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5.2 认识函数
（第1 课时 函数的基本概念）
题型一：通过图象判断是否为函数
1．(25-26 八上·陕西西安高新第二学校·月考)下列图象中，表示y 是x 的函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的定义，正确理解函数的定义是解题的关键．函数的定义是对于两个变量x和
y，如果给定一个x值，都有唯一的一个y值和它对应，则称y是x的函数．根据函数的定义分别对各选项中的
图象任取一个x值，看是否有唯一的一个y值与它对应，依次进行判断即可
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【详解】解：A、对于任意一个x值不是有唯一的一个y值与其对应，故y不是x的函数，本选项不符合题意；
B、对于任意一个x值有唯一的一个y值与其对应，故y是x的函数，本选项符合题意；
C、对于任意一个x值不是有唯一的一个y值与其对应，故y不是x的函数，本选项不符合题意；
D、对于任意一个x值不是有唯一的一个y值与其对应，故y不是x的函数，本选项不符合题意．
故选：B．
2．(25-26 八上·陕西西安碑林区翱翔中学·月考)下列图像中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x 的
每一个值，y 都有唯一的值和它对应，判断即可．
【详解】解： A、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故此选
项不符合题意；
B、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故此选项不符合题意；
C、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故此选项不符合题意；
D、对于自变量x的一个值，y 有两个值与之对应，所以不能表示y 是x 的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
3．(25-26 八上·安徽利辛县部分学校·月考)下列图像中，不能表示y是x的函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
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根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x 和y，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的
值与它对应，则称y 是x 的函数，其中x 是自变量”,据此逐项判断即可．
【详解】解：根据函数的定义，选项B、C、D 中y 是x 的函数，A 中y 不是x 的函数，
∴B、C、D 不符合题意， A 符合题意．
故选：A．
4．(25-26 八上·安徽淮北五校·期中)下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯
一确定的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，据此进行判断即可.
【详解】解：A、从图象上看，对于x 的每一个确定的值，y 有唯一确定的值与其对应，y 是x 的函数，故A
符合题意；
B、从图象上看，对于x 的每一个确定的值，y 可能有多个值与其对应，y 不是x 的函数，故B 不符合题意；
C、从图象上看，对于x 的每一个确定的值，y 可能有两个值与其对应，y 不是x 的函数，故C 不符合题意；
D、从图象上看，对于x 的每一个确定的值，y 可能有两个值与其对应，y 不是x 的函数，故D 不符合题意.
故选：A.
5．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的定义，解题的关键是掌握函数的定义：对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确
定的值与之对应．
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根据函数的定义，判断每个选项中对于x 的每一个确定的值，y 是否都有唯一确定的值与之对应．
【详解】解：A、存在一个x 值，对应多个y 值，不满足函数定义中“对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一
确定的值与之对应”，所以y 不是x 的函数；
B、存在一个x 值，对应多个y 值，不满足函数定义，所以y 不是x 的函数；
C、存在一个x 值，对应多个y 值，不满足函数定义，所以y 不是x 的函数；
D、对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，所以y 是x 的函数．
故选：D．
6．(25-26 八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义：如
果有两个变量x 和y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么y 是x 的函数，
据此逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
B、对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
C、对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
D、存在x 使得y 有两个值与之对应，故y 不是x 的函数，符合题意；
故选：D．
7．(24-25 八下·湖北武汉部分学校·期中)下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对
于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．根
据函数定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；
B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；
C、对于x的每一个确定的值，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；
D、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意．
故选：C．
题型二：通过叙述判断是否为函数
1．下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（ ）
A．人的身高与年龄
B．光照时间与果树产量
C．三角形的底边长与面积
D．速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间
【答案】D
【分析】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键．
在一个变化过程中，存在两个变量x,y, 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，我们就说：y是
x的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：人的身高与年龄，不符合函数定义，故A 不符合题意；
光照时间与果树产量，不符合函数定义，故B 不符合题意；
三角形的底边长与面积，不符合函数定义，故C 不符合题意；
速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间，符合函数定义，故D 符合题意；
故选：D．
2．下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（ ）
A．x和y是变量，y=±2√x
B．人的身高与年龄
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C．三角形的底边长与面积
D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间
【答案】D
【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：对于任意的x>0，一个x 的值，有两个y 的值与之对应，不符合函数定义；
B：人的身高与年龄之间没有一个确定的关系，故不存在函数关系；
C：三角形的面积公式为：面积=
1
2 ×底×高，即面积还与高有关，故三角形的底边长与面积不存在函数关系；
D：路程=速度×时间，速度一定，则对于给定的任意一个时间，均有且仅有一个确定的路程与之对应，这符
合函数关系的定义．
故选：D．
3．乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱
形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的
有（ ）
①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水
面高度满足函数关系．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】该题考查了常量、变量和函数的定义，根据题意解答即可．
【详解】解：常量是瓶子的高度，变量是石子的数量和瓶中水面高度，
自变量是石子的数量，因变量是瓶中水面高度，
随着石子数量的增加，瓶中水面高度也增加，故乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系，
故①正确；②错误；③正确；④正确．
正确的是①③④，共3 个，
故选：C．
4．下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．x+2与x 的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．
根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其
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对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意；
B、x+2随x 的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（ ）
A．人的身高与体重
B．某地一天的气温与时间
C．存款在银行中产生的利息与时间
D．正方形的周长与面积
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯
一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有
唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之
对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意；
B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意；
C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意；
D、正方形的面积等于(
1
4 ×周长)
2
，是函数关系，故选项不合题意；
故选：A．
6．(24-25 八下·河南南阳邓州·期末)下列四个选项中，说法不正确的是（ ）
A．在匀速运动公式s=vt中，s 是t 的函数，v 是常量
B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数
C．在圆的周长公式C=2πr中，2 是常量，π，r，C 均为变量
D．一种金属，其质量是体积的函数
【答案】C
【分析】本题考查函数概念及常量与变量的判断，根据各选项的描述逐一分析即可．
【详解】解：A． 在匀速运动公式s=vt中，速度v是固定值，为常量；路程s随时间t变化，故s是t的函数．说
法正确．
B． 根据反射定律，反射角β恒等于入射角α，即β=α，每个α对应唯一的β，因此β是α的函数．说法正确．
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C． 在圆的周长公式C=2πr中，半径r和周长C是变量，而2 和π均为固定常数，因此π是常量而非变量．原说
法错误．
D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确．
综上，不正确的选项为C．
故选：C
7．(24-25 八下·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)下列情景中，可以表示y 是x 的函数的是（ ）
①某天的气温y(℃)与时间x（时）的关系．
②正方形的面积y(cm2)与边长x(cm)的关系．
③数轴上一个点的坐标y 与这个点到原点的距离x 的关系．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键．
①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边
长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③|y|=x，即
当一个点不与原点重合时，对于x 的每一个值，y 均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义．
【详解】解：根据函数的定义，某天的气温y(℃)与时间x（时）的关系可以表示y 是x 的函数，故①符合
题意；
正方形的面积y(cm2)与边长x(cm)的关系可以表示y 是x 的函数，故②符合题意；
数轴上一个点的坐标y 与这个点到原点的距离x 的关系不能表示y 是x 的函数，故③不符合题意．
综上，表示y 是x 的函数的是①②．
故选：A．
8．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和y，其中y 不是x 的函数的是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
【答案】D
【分析】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键．根据函数的定义（在一个变化过程
中，如果有两个变量x 和y，并且对于x 的么一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函
数）解决此题．
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【详解】解：A．若y 为正方形的面积，x 为正方形的周长，则y= (
x
4)
2
=
x2
16，故y 是x 的函数，A 不符合题意．
B．y 表示正方形的周长，x 表示正方形的边长，则y=4x，故y 是x 的函数，B 不符合题意．
