上海八上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型(训练)-解析版
题型归纳
题型一、无理数的识别
【例1】在3.14，3 3 ，
2 ，0.12 ，22
7 ，3
5
.14
，
3 216
，
4
9
中，无理数有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【详解】解：
3 216
6
，
4
2
9
3
，
在3.14 ，3 3 ，
2 ，0.12 ，22
7 ，
3
5
.14
，
3 216
，
4
9
中，无理数有3 3,
2 ，共2 个．
【例2】下列说法正确的是（
）
A．π
2 是分数
B．
3
8
5
是分数
C．无限小数都是无理数
D．带根号的数都是无理数
【答案】B
【详解】解：∵有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数，
对选项A：π
2 中π是无理数，因此π
2 是无理数，不是分数，A 错误；
对选项B：3
8
2
，因此
3
8
2
5
5
，
2
5
是分数，B 正确；
对选项C：无限循环小数和有限小数是有理数，因此无限小数不都是无理数，C 错误；
对选项D：例如
4
2
是有理数，因此带根号的数不都是无理数，D 错误．
【变式1-1】下列各数：22
7 ，3 9 ，5.12 ，
3 8
，0 ，
0.25 ，π，
3
2
，2.181181118L （两个8 之间1 的个数逐
次多1）其中无理数有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】解：
3 8
2
，
0.25
0.5
，
22
7 ，5.12，2
，0 ，0.5是有理数；
3 9 ，，
3
2
，2.181181118（两个8 之间1 的个数逐次多1）是无理数，共4 个．
【变式1-2】在
2
3
2024
，
中，其中无理数的个数共有（
）
A．44 个
B．45 个
C．1979 个
D．1980 个
【答案】D
【详解】解：被开方数从2 到2024 ，总个数为2024
2 1
2023
个，
∵
2
44
1936
2024
，
2
45
2025
2024
，
∴不超过2024 的正完全平方数为
2
2
2
1 ,2 ,
,44
，共44 个，
其中
21
1
2
，不在本题范围内，因此有理数共有44 1
43
（个），
∴无理数个数为2023
43
1980
（个）．
【变式1-3】在实数3
2 ，5 ，4
，16 ，0.101001 中，比1 大的无理数为______．
【答案】
5
【详解】解：3
2 是分数，属于有理数，不符合要求；
5 是开方开不尽的数，属于无理数，
5
1
1
，满足条件；
4
属于无理数，由
3.14
得
0.785
1
4
，不满足条件；
16
4
，是整数，属于有理数，不符合要求；
0.101001是有限小数，属于有理数，不符合要求；
因此，比1大的无理数为5 ．
题型二、实数的大小比较
【例3】比较大小：3 5 ____________ 3 （“>”“<”或“=”）
【答案】<
【详解】解：∵3 5
0
，
3
0
，
且
6
2
3 5
5
25
，
6
3
3
3
27
，
又∵25
27
，
∴
6
6
3 5
3
，
∴3 5
3
．
【例4】比较大小：
2
1
2
________ 1
4 ．（填写“ ”或“”）
【答案】
【详解】
2
1
1
2 2
2 1
2 2
3
2
4
4
4
，
∵
2
2 2
8
，
23
9
，
∴2 2
3
，
∴2 2
3
0
，
∴
2
1
1
0
2
4
，
∴
2
1
1
2
4
．
【变式2-1】比较大小：
401
5
4
_____3.75(填，，)
【答案】
【详解】解：∵
400
5
15
3.75
4
4
，
401
400
，
∴
401
5
3.75
4
．
故答案为：．
【变式2-2】比较大小：3
π
4
______
5
2
3
（填“”或“ ”或“<”）
【答案】<
【分析】
【详解】解：∵
3.14
3
，
∴3
0
，
∴3
0
4
，
∵5
4
，
∴
5
2
，
∴5
2
0
，
∴
5
2
0
3
> ，
根据负数小于正数，可得3
5
2
4
3
．
【变式2-3】已知
2
2
a
，
|
3 |
b
，
3
27
c
，d 是2 的算术平方根．
(1)求a，b，c，d 的值；
(2)将a，b，c，d 的值按照从小到大的顺序用“<”连接．
【答案】(1)
2
a
，
3
b
，
3
c ，
2
d
(2) 3
2
3
2
【分析】
【详解】（1）解：
2
2
4
2
a
，
|
3 |
3
b
，
3
27
3
c
，
∵d 是2 的算术平方根，
∴
2
d
；
（2）解：∵
2
4
a
，
3
b
，
3
c ，
2
d
，
∴3
2
3
4
，
即3
2
3
2
．
题型三、实数的整数与小数部分的计算
【例5】实数2
19
的整数部分是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【详解】解：∵16
19
25
，
∴16
19
25
，即4
19
5
，
∴6
2
19
7
，
∴2
19
的整数部分是6 ．
【例6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的小数部分我
们不可能全部地写出来，但是由于1
2
2
，所以
2 的整数部分为1，将
2 减去其整数部分1，所得的差就是其
小数部分
2
1
，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1) 5 的整数部分是________，小数部分是________；
(2)1
2
的整数部分是________，小数部分是________；
(3)若设2
3
整数部分是x ，小数部分是y ，求y
x
的值．
【答案】(1)2；
5
2
(2) 2 ；
2
1
(3)
3
4
【分析】
【详解】（1）解：∵4
5
9
，
∴
4
5
9
，即2
5
3
，
∴
5 的整数部分是2，小数部分是
5
2
；
（2）解：∵1
2
2
，
∴1 1 1
2
1 2
，即2
1
2
3
<
+
<
，
∴1
2
的整数部分是2 ，小数部分是1
2
2
2
1
；
（3）解：∵1
3
4
，
∴1
3
4
，即1
3
2
，
∴2 1
2
3
2
2
，即3
2
3
4
，
∵2
3
整数部分是x ，小数部分是y ，
∴
3
x
，
2
3
3
3
1
y
，
∴
3
1
3
3
4
y
x
．
【变式3-1】已知7
14
的小数部分是a，7
14
的小数部分是b，求
2020
a
b
．
【答案】1
【详解】解：∵
9
14
16
∴3
