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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题19 勾股定理及证明 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用勾股定理求第三边 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型02 勾股树 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型03 勾股定理与数轴（无理数） 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】B． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 勾股定理与30°角 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】3√3． ▌题型05 勾股定理与等面积法 【典例1】C． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝2.1，BC＝2.8． ∴S△ABC= 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×2.1×2.8＝2.94； （2）在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2.1，BC＝2.8， 由勾股定理得：AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √(21 10)2 + (14 5 )2 = 7 2； （3）S△ABC= 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×AB×CD，即 1 2 × 21 10 × 14 5 = 1 2 × 7 2 ×CD， 解得：CD= 42 25． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°， ∵∠BME＝∠CMD， ∴∠ABD+∠CMD＝90°， ∴∠CDB＝∠CMD， 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴CM＝CD， ∴△CDM 是等腰三角形； （2）解：作DF⊥AB 于点F，如图所示， ∵∠DCB＝90°，BD 平分∠ABC， ∴DC＝DF， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √102 −82 =6， ∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB， ∴ 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 2 = 𝐵𝐶⋅𝐶𝐷 2 + 𝐴𝐵⋅𝐷𝐹 2 ， 即 8×6 2 = 6𝐶𝐷 2 + 10𝐷𝐹 2 ， 解得CD＝DF＝3， 由（1）知：CM＝CD， ∴CM＝3，即CM 的长度为3， ∵AC•BC＝AB•CE， ∴CE= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 8×6 10 =4.8， ∴ME＝CE﹣CM＝4.8﹣3＝1.8． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图， （2）在Rt△ABC 中，AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 =10， ∵ 1 2CD•AB= 1 2AC•BC， ∴CD= 6×8 10 = 24 5 ▌题型06 直角三角形中一边及关系求边长 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】15． ▌题型07 勾股定理中的方程思想 【典例1】C． 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】解：设BD＝x，由等腰三角形的性质，知AB＝8﹣x 由勾股定理，得利用勾股定理：（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3， 所以AB＝AC＝5，BC＝6 【变式1-3】 【解答】解：连接AE． ∵DE 为AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE． 在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4． 设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x． 在Rt△ACE 中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2， 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得𝑥= 7 8． ∴CE 的长为 7 8． ▌题型08 勾股定理的证明 【典例1】 【解答】（1）证明：如图1 所示： ∵正方形ABCD 的边长AB＝a+b， ∴正方形ABCD 的面积为：（a+b）2， ∵Rt△AEH 的直角边分别为a，b， ∴Rt△AEH 的面积为： 1 2ab， ∵正方形EFGH 的边长为c， ∴正方形EFGH 的面积为：c2， 又∵正方形ABCD 的面积＝4×Rt△AEH 的面积+正方形EFGH 的面积， ∴（a+b）2＝4× 1 2ab+c2， ∴a2+b2＝c2； （2）解：如图2 所示： 依题意得：正方形ABCD 的边长为c，AE＝DF＝a，AF＝BE＝b， ∴正方形ABCD 的面积为：c2，△ABE 的面积＝△ADF 的面积= 1 2ab， ∵空白部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣（△ABE 的面积+△ADF 的面积）， 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴空白部分的面积＝c2﹣2× 1 2ab＝c2﹣ab， ∵a＝4，b＝6， ∴由勾股定理得：c2＝a2+b2＝42+62＝52， ∴空白部分的面积＝52﹣4×6＝28； （3）解：如图3 所示： 依题意得：BD＝AC，OB＝OC，∠AOB＝90°， 设BD＝AC＝x， ∵成风车状的周长为24， ∴4（AB+AC）＝24， ∴AB＝6﹣AC＝6﹣x， ∵OC＝3， ∴OA＝AC+OC＝x+3，OB＝OC＝3， 在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2， ∴（6﹣x）2＝（x+3）2+32， 解得：x＝1， ∴OA＝x+3＝4， ∴S△OAB= 1 2OB•OA= 1 2 ×3×4＝6， ∴该风车状图案的面积为：4S△OAB＝24． 