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专题15 二次函数的基础知识综合
（4 考点24 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 二次函数
图象与性质
基础必考考点，覆盖开口、对称轴、
顶点、增减性等核心性质，以选填辨
析题为主，常结合表格数据、多函数
对比考查，侧重基础性质灵活辨析。
考法创新：多结论正误判断、跨函数
大小对比；细节创新：结合函数平移、
直线交点判别，强化数形结合辨析能
力。
考点02 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象和性质
高频重难点，依托函数图象判定a、b、
c 及判别式符号，结合定点、对称轴
范围设问，侧重参数推理与条件综合
分析。
设问升级：结合参数取值范围、图象
平移限制条件命题；逆向创新：由图
象特征反推参数取值，弱化机械记忆。
考点03 二次函数
最值问题
核心计算考点，包含纯函数最值与几
何最值，结合矩形动点、区间取值考
查最值求解，侧重二次函数性质的实
际运用。
场景创新：融合几何动点、区间限定
求最值；应用创新：结合农业产量模
型，将最值计算与实际数据分析结合。
考点04 二次函数
实际应用
解答高频考点，结合运动轨迹、销售
利润、工程模型、体育竞技等场景建
模，考查解析式求解、最值应用、数
据测算。
情境创新：新增体育风速、校园设施
改造、文旅销售等真实场景；探究创
新：结合项目式学习，融合跨学科知
识考查建模能力。
考点01 二次函数的图象和性质
1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线
(
)
2
3
5
4
y
x
=
−
−
，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线
5
x =
C．顶点坐标为(
)
5,4
D．当
5
x 时，y 随x 的增大而减小
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2．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数
2
1
4
y
x
x
=
−
，下列说法正确的个数是（ ）
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当
3
x 时，y 随x 的增大而增大；
③它的图象可由
2
1
4
y
x
=
向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到；
④直线
1
y
kx
=
+ （k 为常数）与它的图象一定有两个交点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（2026·湖北·中考真题）已知点(
)
1
1
,
A x y
在函数
1
y
x
=
的图象上，点(
)
2
2
,
B x y
在函数
2
y
x
=
的图象上，点
(
)
3
3
,
C x y
在函数y
x
=
的图象上，
1x ，
2x ，
3x 均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当
1
2
3
y
y
y
=
=
时，下列大小关系不可能
．．．的是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
=
=
C．
3
2
1
x
x
x
D．
3
1
2
x
x
x
4．（2026·广西·中考真题）二次函数
2
(
20)
26
y
x
=
−
+
的最小值为__________．
5．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，其中a 为常数．
(1)若
3
2
a =
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
考点02 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象和性质
1．（2026·山东·中考真题）如图，点P 是抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
）的顶点．下列结论正确的是（ ）
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A．2
0
a
b
+
=
B．
3
1
4
2
a
−
−
C．对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
a
b
+
+
总成立
D．若点
1
(1
,
)
A
m y
−
，
2
(1
,
)
B
m y
+
在抛物线上，则
1
2
y
y
2．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
nx
=
−
经过点(
)
3,
A
a ，(
)
5,
B
b ．若a
b
，且
0
ab
，则n 的
取值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
）的部分图象如图所示，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
0
abc
B．
4
0
b
a
+
=
C．5
>0
a
c
+
D．当
5
x −或
1
x 时，
0
y
4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
1,0
A −
，顶点坐标(
)
1,n ，与y
轴的交点在(
)
0, 2
−
，(
)
0, 3
−
之间（包含端点），下列结论：①3
0
a
b
+
；②2
1
3
a
；③对于任意实数m，
(
)
a
b
m am
b
+
+
总成立；④关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
+
+
=
− 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数
为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
4 / 10
x
…
2
−
1
−
0
1
3
…
y
…
3
4
3
0
12
−
…
下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线
1
x = −
C．2
0
a
c
+ =
D．
2
4
0
b
ac
−
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(1,0)
A
、
(5,0)
B
，下列说法正
确的是（ ）
A．
0
c
B．4
2
0
a
b c
−
+
C．
2
4
0
b
ac
−
D．图象的对称轴是直线
2
x =
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ 的图像为抛物线C ，直线y
a
=
与抛物线C 交于A ，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ．若
四边形ABNM 为正方形，则a =_________．
8．
（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，函数
2
4
4
y
x
x
=
+
+
的图象经过点(
)
1
,
m y
和(
)
2
1,
m
y
+
．若
0
m
，则
1y ________
2y （填“”“=”或“”）．
9．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
1 :
0
C
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点
1
0,
a
a
−
，对
称轴为
1
x
a
=
．
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(1)求b 的值，并用含a 的式子表示c；
(2)已知M 是抛物线
1
C 上的点，M 的横坐标为t，抛物线
2
C 的顶点为M，且可以由抛物线
1
C 平移得到（特别
地，当M 是
1
C 的顶点时，
2
C 即为
1
C ）．若无论t 为何值，抛物线
2
C 都不经过点O，求a 的取值范围．
10．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表：
x
…
2
−
1
−
0
1
4
…
y
…
5
0
3
−
4
−
5
…
(1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）；
①
0
a
；②
2
4
0
b
ac
−
；③当
1
x = 时，y 有最小值为4
−；④当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而增大
(3)若将该二次函数的图象沿y 轴向下平移6 个单位长度，交x 轴于A ，B 两点，求AB 的长．
考点03 二次函数的最值
1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
，
2
BC =
，E 是AB 边上的动点（点E 在A，
B 之间运动，不与A，B 重合），过E 作CE 的垂线交AD 边于点F，则AE
AF
+
的最大值是（ ）
A．21
8
B．3
C．25
8
D．27
8
2．（2026·山西·中考真题）综合与实践
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问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同
