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专题31 一元一次不等式组实际应用
（题型突破·举一反三）
题型01 盈不足问题
题型02 行程问题
题型03 工程问题
题型04 方案设计问题
题型05 最值问题
题型06 阶梯收费问题
题型07 销售问题
▌题型01 盈不足问题
1. 题型特征
经典分配题型：把物品分给若干人，出现分多了剩余（盈）、分少了不够分（不足），给出两组分配
方案，利用物品总数不变，列不等式组求解人数、物品数量。
关键词：剩余、多出、不够、还差、不足、最少、最多。
2. 设人数为x，物品总数固定
（1）按第一种分配：总数量=每人分得数量× 𝑥+盈余数量
（2）按第二种分配：总数量=每人分得数量× 𝑥−不足数量
结合实际：第二种分配时，每人分这么多，总数不够分，即物品数＜单人数量×人数；同时第一种分
配分完还有剩，物品数＞单人数量×人数，列出不等式组。
3. 解题步骤
（1） 设未知数：优先设分配的人数/组数为𝑥（整数）
（2）用含𝑥代数式表示出物品总数量
（3）根据“有余、不足”列出不等式组：
①多分则不够：总数<分配量× 𝑥
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②少分则有剩：总数>分配量× 𝑥
（4）解不等式组，算出取值范围
（5）人数、物件必须是正整数，取整数解，回代算出物品数量。
【典例1】文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给
他们．如果每人送4 本，则还余9 本；如果每人送5 本，则最后一人能得到课外读物但不足2 本．设初
二年级有x 名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）
A．{4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＜2
B．{4𝑥−9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥−9 −5(𝑥−1)＜2
C．{4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥+ 9 −5(𝑥−1) ≤2
D．{4𝑥−9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥−9 −5(𝑥−1) ≤2
【变式1-1】（2026 春•滨城区期末）若干个苹果分给x 个小孩，如果每人分3 个，那么余7 个；如果每人
分5 个，那么最后一人分到的苹果不足5 个，则x 满足的不等式组为（ ）
A．0≤（3x+7）﹣5x＜5
B．0＜（3x+7）﹣5x＜5
C．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5
D．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5
【变式1-2】（2026 春•红河州期末）绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉
盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分3 盆，剩余8 盆；如果前面每名同学分5 盆，最后
一人分到盆栽，但不足3 盆，则分发给（ ）名同学养护
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式1-3】（2026 春•徐汇区校级期中）位育初级中学七年级某社团计划将全部同学分成若干小组，开展
探究活动，如果每个小组8 人，则还余3 人，如果每个小组9 人，则有一个小组的人数不足7 人，但多
于4 人，则该社团的人数是 ．
▌题型02 行程问题
1. 题型特征
结合路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间，题干出现提前到达、迟到、限定时长、快慢追赶、往
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返行程，给出多个约束条件，列不等式组求解速度、时间的取值范围。
常见关键词：不少于、至多、不早于、不能超过、提前多久、迟到多久。
2. 两类常见题型
题型1：规定时间内赶路
固定总路程，限定：
（1）速度太小，会迟到（用时＞规定时间）
（2）速度足够大，会提前抵达（用时＜规定时间）
联立不等式组求合理速度范围。
题型2：追及、相遇行程约束
两人同向/相向行走，结合距离限制、先后到达条件列不等式组。
3. 通用解题五步
（1）设未知数：设行驶速度𝑥 km/h或行驶时间h；
（2）利用路程公式写出对应用时；
（3）根据「迟到/提前/距离限制」列出不等式组；
（4） 求解不等式组，算出取值区间；
（5）结合实际：速度、时间大于0，取舍不合理解集，作答。
【典例1】绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为
城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60 千米/小时，AB 间的距离为1000
米，在路口B 处绿灯时间为30 秒，小车过路口A 后，以36 千米/小时的速度匀速行驶1 分钟后，B 路口
小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B 路口，求小车行驶速度v 的取值范围
为 ．
【变式1-1】一辆匀速行驶的汽车在11：20 距离A 地50km，要在12：00 之前驶过A 地，道路最高限速
100km/h，该车速度v 应满足的条件是 ．
【变式1-2】小华在公园的环形跑道（周长大于1km）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并
用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km 的记录如图所示．小
华一共跑了21km 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ．
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【变式1-3】（2026 春•安远县校级期末）如图（1），A，B 两地间的公路长360km，其中有一段长10km 的
施工道路MN，M 距离A 地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比
甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h 的速度行驶，乙
车始终以Vkm/h 的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h 的速度行驶．
（1）若V＝90．
①甲车出发2h 时，甲车行至 处，乙车行至 处；（填“M”“N”或“MN 的中点”）
②甲车行至MN 的中点时，乙车行驶的时间为 h．
（2）已知两车在P 处相遇．
①若P 与N 重合，求V 的值；
②若P 在非施工道路上（P 不与M，N 重合），直接写出V 的取值范围．
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▌题型03 工程问题
1. 题型特征
核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为单位1；
题干关键词：按期完工、提前做完、工期延后、工程量至少/至多、多人分工、分段施工，依靠工期约束列不
