文档内容
第 08 讲 利用洛必达法则解决导数问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数问题
2能用洛必达法则解决极限等问题
【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确
定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式
说明，能备考使用即可.
知识讲解
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，
那么 = 。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，
那么 = 。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
考点一、 洛必达法则的直接应用
1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定
式值的方法，如 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据洛必达法则求解即可.
【详解】 .
故选：B
2．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【答案】(1) 不是区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造 ，再结合 即可得到结果；
（3）通过换元令令 ，则原不等式等价于 ，再通过构造函数
，根据题干中函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义证出
，即可证明结论.
【详解】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关
限制条件的转化.
1．（21-22高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.
【详解】
故答案为：
2．（21-22高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他
的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，
法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ．
【答案】2
【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.
【详解】由题可得 .
故答案为：2.
3．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
【答案】(1)
(2)仅在 时存在1个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数 ，结合 的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出 的表达式，然后结合 ，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2） ， ，
所以 ， ．
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
， ，
当 时， ，所以仅在 时存在1个零点．
（3） ，所以 ， ，…，
将各式相乘得 ，两侧同时运算极限，所以 ，
即 ，
令 ，原式可化为 ，又 ，
由（1）得 ，
故 ，由题意函数 的定义域为 ，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数 ，
从而利用洛必达法则求极限.
考点二、 利用洛必达法则解决函数综合问题
1．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
解: 记 ,
则
则所以, 在 单调递增, 且
所以 时, 时,
即 在 上单调递减, 在 上单调递增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合
不定形式, 所以
2．（天津高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
记 ,
则
则
所以, 当 时, 单调递减,
所以 即
所以
所以所以
3．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
记 ,
则
记
则
所以, 在 单调递增, 所以
所以, 在 单调递增, 所以
即在 上 , 所以 在 上单调递增
所以
所以
1．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
【答案】
【分析】由题设有 在 上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围.
【详解】当 时，原不等式等价于 .
记 ，则 .
记 ，则 .
因为 ， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减，且 .
因此 在 上单调递减，且 ，
故 ，因此 在 上单调递减.
由洛必达法则有 ，
即 趋向于0时， 趋向 ，即有 .
故 时，不等式 对于 恒成立.
2．已知函数 .
(1)若 在 时有极值，求函数 的解析式；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】小问1：由 可得 的值，进而可得 表达式，然后进行检验符合条件即可；
小问2：根据题意可得 对于 恒成立，令 ，只需 ，利用导数分析
的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，由 在 处取极值，得 ，求得 ，
当 时， ；当 时， ；
则 在 时有极大值，符合题意，
所以 ；
（2）当 时， ，即 .
①当 时， ；
②当 时， 等价于 ，也即 .
记 ， ，则 .
记 ， ，则 ，因此 在 上单调递增，且
，所以 ；从而
在 上单调递增，所以 ，
由洛必达法则有： ，即当 时， ，所以
，即有 ，
综上所述，当 ， 时， 成立．
3．已知函数 .
（1）若函数 在点 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出 的导数，求 ，斜率为 ，写出切线 的方程，再将点点
代入切线方程即可求出实数 的值；
（2）易知 为方程的根，只需证明当 和 时原方程均没有实数解即可，分
别讨论，当 时， ， ， 方程的解得情况，以及当 时， ， ， 方程
的解得情况，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（1） ，所以在点 处的切线 的斜率 ，又 ，所以切线 的方程为： ，
即 ，由 经过点 可得： .
（2）易知 为方程的根，
由题只需说明当 和 时原方程均没有实数解即可.
①当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解
若 ， ， ，
令 ，故 在 单调递增，在 单调递减
故 在 单调递减
从而 ， ，此时方程 也无解.
若 ，由 ，
记 ，则 ，
设 ，则 有 恒成立，
所以 恒成立，
故令 在 上递增，在 上递减
，可知原方程也无解
由上面的分析可知 时， ，方程 均无解.
②当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解
若 ，和①中的分析同理可知此时方程 也无解.
若 ，由 ，
记 ，则 ，
由①中的分析知 ，
故 在 恒成立，从而 在 上单调递增
，
如果 ，即 ，则 ，要使方程无解，只需 ，即有
如果 ，即 ，此时 ，方程 一定有解，不满足.
由上面的分析知 时， ，方程 均无解，
综合①②可知，当且仅当 时，方程 有唯一解.
【点睛】本题主要考查了导数应用，导数的几何意义，利用导数判断单调性，函数方程转化思想，分类讨
论思想，属于难题.
