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专题15 几何综合与压轴问题
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 图形变换、
动点与最值综合
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取5 道真题，其中2025
年、2026 年省统考连续设题，2026 年以等腰三角形中
位线加轴对称求线段长呈现，2025 年则通过菱形折叠、
对称变换结合面积法与三角函数求差最值，显示出省统
考对"图形变换＋最值"这一经典组合的高度重视。本考
点题型以解答题和填空题为辅，分值通常在10-14 分，
位于试卷后段，属于区分度较高的中档偏难题目。核心
考查轴对称、旋转、平移的性质应用，常结合勾股定理、
相似三角形、三角函数以及"将军饮马""胡不归"等最值
模型，要求较强的辅助线构造能力与分类讨论意识。命
题趋势上，从单一的静态计算向动态过程中的不变量与
最值探究转变，预计未来省统考仍将保留此类题目，并
与菱形、矩形等特殊四边形深度结合。
考点02 四边形背景
下的几何综合
2022·浙江温州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江金华·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取4 道真题，全部集中于
2022 年地市卷，题型以高难度解答题为主。这些题目多
以正方形、菱形或一般四边形为载体，通过内嵌正方形、
弦图、动点运动等方式构造复杂图形。本考点的核心在
于利用四边形的性质（平行、垂直、对角线互相平分等）
进行角度转化和线段推导，往往需要多次全等或相似证
明，计算量大且逻辑链条长。虽然2023—2026 年省统
考未再以纯四边形综合形式单独出现（多融入圆或图形
变换之中），但其解题思想如构造全等、利用对称性、
建立函数关系，仍是几何综合的基础。复习时应重点训
练在复杂图形中识别基本模型、以及合理分类讨论的能
力。
考点03 圆背景下的
几何综合
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取11 道真题，是本专题
题量最大、考查频率最高的板块。2024 年、2026 年省
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2023·浙江温州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江丽水·中考
统考均在此设题，2026 年更将其作为压轴，以圆内接三
角形、直径性质与含参数的代数式表示角度、线段关系
综合呈现，难度较大；2023 年各地市题目涵盖圆内接四
边形、垂径定理、切线性质、圆周角定理与相似的深度
综合。题型以解答题为主，常设置3 个小问层层递进。
核心考查"圆"作为几何载体的桥梁作用，常需结合"一
线三等角""母子相似""手拉手"等模型，并与勾股定理、
锐角三角函数及最值问题交叉。命题规律显示，圆与相
似、圆与三角函数、圆与最值问题是永恒重点，预计未
来省统考仍将把圆背景综合题作为几何部分的"重中之
重"。
考点04 新定义、存
在性与探究问题
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江湖州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江台州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取4 道真题，均为地市卷
的创新压轴题。这类题目通常给出一个全新的定义或操
作规则，要求考生现场学习并迁移应用。本考点不依赖
特定的知识模块，而是侧重考查阅读理解、类比迁移与
逻辑推理素养，题目情境新颖、设问灵活、没有固定套