14
4
，
∴10
7
14
11
，3
7
14
4
，
∵7
14
的小数部分是a，7
14
的小数部分是b，
∴
7
14
10
3
14
a
，
7
14
3
4
14
b
，
∴
3
14
4
14
1
a
b
，
∴
2020
2020
1
1
a
b
．
【变式3-2】我们把不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
x ，又把
x
x
称为x 的小数部分，记作
x ，
则有
x
x
x
．如：
2.4
2
，
2.4
0.4
，
2.4
2.4
2.4
；
2.4
3
，
2.4
0.6
，
2.4
2.4
2.4
，则
1
5
的值是_______．
【答案】2
【详解】解：
4
5
9
2
5
3
∴3
5
2
∴2
1
5
1
根据
x 的定义，不超过1
5
的最大整数为2
1
5
2
．
【变式3-3】先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的
小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
2
1
表示
2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小
明的表示方法是有道理的，因为
2 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
如果
2
x
y
，其中x 是整数，且0
1
y
，那么
1
x ，
2
1
y
．
请解答下列问题：
(1)如果17
a
b
，其中a 是整数，且0
1
b
，那么a ______，b ______；
(2)已知2
17
m
n
，其中m 是整数，且0
1
n
，求m
n
的值．
【答案】(1)4；17
4
(2)10
17
【分析】
【详解】（1）解：
17
a
b
，其中a 是整数，且0
1
b
，
又
16
17
25
∴4
17
5
，
4
a
，
17
4
b
．
（2）∵2
17
m
n
，其中m 是整数，且0
1
n
，
6
m
，
17
4
n
，
6
17
4
6
17
4
10
17
m
n
．
题型四、程序设计与实数运算
【例7】如图是一个数值转换器的原理图，当输入x 的值为81 时，输出y 的值是（
）
A．2
B．3
C．
2
D．
3
【答案】D
【详解】解：输入81，则
81
9
，
9
是有理数，
重新输入9，则
9
3
，
3
是有理数，
重新输入3，取算术平方根得
3 ，3 是无理数，
输出
3
y
．
【例8】根据以下程序，当输入
20 时，输出结果为（
）
A．6
B．37
C．
38
D．
40
【答案】C
【详解】解：输入
20
x
，
第一次计算结果为
2
( 20)
2
22
，
22
36
6
，
需将
22 重新代入计算，
同理，第二次计算结果为
2
( 22)
2
24
6
，
由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2，
当计算结果为
36 时，
36
6
，仍不满足结果
6
，
需将
6
x
再次代入计算，
下一次计算结果为
2
6
2
38
，
38
36
6
，
输出结果为
38 ．
【变式4-1】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时
256
x
，输出的y 等于________．
【答案】
2
【详解】解：当
256
x
时，则256
16
，16 是有理数，
当
16
x
时，则16
4
，4 是有理数，
当
4
x
时，则
4
2
，2 是有理数，
当
2
x
时，得
2 ，
2 是无理数，输出，
即
2
y
．
【变式4-2】根据如图所示的计算程序，若开始输入x 的值为
2
，则输出的结果为（
）
A．
2
5
B．1
C．1
D．3
【答案】D
【详解】解：∵1
2
，
∴
2
1
，
∴
2
1
，
把
2
x
代入
2
1
x 得
2
2
1
2 1
3
，
∴输出的结果为3．
【变式4-3】如图是一个数值转换器（
25
x
）
(1)当输入的x 为14
时，输出的y 值是______；
(2)若输入实数x 后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为______；
(3)若输出的y 是5 ，求x 的负整数值．
【答案】(1)
2 ；
(2)1,2,3
(3) 3
或23
．
【分析】
【详解】（1）解：当
14
x
时，
2
14
2
16
x
，16
4
，
4
2
，
2 是无理数，
∴当输入的x 为14
时，输出的y 值是
2 ；
故答案为：
2 ；
（2）∵算术平方根是它本身的数为0,1，而且0,1为有理数，
∴当
2
0
x
或
2
1
x
时，始终输不出y 值，
∴
2
x
或
3
x
或
1
x
（3）若第1 次运算是
5 ，
∴
2
( 5)
5
，
∴
2
5
x -
=
，
解得
7
x
或
3
x
，
∵x 为负整数，
∴输入的x 值为3
；
若第2 次运算是
5 ，
∴
2
( 5)
5
，
25
25
，
∴
2
25
x
，
解得
27
x
或
23
x
，
∵x 为负整数，
∴输入的x 值为23
，
∴
25
x
，
∴x 的负整数值均为3
或23
．
题型五、新定义下的实数运算
【例9】设a ，b 是实数，定义“★”的一种运算：a
b
ab
a
b
★
，则下列结论：①a
b
b
a
★
★；②
a
b
a
b
★
★
；
③
a
b
c
a
b
a
c
★
★
★；④
a
b
c
a
b
c
★
★
★
★．正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】解：由题意：
①b
a
ba
b
a
a
b
★
★，故正确；
②
a
b
ab
a
b
a
b
★
★，故错误；
③
a
b
c
a b
c
a
b
c
ab
ac
a
b
c
★
，
2
a
b
a
c
ab
a
b
ac
a
c
ab
ac
a
b
c
★
★
，
则
a
b
c
a
b
a
c
★
★
★，故错误；
④
a
b
c
a
bc
b
c
a bc
b
c
a
bc
b
c
abc
ab
ac
bc
a
b
c
★
★
★
，
a
b
c
ab
a
b
c
c ab
a
b
ab
a
b
c
abc
ac
bc
ab
a
b
c
★
★
★
，
则
a
b
c
a
b
c
★
★
★
★，故正确；
∴有2 个正确的．
故选B．
【例10】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T
m
T
n
：
，（其中m 为满足不等式的最大整
