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专题17 二次函数解答题压轴题综合
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01、02 二次
函数图象与性质
综合
解答题核心必考，以解析式求解、对
称轴、顶点、参数分析为基础，结合
动点、线段最值、角度关系设问，侧
重数形结合与分类讨论思想。
新增函数新定义题型，融合一次函数
联动探究，弱化机械计算，强化参数
推理、几何角度与函数性质的综合运
用。
考点03 对称及最
值问题
压轴高频难点，涵盖线段、面积、动
态最值，结合抛物线对称、区间范围
命题，常搭配动点、几何图形，分层
设问区分难度。
创新矩形限定最值、整点取值探究，
结合图形平移、旋转考动态最值，侧
重区间分类讨论与几何模型结合。
考点04 二次函数
图象的平移
高频压轴考点，考查抛物线平移规律，
结合平移后解析式、交点、图形存在
性设问，侧重变换规律与函数本质。
突破常规平移，结合射线定向平移，
联动直角三角形、相似三角形存在性
探究，强化动态变换综合应用。
考点05、06 函数
与方程、实际应用
结合一元二次方程根的关系、函数交
点命题，实际场景依托运动、工程、
几何建模，考查函数建模与问题求解
能力。
实景情境更复杂，新增分段动态建模，
结合障碍物、轨迹问题设问，强化方
程思想与实际问题转化能力。
考点07 二次函数
综合压轴
试卷终极难点，融合几何图形、相似、
特殊三角形、面积最值多考点综合，
分层设问，全面考查综合探究能力。
创新几何折叠、对称、定点定值探究，
结合存在性、最值双设问，弱化套路
解题，侧重逻辑推理与动态分析。
考点01 二次函数的图象与性质
1．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
(
)
2
1
y
x
t
= −
−
+ ．（t 为常数）．
(1)若抛物线过点(
)
3,m
−
，(
)
1,m ，求t 的值．
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(2)抛物线与x 轴交于A、B 两点，点(
)
2
1,0
P
t −
为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直
线
1
3
2
y
x
= −
−交于点M，N，求MN 最大值．
(3)点
(
)
1
1
,
C x y ，(
)
2
2
,
D x
y
都在抛物线上，当
1
2
1
2
t
x
t
−
−
−
，
2
2
4
x
时，都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
2,（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数
(
)
(
)
2
1
1
3
0
y
x
x
=
+
−
−
的
图象记为
1
G ，顶点为点A ．将
1
G 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象
2
G ，点A 的对
应点为点B ，图象
1
G 与
2
G 合起来得到的图象记为G ．
(1)填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
1
G
(
)
(
)
2
1
1
3
0
y
x
x
=
+
−
−
A （__________，
__________）
2
G
__________
B （__________，
__________）
(2)观察图象G ，解答下列问题：
①直接写出当x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而减小；
②当2
x
n
−
时，1
0
y
−
，求n 的取值范围．
(3)如图②，点P 为
1
G 上一点，横坐标为m ；点Q 为
2
G 上一点，横坐标为
3
m+ ；点C 为
2
G 上一点，横坐标
为3．过点C 作x 轴的平行线1l ，点Q 关于直线1l 的对称点为点D ，过点D 作x 轴的平行线2l ．图象G 上P ，
Q 两点之间的部分（含P ，Q 两点）的最高点和最低点到直线2l 的距离分别为
1h ，
2h ．
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①请你判断点P ，Q 是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当
1
2
2
h
h
=
时，直接写出m 的值．
3．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点
为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
+
=
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
(
)
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
=
+
+
和抛物线
(
)
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
=
+
+
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
+
=
，求GA
GB 的值．
考点02 二次函数𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜的图象与性质
1．（2026·广东·中考真题）如图1，设O为坐标原点，二次函数
2
3
y
x
bx
= −
+
+
的图象经过点(
)
3,0
A −
，与y
轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点C ，连接AB ，BC ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求cos
ABC
的值；
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(3)如图2，动点P 在线段AB 上，过点P 作AB 的垂线PQ ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q ，求
2
BP
PQ
+
的最大值．
2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图1，抛物线
(
)(
)
12
6
y
a x
x
=
+
−
(
)
0
a
与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交
于(
)
0,6 3
B
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C ，点D ，连接CD，AD ，作
OAD
的平分线交
CD于点E ．
①求点E 的坐标；
②如图2 ，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G ，连接DG 交抛物线于点H ，
连接EH ，当
DEH
DEF
=
时，求点H 的横坐标．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
4．（2026·上海·中考真题）对于函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移一个
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单位得到点B ，使点C 与点B 的横坐标相等，且点C 的纵坐标为2a，则称点C 为抛物线的“派生点”，并且
将直线AC 称为抛物线的“派生直线”．
(1)已知函数
2
2
3
y
x
=
+ ，求该函数的“派生直线”解析式；
(2)已知点C 为某抛物线的“派生点”，点(
)
1,
P
m 和
(
)
7,
Q
n 在其“派生直线”
2
6
y
x
=
−上，且点P 是该抛物线与
其“派生直线”的交点，求PC
CQ 的值，并判断点Q 是否在抛物线上．
5．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数
2
1
y
ax
bx
=
+
+ ．
(1)若该二次函数的图象经过点3,4
（
），且关于直线
1
x = 对称，求二次函数的解析式；
(2)当
2
3
a =
时，该二次函数的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且ABC 是等腰三角形，
求ABC的面积；
(3)当
1
b = 时，点
1
1,
D
y
（
），
2
2,
E
y
（
）在该二次函数的图象上，若
1
2
y
y
，求二次函数在0
1
x
上的最大值m
的取值范围．
