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上海七上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型
整式及其整式加减
题型一、多项式系数、指数中字母求值
【例1】若关于x 的多项式
3
4
b
a
x
x
x
ab
为二次三项式，则当
1
x 时，这个二次三项式的值是（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
【例2】已知
2
3
3
4
m
m
x
x
n
x
m
n
是关于x 的多项式，其中m 、n 为整数，且
2
m
．
(1)若该多项式是一个二次二项式，求m
n
的值；
(2)若该多项式是一个三次三项式，求m
n
的值；
(3)若该多项式是一个四次三项式，求mn 的值．
【变式1-1】多项式
2
2
2
1
k
x y
k
xy
是关于x，y 的四次二项式，则k 的值为_________．
【变式1-2】已知关于x ，y 的多项式
2
3
1
m
n
x y
m
x y
xy
（m ，n 为正整数且x 的指数不相同）是按x
的降幂排列的五次四项式，则
m
n
的值为_________．
【变式1-3】已知多项式
1
3
3
2
2
3
2
4
m
x y
xy
n
x y
是六次三项式，求代数式
2
1
3
n
m
的值．
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题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值
【例3】已知单项式
1
3
m
a
b
与
1
3
n
b
a
可以合并同类项，则m，n 分别为（
）
A．2，2
B．3，2
C．2，0
D．3，0
【例4】已知a ，b 为常数，且三个单项式
2
4
,
, 5
b
xy
axy
xy
相加得到的和仍然是单项式．那么a 和b 的
值可能是多少？说明你的理由．
【变式2-1】已知整式
1
3
nx
y
与
3
2
2
m
x y
的和是一个单项式，则m _____，n _________．
【变式2-2】若单项式
3
4
2
m
x
y
与
5
2
1
2
n
x y
的差仍是单项式，则
n
m ______．
【变式2-3】已知代数式
3
2
2
2
2
3
2
3
2
4
4
2
m
mn
m n
m n
m
n
．
(1)合并同类项，并按照字母m 的降幂排列；
(2)若
2
6
m
x
y 与
4
5
n
x y 是同类项，求代数式的值．
题型三、整式加减混合运算
【例5】一个多项式加上
2
2
2
3
2
1
x y
xy
x
的2 倍等于
2
2
4
5
3
2
5
x y
xy
x
y
，求这个多项式．
【例6】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程：
计算：
2
2
5
2
1
4 3
2
a
a
a
a
．
解：原式
2
2
5
2
1 12
8
a
a
a
a
……第一步
2
2
5
2
8
1 12
a
a
a
a
……第二步
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2
6
10
13
a
a
．……第三步
(1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程；
(2)当
1
a 时，求此代数式的值．
【变式3-1】化简：
(1)
3
3
3
6
4
2
2 3
y
x
xy
y
xy
；
(2)2
5
3
4
7
ax
by
ax
by
by
．
【变式3-2】化简：
(1)
2
2
7
2
3
x
x
x
x
．
(2)
3
2
3
3
1
1
1
1
(
)
2(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
．
(3)
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
3(
)
2(
)
2
3
6
2
3
4
x
y
y
x
．
【变式3-3】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：计算：
1
3
2
3
x
x
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解：原式
3
1 6
6
2
3
x
x
…………第一步
3
1
2 3
x
x
…………第二步
3
3
6
2
x
x
…………第三步
5
9
x
…………第四步
习题2：解方程：
1
3
1
2
3
x
x
解：原式＝
3
1 6
6
1
2
3
x
x
…………第一步
3
1
2 3
1
x
x
…………第二步
3
3
6
2
1
x
x
…………第三步
5x＝10…………第四步
2
x
…………第五步
(1)分别写出习题1，习题2 的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)写出习题2 正确的解答过程．
题型四、整式加减运算中先化简再求值
【例7】先化简，再求
2
2
2
2
5
6
3
2
ab
a b
ab
a b
的值，其中单项式
2
5
3x y 与
1
3
1
2
a
b
x
y
是同类项．
【例8】先化简，再求值：
2
2
2
2
2
1 2
3
3
3
a
a
ab
a
a
ab
，其中
1
2
a
，
1
b ．
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【变式4-1】若2
3
2025
x
y
=
，则代数式
2 3
2
9
x
y
x
y
x
y
___________．
【变式4-2】先化简，再求值：已知
2
2
2
2
2
4
2
5
0,
3
2
,
5
x
y
A
x
xy
y
B
x
xy
y
，求
3
A
B
的值．
【变式4-3】在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择a 的一个值．求
3
2
3
2
3
5
3
3
2
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
的值．
甲说：“当
0
a
时．原式
2026
．”
乙说：“当
1
a 时，原式
2026
．”
丙说：“当a 为任何一个有理数时，原式
2026
．”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由．
题型五、带有字母的绝对值化简问题
【例9】当
6
a 时，化简3
3
a
的结果为（
）
A．
6
a
B．6
a
C．a
D．a
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【例10】已知实数x ，y 满足
1
3
x
x
，
4
x
y
，则
xy 的值为__________．
【变式5-1】已知有理数a，b 同号，则a
ab
a
ab
的值为（
）
A．0
B．2
C．2
或2
D．0 或2
【变式5-2】有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简a
b
a
c
b
c
的结果是________________．
【变式5-3】若实数x ，y 同时满足
2
8
x
y
，
1
x
y
，则xy 的值为________．
题型六、整式的加减运算中错解复原问题
【例11】某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中
2
3
5
7
B
x y
xy
x
，试求A
B
．这位同学
把A
B
误看成了A
B
，结果求出的答案为
2
6
12
2
9
x y
xy
x
．
(1)请你替这位同学求出A
B
的正确答案；
(2)当x 取任意有理数时，
3
A
B
的值是一个定值，求y 的值．
【例12】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A ______
2
4
x
x
，
2
2
3
4
B
x
x
，试求
3
A
B
．”其中
多项式A 的二次项系数印刷不清楚
（1）小马虎看答案以后知道
2
3
5
12
A
B
x
x
，请你替小马虎求出系数“______”；
（2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A
C
的结果．小马虎在求解时，误把“ A
C
”看成“ A
C
”，结果求出的答案为
2
7
3
x
x
．请你替小马虎求出
“ A
C
”的正确答案．
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【变式6-1】有一道数学题“已知两个多项式A、B，且
3
5
3
9
B
x
x
，求A B
．”小华在做这道题时，误把
“ A
B
”看成了“ A
B
”，结果得到
3
4
3
x
x
，则A 的表达式为（
）
A．
3
4
3
12
x
x
B．
3
11
10
15
x
x
C．
3
6
7
6
x
x
D．
3
6
12
x
x
【变式6-2】小明做一道数学题，“求代数式
9
8
7
6
5
4
3
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，当
1
x 时
的值”？由于将式中某一项前的“＋”号看为“﹣”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符
号？
【变式6-3】某同学在计算一个多项式A 减去
2
2
1
a
a
时，因误看作加上
2
2
1
a
a
，得到的答案为
2
3
2
4
a
a
，求多项式A ．
题型七、整式加减与字母取值无关类题型
【例13】已知a ，b 满足
2
10
0
a
b
．
(1)a ________________（请用含b 的代数式表示a ）；
(2)若代数式
2
a
mb
的值与b 的取值无关，求m 的值．
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【例14】已知
2
2
3
2
2
A
a
ma
a
，
2
1
B
a
ma
，且A
B
的值不含a 的一次项，求m 的值．
【变式7-1】如果关于x 的多项式
3
2
2
2
3
9
3
9
x
k x
x
x
中不含
2x 项，则k 的值为（
）
A．0
B．3
C．3
D．3 或3
【变式7-2】已知关于x ，y 的方程组
3
2
3
2
8
7
x
y
a
x
y
a
．
(1)若x
y
，求a 的值；
(2)求k 为何值时，代数式3x
ky
的值与a 的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值．
【变式7-3】二阶行列式指由4 个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶
行列式的定义为
a
b
ad
bc
c
d
，如
1
2
1 4
3 2
2
3
4
．
(1)若
1
8
1
x
x
x
x