数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为( , )
m n ，如1
2
2
，所以
2 的麓外区间为(1,2) ．
(1)无理数19 的“麓外区间”是_____；
(2)若
2
2
7
b
a
a
，求b 的“麓外区间”．
【答案】(1)(4,5)
(2)( 3, 2)
【分析】
【详解】（1）∵16
19
25
，
∴4
19
5
，
即：无理数19 的“麓外区间”是
4,5 ；
故答案为：
4,5 ；
（2）∵
2
2
7
b
a
a
，
∴
2
0,2
0
a
a
，
∴
2
a
，
∴
7
b
，
∵
4
7
9
，
∴2
7
3
，
∴3
7
2
，
∴b 的“麓外区间”为( 3, 2)
．
【变式5-1】
对于实数a、b，定义
max
,a b 的含义为：当a
b
时，
max
,a b
a
；当a
b
时，
max
,a b
b
．例如：
max 1, 2
1
．已知
max
29,
29,max
29,
a
b
b
，且a 和b 为两个连续正整数，则
2
( 29)
ab
的立方根为（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【详解】解：∵
max
29
= 29
a
，
，
max
29
=
b
b
，
，
∴
29
a
，
29
b
，
∵a 和b 为两个连续正整数，
29
25
5
，6
36
29
，
∴即
5
a
，
6
b
，
∴
30
ab
，
∴
2
0
( 29
2
)
3
9
1
ab
，
则
2
( 29)
ab
的立方根为的1，
故选：B．
【变式5-2】新定义：如果
nx
y
，则规定
,x y
n
，例如：
23
9
，所以
3,9
2
．
(1)填空：
2,8 _______；
3,81
_________；
(2)若
4,5
a
，
4,18
b
，
4,90
c
，试说明a
b
c
．
【答案】(1)3；4
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）解：∵
4
32
8
3
81
，
，
∴
2,8
3
，
3,81
4
；
（2）解：∵
4,5
a
，
4,18
b
，
4,90
c
∴4
5 4
18 4
90
a
b
c
，
，
，
∵5 18
90
，
∴4
4
4
a
b
c
，
∴4
4
a b
c
，
∴a
b
c
．
【变式5-3】新定义：若无理数
a 的被开方数（a 为正整数）满足
2
2
1
n
a
n
（其中n 为正整数），则称无理数
a 的相邻值为
,
1
n n
．同理规定无理数
a
的相邻值为
1,
n
n
．例如：因为
2
2
1
2
2
，所以
2 的相邻值为
1,2 ,
2
的相邻值为
2, 1
．请回答下列问题：
(1) 15 的相邻值为__________；
23
的相邻值为__________；
(2)若实数x，y 满足关系式：
2
4
7
0
x
y
，求
xy 的相邻值．
【答案】(1)
3,4 ；
5, 4
(2)
5,6
【分析】
【详解】（1）解：∵
2
2
3
9
15
4
16
，
∴15 的相邻值为
3,4 ；
∵
2
2
4
16
23
5
25
，
∴
23 的相邻值为
4,5 ，
∴
23
的相邻值为
5
4
；
（2）解：∵
2
4
7
0
x
y
，
2
4
0
7
0
x
y
，
，
∴
2
4
7
0
x
y
，
∴
4
0
7
0
x
y
，
，
∴
4
7
x
y
，
，
∴
28
xy
，
∵
2
2
5
25
28
6
36
，
∴
28
xy
的相邻值为
5,6 ；
题型六、实数运算的实际应用
【例11】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为
2
400m
的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”
调整为面积为
2
285m 的长方形，且长与宽之比为5:3．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
【答案】(1)80m
(2)
能；理由如下：
设长方形的长为5x 米，宽为3x 米，
依题意得5
3 =285
x
x
，
解得
19
x
或
19
x
，
>0
x
，
19
x
，
长方形的长为5 19 米，宽为3 19 米，
长方形的周长为2 (5 19
3 19)
16 19
，
4
19
5
，
64
16 19
80
，
能够完成新阵法．
【分析】
【详解】（1）解：“混天绫”围成一个面积为
2
400m
的正方形，
正方形的边长为20m，
“混天绫”的总长度20 4=80m
．
答：“混天绫”的总长度80m ．
（2）略
【例12】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘
制了3 个A 类正方形和4 个B 类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A 类正方形的面积为2，每个B 类正方
形的面积是4．
(1)A 类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A 类正方形和一个B 类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
【答案】(1)
2
(2)A 类正方形的周长是：4 2 ；B 类正方形的周长为8
(3)长方形的长为4
3 2
，宽为4
2
【分析】
【详解】（1）解：∵A 类正方形的面积为2，
∴A 类正方形的边长是
2 ，
故答案为：
2 ；
（2）解：∵A 类正方形的边长是
2 ，
∴A 类正方形的周长是：4 2 ，
∵B 类正方形的面积是4，
∴B 类正方形的边长是
4
2
，
∴B 类正方形的周长为4 2
8
；
（3）解：长方形的长为2 2
3 2
4
3 2
，宽为2 2
2
4
2
．
【变式6-1】如图1 的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2 的杯子中，一共需要____个图2 这样的
杯子．（单位：cm）（温馨提示：
2
π
V
r
h
圆柱
）
【答案】13
【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为
2
2
2
π
6
6π
2
a
V
a
大
，
瓶子中小圆柱容积
2
2
1
π
2
π
2
2
a
V
a
小
，
杯子的容积为
2
2
1
1
2
π
8
π
2
2
a
V
a
杯子
，
则所需杯子个数为
2
2
2
1
1
6
π
13
2
π
π
2
a
a
a
，
则一共需要13 个这样的杯子.
