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第07 讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）..............................................................................2
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）...................................................................8
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））........................................................................18
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）......................................................26
第一部分：基础知识
1、中线：
在
中，设
是
的中点角
,
,
所对的边分别为
，
，
1.1 向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2 角形式：
核心技巧：
在
中有：
;
在
中有：
;
2、角平分线
如图，在
中，
平分
，角
,
,
所对的边分别为
，
，
2.1 内角平分线定理：
核心技巧：
或
2.2 等面积法
核心技巧
2.3 角形式：
核心技巧：
在
中有：
;
在
中有：
;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·山东聊城·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，向量
，
，
，若
，
，则AC 边上的中线BD 为（ ）
A．
B．3
C．
D．
例题2．（2024·河北·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)已知
，求
边上的中线
的长.
例题3．（24-25 高一下·湖北襄阳·阶段练习）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
、
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
边上中线
的长．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，中线
，求．
2．（24-25 高三上·北京朝阳·开学考试）在△
中，内角
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)若△
的面积为
，求
边上的中线
的长．
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)证明：
.
(2)已知C 为钝角，记
.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若BD 为AC 边上的中线，求
的取值范围.
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，
是
的中线，求
的最大值．
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
边上中
线
长为1，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·四川攀枝花·期末）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
，
①求
周长的取值范围；
②若
为
边上的中线，
，求
的面积．
例题3．（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点M
在边AB 上，
，
，且
，______．
在①CM 为
的一条中线；②CM 为
的一条角平分线；③CM 为
的一条高线
这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
(1)求边长AB；
(2)若
外接圆的面积为
，内切圆的面积为
，求
的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·北京西城·期末）已知函数
，且
.
(1)求a 的值和函数
的最小正周期；
(2)求不等式
的解集；
(3)在
中，
，
，AD 为BC 边上的中线，设
，
，请直接写出
的值和BC 的长.
2．（24-25 高一下·安徽亳州·期末）已知向量
，
，
，
.设
的最小值为
.
(1)求
的值；
(2)在
中，
为其中线，且
，
.设
，
，求
关于
的函数关系
式，并求
的最小值.
3．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，边
上的中线
，求边
的长.
4．（23-24 高一下·重庆长寿·阶段练习）已知
，角
、
、
的对边分别为
、
、，
、
均在
线段
上，
为中线，
为
的平分线．
(1)若
，求证
；
(2)在（1）的条件下，若
，求
；
(3)若
，求
的取值范围．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
的角平
分线为CM 交AB 于M 且
,
,
，则线段
（ ）
A．
B．
C．2
D．
例题2．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若
的面积为
.
①已知E 为BC 的中点，且
，求
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
例题3．（24-25 高一下·安徽淮南·阶段练习）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的角平分线交
于点
，且
，求
面积的最小值.
例题4．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形
中，
与
相交于点
，且
为
的角平分线，
，
.
(1)求
；
(2)若
，求四边形
的面积.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC 中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM 长为m，角平
分线AD 的长为n，则
2．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
的内角
，
，
的对边为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
；
①
为
的中点，求
底边
上中线
长的最小值；
②求内角
的角平分线
长的最大值.
3．（24-25 高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在
中，
．
(1)求
的大小；
(2)若角
的角平分线交边
于点
，
，
的周长为15，求
的长．
4．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小：
(2)若
，
，
，求
的值；
(3)设
是边
上一点，
为角平分线且
，求
的值.
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）在
中，
为
上一点，
①
为
的中线，则
；②
为
的角平分线，则
.
例题2．（24-25 高一·全国·假期作业）在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
，
，点D 在
上，
是
的平分线，则
的取值范围为 .
例题3．（23-24 高一下·四川绵阳·期中）在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
精练高频考点
1．（23-24 高一下·江西·期中）在
中，点
在边
上，
是
的内角
的角平分线，
，
，则
的面积是 ．
2．（23-24 高一下·广东·阶段练习）在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
(3)若
，求
面积的取值范围.
3．（2023·四川·模拟预测）在①
；②
这两个条件中任选一个作为已知条件，补
充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知
中，角
的对边分别为
，点D 为
边的中点，
，且________．
(1)求a 的值；
(2)若
的平分线交
于点E，求
的周长．