，求x 的值；
(2)若
1
1
x
m
x
nx
x
的值与x 无关，求
3
m
n
值．
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整式的乘除
【题型一】幂的乘法运算
【例1-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（
）
A．
2
3
4
7
a
a
a
B．
2
3
6
m
m
m
C．
2
3
6
3
6
x
x
D．
3
3
5
5
x
x
【例1-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）计算：
2
3
4
x
x
．
【例1-3】（24-25 七年级上·上海·期中）已知：5m
a
，5n
b
，则
2
3
5 m
n
【例1-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
3
4
(
)
(
)
x
y
y
x
．（结果用幂的形式表示）
【例1-5】（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）比较大小：
6
3
2
3
43
．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【例1-6】（24-25 七年级上·上海浦东新·期中）计算：
2
3
3
2
2
3
2
(
) (
)
a
a
a
a
a
【例1-7】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
675
2024
8
0.5
．
【变式1-1】（24-25 七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（
）
A．
30
2
B．
20
4
C．
10
9
D．
5
100
【变式1-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：
4 (
)
x
x
．
【变式1-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2025
2024
2025
2
1.5
( 1)
3
．
【变式1-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
3
2
3(
)
2(
)
x
y
x
y
（结果用幂的形式表示）．
【变式1-5】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
2
1
3
1
3
4
6
x
x
x
，求x 的值．
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【变式1-6】（22-23 七年级上·上海宝山·期中）计算
2
3
2
3
3
2
2a
a
a
a
a
-
- -
-
-
【题型二】单项式乘单项式
【例2-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
3
2
x
xy
【例2-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
2
3
2
4
2
1
2
3
6 x y
x y
xy
xy
【变式2-1】（23-24 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
3
2
4
a b
a b
．
【变式2-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
3
2
2
1
3
2
x y
y z
．
【变式2-3】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）计算：
2
3
3
3
2
2
2
1
9
3
x y
x y
x y
xy
【题型三】单项式乘整式
【例3-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
1
4
12
6
3
x
xy
xy
．
【例3-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
2
x x
y
y y
x
．
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【变式3-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
1
1
3
4
5
xy
x
y
．
【变式3-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
1
4
·
2
9
3
3
x
x
xy
y
xy
．
【变式3-3】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）计算：
2
2
2
2
1
3
1
2
2
2
4
x
xy
y
xy
．
【题型四】整式乘整式
【例4-1】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：(4
3)(
2)
x
x
．
【例4-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
b
a
．
【例4-3】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
(
2)(
4)
6 (
3)
5
x
x
x x
x ．
【变式4-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
5
2
x
x
．
【变式4-2】（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
__________．
【变式4-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
4
2
2 3
2
4
1
2 x
x
x
x
．
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【变式4-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
8
6
2
3
6
1
x
x x
y
x
x
y
【题型五】平方差与完全平方公式
【例5-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（
）
A．
2
2
a
b
a
b
B．
2
2
x
y
y
x
C．
2
2
a
b
b
a
D．
2
2
x
y
y
x
【例5-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
x
y
z
．
【例5-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
3
1
2
3
m
n
m
n
【变式5-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
3
100
99
4
4
．
【变式5-2】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
2
5
6
4
9
0
x
x
xy
y
，那么xy
．
【变式5-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：(3
2
)(3
2
)
x
y
z
x
y
z
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【题型六】同底数幂的除法
【例6-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列计算的结果正确的是（
）
A．
6
2
3
a
a
a
B．
0
( 1)
1
C．
0
0
2
3
D．
0
1
a
【例6-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
11
6
x
y
y
x
（用幂的形式表示结果）．
【例6-3】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）已知
2
x
a
，
6
y
a
，那么
2
3
y
x
a
的值为
．
【变式6-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
9
6
3
a
a
a
．
【变式6-2】（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）若3
6
x
a
，3
3
y
b
，则3x y
．
【变式6-3】（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）计算：
2
2
1
1
1
2
3
2
m
m
m
m
a
a
a
a
a
．
【题型七】单项式除以单项式
【例7-1】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）计算：
2
5
15
xy
xy
．
【例7-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
3
2
6
(
)
a b
a b
ab
a
a
a
．
【变式7-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
5
3
12
3
a b
ab
．
【变式7-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
3
1
3
3
x
x
．
【题型八】整式除以单项式
【例8-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
1
1
4
3
2
2
a b
a b
ab
ab
．
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【例8-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）计算：
3
3
2
4
2
2
12
8
4
2
3
x y
x y
x y
y
y
x
【变式8-1】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）计算：
2
4
3
3
2
2
2
8
4
x y
xy
x y
xy
．
【变式8-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
x y
x
xy
y
x y
【题型九】整式的混合运算
【例9-1】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）计算：
3
3
2
2
3
2
2
4
7
5
2
1
3
2
1
1
2
4
3
3
2