4．已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）增区间为 ，无减区间；（2） .
【分析】（1）由解析式知 定义域为 ， ，令 ，应用导
数研究 的单调性，进而判断 的单调区间；
（2）法一：将问题转化为 在 上恒成立，令 ，应用导数
并结合分类讨论的方法研究 的单调性，进而求 的范围；法二：将问题转化为 在
上恒成立，令 ，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究
的单调性，求 的范围；法三：分离常量法得 在 上恒成立，令 应用
导数研究 的单调性，求 的范围；
【详解】（1）由解析式知： 的定义域为 且 ，
令 ，则
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，即 ，
∴ 在 上单调递增，即 的增区间为 ，无减区间.
（2）解法1：直接求导，分类讨论.对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，由 知： ，
①当 ，即 时， 即 ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，符合题意.
②若 ，即 ，
当 时， ，
∴ 在 单调递增，即 时， ，
故 不恒成立，不合题意.
③若 ，则 恒成立，所以 在 单调递增.
∴ 时， ，即 在 单调递增，
又 时， ，即 恒成立，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
解法2：
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
令 ，则 ，记 ，
①当 时， ，此时 ， 在 单调递减，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立.
②当 时， ， 在 上单调递增，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立，不符合题意.
③ 时，不等式化为 ，显然不成立.④当 且 时，方程 的二根为 ， ，
若 ， ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不
等式 不恒成立；
若 ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不等
式 不恒成立.
综上所述， 的取值范围是 .
解法3：参数分离
当 ， 对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
记 ，则
，
记 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又 ，所以， 时， ，即 ，
所以 在 单调递减.所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：
（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；
（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法
结合极限思想，求参数范围.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 对于任意 恒成立，
求 的取值集合．
【答案】 的取值集合为
【分析】以 为分界点对不等式进行讨论，利用导数与函数单调性的关系，以及不等式恒成立的条件即
可求解.
【详解】 恒成立，即 ．
当 时显然成立，即 ．
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 递增，
所以 ，所以 在 上恒成立．
所以 在 上递增，
根据洛必达法则得， ，所以 ．
同理，当 时， ．
综上所述， 的取值集合为 ．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，若当 时，恒有 成立，求实
数 的取值范围．
【答案】
【分析】由题意分离参数可得 ，令 ，对 求导，求出 的单调性结合
洛必达法则求出 的最大值.
【详解】∵ ，∴ ．
∴当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增．
若当 时，恒有 成立，即恒有 成立．
当 时，不等式恒成立．
当 时，恒有 成立，即 ，令 ，
则 ．
令 ，则 ，进一步 ，
∴ 在 上单调递减，∴ ．
∴ 在 上单调递减，∴ ．
即 在 上恒成立，∴ 在 上单调递减．
∴ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
3．（22-23高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 且 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入 ，得到 ，求出导函数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，
即可得出答案；
（2）因为 ，分离参数可得 .构造函数 ，根据 的导函数，
得出 的单调性，进而得出函数的最大值为 ，即可得出 ，进而得出 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ， ，
可得 ，故 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 .
（2）由已知 ，所以 ，
由 ，得 .
因为 ，所以上式可化为 .
令 ，则 ，令 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 为 上的减函数，且 ，
故 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在在 上为单调递减.
所以，当 时， 取得极大值，也是最大值 .
则要使 在 上恒成立，则应有 .
又因为 ，故 .
4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2) ， ，求 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值；
（2）分类参数，设 ，利用导数求函数 的最大值，即可得 的取值范围.
【详解】（1）当 时 ，
，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
；
（2） ， ，
，
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，，
，即 的取值范围是 .
5．（21-22高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 ， R．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求整数a的最小值．
【答案】(1)分类讨论见解析
(2)2
【分析】（1）求导，分 ， 两种情况讨论导函数正负，即得解；
（2）转化原不等式为 在区间 内恒成立，令 ，求导分析单调性，
即得解
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ，
，
① 时， ， 在 内单调递减，
② 时，令 得 或 （舍）
当 ， 单调递减
当 ， ， 单调递增．
（2）由题意得 ，
整理得 ，
因为 ，所以原命题等价于 在区间 内恒成立，
令 ，则 ，
令 ，易知 在区间 内单调递增，
又 ， ，故存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；故当 时，函数 有极大值，也即为最大值，
，
故 ，又 ，故 ，
又a为整数，故a的最小整数值为
6．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2) .