等式组求效率、人数、施工天数范围。
2. 解题五步
（1） 设未知数：设人数𝑥、每日工作量𝑥、施工天数𝑥；
（2）表示单日效率，写出分段完成的总工程量 ；
（3）根据题意列不等式组
- 要按期完工：总工程量≥任务总量
- 工期不能超时：总耗时≤规定天数
（4）求解不等式组 ；
（5）人数、天数为正整数，筛选整数解作答。
【典例1】实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，
负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B 两种型号的挖掘机，已知4 台A
型和2 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土150 立方米；3 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土
195 立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元．
（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费
用不超过12960 元，问施工时有哪几种调配方案？
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【变式1-1】某工程队有A，B 两种型号的挖掘机；已知3 台A 型和5 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165
立方米；4 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225 立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费
用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元．
（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A 型和B 型挖据机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费
用不超过12960 元，问施工时有哪几种调配方案？
【变式1-2】（2025 春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B 两个工程队共同建设某区域的
绿化带；已知A 工程队每人每天能完成80 米绿化带的建设，A 工程队的5 人与B 工程队的6 人合作每天
能完成700 米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同）
（1）求B 工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设；
（2）该公司决定派A，B 两个工程队共20 人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510
米，且B 工程队至少派出1 人，则该公司有哪几种安排方案？
【变式1-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B 两个工程队共同建设某区域的绿
化带．已知A 工程队2 人与B 工程队3 人每天共完成310 米绿化带，A 工程队的5 人与B 工程队的6 人
每天共完成700 米绿化带．
（1）求A 队每人每天和B 队每人每天各完成多少米绿化带；
（2）该公司决定派A、B 工程队共20 人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480 米，且B
工程至少派出2 人，则有哪几种人事安排方案？
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▌题型04 方案设计问题
1. 解题思路
（1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少
（2）设其中一种物品数量为𝑥，用总数量表示出另一种物品数量
（3）根据限制条件列出一元一次不等式组
（4）解出取值范围，𝑥为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案。
2. 解题流程
（1）审题，锁定两个不等约束
（2）设未知数：设𝐴类数量𝑥，𝐵类用含𝑥式子表达
（3）列不等式组（数量约束+金额约束）
（4） 求解不等式组，得到自变量取值区间
（5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案。
【典例1】（2026 春•抚宁区期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成
本是5000 元，建设一个大型租赁点的成本是8000 元，若小城计划投入资金不超过50000 元，建设大、
小两种租赁点一共8 个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？
【变式1-1】（2026 春•福州校级期末）家委会计划用班费购买A，B 两种相册共45 本作为学生的毕业礼品，
已知购买2 本A 种相册，3 本B 种相册需要110 元，购买4 本A 种相册，5 本B 种相册需要200 元．
（1）求A，B 两种相册的售价分别是多少元？
（2）若要求购买的A 种相册的数量要不少于B 种相册数量的
1
2，且购买总金额不超过1000 元，则家委会
有多少种不同的购买方案？
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【变式1-2】（2026 春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到
市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2 辆A 型新能源汽车和
3 辆B 型新能源汽车的进价共计84 万元；3 辆A 型新能源汽车和2 辆B 型新能源汽车的进价共计96 万
元．
（1）求A、B 两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？
（2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20 辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司
投入的购车资金不超过340 万元．假设每辆A 型汽车的售价为32 万元，每辆B 型汽车的售价为15 万
元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90 万元，该经销商共有哪几种购车方案？
【变式1-3】（2026 春•红谷滩区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．
设计烟花采购方案
五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放
时长．
素材1
已知一箱A 型烟花比一箱B 型烟花少100 元，购买20 箱
A 型和10 箱B 型烟花需要5500 元．
素材2
某烟花厂提供产品信息如下：
（1）A 型烟花每箱12 发，B 型烟花每箱20 发．
（2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5 秒，且一发燃放
完后另一发立即开始燃放．