x y
x
y
x y
x y
x y
xy
【例9-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
2
3
9
6
3
3
x
x
x
x
x
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【变式9-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
4
3
3
4
4
x
y
x
x
y
y
【变式9-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
3
8
1
1
(3
)
3
2
2
xy
x
x y
xy
x y
【变式9-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
．
【题型十】不含某项求字母的值
【例10-1】（24-25 七年级上·上海·期中）已知代数式
2
(
)
3
2
x
m
x
x
的积中不含x 的一次项，则
m
．
【例10-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）如果关于x 的两个多项式
2
2
3
x
x
与ax
b
相乘展开后的结果
不含有一次项，且二次项系数是1，求a 和b 的值．
【变式10-1】（24-25 七年级上·上海·期中）已知整式
3
x
x
a
中无x 的一次项，求a
．
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【变式10-2】（24-25 七年级上·上海·期中）将关于x 的两个整式
1
ax 与2
3
x 相乘，积中不出现一次项，
a
．
【变式10-3】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）一个关于x 的二次三项式
2
2
4
x
x
，将它与一个关于x 的
二项式ax
b
相乘，得到一个关于x 的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求a 、b 的值．
【题型十一】求完全平方式中的字母系数
【例11-1】（24-25 七年级上·上海·期中）若关于x 的整式
2
4
25
x
mx
是某个整式的平方，则m 的值
是
．
【例11-2】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
4
2(
1)
1
x
k
x
是完全平方式，那么k 的值为
．
【例11-3】
（24-25 七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A 和单项式B 满足
2
2
1
A
x
B
，那么B
．
【变式11-1】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）如果关于x 的整式
2
1
9
2
1
4
x
m
x
是某个整式的平方，那
么m 的值是
．
【变式11-2】
（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）若关于x 的整式
2
2
64
x
m x
是某个关于x 的整式的平方，
则m
．
【变式11-3】（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）已知
2
9
2
1
16
x
k
x
是一个完全平方式，则k 的值
为
．
【题型十二】对完全平方公式变形求值
【例12】
（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2024
2022
2023
a
a
，则
2
2
2024
2022
a
a
．
【变式12-1】
（24-25 七年级上·上海·期中）若a，b 为有理数且满足
5
0
ab
a
b
，
2
2
2
3
5
S
a
ab
b
a
b
，
则S 的最小值为
．
【变式12-2】（24-25 七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知
3
x
y
，
1
xy ，求
2
2
x
y
和
2
x
y
的值；
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(2)已知
2
2
5
2
0
x
x
，求
2
2
1
x
x
和
2
1
x
x
的值．
【题型十三】规律探究
【例13-1】
（24-25 七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第n 个图形共有圆点
个．
【例13-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了(
)
(
1,2,3,
)
n
a
b
n
展开式系数
的规律：
1
(
)
a
b
a
b
展开式系数和为1 1
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
展开式系数和为
1
2
1
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
展开式系数和为
1 3
3 1
4
3
2
2
3
4
4
(
)
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
展开式系数和为
1 4
6
4 1
根据上述规律，
7
(
)
a
b
展开式的系数和是
．
【变式13-1】（24-25 七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形
的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(
)n
a
b
（n 为正整数）的
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展开式（按a 的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对
应
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
展开式中的系数：第四行的四个数1,3,3,1恰好对应
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
展
开式中的系数等等，利用上述的规律计算：
5
4
3
2
10
5 10
10 10
10 10
5 10 1
．（结果用幂的形式表示）
【变式13-2】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下
表，此表揭示了
n
a
b
（n 为非负数）展开式的各项系数的规律，如：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，它的系数分
别为1，2，1．若
4
1
y
x
展开得
4
3
2
4
3
2
1
0
y
a x
a x
a x
a x
a
，那么
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
的值为
．
【变式13-3】（24-25 七年级上·上海·期中）阅读材料：
定义：如果一个数i 的平方等于1
，记为
2
1
i ，这个数i 叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的
加、减、乘法运算类似．
例如计算：
2
3
4
5
3
i
i
i
；
2
3
4
1 5
i
i
i
；
2
2
3
4
6
8
3
4
10
5
i
i
i
i
i
i
．
(1)填空：3i = _____；
4i _____．
(2)计算（需写出计算过程）：
①
2
2
i
i
；
②
2
2
i
．
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【题型十四】整式乘法与图形面积
【例14-1】（24-25 七年级上·上海·期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为a，长方形CEFG 的边CE 长
为2a ，边CG 长为b．则以D 为圆心，AD 为半径的弧与GA
GE
、
所围成的阴影部分的面积是
．（用
含有a、b 和的代数式表示）
【例14-2】（24-25 七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅AEFD 和房间EBHG 分别是边长为a 米和b
米(2
)
b
a
b
的正方形，厨房FGNM 和卫生间MNHC 分别是正方形和长方形．
(1)求厨房FGNM 和卫生间MNHC 的面积（用含a
b
、的代数式表示）；
(2)当
1
8,
5 2
a
b
时，求卫生间MNHC 的面积．
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【变式14-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形ABCD 中，放入6 个形状和大小都相同的小
长方形，已知小长方形的长为a ，宽为b ，且
2
a
b
．用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积
为
．
【变式14-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面
积，可以得到一个数学等式．例如由图1 可以得到
2
2
2
3
2
a
b
a
b
a
ab
b
．请解答下列问题：
(1)写出图2 中所表示的数学等式；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知
10
a
b
c
，
30
ab
bc
ac
，求
2
2
2
a
b
c
的值．
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【变式14-3】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）已知正方形ABCD 与正方形EFGH ，AB
a
=
，EF
b
（b
a
）．根据下列条件平移正方形EFGH ，解决下列问题．
(1)如图1，若点C 和点H 重合，点E 在线段CB 上，点G 在线段DC 的延长线上，连接BD
BG
、
，将三角形BDG
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的面积记作S ，则S （用含有a
b
、的代数式表示）．
(2)若点B 与点E 重合，点H 在线段BC 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接BD
BG
DG
、
、
，将三角形BDG
的面积记作S ，则S （用含有a
b
、的代数式表示）．
(3)如图2，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点E
