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1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题25 特殊三角形最值问题 （题型突破·举一反三） 题型01 长方体中的最值问题 题型02 正方体中的最值问题 题型03 圆柱体中的最值问题 题型04 台阶中的最值问题 题型05 垂线段最短求最值 题型06 三角形三边之间的关系求最值 题型07 将军饮马模型求最值 ▌题型01 长方体中的最值问题 长方体表面爬行最短路径：展开立体表面→转化平面两点之间线段最短，勾股定理计算 设长方体长宽高：𝑎、𝑏、𝑐 将相邻两个面展开，一共3 种展开方式，算出三条路线长度，取最小值。 ①如图1，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离， 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则𝐿= √(𝑎+ 𝑏)2 + 𝑐2； ②如图2，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离， 则𝐿= √(𝑏+ 𝑐)2 + 𝑎2； ③如图3，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离， 则𝐿= √(𝑎+ 𝑐)2 + 𝑏2； 解题步骤： 1. 标出长方体长𝑎、宽𝑏、高𝑐；确定起点、终点位置； 2. 分三种情况展开相邻两个面，构造直角三角形； 3. 分别利用勾股定理列式计算长度； 4. 比较三个结果，最小值即为表面最短距离。 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•昆都仑区校级期中）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm，高为5cm．若一只 蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A．√61cm B．11cm C．13cm D．17cm 【变式1-1】如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的 点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 cm． 【变式1-2】（2026 春•榆阳区校级月考）如图是由若干个棱长为1cm 的小正方体所搭建的几何体，一只电 子蚂蚁从点A 出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【变式1-3】（2025 春•南明区校级期中）综合与实践． 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①是底面ABFE 为正方 形的长方体盒子，AB＝a，AD＝b，BD＝c（a＞b），该小组把长方体的两侧面ABCD，BFGC 剪下来，沿 着BD 和BG 剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形JKLR 的面积为16，求大正方形MNPQ 的 面积； 【探究二】 （2）如图③，若小正方形的面积为5，（a+b）2＝21，则大正方形的面积为 ； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A 到点G 粘贴一条彩色条（宽度忽略不 计）．设所用彩色条的长度为l，探究l 的最小值（用含a，b 的代数式表示）． 该小组探究如下：将长方体盒子侧面ABCD，BFGC 展开成图④所示的平面图形，连接AG，在Rt△AFG 中，𝐴𝐺= √𝐴𝐹2 + 𝐹𝐺2 = √(2𝑎)2 + 𝑏2 = √4𝑎2 + 𝑏2，即l 的最小值为√4𝑎2 + 𝑏2． 上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l 的最小值． 5 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型02 正方体中的最值问题 正方体表面动点最短路径：展开相邻两个正方形面，化立体为平面，两点之间线段最短，勾股定理求解。 【典例1】（2026•东台市一模）如图，A，B 分别是棱长为1 的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体 的表面展开成平面图形后，点A，B 之间的最大距离是（ ） A．√10 B．√13 C．√17 D．2√5 【变式1-1】（2025 春•中阳县月考）如图，一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形， 每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A 处爬到B 处至少要爬（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1-2】（2025 春•建始县期末）如图，一个棱长为4cm 的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1 的中点M 处，它到BB1 的中点N 的最短路线是（ ） A．8 B．2√5 C．2√10 D．4√2 【变式1-3】（2025 春•德城区校级月考）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问 题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． （1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 处沿着正方体表面爬到点C1 处； 6 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁从长方体底面上的点A 处沿着长方体表面 爬到点C1 处； （3）如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm 和3cm．一只蚂蚁要从顶点A 处沿着长方体的表面 爬到长方体上和A 相对的顶点B 处． ▌题型03 圆柱体中的最值问题 圆柱侧面最短路径：侧面展开成长方形，立体转平面，两点之间线段最短，勾股定理求解 设：圆柱底面半径𝑟，高ℎ，底面周长𝐶= 2𝜋𝑟 起点𝐴在下底面边缘，终点𝐵在上底面边缘 侧面展开图为矩形： 矩形一边 = 圆柱高 ℎ 矩形另一边 = 底面圆弧展开的水平长度 沿侧面走半圈：水平边长=𝜋𝑟 沿侧面走整圈：水平边长=2𝜋𝑟 构造直角三角形，最短路径：𝐿= √(𝜋𝑟)2 + ℎ2； 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 春•雁塔区校级期末）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高5m，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到达A 的正上方的B 点，则梯子最短需要（ ） A．12m B．13m C．17m D．20m 【变式1-1】（2025 秋•市南区校级期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高 2 丈，粗3 尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7 周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3 尺， 指的是：圆柱底面周长为3R，1 丈＝10 尺），则这根藤条长 ． 【变式1-2】（2025 秋•青羊区校级期末）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生 长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7 圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度 是 m． 【变式1-3】（2025 秋•苏州期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解 决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为 应用广泛而使人入迷． 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B 处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为 3 𝜋𝑐𝑚， 那么最短的路线长是 cm； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m 至C 处时，即水 平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC 的长． ▌题型04 台阶中的最值问题 1. 台阶表面爬行最短路径：平移法，把台阶所有水平面向下平移、竖直面向右平移，拼接成一个大长方形 立体路径 → 平面线段，两点之间线段最短，利用勾股定理求解。 2. 解题步骤 （1）分别累加：所有台阶水平宽度之和、所有台阶竖直高度之和； （2）两条总和作为直角三角形两条直角边； （3）连接起点终点，斜边就是最短路线； （4）勾股定理计算长度。 【典例1】（2025 春•兴宁区校级期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m， 3 4m 和 1 4m， A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路 线长度为（ ） 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 【变式1-1】如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m， 一只蚂蚁要从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ） A．