C．y 表示圆的面积，x 表示圆的直径，则y= (
x
2)
2
=
1
4 x2，故y 是x 的函数，C 不符合题意．
D．y 表示一个正数的平方根，x 表示这个正数，那么y=±√x，故y 不是x 的函数，D 符合题意．
故选：D．
题型三：通过解析式判断是否为函数
1．有以下关于x,y的等式：（1）x+2y=0；（2）x2+y2=2；（3）x=|y|；（4）xy=1，其中y是x的函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键．
函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值
与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，根据函数的概念分析即可．
【详解】解：（1）x+2y=0，则y=−
1
2 x，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，y是x的函
数；
（2）x2+y2=2，对于x 的每一个确定的值，y 的值不唯，y不是x的函数；
（3）x=|y|，对于x 的每一个确定的值，y 的值不唯，y不是x的函数；
（4）xy=1，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数；
综上所述，y是x的函数的有（1），（4），共2 个，
故选：B ．
2．下列函数关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=−x
B．|y|=2x
C．y=2|x|
D．y=2x2+4
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的概念，解题的关键是准确掌握函数的概念．
根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案．
【详解】解：A. y=−x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意；
B. |y|=2x对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意；
C. y=2|x|对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意；
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D. y=2x2+4对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．(24-25 八下·河南南阳桐柏县方树泉教育集团·月考)下列四个关系式：①y=|x|；②|y|=x；③2x2−y=0；
④2x−y2=0，其中y 是x 的函数的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的
值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的
每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①y=|x|；③2x2−y=0当x取值时，y有唯一的值对应；
即y 是x 的函数的是①③，
故选：C．
4．(24-25 八下·湖南衡阳船山实验中学·月考)下列中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．y=x2
B．xy=1
C．y=|x|
D．±y=x
【答案】D
【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量x,y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定
的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．据此进行判断即可．
【详解】解：A．y=x2，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，此项不符合题意；
B．xy=1，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，此项不符合题意；
C．y=|x|，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，此项不符合题意；
D．±y=x，对于x的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应，y不是x的函数，此项符合题意．
故选：D．
5．(24-25 八下·天津滨海新区六中集团·期中)下列四个选项中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．y=2x−7
B．y=
2
x
C．y=x2
D．y=±x
【答案】D
【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一
个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即
单对应，掌握函数的概念是解题的关键．
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根据函数的概念分析即可．
【详解】解：A．y=2x−7，y 是x 的函数，故该选项不符合题意；
B．y=
2
x，y 是x 的函数，故该选项不符合题意；
C．y=x2，y 是x 的函数，故该选项不符合题意；
D．y=±x，给定一个自变量x 的值，有两个函数值与之对应，y 不是x 的函数，故该选项符合题意；
故选：D．
6．(24-25 八下·河南焦作·月考)下列关系式中，y是x的函数的是（ ）
A．y=c（c为常数）
B．y=−2x−1
C．y=ax+b（a，b为常数）
D．y=1
【答案】B
【分析】本题考查了函数的定义，根据对于每一个自变量x的值，都有唯一确定的因变量y值与之对应，判
断即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：根据函数的定义可得，y是x的函数的是y=−2x−1，
故选：B．
7．(24-25 八下·北京第四中学·期末)下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=3x+1
B．y=
1
2x
C．y2=x
D．y=x2−3
【答案】C
【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取
值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
根据函数的定义，对于每个x 的取值，y 必须有唯一确定的值与之对应．逐一分析各选项是否符合该定义．
【详解】解：A． y=3x+1：对于任意x，代入计算后y 的值唯一，是函数．
B． y=
1
2x：当x≠0 时，每个x 对应唯一的y 值，是函数．
C． y2=x：当x>0 时，y 可解得y=√x或y=−√x，即一个x 对应两个y 值，不满足函数定义．
D． y=x2−3：对于任意x，代入计算后y 的值唯一，是函数．
故选：C．
8．(23-24 八上·广东河源第一学期龙川第一实验学校·期中)下列关系式中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．y=x4
B．y=6x2+5
C．|y|=x
D．y=−x
【答案】C
【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解本题的关键．
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根据函数的定义，对于每个自变量x 的值，因变量y 必须有唯一确定的值与之对应．
【详解】A.y=x4：对于任意x，计算x 的四次方得到唯一的y，符合函数定义；
B.y=6x2+5：对于任意x，代入后y 值唯一，符合函数定义；
C.|y|=x：当x>0时，y 可以是x 或−x，即一个x 对应两个y 值，不满足函数定义中“唯一对应”的要求；
D.y=−x：对于任意x，y 由唯一确定，符合函数定义；
故选：C．
9．(24-25 八下·河南商丘·期末)下列关系式中：①y=
1
2 x；②y=x2；③y2=x(x≥0)；④y=√x(x≥0)；⑤|y|=x(x≥0)；
⑥y=|x|，其中y 是x 的函数的有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【分析】本题考查函数的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据函数的定义，对于每个x 值，都有唯一的y 值对应．逐一判断各关系式是否满足该条件．
【详解】解： ①y=
1
2 x：每个x 对应唯一y，是函数．
②y=x2：每个x 对应唯一y，是函数．
③y2=x(x≥0)：解为 y=±√x，一个x 对应两个y，不是函数．
④y=√x(x≥0)：平方根仅取非负值，每个x 对应唯一y，是函数．
⑤|y|=x(x≥0)：解为 y=±x，一个x 对应两个y，不是函数．
⑥y=|x|：每个x 对应唯一y，是函数．
∴y 是x 的函数的有①②④⑥。
故选：B．
题型四：求自变量的取值范围
1．(25-26 八上·江苏苏州高新区第二中学·期中)以等腰三角形一个底角的度数x 为自变量，顶角的度数y 为
x 的函数，则它的解析式为y=180−2x，其中x 的取值范围为（ ）
A．x>0
B．x<90
C．0<x<90
D．0<x≤90
【答案】C
【分析】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．
根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．
【详解】解：y=180−2x，
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∵ {−2x+180>0
x>0
，
∵x为底角度数，
∴0<x<90．
故选C．
2．已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长表示为ycm，腰长表示为xcm，x、y的关系式是y=10−2x，则其
自变量x 的取值范围是（ ）
A．0<x<5
B．2.5<x<5
C．一切实数
D．x>0
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解
题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：
{ 10−2x>0
2x>10−2x
，
解得：2.5<x<5．
故选：B．
3．(2025 九·湖北省黄石市·调研)函数y=
1
x−1 −√2−x
3
的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≥2
C．x≠1且x≠2
D．x≤2且x≠1
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，立方根的定义；由于正数、0、负数均有
立方根，所以只根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：依题意，x−1≠0，
∴x≠1．
故选A．
4．(25-26 九上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·月考)函数y=
2x+1
3−2x中，自变量x 的取值范围是 ．
【答案】x≠
3
2
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．根据
分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
【详解】解：∵y=
2x+1
3−2x有意义，
∴3−2x≠0，
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解得x≠
3
2．
故答案为：x≠
3
2
5．(2025·黑龙江省绥化市肇东市·模拟)在函数y=
1
x2+2x+3中，自变量x 的取值范围为 ．
【答案】全体实数
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围计算，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有
意义的条件解答即可．
【详解】解：根据题意，得x2+2x+3=(x+1)2+2，且(x+1)2+2>0，
故自变量x 的取值范围为全体实数，
故答案为：全体实数．
6．(2025·黑龙江省大庆市·三模)函数y=
1
√x−1
3
的自变量取值范围是 ．
【答案】x≠1
【分析】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可进行求解．熟练掌握
分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得x−1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
7．(2025 九·四川省凉山州西昌市·一模)函数y=−√2x+3的自变量x 的取值范围是 ．
【答案】x≥−
3
2
【分析】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据形如√a(a≥0)的式子叫作二次
根式，二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解：y=−√2x+3有意义，
故2x+3≥0，
故x≥−
3
2，
故答案为：x≥−
3
2.
8．(24-25 八上·重庆第一中学校·期末)函数y= √3−x
4 的自变量的取值范围是 ．
【答案】x≤3
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及函数，熟练掌握算术平方根的非负性及函数是解题的关键；
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根据题意易得3−x≥0，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：3−x≥0，
∴x≤3；
故答案为x≤3．
9．汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量Q(L)与行驶路
程s(km)之间的函数关系式为 ，自变量s的取值范围是 ．
【答案】 Q=40−0.1s 0≤s≤400
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出1km的耗油量，
再根据余油量=原有油量−耗油量，从而得出关系式．
【详解】解：每行驶100km耗油10L，则每行驶1km耗油为：10÷100=0.1(L km
⁄
)，由余油量=原有油量−耗油
量得， Q=40−0.1s，
40L油可行驶40÷0.1=400km，
∴自变量的取值范围为0≤s≤400，