H
、
在线段BC 上（点H 不
与点C 重合、点E 不与点B 重合），连接BD
BG
DG
、
、
，设BE
x
，将三角形BDG 的面积记作S ，则S （用
含有a
b
x
、、的代数式表示）．
(4)若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点H
E
、
在BC 的延长线上，连接
BD
BG
DG
、
、
，设BE
x
，将三角形BDG 的面积记作S ，则S （用含有a
b
x
、、的代数式表示）．
【题型十五】乘法公式在几何图形中的应用
【例15-1】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过
逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为a 的正方形剪去一个边长为b 的正方形，再将剩余
图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（
）
A．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
B．
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
C．
2
2
a
b
a
b
a
b
D．
2
2
a
b
a
b
a
b
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【例15-2】（24-25 七年级上·上海·期中）有两个正方形A 、B ，将B 放在A 的内部得图1，将A 、B 并列放
置后得图2 ，如果图1和图2 中阴影部分的面积分别为21和6 ，则正方形A 、B 的面积之和是
．
【例15-3】（24-25 七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数
时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发
挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
(1)情境一：如下图，甲同学将4 块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b 的式子分别
表示图1 和图2 中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式；
(2)情境二：如图3，乙同学用4 块A 木片、1 块B 木片和若干块C 木片拼成了一个正方形，
①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b 的式子表示）：_________．
②直接写出所用C 木片的数量：_________块．
(3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2 块A，4 块B，7 块C 拼出了一个面积为
2
2
2
7
4
a
ab
b
的
长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的
说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并
标注每一小块的长与宽）．
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【变式15-1】（24-25 七年级上·上海·期中）（1）如图1 是一个长为4a、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪
刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出
2
2
(
) ,(
) ,
a
b
a
b
ab
之间的等量关系：_______
（2）若
6,
5
m
n
mn
，则m
n
_______．
（3）如图3，正方形ABCD 的边长为,
4,
14
x AE
CG
，长方形EFGD 的面积是200，四边形NGDH 和四
边形MEDQ 都是正方形，四边形PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积．
【变式15-2】（24-25 七年级上·上海·期中）阅读理解：
若x 满足
80
60
30
x
x
，求
2
2
80
60
x
x
的值．
解：设
80
,
60
x
a x
b
，则
80
60
30
x
x
ab
，
80
60
20
a
b
x
x
，
所以
2
2
2
2
2
2
80
60
2
20
2 30
340
x
x
a
b
a
b
ab
解决问题
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(1)若x 满足
30
20
10
x
x
，求
2
2
30
20
x
x
的值；
(2)若x 满足
2
2
2025
2023
4052
x
x
，求
2025
2023
x
x
的值；
(3)如图，正方形ABCD 的边长为,
1,
2
x AE
CG
，长方形EFGD 的面积是5，四边形NGDH 和MEDQ 都是
正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【变式15-3】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如
下图摆放，A、D、E 三点在一条直线上，
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(1)如图①，AE
m
，CG
n
，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n 的代数式表示）
(2)如图②，如果大正方形ABCD 和小正方形DEFG 的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求
2
mn
是
多少？
(3)如图③，大正方形ABCD 和小正方形DEFG 的面积之和是25，AE 的长度等于7，图中阴影部分的面积
是_________．
(4)如图④，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为
a
b a
b
、
，如果
8
a
b
，
6
ab
，求图中阴影部
分面积之和是多少？
【变式15-4】（24-25 七年级上·上海松江·期中）现有A 、B 、C 三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），
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其中A 型卡片是边长为a 的正方形．B 型卡片是长为a 、宽为b 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形，
且a
b
．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形
(1)用A 型卡片1 张，B 型卡片2 张，C 型卡片1 张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，
试根据该图形写出一个表示a 、b 数量关系的等式：______．
(2)现有A 型卡片2 张，B 型卡片2 张，C 型卡片2 张，从这6 张卡片中去掉2 张．用余下的4 张卡片，拼
出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）．
(3)如果要拼一个长为2a
b
、宽为
2
a
b 的长方形，设需要A 型卡片x 张，B 型卡片y 张，C 型卡片z 张，
那么x
y
z
______．
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【变式15-5】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片：
1 号卡片：边长为a 的正方形卡片；
2 号卡片：边长为b 的正方形卡片；
3 号卡片：相邻两边分别为a 、b 的长方形卡片，其中a
b
．
(1)填空：如图4，选取1 号卡片1 张、2 号卡片2 张、3 号卡片3 张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运
用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____．
(2)填空：小明同学想用x 张1 号卡片，y 张2 号卡片，z 张3 号卡片拼出一个面积为
5
7
4
3
a
b
a
b
的长
方形，那么x
y
z
的值为_____．
(3)现有1 号、2 号、3 号卡片各5 张，请你设计：从这15 张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按
原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长．
(4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5．
情形一：将1 张1 号卡片和1 张3 号卡片如图5 放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴
合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为
1S ；
情形二：将1 张1 号卡片和1 张2 号卡片如图6 放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸
片间有重叠，记图中阴影部分面积为
2S ．
如果
2
1
24
S
S
，求2 号卡片的边长．
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【题型一】整式乘法漏乘致错
1．（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
__________．
2．（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）计算：
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
．
【题型二】乘法公式运用错误
3．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
3
100
99
4
4
．
4．（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）计算：
2
2025
2024
2026
5．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
4(2
1)(2
1)
.