【变式6-2】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多
在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、
民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，
长、宽之比为4:3，宣纸面积为
2
588cm ．
(1)求宣纸的周长；
(2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为
2
291cm 的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理
由．（取3）
【答案】(1)98cm
(2)能够裁出来，理由如下：
设圆形纸胚的半径为cm
r
，
由题意得：
2
3
291
r
，
解得：
97
r
，
∵圆形纸胚的直径为2
2 97
r
，宣纸的宽为21cm ，且
2
2
2 97
388,21
441
，
∴21
2 97
，
∴能够裁出来
【分析】
【详解】（1）解：设这张宣纸的长为4 cm
x
，宽为3 cm
x
，由题意得：
4
3
588
x
x
，
解得：
7
x
（负根舍去），
∴这张宣纸的长为4 7
28cm
，宽为3 7
21cm
，
∴这张宣纸的周长为
2
28
21
98cm
；
答：宣纸的周长为98cm
（2）略
平方根和立方根的综合题型
题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根
【例1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是
3
a 和
1
b ，3a
b
的算术平方根是2．
(1)求a 、b 的值；
(2)求5
1
a
b
的立方根．
【答案】(1) a 的值为4 ，b 的值为8
(2)3
【分析】
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是
3
a 和
1
b ，
∴
3
1
0
a
b
，即
4
a
b
，
∵3a
b
的算术平方根是2，
∴3
4
a
b
，
联立可得：
4
3
4
a
b
a
b
，
解得：
4
8
a
b
，
∴a 的值为4 ，b 的值为8
；
（2）解：∵
4
a
，
8
b ，
∴
5
1
5 4
8
1
27
a
b
，
∵27 的立方根为3，
∴5
1
a
b
的立方根为3．
【例2】已知2
1
a 的平方根是3
，5
2
2
a
b
的算术平方根是6 ，求5
2
a
b
的平方根．
【答案】
2
【详解】解：根据题意，
2
2
1
3
9
a
，
2
5
2
2
6
36
a
b
，
解得
4,
9
a
b
，
∴5
2
2
a
b
，
∴5
2
a
b
的平方根是
2
．
【变式1-1】已知2k 和
6
k
是正数x 的两个不相等的平方根，3
1 3
2
y
，求
8
xy
k
的算术平方根．
【答案】8
【详解】解：由已知，得2
6
0
k
k
，解得
2
k
，
2
2
16
x
k
．
3 1 3
2
y
，
1
3
8
y
，
3
y
，
8
48 16
64
8
xy
k
，
即
8
xy
k
的算术平方根为8．
【变式1-2】已知2
2
m
的平方根是4
，
1
m
n
的立方根是2，求
m
n
的算术平方根．
【答案】
3
【详解】解：
2
2
m
的平方根是4
，
2
2
2
4
16
m
，
m
7
，
1
m
n
的立方根是2，
3
1
2
8
m
n
，
2
n
，
7
2
3
m
n
，
m
n
的算术平方根为
3 ．
【变式1-3】已知
1
a
b
的平方根是4
，1 b
的立方根为2
．
(1)求a 与b 的值；
(2)求5a
b
的算术平方根．
【答案】(1)
8
9
a
b
；
(2)7 ．
【分析】
【详解】（1）解：∵
1
a
b
的平方根是4
，1 b
的立方根为2
，
∴
1 16
1
8
a
b
b
，
解得
8
9
a
b
；
（2）解：由
1 知
8
a
，
9
b
，
∴5
5 8
9
49
a
b
，
∵49 的算术平方根是7 ，
∴5a
b
的算术平方根为7 ．
题型二、算术平方根的非负性
【例3】若
2
2
3
0
x
y
，则x
y
的平方根是（
）
A．1
B．1
C．1
D．0
【答案】C
【详解】解：∵
2
(
2)
0
x
，
3
0
y
，且
2
(
2)
3
0
x
y
，
∴
2
0
x
，
3
0
y
，
解得
2
x ，
3
y
，
∴
2
3
1
x
y
，
∴x
y
的平方根为1
.
【例4】已知实数,a b 满足
2
2
5
a
b
b
，则a
b
的值为_____．
【答案】3
【详解】解：根据二次根式的定义可得
2
0
2
0
b
b
，
解不等式组得
2
b
．
将
2
b
代入
2
2
5
a
b
b
，得
0
0
5
5
a
．
则
5
2
3
a
b
．
【变式2-1】如果
2
1 +
5
0
x
y
x
y
，那么x ___________，y ___________．
【答案】
3
2
【详解】解：∵
2
1 +
5
0
x
y
x
y
，
∴
2
1
0,
5
0
x
y
x
y
，
即
2
1
0
5
0
x
y
x
y
，
解得：
3
2
x
y
．
【变式2-2】已知实数a，b 满足
2
1
0
a
b
a
b
，则a
b
________．
【答案】3
【详解】解：∵
2
0
a
b
，
1
0
a
b
，
2
1
0
a
b
a
b
，
∴
2
0
1
0
a
b
a
b
，
解得
2
1
a
b
，
∴
2 1
3
a
b
．
【变式2-3】已知实数m 和n 满足
10
3 10
6
m
m
n
，则
2
2
m
n
的值为__________．
【答案】8
【详解】解：∵
10
3 10
6
m
m
n
，
∴
10
0
m
，10
0
m
，
∴
10
m
，
即10 10
3 10 10
6
n
，
解得
6
n
，
将
10,
6
m
n
代入
2
2
m
n
，得
2
2
10
6
100
36
64
8
．
题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解
【例5】若x ，y 为整数，且满足
17
1
x
x
，
2y
x
，则
3
x
y
________．
【答案】10
【详解】解：
16
17
25
，
4
17
5
．
又
x
为整数，且满足
17
1
x
x
，
4
x
，
把
4
x
代入
2y
x
得，
2
y
．
当
2
y 时，
3
4
3
2
2
0
x
y
，不符合题意，舍去，
当
2
y
时，
3
4
3 2
10
0
x
y
，符合题意，
3
10
x
y
．
【例6】已知2
6
a
的算术平方根是4，5a
b
的立方根是3，c 是19 的整数部分，求3a
b
c
的平方根．
【答案】3
【详解】解：
2
6
a
的算术平方根是4，
2
2
6
4
16
a
，
解得
5
a
，
5a
b
的立方根是3，
3
5
3
27
a
b
，
将
5
a
代入得5 5
27
b
，解得
2
b
，
16
19
25
，
4
19
5
，
4
c
，
将
5,
2,
4
a
b
c
代入3a
b
c
，得3 5
2
4
9
，
3a
b
c
的平方根为
9
3
．
【变式3-1】观察下面表格：
x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
2
x
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
根据上表回答问题：
270 的整数部分为a ，求4a
的立方根_________．
【答案】4
【详解】解：由表格可得，
2
16.4
268.96
，
2
16.5
272.25
，
268.96
270
272.25
16.4
270
16.5
270
的整数部分为a
16
a
4
4 16
64
a
3
( 4)
64
64
的立方根为4
，即4a
的立方根为4
．
【变式3-2】已知2
1
a 的平方根是3
± ，25
b
的立方根是3，m 是a
b
的算术平方根．
(1)求a，b，m 的值；
(2)若m 的整数部分是x，小数部分是y，求x
y
的值．
【答案】(1)
5
a
，
2
b
，
7
m
(2) 7
【分析】
【详解】（1）解：∵2
1
a 的平方根是3
± ，
∴2
1
9
a
，
解得：
5
a
，
∵25
b
的立方根是3，
∴25
27
b
．
解得：
2
b
，
2
5
7
a
b
．
∵m 是a
b
的算术平方根，
5
2
7
m
a
b
．
（2）解：∵2
7
3
，
∵
7
m
，m 的整数部分是x，小数部分是y，
∴
2
x
，
7
2
y
，
∴
2
7
2
7
x
y
．
【变式3-3】已知2
1
a 的平方根是3
± ，3
9
a
b
的立方根是2．
(1)求4a
b
的值．
(2)若
4a
b
的小数部分是x，
71 的整数部分是y，求
5
4
x
y
a
b
的算术平方根．
【答案】(1)18；
(2)6
【分析】