路，需要考生现场思考。虽然2024-2026 年省统考未出
现此类纯新定义题，但"探究与思考"的理念已渗透到各
类综合题的第（3）问中。此类题目是选拔尖子生的关
键，复习时应适当接触各类新定义与探究素材，培养面
对陌生问题的心理素质与拆解能力。
考点01
图形变换、动点与最值综合
1．（2026·浙江·中考真题）如图，סܤᦙ䁡㜰סᦙܤ䁡㜰͵Ͳι，ᦙܤ㜰⸷，ܦ、ܧ分别是ᦙܤ、ᦙ䁡的中点，ܳ、ܲ
分别为ܤ䁡、ܦܧ上任意点，当ܤܦ关于ܳܲ
对称的线段ܤԢܦԢ垂直ܤ䁡时，ܳܲ
㜰___________．
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2．（2025·浙江·中考真题）在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ͷ，ᦙ䁡㜰ͺ．
(1)如图1，求sinסܤᦙ䁡的值．
(2)如图2，E 是ᦙܦ延长线上的一点，连接ܤܧ，作ᇞܨܤܧ与ᇞᦙܤܧ关于直线ܤܧ对称，ܧܨ交射线ᦙ䁡于点
P，连接ܤܲ．
①当ܧܨ٣ ᦙ䁡时，求ᦙܧ的长．
②求ܲ
ᦙെܲ
ܤ的最小值．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ᦙܤ䁡和ܦܧܨ中，ס䁡㜰סܦ㜰䁡Ͳι，סܤ㜰͵Ͳι，סܧ㜰⸷ͷι，ܤ䁡㜰
ܧܨ㜰ൌʹ．将它们叠合在一起，边ܤ䁡与ܧܨ重合，䁡ܦ与ᦙܤ相交于点G（如图1），此时线段䁡ܩ的长是
___________，现将ᇞܦܧܨ绕点䁡ᦙܨሻ按顺时针方向旋转（如图2），边ܧܨ与ᦙܤ相交于点H，连结ܦܪ，在
旋转Ͳι到Ͳι的过程中，线段ܦܪ扫过的面积是___________．
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4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，ᦙܤ㜰ൌͲ，点䁡在射线ܤܳ
上的动点，连接ᦙ䁡，作䁡ܦ٣ ᦙ䁡，䁡ܦ㜰ᦙ䁡，
动点ܧ在ᦙܤ延长线上，tanסܳܤܧ㜰͵，连接䁡ܧ，ܦܧ，当䁡ܧ㜰ܦܧ，䁡ܧ٣ ܦܧ时，ܤܧ的长是______．
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰，ܤ䁡㜰ͺ，动点ܧ从点ᦙ出发，沿边ᦙܦ，
ܦ䁡向点䁡运动，ᦙ，ܦ关于直线ܤܧ的对称点分别为ܯ，ܰ，连结ܯܰ．
(1)如图，当ܧ在边ᦙܦ上且ܦܧ㜰ʹ 时，求סᦙܧܯ的度数．
(2)当ܰ
在ܤ䁡延长线上时，求ܦܧ的长，并判断直线ܯܰ
与直线ܤܦ的位置关系，说明理由．
(3)当直线ܯܰ
恰好经过点䁡时，求ܦܧ的长．
考点02
四边形背景下的几何综合
1．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在ܴ
ݐᇞᦙܤ䁡中，סᦙ䁡ܤ㜰䁡Ͳι，以其三边为边向外作正方形，连结䁡ܨ，
作ܩܯ٣ 䁡ܨ于点M，ܤܬ٣ ܩܯ于点J，ᦙܭ٣ ܤܬ于点K，交䁡ܨ于点L．若正方形ᦙܤܩܨ与正方形ܬܭ方ܯ的
面积之比为5，䁡ܧ㜰
ൌͲ
ʹ，则䁡ܪ的长为（
）
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A．ͷ
B．
͵ͷ
ʹ
C．ʹ ʹ
D．ൌͲ
2．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A
重合），点F 在边BC 上，且ᦙܧ㜰ʹܤܨ，连接EF，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH．
(1)如图1，若ᦙܤ㜰⸷，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积，
(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD，BC 交于点I，J，射线EH 与射线AD 交于点K．
①求证：ܧܭ㜰ʹܧܪ；