4
a
a
a
6．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
3
1
2
3
m
n
m
n
7．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：(
3
2)(
3
2)
x
y
x
y
．
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8．（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
（结果保留幂的形式）
因式分解
题型1
判断是否是因式分解
例1（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（
）
A．
3
1
1
x
x
x x
x
B．
2
3
2
1
a
a
a
a
C．
2
2
1
2
1
a
a
a a
D．
2
3
3
9
a
a
a
【变式1-1】（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（
）
A．24
2
2
2
3
=
创
B．
3
2
1
4
3
1
4
3
x
x
x
x
x
C．
2
2
1
1
a
b
a
b
a
b
D．
2
1
1
1
a
a
a
【变式1-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（
）
①
3
2
12
2
6
xy
xy
y
；
②
2
2
2
6
5
(
6 )
5
x
xy
y
x x
y
y
；
③
2
2
( 2
3 )(2
3 )
4
9
x
y
x
y
x
y
；
④3
6
3(
2 )
x
y
x
y
；
⑤
2
3
(3
1)
x y
xy
xy
x
；
⑥
2
2
1
1
1
(1
)
4
2
x
x
x
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-3】
（24-25 七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（
）
A．
4
2
1
1 (
1)(
1)
m
m
m
m
B．
2
2
2
(2
)
4
4
a
b
a
ab
b
C．12
4
1
4(3
)
ab
a
ab
a
D．
2
2
1
(
)(
) 1
a
b
a
b a
b
题型2
已知因式分解的结果求参数
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例2（22-23 七年级上·上海青浦·期中）若整式
2x
x
m
含有一个因式(
3)
x
，则m 的值是
．
【变式2-1】（22-23 七年级上·上海松江·期中）已知多项式
2
ax
bx
c
分解因式得
3
2
x
x
，则a ，b ，
c 的值分别为（
）
A．1，1
，6
B．1，1，6
C．1，1
，6
D．1，1，6
【变式2-2】（24-25 七年级上·上海·期中）若
2
15
(
)(
)
x
kx
x
a x
b
，且a､b 为整数，则a
b
的值不可能
是（
）
A．14
B．2
C．16
D．14
【变式2-3】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：因式分解：
3
2
5
4
x
x
解答；对于任意一元整式
f x ，其奇次项系数之和为m ，偶次项系数之和为n ，若m
n
，则
1
0
f
，
若m
n
，则
1
0
f
，在
3
2
5
4
x
x
中，因为
1
m ，
5
4
1
n
，所以把
1
x 代入整式
3
2
5
4
x
x
，
得其值为0，由此确定整式
3
2
5
4
x
x
中有因式
1
x
．于是可设
3
2
2
5
4
1
x
x
x
x
px
q
，分别求
出p ，q 值，再代入
3
2
2
5
4
1
x
x
x
x
px
q
，就可以把整式
3
2
5
4
x
x
因式分解，这种因式分解的
方法叫做“试根法”．
(1)上述式子中p ，q ；
(2)对于一元整式
3
2
6
11
6
x
x
x
，必定有f （）
0
；
(3)请你用“试根法”分解因式：
3
2
6
11
6
x
x
x
．
题型3
提公因式法分解因式
例3（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：
5
2
=
a m
n
b m
n
．
【变式3-1】（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）分解因式：
3
2
2
2
2
3
a b
a b
．
【变式3-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）因式分解：
2
6
9
xy
xy
．
【变式3-3】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）因式分解：
2
4(
)(2
3 )
(3
2 )
a
b
a
b
b
a b
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【变式3-4】（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：
2
2
5
10
2
2
1
x
x
x
x
x
，其中
2
3
x
．
【变式3-5】（24-25 七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：
2
2
2
6
2
6
x y
xy
x
x
．
【变式3-6】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）因式分解：
2
2
2
2
ab
a b
．
题型4
平方差公式分解因式
例4（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：
(1)
4
2
4
4
a
a
a
；
(2)
2
6
2
1
3
9
x
x
x
x
x
．
【变式4-1】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
2
x
x
y
y
y
x
【变式4-2】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
4
1 16a
【变式4-3】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：
2
2
2005
2003
=
．
题型5
完全平方公式分解因式
例5（24-25 七年级上·上海松江·期中）因式分解：
2
2
3
2
2
3
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；
【变式5-1】（24-25 七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：
2
2
2
5
12
5
36
x
x
x
x
．
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【变式5-2】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
4
1
x
x
．
【变式5-3】（24-25 七年级上·上海·期中）若|
4|
a
与
2
4
4
b
b
互为相反数，把多项式(
)(
)
1
x
a x
b
因式
分解．
【变式5-4】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）因式分解：
2
2
4 2
4
x
y
x
y
．
题型6
综合运用公式法分解因式
例6（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式
2
2
x
y
x
能因式
分解，共有
种填法．
【变式6-1】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）因式分解
(1)
2
9
3
m
n
m
n
m
n
．
(2)
3
2
4
16
16
x
x
x
．
(3)
2
2
9
9
6
x
y
x
．
(4)
2
2
2
4
8
4
48
x
x
x
x
．
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【变式6-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）因式分解：
2
2
4
2
1
x
y
x
．
【变式6-3】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解：
2
2
2
1
m
mn
n
．
题型7
综合提公因式和公式法分解因式
例7（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
2
4
2
25
x
y
x
y
．
【变式7-1】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
3
2
2
2
12
18
x
x y
xy
【变式7-2】（24-25 七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：
2
2
(4
)
4(
)
x
y
x
y
【变式7-3】（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：
2
2
2
2
2
4
16
x
y
x y
．
【变式7-4】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：
4
16
3
3
a
x
y
y
x
．
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【变式7-5】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）因式分解：
3
2
2
3
3
6
3
a b
a b
ab
．
【变式7-6】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）已知
2
6
x
y
，
4
xy
，求
2
2
2
2
2
4
4
x y
xy
x
y
的值．
题型8
因式分解在有理数简算中的应用
例8（23-24 七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：
2
2
2020
2026
2020
4037
2021
2017 2019 2022 2023
．
【变式8-1】（23-24 七年级上·上海闵行·期中）简便计算：
2
2011
2007
2015
【变式8-2】利用因式分解计算：
(1)
2
2
101
49
101 98
；
(2)
2
2
800
1600 798 798
．
(3)
2
2025
2025
2025
2026
；
(4)56.2 2026
462 202.6
．
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题型9
十字相乘法
例9（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
17
52
x
x
．
【变式9-1】（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：
2
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
．
【变式9-2】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
2
8
16
3
12
10
x
xy
y
x
y