故答案为：Q=40−0.1s，0≤s≤400．
题型五：求自变量的值或函数值
1．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m) 的关系大
约是h=0.8t2， 物体下落4s时，在月球上下落的距离是 米．
【答案】12.8
【分析】此题考查了函数求值，把t的值代入公式h=0.8t2，求解即可．
【详解】解：把t=4代入公式得：h=0.8t2=0.8×42=12.8，
则物体下落4s时，在月球上下落的距离是12.8米．
故答案为：12.8．
2．同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y=
9
5 x+32．如果某一温度的摄氏度数是25℃，
那么它的华氏度数是 ℉．
【答案】77
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【分析】本题主要考查了求函数值．把x=25代入y=
9
5 x+32计算即可．
【详解】解：当x=25时，y=
9
5 ×25+32=77，
即它的华氏度数是77℉．
故答案为：77
3．(24-25 七下·广东佛山南海区桂城街道平洲第二初级中学·月考)地表以下岩层的温度y（°C）随着所处深
度x（km）的变化而变化，在某个地点y 与x 之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示，当x=20km时，
y= °C．
【答案】720
【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函
数值是解题的关键；
把x=20代入关系式y=35x+20计算，可得结果．
【详解】由题知，当x=20km时，y=35×20+20=720°C．
故答案为：720 ．
4．(24-25 七下·四川成都新都区·期末)某厂家要生产一批货物，每天生产的个数m与生产的天数t之间的关系
如下表所示：
每天生产的个数m
500
600
800
1000
1200
…
生产的天数t
24
20
15
12
10
…
则该厂家要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产 个．
【答案】1500
【分析】本题考查函数的表示方法，根据变量的变化规律写出t与m之间的关系式是解题的关键．根据变量
的变化规律写出t与m之间的关系式，当t=8时，求出对应m的值即可．
【详解】解：根据表格，得mt=500×24=12000，
∴t与m之间的关系为mt=12000，
当t=8时，得8m=12000，
解得m=1500，
∴每天需要生产1500个．
故答案为：1500．
5．(24-25 八下·广东江门蓬江区·期末)电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：
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Ω），通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt．已知导线的电阻为9Ω，1s时间导线产
生36J的热量，则电流I的值为 A．
【答案】2
【分析】本题考查了根据函数解析式求其中变量问题，将电阻、时间、热量代入公式计算即可．
【详解】解：将R=9，Q=36，t=1，代入Q=I2Rt，
得：36=I2×9×1，
化简得：I2=4，
解得I=2或I=−2（负值不合题意，舍去），
故答案为：2．
6．(24-25 七下·广东佛山南海区·期中)小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用y（单位：元）和
携带的行李量x（单位：kg）的关系是y=30x−600(x≥20)，则他携带30kg行李需要交行李费 元．
【答案】300
【分析】本题考查求函数值，掌握代入自变量的值求对应函数值的方法是解题的关键．
当x=30时，求出对应y的值即可．
【详解】解：当x=30时，y=30×30−600=300，
∴他携带 30kg 行李需要交行李费 300 元．
故答案为：300．
题型六：函数的三种表示之解析式法
1．已知一根长为20 米的铁丝围成一个长方形，若宽为x米，长为y米．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)求当x=4时所对应的函数值；
【答案】(1)y=−x+10
(2)0<x<5
(3)y=6
【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小．
（1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解；
（2）根据长方形的长大于宽列式求出x 的最大值，从而得解；
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（3）把x 的值代入函数关系式计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：2(x+y)=20，
整理得，y=−x+10，
即y关于x的函数表达式为y=−x+10；
（2）解：因为宽为x米，长为y米，
所以0<x<y，
所以x<−x+10，
解得x<5，
所以自变量x的取值范围为0<x<5；
（3）解：当x=4时，y=−4+10=6．
2．(25-26 八上·贵州六盘水·期中)2021 年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定
了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10 立方米时，水价为每立方米1.2 元；超过10 立方米时，超过
部分按每立方米1.8 元收费．
(1)若某户某月用水8 立方米，应交水费多少元？若用水14 立方米呢？
(2)求出每户每月用水量超过10 立方米时应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的关系式．
【答案】(1)用水8 立方米时应交水费：9.6 元；用水14 立方米时应交水费：19.2 元
(2)y=1.8x−6
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列函数关系式，熟练掌握收费规则，是解题的关键：
（1）根据收费规则，列出算式进行计算即可；
（2）根据收费规则，列出关系式即可．
【详解】（1）解：用水8 立方米时应交水费：1.2×8=9.6（元）
用水14 立方米时应交水费：10×1.2+(14−10)×1.8=19.2（元）
（2）由题意：y=10×1.2+(x−10)×1.8
整理，得：y=1.8x−6．
3．暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，活动内容如下：
活动一：购买一张30 元优惠卡，每次仅需5 元；
活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7 元；
若某学生暑假期间游泳x 次，按活动一、活动二分别花费m，n 元．
(1)请你写出m，n 与x 之间的关系；
(2)小明计划暑假期间游泳25 次，你认为参与哪种活动比较合算？
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【答案】(1)m＝30+5x,n＝7x
(2)活动一比较合算，见解析
【分析】考查了列函数关系式和求函数值，准确列出函数解析式是关键．
（1）根据题意分别列出函数关系式即可；
（2）分别求出x=25时的函数值，比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
活动一：m=30+5x；
活动二：n=7x；
（2）把x=25代入得：m=30+5×25=30+125=155，
n=7×25=175，
∵155<175，
∴活动一比较合算．
4．(24-25 八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)拖拉机开始工作时，油箱中有油40L，每小时耗油5L．
(1)写出油箱中的剩余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的函数表达式，并求出自变量t的取值范围；
(2)当拖拉机工作3h时，油箱内还剩余油多少升？
【答案】(1)Q=40−5t（0≤t≤8）
(2)25升
【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱
中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键．
（1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围；
（2）把t=3代入函数解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：Q=40−5t，
当Q=0时，即40−5t=0，
解得t=8，
∴Q与t之间的函数表达式及自变量t的取值范围为Q=40−5t(0≤t≤8)．
（2）当t=3时，Q=40−5×3=25．
答：当拖拉机工作3h时，油箱内还剩余油25升．
5．(24-25 八下·甘肃陇南武都区部分学校·期末)某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工
资．方案甲：底薪2000 元，每销售一件产品奖励300 元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500 元．应
聘者只能选择其中的一种工资结算方式．
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(1)设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y 和x 的关系式（不需要写
出自变量范围）；
(2)销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
【答案】(1)甲方案：y=300x+2000；乙方案：y=500x
(2)销售员月销售量达到10 件时两种方案的工资相等，5000 元
【分析】本题考查一元一次方程的应用、列函数关系式，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据两个方案的计算方法求解判断即可；
（2）根据“两种方案的工资相等”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：甲方案：y=300x+2000；
乙方案：y=500x；
（2）解：∵两种方案的工资相等，
∴500x=300x+2000，
解得：x=10，
此时y=500x=5000，
即销售员月销售量达到10 件时两种方案的工资相等，5000 元．
6．(24-25 七下·贵州黔东南苗族侗族从江县宰便镇宰便中学·月考)已知水池中有800m3的水，现用一台抽水
机抽水，每小时抽水50m3．
(1)写出剩余水的体积Q(m3)与抽水时间t(h)之间的关系式（不必写出t的范围）；
(2)6h 后池中还有多少水？
【答案】(1)Q=800−50t
(2)500m3
【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键．
（1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，将t=6代入Q=800−50t可得函数值．
【详解】（1）解：∵池中有水800m3，每小时抽出50m3
∴剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的关系式是Q=800−50t；
（2）当t=6时，Q=800−50×6=500
答：6 小时后，池中还有500m3的水．
7．(24-25 八下·宁夏银川第二十中学·)银川市某工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用
这笔捐款购买A、B 两种物品．经过市场调查发现，今年每套A 型物品的价格6 万元，每套B 型物品的价格
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0.4 万元，该市准备购买A 型物品50 套，B 型物品x 套（x 超过200 套）．某供应商给出以下两种优惠方案：
方案一：“买一送一”，即购买一套A 型物品，赠送一套B 型物品；
方案二：“打折销售”，即购买200 套B 型物品以上，超出的部分按原价打八折，A 型物品不打折．
(1)写出方案一应付金额（万元）y 与x 之间的函数关系式；
(2)写出方案二应付金额（万元）y 与x 之间的函数关系式；
(3)选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】(1)y=0.4x+280(x>200)
(2)y=0.32x+316(x>200)
(3)当200<x<450时，选择方案一更划算；当x=450时，选择方案一、方案二费用相同；当x>450时，选择方案
二更划算
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，
正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．
（1）根据方案一的优惠求出y与x的关系式即可；
（2）根据方案一的优惠求出y与x的关系式即可；
（3）分0.4x+280<0.32x+316，0.4x+280=0.32x+316及0.4x+280>0.32x+316三种情况，可分别求出x 的取值范
围（或x 的值），此题得解．
【详解】（1）解：根据题意，y=50×6+0.4×(x−50)=0.4x+280，
答：y与x的关系式为y=0.4x+280(x>200)；
（2）解：根据题意，y=50×6+200×0.4+0.4×0.8×(x−200)=0.32x+316．
答：y与x的关系式为y=0.32x+316(x>200)；
（3）解：当0.4x+280<0.32x+316时，
解得：x<450，
又∵x>200，
∴200<x<450；
当0.4x+280=0.32x+316时，
解得：x=450；
当0.4x+280>0.32x+316时，
解得：x>450．
答：当200<x<450时，选择方案一更划算；当x=450时，选择方案一、方案二费用相同；当x>450时，选择方
案二更划算．
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8．(24-25 七下·陕西西安蓝田县·期末)一个正方形的边长为15cm，它的各边长都减少xcm后，得到的新正方
形的周长为ycm．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若这个正方形的各边长都减少了4cm，求得到的新正方形的周长．
【答案】(1)y=−4x+60；
(2)44cm．
【分析】本题考查函数关系式，掌握正方形周长计算公式是解题的关键．
（1）根据正方形周长公式计算即可；
（2）当x=4时，求出对应y的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得y=4⋅(15−x)=−4x+60，
