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专题 23.1 旋转【十大题型】
【人教版】
【题型1 关于原点对称的点的坐标】...................................................................................................................1
【题型2 利用旋转的性质求角度】.......................................................................................................................2
【题型3 利用旋转的性质求线段长度】...............................................................................................................3
【题型4 旋转中的坐标与图形变换】...................................................................................................................4
【题型5 作图-旋转变换】......................................................................................................................................6
【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】...........................................................................................................8
【题型7 旋转中的周期性问题】...........................................................................................................................9
【题型8 旋转中的多结论问题】.........................................................................................................................10
【题型9 旋转中的最值问题】.............................................................................................................................12
【题型10 旋转的综合】.........................................................................................................................................13
【知识点1 关于原点对称的点的坐标】
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为
（-x,-y）。
【题型1 关于原点对称的点的坐标】
【例1】（2022春•平阴县期末）点 A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则 a+b的值为
．
【变式1-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为
．
【变式1-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则 m的
取值范围是 ．
【变式1-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在
2x-a
第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程 =3的解是 ．
x+1【知识点2 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点3 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型2 利用旋转的性质求角度】
【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按
顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在
CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°
【变式2-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC
绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【变式2-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：
7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7
【题型3 利用旋转的性质求线段长度】
【例 3】（2022 春•仪征市期末）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到正方形
AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．3√2-3【变式3-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A
逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（ ）
A．2√3 B．5 C．2√5 D．6
【变式3-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆
时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（
）
12√5 9√5 16√5
A．3√5 B． C． D．
5 5 5
【变式3-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC
＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（ ）
A．2√3 B．2√7 C．√3或√7 D．2√3或2√7
【题型4 旋转中的坐标与图形变换】
【例4】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【变式4-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点O逆
时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣2√3，4） C．（﹣2√3，2） D．（﹣2，2√3）
【变式4-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到
△MN P，若M（1，﹣2），则点M 的坐标为（ ）
1 1 1 1
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【变式4-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=√3，∠AOB＝30°，直角顶点
B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是
（ ）A．（√3，﹣1） B．（1，-√3） C．（2，0） D．（√3，0）
【知识点4 利用旋转性质作图】
旋转有两条重要性质：
（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【知识点5 中心对称图形的定义】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，这个点就就是它的对称中心。
【知识点6 中心对称的性质】
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
【知识点7 作一个图形关于某点对称的图形】
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
【题型5 作图-旋转变换】
【例5】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），
B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ．
2 2 2 2 2 2
【变式5-1】（2022春•洪雅县期末）如图，在所给网格图（ 每小格均为边长是 1的正方形）中完成下列
各题：
（1）将△ABC向下平移5个单位得△ABC ，画出平移后的△ABC ．
1 1 1 1 1 1
（2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形．
（3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．
【变式5-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长
度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ，请画出
1 1 1 1 1 1
△ABC ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、
2 2 2 2
B、C ，请画出△ABC ．
2 2 2 2 2【变式5-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直
角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△ABC ；并写出A、B、C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）画出△ABC关于原点O对称的△ABC ；并写出A、B、C 的坐标．
2 2 2 2 2 2
【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】
【例6】（2022秋•单县校级月考）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是
．
【变式6-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行
四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．【变式6-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世
界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程
中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分
组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 °能与原雪花图案重合．
【变式6-3】（2022春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称
图形．
【题型7 旋转中的周期性问题】
【例7】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标为（1，0），将点P
0 0
绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P，延长OP 到P，使得OP＝2OP；再将点P 绕着原点O按
1 1 2 2 1 2
逆时针方向旋转 30°得到 P ，延长 OP 到 P ，使得 OP ＝2OP……如此继续下去，点 P 坐标为
3 3 4 4 3 2023
（ ）A．（﹣21010，√3•21010） B．（0，21011）
C．（21010，√3•21010） D．（√3•21010，21010）
【变式7-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝
90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，√3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023
次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
√3 √3
A．(-1，√3) B．(-√3，1) C．(- ，1) D．(-1， )
3 3
【变式7-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC绕O点顺时针选择45°后，
得到正方形OABC ，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA B C ，如果点C的坐标
1 1 1 2022 2022 2022
为（0，1），那么点B 的坐标为（ ）
2022
A．(0，-√2) B．(-√2，0) C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【变式7-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4√2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为
（ ）
A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）
【题型8 旋转中的多结论问题】
【例8】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转
50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝
∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式8-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将
线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几
个结论①EF=√2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是4√2，④△CFE的面积最大是16．其中
正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【变式8-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝
4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．
在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；
④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形ABC O的
1 1 1
一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形ABC O绕
1 1 1
点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+√2)OA；④
AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【题型9 旋转中的最值问题】
【例9】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以 BE为边作等边
△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
【变式9-1】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD
＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S
△ACE
＝（ ）A．6 B．6√2 C．9 D．9√2
【变式9-2】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一
动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为
√3+1，则AB的值为（ ）
A．2 B．4√3 C．2√3 D．4
【变式9-3】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，
且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．√10
【题型10 旋转的综合】
【例10】（2022春•长沙期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，
PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝ ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三
角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？【变式10-1】（2022春•南川区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，
EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．
（1）若BE＝2，求AF的长度；
（2）求证：AF+2BG=√2AD．
【变式10-2】（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接
DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图 2，点 E 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 BD，BE，BF 之间的数量关系．【变式10-3】（2022•泰安一模）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落
到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．