【分析】(1)利用函数的导数的符号，判断函数的单调性，即可求出函数的单调区间.
(2)将原不等式 进行参变分离得 ，然后构造函数 ，从而把不等式问题转化
为，求 大于或等于函数 的最大值问题，即可求出 的取值范围.
【详解】（1）依题意 ，令 ，得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）当 时，不等式 等价于 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 在区间 内变化时， 随 的变化情况如下表：
0
极大值
由上表可知，当 时，函数 在 上有唯一极大值 ，也是其最大值，恒成立等价于 ，
故 的取值范围是 .
7．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， ；
(3)若 对 恒成立，求实数k的最大值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求 的值；（2）首先设函数 ，求函数的
导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数 ，（3）首先不等式等价于 对
恒成立，参变分离后转化为 对 恒成立，
利用导数求函数 的最小值，转化为求实数 的最大值.
【详解】（1）
，即切线的斜率为 ，又因为
所以切线方程为： ，即 .
（2）令 ，则 ，
当 时，设 ，则
所以 在 单调递减，
即 ，所以
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 .（3）原题等价于 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则 .
易知 ，即 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
故 在 单调递减，所以 .
综上所述， 的最大值为 .
8．（22-23高二下·北京·阶段练习）已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， .
(3)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出 和 ，由点斜式可得解；
（2）当 时， 恒成立，等价于 恒成立，
构造函数 ，通过研究 的单调性和最小值即可得证；
（3）利用参变分离将原不等式转化为 恒成立，
再构造函数 ，通过研究 的单调性和最小值即可得解
【详解】（1）由题意， ，又
由导数的几何意义， ，
所以 在点 处的切线方程： ，
即 ；（2）当 时， 恒成立，等价于 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，即 在 上为增函数，
所以 ，即 恒成立， 恒成立，
所以当 时， ，问题得证；
（3）若 时， 恒成立，
等价于 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
故当 时，原不等式恒成立.
【点睛】利用导函数解不等式常见思路：
（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解
（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．
9．（22-23高三上·江西抚州·期中）已知函数 ，其中
为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性，
(2)若 ，当 时， 恒成立时，求 的最大值.（参考数据： ）
【答案】(1)答案见解析
(2)3
【分析】（1）求导，讨论导函数的正负即可；
（2）分离参数，当 时 恒成立即可，设 ，利用导数求解单调性，结合零
点存在性定理，即可求解最值得解.
【详解】（1）由 可得 .
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增；综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单
调递增.
（2）当 时， 成立，当 时， 恒成立即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，
当 时， ，故 ；当 时， ，故 ，
综上有 ，故 ，故 为增函数，
又 ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故存在唯一零点 使得 ，
故当 时 单调递减当 时， ， 单调递增，故 ，
又 ，
即 ，
所以
设 ，则 ，故 为增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，故要 且为正整数则 的最大值为3.
【点睛】利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
10．（2023高三·全国·专题练习）设函数 ，曲线 恒与x轴相切于坐标原
点．
(1)求常数b的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证： 恒成立．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，由 求出答案；
（2）先考虑 时，满足要求，再考虑 ，参变分离得到 ，构造函数，求导得到其
单调性，结合洛必达法则求出实数a的取值范围；
（3）推导出要证 ，只需证 ，
令 ，则 ，构造函数 ， ，并证明出不等式即可.
【详解】（1） ，
由 得， ；
（2）当 时， ，满足要求，
当 时，分离变量可得： ，
令 ，则 ，
令 ， ，
则 ，令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，故 ，
两边平方得 ，故 在 恒成立，
故 在 上单调递增，
故只需证明 即可，当 时， 属于 类型，
由洛必达法则得，
，
故 ，实数a的取值范围是 ；
（3）要证 ，
故只需证 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，则 ，构造函数 ， 即可，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，所以 ，令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，所以 ，
综上， ，证毕.
【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参
数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解，当遇到 或 型时，
可用洛必达法则求解最值.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
1.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
则
记
则
所以, 当 时, 单调递增,
所以 ，即 ，
所以
所以所以
2.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围.
解:
记 ,
则
记
则
所以, 当 时, 单调递增,
所以 , 即 ,
所以
所以
所以
3.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围解：当 时， ;
当 时, 不等式可化为 .
记 ,
则 ,
记 , 则 ,
当 时, ; 当 时, .
因为 , 并且 , 所以 . 这时 符合
题意. 综上可知, 的取值范围是 .