【变式9-3】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
3
2
2
5
24
x
x y
xy
【变式9-4】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
4
2
2
4
5
6
x
x y
y
．
【变式9-5】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
1
1
3
10
n
n
n
x
x
x
【变式9-6】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
2
2
2
2
2
2
12
x
a
b
xy a
b
y
a
b
【变式9-7】（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：
2
2
(
5
2)(
5
4) 16
m
m
m
m -
-
+
-
-
．
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【变式9-8】（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：
2
4
3
z
x
y
y
x
z x
y
．
【变式9-9】（24-25 七年级上·上海奉贤·期中）若
2
16
x
kx
能分解成两个一次因式的积，且k 为整数，那
么k 不可能是（
）
A．10
B．17
C．15
D．8
题型10
分组分解法
例10（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：
2
2
4
4
25
1
4
y
x
y
．
【变式10-1】（24-25 七年级上·上海·期中）因式分解：
2
4
25
36
60
a
a
a
．
【变式10-2】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
2
2
16
8
a
b
b ．
【变式10-3】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
3
2
2
4
2
9
3
x
x
xy
xy
【变式10-4】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）分解因式：
3
2
4
4
x
x
x
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将军饮马之线段和最小值
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列
非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后
返回军营B 处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P 使
得PA
PB
最小．
解决方法是：作点A 关于直线的对称点A，连接PA，则PA
PA
，所以PA
PB
PA
PB
，连接A B
，
则线段A B
的长度即为PA
PB
的最小值，这样做依据的基本事实是
．
例2 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1 个单位，△ABC
的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在网格中画出△ABC 向下平移3 个单位得到的
1
1
1
A B C
．
(2)在网格中画出△ABC 关于直线m 成轴对称的
2
2
2
A B C
．
(3)在直线m 上画一点P，使得
1
2
C P
C P
的值最小．
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例3 如图，在正方形网格中，
ABC
的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出
ABC
关于直线l 对称的
1
1
1
A B C
△
（点A 与点
1A ，点B 与点
1B 对应）；
(2)在直线l 上找一点P ，使得PAC
的周长最小；(3)直接写出
ABC
的面积（不写过程）．
例4 如图，在ABC
中，AB
AC
，
3
AB ，
5
BC
，
4
AC
，B、C 关于直线EF 对称，点P 为直线EF
上的任意一点，则
ABP
△
周长的最小值是（
）
A．7
B．6
C．12
D．8
例5【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着
一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A 出发，到达河岸点C 饮马后再回到点B 宿
营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【解决问题】（1）标出【提出问题】中C 点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，为了说明点C 的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点C，连接
,
,
AC BC B C
，说明AC
BC
AC
BC
即可；
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【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营P 处出发，到河流OA饮马，再到草地OB 吃草，最后回到P 处，
试分别在边OA和OB 上各找一点E 、F ，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径
用实线）
例6（24-25 广东八年级期中）如图，在锐角△ABC 中，∠ACB＝50°；边AB 上有一定点P，M、N 分别是
AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
1．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列
非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B
处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l 上选取一点P，使得PA
PB
最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（
）
A．
B．
C．
D．
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2．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
，点M 是BC 上一点，
3
AC
，
4
AB
，
5
BC
，若点
1
M 和点M 关
于AB 对称，点
2
M 和点M 关于AC 对称．则点
1
M ，
2
M 之间的距离最小值是（
）
A．6
B．2.4
C．4.8
D．4
3．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C 在直线MN 上，∠BCN＝30°，点P 为MN 上一动
点，连结AP，BP．当AP+BP 的值最小时，∠CBP 的度数为_____．
4．如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边中点．若
2
AE
，当EF
CF
取得最小值时，则
CEF
的度数为
．
5.如图，等边ABC
中，AH
BC
于点H，点D 为AB 的中点，
12,
6
ABC
S
AB
△
，点E 为AH 上一点，连
接
,
BE DE ，如果m
BE
DE
，那么m 的最小值为
．
6.如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将下述两种情况下的自来水厂
厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
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7．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 的三个顶点A、B、C 都在格点
上．（1）在图中画出与△ABC 关于直线L 成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC 的面积．（3）在直线L 上找出
一点P，使得PA+PC 的值最小．（在图上直接标记出点P 的位置）
8．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
．(2)求出A B C
的面积．
(3)在直线l 上找一点P，使PA
PC
的值最小（保留作图痕迹）．
9．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，ABC
的三个顶点、、
A
B
C 都在格点上．
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(1)在图1 中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线l 上找一点P ，使得PAB
的周长最小．（不需要计算，在图2 上直接标记出点P 的位置即可）
10．（1）如图1，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C 在小正方形的顶点
上．①在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
；
②在图中直线l 上找一点P，使PA
PB
的长最短．（2）在图2 的
ABC
中，试求作一点P，使得点P 到B、
C 两点的距离相等，并且到
,
AB BC 两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
11．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
ABC
的三个顶点都在格点上（每个
小正方形的顶点叫格点）．(1)在图中画出
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)求
ABC
的面积；(3)在直线l 上找一点P ，使PB
PC
的长最短，请在图中标出点P 的位置．
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12．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
的顶点、、
A
B
C 都在小正方形的顶点
上．
(1)画
1
1
1
A B C
△
，使它与
ABC
关于直线l 成轴对称；(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A、B 的距离之和最短，标出点P （保留作图痕迹）．
13．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系
列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图．直线a 是一条输气管道，M ，N 是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a 上修建一个供生站O，
向M
N
，
两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（
）
A.