∴y与x之间的关系式为y=−4x+60．
（2）当x=4时，y=−4×4+60=44，
答：得到的新正方形的周长为44cm．
题型七：函数的三种表示之列表法
1．(25-26 八上·陕西西安交通大学附属中学空港实验学校·月考)为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费
方式计算电费．下表是户年用电量标准，在用电量及分档计费标准：
计费档
户年用电量x/(kW⋅h)
单价/［元/(kW⋅h)］
第一档
0<x≤2760
0.53
第二档
2760<x≤4800
0.58
第三档
x>4800
0.83
(1)当2760<x≤4800时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式；
(2)某户年用电量是3000kW⋅h，求该户这一年的电费；
(3)某户去年一年的电费是2472 元，求该户去年一年的用电量．
【答案】(1)y=0.58x−138
(2)该户这一年的电费为1602元
(3)该户去年一年的用电量为4500kW⋅h
【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键．
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（1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可；
（2）根据得到某用户的用电量处于第二档，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到该用户的用电量处于第二档，代入（1）中关系式计算即可求解．
【详解】（1）解：第一档的电费为0.53×2760=1462.8（元），
第二档的电费为y=1462.8+(x−2760)×0.58=0.58x−138（元），
∴电费y（单位：元）与x之间的关系式为y=0.58x−138；
（2）解：当某户一年用电量是3000kW⋅h时，处于第二档，
∴y=0.58×3000−138=1602（元），
答：该户这一年的电费为1602元；
（3）解：当x=4800时，电费为y=0.58×4800−138=2646（元），
∵2646>2472，
∴该户去年一年的用电量在第二档，
∴0.58x−138=2472，
解得x=4500，
∴该户去年一年的用电量为4500kW⋅h．
2．(25-26 八上·广东深圳罗湖区桂园中学·期中)弹簧上挂物体后伸长，测得某一弹簧的长度y（cm）与悬挂
物体的质量x（kg）可通过下面表格找到其对应值（0≤x≤10），根据上述信息，回答下列问题：
x（kg）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y（cm）
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
(1)弹簧不挂物体的长度是______cm；
(2)写出弹簧的长度y（cm）与悬挂物体的质量x（kg）的函数关系式，并指出它是什么函数？
(3)当所挂物体质量10kg时，弹簧的长度是多少？
【答案】(1)11
(2)y=11+0.5x，它是一次函数
(3)弹簧的长度是16cm
【分析】本题考查了用表格法表示函数，注意观察变量之间的变化关系是解题关键．
（1）由表格可知：当x=0时，y=11，即可求解；
（2）由表格可知：悬挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度便会伸长0.5cm，即可求解；
（3）将x=10代入y=11+0.5x，即可求解．
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【详解】（1）解：由表格可知：当x=0时，y=11，
所以弹簧不挂物体的长度是11 cm；
故答案为：11
（2）解：由表格可知：悬挂物体的质量美增加1kg，弹簧的长度便会伸长0.5cm，
∴y=11+0.5x，它是一次函数．
（3）解：当x=10时，y=11+0.5×10=16，
∴当所挂物体质量10kg时，弹簧的长度是16cm．
3．(25-26 八上·河北保定竞秀区·期中)某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
排数（x）
1
2
3
4
．．．
座位数（y）
50
53
56
59
．．．
(1)上表反映的两个变量中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)按照上表所示的规律，当排数每增加1 排时，座位数增加___________个．
(3)试估计当排数6 时，座位数为___________个．
(4)写出座位数y与排数x之间的关系式；
(5)按照上表所示的规律，某一排可能有90 个座位吗？说说你的理由．
【答案】(1)排数，座位数
(2)3
(3)65
(4)y=3x+47
(5)不可能，见解析
【分析】本题考查了变量、数字规律、列函数关系式、一元一次发出的应用等知识点，灵活运用相关知识
成为解题的关键．
（1）根据自变量、因变量的定义求解即可；
（2）根据表格即可解答；
（3）第5 排比第4 排多3 个，第6 排比第5 排多3 个，据此即可解答．
（4）从第一排开始，每一排比它前面一排多3 个座位，则第x 排比第1 排多3(x−1)个座位，据此列出y 与
x 的关系式即可；
（5）利用y 与x 的关系式，计算y=90对应的x 的值，若x 为正整数，则可能；若x 不为正整数，则不可能．
【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，排数是自变量，座位数是因变量．
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故答案为：排数，座位数．
（2）解：按照上表所示的规律，当排数每增加1 排时，座位数增加3 个．
故答案为：3．
（3）解：当排数为6 时，此时座位数为59+3+3=65个．
故答案为65．
（4）解：由题意可得：y=50+3(x−1)，即y=3x+47．
所以座位数y与排数x之间的关系式为y=3x+47．
（5）解：不可能．理由如下：
当y=90时，3x+47=90，解得x=
43
3 ，
因为
43
3 不是正整数，
所以某一排不可能有90 个座位．
4．(25-26 八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·)某游泳池在一次换水前存水936 立方米，换水时关闭进水
孔打开排水孔，以每小时78 立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少．该
游泳池的存水量变化情况如下表：
放水时间t（小时）
1
2
3
4
5
6
7
存水量Q（立方米）
858
780
702
624
546
468
390
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)根据上表反映的规律写出Q与t之间的关系式为______（不要求写出t的取值范围）；
(3)放水11 小时后，该游泳池内还有存水吗？放水13 小时呢？
【答案】(1)放水时间，游泳池的存水量
(2)Q=936−78t
(3)放水11 小时后，该游泳池内还有存水；放水13 小时，该游泳池内没有存水
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识；
（1）根据题中表格信息即可完成；
（2）根据表格可知排水孔以每小时 78 立方米的速度放水，根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的
水量，即可列出函数关系式；
（3）令t=11和t=13，分别计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量，
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故答案为：放水时间，游泳池的存水量；
（2）解：根据题意每小时放水78 立方米，则Q与t的函数关系式为Q=936−78t．
（3）解：令t=11，则Q=936−78×11=78，
令t=13，则Q=936−78×13=−78，
故放水11 小时后，该游泳池内还有存水；放水13 小时，该游泳池内没有存水．
5．(24-25 八下·陕西咸阳杨陵区部分学校·月考)草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，
为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量x(kg)与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店
的墙上：
销售数量x(kg)
1
2
3
4
……
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
(1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？
(2)请写出销售总价y（元）关于销售数量x(kg)的函数解析式；
(3)丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数
(2)y=8x+0.5
(3)52.5元
【分析】（1）根据函数的定义判断解答即可；
（2）销售数量x 每增加1kg，销售总价y 增加8 元，其中0.5元是必须要支付的，由此确定解析式即可；
（3）根据解析式计算即可．
本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数．
（2）解：销售数量x 每增加1kg，销售总价y 增加8 元，其中0.5元是必须要支付的，由此销售总价y 关于
销售数量x 的函数解析式为：y=8x+0.5．
（3）解：根据题意得，x=6.5，
应付的钱数为：y=8×6.5+0.5=52.5（元）．
6．某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入−支出费用）y（元）
的变化关系如下表所示（票价相等）：根据表格中的数据，回答下列问题：
x/人
…
200
250
300
350
400
…
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y/元
…
−200
−100
0
100
200
…
(1)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ；
(2)当一天乘车人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】(1)2x−600
(2)当乘车人数为800人时，利润为1000元
【分析】本题考查了函数关系式和求自变量的值，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
（1）由表中数据可知，当乘坐人数为300 人时，利润为0 元，每增加50 人，利润就增加100 元，然后列
出关系式即可解答；
（2）把y=1000代入（1）中的关系式进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
y=0+
x−300
50 ×100=2x−600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y=2x−600；
故答案为：2x−600
（2）解：把y=1000代入y=2x−600中可得：
2x−600=1000，
解得：x=800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
7．(24-25 七下·河南周口项城新华学校·期末)如图，在长为20cm，宽为16cm的长方形四个角上，分别剪去四
个全等的等腰直角三角形当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化．设剪去的每
个三角形的直角边长为xcm(x≤8)，阴影部分的面积为ycm2．如下表：
三角形的直角边长x cm
⁄
1
2
3.2
4.5
…
阴影部分的面积y cm2
⁄
318
m
299.52
279.5
…
(1)表中的数据m=_____．
(2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7 时，阴影部分的面积_____（填增大或减少）_____cm2．
(3)写出y 与x 的关系式：_____．
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【答案】(1)312
(2)减小，57.5
(3)y=−2x2+320
【分析】本题考查了函数关系式．
（1）用长方形的面积减去4 个边长为2 的等腰直角三角形的面积即可；
（2）分别计算出x=4.5和x=7时阴影部分的面积，然后求它们的差，从而解决问题；
（3）用长方形的面积减去4 个边长为x 的等腰直角三角形的面积即可．
【详解】（1）解：当x=2cm时，y=20×16−4×
1
2 ×2×2=312(cm2)，
故答案为：312；
（2）解：当x=4.5cm时，y=20×16−4×
1
2 ×4.5×4.5=279.5(cm2)，
当x=7cm时，y=20×16−4×
1
2 ×7×7=222(cm2)，
∵279.5−222=57.5(cm2)，
∴当等腰直角三角形的直角边长由4.5 增加到7 时，阴影部分的面积减少57.5cm2，
故答案为：减少，57.5cm2；
（3）解：y=20×16−4×
1
2 x⋅x=−2x2+320．
故答案为：y=−2x2+320．
题型八：函数的三种表示之图象法
1．(24-25 八下·宁夏银川第二十中学·期末)如图某电信公司提供了A、B 两种方案的移动通信费用y（元）与
通话时间x（分钟）之间的关系．
(1)当通话时间少于120 分钟，那么A 方案比B 方案便宜 元；
(2)当通信费用为60 元，那么A 方案比B 方案的通话时间 （填多或少）；
(3)王先生粗算自己每月的移动通信时间在220 分钟以上，那么他会选择电信公司的 方案．
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【答案】(1)20
(2)少
(3)B
【分析】本题考查了函数图像和性质，从图像中找出隐含的信息解决问题是解题关键．
（1）如图，通话时间少于120 分钟时，A方案费用30 元，B方案费用50 元，即可得到答案；
（2）如图，费用为60 元时，对应的时间从图中两个交点位置进行比较，即可得到答案；
（3）通话时间在220 分钟以上，两个解析式作差可以比较．
【详解】（1）解：∵通话时间少于120 分钟，A 方案费用30 元，B 方案费用50 元，50−30=20，
∴A 方案比B 方案便宜20 元；
故答案为：20；
（2）解：从图中可以看出，当通信费用为60 元，A 方案比B 方案的通话时间少；
故答案为：少；
（3）解：A 方案：当x>120时，yA=30+(x−120)×[(50−30)÷(170−120)]=0.4x−18；
