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专题22 直角三角形全等的判定
（题型突破·举一反三）
题型01 添加条件证明全等
题型02 直角三角形的判定依据
题型03 证明三角形全等
题型04 二次全等
题型05 角平分线的判定
题型06 角平分线的性质与判定综合
题型07 补充依据
题型08 尺规作图
▌题型01 添加条件证明全等
1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
适用前提：两个三角形必须是直角三角形！
2. 解题思路
（1）先确认：两个三角形是否标明直角（Rt△），不满足直角→不能用HL
（2）找出现有相等线段：分清是斜边还是直角边
（3）HL 还差另一组：
- 已有斜边 ➜ 补一组直角边
- 已有直角边 ➜ 补斜边
（4）
易错陷阱：
不要补充另外一组直角边！两条直角边相等是SAS，不是HL！
【典例1】（2026 春•汝州市期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，若补充一个条件后能用“HL”
的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是（ ）
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A．AB∥CD
B．OB＝OD
C．∠A＝∠C
D．AB＝CD
【变式1-1】（2026 春•银川期中）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE．若用“斜边、
直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（ ）
A．BC＝EF
B．AC＝DF
C．∠B＝∠E
D．∠ACB＝∠DFE
【变式1-2】（2025 春•建平县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件
（ ）
A．∠BAC＝∠BAD
B．AC＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABC＝∠ABD
【变式1-3】如图，已知BD⊥AE 于点B，C 是BD 上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充
的条件是∠A＝∠D 或 或 或
或 或 等 ．
▌题型02 直角三角形全等的判定依据
1. 通用判定（所有三角形都能用，直角三角形同样适用）
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①SSS：三边对应相等
②SAS：两边及其夹角对应相等
③ASA：两角及其夹边对应相等
④AAS：两角及其中一角对边对应相等
2. 直角三角形专属判定：HL
HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
条件要求：
① 两个三角形都是直角三角形
② 斜边相等 + 任意一组直角边相等。
【典例1】（2025 秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角
形，其全等的依据是（ ）
A．ASA
B．AAS
C．SAS
D．SSS
【变式1-1】（2025 秋•秦淮区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心、AB 长为半径
画弧，与BC 的延长线相交于点D，可以判定△ABC≌△ADC，依据是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
【变式1-2】将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和∠ABC 的两边
重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线BP，则BP 为∠ABC 的角平分线的依据是（ ）
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A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．垂直平分线的性质
C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
D．利用“SSA”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等
【变式1-3】（2026•道里区二模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要
求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝
90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长
B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC 的依据是HL
C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长
D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC 的依据是SAS
▌题型03 证明三角形全等
1. HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
硬性前提：两个三角形必须是直角三角形！普通三角形不能使用HL。
2. 所需条件（缺一不可）
设 Rt△ABC 和Rt△DEF，∠C=∠F＝90°需要满足：
（1）斜边相等：AB=DE
（2）任意一组直角边相等：AC=DF 或 BC=EF。
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【典例1】（2026•商南县二模）如图，∠A＝∠B＝90°，E 是AB 上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
【变式1-1】（2024 秋•内黄县期末）如图，AB＝AC，D、E 分别是AC、AB 上的点，M、N 分别是CE、BD
上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM＝AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM．
【变式1-2】（2025 春•雁塔区期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、
C、F 在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
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【变式1-3】（2025 春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC 与点E，DF⊥AC 与点F．求证Rt
△ABE≌Rt△CDF．
▌题型04 二次全等
1. 需要证明两组三角形全等。
第一组全等，得到边相等/角相等，当作条件，再证明第二组全等。
简单概括：第一次全等，制造条件；第二次全等，完成目标。
3. 通用标准解题模板
（1）观察结论：看最终要证哪两个三角形全等（目标△）
（2） 逆向寻找：目标△缺少一组相等线段/相等角
（3）确定第一组全等：通过已知条件，先证第一组全等，补齐缺失条件
（4）再证第二次全等，得出最终结论
【典例1】（2025 秋•旌阳区校级月考）如图，点A，C，D，B 在同一条直线上，点E，F 分别在直线AB 的
两侧，AE＝BF，DE＝CF，AC＝BD．猜想CE，DF 的数量和位置关系，并说明理由．
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【变式1-1】如图，A，F，E，B 四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：△ACF≌△BDE．
【变式1-2】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF
吗？
【变式1-3】如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，AB＝CD，EB⊥AD 于点B，FC⊥AD 于点C，AE＝
DF．求证：
（1）∠EAB＝∠FDC；
（2）AF＝DE．
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▌题型05 角平分线的判定
1. 判定定理
文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言：
已知：点P 在∠AOB 内部，PD⊥ OA，PE⊥OB，PD=PE
结论：OP 平分∠AOB。
2. 备使用条件（三个缺一不可）
（1）点在角内部
（2）两条垂直（垂线段，代表距离）
（3）两条垂线段长度相等
只有线段相等，没有垂直，不能用判定！
【典例1】（2026 春•宝山区校级期末）如图，AO 平分∠DAC，CO 平分∠ACE，求证：BO 平分∠EBD．
【变式1-1】（2026 春•青羊区校级期中）如图，点D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，过点C 作CE⊥AB，
垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC 的面积为14．
（1）求证：AC 是∠BAD 的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
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【变式1-2】（2025 秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC 的外角∠ACD 的角平分线CE 与内角∠ABC 的角平
分线BE 交于点E，点F 在边BA 的延长线上，AE 的延长线交边BC 的延长线于点D，过点E 作EH⊥BD
于点H．
（1）求证：AE 平分∠CAF；
（2）若∠BAC＝30°，求∠BEC 的度数；
（3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD 的面积．
【变式1-3】（2026 春•龙岗区校级期中）如图，点A，B 分别在射线OP，OQ 上，点C 在∠POQ 的内部，
CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE．
（1）求证：OC 平分∠POQ；
（2）如果OD＝6，OB＝4，求OA 的长．
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▌题型06 角平分线的性质与判定综合
1. 角平分线性质（正方向）
点在角平分线上⇒点到两边距离相等
角平分线判定（逆方向）
点到角两边距离相等⇒点在角平分线上
2. 解题四步法
（1）看目标
① 要证线段相等：优先找角平分线，使用性质
② 要证角相等/射线平分角：优先证明垂线段相等，使用判定
（2）缺垂线，辅助线必做：过平分线上一点，向角两边作垂直！
（3）利用得到的相等线段、相等角，结合全等（HL、AAS、SAS）推导
（4）规范书写，不要混用性质与判定.