20m B．24m C．25m D．26m 【变式1-2】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放 着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形， 求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接AC． （1）线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是 ； （2）问题解决：求出这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程． 【变式1-3】如图所示的是一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A 和B 是这个台 阶两个相对的端点，在A 点有一蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你帮助小蚂蚁计算一下，沿着台阶 面从A 到B 最短爬行路程是多少？ 10 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 垂线段最短求最值 1. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 简单表述：定点到定直线，垂线段长度为最小值。 2. 已知：定点𝑃，定直线𝑙，点𝐴在直线𝑙上运动 结论：当𝑃𝐴⊥𝑙时，𝑃𝐴取得最小值；最小值 = 𝑃到直线𝑙的距离。 3.解题四步法 （1）分清：定点、动点、动点所在定直线； （2）过定点向动点所在直线作垂线； （3）找到垂足位置（动点到达垂足时取最值）； （4）使用勾股定理/面积法计算垂线段长度。 【典例1】（2025 秋•松江区期末）如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P 是AC 上的一个 动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ） 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【变式1-1】（2025 秋•正定县期末）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点D， AB＝4，BD＝5，若点P 是BC 边上的动点，则线段DP 的最小值为（ ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2025 秋•通州区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是边BC 上的高，M，N 两点分别在 AD，AC 上，连接BM，MN．若AB＝10cm，BC＝12cm，则BM+MN 的最小值是（ ） 【变式1-3】（2025 秋•金安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D 为 AB 上一动点（不与点A 重合），△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点且始终有𝐷𝐺= 1 2 𝐸𝐹，则线段BG 长的最小值是（ ） A．√108 B．6 C．√27 D．9 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 三角形三边之间的关系求最值 已知两条定长线段 𝑎、𝑏（设 𝑎≥𝑏），三条线段构成三角形，第三条边长为 𝑥， 则𝑎−𝑏< 𝑥< 𝑎+ 𝑏； 三角形三边关系，三点共线时取到最值，不共线构成三角形，不能取等。 解题步骤： 1. 找出两条固定长度的线段； 2. 把所求线段放在同一个三角形中； 3. 列出三边不等式 |𝑚−𝑛| ≤𝑥≤𝑚+ 𝑛； 4. 判断能否三点共线：能共线→可取等号，得到最大、最小值。 【典例1】（2025 秋•温岭市期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D，E 分别在 边AB，BC 上，连接DE，点F，G 分别是AC，DE 的中点，连接FG，若DE＝6，则FG 的最小值是（ ） A．1.8 B．2 C．√5 D．2.5 【变式1-1】（2026•凉山州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，D 是△ABC 内 的一个动点，E 为AC 的中点，𝐷𝐸= 1 2 𝐴𝐶，则BD 的长的最小值为 ． 【变式1-2】（2025 秋•平山县期末）如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF 垂直平分BC，点P 为直线EF 上的动点，则AP+BP 的最小值是（ ） 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．7 D．11 【变式1-3】（2025 秋•烟台期末）如图，等腰△ABC 的底边BC 长为4，腰长为5，AC 的垂直平分线分别 交AB，AC 于点E，F，点M，N 分别为线段EF，BC 上的动点，连接CM，MN，请探索CM+MN 是否存 在最小值；若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． ▌题型07 将军饮马模型求最值 已知：直线 𝑙（河），定点 A、B 在 𝑙 同侧，P 是 𝑙 上动点，求 PA+PB 最小。 画图四步 1. 作点 A 关于直线 𝑙 的对称点 A'（虚线画垂线、延长等距）； 2. 连接 A'B，交直线 𝑙 于点 P（此点就是取最小值的动点）； 3. 连接 PA； 4. 线段 A'B 的长度 = PA+PB 的最小值。 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•槐荫区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 且与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外 壁A 处到内壁B 处的最短距离为（ ）cm．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【变式1-1】（2025 秋•如皋市期末）如图，在三角形支架ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，E 为AB 的中点， AB＝2，AC＝1.5，F 为BD 上一点，DF＝DC＝0.9． （1）求BD 的长； （2）若点M 为线段AD 上一动点，则EM+FM 的最小值为 ． 【变式1-2】（2025 秋•阿荣旗期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从 A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海 伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关 于直线l 的对称点B′，连结AB′与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l 上另取任意一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B 与点B′关于直线l 对称， ∴直线l 是BB′的垂直平分线． ∴CB＝ ，C′B＝ ， ∴AC+CB＝AC+ ＝ ． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB 最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解 决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据 是 ． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在△ABC 中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若AB＝ 5，AC＝4，BC＝7，则△APC 周长的最小值为 ． 【模型拓展】如图⑤，已知∠MON＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当 △PAB 的周长取最小值时，∠APB 的大小是为 度． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•新城区期末）综合与实践 如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同侧有两个 定点A，B，在直线l 上存在点C，使得CA+CB 的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l 的交点即为点C， 且CA+CB 的最小值为AB′的长． 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′， B′C′，证明AC+BC＜AC′+BC′即可． （1）请完成图3 中小明的证明； （2）如图4，在△ABC 中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若AB＝6，AC＝ 5，BC＝8，则△APC 周长的最小值为 ； （3）如图5，已知∠MON＝35°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当△PAB 的 周长取最小值时，∠APB 的大小为 度．