【详解】（1）解：∵2
1
a 的平方根是3
± ，
∴2
1
9
a
解得
5
a
，
∵3
9
a
b
的立方根是2，
∴3
9
8
a
b
解得
2
b
，
∴4
18
a
b
；
（2）解：由（1）知4
18
a
b
，
∴
4
18
a
b
．
∵4
18
5
，
∴
18
4
x
，
∵8
71
9
，
∴
8
y
，
∴
5
4
18
4
40
18
36
x
y
a
b
，
∵
2
6
36
，
∴
5
4
x
y
a
b
的算术平方根是6．
题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题
【例7】已知
1
1
1
2
2
；
2
2
2
2
5
5
；
3
3
3
3
10
10
；
4
4
4
4
17
17
；；按此规律，若
6
6
a
a
b
b
（a ，b 为正整数），则
2026
6a
b
的值为（
）
A．1
B．1
C．2026
D．2026
【答案】A
【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数n ，有
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
，
对比
6
6
a
a
b
b
，可得
6
a
，
2
1
b
a
，
∵
6
a
，
∴
2
6
1
37
b
，
∴6
6 6
37
1
a
b
，
∴
2026
2026
(6
)
( 1)
1
a
b
．
【例8】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动，
【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律，
第1 个等式：
3
1
1
4
2
；第2 个等式：
5
2
1
9
3
；第3 个等式：
7
3
1 16
4
；第4 个等式：
9
4
1
25
5
；……
(1)【规律发现】
19
1 100
_____；
(2)用含字母n 的式子表示第n 个等式：______（
1
n 且n 为整数）；
(3)【规律应用】计算：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225
______；
(4)若
2
4049
1
x
n
符合上述规律，则x 的值为______．
【答案】(1) 9
10
(2)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
(3) 1
15
(4) 2024
2025
【分析】
【详解】（1）解：
19
9
1 100
10
；
（2）解：第1 个等式：
2
3
2 2 1
1
1
1
4
2
2
；
第2 个等式：
2
5
2 3 1
2
1
1
9
3
3
；
第3 个等式：
2
7
2 4 1
3
1
1
16
4
4
；
第4 个等式：
2
9
2 5 1
4
1
1
25
5
5
；
……，
第n 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
；
（3）解：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225
1
2
3
4
14
2
3
4
5
15
1
15
；
（4）解：∵
2
4049
1
x
n
，
∴
2
2
4049
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
，
即2
1
4049
n
，
解得
2025
n
，
∴
2025 1
2024
2025
2025
x
．
【变式4-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．
已知1
1
，则100
10
，10000
100
；已知
9
3
，则900
30
，90000
300
；
已知3 1
1
，则3 1000
10
，3 1000000
100
；已知3 8
2
，则3 8000
20
，3 8000000
200
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a
，那么100a ；若3
1.2
b
，那么3 1000000b ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值．
【答案】(1)25；120
(2)①144；②120
【分析】
【详解】（1）解：由题意得，若
2.5
a
，那么100
25
a
；
若3
1.2
b
，那么3 1000000
120
b
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
，
∴
3
8
4
64
x
y
，
∴
72
x
y
，
∴
2
144
x
y
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C
，
∵
144
12
C
，
∴
14400
120
C
．
【变式4-2】先阅读，再解决问题：
在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：
2
2
1
1
1
3
1
1 1
1
2
2
2
；
2
2
1
1
1
1
7
1
1
2
3
2
3
6
；
2
2
1
1
1
1
13
1
1
3
4
3
4
12
(1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：
2
2
1
1
1 13
14
________________；
(2)运用以上你发现的规律计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
．
【答案】(1)
1
1
1
13
14
，183
182
(2)
99
99100
【分析】
【详解】（1）解：根据题意，
2
2
1
1
1
1
183
1
1
13
14
13
14
182
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
1
1
1
1
1
1
1
1 1 99
2
2
3
3
4
99
100
1
100
100
99
99100
．
【变式4-3】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数
是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．
【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319 的？
【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？
【分析问题】
因为
3
10
1000
，
3
100
1000000
，
所以3 59319 是两位数．
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3x
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
3x 的
个位
数字
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
由上表，因为59319 的个位数字是9，所以3 59319 的个位数字是9．
因为
3
30
27000
，
3
40
64000
．所以
3
3
30
59319
40
，即3 59319 的十位数字是3．故3 59319
39
．
【解决问题】阅读上面材料回答问题：
(1)已知103823 是整数的立方，计算3 103823 ___________；
(2)已知7921 是整数的平方，求
7921 的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由．
【答案】(1)47
(2)
7921
89
，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：因为
3
10
1000
，
3
100
1000000
，且
0
1000
103823
100000
，所以3 103823是两位数；
因为103823 的个位数字是3，所以3 103823的个位数字是7，
因为
3
40
64000
，
3
50
125000
，且64000
103823
125000
，
∴3 103823的十位数字是4．
因此3 103823
47
；
（2）解：因为
2
10
100
，
2
100
10000
，
所以
7921 是两位数；
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
x
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
2
x 的
个位
数字
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