B.
C.
D.
(2)如图，草地边缘OM 与小河河岸ON 在点O处形成夹角，牧马人从A 地出发，先让马到草地吃草，然后再
去河边饮水，最后回到A 地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
14．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系
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列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A 和点B 分别在直线l 的两侧，请作出示意图，在直线l 上找到点C，使得CA
CB
有最小
值，并说明作图依据：______；
(2)如图2，若点A 和点B 在直线l 的同侧，请在直线l 上作出点P，使得PA
PB
有最小值；
(3)如图3，已知
30
AOB
，点Q 在
AOB
内部，点M，N 分别在射线OA，OB 上，若
6
OQ
，请求出QMN
周长的最小值．
将军饮马之双线段差最大值
模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1 如图，在10 8
网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C 都在格点上．(1)画出ABC
关于直线l 对
称的图形
A B C
；(2)点P 在直线l 上，直接写出PB
PC
的最大值．
例2 如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正方形的顶点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线成轴对称的A B C
．(2)
ABC
的面积为
．
(3)在直线上找一点，使PB
PC
的值最小．(4)在上找一点M ，使MC
MB
值最大．（在图形中标出点P、
M，保留作图痕迹）
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例3 如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正方形的顶点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线MN 成轴对称的A B C
；(2)在直线MN 上找一点P，使MPC
NPB
Ð
= Ð
，说明主要依据；(3)
在MN 上找一点Q，使QC
QB
值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．）
例4 如图，
,
A B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址N 应选在哪个位置？
（2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流CD 上找出一点P ，使
PA
PB
的值最大．”
你能找到P 点吗？请将上述M
N
P
、、三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．
例5 如图，在
ABC
中，AB
AC
，A、C 两点关于直线MN 对称，
10
AB
，
BMC
△
的周长是16，若点P
在直线MN 上，则PA
PB
的最大值为
．
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1．如图，在
ABC
中，A B
A C
，A、C 两点关于直线MN 对称，交AB 于点M，
12cm
AB
，
BMC
△
的
周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA
PB
的最大值为
.
2．如图，在
ABC
中，AB
AC
，A、C 两点关于直线EF 对称，连接EC ，
10
AB
，BEC
的周长为18．若
点P 在直线EF 上，连接PA 、PB ，则BC
，PA
PB
的最大值为
．
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3．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，B、C 两点关于直线EF 对称，点P 是EF 上的动点，则|PA-PB|
的最大值为_______________
4．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA－PB|
的最大值为____．
5．如图，方格图中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A ，B ，C ，M ，N 都在格
点上．
1 画出ABC
关于直线MN对称的
1
1
1
A B C
；
2 在直线MN上找一点P ，使PB
PA
的值最大，在
图形上画出点P 的位置，并直接写出PB
PA
的最大值．
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6．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 的三个顶点A、B、C 都在格点
上.（1）在图1 中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1 中直线l 上找出一点Q,使得QA+QC1 的值最小；
（3）在图1 中直线l 上找出一点P,使得|PA−PC1|
的值最大；
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，
ABC
的三个顶点A，B，C 都在格点上．(1)在
图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)在直线l 上找出一点Q，使得QA
QC
的值最小；（描出该点并标注字母Q）
(3)在直线l 上找出一点P，使得PA
PC
的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
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8．画图题：如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
的三个顶点A，B，C 都在格点
上，分别按下列要求在网格中作图：
(1)画出
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
，并求
ABC
的面积______．
(2)在直线l 上画出点P，使得PA
PB
最小．(3)在直线l 上画出点Q，使得QA
QC
最小．
9．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上．(1)
在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；(2)
1
AB C
△
的面积为
；(3)在直线l 上找点P 使得
PB
PC
最小；(4)直线l 上找一点Q 使得QB
QC
最大．
10．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位，
ABC
的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出
ABC
向下平移3 个单位得到的
1
1
1
A B C
△
；(2)在网格中画出
ABC
关于直线m 对称的
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2
2
2
A B C
△
；(3)在直线m 上画一点P，使得
2
2
PA
PC
的值最大（保留作图痕迹）．
图形翻折模型
模型1.图形中的翻折模型（角度问题）
例1 如图，将长方形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的点F 处，若
50
BAF
，则
AEF
．
例2 如图，在正方形纸片ABCD 中，连接BD ，将
ABD
和
CBD
分别对折，点A 和C 均落在线段BD 上的
点P 处，得折痕BE ，BF ，则
EBF
的度数是
．
例3（24-25 七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知长方形纸条ABCD ，点E ，G 在AD 边上，点F ，H 在BC
边上．将纸条分别沿着EF ，GH 折叠，如图，点A、B 分别折叠至点A、B，点C 、D 分别折叠至点C、
D¢，当DC 恰好落在EA上时，
1
与
2
的数量关系是
．
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例4 如图1，点E
F
，
分别在长方形纸片ABCD 的边AB
CD
，
上，连接EF ．将
BEF
对折，点B 落在直线EF
上的点B处，折痕为EM ．
(1)若
60
BEM
，求
FEM