B 方案：当x>200时，yB=50+(x−200)[(70−50)÷(250−200)]=0.4x−30，
当x≥220时，0.4x−18−(0.4x−30)=12（元）．
故B 方案比A 方案便宜，他会选择电信公司的B 方案．
故答案为：B．
2．(24-25 八下·吉林长春第一〇四中学·月考)甲、乙两车分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程y(km)
随时间x(h)变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)A，B两地的路程为______km；
(2)求乙车离A地的路程y(km)关于时间x(h)的函数表达式；
(3)当两车相距10km时，则乙车的行驶时间为______．
【答案】(1)40
(2)y=80x+40
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(3)
3
4 h或
5
4 h或
31
8 h
【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，函数解析式．注意数形结合思想和分类
讨论思想的运用．
（1）根据函数图象中的数据即可求解．
（2）根据图中数据，根据路程=速度×时间，求出函数解析式即可．
（3）当两车相距10km时，根据题意可知存在三种情况分别计算即可．
【详解】（1）解：观察图象得：A，B两地的路程为40km；
故答案为：40
（2）解：乙车的速度为
360−40
4
=80km/h，
所以乙车离A地的路程y(km)关于时间x(h)的函数表达式为y=80x+40；
（3）解：甲车的速度为
360
3 =120km/h，
∴甲车离A地的路程y(km)关于时间x(h)的函数表达式为y=120x，
当甲车到达C 地前时，
∵两车相距10km，
∴80x+40−120x=10或120x−(80x+40)=10，
解得：x=
3
4或x=
5
4；
当甲车到达C 地后时，
∵两车相距10km，
∴此时乙车距离C 地10km，
∴80x+40+10=360，
解得：x=
31
8 ；
即当两车相距10km时，则乙车的行驶时间为
3
4 h或
5
4 h或
31
8 h．
故答案为：
3
4 h或
5
4 h或
31
8 h
3．(24-25 八上·安徽宿州萧县城南初级中学·月考)A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同
时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离ykm与骑车时间xh的函数
关系．
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(1)求甲、乙两人骑车速度；
(2)求l1，l2对应的函数关系式；
(3)求经过多少小时后小时后两人相遇．
【答案】(1)甲骑车速度为30km/h，乙骑车速度为20km/h
(2)l1，l2对应的函数关系式分别为y=80−30x，y=20x
(3)1.6小时
【分析】本题主要考查了列函数关系式：
（1）根据速度等于路程除以时间，即可求解；
（2）根据速度等于路程除以时间，即可求解；
（3）联立（2）中的函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：甲骑车速度为(80−50)÷1=30km/h，
乙骑车速度为60÷3=20km/h，；
（2）解：l1对应的函数关系式为y=80−30x，
l2对应的函数关系式为y=20x；
（3）解：根据题意得：20x=80−30x，
解得：x=1.6，
即经过1.6小时后两人相遇．
4．(24-25 八下·吉林长春南关区·期末)某科技馆在节假日期间对15 周岁以下的青少年免费开放．为了保证
展馆秩序，科技馆采取了网上分时预约制的方式进行限流，保证展馆内实时人数不超过1200 人，如图是某
天科技馆开始营业后，馆内实时人数y(人)与科技馆开放时间x(小时)之间的函数关系．在科技馆闭馆前的
90min内，将不再允许游客进入．
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(1)求闭馆前90min内游客离开的速度；
(2)当2≤x≤4时，求y 与x 的函数关系式；
(3)当科技馆人数超过800 人时，科技馆将会增加各展馆的安保员以保障游客能安全地进行参观，直接写出
这一天展馆需要增加安保员的时长共有______小时．
【答案】(1)800 人/小时
(2)y=400x−400(2≤x≤4)
(3)5
【分析】本题考查了根据图象获取信息，写出函数关系式是解题的关键．
（1）根据游客离开的速度=游客的减少量÷所用时间列式计算即可；
（2）当2≤x≤4时，求出游客增加的速度，从而写出y 与x 的函数关系式即可；
（3）写出当7.5≤x≤9时，y 与x 的函数关系式，分别求出当2≤x≤4、7.5≤x≤9时，当y=800时，对应x 的值并求
差即可．
【详解】（1）1200÷(9−7.5)=800(人/小时），
∴闭馆前90min内游客离开的速度为800 人/小时．
（2）当2≤x≤4时，游客增加的速度为(1200−400)÷(4−2)=400(人/小时），
则y=400+400(x−2)=400x−400，
∴当2≤x≤4时，y 与x 的函数关系式为y=400x−400(2≤x≤4)．
（3）当2≤x≤4时，当y=800时，得400x−400=800，解得x=3，
当7.5≤x≤9时，y 与x 的函数关系式为y=1200−800(x−7.5)=−800x+7200，
当y=800时，得−800x+7200=800，解得x=8，
8−3=5(小时），
∴这一天展馆需要增加安保员的时长共有5 小时．
故答案为：5．
5．(24-25 八下·广东汕头潮阳区·期末)如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直
径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
(1)2 节链条的总长度为___________cm，3 节链条的总长度为___________cm；
(2)若x 节链条总长度为ycm，求y 关于x 的函数关系式；
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(3)当一根链条的总长度为73cm时，请求出该链条由几节组成．
【答案】(1)4.6，6.4
(2)y=1.8x+1
(3)总长度为73cm的链条由40 节组成
【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，解题的关键是正确的列出函数关系式：
（1）根据题意可知每增加一节，增加2.8−1=1.8cm，进行求解即可；
（2）根据（1）中结论，列出函数关系式即可；
（3）令y=0，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：每增加一节，链条增加2.8−1=1.8cm，
2 节链条的总长度2.8+1.8=4.6cm，
3 节链条的总长度=2.8+1.8×2=6.4cm，
故答案为：4.6，6.4；
（2）y=2.8+1.8(x−1) =1.8x+1；
（3）当y=1.8x+1=73时，
解得x=40，
∴总长度为73cm的链条由40 节组成．
6．(24-25 八下·山西临汾霍州部分多校联考·月考)如图，用长为15m 的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形
的苗圃．在一边开了一个1m 宽的门．
(1)设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式．
(2)写出自变量x的取值范围，并求出当x=8时，所围苗圃的面积是多少？
【答案】(1)y=−x2+16x
(2)0<x<16，64m2
【分析】此题考查了列函数解析式和求函数值等知识，准确列出函数解析式是关键．
（1）根据矩形的面积公式可以列出函数解析式；
（2）根据题意写出自变量取值范围，并求函数值即可．
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【详解】（1）解：由题意，可知矩形的另一边长为(16−x)m，
∴y=x(16−x)=−x2+16x；
（2）解：自变量x的取值范围为0<x<16，
把x=8代入y=−x2+16x，得y=−82+16×8=64，
答：当x=8时，所围苗圃的面积是64m2．
7．(24-25 八上·上海徐汇区第四中学·期末)某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然
想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车如图是该同学离家的距离
与所用时间的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)该同学折返前，他骑车的速度是__________米/分钟，其中路程s 关于所用时间t 的函数关系式为
__________；
(2)由于途中返回买东西比直接去学校多走了__________米；
(3)当该同学距离学校300 米时，所用时间为__________分钟．
【答案】(1)300；s=300t
(2)1200
(3)4 或
40
3
【分析】本题考查了函数的图象，函数的解析式，解题的关键是熟练掌握函数的图象．
（1）根据题意以及图象可知即可求解；
（2）根据图象中的数据即可求解；
（3）分开始去时和买好东西后又继续去时两种情况解答即可．
【详解】（1）解：该同学折返前，他骑车的速度是1200÷4=300米/分钟，
其中路程s 关于所用时间t 的函数关系式为s=300t；
故答案为：300；s=300t．
（2）解：该同学途中返回买东西比直接去学校多走了：(1200−600)×2=1200（米）；
故答案为：1200；
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（3）解：根据图象可得，当该同学出发后4 分钟时，距离学校1500−1200=300米，
当该同学买好东西后又继续骑车时速度为(1500−600)÷(14−12)=450米／分钟，
(1200−600)÷450=
4
3（分钟），
4
3 +12=
40
3 （分钟），
故该同学出发后4 分钟或
40
3 分钟时，距离学校300 米．
故答案为：4 或
40
3 ．
题型一：函数解析式几何综合
1．在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动
点P 所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P 与点A 或D 重合时，y=0）
(1)写出y 与x 之间的函数解析式；
(2)直接写出△APD的面积的最大值．
【答案】(1)y= {
2x(0≤x<3)
6(3≤x<7)
−2x+20(7≤x≤10)
(2)6
【分析】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方
法．
（1）分三种情况：点P 在AB 上运动，点P 在BC 上运动，点P 在CD 上运动，分别求出y 与x 之间的函数
解析式即可；
（2）画出函数图象，观察图象可得答案．
【详解】（1）解：当点P 在AB 上运动时，即0≤x<3时，y=
1
2 ×AD×AP=
1
2 ×4×x=2x；
当点P 在BC 上运动时，即3≤x<7时，y=
1
2 ×AD×AB=
1
2 ×4×3=6；
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当点P 在CD 上运动时，即7≤x≤10时，y=
1
2 ×AD×PD=
1
2 ×4×(10−x)=−2x+20，
综上所述，y= {
2x(0≤x<3)
6(3≤x<7)
−2x+20(7≤x≤10)
；
（2）解：根据（1）的结论，得函数图象如下：
由图象可得，y 最大为6，
∴△APD的面积的最大值是6．
2．(24-25 八上·上海浦东新区进才中学北校·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB的中点，作
DE⊥AB，交直线AC于点E．
(1)若∠A=30°，求线段CE的长；
(2)当点E在线段AC上时，设BC=√x，CE=y，求y关于x的函数解析式；
(3)若CE=2，求BC的长．
【答案】(1)2
(2)y=3−
x
12 (0<x≤36)
(3)2√3或2√15
【分析】（1）连接BE，由线段垂直平分线的性质得AE=BE，则∠ABE=∠BAE=30°，再求出∠CBE=30°，然后
由含30°角的直角三角形得CE=
1
2 BE=
1
2 AE，即可解决问题；
（2）连接BE，则AE=BE=6−y，在Rt△BCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，即(√x)
2+y2=(6−x)2，则y=3−
x
12，
再求出0<x≤36即可；
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（3）分两种情况，①当点E在线段AC上时，②当点E在AC延长线上时，分别求出BC的长即可．
【详解】（1）解：如图1，连接BE，
∵ ∠A=30°，
∴ ∠ABC=90°−30°=60°，
又∵ DE垂直平分AB，
∴ AE=BE，
∴ ∠ABE=∠BAE=30°，
∴ ∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
又∵ ∠C=90°，
∴ CE=
1
2 BE=
1
2 AE，
∵ AC=6，
∴ CE+AE=CE+2CE=6，
∴ CE=2；
（2）如图2，连接BE，
则AE=BE=AC−CE=6−y，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，
即(√x)
2+y2=(6−y)2，
解得：y=3−
x
12，
∵ y≥0，x>0，
∴ 3−
x
12 ≥0，
∴ 0<x≤36，
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∴ y关于x的函数解析式为y=3−
x
12 (0<x≤36)；
（3）分两种情况：
①当点E在线段AC上时，
由（2）得：2=3−
x
12，
解得：x=12，
∴ BC=√x=√12=2√3；
②当点E在AC延长线上时，如图3，
AE=BE=AC+CE=6+2=8，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=√BE2−CE2=√82−22=2√15；
综上所述，BC的长为2√3或2√15．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的
直角三角形、函数关系式以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形是解题的关键．
3．(23-24 八上·浙江温州瓯海区任岩松中学·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，
CD=√3，过点C作CE⊥BD，点F为边AB上一动点（可与端点A,B重合），连接DF，EF.