由上表，因为7921 的个位数字是1，所以
7921 的个位数字是1 或9，
因为
2
2
8
79
9
，即
2
2
80
7921
90
，所以
7921 的十位数字是8，
故
7921的值可能是81 或89，
∵
2
85
7225
，7921
7225
，
∴
7921
85
，
所以
7921
89
．
题型五、利用平方根、立方根解方程
【例9】求下列各式中x 的值：
(1)
2
4
1
49
x
；
(2)
3
3
1
64
0
x
．
【答案】(1)
5
2
x
或
9
2
x
(2)
1
x
【详解】（1）解：
2
4
1
49
x
，
两边同除以4 得：
2
49
1
4
x
，
开平方得：
7
1
2
x
，
解得：
5
2
x
或
9
2
x
；
（2）解：
3
3
1
64
0
x
，
移项得：
3
3
1
64
x
，
开立方得：3
1
4
x ，
解得：
1
x ．
【例10】求x 的值：
(1)
2
2
1
169
0
x
；
(2)
3
125
2
343
x
．
【答案】(1)
1
7
x
,
2
6
x
(2)
3
5
x
【分析】
【详解】（1）解：
2
2
1
169
0
x
，
2
2
1
169
x
，
∵
2
13
169
，
∴2
1 13
x
或2
1
13
x
，
解得，
1
2
7,
6
x
x
；
（2）解：
3
125
2
343
x
，
3
343
2
125
x
，
∵
3
7
343
5
125
，
∴
7
2
5
x
，
解得，
3
5
x
．
【变式5-1】求下列各式中x 的值：
(1)
3
1
27
0
x
；
(2)
2
9
1
16
x
．
【答案】(1)
2
x
(2)
7
3
x
或
1
3
x = -
【详解】（1）解：
3
1
27
0
x
3
1
27
x
1
3
x
解得
2
x ；
（2）解：
2
9
1
16
x
2
16
1
9
x
4
1
3
x
解得
7
3
x
或
1
3
x = -
．
【变式5-2】求下列各式中x 的值．
(1)
2
1
4
0
x
；
(2)
3
8
27
x
．
【答案】(1)
3
x
或
1
x ；
(2)
3
2
x
．
【分析】
【详解】（1）解：
2
1
4
0
x
，
2
1
4
x
，
1
2
x，
1
2
x
或
1
2
x ，
∴
3
x
或
1
x ；
（2）解：
3
8
27
x
，
3
27
8
x
，
3
27
8
x
，
∴
3
2
x
．
【变式5-3】已知正数x 的两个不相等的平方根为m 和m
n
．
(1)当
8
n
时，求x 的值；
(2)若
2
2
(
)
32
m x
m
n
x
，求x 的值．
【答案】(1)
16
x
；
(2)
4
x
．
【详解】（1）解：∵m 和m
n
是正数x 的两个不相等的平方根，
∴
0
m
m
n
．
当
8
n
时，
4
m ．
∴
2
( 4)
16
x
．
（2）解：∵m 和m
n
是正数x 的两个不相等的平方根，
∴
2
2
(
)
m
m
n
x
．
由题意可得，
2
2
32
x
x
．
解得
4
x ．
∵
0
x
，
∴
4
x
．
题型六、平方根与立方根综合计算题型
【例11】如果
2
5
a
m
a
是
5
a 的算术平方根，
2
3
2
a
b
n
a
b
是
2
a
b
的立方根，求m
n
的平方根．
【答案】1
【分析】
【详解】解：由题意，得
2
2
a
，
4
a
．
2
3
3
a
b
，
解得
2
b
，
4
5
3
m
，
3 4
2 2
2
n
，
1
m
n
．
2
( 1)
1
，
m
n
的平方根为1
．
【例12】已知2
5
m
的立方根为3，
3
m
n
的算术平方根为4．
(1)求m，n 的值；
(2)若a 和b 是连续的整数，且a
m
n
b
，求
a
b
的值
【答案】(1)
16
m
，
3
n
(2) 1
【分析】
【详解】（1）∵2
5
m
的立方根为3，
3
m
n
的算术平方根为4，
∴
2
5
27,
3
16,
m
m
n
，解得，
16,
3.
m
n
（2）∵
16
m
，
3
n ，
∴
4
3
m
n
．
∵1
3
2
，
∴5
4
3
6
．
∵a 和b 是连续的整数，且a
m
n
b
，
∴
5
a
，
6
b
，
∴
1
a
b
．
【变式6-1】已知
2
5
7
x y
a
x
y
是2
5
7
x
y
的算术平方根，
2
3 5
42
x
y
b
x
y
是5
42
x
y
的立方根，试求b
a
的
立方根．
【答案】
3 9
【分析】
【详解】解：由题意得
2
2
3
3
x
y
x
y
，
解得
4
2
x
y
，
∴
2 4
5 2
7
25
5
a
，
3
3
5 4
42 2
64
4
b
∴
4
5
9
b
a
，
∴b
a
的立方根为：
3 9
．
【变式6-2】若实数a ，b 满足3
0
a
b
，请按要求解答下列问题：
(1)若a ，b 都是整数，请写出两对符合条件的a ，b 的值．
(2)若a ，b 都是分数，请写出一对符合条件的a ，b 的值．
【答案】(1)
27
a
，
9
b
或
8
4
a
b
，
（答案不唯一）
(2)
1
8
a
，
1
4
b
（答案不唯一）
【分析】
【详解】（1）解：当
27
a
时，则3
27
3
，
9
b
，则
9
3
，
则3
27
9
3
3
0
符合题意，
当
8
a 时，则3
8
2
，
4
b
，则
4
2
，
则3
8
4
2
2
0
符合题意，
故
27
a
，
9
b
或
8
4
a
b
，
（答案不唯一）
（2）解：当
1
8
a
时，则3
1
1
8
2
，
1
4
b
，则
1
1
4
2
，
则3
1
1
1
1
0
8
4
2
2
符合题意，
故
1
8
a
，
1
4
b
（答案不唯一）
【变式6-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、
五次方根的定义．
比如：若
2
0
x
a a
，则x 叫a 的二次方根：
若
3x
a
，则x 叫a 的三次方根；
若
4
0
x
a a
，则x 叫a 的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；32
的五次方根为_____；
(2)若4
1
a 有意义，则a 的取值范围是______；若3 a 有意义，则a 的取值范围是_____
(3)求x 的值：
4
1 2
4
8
0
2
x
．
【答案】(1) 2
(2)
1,
a
a
为任意实数
(3)
3
x
或
1
x
【分析】
【详解】（1）解：5
32
2
；
故答案为：2
；
（2）解：∵
1
a 是一个数的四次方，
1
0
a
，
1
a
，
∴若4
1
a 有意义，则a 的取值范围是
1
a ；
∵3 a 中a 是一个数的三次方，
∴a 为任意实数．
故答案为：
1,
a
a
为任意实数；
（3）解：
4
1 2
4
8
0
2
x
，
4
1 (2
4)
8
2
x
，
4
(2
4)
16
x
，
4
2
4
16
2
x
，
2
4
2
x
或2
4
2
x
，
3
x
或
1
x ．
题型七、平方根与立方根的实际应用
【例13】亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1 亩
666.67
平方米．根据下列表格中的数据，面积为1
亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（
）米
x
25.79
25.80
25.81
25.82
25.83
x²
665.1241
665.6400
666.1561
666.6724
667.1889
A．25.79 ~ 25.80 B．25.80 ~ 25.81
C．25.81~ 25.82
D．25.82
25.83
【答案】C
【详解】解：面积为1 亩的正方形面积约为666.67 平方米，
设正方形边长为x ，则正方形面积为
2
x ，
由表格可知：当
25.81
x
时，
2
666.1561
x
，
当
25.82
x
时，
2
666.6724
x
，
∵666.1561
666.67
666.6724
，
∴25.81
25.82
x
，
即边长范围是25.81~ 25.82 ．
【例14】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为8 2 cm ，宽为4 7 cm 的矩形布料
裁剪出一块面积为
2
81cm 的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（π取3）
【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料
【详解】解：设圆形布料的半径为r ，直径为d ，
则
2
π
81
S
r
，
81
27
3 3 cm
r
，
2
6 3
108 cm
d
r
，
8 2
128
6 3
，4 7
112
6 3
，
小志能裁剪出他需要的圆形布料．
【变式7-1】已知一个正方体的体积是
3
729cm ，现要在它的8 个角上分别截去1 个大小相同的小正方体，截去小正