【变式1-1】 【解答】选择图2 完成证明． 证明：首先观察图2 的整体结构：它是边长为a+b 的大正方形， 内部由4 个全等的直角边为a、b， 斜边为c 的直角三角形，和1 个边长为c 的小正方形拼接组成． 根据正方形面积公式，边长为a+b 的大正方形面积为：𝑆大正方形= (𝑎+ 𝑏)2， 将完全平方展开后可得：𝑆大正方形= 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2， 把大正方形拆分为4 个直角三角形和1 个小正方形分别计算面积再求和， 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 单个直角三角形的面积为 1 2 𝑎𝑏， 4 个直角三角形的总面积为4 × 1 2 𝑎𝑏= 2𝑎𝑏， 中间小正方形的边长为直角三角形的斜边C， 面积为c2， 因此拆分后的总面积为：𝑆大正方形= 2𝑎𝑏+ 𝑐2， 两种方法计算的是同一个大正方形的面积， 因此两个面积表达式相等：a2+2ab+b2＝2ab+c2， 等式两边同时减去公共项2ab， 即可得到：a2+b2＝c2． 【变式1-2】 【分析】作DG⊥CB，垂足为点G，设AB 与CD 的交点为H，证明△ABC≌△DEF（SSS），推出AB⊥ CD，分割法求出四边形ACBD 的面积，即可得证． 【解答】证明：如图，作DG⊥CB，垂足为点G， 设AB 与CD 的交点为H， ∵BC＝EF，AC＝DF，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠CAB＝∠FDE， ∵∠FDE+∠ACH＝90°， ∴∠CAB+∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°， ∴AB⊥CD， ∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐵+ 𝑆△𝐴𝐷𝐵= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐻+ 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐻= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸= 1 2 𝑐2， ∵∠CFD＝∠FCB＝∠G＝90°， ∴四边形FCGD 为长方形， ∴DG＝FC＝a， ∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹+ 1 2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐺= 1 2 𝑎2 + 1 2 𝑏2， ∴a2+b2＝c2． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】 【解答】解：（1）𝑎2 + 𝑏2 + 1 2 × 𝑎𝑏× 4 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，即图1 的大正方形的面积为2ab+c2； 1 2 × 𝑎𝑏× 4 + 𝑐2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，即图2 的大正方形的面积为a2+b2+2ab， 故答案为：a2+b2+2ab；2ab+c2； （2）由题图可知，两个大正方形的边长都是a+b， ∴两个大正方形的面积相等， ∴a2+b2+2ab＝2ab+c2， 化简可得a2+b2＝c2． ▌题型09 勾股定理与网格 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型10 勾股定理与折叠 【典例1】 【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB＝CD＝4， 由勾股定理得，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = √42 + 32 = 5， ∵矩形纸片ABCD 折叠，边AD 落在对角线BD 上，A 点落在对角线F 处， ∴EF＝AE，∠DFE＝∠A＝90°，DF＝AD＝3， ∴BF＝BD﹣DF＝5﹣3＝2， 设AE＝x，则BE＝4﹣x， 在Rt△BEF 中，由勾股定理得，BF2+EF2＝BE2， 即4+x2＝（4﹣x）2， 解得𝑥= 3 2， 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即AE 的长为 3 2． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，如果∠C＝90°，则a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； （2）证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝑎𝑏，𝑆正方形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑐2，S 正方形MNPQ＝（a+b）2，且 S 正方形MNPQ＝4S△ABC+S 正方形 ABDE， ∴(𝑎+ 𝑏)2 = 4 × 1 2 𝑎𝑏+ 𝑐2， 整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． （3）∵矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x， 在Rt△ABE 中，由勾股定理得，x2＝42+（8﹣x）2， 解得x＝5， ∴AE＝5， ∴BE＝3． 