②设סᦙܧܭ㜰ߙ，ᇞܨܩܬ和四边形AEHI 的面积分别为ܵൌ，ܵʹ．求证：ܵʹܵ
ൌ㜰⸷sinʹߙെൌ．
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点F，H 分别在边ᦙܦ，ᦙܤ上，连结ᦙ䁡，ܨܪ
交于点E，已知䁡ܨ㜰䁡ܪ．
(1)线段ᦙ䁡与ܨܪ垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F 的圆交䁡ܨ于点P，连结ܲ
ܪ交ᦙ䁡于点K．求证：
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ᦙܭ
ᦙ䁡．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K 是线段ᦙ䁡的中点时，求
䁡ܲܲ
ܨ的值．
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4．
（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ൌͲ쳌sinܤ㜰
͵
ͷ，点E 从点B 出发沿折线ܤെ䁡െܦ
向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（ܤ䁡或䁡ܦ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在ܧܨ的右侧作矩
形ܧܨܩܪ．
(1)如图1，点G 在ᦙ䁡上．求证：ܨᦙ㜰ܨܩ．
(2)若ܧܨ㜰ܨܩ，当ܧܨ过ᦙ䁡中点时，求ᦙܩ的长．
(3)已知ܨܩ㜰ͺ，设点E 的运动路程为s．当s 满足什么条件时，以G，C，H 为顶点的三角形与ᇞܤܧܨ相似
（包括全等）？
考点03
圆背景下的几何综合
1．（2026·浙江·中考真题）如图1，ᇞᦙܤ䁡内接于ٖܱ
，ܦ是直径ᦙܤ上的一点，满足ᦙ䁡㜰ᦙܦ，连接䁡ܦ
并延长交ٖܱ
于点ܧ，连接ܤܧ，点ܨ在弦ܤ䁡上，且ܤܨ㜰ܦܧ．过点ܨ作ܨܩ٣ 䁡ܧ，交ᦙܤ于点ܩ，交䁡ܦ
于点ܪ．设ס䁡ᦙܤ㜰ߙ．
(1)用含ߙ的代数式表示סᦙܤܧ和סܨܩܤ的大小；
(2)如图1，若䁡ܨ㜰䁡ܦ，求证：ܩܨ㜰ܩܱ；
(3)如图3，若ٖܱ
的半径为1，点ܦ在ܱ
ܤ上，且ܱ
ܦ㜰ʹᦙܩ，求ᦙ䁡的长．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܦ൏ᦙ䁡，סᦙܦ䁡൏סܤᦙܦ，延长ᦙܦ至点
E，使ᦙܧ㜰ᦙ䁡，延长ܤᦙ至点F，连结ܧܨ，使סᦙܨܧ㜰סᦙܦ䁡．
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(1)若סᦙܨܧ㜰Ͳι，䁡ܦ为直径，求סᦙܤܦ的度数．
(2)求证：①ܧܨ∥ܤ䁡；②ܧܨ㜰ܤܦ．
3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形ᦙܤ䁡ܦ内接于ٖܱ
，ܤ䁡∥ᦙܦ，ᦙ䁡٣ ܤܦ．若סᦙܱܦ㜰ൌʹͲι，
ᦙܦ㜰
͵，则ס䁡ᦙܱ
的度数与ܤ䁡的长分别为（
）
A．10°，1
B．10°，ʹ
C．15°，1
D．15°，ʹ
4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角ᇞᦙܤ䁡内接于ٖܱ
，D 为ܤ䁡的中点，连接ᦙܦ并延长交ٖܱ
于点E，连接ܤܧ쳌䁡ܧ，过C 作ᦙ䁡的垂线交ᦙܧ于点F，点G 在ᦙܦ上，连接ܤܩ쳌䁡ܩ，若ܤ䁡平分סܧܤܩ且סܤ䁡ܩ㜰
סᦙܨ䁡．
(1)求סܤܩ䁡的度数．
(2)①求证：ᦙܨ㜰ܤ䁡．
②若ᦙܩ㜰ܦܨ，求tanסܩܤ䁡的值，
(3)如图2，当点O 恰好在ܤܩ上且ܱ
ܩ㜰ൌ时，求ᦙ䁡的长．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81 页第5 题后，进行变式、探究与思考：
如图1，ٖܱ
的直径䁡ܦ垂直弦AB 于点E，且䁡ܧ㜰ͺ，ܦܧ㜰ʹ．
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(1)复习回顾：求ᦙܤ的长．