【典例1】（2026 春•郑州校级期中）课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分
线上．
（1）如图1，已知BG，CG 是△ABC 的角平分线，求证：点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）如图2，BP，CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝
60°，求∠PAC 的度数．
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【变式1-1】（2026•桐城市开学）如图，在△ABC 中，∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，延长
BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证：
（1）CP 平分∠ACF；
（2）∠ABC+2∠APC＝180°．
【变式1-2】（2025 秋•山丹县校级期末）已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC
的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点P．
（1）如图1，求证：点P 到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
（2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC 的度数．
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【变式1-3】（2025 秋•甘井子区期末）如图1，△ABC 的内角∠ABC 的平分线BE 和一个外角∠ACD 的平
分线CE 相交于点E．
（1）若∠A＝m°，则∠E 的大小是 ；（用含m 的式子表示）
（2）如图2，连接AE．求证：AE 平分另一个外角∠FAC．
▌题型07 补充依据
1.证明全等的5 条判定（写在最后一行）
（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等
（2）SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（3）ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
（4）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
（5）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
2.用来推出角相等
（1）对顶角相等
（2）公共角
（3）两直线平行，同位角相等
（4）两直线平行，内错角相等
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（5）同角（等角）的余角相等
（6）同角（等角）的补角相等
（7）角平分线定义
（8）垂直定义 ⇒ 直角相等（90°）
（10）等边对等角
（11）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等（等角±公共角）
4.用来推出线段相等
（1）公共边
（2）中点定义
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
（4）角平分线上的点到角两边的距离相等
（5）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等
（7）等角对等边
5.全等之后，得到结论的依据
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
【典例1】（2026 春•重庆期中）完成下面的推理证明：
已知：如图，点A，B，C 在一条直线上，已知BF 平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF．求证：∠
DAB＝∠EBC．
证明：∵DB⊥BF（已知），
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（① ）．
∵BF 平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（② ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝③ （④ ）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
∴∠DAB＝∠EBC（⑤ ）．
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【变式1-1】（2026 春•深圳期中）如图2，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，点E、F 分别在AB、
AC 边上，
（1）请用直尺和圆规，过点D 作DH∥AC 交BC 于点H．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠1+∠HDC＝180°，∠1＝148°，则：
①证明EF∥CD；
②求∠BHD 的度数．
请完成如下的几何推导：
解：∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠HDC＝180°﹣ ＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）
∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC＝32°，（ ）
∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°，
∴EF∥CD，（ ）
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACB＝ ＝2×32°＝64°，（角平分线的定义）
∵DH∥AC，
∴∠BHD＝ ＝64°．（两直线平行，同位角相等）
【变式1-2】（2026 春•海淀区校级期中）如图，直线AD，BC 被直线CD 所截，AC 平分∠BAD，∠1+∠BCD
＝180°．
求证：∠BCA＝∠BAC．
下面是小军的解答过程，请补充完整．
证明：∵直线AD 与CD 相交于点D，
∴∠1＝∠ADC（① ）（填推理的依据）．
∵∠1+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∴AD∥BC（② ）（填推理的依据）．
∴∠BCA＝∠DAC（③ ）（填推理的依据）．
∵AC 平分∠BAD，
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∴∠BAC＝∠DAC（④ ）（填推理的依据）．
∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）．
【变式1-3】（2025 秋•旺苍县期中）如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC 于点F，DE⊥BC 于E，
AB＝DC，BE＝CF，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知），
∴∠AFB＝∠DEC＝ （垂直的定义）．
在Rt△ 和Rt△ 中，
{_____ = _____
_____ = _____，
∴ ≌ （ ）．
∴ ＝ （ ）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
▌题型08 尺规作图
1. 作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）.
作法：
（１）分别以M、N 为圆心，大于
MN
2
1
的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
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2. 作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
MN
2
1
的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；
（3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C 在∠AOB 的平分线OM 上，点D 在边OB 上，且OD＝12，
△OCD 的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA 上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作
法）
O
Q
P
N
M
O
N
M
B
P
A
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【变式1-1】（2025 秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加
油站P，要求加油站P 的位置到三条公路的距离都相等．
（1）符合要求的位置有 个；
（2）请你找出所有加油站P 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
（3）你的作图依据是 ．
【变式1-2】（2025 春•渭滨区期末）两个城镇A、B 与两条公路ME，MF 位置如图所示，其中ME 是东西
方向公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到
两条公路ME，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点
C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【变式1-3】（2025 秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）尺规作图作射线BP，交AC 于点D，并使D 到BC，AB 的距离相等．
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD 的长．