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
( 3,0)
A −
、
(1,0)
B
两点，与y 轴交于点
(0, 3)
C
−
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐标；
(3)如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，直线
1
y
kx
k −
=
+
（k 为常数）交
抛物线于E 、F 两点（点E 、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P ，直线NE 交x
轴于点Q ．试探究MP MQ
是否为定值？若为定值，求出MP MQ
的值；若不是定值，请说明理由．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与一个一次函数y
mx
n
=
+
求和，可以得到一
个新的二次函数
(
)
(
)
2
y
ax
b
m x
c
n
=
+
+
+
+
，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的
“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
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(1)若二次函数
2
y
x
=
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为(
)
2,0
−
，(
)
4,0 ，
求m，n 的值；
(2)已知二次函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与
2
2
3
y
x
x−
=
+
的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数y
mx
n
=
+
的图像交于A，B 两点．当ABM 的面积为
4 时，求m 的值．
8．（2026·湖南·中考真题）【问题背景】
如图1 ，给定平行四边形ABCD，点P 是AD 边上不与A ，D 重合的一动点．如图2 ，作XYZ ，使得XY
AD
=
，
且当点P 运动时，保持
X
ABP
=
，
Y
DCP
=
．
【动手操作】
将XYZ 拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X 与A 重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q ，作QS
AB 交AD 于点S ；
操作二：如图4 ，使点X 与D 重合，点Y 与A 重合，将此时的Z 点记为R ，连接RP ．
【问题解决】
(1)如图1 ，当
80
BPC
=
时，
APB
DPC
+
=________°；
(2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明；
①ASQ
BAP
∽
，②DSQ
CDP
∽
；
(3)如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
(4)如图4 ，设
4
AD =
，
3
AB =
，当点P 运动时，求PR
PD
+
的最大值．
9．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴
随对称抛物线”．
(1)试判断
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
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(2)如图1，若
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为
1A ，
2
A ，
记
1
C ，
2
C 组成的图形为C ．
①试猜想
1a 与
2a 的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C 为中心对称图形，请确定C 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若
1
C ：
2
y
x
=
，
2
0
h
，
1
B ，
2
B 分别为
1
C ，
2
C 上的点，且四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，求
(
)(
)(
)
2
2
2
2
1
1
h
h
h
−
−
+
的值．
10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象与x 轴相交于
A，B 两点，与y 轴相交于点C，连接AC ，已知点(
)
1,0
A −
，对称轴为直线
1
x = ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P 是直线BC 上一个动点，连接PA ，PO ，当PA
PO
+
的长度最小时，求点P 的坐标；
(3)点Q 是二次函数图象上一个动点，当
BCQ
ACO
=
时，请直接写出点Q 的坐标．
11．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数
(
)
(
)
2
2 3
3
y
x
m
x
m
=
−
+
−
− ，m 为常数．
(1)当
0
m =
时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
1
x − 时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点A ，且点A 到x 轴的距离为21，求点A 到对称轴的距离．
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考点03 二次函数的对称及最值问题
1．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线
(
)(
)
2
3
2
0
y
x
a
x
a
a
−
=
．
(1)求抛物线顶点的纵坐标；
(2)点
1
3
, 2
A x
，
2
3
, 2
B x
，（
1
2
x
x
）都在抛物线上．
（i）求
1x
a 的值；
（ⅱ）设a为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m ，请比较m 与2
2
a−
的大小，并说明理由．
2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效
益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收
支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y （单位：元）与当日充电汽车数量x （单位：辆）之间的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
y
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量x 之间满足：
2
1
20
500
4 x
x
=
+
+
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
(1)根据上表数据，求y 与x 的函数关系式，并计算当
40
=
x
时，该充电站的收入为多少元？
(2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x 的值，并写出该充电站收入y 与x 的新关系式；
【模型应用】
(3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y
mx
=
，成本关系保持
不变．已知当汽车数量为80 辆时，净收益（净收益=收入−成本）取得最大值，请写出符合条件的m 值，
并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，
后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
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如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于点(
)
2,0
A −
，(
)
4,0
B
，与y 轴交于
点C ，作直线AC ，BC ，点P 为第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PD
x
⊥
轴，垂足为D ，PD 交直线