方体后余下部分的体积恰好是
3
665cm ，则截去的每个小正方体的棱长是（
）
A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm
【答案】C
【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm
x
，
由题意得：
3
729
8
665
x
，
整理得：
3
8
x
，
解得：
2
x
，
截去的每个小正方体的棱长是2cm ，
【变式7-2】物体自由下落的高度h （单位：m ）与下落时间t （单位：s ）的关系：在地球上约为
2
4.9
h
t
，在月
球上约为
2
0.8
h
t
．
(1)物体从地球上离地面90 m 的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
【答案】(1) 30
7
(2)物体在地球上自由下落得更快
【分析】
【详解】（1）解：在
2
4.9
h
t
中，当
90
h
时，
2
90
4.9t
，
2
900
49
t
，
解得
900
30
49
7
t
（负值已舍去）．
（2）解：设下降的距离都为
m
n
，（
0
n
），
在
2
0.8
h
t
中，
2
0.8
n
t
，
2
5
0.8
4
n
n
t
，
解得
5
4
n
t
（负值已舍去）．
在
2
4.9
h
t
中，
2
4.9
n
t
，
2
10
4.9
49
n
n
t
，
解得
10
49
n
t
（负值已舍去）．
5
10
4
49
n
n
，
物体在地球上自由下落得更快．
【变式7-3】“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为
2
900cm 的
正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为4:3，裁出的长方形的面积能是
2
768cm 吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为
3
216cm ，求该正方体的表面
积．
【答案】(1)30cm
(2)
解：裁出的长方形的面积不能为
2
768cm ，理由如下：
设裁出的长方形的长为4 cm
y
，宽为3 cm
y
．
根据题意，得3
4
768
y
y
，
解得
8
y
或
8
y （舍去），
∵4
32
30
y
，
∴裁出的长方形的面积不能为
2
768cm ；
(3)
2
216cm
【分析】
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为cm
x
．
根据题意，得
2
900
x
，
解得
30
x
或
30
x
（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为30cm．
（2）略
（3）解：∵正方体的体积为
3
216cm ，
∴该正方体的棱长为
3 216
6 cm
，
∴该正方体的表面积为
2
6 6 6
216 cm
．
三角形中的倒角模型之双角平分线模型
【模型运用】
【典例1】（25-26 八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在
中，
、
的平分线
，
相交于点
，
若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出
的值．
【详解】解：由题意可知：
，
∵在
中，
、
的平分线是
，
，
∴
，
∴
．
故选：B．
【典例2】（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，
是
的平分线，
是
的平分线，
与
交于
若
，
，则
的度数为______．
【答案】
/60 度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接
，求出
，继而求出
，得到
，求出
．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
，
，
是
的平分线，
是
的平分线，
，
，
，
，
故答案为：
．
【典例3】（25-26 七年级下·江苏泰州·期中）如图，
是
的平分线，
是
的平分线，
与
交于G，若
，
，则
为__________．
【答案】
/80 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和的应用，首先连接
，根据三角形的内角和定理，求出
，∠
1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出
，再根据
是
的平分线，
是
的平分线，判断出
；最后根据三角形的内角和定理，用
即可求出∠A 的度数．
【详解】解：如图所示，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是
的平分线，
是
的平分线，
∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【典例4】
（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
中，
与
的平分线交于点
与
的平分线交于
……依次类推，
与
角平分线交于点
，则
的度数为__________
【答案】
【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出
，
，以此类推
，
，的度数，依次类推即可求得
的度数了．本题考查了三角形内角和定理，
角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
【详解】解：
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
同理可得
，
，
，
，
，
故答案为
．
【典例5】（24-25 八年级上·贵州黔南·期中）问题情境：
如图1，在
中，
和
的平分线交于点
．
(1)探索发现：
若
，则
的度数为________；若
，则
的度数为________．
(2)猜想证明：
猜想
与
之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：
如图2，在
中，
和
的平分线交于点
，
和
的平分线交于点
，直接写出
与
之间的数量关系．
【答案】(1)
，
(2)
，理由如下：
分别平分
，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，
（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可；
（2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可；
（3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可；
熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵
，
，
的平分线与
的平分线相交于点
，
，
，
，
，
∵
，
，
的平分线与
的平分线相交于点
，
，
，
，
，
故答案为：
，
；
（2）略
（3）
平分
平分
，
，
，
同理可得，
，
∴
．
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
【模型运用】
【典例1】（25-26 七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形
中，
和
的平分线
相交于点F，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，先运用四边形内角和得出
，因为角平分线
的定义得
，
，则
，最后运用三角形内角和进
行列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
在四边形
中，
，
∴
，
∵
和
的平分线
相交于点F，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
中，则
，
故选：B．
【典例2】（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，
，E 是线段
上一点，连接
，
的平分线
与
的平分线交于点F．已知
，则
的度数为________．
【答案】
/60 度
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线
的性质求解角的关系是解题的关键．
过点F 作
，根据平行线的性质可得
，可得
，
由角平分线的定义结合
得
，
，再根据平行线的性质得
，
最后利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：过点F 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