（3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假
设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱
烟花之间的引燃时间．
（1）求A、B 型烟花每箱多少元？
（2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50 箱，且购入的资金不少于8500 元又不多于8800，则该乡
镇共有几种购买方案？
（3）若该乡镇准备支出9000 元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？
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▌题型05 最值问题
1. 解题思路
（1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少
（2）设其中一种物品数量为𝑥，用总数量表示出另一种物品数量
（3）根据限制条件列出一元一次不等式组
（4）解出取值范围，𝑥为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案
（5）分别核算每种方案成本或利润，对比选出最优方案。
2. 解题流程
（1）审题，锁定两个不等约束
（2）设未知数：设𝐴类数量𝑥，𝐵类用含𝑥式子表达
（3）列不等式组（数量约束+金额约束）
（4） 求解不等式组，得到自变量取值区间
（5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案
（6）列式计算各方案总费用，比较大小确定最优方案。
【典例1】（2026 春•武安市期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大
课间活动”，该校从商店购买了A 种品牌的足球50 个，B 种品牌的足球25 个，共花费4500 元，已知B
种品牌足球的单价比A 种品牌足球的单价高30 元．
（1）求 A、B 两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进 A、B 两种品牌的足球50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，
A 种品牌的足球单价优惠4 元，B 种品牌的足球单价打8 折．如果此次学校购买 A、B 两种品牌足球的总
费用不超过2750 元，且购买B 种品牌的足球不少于23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应
选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
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【变式1-1】（2026 春•玉泉区期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下
雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况：
销售时间
釉色A 销售数量
釉色B 销售数量
总售价
第1 个月
7 套
6 套
6530 元
第2 个月
9 套
5 套
6550 元
（1）求釉色A，B 两款瓷器每套的售价分别为多少元？
（2）若釉色A 瓷器的进价为300 元，釉色B 瓷器的进价为600 元，现专卖店计划用不超过8500 元购进
釉色A，B 两款瓷器一共20 套，且釉色B 瓷器的数量不少于釉色A 瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪
几种进货方案？（瓷器数量为整数）
（3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润．
【变式1-2】（2026 春•广元期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜
爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2 辆A 型汽车、3 辆B 型
汽车的进价共计80 万元；3 辆A 型汽车、2 辆B 型汽车的进价共计95 万元．
（1）求A，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20 辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车
资金不超过380 万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B 型汽车数量不少于A 型汽车
数量的3 倍．假设每辆A 型汽车的售价为30 万元，每辆B 型汽车的售价为14 万元，若要使销售完这两
种汽车后的利润不少于83 万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？
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【变式1-3】（2025 春•平凉校级期末）崆峒旅游节期间，为了抓住旅游节带来的商机，某商店决定定制甲、
乙两种旅游节纪念品．若定制甲种纪念品7 件，乙种纪念品4 件，需要900 元；若定制甲种纪念品3 件，
乙种纪念品8 件，需要700 元．
（1）求定制甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定定制这两种纪念品共50 件，考虑市场需求和资金周转，用于定制这50 件纪念品的资
金不少于3700 元，但不超过3800 元，那么该商店共有几种定制方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利润10 元，每件乙种纪念品可获利润20 元，在第（2）问的各种定制方
案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
▌题型06 阶梯收费问题
1. 题型特征
水费、电费、燃气费、打车费、话费、快递运费，分段定价，用量不同单价不一样；给出总费用范围，列
不等式组求使用量区间。
关键词：分段计价、第几阶梯、超出部分另算、总费用不少于/不超过。
核心逻辑：总价=每一档基础费用+超出档位部分×高阶单价。
2. 解题核心思路
（1）划分收费区间，熟记每一档用量界限、对应单价；
（2）设总使用量为𝑥，先判断𝑥落在第几阶梯；
（3）分情况列出对应计价代数式；
（4）结合总费用的上下限制，列出一元一次不等式组；
（5）求解解集，结合分段区间取舍，得出最终取值范围。
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3. 解题步骤
（1）审题划出各阶梯用量、对应单价；
（2）设用水量/里程/用气数量为未知数𝑥；
（3）分段写出不同区间的收费计算公式；
（4）根据总费用范围列不等式组；
（5）联立区间范围，取公共解集作答。
【典例1】（2025 秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一
级为月用水量17m3 以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3 但不超过30m3；第三级为月用水量
超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025 年7 月份的生活用水消费明细（不完整）．
居民生活用水消费明细
计费日期2025﹣7﹣1 至2025﹣7﹣31
自来水费
污水处理费