BC 于点E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PE 的最大值及PE 最大时点P 的坐标；
(3)如图2，若将抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
沿射线AC 方向平移5 个单位长度，得到新抛物线，点Q 为新抛物线
上一点，且
CBQ
ACB
=
∠
∠
，则点Q 的坐标为 ；
(4)当PE 最大时，作直线OE ，若点M 为直线BC 上的一个动点，连接OM ，将线段OM 绕点O顺时针旋转
90得到OM，取OM的中点N ，过点N 作NF
OE
⊥
，垂足为F ，连接AN ，PF ，则AN
PF
+
的最小值
为 ．
4．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
1
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
2,1 和(
)
4, 7
−
．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m
n
），记抛物线在M，N 之间的部分（包括M，N 两
点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分别作y 轴的
垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若
2
m = −，矩形R 的垂直高度
9
=
h
，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是_______；
②若矩形R 的水平宽度
5
p =
，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是_______；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
10 /
5．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
经过(
)
0,6 和(
)
2,4 两点．
(1)求m ，n 的值．
(2)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A ，B ，C ，D （点A 在第三象限，点C 在第二象限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC ，BD 分别交x 轴于E ，F 两点，设OAE ，
OBF
△
的面积分别为
1S ，
2
S ，是否存在直线AB 使
1
2
2
S
S
=
?若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
6．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数
(
)(
)
3
y
x
t
x
t
=
−
−
（其中
0
t
）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点
A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．将点B 绕点A 顺时针旋转90得到点D ．
(1)若
1
t = ，求直线PD 的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线PD 上；
(2)当3
6
x
时，二次函数的最大值为9，求t 的值；
(3)连接OP ，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE
OP
∥
交y 轴于点(
)
0,
E
m ，请直接写出m 的最小
值．
7．（2026·河南·中考真题）定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则称
点Q 是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
=
上，点(
)
3,9 是点(
)
0,0 的“黄金搭档点”．
(1)点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为12．求b ，
c 的值．
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11 /
(2)点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
kx
=
+ （
0
k ）与抛物线
2
y
x
=
相
交于A ，B 两点．C ，D 两点在抛物线上，且CD
AB
∥
．
(1)若点A 的坐标为(
)
1,1
−
，求k 的值和点B 的坐标；
(2)在（1）的条件下，记C ，D 两点的横坐标分别为m ，n（m
n
），当m
x
n
时，函数
(
)
2
y
x
h
=
−
总在
x
n
=
处取得最大值，求h 的取值范围；
(3)若
2
AB
CD
=
，直线AC ，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
9．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1 的正方形ABCD中，E 是AD 边上的动点（不与点A，D
重合）．将ABE 沿BE 翻折，得到
FBE
△
．过点F 作FM
BE
⊥
，FN
BC
⊥
，垂足分别为M，N．
(1)如图2，若FM
FN
=
，求FM
FN
+
的值；
12 /
(2)如图3，若E 为AD 中点，则FM 的长为_______，FN 的长为_______；
(3)求点E 运动过程中FM
FN
+
的最大值．
10．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)(
)
1
3
y
a x
x
=
+
−
与x 轴交于A ，B 两
点．与y 轴交于点C ．直线y
x
m
=
+
经过点C 、与x 轴交于点
(
)
3,0
D −
．
(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；
(2)若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且
2
EF =
，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在
以A ，C ，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在．说明理由．
考点04 二次函数图象的平移
1．（2026·湖北·中考真题）抛物线
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 与x 轴交于点(
)
1,0
A −
和点B ，与y 轴交于点C ．点P 在直
线BC 上，设点P 的横坐标为t ．
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13 /
(1)求c 的值；
(2)如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当
1
t = 时，求点H 的坐标；
(3)点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
2 2
PQ =
．过点P ，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条垂线围
成四边形PEQF ．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N ，记M ，N 的纵坐标之和为f ．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当
11
2
f = −
时，直接写出t 的值．
2．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
4
y
x
bx
c
−
=
+
+
与x 轴交于点A，(
)
4,0
B
，
与y 轴交于点(
)
0,1
C
，连接AC ，BC ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD
BC
⊥
，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接PE ．当PD
的长度取得最大值时，求点P 的坐标及
2
2
PE
AE
+
的最小值；
(3)将抛物线沿射线CA方向平移
2 个单位长度得到抛物线y，点B 的对应点为F，M 是平移后抛物线y上
一点，直线AM 交直线BF 于点N，且
90
ANB
ACB
=
−
．请直接写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出
