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专题 24.1 圆【七大题型】
【人教版】
【题型1 圆的概念】..................................................................................................................................................1
【题型2 圆的有关概念】..........................................................................................................................................2
【题型3 确定圆的条件】..........................................................................................................................................3
【题型4 点与圆的位置关系】..................................................................................................................................4
【题型5 圆中角度的计算】......................................................................................................................................6
【题型6 圆中线段长度的计算】..............................................................................................................................7
【题型7 圆相关概念的应用】..................................................................................................................................8
【知识点1 圆的概念】
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
【题型1 圆的概念】
【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组
成的图形的面积为（ ）
A．4π B．9π C．5π D．13π
【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 的半径等于篮球的半径，⊙O 的半径等于一个乒乓球的
1 2
半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（ ）
A．⊙O
1
B．⊙O
2C．两圆增加的面积是相同的
D．无法确定
【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别
画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
1 1
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l = πa= l；
2 2 2
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l＝ ；
3
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l＝ ；
4
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长l＝ ．
n
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周
长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【知识点2 与圆有关的概念】
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任
意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫
做劣弧．
【题型2 圆的有关概念】
【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的
直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A．1 B．4 C．10 D．11
【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 条直径，有 条弦，以点A为端点的优弧有 条，
有劣弧 条．
【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当
OP长为整数时，P点有 个．
【知识点3 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【题型3 确定圆的条件】
【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最
有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点 A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，
﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【知识点4 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外⇔d＞r；
点P在圆上⇔d=r；
点P在圆内⇔d＜r.
【题型4 点与圆的位置关系】
【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，
以C为圆心，以√5cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点 P，当PO
时，点P在⊙O上；当PO 时，点P在⊙O内；当PO 时，点P在⊙O外．
【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A
上的一个动点，则m2+n2的最大值为 ．
【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO
的中点为C，则线段AC的最小值为 ．
【题型5 圆中角度的计算】
【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于
点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．
【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ ．
【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O
上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．
【题型6 圆中线段长度的计算】
【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的
圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．5√3 B．8 C．6 D．5
【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不
重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ ．（用数字表示）
【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，
AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，
DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【题型7 圆相关概念的应用】
【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美
观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成 2：3的两部分，再以这两条线
段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
1
（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，
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他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高1
了 ，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π
2
取3）
【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台
压路机10分钟前进（ ）米．
A．51π B．102π C．153π D．204π
【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为 1cm，内径为4cm，外径为
7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长 m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）
【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂
蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂
蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ．