的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每
亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0
28
x
．设
中肥力麦田每亩的产量为
1y （千克），低肥力麦田每亩的产量为
2y （千克）．已知点(
)
0,160
A
，(
)
18,646
B
，
(
)
28,496
C
均在描述
1y 与x 关系的抛物线上，且点B 是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量
1y 与x 的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量
2y 与x 的函数关系式为
2
2
26
140
y
x
x
−
=
+
+
．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以
及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到
最大时，两块麦田的总产量为m 千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n 千克．经
判断n小于m ，请直接写出m 与n 的差．
考点04 实际问题与二次函数
1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水
流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度
(
)
y cm 与水平距离(
)
x cm 的关系可以表示为
2
0.1
6
y
x
x
= −
+
，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）
A．9cm
B．30 cm
C．90 cm
D．360 cm
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2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕
食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼发
现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度(
)
cm
y
与水平距离(
)
cm
x
近似满足函
数关系
(
)
2
1
4
0
10
y
x
x x
= −
+
．若这只昆虫在点(
)
20,50
P
，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不
能”）
3．
（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价
1y（元）与销售月份x 满足一次函数关系
1
2
21
y
x
= −
+
，
单件水果进价
2y （元）与销售月份x 满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(
)
6,3 并
且经过(
)
3,12 ，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元．
4．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目
名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
问题
情境
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立柱、
遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由
两条抛物线形线条组成，从正面看，
上方有一矩形，其一边与地台的长
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度相同．项目式学习小组想为该矩
形四周设置灯带，测量了地台的长
度，在测量矩形另一边的长度时遇
到了困难，需要解决．
收集
信息
查找图纸：立柱
5m
ED =
，
7m
FG =
，
两根立柱ED 与FG 之间的距离
8m
DG =
．点F 是过点E ，N 的抛物线
的最高点，地台高
1m
AB =
，立柱FG 到
地台前边缘的距离
2m
AG =
．
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为49．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M 点的
影子落在操场上的H 点处，测得影长
7.5 m
HB =
．
抽象
模型
说明：①测量时间为春分日正午；
②点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，
M ，N 在同一竖直平面内；点M ，N ，
A ，B 在同一竖直方向上，点H ，B ，C
在同一水平线上；
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”
小组以点D 为原点，AD 所在直线为x
轴，DE 所在直线为y 轴建立的平面直角
坐标系．
…
…
(1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E ，F ，N 的抛物线的函数表达式；
(2)任务二：请你求出矩形另一边MN 的长度．
（参考数据：sin49
0.75
，cos49
0.66
，tan49
1.15
）
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5．（2026·四川眉山·中考真题）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济
发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880
件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，就可
多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
6．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷
出抛物线形水柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，
圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．
过程
方法
说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作
说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据
测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱
在与水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立
模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为
(
)
2
0.8
0
y
ax
bx
a
=
+
+
，求a，b 的值；
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
7．（2026·广西·中考真题）综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100 米和200 米、110 米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风
速超过2 m/s ，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100 米比
赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
10 /
【模型假设】假设1：用w（单位：m / s ）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
(1)逆风风速1 m / s 记为____m / s ．
假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s ），零风速状态下的成绩记为
0T （单位：s ）．成绩变化量
0T
T
−
记为y ，y 与w的关系用函数近似描述．
(2)描述y 与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合
0T 和T 的关系解释原因．
假设3：用二次函数
2
y
aw
bw
=
+
描述y 与w的关系．
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：
2
0.004
0.07
y
w
w
= −
+
．
【模型应用】
(3)请你估计顺风风速2 m / s 时的成绩变化量y ．
(4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100 米比赛，第一次在顺风2 m / s 的条件下跑出11.12 s 的成绩，第
二次在逆风1 m / s 的条件下跑出11.30 s 的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平
是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2 m / s 以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数
模型．