(1)当F 点为AB中点时，求△ADF的面积．
(2)若△DEF为直角三角形时，求AF的值．
(3)记S△ADF=x，S△BEF=y，求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)
3√3
2
(2)2
(3)y=−
3
4 x+
9√3
4
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【分析】（1）如图，过D作DH⊥AB于H，根据角平分的性质定理得到DH=DC=√3，再根据含30°角的直角三
角形的性质得到BD,BC,AB的长，由三角形面积即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：如图所示，当∠DEF=90°时，可证△BEF≌△BEC(ASA)，得到BF=BC=3，则AF=6−3=3；
如图所示，当∠BDF=90°时，根据含30°角的直角三角形的性质得到BD=2CD=2√3，∠DBF=30°，∠FDB=90°，
由勾股定理得到BD2=BF2−DF2，则BF=2DF=4，AF=6−4=2；由此即可求解；
（3）如图，过E作EM⊥BF于M，过D作DN⊥AB于N，根据含30°角的直角三角形的性质得到DN=DC=√3，则
△ADF的面积=
1
2 AF⋅DN= √3
2 AF=x，求出AF=
2x
√3，同理得到CE=
1
2 BC=
3
2，勾股定理得到BE=√BC2−CE2=
3√3
2 ，
则EM=
1
2 BE=
3√3
4 ，所以有△BEF的面积=
1
2 BF⋅EM=
3√3
8 BF=y，解得FB=
8y
3√3，由AF+BF=
2x
√3 +
8y
3√3 =AB=6，结合二
次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：如图，过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，
∴DH=DC=√3，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=
1
2 ∠ABC=30°，
∴BD=2CD=2√3，
∴CB=√BD2−CD2=3，
∴AB=2BC=6，
∵F是AB中点，
∴AF=
1
2 AB=3，
∴△ADF的面积=
1
2 AF⋅DH=
1
2 ×3×√3=
3√3
2 ；
（2）解：如图所示，当∠DEF=90°时，
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40 /
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵BE=BE，∠EBF=∠EBC，
∴△BEF≌△BEC(ASA)，
∴BF=BC=3，
∴AF=6−3=3；
如图所示，当∠BDF=90°时，
∵∠DCB=90°，∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2√3，
∵∠DBF=30°，∠FDB=90°，
∴BF=2FD，
∵BD2=BF2−DF2，
∴4FD2−FD2=12，
∴FD=2，
∴BF=2DF=4，
∴AF=6−4=2；
（3）解：如图，过E作EM⊥BF于M，过D作DN⊥AB于N，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DN⊥AB，
∴DN=DC=√3，
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41 /
∴△ADF的面积=
1
2 AF⋅DN= √3
2 AF=x，
∴AF=
2x
√3，
∵∠CEB=90°，∠CBE=30°，
∴CE=
1
2 BC=
3
2，
∴BE=√BC2−CE2=
3√3
2 ，
∴EM=
1
2 BE=
3√3
4 ，
∴△BEF的面积=
1
2 BF⋅EM=
3√3
8 BF=y，
∴FB=
8y
3√3，
∵AF+BF=
2x
√3 +
8y
3√3 =AB=6，
∴6x+8y=18√3，
∴y=−
3
4 x+
9√3
4 ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定
和性质，函数关系式的求解，掌握直角三角形的性质，勾股定理，函数关系的计算，分类讨论思想，数形
结合分式是解题的关键．
4．(24-25 八上·上海实验学校东校·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交
直线AC于点E．
(1)若∠A=30°，求线段CE的长；
(2)当点E在线段AC上时，设BC=√x,CE=y，求y关于x的函数解析式；
(3)若CE=2，求BC的长．
【答案】(1)2
(2)y=−
1
12 x+3(0≤x≤36)
(3)2√3或2√15
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42 /
【分析】
（1）根据点D是斜边AB中点，DE⊥AB，得到DE是线段AB的垂直平分线，于是得到EA=EB，∠EBA=∠A，
结合∠A=30°，∠C=90°，得到∠CBA=60°，∠EBA=∠A=∠CBE=30°，于是得到EA=EB=2CE，根据AC=6得线段
CE+EA=AC=6，解答即可；
（2）根据题意，得EA=EB，且BC=√x,CE=y，结合CE+EA=AC=6，得到EA=EB=6−CE=6−y，利用勾股定理，
解答即可；
（3）根据CE=2，分点E 在AC上或延长线上，得到EA=EB=6−CE=4或EA=EB=6+CE=8，利用勾股定理求BC
的长．
【详解】（1）解：∵点D是斜边AB中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，∠EBA=∠A，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBA=60°，∠EBA=∠A=∠CBE=30°，
∴EA=EB=2CE，
∵AC=6，
∴CE+EA=AC=6，
∴CE+2CE=6，
解得CE=2．
（2）解：∵点D是斜边AB中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∵BC=√x,CE=y，CE+EA=AC=6，
∴EA=EB=6−CE=6−y，
根据勾股定理，得(6−y)2=(√x)
2+y2，
解得y=−
1
12 x+3．
故y关于x的函数解析式y=−
1
12 x+3(0≤x≤36)．
（3）解：如图2，当点E 在AC上，
∵CE=2，
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43 /
∴EA=EB=6−CE=4，
∴BC=√EB2−CE2=2√3．
故BC的长为2√3．
如图3，当点E 在AC的延长线上，
∵CE=2，
∴EA=EB=6+CE=8，
∴BC=√EB2−CE2=2√15．
故BC的长为2√3或2√15．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，函数的应用，熟练掌
握勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
5．(24-25 八上·江苏泰州海陵区·期末)如图，在Rt△ABC,∠C=90°,AB=15,AC=12，点D,E,F分别在边AB,AC,BC
上，且不与点A,B,C重合，连接DE,DF．
(1)从以下3个选项中选择2 个作为已知条件，余下的1个作为结论，并写出结论成立的证明过程．①BF=DF；
②DE⊥DF；③DE=AE．选择的条件是 ，结论是 ．（填序号）
(2)在（1）的条件下，设BF=x,AE=y，求y 关于x 的函数表达式．
【答案】(1)①②，③，或②③，①，或①③，②；证明见解析
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44 /
(2)y=−
3
4 x+
75
8
【分析】（1）分三种情况讨论：选择条件①②，结论③，或选择条件②③，结论①，或选择条件①③，
结论②，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明即可；
（2）如图，连接EF，求解BC=√AB2−AC2=9，证明DF=x,DE=y，CF=9−x，CE=12−y，利用勾股定理可得
(9−x)2+(12−y)2=x2+y2，整理即可得到答案．
【详解】（1）解：选择条件①②，结论③，
理由：∵BF=DF，
∴∠B=∠BDF，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE；
选择条件②③，结论①，
理由：∵DE=AE，
∴∠A=∠ADE，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF；
选择条件①③，结论②，
理由：∵DE=AE，
∴∠A=∠ADE，
∵DF=BF；
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45 /
∴∠B=∠BDF，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）解：如图，连接EF，
∵Rt△ABC,∠C=90°,AB=15,AC=12，
∴BC=√AB2−AC2=9，
∵BF=x,AE=y，
∴DF=x,DE=y，CF=9−x，CE=12−y，
∴EF2=CE2+CF2=(9−x)2+(12−y)2，
而EF2=DF2+DE2=x2+y2，
∴(9−x)2+(12−y)2=x2+y2，
整理得：y=−
3
4 x+
75
8 ；
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，理解
题意，清晰的分类讨论是解题关键．
6．(24-25 八下·上海杨浦区·期中)如图1，在△ABC中AB=AC，点E为边BC上的点（E与B，C不重合），
∠EAF=∠BAC，且AE=AF，连接CF，连接EF交AC于点O．
(1)求证：AC平分∠BCD；
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46 /
(2)如图2，若∠B=45°，且AB=AC=4，设线段BE为x，三角形AFC的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)如图3，若∠B=30°，当△AOF是等腰三角形时，求
AO
OC的值．
【答案】(1)见解析
(2)y=√2x
(3)
AO
OC =
1
2或
AO
OC = √3−1
2
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30 度角的直角三角
形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）等边对等角，得到∠B=∠ACB，证明△ABE≌△ACF，得到∠B=∠ACF，进而得到∠ACF=∠ACB，即可得
证；
（2）作AG⊥CF，同（1）得到△ABE≌△ACF，得到CF=BE=x，∠ACF=∠B=45°，勾股定理求出AG的长，利
用面积公式列出函数关系式即可；
（3）分AO=OF和FA=FO，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF−∠CAE=∠BAC−∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AE=AF，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACF=∠ACB，
∴AC平分∠BCD；
（2）作AG⊥CF，如图：
同（1）法可知：△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=x，∠ACF=∠B=45°，
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∵AB=AC=4，AG⊥CF，
∴AG=CG= √2
2 AC=2√2，
∴S△ACF=
1
2 CF⋅AG=
1
2 x⋅2√2=√2x，即：y=√2x；
（3）∵∠B=30°，∠EAF=∠BAC，且AE=AF，AB=AC，
∴∠AEF=30°，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=30°，
同（1）法可知：∠ACF=∠B=30°，
当△AOF为等腰三角形时，分两种情况：
①当AO=OF时，则：∠OAF=∠AFE=30°，
∴∠FOC=∠OAF+∠AFE=60°，
∴∠CFO=180°−∠OCF−∠COF=90°，
∵∠ACF=30°，
∴OC=2OF=2OA，
∴
AO
OC =
1
2；
②当FA=FO时，则：∠FAO=∠FOA=
1
2 (180°−∠AFE)=75°，
∴∠CFA=180°−∠ACF−∠CAF=75°，
∴∠CFA=∠CAF，∠OFC=∠CFA−∠AFO=45°，
∴AC=CF，
作OG⊥CF于点G，
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在Rt△CGO中，∠OCG=30°，
∴OC=2OG，
∴CG=√3OG，
在Rt△FGO中，∠OFC=45°，
∴FG=OG，
∴AC=CF=CG+FG=(√3+1)OG，
∴OA=AC−OC=(√3−1)OG，
∴
AO
OC = √3−1
2 ；
综上：
AO
OC =
1
2或
AO
OC = √3−1
2 ．
7．如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB，OC=2OA，三角形ABC的面积是6；
(1)求三角形ABC 三个顶点A、B、C 三点的坐标；
(2)点P的坐标是(2,n)，连接PA、PB，并用含字母n的式子表示△PAB的面积；(n≠4)
(3)在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积的