求解点M 的其中一种情况的过程．
3．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
y
x
m
m
=
−
−
（m 为常数）与x 轴交
于点A，B，点A 位于点B 的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，
都经过点(
)
3,0 ．
14 /
(1)直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式；
(2)若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点
(
)
1
1
,
M x y ，(
)
2
2
,
N x
y
，与直线BC 交于点
(
)
3
3
,
Q x y
，且
1
3
2
x
x
x
，
求
2
2
2
1
2
3
x
x
x
+
+
的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为D，连接AC ，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的PBD 与ABC 相似，求
点P 的坐标．
考点05 二次函数与一元二次方程
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ．
(1)若
1
b = ，
2
c =
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点(
)
0
0
,
P x y
在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(3)抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(
)
0,2
C
，直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
相交于点D ，E 是y 轴
上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
=
=
=
，试探究CD和DE 的数量关系，
并证明．
2．（2026·云南·中考真题）已知
0
m
，
4
2
192
4
118
S
m
m
m
m
=
+
+
−
−
．某二次函数表示的图象为抛物线M ，抛
物线M 经过(
)
10,0
−
A
，(
)
2
2
4 ,0
B
m
m
−
两点．函数
(
)(
)
2
4
3
24
y
x
x
=
+
−
表示的图象为抛物线T ．x 轴上有这
样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
(1)求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
(2)比较S 与145 的大小．
3．
（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、
乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运
动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面1 m
2
高的A 点踢出花枪，A 点与O点的水平距离OB 是1 m
2
，
花枪飞行到与O 点水平距离3m 的C 处达到最高，高度为3m ．
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15 /
①设花枪离地面的高度为
(m)
y
，到O点的水平距离为
(m)
x
．请建立平面直角坐标系，并求y 关于x 的函数
表达式；
②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离
m
d
处接花枪，能接到的高度最大为21m
10
，最小为1 m
2
，求d 的取
值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度
(m)
h
与时间(s)
t
之间
的关系式是
2
8
5
7
5
h
t
t
= −
+
+
（
0
t
），丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
4．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A ，(
)
2,0
C
两点，与y 轴交于点(
)
0, 6
B
−
，
动点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD =
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2 ，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(
)
0,
E
p ，且
13
4
ED =
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
+
的最小值和此时p 的值．
5．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
:
2
3
C y
x
x−
=
−
交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶
点为点P ．
16 /
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)直线
(
)
:
0
l y
kx
b k
=
+
与抛物线C 交于D ，E 两点．
①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若
90
DPE
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
考点06 实际问题与二次函数
1．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①
所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A 处
投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
，
2
3
2
:
0. 5
C
y
x
px
q
= −
+
+
，与水面分别接触于点B ，点C ．
（演
示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
(1)已知点A 与点O所在直线AO的表达式为
0.9
y
x
= −
，分别求出A ，B 两点的坐标；
(2)若水面上
(
)
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
4
DE =
的暗礁，抛物线
2
C 在
14
x =
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
2
C 运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径
3
C 撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹内部回
弹装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
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17 /
1
2
FH
MH
MH
NH
=
=
．且目标露出水面的垂直高度
6
HG =
，点H 的坐标(
)
20,0 ，打击点N 距水面的距离为NH ，
且6
10
NH
，求抛物线
3
C 中p 的取值范围．
2．（2026·湖南·中考真题）如图1，公路1l 与铁路2l 垂直交汇于河岸O点处，公路1l 与河岸的另一交点为A ，
其中河岸OCB 段为抛物线的一部分，AB 段为线段，
7km
OA =
，
5km
AB =
，点B 到公路1l 的距离
3km
BD =
，
抛物线的顶点C 到公路1l 与铁路2l 的距离分别为4 km 与2 km ．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与
公路1l 围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2 ，栅栏EF 紧
挨公路1l （与公路1l 的距离忽略不计），栅栏EH
EF
⊥
，点H 在该段抛物线上；栅栏FG
EF
⊥
，点G 在线段
AB 上．以点O为坐标原点，直线1l 与2l 分别为x 轴与y 轴，规定1个单位长度为1 km ，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出点B 的坐标；