(2)探究拓展：如图2，连接ᦙ䁡，点G 是ܤ䁡
Ⴃ上一动点，连接ᦙܩ，延长䁡ܩ交ᦙܤ的延长线于点F．
①当点G 是ܤ䁡
Ⴃ的中点时，求证：סܩᦙܨ㜰סܨ；
②设䁡ܩ㜰㐮，䁡ܨ㜰㐮，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接ܦܨ，ܤܩ，当ᇞ䁡ܦܨ为等腰三角形时，请计算ܤܩ的长．
6．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，ᦙܤ是ٖܱ
的直径，直线݈
是ٖܱ
的切线，ܤ为切点．ܲ，ܳ
是圆
上两点（不与点ᦙ重合，且在直径ᦙܤ的同侧），分别作射线ᦙܲ，ᦙܳ
交直线݈
于点䁡，点ܦ．
(1)如图1，当ᦙܤ㜰，ܤܲ
的长为π时，求ܤ䁡的长．
(2)如图2，当
ᦙܳ
ᦙܤ㜰
͵
⸷，ܤܲႣ㜰ܲܳႣ时，求
ܤ䁡
䁡ܦ的值．
(3)如图3，当sinסܤᦙܳ
㜰
⸷，ܤ䁡㜰䁡ܦ时，连接BP，PQ，直接写出ܲܳܤܲ的值．
7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ٖܱ
中，ᦙܤ是一条不过圆心ܱ
的弦，点䁡쳌ܦ是ᦙܤ
Ⴃ的三等分点，
直径䁡ܧ交ᦙܤ于点ܨ，连结ᦙܦ交䁡ܨ于点ܩ，连结ᦙ䁡，过点䁡的切线交ܤᦙ的延长线于点ܪ．
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(1)求证：ᦙܦ∥ܪ䁡；
(2)若ܱ
ܩ
ܩ䁡㜰ʹ，求tanסܨᦙܩ的值；
(3)连结ܤ䁡交ᦙܦ于点ܰ
，若ٖܱ
的半径为5
①若ܱ
ܨ㜰
ͷ
ʹ，求ܤ䁡的长；
②若ᦙܪ㜰
ൌͲ，求ᇞᦙܰܤ的周长；
③若ܪܨڄ ᦙܤ㜰ͺͺ，求ᇞܤܪ䁡的面积．
8．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形
纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB，CD，AD．设CD 与直径AB
交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；
ܤ䁡
ᦙܦ的值等于_________．
9．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，ٖܱ
为锐角三角形ᦙܤ䁡的外接圆，点D 在ܤ䁡
Ⴃ上，ᦙܦ交ܤ䁡于点
E，点F 在ᦙܧ上，满足סᦙܨܤെסܤܨܦ㜰סᦙ䁡ܤ쳌ܨܩ∥ᦙ䁡交ܤ䁡于点G，ܤܧ㜰ܨܩ，连结ܤܦ，ܦܩ．设סᦙ䁡ܤ㜰ߙ．
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(1)用含ߙ的代数式表示סܤܨܦ．
(2)求证：ᇞܤܦܧ، ᇞܨܦܩ．
(3)如图2，ᦙܦ为ٖܱ
的直径．
①当ᦙܤ
Ⴃ的长为2 时，求ᦙ䁡
Ⴃ的长．
②当ܱ
ܨǣܱܧ㜰⸷ǣൌൌ时，求cosߙ的值．
10．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，ᦙܤ为半圆O 的直径，C 为ܤᦙ延长线上一点，䁡ܦ切半圆于点D，
ܤܧ٣ 䁡ܦ，交䁡ܦ延长线于点E，交半圆于点F，已知ܤ䁡㜰ͷ쳌ܤܧ㜰͵．点P，Q 分别在线段ᦙܤ쳌ܤܧ上（不
与端点重合），且满足
ᦙܲ
ܤܳ㜰
ͷ
⸷．设ܤܳ
㜰㐮쳌䁡ܲ
㜰㐮．
(1)求半圆O 的半径．
(2)求y 关于x 的函数表达式．
(3)如图2，过点P 作ܴܲ
٣ 䁡ܧ于点R，连结ܲܳ
쳌ܴܳ
．
①当ᇞܴܲܳ
为直角三角形时，求x 的值．
②作点F 关于ܴܳ
的对称点ܨԢ，当点ܨԢ落在ܤ䁡上时，求
䁡ܨԢ
ܤܨԢ的值．
11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，以ᦙܤ为直径的ٖܱ
与ᦙܪ相切于点A，点C 在ᦙܤ左侧圆弧上，
弦䁡ܦ٣ ᦙܤ交ٖܱ
于点D，连接ᦙ䁡쳌ᦙܦ．点A 关于䁡ܦ的对称点为E，直线䁡ܧ交ٖܱ
于点F，交ᦙܪ于点
G．