【变式1-2】 【解答】（1）解：∵直角边a＝1，直角边b＝3， 由勾股定理得：𝑐= √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 32 = √10， 故答案为：√10； （2）证明：图②的面积= 𝑆△𝐷𝐴𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸+ 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 1 2 𝑎𝑏+ 1 2 𝑎𝑏+ 1 2 𝑐2， 又∵图②的面积= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1 2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) = 1 2 (𝑎+ 𝑏)2， ∴ 1 2 𝑎𝑏+ 1 2 𝑎𝑏+ 1 2 𝑐2 = 1 2 (𝑎+ 𝑏)2， ∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2； （3）解：∵折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的点F 处，AB＝CD＝8，BC＝AD＝10， ∴AF＝AD＝10，DE＝FE， ∵四边形ABCD 是长方形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABF 中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102， 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得：BF＝6， ∵BC＝10， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EF＝x，则DE＝x， ∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ECF 中，由勾股定理得：EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴EF＝5． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为𝑐2 + 4 × 1 2 𝑎𝑏，还可以表示为（a+b）2， ∴𝑐2 + 4 × 1 2 𝑎𝑏= (𝑎+ 𝑏)2， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2． （2）解：空白部分的面积＝边长为c 的正方形的面积﹣2 个直角三角形的面积= 𝑐2 −2 × 1 2 𝑎𝑏， ∵a＝4，b＝6， ∴空白部分的面积= 42 + 62 −2 × 1 2 × 4 × 6 = 28； （3）解：∵长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处． ∴AF＝AD＝5， 在Rt△ABF 中，AF＝5，AB＝3， 由勾股定理得：𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = 4， ∴CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝5﹣4＝1， 设EF＝x，则DE＝EF＝x，CE＝CD﹣DE＝3﹣x， 在Rt△CEF 中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2， ∴x2＝（3﹣x）2+12， 解得：𝑥= 5 3， 即𝐸𝐹= 5 3． ▌题型11 勾股定理中的证明 【典例1】 【解答】证明：小红：在Rt△ADC 中，根据勾股定理，得AC= √ℎ2 + 𝑚2， 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt△DBC 中，根据勾股定理，得BC= √ℎ2 + ℎ2， ∵∠ACB＝90°， ∴S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2AB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD， ∴√ℎ2 + 𝑚2•√ℎ2 + ℎ2 =（m+n）•h， 化简得h4+m2n2﹣2mnh2＝0， ∴（h2﹣mn）2＝0， ∴h2＝mn； 小明：取AB 中点O，连接CO，则OD＝OB﹣BD= 𝑚+𝑛 2 −n= 𝑚−𝑛 2 ， ∵∠ACB＝90°， ∴CO= 1 2AB= 𝑚+𝑛 2 ， 在Rt△CDO 中，CO2＝OD2+CD2， ∴（ 𝑚+𝑛 2 ）2＝（ 𝑚−𝑛 2 ）2+h2， 化简得h2＝mn． 【变式1-1】 【解答】证明：∵∠B＝90°， ∴AC2＝AB2+BC2，EF2＝BE2+BF2，AF2＝AB2+BF2，CE2＝BE2+BC2， ∴AF2+CE2＝AB2+BF2+BE2+BC2＝AC2+EF2． 即AF2+CE2＝AC2+EF2． 【变式1-2】 【解答】证明：作AE⊥BC 于E，则 AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2， 则AB2﹣AD2＝（AE2+BE2）﹣（AE2+DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）（BE﹣DE）＝BD•DC， 则AD2+BD•DC＝AB2． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】 【解答】解：（1）2AE2+（BD+DE）2+（CD﹣DE）2 ＝2AE2+（BD+DE）2+（BD﹣DE）2 ＝2AE2+2BD2+2DE2 ＝2AD2+2BD2 ＝2（AD2+BD2）． （2）如图，连接AC，BD 相交于点O，连接OP． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC＝BD，𝑂𝐴= 1 2 𝐴𝐶，𝑂𝐵= 1 2 𝐵𝐷． ∴OA＝OB． 根据阿波罗尼奥斯定理，得PA2+PC2＝2（OA2+OP2），PB2+PD2＝2（OB2+OP2）． ∴PA2+PC2＝PB2+PD2． ▌题型12 勾股定理中的找规律 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】C． ▌题型13 最值问题 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】D．