(2)分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
2
EH
FG
=
，已知建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费
17 万元．求栅栏EH 到铁路2l 的距离．
3．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O 为原点，点B 在x 轴的
正半轴上，点A ，C 分别在第一、第四象限，且关于x 轴对称，
6
OA=
，
90
A
=
，
120
AOC
=
．
(1)填空：如图①，点B 的坐标为________，点C 的坐标为________；
18 /
(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l
x
⊥
轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O
落在x 轴的正半轴上．设OP
t
= ．
①如图②，若直线l 分别与边AB ，CB 相交于点D ，E ，当折叠后重叠部分为五边形时，点A ，C 的
对应点分别为A，C，A O
与DB 相交于点F ，C O
与EB 相交于点G ．试用含有t 的式子表示线段DF
的长，并直接写出t 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S ，当2
8
t
时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
考点07 二次函数综合
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于点(
)
1,0
A −
，(
)
4,0
B
，
与y 轴交于点C ，点O为坐标原点，作直线BC ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)在抛物线上有两个动点P ，Q ，点P 在第一象限，横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，交BC
于点M ，点Q 的横坐标为
3
2
m −
．若
MCN
△
的面积记作
1S ，
PMQ
△
的面积记作
2
S ，当
1
2
S
S
S
=
+
有最大值
时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
(3)把抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y过点C ，点E 是新抛物线y对称轴与
x 轴的交点，点F 是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC ，FO．若FO平分
CFE
，请直接写出符合条
件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+
（
0
a
）与x 轴交于(
)
2,0
A −
、(
)
1,0
B
两点．
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19 /
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 为抛物线在第二象限内的动点，求ACD面积的最大值；
(3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q ，使得
2
ACQ
OCB
=
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说
明理由．
3．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
(
)
2
3
0
2
y
ax
x
c a
=
+
+
的图象与x 轴
交于(
)
1,0
A
B
−
、两点，与y 轴交于点(
)
0,2
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC ，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH
BC
⊥
于点H，求线段PH 的最大值；
(3)连接AC ，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE ，使
BDE
ACO
=
，
求点E 的纵坐标．
4．
（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线
6
y
x
−−
=
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
经过A ，C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．抛物线的对称轴为直线
3
2
x = −
．
20 /
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 在抛物线上，横坐标为t ，若点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，求出所有满足条件的t 的值；
(3)若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出
5
2
PH
PO
+
的最小值．
5．
（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A ，(2,0)
C
两点，与y 轴交于点
(0, 6)
B
−
．动
点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD =
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(0, )
E
p ，且
13
4
ED =
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
+
的最小值和此时p 的值．
6．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴交于(
)
1,0
A −
、(
)
2,0
B
两点，与y 轴交于
点(
)
0, 2
C
−
．
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21 /
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，连接AD ．试判定ABD 的形状，并说明理由；
(3)如图2 ，点E 、F 是直线AC 上两动点，且
EBF
ABC
=
．求
EBF
△
面积的最小值．
7．（2026·天津·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
，
0
c
）的顶点为P ．
(1)当
1
a = −，
2
b = −，
3
c = 时，求点P 的坐标；
(2)点(
)
,0
A
c
−
和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
①当
1
2
a
−
=
时，若
90
PCA
=
，求c 的值；
②若点(
)
,0
B m
，
75
ACB
=
，D 为线段BC 的中点，点M 在线段AC 上（不与点A ，C 重合），点N 在线
段AB 上，且
2
CM
BN
=
，当MN
ND
+
取得最小值为5时，求c 的值．
8．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
（a，b 为常数，
0
a
）的图象与x 轴分别交
于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，
1
2
OB
OA =
，
6
AB =
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①连接AC ，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M ，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN
y
⊥
轴，连接BM ，MN ，NP ，
求BM
MN
NP
+
+
的最小值；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q ，使以点Q ，A ，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请
22 /
直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