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(1)求证：ס䁡ᦙܩ㜰סᦙܩ䁡；
(2)当点E 在ᦙܤ上，连接ᦙܨ交䁡ܦ于点P，若
ܧܨ
䁡ܧ㜰
ʹ
ͷ，求
ܦܲ
䁡ܲ的值；
(3)当点E 在射线ᦙܤ上，ᦙܤ㜰ʹ，以点A，C，O，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求ᦙܧ的长．
考点04
新定义、存在性与探究问题
1．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻
等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܦ∥ܤ䁡쳌סᦙ㜰䁡Ͳι，对角线ܤܦ平分סᦙܦ䁡．求证：四边形ᦙܤ䁡ܦ为邻等四
边形．
(2)如图2，在6×5 的方格纸中，A，B，C 三点均在格点上，若四边形ᦙܤ䁡ܦ是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ᦙܤ䁡ܦ是邻等四边形，סܦᦙܤ㜰סᦙܤ䁡㜰䁡Ͳι，סܤ䁡ܦ为邻等角，连接ᦙ䁡，过B 作ܤܧ∥ᦙ䁡
交ܦᦙ的延长线于点E．若ᦙ䁡㜰ͺ쳌ܦܧ㜰ൌͲ，求四边形ܧܤ䁡ܦ的周长．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点P 在边ᦙܤ的延长线上，连接ܲ
ܦ，过点D 作ܦܯ٣ܲ
ܦ，交ܤ䁡的延
长线于点M．求证：ᇞܦᦙܲ، ᇞܦ䁡ܯ．
【变式求异】
（2）如图2，在Rt ᇞᦙܤ䁡中，סᦙܤ䁡㜰䁡Ͳι，点D 在边ᦙܤ上，过点D 作ܦܳ
٣ ᦙܤ，交ᦙ䁡于点Q，点P
在边ᦙܤ的延长线上，连接ܲܳ
，过点Q 作ܳ
ܯ٣ܲܳ
，交射线ܤ䁡于点M．已知ܤ䁡㜰ͺ，ᦙ䁡㜰ൌͲ，ᦙܦ㜰ʹܦܤ，
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求ܲܳܳܯ的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt ᇞᦙܤ䁡中，סܤᦙ䁡㜰䁡Ͳι，点P 在边ᦙܤ的延长线上，点Q 在边ᦙ䁡上（不与点A，C 重
合），连接ܲܳ
，以Q 为顶点作סܲܳ
ܯ㜰סܲܤ䁡，סܲܳ
ܯ的边ܳ
ܯ交射线ܤ䁡于点M．若ᦙ䁡㜰݉
ᦙܤ，䁡ܳ
㜰݊
ᦙ䁡
（m，n 是常数），求ܲܳܳܯ的值（用含m，n 的代数式表示）．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小东在做九上课本123 页习题：“1：ʹ也是一个很有趣的比．已知线段AB
（如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P，使AP：AB＝1：ʹ．”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边
作等腰直角三角形ABC，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P，点P 即为所求作的点．小
东称点P 为线段AB 的“趣点”．
(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．
(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造
ᇞDPE，使得ᇞDPE∽ᇞCPB．
①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．
②如图4，DE 分别交CP，CB 于点M，N，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N 是否
为线段ME 的“趣点”？并说明理由．
4．（2022·浙江台州·中考真题）图1 中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方