的平分线与
的平分线交于点F．
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【典例3】（24-25 八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在
中，
，
的平分线
，
交于点
，
为
的外角
的平分线，
的延长线交
于点
，
，则
的大小为______
【答案】
【分析】先证明
，
，再结合三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是证明
，
解答．
【详解】解：
，
的平分线
，
交于点
，
，
为
的外角
的平分线，
，
，
，
；
故答案为：
．
【典例4】（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，在
中，
，
的平分线与
的平分线交
于点
，得
，
的平分线与
的平分线交于点
，得
，……，
的平分线与
的
平分线交于点
，得
，则
=_________．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
根据角平分线的定义可得∠A1CD＝
∠ACD，∠A1BC＝
∠ABC，然后整理即可得到∠A1＝
∠A；同理可发现规
律，按照规律求出
即可．
【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC 的角平分线与∠ACE 的外角平分线交于D，
∴2∠A1CD＝∠ACD，2∠A1BC＝∠ABC，
∴∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BC＝2（∠A1CD﹣∠A1BC）＝2∠A1；
∴∠A1＝
，
同理可得：
∠A2＝
∠A1＝
；
∠A3＝
∠A2＝
；
∠A4＝
∠A3＝
；
…∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【典例5】（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在
中，点
在
上，过点
作
，交
于点
，
平分
，交
的平分线于点
，
与
相交于点
，
的平分线
与
的延长线
相交于点
．
(1)若
，
，求
与
；
(2)若
时，则
____________，
____________．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导
角度关系．
（1）先根据三角形内角和求出
，再利用平行线性质得到
，结合角平分线求出相关角，进而求出
和
；
（2）先根据三角形内角和求出
，再利用平行线性质得到
，结合角平分线求出相关角，进而求出
和
．
【详解】（1）解：
，
，
，
平分
，
，
，
，
．
平分
，
，
；
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，即
，
；
；
；
（2）
，
，
，
，
．
平分
，
平分
，
，
，
，
，
由（1）可知
不变，
；
，
；
故答案为：
，
．
模型3.双角平分线模型（两外角）
【模型运用】
【典例1】（25-26 八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，
，
是射线
上一定点，
是射线
上一动
点，
和
的平分线
，
交于点
，则
的度数为（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，正确识别图形，并能理解
角与角之间的数量关系．
先根据已知条件和三角形内角和定理求出
度数，再利用角平分线的性质证明
，
，从而求出
的度数，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】
，
，
，
平分
和
，
，
，
，
，
；
故选
．
【典例2】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，
平分
交
于点E，
，M、N 分别是
延长线上的点，
和
的平分线交于点F，
的度数为
（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了平角定义，角平分线定义，三角形内角和定理，
根据平角定义求出
在，再根据角平分线定义求出
，然后根据三角形内角和定理得
，即可得
，最后根据三角形内角和定理得出答案.
【详解】解：∵
，
，
∴
．
∵
和
平分线交于点F，
∴
．
∵
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：B．
【典例3】（25-26 八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知
的外角
和外角
的平分线相交于点D，
如果
，那么
_____．
【答案】
/71 度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得
，求出
，再由角平分线的定义可得
，最后再由三角形内角和定理计算即可得
出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
的外角
和外角
的平分线相交于点D，
∴
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【典例4】（25-26 七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3 所示，在
中，
与
的平分线相交于
点
．
(1)如图1 所示，若
，
，则
的度数为．
(2)如图1 所示，如果
，求
的度数；
(3)如图2 所示，作
外角
，
的平分线交于点
，试探索
，
之间的数量关系；
(4)如图3 所示，延长线段
，
交于点
，在
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，请写出
的
度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
或
或
或
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出
和
，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把
和
用
和
表示出来，再利用
表示出来，最后
利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出
和
，再利用三角形内角和定理进行计算；
小学
初中
（4）根据已知条件求出
的度数，然后由（3）求出的
，利用三角形内角和求出
，再分4 种情况讨论，
求出
的度数．
【详解】（1）解：
分别是
和
的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：
分别是
和
的角平分线，
，
，
；
（3）解：
分别是
的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：
是
的角平分线，
是
的角平分线，
，
，
，
，
由（3）知
，
，
，
∵在
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，
，
都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①
，
，
，
；
②
，
，
；
③
，
，
，
，
④
，
，
解之得：
，
综上可知：
的度数为
或
或
或
．
【典例5】（25-26 八年级上·湖北·期中）如图，
，
分别是
，
的平分线，
，
分别是
，
的平分线．
(1)填空：当
，
时，
，
；
(2)当
时，求
，
的度数；
(3)请你猜想，当
的大小变化时，
的值是否变化？请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
；
(3)
当
的大小变化时，
的值不变化，理由如下：
由（2）可知：
，
，
，
当
的大小变化时，
的值不变化．
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．
（1）先根据已知条件求出
和
，再根据角平分线的定义，求出
，
，
，
，最
后利用三角形的内角和定理求出答案；
（2）先根据已知条件求出
，
，再根据角平分线的性质求出
和
，最后利用三角形的内角和定理求出答案；
（3）由（2）把
和
都用
表示出来，然后求出
即可判断．
【详解】（1）解：（1）
，
，
，
，
，
分别是
，
的平分线，
，
分别是
，
的平分线，
，
，
，
；
故答案为：
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
分别是
，
的平分线，
，
分别是
，
的平分线，
，
，
，
，
，
；
（3）略