的大小；(2)若
70
AEF
，求
FEM
的大小；
(3)如图2 ，将
AEF
对折，点A 落在直线EF 上的点A处，得到折痕EN ，求
NEM
的度数．
例5 长方形纸片ABCD的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B的位置，折痕为EF ，G 为边CD上一点，
再把CEG
折叠，使点C 落在点C的位置，折痕为GE ．
(1)如图1，当折叠得到的B EF
与C EG
没有重叠部分时．
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①若
35 ,
20
BEF
CEG
，则
B EC
_______；②若
64
B EC
，求
FEG
的度数．
(2)如图2，当折叠得到的B EF
与C EG
有重叠部分时，试猜想
B EC
与
FEG
的数量关系，并说明理由．
模型2.图形中的翻折模型（长度问题）
例1 如图，已知
ABC
的两条边
4
AC
，
3
BC ，现将
ABC
沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，则BCE
的
周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
例2（24-25 八年级上·山东威海·期末）如图，D，E 分别是
ABC
边AB ，AC 上的点，将
ABC
沿直线DE
折叠，点A 落在点A处．若
ABC
的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
例3 如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的点F 处．若
AFD
△
的周长为24cm ，
ECF
△
的周长为8cm ，则长方形纸片ABCD 的周长是
cm．
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例4 如图，在长方形ABCD 中，
4,
11
AB
BC
，点E、F 分别在BC
AD
、
上，将长方形ABCD 沿EF 折叠，
使点C、D 分别落在长方形ABCD 外部的点
1
1
C
D
、
处，则整个阴影部分图形的周长为
．
1．将一长方形纸片按图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则
CBD
的度数为（
）
A．60
B．90
C．95
D．100
2．若
和均为大于0小于180的角，且
60
，则称
和互为“伙伴角”．根据这个约
定，如图，将一长方形纸片沿着EP 对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段AB 上）使点B 落在点B，若
1
与
2
互为“伙伴角”，
3
的度数（
）
A．40
B．80或40
C．80或60
D．40或60
3．如图，将一张长方形纸片ADFE 沿BC 折叠，点D 恰好落在AE 边上的点D¢处，点A 落在点A处．若
1
40
，则
D BC
的度数为（
）
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A．140
B．70
C．68
D．50
4．如图，
ABC
的周长为30cm ，把
ABC
的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 于D，交AC
于E，连接AD ，若
4cm
AE
，则
ABD
△
的周长是（
）
A．26cm
B．16cm
C．18cm
D．22cm
5．如图，将一张长方形纸片，分别沿着EP ，FP 对折，使点B 落在点B，点C 落在点C，点P、B、C
不在同一直线上，若
111
EPF
B PC
，则
PC
B
的度数为（
）
A．10
B．8
C．12
D．14
6．如图，点
, ,
H E F 分别在长方形纸片ABCD 的边
,
,
AB AD BC 上，连接
,
HE HF ，将纸片沿
,
HE HF 折叠，
使得点A 落在点M 处，使得点B 落在点N 处，若
MHN
，则
EHF
的度数是（
）．（用含的式子表
示）
A．90
B．
1
90
2
C．180
D．
1
180
2
7．如图，在
ABC
中，
2cm
AB
BC
AC
，点M
N
、
分别在边
,
AB BC 上，将
ABC
沿MN 折叠，使点
B 落在B处，则CN
NB
的值为
cm．
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8．若
和均为大于0小于180的角，且
60
，则称
和互为“伙伴角”．根据这个约
定，如图，将一长方形纸片沿着EP 对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段AB 上）使点B 落在点B，若
1
与
2
互为“伙伴角”，则
3
的度数为
．
9．如图，ABC
中，
14
AB
，
10
AC
，沿直线BD 折叠这个三角形，使点A 落在BC 边上的点E 处，CDE
的周长为12，则BC 长为
．
10．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ），点A 、B 分别落在A、
B处，延长EA交线段DC 于点G ，将长方形纸片沿EG 折叠，点D 落在D¢处．若
33
FED
，则
EGC
．
11．如图，ABC
中，
6
7
9
AB
AC
BC
、
、
，若沿过点B 的直线BD 折叠此三角形，使点A 落在边BC 上
的点E 处，折痕为BD ．则CDE
的周长是
．
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12．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点G 处，折痕为EF ，若
24
ABE
，
那么
DEF
的度数为
°．
13．如图所示，把
ABC
沿直线DE 翻折后得到A DE
，如果
60
A EC
，那么
AED
∠
度．
14．（24-25 八年级上·北京顺义·期中）将图1 中的
ABC
折叠，使点A 与点C 重合，折痕为ED ，点E ，点
D 分别在
,
AB AC 上，得图形2，若
2
6
,
BC
AB
，则EBC
的周长是
．
15．如图，已知三角形纸片ABC 中，AH
BC
于H，将纸片沿AH 折叠，点B 落到BC 上的点D 处，再沿
过点D 的直线DE 折叠，如果点C 恰好落在点A 处．那么以下结论中：①AB
CD
；②AB
BH
CH
；
③
ADH
ADE
；④若
ABD
△
的周长是28，
ABC
的周长是44，则
16
AC
，正确的有
（填序号）．
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16．将长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使得
1
1
50
B MC
，其中
,
ME MF 为折痕，则
1
BME
C MF
的
度数为
．
17．在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若
ABF
比
EBF
大12，则
EBF
的
度数为：
；
DEF
与
EBF
的关系为：
．
18．将一张矩形纸片沿AB 折叠成如右图所示的形状，则
ABC
°．
19．如图，在长方形纸片ABCD 中，M 为边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在点
1A 处，
点D 落在点
1
D 处．若
1
30
，求
BMC
的度数
20．利用折纸可以作出角平分线，如图1 折叠，则OC 为
AOB
的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，
OC ，OD 均是折痕，折叠后，点A 落在点A，点B 落在点B，连接OA．(1)如图2，若点B恰好落在OA
上，且
32
AOC
，则
BOD
；
(2)如图3，当点B在
COA
的内部时，连接OB，若
44
AOC
，
61
BOD
，求
A OB
的度数．
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21．已知长方形纸片ABCD ，E 为线段AB 上一点，射线EP 交线段AD 于点F，将三角形AEF 沿EF 翻折，
点A 落在点M 处；射线EQ 交BC 边于点G，将三角形EBG 沿EG 翻折，点B 落在N 处．
(1)点E，M，N 共线时，如图1，求
GEF
的度数；(2)点E，M，N 不共线时，如图2，若设
GEF
，MEN
，
请写出图2 中，满足的数量关系式．并说明理由；(3)如图3，设运动时间为t 秒，若射线EP 从EA绕点
E 以每秒3顺时针旋转，当
16
t
时，点F 与D 重合，射线EP 停止旋转，若射线EQ 从EB 绕点E 以每秒5
逆时针旋转，当
12
t
时，点G 与C 重合，射线EQ 停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t 为多少时，
20
MEN
？