1
4，如果存在，请求出P的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(−2,0)，点C 的坐标为(4,0)，
(2)S△ABP= {−n+4(n<4)
n−4(n>4)
(3)(2,
5
2)或(2,
11
2 )
【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形ABC的面积得到
1
2 BC⋅OA=
1
2 ×3OA2=6，解得OA=2，即可求出答案；
（2）作PH⊥BC于点H，分三种情况画出图形分别进行解答即可；
（3）根据（2）列方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵OA=OB，OC=2OA，
∴BC=OC+OB=2OA+OA=3OA，
∵三角形ABC的面积是6
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∴
1
2 BC⋅OA=
1
2 ×3OA2=6
解得OA=2
∴OC=2OA=4，OA=OB=2
∴点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(−2,0)，点C 的坐标为(4,0)，
（2）作PH⊥BC于点H，
如图，当0≤n<4时，S△ABP=S四边形ABHP−S△HBP=S△AOB+S梯形AOHP−S△HBP
= 1
2 ×2×2+ 1
2 ×2(2+|n|)−1
2 ×4|n|
=4−n
如图，当n>4时，S△ABP=S△HBP−S四边形ABHP=S△HBP−(S△AOB+S梯形AOHP)
= 1
2 ×4n−[1
2 ×2(2+|n|)+ 1
2 ×2×2]
=n−4
如图，当n>4时，S△ABP=S四边形ABHP−S△HAP=S△HBP+S△AHB−S△AHP
= 1
2 ×4|n|+ 1
2 ×4×2−1
2 ×2|n|
=−n+4
综上可知，S△ABP= {−n+4(n<4)
n−4(n>4)
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（3）当S△PAB=
1
4 S△ABC=
3
2时，
−n+4=
3
2或n−4=
3
2，
解得n=
5
2或n=
11
2 ，
∴点P 的坐标为(2,
5
2)或(2,
11
2 )
1．(25-26 八上·广西南宁第八中学·期中)下列式子中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．y=x2
B．y=±√x(x≥0)
C．y=2x+1
D．y=
x
3
【答案】B
【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y 都有唯一
确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都
有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A． y=x2对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，
B． y=±√x(x≥0)对于x 的每一个取值，y 可能有两个值与之对应，则y 不是x 的函数，
C． y=2x+1对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，
D． y=
x
3对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，
故选：B．
2．(24-25 八下·河北邢台南宫·月考)下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是( )
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式y=√x中，y是x的函数；
③如表，n是m的函数；④如图，曲线表示y是x的函数．
m
−3
−2
−1
1
2
3
n
−2
−3
−6
6
3
2
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A．①③④
B．②④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函
数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C 是半径r 的函数，每一个半径r都只有一个周长C 与之对应，表述正确，故①符
合题意；
②表达式y=√x中，y 是x 的函数，每一个x都只有一个y与之对应，表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m 的每一个值，n 都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当x>0时的每一个值，y 都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故选：C．
3．(25-26 八上·陕西汉中勉县·期末)如图，一个长方形菜园ABCD，其中一边为足够长的墙，另外三边用一
根24m长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设BC边的长为xm，AB边的长为ym，则y与x的关系式为（ ）
A．y=12−x
B．y=12−
1
2 x
C．y=24−x
D．y=24−2x
【答案】B
【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式．
根据矩形周长公式写出y 与x 之间的函数关系式即可．
【详解】解：∵三边总长恰好为24m，
设BC边的长为xm，AB边的长为ym，
∴y=
1
2 (24−x)=12−
1
2 x．
故答案为：B．
4．(24-25 七下·广东深圳龙岗区·期末)漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现
了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏
刻计时工具模型，每2 分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位h(cm)与时间t(min)的实验数据如下表：
数据记录
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
……
t(min)
0
2
4
6
8
……
小学
初中
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h(cm)
2
2.8
3.6
4.2
5.2
……
下列说法错误的是（ ）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4 次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7 次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
【答案】D
【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各
选项的正确性即可.
【详解】解：选项A：当t=0时，h=2cm，符合表格数据，不符合题意；
选项B：由表格中数据知，时间每增加2 分钟，h 增加0.8cm，
当t=6时，对应h=3.6+0.8=4.4(cm)
∴第4 次数据是不准确的；选项B 不符合题意
选项C：修正第4 次数据后，每2 分钟水位仍增加0.8cm，第7 次对应t=12min，水位为5.2+0.8×2=6.8(cm)，
选项C 不符合题意；
4. 选项D：由题意可得水位h(cm)与时间t(min)的函数关系式为h=0.4t+2，
当h=10cm时，t=(10−2)÷0.4=20(min)，而非10min，选项D 符合题意；
故选：D
5．(23-24 七下·甘肃兰州第八中学·期中)九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过
读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2 小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，
则下列说法错误的是（ ）
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y
（cm）
6
18
30
42
54
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A．箭尺读数y 随供水时间x 的增加而增加
B．箭尺读数y 和供水时间x 之间的关系式为y=6x+6
C．当x=7，y=48
D．供水时间x 每增加1 小时，箭尺读数y 增加12cm
【答案】D
【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可．
【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y 随供水时间x 的增加而增加，正确，故A 不符合题意；
由表格信息可得：当x=0时，y=6，每增加1 小时，箭尺读数y 增加6cm，
∴箭尺读数y 和供水时间x 之间的关系式为y=6x+6，
∴B 正确，D 错误，B 不符合题意，D 符合题意；
由y=6x+6可得：
当x=7时，y=6×7+6=48，C 正确，不符合题意；
故选：D．
6．如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=4，P是边CD上的动点，且不与点C，D重合．设DP=x，梯形ABCP的
面积为y，则y与x之间的关系式是 ．（写出自变量x的取值范围）
【答案】y=24−2x(0<x<6)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以2是解答的关键．根据
ABCD是长方形知AB=CD=6，AD=BC=4，BC⊥AB，若设DP=x，则CP=6−x，在梯形ABCP中，上底为CP=6−x，
下底为AB=6，高为BC=4，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据P不与C、D重合求出x的范围．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6，AD=BC=4，BC⊥AB，
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∵DP=x，∴CP=6−x，
∴y=
1
2 (CP+AB)⋅BC=
1
2 (6−x+6)⋅4=24−2x (0<x<6)．
故答案为：y=24−2x(0<x<6)．
7．(24-25 八下·河北石家庄第九中学·期中)等腰三角形的周长为30cm，它的腰长为ycm 与底长xcm的函数关
系式是 ，自变量的取值范围 ．
【答案】 y=
30−x
2 0<x<15
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，列函数关系式，解一元一次不等式组，
根据等腰三角形的定义和三角形周长计算公式可得对应的关系式，根据三角形中，任意两边之差小于第三
边，任意两边之和大于第三边列出不等式求出x 的范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，y=
30−x
2 ，
∵{
y+y>x
y=30−x>0 ，
∴{
30−x>x
y=30−x>0
x>0
，
∴0<x<15；
故答案为：y=
30−x
2 ；0<x<15．
8．(2024·浙江省温州市·期中)我们把自变量为x的函数记作f(x)，f(x0)表示自变量x=x0时函数f(x)的值，对于实
数a、令[a] 表示不超过a的最大整数，例如[3.1]=3，[−1.5]=−2，[0.7]=0，令f(x)=
x+1
x−1，那么
[f(2)]+[f(3)]+⋯+[f(2024)]= ．
【答案】2026
【分析】本题考查了求函数值，先求出[f(2)]=3，[f(3)]=2，当x>3时，0<
2
x−1 <1，即[f(x)]=1，代入计算即可
得解．
【详解】解：f(x)=
x+1
x−1 =
x−1+2
x−1 =1+
2
x−1，
当x=2时，f(2)=1+
2
2−1=3，即[f(2)]=3，
当x=3时，f(3)=1+
2
3−1=2，即[f(3)]=2，
当x>3时，0<
2
x−1 <1，即[f(x)]=1，
∴[f(2)]+[f(3)]+⋯+[f(2024)]=3+2+1+⋯+1=2026，
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故答案为：2026．
9．(25-26 八上·重庆九十五中·月考)如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，
最后一个三角形中y 与x 之间关系的表达式是 ．
【答案】y=x+2x-2（x≥2）
【分析】根据题意得：第1 个图：y=1+1+20，第2 个图：y=3+2=2+1+21，第3 个图：y=4+4=3+1+22，第4
个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n 个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第1 个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20，
第2 个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21，
第3 个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22，
