0,
)
P
p ，
0
p
，
分三种情况讨论直角位置： ①
90
APB
=
：由勾股定理得
2
2
2
AP
BP
AB
+
=
，
则
2
2
2
2
[1
(2
) ] [( 1)
(
2
) ]
20
p
p
−
−
+
+
−
+ −
=
，
化简得
2
5
p =
，
故
5
p =
（负值已舍去），
即(
)
0, 5
P
；
②
90
PAB
=
：由勾股定理得
2
2
2
PA
AB
PB
+
=
，
则
2
2
[1 (2
) ]
20
1 ( 2
)
p
p
−
−
+
+
= + −
，
解得
5
2
p =
，
即
5
(0,
)
2
P
；
③
90
PBA
=
：由勾股定理得
2
2
2
PB
AB
PA
+
=
，
则
2
2
20
1 ( 2
)
1 (2
)
p
p
−−
−
+
+
= +
，
解得：
5
2
p = −
，不符合
0
p
，舍去；
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综上，若ABP 为直角三角形，则
5
(0,
)
2
P
或(
)
0, 5
P
；
（3）解：根据（1）可知
(1,2)
A
，
∴
(
)
(
)
0,2 ,
1,0
D
C
，
设平移距离为(
0)
t t
，则平移后各点坐标：
( ,2)
D t
，
(1
,0)
C
t
+
，
2
1
,1
E
t
t
+
+
，
设直线BD的解析式为y
mx
n
=
+
，
代入点
( 1, 2)
B −−
和点
( ,2)
D t
得
2
2
m
n
tm
n
−= −
+
=
+
，
解得：
4
1
2
2
1
m
t
t
n
t
=
+
−
=
+
，
∴直线BD的解析式为
4
2
2
1
1
x
t
y
t
t
−
=
+
+
+
，
直线BD的解析式与
2
y
x
=
联立得2
4
2
2
1
1
x
t
x
t
t
−
=
+
+
+
，整理得
(
)
(
)
2
2
1
1
0
x
t x
t
+
−
−
+
= ，
解得：
1
x = −或
1
2
t
x
+
=
，
∴点
1
4
,
2
1
t
F
t
+
+
，
设直线OE 的解析式为y
m x
=
，
则
(
)
2
1
1
m
t
t =
+
+
，解得：
(
)
2
2
1
m
t
=
+
，
∴直线OE 的解析式为：
2
2
(1
)
y
x
t
=
+
，
设直线C F的解析式为y
cx
d
=
+
，
则
(
)
0
1
4
1
1
2
c
t
d
t
c
d
t
=
+
+
+
=
+
+
，
解得：
(
)
2
8
1
8
1
c
t
d
t
= −
+
=
+
，
∴直线C F的解析式为
2
8
8
(1
)
1
y
x
t
t
−
=
+
+
+ ，
联立直线OE 的解析式和直线C F
的解析式得
2
2
2
8
8
(1
)
(1
)
1
x
x
t
t
t
−
=
+
+
+
+ ，
30 /
解得：
(
)
4 1
5
t
x
+
=
，
即交点G 的横坐标
4(1
)
5
G
t
x
+
=
，
过点
,
G F 分别作GH
x
⊥
轴，FK
x
⊥
轴，
则
//
GH FK ，
∴FG
KH
GC
C G
=
，
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 1
3 1
4 1
2 1
1
,
1
5
2
10
5
10
G
F
C
G
t
t
t
t
t
KH
x
x
C H
x
x
t −
+
+
+
+
+
=
−
=
−
=
=
−
=
+
=
，
∴
(
)
(
)
3 1
3
10
2 1
2
10
t
FG
t
GC
+
=
=
+
．