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形ᦙܤ䁡ܦ各边上分别取点ܤൌ，䁡ൌ，ܦൌ，ᦙൌ，使ᦙܤൌ㜰ܤ䁡ൌ㜰䁡ܦൌ㜰ܦᦙൌ㜰
⸷
ͷ ᦙܤ，依次连接它们，得到四边
形ᦙൌܤൌ䁡ൌܦൌ；再在四边形ᦙൌܤൌ䁡ൌܦൌ各边上分别取点ܤʹ，䁡ʹ，ܦʹ，ᦙʹ，使ᦙൌܤʹ 㜰ܤൌ䁡ʹ 㜰䁡ൌܦʹ 㜰ܦൌᦙʹ 㜰
⸷
ͷ ᦙൌܤൌ，
依次连接它们，得到四边形ᦙʹܤʹ䁡ʹܦʹ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
1．
（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形ᦙܤ䁡ܦ内接于圆O，ᦙܤ为直径，䁡ܦ㜰䁡ܤ，ᦙ䁡交ܤܦ于点G，䁡ܧ٣ ᦙܤ，
垂足为E，䁡ܧ交ܤܦ于点F．
(1)如图1，证明：ܨ䁡㜰ܨܤ．
(2)如图2，连结ܱ
ܨ，若ס䁡ᦙܦ㜰ʹͲι，求סܱܨܧ的度数．
(3)如图3，连结ܱ
ܩ，若ܱ
ܩ㜰⸷，ܤܱ
㜰ܤܩ，求四边形ܱ
ܧܨܩ的面积．
2．
（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ס䁡㜰Ͳι，ܧ是对角线ܤܦ上一点，连接ᦙܧ，设סܧᦙܤ㜰ߙ
Ͳι ൏ߙ൏͵Ͳι ，将ᇞᦙܤܧ沿ᦙܧ折叠得到ᇞᦙܩܧ，连接ܦܩ并延长交ܤ䁡于点ܪ．
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(1)用含ߙ的代数式表示סܦᦙܩ．
(2)求证：
①סܤܦܪ㜰סܤᦙܧ；
②ܤܪ㜰ܤܧ．
(3)如图2，当ܦܩǣܩܪ㜰ʹǣൌ时，求ܦܧǣܤܧ的值．
3．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点E，F 分别是边ܤ䁡쳌䁡ܦ上的动点（不包含端点），
ᦙܩ٣ ܧܨ于点G，ܩܯ٣ ᦙܤ于点M，ܧܨ㜰ᦙܩ．
(1)如图1，求证：ᇞᦙܯܩ، ᇞܧ䁡ܨ．
(2)如图2，过点E 作ܪܧ٣ ܤ䁡分别交ᦙܩ쳌ܯܩ于点H，N．
①求证：四边形ܤܯܰܧ为正方形；
②求证：ܪܧܩܰ
㜰ᦙܤ；
③若ᦙܤ㜰ൌ，请直接写出ܪܧ的取值范围．
4．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，在矩形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ʹ，ܤ䁡㜰͵，E，F 分别是ᦙܦ，ܤ䁡上的点，
作四边形䁡ܦܧܨ关于直线ܧܨ对称的四边形ܪܩܧܨ，点D 的对称点G 落在ᦙܤ上，连接ܦܩ．
(1)当G 为ᦙܤ的中点时，求ᦙܧ的长．
(2)如图2，连接ܨܩ．
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①若סᦙܩܦסܤܩܨ㜰ൌ͵ͷι，求tanסᦙܦܩ的值．
②若סᦙܩܧ⸷סܤܩܨ㜰ʹൌͲι，求ܤܩ的长．
5．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在ᇞᦙܤ䁡中，ᦙܤ㜰ᦙ䁡㜰ൌ，点ܦ在ܤ䁡边上，且䁡ܦ㜰ʹܤܦ，连接ᦙܦ并延长至点ܧ，使得ᦙܧ㜰ᦙܤ，
作䁡ܨ∥ᦙܧ交ܤܧ延长线于点ܨ，连接ᦙܨ交ܤ䁡于点ܩ．记cosסᦙܤ䁡㜰㐮，
ܦܩ
䁡ܩ㜰㐮．
【图形认识】
(1)求证：䁡ܨ㜰͵ܦܧ．
【引元关联】
(2)设ܦܧ㜰ݐ，求㐮关于ݐ的函数表达式．
【特例计算】
(3)如图2，当ᦙܨ٣ ܤ䁡时，分别求出㐮和㐮的值．
【规律研究】
(4)已知Ͳ ൏㐮൏ൌ，求㐮的取值范围．
6．（2026·浙江温州·模拟预测）如图1，ܤ䁡是ٖܱ
的直径，A，D 为圆上在ܤ䁡异侧的点，ᦙܤ㜰ᦙ䁡，连接
ᦙܦ交ܤ䁡于点H，将ᇞᦙ䁡ܦ关于直线ᦙ䁡对称得到ᇞᦙ䁡ܧ．
(1)求出סܧ的度数．
(2)如图2，延长ܧ䁡交䁡ܦ
Ⴃ于点F，连接ᦙܨ，ܤܨ，ᦙܨ交ܤ䁡于点G．
①求证：䁡ܦ㜰ܤܨ．
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②若ܤ䁡㜰ൌܩܪ，求
䁡ܨ
䁡ܦ的值．