用水量/m3
单价/（元
/m3）
金额/元
用水量/m3
单价/（元
/m3）
金额/元
阶段一：17
2
34
阶段一：17
1
17
阶段二：▲
2.5
▲
阶段二：▲
1
▲
本期实付金额（大写）
▲
（注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费）
已知该居民6 月份和7 月份的用水量总和为42m3，且7 月份的用水量超过6 月份，但不超过6 月份的2
倍．
（1）设该居民7 月份的用水量为xm3，求x 的取值范围；
（2）该居民7 月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
（3）若该居民7 月份的生活用水水费比6 月份多41 元，求该居民7 月份的用水量．
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【变式1-1】小丽星期天晚上打电话向老师请教数学问题，本地固定电话的收费标准是前3min0.2 元（不足
3min 按3min 计算），以后0.1 元/min（不足1min 按1min 计算）．通过查询费用得知，本次通话产生话
费为1.5 元，则本次通话时间可能是（ ）
A．15min
B．15
3
11min
C．16
5
59min
D．13min
【变式1-2】（2026 春•杨浦区校级月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8 元（即行驶距离不超过3 千
米都需付8 元车费），超过3 千米以后，每增加1 千米，加收2 元（不足1 千米的部分按1 千米计）．某
人乘出租车从甲地到乙地共付车费18 元，那么甲地到乙地路程x 满足（ ）
A．x＝8.5
B．7≤x＜8
C．7≤x≤8
D．7＜x≤8
【变式1-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过12 吨的部分 超过12 吨不超过18
吨的部分
超过18 吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
（1）某户5 月份交水费45 元，则该用户5 月份的用水量是多少？
（2）要使月所缴水费控制在20 元至30 元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
▌题型7 销售问题
（1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。
（2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。
（3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。
（4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。
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【典例1】（2026•科尔沁区校级模拟）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包
装产品．已知购进4 盒传统奶豆腐与购进7 盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食
奶片的进价高6 元．
（1）求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？
（2）为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过3000 元的资金购进这两种产品共240 盒．若传统奶豆腐
每盒售价为20 元，即食奶片每盒售价为12 元，且全部售出后利润不低于1280 元，则最多可购进传统奶
豆腐多少盒？
【变式1-1】（2026 春•合肥校级期中）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题．
素材1
“中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许
多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、
万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得
名．
素材2
周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15 元/个，分为线
上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1 个和线下
2 个的售价共100 元，线上2 个和线下1 个的售价共95 元，
五一小长假即将到来，预计今年5 月1 号到5 号这五天的线
上销售个数不多于1002 个，两种方式的总销售个数达到
4000 个，总销售金额不多于135000 元．
（1）求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元．
（2）预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？
（3）若万三蹄线上售价上涨m 元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，
请直接写出m 的值．
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【变式1-2】（2026 春•江北区校级月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产
成本和售价如表：
款式
成本（元/件）
售价（元/件）
甲
700
1000
乙
800
1200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若该厂投入230000 元来生产甲、乙两款服装共300 件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙
两款服装各多少件？
（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500 件，
要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2 倍．假设能全部售完利润不低于166500 元，请通过计算设计该
工厂所有可能的生产方案．
【变式1-3】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022 年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉
祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8 个“冰墩墩”和4 个“雪容融”玩具共需960 元，购
买6 个“冰墩墩”和8 个“雪容融”玩具共需1020 元．
（1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价．
（2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60 元，每个“雪容融”玩具成本为40 元，准备制作两种吉祥物
玩具共100 个，总成本不超过5000 元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480 元，请问有哪几
种制作方案？