第4 个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23，
…
以此类推：第n 个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2，
y 与x 之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2），
故答案为：y=x+2x-2（x≥2）．
【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．
10．(24-25 八上·安徽亳州涡阳县高炉镇普九学校·月考)小红同学以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”
为背景开展探究活动．如图，在直角三角形ABC中，已知∠BAC=90°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，直线a∥b．
（1）如图1，小红同学把直线b 向上平移，使得直线b 过点C，若∠1=43°，则 ∠2的度数为 ．
（2）如图2，小红同学把直线b 继续向上平移，使得直线b 与线段BC相交（b 不过点B），设∠1=x(30°<x<90°)，
∠2=y，，则y 与x 之间的关系式为 ．
【答案】 167° y=210°−x
【分析】本题考查了平移的性质、三角形外角的性质、平角的定义等知识；熟练掌握平移的性质和三角形
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外角的性质是解题的关键．
（1）由平行线的性质得∠3=∠1=43°，再利用三角形外角性质求得∠4=∠3−∠ABC=13°，然后利用平角的定义
即可求∠2的度数；
（2）由平行线的性质得∠3=∠1=x，再由三角形的外角性质可求得∠4=∠3−∠ABC=x−30°，从而由∠2=180°−∠4
求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=43°
∵∠4+∠ABC=∠3，∠ABC=30°，
∴∠4=∠3−∠ABC=13°，
∴∠2=180°−∠4=167°；
故答案为：167°．
（2）如图2，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=x，
∵∠4=∠3−∠ABC=x−30°，
∴∠2=180°−∠4=180°−(x−30°)=210°−x，
即y=210°−x．
故答案为：y=210°−x．
11．(25-26 八上·安徽黄山·期末)某办公用品销售商店推出两种优惠方法：“①每购1 个书包，赠送1 支水性
笔；②购书包和水性笔一律按9 折优惠．”已知书包每个定价20 元，水性笔每支定价5 元．小丽和同学需
买4 个书包，水性笔若干支（不少于4 支）．
(1)分别写出两种优惠方法购买费用y1和y2（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式，并标出自变
量取值范围；
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(2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜？
【答案】(1)y1=5x+60（x取不小于4 的自然数）；y2=4.5x+72（x取不小于4 的自然数）
(2)当购买的水性笔支数在4~23支时，第一种购买方法收费较便宜；购买24 支两种方法收费一样；购买超过
24 支，第二种购买方法收费便宜．
【分析】本题考查的是列函数关系，一元一次不等式的应用．
（1）根据优惠方案列出关系式即可．
（2）分三种情况进行讨论，列出不等式（方程），再解不等式（方程）即可得答案．
【详解】（1）解：第一种购买方法收费：y1=4×20+5(x−4)=5x+60（x取不小于4 的自然数），
第二种购买方法收费：y2=0.9(4×20+5x)=4.5x+72（x取不小于4 的自然数）．
（2）解：当y1<y2时，即5x+60<4.5x+72，
解得4≤x<24
当y1=y2时，即5x+60=4.5x+72，
解得x=24
当y1>y2时，即5x+60>4.5x+72，
解得x>24
答：当购买的水性笔支数在4~23支时，第一种购买方法收费较便宜；购买24 支两种方法收费一样；购买超
过24 支，第二种购买方法收费便宜．
12．(24-25 八下·辽宁盘锦双台子区第一中学·期中)“清明节”期间，小明和父母一起开车到距家200 千米的景
点旅游，出发前，汽车油箱内储油45 升，当行驶150 千米时，发现油箱余油量为30 升（假设行驶过程中
汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求汽车行驶路程x（千米）与剩余油量y（升）之间的函数关系式；
(2)当汽车行驶280 千米时，求油箱中还剩多少升油？
(3)当油箱中剩余油量低于3 升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？
请说明理由．
【答案】(1)y=45−0.1x
(2)17 升
(3)能在汽车报警前回到家，理由见解析
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，有理数除法的实际应用，根据数量关系列出关系式是
解题的关键．
（1）根据单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数−行驶路程的耗油量即可解答；
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（2）把x=280千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出45−3=42升油能行驶的距离，与来回400 千米比较大小即可得．
【详解】（1）解：(45−30)÷150=0.1（升/千米），
关系式为y=45−0.1x；
（2）解：当x=280时，y=45−0.1×280=17（升），
答：油箱中还剩17 升油；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，理由如下：
(45−3)÷0.1=420>400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
13．(24-25 八上·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P 为AB边
上的任意一点(点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合)，过点P 作PE⊥BC，垂足为E，过点E 作EF⊥AC，
垂足为F，过点F 作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x,AQ=y．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)；
(2)当BP的长等于多少时，点P 与点Q 重合．
【答案】(1)y=1+
1
8 x
(2)当BP=
8
3时，点P与点Q重合
【分析】本题考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握相关图形
的性质是解题的关键．
（1）由题意知：∠BPE=∠FEC=∠AFQ=30°,BP=x，利用图中边之间的关系和30°角的性质依次表示出
BE、EC、CF、AF、AQ的长，进而求出y与x之间的等量关系式；
（2）再根据点P与点Q重合时BP+AQ=4，即可解出BP的值．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，BP=x，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
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∴∠BEP=∠EFC=∠FQA=90°，
在Rt△PBE中，∠B=60°,∠BPE=30°，
∴BE=
1
2 x，
则EC=4−
1
2 x．
在Rt△EFC中，∠C=60°,∠FEC=30°，
∴FC=
1
2 EC=2−
1
4 x，
∴AF=4−FC=4−(2−
1
4 x) =2+
1
4 x．
在Rt△FAQ中，∠A=60°,∠AFQ=30°，
∴AQ=
1
2 AF=1+
1
8 x，
∴y=1+
1
8 x．
（2）解：当点P与点Q重合时，BP+AQ=4，
即x+ (1+
1
8 x) =4，
解得x=
8
3．
故当BP=
8
3时，点P与点Q重合．
14．(24-25 下·河南南阳镇平县·期中)五一劳动节期间，某超市推出如下两种优惠活动，并规定购物时只能
选择其中的一种．
活动一：所有商品按八折出售；活动二：购物金额每满100 元减25 元．
若某顾客的购物金额为x 元，实付金额为y 元．
(1)当购物金额为160 元时，选择活动一需付______元，选择活动二需付______元．
(2)当200<x<300时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式，
并说明选择哪种活动更省钱．
(3)若该顾客选择活动二后的实付金额为380 元，则该顾客的购物金额为______元．
【答案】(1)128， 135．
(2)当200<x<300时，选择活动一的实付金额y1=0.8x；选择活动二的实付金额y2=x−50；当250<x<300时，选择
活动一更省钱． 当x=250时，选择活动一和活动二一样省钱． 当200<x<250时，选择活动二更省钱．
(3)480或505．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，列函数关系式，根据题意列式是解题的关键；
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（1）根据题意列出算式，即可求解．
（2）根据活动情况列出代数式即可；
（3）分两种情况列方程解得即可．
【详解】（1）当购物金额为160元时，选择活动一需付0.8×160=128(元)，选择活动二需付128−25=103(元)．
故答案为：128，103．
（2）当200<x<300时，选择活动一实付金额y与购物金额x之间的函数表达式为y=0.8x，
选择活动二实付金额y与购物金额x之间的函数表达式为y=x−50，
（3）解：∵该顾客选择活动二后的实付金额为380元，
∴该顾客所购商品在400元以上，
当400≤x<500时，x−4×25=380，
∴x=480；
当500≤x<600时，x−25×5=380，
∴x=505，
∴该顾客的购物金额为480或505元．
∴该顾客的购物金额为480或505．元．
故答案为：480或505．．
15．(24-25 八下·广西来宾·期末)阅读与理解
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，如果点H(x,y)满足x=
x1−x2
4 ，y=
y1−y2
4 ，那么称
点H是点A，B的“和谐点”．
例如A(9,−3)，B(1,1)，当点H(x,y)满足x=
9−1
4 =2，y=
−3−1
4 =−1，则称点H(2,−1)是点A，B的“和谐点”．
(1)直接写出点M(2,−3)，N(−4,7)的“和谐点”D的坐标______；
(2)已知点P是点A(−5,3)，B(3,1)的“和谐点”，当点P向左平移3 个单位，求点P的像点P'的坐标；
(3)点D(−2,0)，点E(t,−2t+1)，点H(x,y)是点D，E的“和谐点”．
①求y与x之间的函数关系式；
②若直线EH交x轴于点Q，当∠HDQ=90°时，求点E的坐标．
【答案】(1)(
3
2 ,−
5
2)；
(2)(−5,
1
2)；
(3)①y=−2x−
5
4；②E(6,−11)．
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【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理解
题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键．
（1）根据“和谐点”的概念，计算x=
2−(−4)
4
=
3
2，y=
−3−7
4 =−
5
2即可求解．
（2）先由“和谐点”的定义求解点P 的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐标不
变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可．
（3）①先由“和谐点”的定义表示出x 和y，再根据t 的表达式求解即可；
②根据点H、点D的横坐标相同，可求解x 的值进而可求解t 的值，即可求解点E 的坐标．
【详解】（1）解：∵点M(2,−3)，N(−4,7)，
设点D(x,y)，
∴有x=
2−(−4)
4
=
3
2，y=
−3−7
4 =−
5
2，
∴点D的坐标(
3
2 ,−
5
2)；
故答案为：(
3
2 ,−
5
2)．
（2）解：设P(x,y)，
∵点P是点A(−5,3)，B(3,1)的“和谐点”，
∴x=
−5−3
4 =−2,y=
3−1
4 =
1
2，
∴P (−2,
1
2)，
∴点P向左平移3 个单位的像点P'的坐标为(−5,
1
2)．
（3）①解：∵点H(x,y)是点D，E的“和谐点”，
∴x=
−2−t
4 ,y=
2t−1
4 ；
∴t=−4x−2,t=
4y+1
2 ，
∴−4x−2=
4y+1
2 ，
即y=−2x−
5
4；
②解：∵直线EH交x轴于点Q，∠HDQ=90°，
∴点H、点D的横坐标相同，
∵D(−2,0)，H(x,y)
∴x=−2，
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∴t=−4x−2=6，
故E(6,−11)．
